Introdu cão a Astrof sica Nuclear

Introduc~ao a Astrofsica Nuclear
Takeshi Kodama
Instituto de Fsica - UFRJ
Contents
1 Introduc~ao
2 Diagrama HR
4
8
2.1 Luminosidade : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8
2.2 Temperatura da Superfcie e Indice de Cor : : : : : : : : : : : : : : 10
2.3 Diagrama HR : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10
3 Estrutura Estelar
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Princpio Variacional : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Equilbrio Hidrostatico : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Modelo Politropico : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar
Teorema Virial : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4 Processos Microscopicos
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
4.1 Equilbrio Termodin^amico : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.2 Equilbrio Local e Hidrodin^amico : : : : : : : : : : : : : : : :
4.2.1 Descrica~o Euleriana e Lagrangeana da Hidrodynamica
4.2.2 Hidrodin^amica Adiabatica, Onda de Som : : : : : : : :
4.2.3 Viscosidade, Equac~ao de Navier-Stokes : : : : : : : : :
4.2.4 Variac~ao de Composic~ao Qumica, Reaco~es : : : : : : :
4.3 Estrutura Estelar - Caso Estatico : : : : : : : : : : : : : : : :
4.4 Teoria Cinetica dos Gases e Fen^omeno de Transporte : : : : :
4.4.1 Func~ao de Distribuica~o e Equilbrio Termico : : : : : :
4.4.2 Sec~ao de Choque : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.4.3 Equac~ao de Boltzman : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5 Evoluc~ao Estelar e Nucleo-Sntese
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
12
12
18
22
27
33
36
36
39
40
45
47
50
51
54
55
59
61
65
5.1 Equac~oes para Evoluca~o Temporal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65
5.2 Energia de Ligac~ao Nuclear : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67
Contents
5.3 Fator de Gamow : : : : : : : : : : : : : : :
5.4 Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
5.4.1 Queima do Hidrog^enio : : : : : : : :
5.4.2 Queima do Helio : : : : : : : : : : :
5.4.3 Processo e etapa avancada : : : : :
5.4.4 Processo e : : : : : : : : : : : : : : :
5.4.5 Processo s e Processo r : : : : : : :
6 Supernova
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Historico e Morfologia
Colapso Estelar : : : :
Neutronizac~ao : : : : :
Onda de Choque : : :
Papel dos Neutrinos :
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
7 Estrela de N^eutrons e Buracos Negros
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
7.1 Relatividade Geral : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
7.1.1 Conceitos Basicos : : : : : : : : : : : : : : : : :
7.1.2 Equac~ao de Einstein : : : : : : : : : : : : : : :
7.1.3 Soluc~ao de Schwartzchild : : : : : : : : : : : : :
7.2 Estrutura das Estrelas de n^eutrons : : : : : : : : : : :
7.2.1 Equilbrio Hidrostatico : : : : : : : : : : : : : :
7.2.2 Princpio Variacional : : : : : : : : : : : : : : :
7.3 Materia Nuclear e Alem : : : : : : : : : : : : : : : : :
7.3.1 Sistema de Unidade Natural : : : : : : : : : : :
7.3.2 Protons numa Estrela de n^eutrons? : : : : : : :
7.3.3 Equac~ao de Estado da Materia Nuclear - QHD :
7.3.4 Plasma de Quarks e gluons : : : : : : : : : : : :
7.3.5 Estrelas de quarks e estrelas estranhas : : : : :
8 Comentarios Finais
9 Ap^endices
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
2
69
75
75
84
86
87
87
91
91
94
96
96
105
106
106
106
114
116
119
119
123
125
125
126
129
136
145
147
149
9.1 Codigo FORTRAN para resolver a Equac~ao de Lane-Emden : : : : 149
9.2 Convers~ao da Equac~ao de Euler para um sistema de coordenadas
Lagrangeano : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 151
9.3 Codigo FORTRAN para calcular a energia da materia nuclear pelo
Modelo de Walecka : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 154
Contents
3
9.4 Constantes Fsico-Qumicos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 155
1
Introduc~ao
O nascimento do Universo (Big-Bang) e os estados caoticos de materia gerados
em seguida, expans~ao do Universo e o esfriamento da materia, a formaca~o das estruturas de grande escala, a formaca~o de galaxias e o nascimento de estrelas, a
evoluc~ao estelar e as reac~oes nucleares que ocorrem no centro das estrelas, suas
violentas mortes como a explos~ao de supernovas, objetos extraordinarios tais como
pulsares (estrela de n^eutrons) e buracos negros, o mecanismo de reciclagem cosmica
da materia, a formac~ao de sistema planetarios e o surgimento de vida... todos
comp~oem cenarios de um epico dramatico extremamente grandioso da Natureza.
Neste super-espetaculo, ha dois protagonistas: a energia e a gravitac~ao. Outras
formas de interac~ao da materia tais como interac~ao eletromagnetica, interac~ao
forte (nuclear) e interac~ao fraca aparecem como antagonistas em cada cenario.
Os homens so comecaram a assistir a este drama bem recentemente, sem saber
de onde vem, e para onde vai a historia. Certos cenarios n~ao s~ao triviais e exigem
conhecimentos cientcos para compreender seu signicado. Neste pequeno curso,
gostaria de apresentar um guia bem resumido para compreender alguns destes
cenarios.
Para comecar, vamos apresentar os protagonistas e seus antagonistas.
s vezes ela e a fonte de movimento, as vezes assume a forma de
Energia: A
materia (massa). Ela e intimamente ligada a propria exist^encia do Universo....
O que e ela? De onde veio?
Gravitac~ao: A forca que atua entre duas massas. A propriedade caracterstica
desta forca e que ela e sempre atrativa, independente se a massa e de materia
ou de antimateria. Alem disto, o alcance desta forca e innitamente longo.
Como consequ^encia, a forca gravitacional e cumulativa. Desta forma, apesar de que numa escala microscopica a forca gravitacional e completamente
desprezvel comparada com outro tipo de forca (por exemplo, a forca eletromagnetica), ela se torna a forca dominante na escala macroscopica, em particular, em escalas astron^omicas. Segundo a relac~ao de Einstein entre a massa
1. Introduc~ao
5
e energia,
E = mc2 a energia e a massa s~ao equivalentes como a fonte de forca gravitacional.
Quando a forca gravitacional se torna extremamente intensa, ate distorce
o palco, o espaco-tempo. Alias, segundo a teoria de relatividade geral, a
distorc~ao do palco e a gravitac~ao s~ao uma coisa so.
Materia: A materia e uma forma da Energia. Mas, dentro de um determinado
cenario, existem varias formas de materia, preservando suas identidades durante processos din^amicos. Em cada escala de energia, o bloco unitario que
dene as propriedades din^amicas da materia pode ser distinto, como resumido
na tabela I.
Energia por partcula
eV
keV ~ MeV
MeV ~ GeV
> GeV
>> TeV
TABLEA -I
Estrutura da Materia
A tomos, Moleculas
Nucleos+eletrons
Nucleons+partculas elementares
Quarks + Gluons
?
Os leptons e fotons: Alem da forma acima da materia, existem outros tipos da
materia, i.e., os leptons (eletron, muon, neutrino) e fotons, que fazem papel
decisivo em certos cenarios.
Interac~oes: Alem da forca gravitacional, existem forcas que atuam entre as
partculas. Tradicionalmente fala-se de interac~ao eletromagnetica (EM), interac~ao forte e interaca~o fraca. Veja a tabela II.
1. Introduc~ao
6
TABELA II
Tipo da Partculas
Interac~ao envolvidas
Fen^omenos
Tpicos
Teoria basica Bosons
Intermediarios
Forte
Hadrons
(p n K ::)
quarks
(u d s :)
Estrutura
dos Nucleos e
partculas
elementares
QCD
gluons
EM
Qualquer
Partcula
Carregada
Estrutura
dos
A tomos,
Moleculas
QED
Foton
Fraca
leptons,
quarks
Decaimento Eletrofraca
Opacidade de Z,W
Aqui, QCD e a abreviac~ao de Quantum Chromodynamics (Cromodin^amica Qu^antica)
e QED e a de Quantum Electrodynamics (Eletrodin^amica Qu^antica). Numa teoria
qu^antica dos campos, a interec~ao entre duas partculas e descrita como a consequ^encia de troca de uma outra partcula intermediaria da interac~ao. Na ultima
coluna s~ao indicadas tais partculas para cada interaca~o. Hoje sabemos que a interac~ao EM e um setor da interac~ao Eletrofraca. Ou seja, as interac~oes Eletromagnetica e Fraca s~ao unicadas numa teoria so. Acredita-se ainda que as tr^es
interac~oes possam ser unicadas em uma teoria GUT (Grand Unied Theory).
Numa teoria de corda super-simetrica tem-se a esperanca de unicar a interaca~o
gravitacional, tambem.
A interac~ao eletromagnetica tem um alcance innito como a forca gravitacional,
e sua intensidade de interac~ao e muito superior aquela da interac~ao gravitacional.
Porem, as forcas sempre tendem a se cancelar devido a presenca de cargas de sinais
opostos (blindagem). Para se ter uma ideia, a raz~ao entre a forca gravitacional (FG)
1. Introduc~ao
7
e EM (FEM ) entre dois protons separados por uma dist^ancia R e
FG GM 2 =R 6:67 10;8 (1:67 10;24 )2
;36
= 2
FEM
e =R = 1:44 1:6 10;6 10;13 ' 0:8 10 portanto, a interac~ao gravitacional seria completamente desprezvel comparada a
interac~ao eletromagnetica. A interaca~o forte e cerca de 100 vezes mais intensa do
que a interaca~o EM na mesma escala de energia. A interac~ao fraca e 10;13 vezes
mais fraca que EM nesta mesma escala. Ambas s~ao de curto alcance, ou seja, nas
dist^ancias macroscopicas, estas forcas n~ao atuam.
Como podemos imaginar, as varias formas de interaca~o, materia, energia e
gravitac~ao se confundem entre si, em particular, no incio do Universo. Pela limitac~ao
do tempo, n~ao abordaremos este assunto neste curso. Aqui, tentaremos compreender alguns dos cenarios associados a vida de uma estrela, desde o seu nascimento
ate a sua morte.
2
Diagrama HR
Diferentemente da Fsica que se faz no laboratorio, inclusive Fsica Nuclear e de
Partculas, na Astrofsica, as informac~oes so podem ser obtidas pelas observaco~es
passivas, ou seja, n~ao e possvel fazer experi^encias para vericar as hipoteses ou
modelos. Na medalha de ouro do Pr^emio Nobel, existe de um lado o relevo do rosto
de Alfred Nobel, enquanto no outro ha um desenho da deusa da Natureza. Ela esta
usando um veu o qual esta sendo levantado por outra deusa, a Ci^encia. O Prof. S.
Tomonaga, ganhador do Pr^emio junto com Feynmann e Schwinger por sua teoria
de renormalizac~ao, fazendo uma analogia entre o ato de levantar o veu da Natureza
com os aceleradores de grande porte, mencionou que existiriam outras maneiras
de se obter informac~oes sobre a Natureza sem precisar levantar o veu, o ato que
poderia ser ofensivo. Ter as informaco~es ou n~ao sobre a Natureza sem levantar o
veu depende de qu~ao inteligentemente os homens s~ao capazes de interpretar os
sinais da Natureza. Neste sentido, o diagrama HR e uma das mais brilhantes e
importantes descobertas na Astronomia. O nome HR e a abreviac~ao dos nomes
de dois astr^onomos, E. Hertzsprung (1911) e H.N. Russel (1913) que utilizaram
o diagrama para demonstrar uma forte correlaca~o entre cor e luminosidade das
estrelas.
2.1 Luminosidade
A luminosidade de uma estrela e denida como a quantidade de energia emitida
pela estrela por unidade de tempo. Porem, por raz~oes historicas, existem varias
maneiras de expressar a luminosidade. De forma geral, uma estrela emite sua energia basicamente de 3 formas: 1) luminosidade fot^onica, 2) luminosidade de neutrino,
3) emiss~ao de massa. As luminosidades de neutrino e de massa s~ao importantes em
certas etapas de evoluc~ao, mas no momento, para simplicar a argumentac~ao, so
vamos tratar da luminosidade fot^onica.
A luminosidade fot^onica pode ser expressa em termos de uma integral sobre
2.1. Luminosidade
todas frequ^encias,
= 4R2
9
Z1
L
F d
(2.1)
0
onde F e o uxo de energia dos fotons com comprimento de onda liberado da
superfcie da estrela. N~ao havendo perdas no meio do caminho, o uxo correspondente na dist^ancia r ca
2
(2.2)
f = Rr2 F
Para uma estrela cuja dist^ancia da terra e r, o brilho aparente da estrela, medido
na superfcie da terra por um qualquer tipo de detetor, pode ser escrito por
Z
2
b = a fAR d
onde A e o fator que vem do efeito atmosferico, R e a eci^encia do detetor usado
e a2 e a area da abertura do detetor. O fator R pode ser controlado de acordo
com a escolha da faixa de comprimento de onda (por exemplo, um ltro). O fator
atmosferico n~ao e trivial de ser avaliado. Em geral utilizam-se estrelas padr~oes para
calibrac~ao. A magnitude e denida por1,
m = ;2 5 log10 b + m0 onde m0 e escolhido dependendo do sistema (tipo de detetor). Naturalmente a
magnitude aparente leva em conta a dist^ancia da estrela a Terra. Para discutir
propriedades de um conjunto de estrelas que pertencem a um mesmo aglomelado,
a diferenca nas dist^ancias entre elas e um fator pouco relevante, pois a dist^ancia
entre a Terra e o aglomerado e em geral muito mair que a difer^enca nas dist^ancias
entre estrelas. Entretanto, para discutir a luminosidade intrins^eca de uma estrela,
e necessario efetuar uma normalizac~ao. Para este m, utilizamos o brilho absoluto,
que representa o brilho que a estrela teria a uma dist^ancia padr~ao r0 2
B rr b
0
onde r0 e escolhido como 10pc ( 1pc = 3 086 1018 cm = 3 262 ano-luz). Consequentemente, a magnitude abosoluta e dada por
M = m + 5 ; 5 log10 (r=pc):
1 A origim do logaritmo aqui vem de fato que a sensibilidade humano para os stimulos esternos e
aproximadamente linear ao logaritmo da energia do estimulo. Por exemplo, para audic~ao, usa a medida
chamado db, que e proporcional ao logaritmo da energia sonora.
2.2. Temperatura da Superfcie e Indice de Cor
10
A magnitude corrigida dos fatores atmosfericos e da eci^encia do detetor e chamada
de magnitude bolometrica. Em termos da luminosidade solar, L , temos
Mb = ;2 5 log10 LL + 4 72
e
L = 3 90 1033 ergs=s:
A magnitude bolometrica absoluta do Sol e de 4 72.
2.2 Temperatura da Superfcie e Indice de Cor
Falaremos mais tarde um pouco mais quantitativamente sobre a estrutura estelar,
mas os fotons s~ao emitidos de uma camada na da superfcie estelar (fotosfera),
num razoavel grau de aproximac~ao, como se fosse um corpo negro. A intensidade
de energia emitida por unidade de area e comprimento de onda do corpo negro
e dada por
2 c2 ~
(2
)
1
I = 5 e2c~=kT
:
(2.3)
;1
onde ~ e a constante de Plank dividido por 2, k e a constante de Boltzman, e T e a
temperatura. Na Fig. 1, desenhamos esta func~ao para tr^es diferentes temperaturas.
O ndice de cor e denido como a diferenca de magnitudes para dois diferentes
ltros, por exemplo, B(lue) =azul (ou fotograco) e Visual ( amarelo). O ltro B
esta centralizado na regi~ao ' 4300 A e o ltro V esta em torno de ' 5500 A.
O ndice B ; V mede essencialmente a temperatura, sendo unvoca a relaca~o entre
estas grandezas.
2.3 Diagrama HR
Para uma dada estrela cujo dist^ancia e conhecido, podemos obter sua luminosidade L (ou equivalentemente a magnitude absoluta M ) e seu ndice de cor B ; V
(ou, equivalentemente, a temperatura efetiva supercial T ). Estes dois numeros
denem um sistema de coordenadas no plano x-y, onde x = B ; V (ou T ), y = L
(ou M ). Podemos agora colocar as estrelas neste plano. O fato surpreendente e que
a distribuic~ao das estrelas neste plano n~ao e homog^enea, mas mostra uma forte
correlac~ao. Perto de 90 % das estrelas na nossa Galaxia se situam numa banda diagonal neste plano. Esta banda e chamada a Sequ^encia Principal por raz~oes obvias.
2.3. Diagrama HR
11
O nosso Sol tambem esta na Sequ^encia Principal. Sabemos que a Sequ^encia Principal e a primeira etapa da serie de reac~oes termonucleares que ocorrem no processo
de evoluca~o estelar. No centro das estrelas da Sequ^encia Principal, o hidrog^enio e
queimado para formar o caroco do Helio. Alem da Sequ^encia Principal, s~ao observadas certas regi~oes isoladas, como ilustrado esquematicamente na Fig.2.
Alguns importantes grupos s~ao:
Gigantes Vermelhas: A proxima etapa da evoluca~o depois da Sequ^encia Principal. O caroco de Helio esta sendo queimado para formar Carbono.
Subgigantes: Aparentemente estas s~ao as estrelas que se caminham para a
regi~ao das Gigantes, iniciando a queima de Helio no centro.
Supergigantes: Neste grupo encontramos as estrelas com todos os tipos de
cor, apresentando uma grande luminosidade (L ' 104L ).
An~as Brancas: Estas s~ao estrelas com massa da ordem da massa solar (
' 2 1033 g ) com raio similar ao da Terra ( 1/100 do Sol) tendo, portanto,
uma densidade cerca de 1.000.000 vezes maior do que a do Sol. Em termos de
numero, elas s~ao as mais populosas apos a Sequ^encia Principal, mas muitas
n~ao s~ao observaveis devido a sua baixa luminosidade. Estas s~ao estrelas no
estagio nal de sua evoluca~o.
Hoje, pela teoria moderna da evoluca~o estelar, temos uma ideia geral sobre a
origem desta correlac~ao entre o ndice de cor e a luminosidade que se manifesta no
diagrama HR, mas ainda falta muito para ser esclarecido. O diagrama HR e extremamente importante, pois alem da sua utilidade pratica tal como, por exemplo,
uso como calibrac~ao para determinar a dist^ancia aos agromelados de estrelas, ele
serve como uma ponte fundamental na teoria de evoluc~ao e estrutura estelar.
3
Estrutura Estelar
3.1 Princpio Variacional
Por que as estrelas s~ao redondas? Para responder a esta pergunta, o melhor e
reformular a quest~ao em termos de princpio variacional. O metodo de Princpio
Variacional n~ao e importante apenas para responder a esta quest~ao mas para varios
assunto neste curso. Portanto, e conveniente fazer uma pequena revis~ao do metodo
aqui.
Variac~ao de func~oes
Vamos considerar primeiro o problema de se obter o ponto mnimo de uma func~ao,
y = f (x):
(3.1)
Neste caso, sabemos que o mnimo (ou maximo) e dado pelo ponto onde a derivada
e nula,
df (3.2)
dx x=xm = 0:
Isto signica que a variac~ao de y em torno do ponto x = xm e nula ate a primeira
ordem1 em x,
yjx=x0 f (xm + x) ; f (xm )
df
2
=
(3.3)
dx x=xm x + O(
x ) ! 0:
Para uma func~ao de duas variaveis,
y = f (x1 x2)
(3.4)
1 Daqui por diante, consideraremos apenas variac~oes de uma func~ao ou funcional ate a primeira ordem,
exceto especicado diferentemente.
3.1. Princpio Variacional
13
o ponto (x1m x2m ) de maximo, ou mnimo, de y e caracterizado pela condic~ao,
yj(x1m x2m ) = f (x1m + x1 x21m + x2 ) ; f (x1m x21m )
@f x + @f x = x rf j
= @x
1
(x1m x21m ) ! 0
@x2 2
1
para qualquer variac~ao innitesimal de x1 e x2 , x1 e x2 . Na equac~ao acima,
introduzimos a notac~ao vetorial,
! !
@f=@x
@=@x
1
1
rf @f=@x2 = @=@x2 f
e
!
x
1
x = x 2
que e util para generalizar os resultados para uma func~ao com qualquer numero de
variaveis.
Metodo da Constante Multiplicadora de Lagrange
Frequentemente temos que encontrar um mnimo de uma quantidade com vnculos.
Por exemplo, a area de um rectangulo de largura x e altura y e
S = S (x y) = xy:
(3.5)
Queremos maximizar esta area sob a condic~ao
x + y = a:
(3.6)
Neste caso, poderiamos eliminar uma das variaveis, x ou y da Eq.(3.6) e procurar o
mnimo de S . Entretanto, a forma de vnculo pode ter uma forma mais complicado
do que Eq.(3.6) e a eliminaca~o de uma das variaveis pode se tornar complicada.
Um metodo muito eciente e frequentemente usado e o metodo de constante multiplicadora de Lagrange. Escrevendo o vnculo (3.6) na forma
(x y) = 0
onde obviamente
(x y) = x + y ; a
(3.7)
3.1. Princpio Variacional
14
as variac~oes de x e y devem satisfazer
x
+ @ y
= @
@x
@y
~r r = 0:
(3.8)
Por outro lado, em torno do ponto maximo da area, sua variac~ao e nula para
qualquer ~r que satisfaz a Eq.(3.8),
@S y
S = @S
x
+
@x
@y
~r rS = 0:
(3.9)
A unica possibilidade para satisfazer as Eqs.(3.8) e (3.9) simultaneamente para
qualquer ~r e que os dois vetores, rS e r, sejam paralelos,
rS
= r
(3.10)
onde e uma constante arbitraria. Por outro lado, se a Eq.(3.10) e valida, a equac~ao
~r (rS ; r) = ~r r(S ; ) = 0
(3.11)
e sempre verdade para qualquer ~r. Mas, neste caso, a Eq.(3.11) e equivalente a
dizer
(S ; ) = 0
(3.12)
para qualquer ~r. Isto e, o problema de procurar o maximo da area S sob o vnculo
Eq.(3.7) e equivalente a procurar o maximo da func~ao,
S ; sem nenhum vnculo, onde e uma constante a ser determinada. Este e o metodo
da constante multiplicadora de Lagrange o qual incorpora o vnculo num problema
de pincpio variacional.
Vamos aplicar o metodo para o caso de se procurar o maximo da area descrita
acima. Neste caso,
S = xy
= x + y ; a
3.1. Princpio Variacional
15
e, portanto,
xy ; (x + y ; a)] = 0:
Tomando independentemente as derivadas em relaca~o a x e y, temos
y ; = 0
x ; = 0:
Da, eliminando e utilizando o vnculo, temos os valores de x e y que d~ao o
maximo de S como
x = y = a=2:
O valor maximo de S e, portanto, (a=2)2.
O metodo pode ser generalizado para casos onde existam mais do que um vnculo
entre as variaveis. Sejam
1(x1 x2 ::: xn) = 0
...
m(x1 x2 ::: xn) = 0
m vnculos entre as variaveis, x1 ::: xn. Um maximo (ou mnimo) local de uma
func~ao f (x1 ::: xn) e dado pela condica~o
m
X
F = (f ; ii) = 0
(3.13)
i=1
para qualquer f
xi g.
Funcional
Um funcional e uma func~ao de uma func~ao. Por exemplo, a area entre uma func~ao,
y = f (x) e o eixo X no intervalo de x, a b] e dada pela integral
A=
Zb
a
f (x)dx:
(3.14)
A e um funcional de f . Isto e, o valor de A depende da forma de f . Como sabemos,
a integral acima e o limite n ! 1 da soma,
A = nlim
!1
n
X
i=1
!x fi (3.15)
3.1. Princpio Variacional
16
onde
fi = f (xi )
!x = b ;n a xi = a + (i ; 1)!x:
Desta forma, podemos considerar A a funca~o de ffi i = 1 ::: 1g. Em geral, um
funcional e nada mais do que uma func~ao de innitas variaveis.
Equac~ao de Euler-Lagrange
Obter um maximo (ou mnimo) local de um funcional e um processo completamente
analogo ao de procura do extremo de uma func~ao. Vamos considerar um funcional
que tenha a forma,
Z b df !
I f ] = L f dx dx:
(3.16)
a
Queremos obter a forma de f que da o valor maximo (ou mnimo) de I . Para isto,
introduzimos a variac~ao de f , ponto a ponto, isto e,
f (x) ! f (x) + f (x)
(3.17)
onde f (x) e a variac~ao de f no ponto x = x. A variac~ao de I correspondente ca
I I f + f
] ; I f ]
! !)
Zb ( df
d
(
f
+
f
)
; L f
(3.18)
=
dx L f + f dx
dx :
a
Utilizando a relac~ao,
d(f + f ) = df + d(
f ) dx
dx dx
e expandindo o primeiro termo da Eq.(3.18) em f ,
! !
d
(
f
+
f
)
df
d(
f ) @L
df + (3.19)
L f + f dx
= L f dx + f @L
+
@f
dx @ dx
temos
9
Zb 8
< @L d(
f ) @L =
I = dx :
f @f + dx df :
(3.20)
a
@ dx
3.1. Princpio Variacional
17
Aplicando integrac~ao por partes no segundo termo,
I =
Zb
a
8
9
3x=b
< @L d 0 @L 1= 2
df 5 dx
f (x) : @f ; dx @ df A + 4
f (x) @L
@ dx
@ dx x=a
(3.21)
E bastante comum que as variac~oes de f sejam feitas utilizando-se a condica~o de
que f = 0 em x = a e x = b,
f (a) = f (b) = 0:
Neste caso, temos
I =
Zb
a
(3.22)
9
8
< @L d 0 @L 1=
dx
f (x) : @f ; dx @ df A :
@ dx
(3.23)
Se fm(x) e a func~ao que corresponde o maximo (ou mnimo) de I , ent~ao devemos
ter
9
8
Zb
< @L d 0 @L 1=
0
(3.24)
I = dx
f (x) : @f ; dx @ df A
a
@ dx
f =fm
para qualquer variac~ao f . Assim, concluimos que a func~ao fm (x) tem que satisfazer
a equac~ao diferencial,
8
9
< @L d 0 @L 1=
= 0:
: @f ; dx @ @ dxdf A
f =f
(3.25)
m
Esta e a equac~ao de Euler-Lagrange para a funcional (3.16).
A Eq.(3.24) pode ser escrita na forma,
8
9
< @L d 0 @L 1=
@ A
I = nlim
!1 !x i=1 fi : @f ; dx @ df dx
f =f i
n
X
i
(3.26)
m
da mesma forma com na Eq.(3.15). Desta forma, podemos identicar que
0
1
1 @I ffig = @L ; d @ @L
df A :
!x @fi
@f dx @ dx
(3.27)
3.2. Equilbrio Hidrostatico
18
Assim, denimos a derivada funcional para o funcional I como
I
f
0
1
@L
d
@L
@ df A :
@f ; dx @ dx
(3.28)
Vnculo Funcional
Quando existir um vnculo, podemos tratar-lo em termos do metodo de constante
multiplicadora de Lagrange. Seja I = I f ] um funcional que deve ser maximizado
(minimizada) e " = "f ] o vnculo para f , dada na forma funcional. Neste caso, a
func~ao f deve ser obtida da variac~ao,
I ; "] = 0
(3.29)
onde e uma constante. Em termos de derivada funcional, podemos expressar a
condic~ao por
I ; " = 0:
f
f
A justicativa deste metodo e completamente analogo ao caso de funco~es.
3.2 Equilbrio Hidrostatico
Vamos aplicar o metodo de princpio variacional para obter a congurac~ao de
equilbrio de uma estrela. Considere a energia total de uma estrela que e a soma da
energia interna da materia e da energia gravitacional. Assim, a energia total ca
escrita como
Z
Z
Z
(3.30)
E = d3r "(~r) ; G2 d3r1 d3r2 j(~r~r1);(~r~r2j) 1
2
onde " e a densidade da energia interna da materia, a densidade da massa. G e
a constante gravitacional,
G = 6:67 10;8 erg cm2=g2:
Considerando E como um funcional da densidade , a conguraca~o de equilbrio da
estrela deve corresponder o mnimo desta funcional. Vamos calcular a variac~ao da
energia associada a variac~ao do . Entretanto, note que esta funcional E ] n~ao tem
3.2. Equilbrio Hidrostatico
19
a forma da Eq.(3.16) e, portanto, a equaca~o de Euler-Lagrange n~ao pode utilizada
aqui. A variac~ao tem que ser calculada de seguinte forma:
E = E + ] ; E ]
Z @"
Z
Z
3
3
= d r @ ; G d r1
(r1 ) d3r2 j~r(;r2~r) j
Z
"
Z
(r0 )
#
1
2
@" ; G d3~r
d3r
@
:2
(3.31)
j~r ; ~r 0 j =eq
Se = eq representa a congurac~ao de densidade de equilbrio do sistema, a
energia total deve estar no mnimo, e portanto E deve ser nulo para qualquer
variac~ao em torno de eq . Isto signicaria
8
! E = 0
(3.32)
mas na verdade, precisamos adicionar um vnculo para a variac~ao , de forma
que a massa total do sistema seja conservada. Ou ainda, n~ao pode ser completamente arbitrario. Se esta condic~ao n~ao for imposta, o mnimo da energia do
sistema corresponderia sempre a 0!
Denotando a massa total da estrela por M 3 , a condica~o subsidiaria seria
Z
M d3r (3.33)
Z
= d3r = 0:
=
0
Agora, utilizando o metodo de multiplicadores de Lagrange, podemos formular o
problema pela equac~ao
E ; M = 0 8
onde e uma constante. Assim, temos
"
#
Z
Z
0)
@"
(
r
3
3
8
! d r
(3.34)
@ ; G d ~r j~r ; ~r 0j ; =eq = 0
ou,
@" ; G Z d3~r (r0 ) ; = 0:
(3.35)
@
j~r ; ~r 0 j
0
0
3 Usamos
a mesma lettra M para a massa e a magnitute, mas n~ao devem ser confundidas.
3.2. Equilbrio Hidrostatico
20
Nesta ultima equac~ao, eliminamos o subscrito \eq ", por simplicidade. E importante lembrar que a densidade que satisfaz a equac~ao acima e sempre a da
congurac~ao de equilbrio. O segundo termo e nada mais do que o potencial gravitacional no ponto ~r.
Z
(r0 ) = U (~r):
;G d3~r
(3.36)
Grav
j~r ; ~r 0 j
0
A constante pode ser eliminada neste caso tomando-se o gradiente de ambos os
lados da equaca~o. Temos
@" + rU (~r) = 0:
r
(3.37)
Grav
@
Por outro lado, utilizando a relac~ao4,
@" = p + " (3.38)
@
onde p e a press~ao, temos
@" = r p + "
r
@
= 1 rp:
(3.39)
Logo,
1 rp + rU (~r) = 0
(3.40)
Grav
mostrando que, em equilbrio, o gradiente da press~ao esta sendo contrabalancado
pela forca gravitacional em cada ponto. Chamaremos este tipo de equilbrio de
equilbrio hidrostatico (vamos rever esta equac~ao do ponto de vista hidrodin^amico,
posteriormente).
4
@ (E=V )
@"
@E
2 @ (E=V )
@ = @ ; V1 = ;V @V = ;V @V + E = (p + ")V
= p + "
3.2. Equilbrio Hidrostatico
21
Para facilitar a argumentac~ao, vamos supor que a densidade em equilbrio hidrostatico
e esfericamente simetrica. (Conceitualmente compreensvel, pois a forca gravitacional e atrativa e o mnimo de energia deve corresponder a congurac~ao para qual
a dist^ancia media entre quaisquer dois pontos da congurac~ao seja a menor, o que
corresponde a uma esfera. Podemos provar isto de forma mais rigorosa pelo metodo
variacional.) Ent~ao,
= (r):
(3.41)
Neste caso, temos
Z
0
UGrav (~r) = ;G d3~r j~r;(r~r) 0j
2Z
3
1 r< !l
X
1
= ;G 4 (r0)r 2 dr d&0 r
Pl(cos )5
> l=0 r>
Zr
Z1
= ;4G 1r (r0 )r 2dr + (r0 )r dr (3.42)
0
r
e5
1 Z r (r0)r 2dr :
rUGrav = 4G 2
(3.43)
r 0
Assim, a equac~ao do equilbrio hidrostatico ca escrita na forma compacta,
dp = ;4G Z r (r0)r 2 dr :
(3.44)
dr
r2 0
Note que esta equac~ao ainda n~ao e suciente para determinar a congurac~ao
= (r), pois a press~ao, p e, em princpio, uma quantidade independente da
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5 Aqui,
0
utilizamos a expans~ao em polinomios de Legendre,
1
1
j~r ; ~r j = pr2 ; 2rr cos + r 2
X r< l
= r1
Pl (cos )
> l=0 r>
0
0
1
onde r> (r<) e o maior (menor) entre r e r . Tambem, temos
Z
0
dPl (cos ) = 4l0 :
0
0
3.3. Modelo Politropico
22
densidade. Para determinar a press~ao, precisaramos da equaca~o de estado,
p = p( T )
(3.45)
onde T e a temperatura. Assim, ca faltando uma equac~ao que dena como a temperatura varia com r. Esta pode ser obtida analizando como o calor e transmitido
de uma posic~ao para outra pela condutividade termica. Isto e, precisariamos uma
equaca~o que descrever o mecanismo de transmiss~ao da energia. Mas, em estados
estaticos ou estacionarios, podemos considerar que a temperatura e determinada
em cada ponto, e por sua vez,
T ! T ()
Desta forma, podemos considerar
p = p()
(3.46)
efetivamente. Naturalmente, nos casos gerais, esta funca~o e consequ^encia de muitos
processos fsicos tais como o mecanismo de produc~ao de energia e conduca~o do calor
no interior da estrela, o grau de ionizac~ao do gas, etc.
3.3 Modelo Politropico
Para discutir quantitativamente a estrutura estelar evitando envolver estes processos complicados, Lane e Emden propuseram um modelo politropico para a equac~ao
de estado da materia estelar, descrito pela relaca~o
p = K1+ n1 (3.47)
onde n e uma constante chamada de ndice politropico. Embora esta seja uma
aproximac~ao, em certas situac~oes esta modelagem corresponde bem a realidade.
Introduzindo as seguintes transformaco~es de variaveis,
r = a
e
= 0 n
sendo
2
1 31=2
n ;1
(
n
+
1)
K
0 5 a=4
4G
3.3. Modelo Politropico
e
23
1
n n+1
p = K1+
(3.48)
0 :
Tomando a derivada da equac~ao de equilbrio hidrostatico Eq.(3.44) temos
!
1 d r2 1 dp = ;4G(r):
(3.49)
r2 dr dr
Esta equac~ao pode ser re-escrita nas novas variaveis como
d2 () = ;n
(3.50)
d 2
que e a equac~ao de Lane-Emden. Esta equac~ao deve ser resolvida com a condic~ao
inicial,
(0) = 1
d = 0
d 0
onde a primeira condic~ao vem da denic~ao do 0 (ver a segunda das Eq.(3.48)), e
a segunda vem da propriedade
r = 0
em r = 0
Para certos valores de n, podemos achar uma soluca~o analtica.
Para n = 0
e, portanto,
Para n = 1,
e, portanto,
d2 () = ;
d 2
= 1 ; 61 2:
d2 () = ;
d 2
= sin :
(3.51)
3.3. Modelo Politropico
24
Naturalmente, esta soluc~ao somente e valida para
0:
Assim, o raio da estrela e determinado pela valor dep correspondente ao primeiro
zero 1 da func~ao . Por exemplo para n = 0, 1 = 6 ' 2:45, enquanto que para
n = 1, 1 = .
Vamos resolver a equac~ao de Lane-Emden numericamente. Podemos aplicar o
algortmo padr~ao para integrac~ao, por exemplo o metodo de Runge-Kutta de 4a
ordem, mas existem 2 pontos para os quais deve ser tomado cuidado. Para resolver
numericamente, avancamos passo a passo, digamos ! do centro = 0 para fora.
No ponto = 0, o lado direito da equac~ao,
"
#
2
00
0
n
= ; + (3.52)
ca indeterminado numericamente, pois = 0 = 0. Para evitar o erro de truncamento, devemos usar a express~ao obtida pela expans~ao de Taylor na origem para
calcular 00 para um pequeno valor de ,
= 1 ; 16 2 + 5!n 4 ; 4! n(89!n ; 5) 6 + (3.53)
O segundo ponto e que, como n~ao sabemos o valor de 1 (zero de ) a priori, precisamos ter um algoritmo para terminar o processo de soluca~o numerica exatamente
no ponto 1 . Em particular, como usualmente o calculo numerico falha para exponenciac~ao de um numero negativo, temos que evitar o processo de calculo invadir
na regi~ao > 1. Para isto podemos aplicar o metodo bisection6 para diminuir o
passo do incremento. O algoritmo seria:
1. No ponto 0, s~ao dados valores de (> 0), 0 e passo ! .
2. Resolve um passo = 0 ! 0 + ! .
3. Durante a etapa 2, se acontecer < 0, vai para etapa 4, sen~ao, avanca 0
atualizando seu valor por 0 + ! ! 0 e retorna a etapa 1.
6 Dividir
o passo por 2 quando ultrapassa o limite.
3.3. Modelo Politropico
25
4. Divide o passo por 2,
! = !=2
e se ! n~ao for sucientemente pequeno, volta para etapa 1. Se ! cou
menor que o determinado limite inferior (por exemplo, tipicamente, 10;8),
termina o calculo, registrando o valor do 0 como 1.
Na Fig.3, mostramos algumas soluc~oes da Equac~ao de Lane-Emden. Veja na Ap^endice
I, um programa em FORTRAN para obter as soluco~es politropicas, com varios valores de n.
A grande vantagem do modelo politropico e que podemos descrever a estrutura
interna de uma estrela em termos de pequenos par^ametros, ou seja, 0 e K , para
dado n. Assim, o raio da estrela e dado por,
2
1 31=2
n ;1
(
n
+
1)
K
0 5 R = a1 = 4
1
4G
e a massa ca
(3.54)
ZR
r2dr
0
Z 1
3
= 4a 0 n 2d:
M = 4
0
Mas da equac~ao de Lane-Emden, temos
d 2 d = ; 2 n
d d
e, portanto,
!
Z 1 d d !
2
3
3
M = ;4a 0 d d d = ;4a 0 2 d
d 1
0
"
#3=2 3 n !
= ;4 (n + 1)K 02n 2 d :
4G
d 1
;
(3.55)
(3.56)
Esta formula mostra que a massa e a densidade central da estrela est~ao relacionadas
por
M / (30 ;n)=2n
(3.57)
3.3. Modelo Politropico
26
Assim, para n < 3, 0 e crecente com M ' para n > 3, decrecente. Para n = 3, a
densidade central e independente da massa M .
"
#
1)K 3=2 2:01842
M = 4 (n 4+G
(3.58)
Se a relac~ao entre a densidade e a press~ao, Eq.(3.47), for valida mesmo para densidades fora do equilbrio, ou seja, se esta relac~ao valesse para a variaca~o da densidade, as conguraco~es para n 3 s~ao n~ao estaveis. Isto e facil de ser visto pois,
mantendo M , e aumentando a densidade central pela contrac~ao do sistema, a energia total ca menor que o valor do equilbrio hidrostatico. Do ponto de vista
variacional, uma soluc~ao da Equac~ao Lane-Emden corresponde a conguraca~o de
maxima da energia total para n > 3.
Por outro lado, para as estrelas quentes com gas ionizados, e possvel ter a
congurac~ao estavel mesmo para n > 3. Isto porque, a relac~ao Eq.(3.47) e uma
relac~ao efetiva e so vale na congurac~ao de equilbrio, e n~ao a relac~ao funcional
verdadeira entre e p (lembre a exist^encia da temperatura ou entropia). Como
exemplo, vamos considerar o caso em que no interior de uma estrela a raz~ao entre
a press~ao de gas (ideal) Pg e a press~ao de radiac~ao P seja quase constante. Neste
caso, a press~ao total pode ser escrita como
p = Pg + P (3.59)
Pg = P
(3.60)
P = (1 ; )P
(3.61)
onde e uma constante. Por outro lado, cada press~ao esta relacionada a temperatura T por:
Pg = NA kT
(3.62)
P = 13 aT 4
(3.63)
onde NA e a constante de Avogadro, a e a constante de Stefan-Boltzman, e e
chamado de peso molecular medio, denido por
1 < Z + 1 > X X Z + 1 (3.64)
z
A
A
Z
3.4. Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar
27
que e a media, ponderada pela concentrac~ao Xz , dos graus de liberdade (Z dos
eletrons + 1 do nucleo) do gas completamente ionizados. Eliminando T das eqs.
(3.62) e (3.63) e expressando a press~ao em termos de , temos
2 !4
31=3
N
k
3
1
;
p = 4 a a 4 5 4=3 :
(3.65)
Esta express~ao e sempre valida para um gas completamente ionizado. A raz~ao entre
a press~ao de gas e a press~ao de radiac~ao em geral n~ao se mantem constante alongo
a dist^ancia do centro para fora no interior de uma estrela. Mas, numa situac~ao
chamada de equilbrio radiativo, a constancia de e uma boa aproximac~ao como
veremos posteriormente. O modelo estelar com a congurac~ao dada pelo politropico
de ndice 3 e as vezes citado como modelo padr~ao politropico.
3.4 Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar
O exemplo em que a relac~ao Eq.(3.47) se torna real, independentemente da temperatura, e o caso de an~as brancas. Nestas estrelas, a densidade interior delas ca
t~ao grande que a press~ao termica se torna desprezvel comparada aquela do gas de
eletrons degenerados. Vamos rever as propriedades de gas de eletrons degenerados.
Para alta densidade da materia, os atomos se aproximam tanto que os eletrons
n~ao cam ligados aos atomos individualmente. Neste caso, a func~ao de onda dos
eletrons pode ser considerada, aproximadamente, uma onda plana.
(3.66)
(~r) = p1 ei~k~r
V
onde V e o volume da materia em considerac~ao. Para N eletrons, a func~ao de onda
e dada pelo determinante de Slater,
(~r1~r2 : : : ~rN ) = p 1n Det ei~ki ~rj (3.67)
V N!
onde a propriedade fermi^onica dos eletrons e levada em conta pela antisimetrizac~ao
da func~ao de onda total. Ou seja, nenhum estado pode ser ocupado por mais de
um eletron devido ao Princpio de Exclus~ao de Pauli. Isto implica que, a cada onda
plana ~ki, podemos associar, no maximo, 2 eletrons (devido ao grau de liberdade de
3.4. Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar
28
spin). Para simplicar, vamos considerar uma caixa cubica de volume V = L3. Os
numeros de ondas permitidos s~ao:
~k = (kx ky kz )
kx = L nx
ky = L ny kz = L nz com (nx ny nz ) inteiros n~ao negativos. Para cada ~k, a energia associada e
q
Ek = c (~k)2 + m2c2 (3.68)
onde utilizamos a express~ao relativstica para a energia do eletron na qual m e a
sua massa de repouso.
Qual e o estado fundamental (o estado de menor energia) para N eletrons na
caixa V ? Naturalmente, isto sera o estado em que os eletrons ocupam todos os
nveis de menor energia possvel, empilhando-se um em cima de outra, sem criar
espaco em nveis de energia. A quest~ao e ent~ao, para dado N , quantos nveis podem
ser preenchidos e qual e o valor da energia total? Para responder esta pergunta,
podemos inverter a vis~ao. Seja E a energia do ultimo nvel ocupado. Ja que, no
estado fundamental, todos os nveis de energia cuja energia menor do que E est~ao
ocupados por 2 eletrons de cada, o numero total de eletron N e igual a duas vezes
do numero de estados que tenha energia menor que E .
Podemos observar que o numero de todos os estados que t^em energia menor
que E seria o numero de pontos de rede com as coordenadas inteiras, (nx ny nz ),
satisfazendo a
h
i L 2
2
2
2
2
2
nx + ny + nz (E=c) ; (mc) ~
pL 2 V 1=3 !2
=
(3.69)
~ = k
que por sua vez, ca igual a um oitavo do volume (quadrante positivo) da esfera
do raio
K = pL
~
3.4. Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar
29
Assim, o numero de pontos de redes e dado por
1 4 K 3 83
que e a metade do N (fator de spin),
N = 2 81 43 K 3
3 3
= L 2p 3 :
3 ~
Esta equac~ao determina o valor maximo de momento de onda plana que esta ocupado no estado fundamental,
1=3 1=3
= ~ 32n (3.70)
PF ~ 32 N
V
onde n e a densidade numerica dos eletrons. O valor maximo de momento no
estado fundamental de um gas de eletron e ent~ao determinado pela sua densidade
numerica e e chamado de momento de Fermi. A energia total do sistema e dada
como a soma de energia dos nveis ocupados,
kF
X
E = Ek k
onde
Temos
onde
sendo
1=3
kF = PF =~ = 32n :
ZK
E = 2 18 4 dn n2 Ek
0
4 c5 Z xF
p
m
x2 dx x2 + 1
= 2~3 V
0
PF = ~ 32n1=3 = k xF = mc
C F
mc
~
C mc
(3.71)
(3.72)
3.4. Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar
30
o comprimento de onda de Compton do eletron dividido por 2.
A integral em Eq.(3.71) pode ser feita como
q
Z xF p
g(xF ) x2 + 1x2 dx = 81 xF (x2F + 1) 2x2F + 1 ; arcsinh xF : (3.73)
0
Portanto, temos a densidade de energia na forma
E = " = mc2 g(x ):
(3.74)
V
23c F
Sabendo a densidade de energia podemos calcular a press~ao. Como ja vimos,
d" n ; "
p = dn
= n dxF d" ; "
dn dxF
!
2 1
mc
dg
= 2 3 3 xF dx ; g(xF )
F
c
2
mc
= 2 3 f (xF )
(3.75)
c
onde
1
q2
1
2
f (xF ) = 8 3 xF (2xF ; 3) xF + 1 + arcsinh xF :
(3.76)
Podemos analisar o comportamento da press~ao para limites de baixa e alta densidade. Ja que
temos
8 x5 < F 1 ; 5 x2F + 5 x4F + xF 1
f (xF ) ! : 115 4 114 2 1 24
x
;
x
+
ln
(2
x
)
+
x
1
F
F
F
F
12
12
8
p
mc2 1 5 k5 = 2 ~2 (32)2=3 n5=3
2 3c 15 c F 5 2m
= 2 1 PF2 n
5 2m
(3.77)
!
(3.78)
para baixa densidade (n n0 ) onde
n0 3123 :
c
(3.79)
3.4. Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar
E interessante notar que
31
2 1 P 2 n = 2 < K > n
(3.80)
5 2m F
3
onde < K >= 21 35 PF2 e a energia cinetica media n~ao relativstica dos eletrons no
gas de Fermi.
No outro limite, temos
2 1
1=3
mc
p ! 2 3 12 4c kF4 = ~4c 32 n4=3 (3.81)
c
para alta densidade (n n0 ). A densidade numerica de eletrons na materia eletricamente neutra esta relacionada com a densidade de massa por
Z > 1 n =< A
(3.82)
mU
onde Z e o numero at^omico e A e o numero de massa e mU e a unidade de massa
at^omica7. A media < Z=A > e tomada sobre a composica~o qumica da materia
como no caso de peso molecular medio e chamamos de e.
Z>
(3.83)
;e 1 < A
O valor correspondente da densidade n0 ca
0 = 3mU23e
c
Note que, a depend^encia da press~ao com a densidade e diferente em baixa densidade e em alta densidade. A raz~ao desta mudanca e que a contribuica~o para press~ao
vem da energia cinetica dos eletrons. Para a baixa densidade, o momento de Fermi
ca pequeno e o movimento dos eletrons ca n~ao-relativstico. Neste caso, a energia cinetica ca proporcional ao quadrado do momento de Fermi, e por sua vez,
proporcional a 2=3 . Por outro lado, para alta densidade, o maioria dos eletrons se
comporta relativsticamente, e a energia cinetica ca proporcional ao momento de
Fermi, ou seja, 1=3 . Assim,
( 5=3
0 Regime N~ao Relativ{stico
1 p! K
(3.84)
K2 4=3 0 Regime UltraRelativ{stico
7
A massa do ^atomo de 12 C dividido por 12.
3.4. Gas de Eletrons Degenerados e o Limite de Chandrasekhar
onde
32
2
K1 = 52 2~m (32)2=3 (mU e);5=3 (3.85)
1=3
K2 = ~4c 32 (mU e);4=3 :
(3.86)
Na Fig.4, e mostrado o graco da press~ao de gas de eletrons degenerados contra a
densidade.
A mudanca do valor do exponente , (chamado de ndice adiabatico)
p = K
(3.87)
de 5=3 para 4=3 provoca um fen^omeno extraordinario, a explos~ao de supernovas.
Mencionamos anteriormente que se o ndice politropico n for maior do que (n 3),
a estrela ca instavel. Isto corresponde a 4=3 ( = 1 + 1=n). Chandrasekhar
mostrou que para as an~as brancas, n~ao existe uma conguraca~o estavel para massas
maiores do que um certo valor. Este valor limite e obtido da Eq. 3.58 com o valor
de K dado pela Eq. (3.86). Assim temos
MChandra = 5:80
(3.88)
2 M e
onde M e a massa solar (2 1033 g). A exist^encia de tal limite para a estabilidade
estelar de uma an~a branca e facilmente compreendida da seguinte forma. Vamos
considerar uma massa M com uma distribuic~ao homog^enea (densidade constante)
numa esfera de raio R. A energia gravitacional neste caso ca
2
EGrav = ; 35 G MR :
(3.89)
Podemos considerar a press~ao devido a gravitac~ao do sistema como
1
@E
@E
Grav Grav pGrav ; @V = ; 4R2 @R M
M
1
1
4
3
(3.90)
= ; 20 GM 2 R4 = ; 5 ( 3 )1=3 GM 2=3 4=3
que deve ser contrabalancada pela press~ao de gas de eletron, Eq.3.84. Note que o
exponente da depend^encia em densidade 4=3 e exatamente igual aquele do limite
ultra-relativstico. Assim, o equilbrio so e possvel (veja Fig. 3) quando
1 G( 4 )1=3 M 2=3 < ~c 321=3 (m );4=3 U e
5 3
4
3.5. Teorema Virial
isto e,
M < 6:28 M e
33
(3.91)
o que n~ao e muito diferente da Eq.(3.88). A diferenca vem da aproximaca~o de
densidade constante que superestima o gradiente da press~ao.
3.5 Teorema Virial
Vamos considerar o equilbrio hidrostatico do ponto de vista microscopico. Suponha
que a materia estelar e composta de partculas cujas coordenadas ser~ao denotados
por
f~ri g :
A equac~ao de movimento e
2~r
d
mi dt2i = F~i
(3.92)
onde F~i e a forca que atua sobre a partcula i. Multiplicando os dois lados por ~ri
e somando sobre todas as partculas temos
X
X d2~ri
~ri F~i =
mi ~ri
(Xdt2
) X
d
d~
r
d~ri d~ri
i
=
m
~ri ;
m
i
i
dt
dt
dt dt
2
X
= d 2 1 mi~ri2 ; 2K
dt 2
2
= dtd 2 I ; 2K
(3.93)
onde I e o momento de inercia, que e constante para um estado de equilbrio do
sistema. Assim, temos
X ~
~ri Fi + 2K = 0:
(3.94)
i
Se a forca e apenas as forcas entre as partculas, podemos escrever
X~
F~i =
Fij F~ij =
j 6=i
;F~ji (3.95)
(3.96)
3.5. Teorema Virial
34
O primeiro termo da Eq.(3.94) pode ser escrito como
X ~ X~
~ri Fi = Fij (~ri ; ~rj ) i
(ii)
onde a soma deve ser feita sobre o par de ndices (i j ). Se a forca e apenas a forca
gravitacional,
F~ij = ;G mi mj (~ri ;3~rj ) :
j~ri ; ~rj j
Assim, temos
X ~
X
(3.97)
~ri Fi = ;G j~rm;i m~rj j = UGrav j
i
(ij ) i
onde UGrav e a energia gravitacional total do sistema. Finalmente temos
K = ; 21 UGrav :
(3.98)
Este e o teorema virial que relaciona o valor medio da energia cinetica das partculas
com a energia total gravitacional.
Na deduc~ao acima foi suposto que a materia se comporta como um gas ideal
(n~ao ha interac~ao entre as partculas exceto gravitaca~o). Um resultado mais geral
pode ser obtido pela equac~ao de equilbrio hidrostatico,
dp = ; GM (r) (3.99)
dr
r2
onde
Zr
M (r) 4 (r0)r02dr0
(3.100)
0
e a massa contida numa esfera de raio r. Analogamente podemos introduzir o
volume da esfera,
Zr
(3.101)
V (r) 4 r02 dr0 = 43 r3:
0
Multiplicando por V os dois lados da Eq.(3.99) e escolhendo as variaveis adequadas,
temos
V dp = ; 13 GM
(3.102)
r dM:
Integrando os dois lados para o interior da estrela, temos
ZR
r
=
R
pV jr=0 ; pdV = 13 UGrav :
(3.103)
0
3.5. Teorema Virial
35
Ja que o primeiro termo e nulo, nalmente temos
;3
Z
pdV = UGrav :
(3.104)
Se usarmos a equac~ao de estado de gas perfeito,
pV = NkT
(3.105)
e identicando a energia cinetica media por partcula como 3=2 kT , temos
Z
e, portanto,
obtendo o resultado anterior.
pdV =
Z
n kT dV
= 23 K
K = ; 12 UGrav (3.106)
(3.107)
As consequ^encias imediatas do teorema virial para uma estrela s~ao:
1. quanto mais colapsada a estrela (maior energia gravitacional), maior sera a
temperatura media, se a materia se comporta como um gas ideal.
2. para dois estados de equilbrio hidrostatico, a diferenca das energias cineticas
internas do gas e a metade da diferenca das energias gravitacionais dos dois
estados. Ou seja, para uma estrela colapsar, a metade da energia gravitacional
deve ser liberada para fora da estrela.
A primeira e trivial. A segunda mostra que para uma estrela colapsar, tem que
liberar energia. Caso n~ao libere energia, n~ao acontece o colapso. Desta forma, vemos
que o papel da luminosidade e essencial para o processo de evoluc~ao estelar.
4
Processos Microscopicos
Como podemos perceber pela discuss~ao do teorema virial no Captulo anterior,
os estados microscopicos da materia (por exemplo, a energia cinetica de cada
partcula) tem uma inu^encia determinstica para a estrutura estelar. Entretanto,
e obviamente impossvel discutir as propriedades de uma estrela partindo diretamente dos graus de liberdade microscopicos dos constituintes da materia. Felizmente, para a maioria dos fen^omenos astrofsicos, a natureza de longo-alcance
da interac~ao gravitacional e o fato de que seu efeito e desprezvel em escalas microscopicas permitem separar a din^amica macroscopica, regida pela gravitac~ao, da
propriedade local da materia, regida pelas outras interaco~es. Um outro fator importante e a escala de tempo caracterstico dos processos astrofsicos. Em geral,
a escala de tempo para a din^amica do sistema e muito maior que aquela para
os processos microscopicos que ocorrem localmente. Desta forma, as propriedades
da materia s~ao determinadas pelas medias das din^amicas dos graus de liberdade
microscopicos.
4.1 Equilbrio Termodin^amico
Vamos revisar um pouco de Termodin^amica e a Mec^anica Estatstica. Sabemos
que uma porc~ao de materia, independentemente da condic~ao inicial, sempre acaba
atingindo um estado chamado de estado de equilbrio termodin^amico. O tempo
necessario para alcancar o equilbrio termodin^amico e chamado de tempo de relaxac~ao termodin^amico. A Termodin^amica diz que as propriedades do estado da
materia em equilbrio s~ao descritas pela equac~ao fundamental,
E jEquil{brio = E (V S N )
(4.1)
onde E e a energia, V o volume, S a entropia e N e o numero de partculas. Para
varios tipos de partculas temos,
E jEquil{brio = E (V S fNig):
(4.2)
4.1. Equilbrio Termodinamico
37
Todas as quantidades acima s~ao extensivas. Por este motivo, sem perder generalidade, podemos trabalhar apenas com uma determinada quantidade de massa. As
quantidades extensivas para uma unidade de massa s~ao referidas como especcas.
Por exemplo, o volume especco e
V = 1:
Vespc = M
Daqui em diante, omitiremos o subscrito \ espc" sem prejuzo para a compreens~ao.
As quantidades intensivas s~ao denidas como
@E
p ; @V S fNi g
@E
T ; @S V fNi g
@E
i ; @N i V S
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Pela primeira lei da Termodin^amica, a variac~ao da energia da materia e dada
por a difer^enca entre a quantidade do calor que foi dado ao sistema e o trabalho
que o sistema ganhou de fora (supondo n~ao ha mudanca de numero de partculas
Ni0 s)'
!E = !Q + !W
(4.6)
Isto nada mais e que a conservaca~o da energia e sempre e verdade, mesmo que o
sistema n~ao esteja em equilbrio. Se a variac~ao for innitesimal, e se o estado do
sistema for mantido sempre em equilbrio termico durante esta variac~ao, podemos
ent~ao identicar as variac~oes de calor e de trabalho que o sistema recebe de fora
por
dQjEquil{brio = TdS
dW jEquil{brio = ;pdV:
(4.7)
(4.8)
Consequentemente, nos estados de equilbrio termico,
dE jEquil{brio = ;pdV + TdS:
(4.9)
4.1. Equilbrio Termodinamico
38
Este tipo de processo e reversvel e, em geral, so pode ser realizado se as variac~oes
das quantidades forem realizadas numa escala de tempo muito grande comparada
com o tempo de relaxac~ao para o equilbrio, eq . Ou seja,
_ _ Q W 1 (4.10)
Q W eq
de modo que o sistema mantem sempre seu estado de equilbrio. Por isso, muitas
vezes nos referimos a este processo como quase-estatico e o denotamos como qes
no lugar de equil. Quando houver variac~ao no numero de partculas, a equac~ao
correspondente a Eq.(4.9) sera
dE jqes = ;pdV + TdS +
X
i
idNi:
(4.11)
Quando a variac~ao do estado n~ao mantem o equilbrio termodin^amico, isto sempre provocara uma agitaca~o microscopica adicional, o que levara ao acrescimo da
entropia. Assim, a segunda lei da Termodin^amica estabelece que
dQ TdS:
(4.12)
Para entender melhor o signicado desta relaca~o, vamos considerar um gas connado num cilindro com pist~ao, termicamente isolado. Quando empurramos o pist~ao
lentamente, o trabalho da forca externa feito ao sistema e
;pdV
(4.13)
e a transfer^encia do calor e nula por ser termicamente isolado,
dQ = 0:
Assim,
dE jqes = ;pdV
Agora, o que acontecera se o empurr~ao do pist~ao for feito mais rapidamente de
forma que o gas n~ao tenha tempo de manter o equilbrio? Neste caso, como o cilindro e isolado termicamente, continuamos tendo dQ = 0, e portanto, pela primeira
lei,
dE = dW:
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
39
No entanto, a variac~ao da entropia n~ao e nula, e portanto, a variac~ao da energia,
apos re-adquirir o equilbrio, sera dado por
dE = ;pdV + TdS:
(4.14)
Assim, o trabalho feito pelo pist~ao n~ao ca igual a
;pdV
e sim
dW = ;pdV + TdS:
(4.15)
Escrevendo
dW = ;pef dV
temos
pef > p
(4.16)
ou seja, a forca efetiva que reage contra o pist~ao na hora do empurr~ao ca maior
que a press~ao. Isto ocorre porque o movimento do pist~ao transfere energia cinetica
adicional para o gas. Naturalmente para termos um efeito apreciavel, a velocidade
do pist~ao deve ser comparavel aquela do movimento termico do gas.
4.2 Equilbrio Local e Hidrodin^amico
Nas equac~oes acima, n~ao se fez necessario mencionar o conceito de variac~ao espacial das grandezas. Isto porque, em equilbrio, a materia e por denic~ao homog^enea. Para tratar da din^amica da materia, frequentemente utiliza-se o conceito
de equilbrio local. Neste caso, as escalas associadas as variac~oes (inhomogeniedade)
no espaco-tempo do sistema s~ao innitesimalmente menores comparadas com as
escalas microscopicas. Por exemplo,
1 dp 1 1 rp 1 (4.17)
p dt eq p lm
onde lm e a dist^ancia caracterstica microscopica. Podemos considerar lm como o
livre-percurso medio das partculas constituintes, m. As quantidades dos lados
esquerdos das Eqs.(4.17) denem as escalas de tempo e espaco hidrodin^amicas.
1 ' 1 dX 1 ' 1 rX (4.18)
h X dt lh X 4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
40
onde X e qualquer uma das quantidades termodin^amicas (densidade, press~ao, temperatura,..). Assim, se
h eq lh m
(4.19)
podemos ent~ao considerar que a materia esta localmente em equilbrio. Quando o
sistema em quest~ao tem dimens~ao espacial muito maior que lh,
d lh
podemos considerar uma celula de volume de ordem de lh3 como um elemento innitesimal d3~r do sistema e discutir a din^amica do sistema em termos da hidrodin^amica.
4.2.1 Descrica~o Euleriana e Lagrangeana da Hidrodynamica
Na hidrodin^amica sempre supormos que a materia esta em equilbrio local, i.e.,
em cada ponto de espaco, ~r e em cada instante t, existem valores bem denidos
de temperatura T , energia especca E , e entropia especca S para denir o estado termodin^amico da materia. A primeira coisa que temos que considerar e a
denic~ao das variaveis usadas para a descric~ao da din^amica do sistema. Como ja
mencionamos, estamos considerando o sistema como sendo uma colec~ao de celulas
innitesimais1 onde as propriedades termicas locais s~ao denidas. Podemos, ent~ao,
introduzir as seguintes variaveis:
i (t) : densidade de massa da i-esima celula,
~ri(t) : coordenadas do centro de massa da i-esima celula,
~vi (t) : velocidade do centro de massa da i-esima celula.
(4.20)
Note que o ndice i varia contiuamente no limite de celula innitesimal. Podemos
identicar o ndice i como a coordenada ~r0 da posic~ao inicial da celula. Desta
forma, cada celula carrega seu rotulo inicial, e a descrica~o din^amica segue as trajetorias das celulas. Este tipo da descric~ao e chamado de o sistema de coordenadas
Lagrangeano. Neste sistema, a variac~ao temporal acompanha o uxo da materia.
Uma outra forma de descrever a din^amica do sistema e investigar como os valores das quantidades em cada ponto xo no espaco, digamos ~r num sistema de
1 Aqui,
\innitesimal " no sentido de comparado com o escala caracterstica do sistema.
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
41
coodenadas xo no espaco, variam no tempo. Neste caso, as variaveis s~ao:
(~r' t) e ~v(~r' t):
(4.21)
Este sistema de coordenadas e chamado de Euleriano. No sistema de coordenadas
Euleriano, a variac~ao temporal n~ao acompanha o movimento da materia.
A derivada temporal no sistema Lagrangeano esta relacionada com aquela do
sistema Euleriano por
@ @ + ~v r
(4.22)
@t @t i
~r
e a denotamos como d=dt, ou seja,
@ d @ + ~v r
(4.23)
@t i dt @t
No sistema Euleriano existem 4 variaveis a determinar em cada posica~o ~r. Precisamos, portanto, de 4 equac~oes em cada posic~ao. A primeira delas e a equac~ao
de continuidade da massa,
@ + r (~v) = 0
(4.24)
@t
que representa a conservac~ao da massa, e as outras 3 v^em da equaca~o de Newton
para a celula innitesimal da materia na posic~ao ~r,
I
2
(4.25)
!m ddt~r2 = ; p~n dS~ + !V f~
onde !m e a massa do elemento de volume innitesimal, !V ,
!m = !V
e p = p(~r t) e a press~ao, ~n o vetor normal unitario do elemento de superfcie dS~ ,
e f~ e a forca externa por unidade de volume. O primeiro termo do lado direito e a
integral sobre a superfcie do elemento de volume, e podemos vericar facilmente2
que
I
Z
p~n dS~ = rp d3V ! rp !V:
(4.26)
2 Para
vericar, considere um elemento de volume quadratico, formado de 3 vetores innitesimais,
dx~e dy ~j dz ~k:
Expresse a integral nesta base e expande p = p(x y z) em dx dy e dz.
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
42
Assim, temos
v = ;rp + f~:
d~
(4.27)
dt
Usando a Eq.(4.23), podemos rescrever a Eq.(4.24) como
d + r ~v = 0
(4.28)
dt
e a Eq.(4.27) pode ser expressa como
@~v + (~v r)~v = ; 1 (rp ; f~):
(4.29)
@t
Esta ultima forma e conhecida como equac~ao de Euler.
Nos problemas comuns, a densidade de forca externa f~ e especicada como uma
func~ao de posic~ao ~r e t que em geral vem da interac~ao de forca de longo-alcance.
A forca gravitacinal na astrofsica e exatamente o caso. Um outro exemplo e o da
energia electrostatica na aplicaca~o da hidrodinamica na Fsica Nuclear. Quando a
viscosidade esta presente, esta tambem deve ser incluida.
A press~ao p e relacionada pela equac~ao de estado da materia,
p = p(V T )
(4.30)
com o volume especco V (= 1=) e a temperatura T . Aparece agora uma nova
incognita T ! Como determinar T = T (~r t)? Precisamos uma nova equac~ao. Para
este m, utilizamos a conservac~ao de energia local (a primeira lei da Termodin^amica)'
dE = ;p dV + T dS + X dN (4.31)
dt
dt
dt dt
onde E e a energia especca (energia por unidade de massa), V = 1=, e S e
a entropia especca. Note que a derivada temporal e a derivada total, ou seja,
a derivada no sistema Lagrangeano, acompanhando o movimento da materia. O
ultimo termo e necessario quando ha variac~ao de composica~o qumica e transmutac~ao das partculas. Por enquanto consideramos o caso em que a materia n~ao
muda a sua composic~ao qumica. Ent~ao,
dE = ;p dV + T dS :
(4.32)
dt
dt
dt
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
43
O ultimo termo e a soma de todas as taxas de variac~ao de calor da materia devido a viscosidade, gerac~ao de energia por reaco~es, esfriamento pela radiac~ao, etc
(lembre que estamos considerando os processos quase-estaticos do ponto de vista
Termodin^amico). Devemos expressa-lo como uma funca~o de t e de outras variaveis,
tais como ~r~v p e T '
1
T dS
=
G
(
~
r
~
v
p
T
)
=
_
; r jQ (4.33)
dt
onde _ e a produc~ao da energia por unidade de massa, e o ultimo termo corresponde
a perda de energia devido a luminosidade. Esta equaca~o determina a variac~ao
temporal da entropia, e por sua vez, determina a temperatura via
!
T = @E
(4.34)
@S V quando for dada a equac~ao fundamental da materia,
E = E (V S ):
(4.35)
Em resumo, a estrutura logica da Hidrodin^amica para obter a soluca~o na pratica
ca como segue3 :
1. Especicam-se as condic~oes iniciais para as variaveis. Isto e,
(~r' t0) ~v(~r' t0) S (~r' t0 )
s~ao dadas para todos os ~r0 2 &, onde & e o domnio do sistema.
2. Especicam-se as propriedades fsicas em termos das funco~es,
E (V S ) G(~r~v p T ) f~(~r~v p T ):
3. Dado os valores de (~r' t0 )~v(~r' t0) S (~r' t0), obtem-se p e T como
!
!
@F
p = ; @V T = @F
@S V S
3 O algoritmo aqui n~ao e necessariamente aquele usado na pratica para a resoluc~ao numerica de um
sistema hidrodin^amico devido a eci^encia e a instabilidade para obter derivadas numericas espaciais.
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
44
e por sua vez, calculam-se os lados direitos das equac~oes hidrodin^amicas,
@ (~r' t) = ;r (~v)
(4.36)
@t
@ ~v(~r' t) = ;(~v r)~v ; 1 (rp + f~)
(4.37)
@t
@ S (~r' t) = ;(~v r)S + 1 G(~r~v p T )
(4.38)
@t
T
4. Conhecendo-se as derivadas temporais, obtem-se os valores das variaveis para
o proximo passo temporal, t0 ! t0 + t 8 ~r.
5. Atualizam-se os valores das variaveis
(~r' t + t) ! (~r' t)
~v(~r' t + t) ! ~v(~r' t)
S (~r' t + t) ! S (~r' t)
e voltamos para a etapa 1.
O procedimento equivalente no sistema de coordenadas Lagrangeano pode ser
ilustrado como se segue.
1. Especicam-se as condic~oes iniciais para todos os ~r0,
~r0 (t0)~v~r0 (t0) S~r0 (t0 ):
Aqui, para enfatizar o carater de rotulo, a coordenada ~r0 e posta como ndice
das variaveis.
2. A posic~ao de cada celula e tambem uma variavel, ~r~r0 (t), com a condic~ao
inicial,
~r~r0 (t0 ) = ~r0 :
3. Resolve-se as equac~oes diferenciais (ordinarias) para todos os ~r0,
d~r~r0 = ~v (4.39)
~r0
dt
d~r0 = ; r ~v (4.40)
~r0
dt
v~r0 = ;rp ; f~
d~dt
(4.41)
(4.42)
T dSdt~r0 = G(~r0~v p T )
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
45
Os leitores devem vericar que os dois procedimentos s~ao equivalentes, apesar
de diferencas aparentes entre as Eqs.(4.36,4.37,4.38) e as Eqs.(4.39,4.40,4.41,4.42).
Devemos lembrar que, ao converter as derivadas temporais total e parcial, as quantidades extensivas s~ao dadas por unidades de massa (quantidades especcas). Seja
Q uma quantidade extensiva especca. Ent~ao, a densidade e o uxo desta quantidade s~ao:
q VQ = Q
(4.43)
e
~j ` = Q~v:
(4.44)
Suponha que a derivada total de Q e dada por'
dQ = !
(4.45)
dt
ent~ao, temos
@q + r ~j = @Q + ~v rQ
@t
@t
dQ
= dt = !
(4.46)
Quando o lado direito de uma equac~ao de continuidade n~ao e nulo como na
Eq.(4.46), chamamos este termo de fonte.
4.2.2 Hidrodina^mica Adiabatica, Onda de Som
A ttulo de ilustrac~ao vamos considerar um exemplo de aplicaca~o da Hidrodin^amica
para a descric~ao da propagaca~o de uma onda sonora. Em certas situaco~es, a
produc~ao de entropia pode ser considerada desprezvel ou nula. Neste caso, G 0
e a variac~ao da press~ao associada com a variaca~o de densidade deve ser calculada
sob esta condic~ao, que chamaremos de adiabatica. Por exemplo, no caso de gas
ideal, a equac~ao de estado e dada por
pV = NkT:
(4.47)
No entanto, n~ao podemos usa-la sem conhecer o valor de T . Note que a variac~ao
adiabatica do volume especco V alterara a temperatura4. Pelas leis da Termodin^amica, a conservac~ao da energia e entropia no caso de um gas ideal leva
4 Ate o
Newton esqueceu deste detalhe.....
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
46
ao resultado bem conhecido5 ,
V0 p = p0 V (4.48)
onde p0 e V0 s~ao valores no equilbrio e e chamado de ndice adiabatico. No caso
de um gas ideal n~ao relativstico, = 5=3.
As equac~oes s~ao
@ (~r' t) = ;r (~v)
(4.49)
@t
e
@ ~v(~r' t) = ;(~v r)~v ; 1 (rp + f~)
(4.50)
@t
onde p = p() e dada pela relac~ao adiabatica. Portanto, ja n~ao e mais necessaria a
conservac~ao de energia, formando um sistema fechado de duas equac~oes acopladas
com duas incognitas' e ~v.
Vamos considerar a propagaca~o de uma onda sonora numa materia homog^enea
em equilbrio. Neste caso, f~ 0. Usualmente, a variaca~o da densidade associada
ao som tem amplitude bastante pequena. Se este for o caso, podemos simplicar
as equac~oes fazendo uma aproximaca~o de linearizac~ao. Para este m, escrevemos
= 0 + (~r t)
(4.51)
5 A energia
e, portanto,
de um gas ideal pode ser expressa por
E = pV
; 1
dE = ;1 1 (pdV + V dp):
Por outro lado, da adiabaticidade (dS = 0), temos
dE = ;pdV:
Assim,
ou seja,
pdV + V dp = 0
p =V :
p0
V0
;
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
47
onde 0 e a densidade do equilbrio da media (constante em espaco-tempo) e j
j <<
0 . Para primeira ordem em , a Eq.(4.49) ca
_ = ;0 r ~v
(4.52)
Na mesma aproximac~ao, podemos escrever
!
1 rp ' 1 dp r
= 1 p0 r
(4.53)
0 d 0
0 0
Tomando a diverg^encia dos dois lados da Eq.(4.50) e substituindo nela as Eqs.(4.52,4.53),
temos6
2
(4.54)
0 ddt
2 = p0 r2
ou
1 d2
; r2 = 0
(4.55)
vs2 dt2
onde
v
! s
u
u
dp = p0
vs = t d
(4.56)
0
0
Uma soluc~ao da Eq.(4.55) tem a forma,
= f (~n ~r ; vst)
(4.57)
onde f e uma func~ao arbitraria e ~n e um vetor unitario numa direca~o qualquer. Esta
soluc~ao representa a propagaca~o de uma onda de compress~ao com a velocidade vs
na direc~ao de ~n. Esta e uma onda sonora
q p0 (onda de densidade). Assim, a velocidade
de som no meio e dado por vs = 0 . A forma da func~ao f e a direc~ao ~n s~ao
determidadas pela condic~ao inicial. A soluca~o mais geral pode ser obtido como a
combinac~ao linear destas soluc~oes.
4.2.3 Viscosidade, Equaca~o de Navier-Stokes
Quando o uido e viscoso temos que incluir o termo de fricca~o em f . Vamos considerar a equac~ao de movimento para um elemento de volume arbitrario,
d Z dV ~v = Z dV f~ + I dS f~
(4.58)
s
dt
6 O termo
(~v r)~v e obviamente de segunda order em , portanto nulo nesta aproximac~ao.
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
48
Como antes, f~ e a densidade de forca volumetrica e f~s e a forca aplicada ao volume
diretamente pelo contato com vizinhos atraves de superfceis do domnio. A press~ao
e um exemplo deste tipo. Quando a unica forca deste tipo e a press~ao, ent~ao
f~s = ;p~n
(4.59)
onde ~n e o vetor normal unitario de superfcie. Caso exista viscosidade, ent~ao a
forca de superfcie n~ao necessariamente ca perpendicular a superfcie. De forma
mais geral,
f~s = ^~n
(4.60)
onde ^ e uma matriz 3 3 chamada de tensor de stress. Novamente se n~ao houver
viscosidade, temos
0
1
p 0 0
^0 = ; B
(4.61)
@ 0 p 0 CA :
0 0 p
Esta forma tambem e valida se o uido estiver em repouso, o que e uma consequ^encia do teorema de Pascal. Em geral, ^ e uma func~ao da velocidade do uido,
^ = ^ (~v)
(4.62)
e ^ (~v = 0) = ^0 (Eq.4.61) pelo teorema de Pascal. Para uma pequena variac~ao
do campo de velocidade, podemos considerar que a forca de viscosidade depende
linearmente do campo de velocidade. Neste caso, a forma mais geral de um tensor
de stress deve ser dada por
0
1
0
1
p 0 0
1 0 0
^ = ; B
(4.63)
@ 0 p 0 CA + r ~v B@ 0 1 0 CA +
0 0 p
0 0 1
0 @v1 1
@v1 + @v2
@v1 + @v3 1
v @x
1 ; 3r ~
2
1
3
1
@x
@x
@x
@x
C
@v
@v
1
@v
@v
@v
2
2
2
3
1
+ B
+
;
r
~
v
+
@ @x2 @x1 @x2 3
3
2 A
@x
@x
@v1 @v3
@v2 @v3
@v3 1
@x3 + @x1
@x3 + @x2
@x3 ; 3 r ~v
Esta forma e uma consequ^encia da decomposic~ao de ^ em uma parte escalar (os
dois primeiros termos) e um tensor irredutvel de ordem 2 (ultimo termo). Os
dois novos par^ametros, e devem ser determinados ou empiricamente, ou por
uma teoria microscopica. A grandeza e referida como o coeciente de viscosidade
volumetrica, e como o coeciente de viscosidade de tors~ao.
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
Com a notac~ao,
0P @ 1
B@ P @x@ ii 12ii CA = r ^
P @x@ @xi 3i
49
(4.64)
e utilizando o teorema de Gauss, junto com a equac~ao de continuidade7, a Eq.(4.58)
ca expressa em forma diferencial por
@ ~v + (~v r) ~v] = f~ + r ^ :
@t
(4.65)
Utilizando a Eq.(4.63) temos,
@ ~v + (~v r)~v
@t
(4.66)
= f~ ; rp + 3 3+ r(r ~v) + r2~v:
Esta e a forma mais geral da equac~ao de movimento de um uido com pequena
viscosidade.
Quando o movimento do uido e considerado incompressvel, ou seja,
d = 0
dt
ou equivalentemente,
r ~v = 0
a Eq.(4.66) se reduz a
@ ~v + (~v r)~v = f~ ; rp + r2~v
@t
7 Note
que o lado esquerdo da Eq.(4.58) pode ser expresso como
d
dt
Z
ja que obviamente
devido a conservac~ao de massa.
Z
Z
~vdV = dtd ~vdm = (dm dtd ~v + ~v dtd dm)
Z d Z d
=
dm dt ~v = dV dt ~v
d
dt dm = 0
(4.67)
(4.68)
4.2. Equilbrio Local e Hidrodinamico
50
que e conhecida como Equac~ao de Navier-Stokes.
Para um uido compressvel, mas se o seu movimento for irrotacional,
r ~v
= 0
(4.69)
podemos expressar o campo de velocidade em termos do potencial ~v = r:
Neste caso, temos
r(r ~v ) = r2~v
= r(r2 )
de modo que a Eq.(4.66) ca (com = 0)
@ ~v + (~v r)~v = f~ ; rp + 4 r(r ~v) : (irrotacional)
@t
3
(4.70)
(4.71)
(4.72)
4.2.4 Variaca~o de Composica~o Qumica, Reaco~ es
Quando ocorrem reac~oes (qumicas ou nucleares) na materia, a composic~ao qumica
e alterada e, naturalmente, temos seu efeito na din^amica. Alem da mudanca na composic~ao, as reac~oes tambem causam a produc~ao (ou absorca~o) da energia interna.
Tais processos tambem podem ser incorporados no esquema da Hidrodin^amica,
desde que as taxas das reac~oes sejam sucientemente pequenas para manter o
equilbrio local. Devemos incluir as novas variaveis para representar os graus de
liberdade adicionais. Introduzimos as densidades (numericas) de cada tipo de componente de unidade de massa da materia, fn = 1 2 :: mg, onde m e o numero
de especies qumicas. Frequentemente a variac~ao temporal destas densidades e descrita na forma de equac~ao-mestre que expressa o balanco de ganho e perda de
cada componente atraves da taxa de reac~ao. Isto pode ser expresso pela equac~ao
de continuidade com fonte,
(
)
@n (~r' t) + r ~j = X * + X R n n
! @t
(4.73)
onde j = n~v e * e a matriz da taxa de decaimento e de produc~ao, R e o
coeciente da taxa de reac~oes. Estas quantidades em geral s~ao func~ao de f T g
4.3. Estrutura Estelar - Caso Estatico
51
e em certas situac~oes, dependem tambem do proprio fn g. A Eq.(4.73) deve ser
resolvida simultaneamente com
@ (~r' t) + r (~v) = 0
@t
@ ~v(~r' t) + (~v r)~v = 1 ;rp + f~ + 3 + r(r ~v) + r2~v]
@t
3
@ s(~r' t) + r ~j = G(~r~v p T fN g):
(4.74)
s
@t
T
Um exemplo deste tipo de equac~oes sera dado no captulo de Evoluca~o Estelar, em
partucluar, em relac~ao a cadeia pp e ao crculo CNO.
4.3 Estrutura Estelar - Caso Estatico
Para o estudo da estrutura estelar, exceto algumas etapas da sua evoluca~o, podemos
considerar que a estrela tem uma estrutura quase-estatica. Neste caso, podemos
desconsiderar o efeito da variac~ao temporal. As equaco~es hidrodin^amicas, neste
limite, cam
;rp + f~ = 0
(4.75)
e
(4.76)
G = _ ; 1 r jQ = 0
com
f~ = ;rUGrav :
Vamos considerar o caso esfericamente simetrico como uma boa aproximac~ao para
uma estrela. Neste caso, a Eq.(4.75) se reduz a Eq.3.44
dp = ;4G Z r (r0)r 2dr (4.77)
dr
r2 0
enquanto a Eq.(4.76) ca
1 d r2j = _
(4.78)
r2 dr Q
onde jQ e a componente radial do uxo do calor. Se denimos a luminosidade
(termica) L(r) como o uxo de calor da superfcie de raio r, temos
0
L(r) = 4r2jQ
0
(4.79)
4.3. Estrutura Estelar - Caso Estatico
52
e, portanto, podemos expressar a Eq.(4.78) como
dL = 4r2 _ :
(4.80)
dr
Neste ponto precisamos especicar a origem da luminosidade. Quando a radiac~ao
tambem esta em equilbrio termico, sabemos que o uxo de energia emitida por
unidade de area e dada pela formula de corpo negro,
"rad = T 4:
(4.81)
Assim, para dois elementos de volume com uma diferenca de temperatura !T que
est~ao em contato numa situac~ao estacionaria, o uxo de energia termica que passa
de um para outro sera
jQ = "rad(T ) ; "rad(T + !T ) = ;4T 3!T:
(4.82)
Uma vez que a dist^ancia tpica que separa dois estados de equilbrio termico deve
ser da ordem do livre-percurso medio do foton, temos
jQ ' ;4T 3 dT
(4.83)
dx livre:
Finalmente, escrevemos o uxo de energia termica como
~jQ = ; 4 ac rT 4
(4.84)
3 onde e chamado de coeciente de absorc~ao (opacidade)8. Desta forma, o gradiente
da temperatura esta associado com a luminosidade,
dT = ; 3 L
(4.85)
dr
4acT 3 4r2
Nesta situac~ao, a transmiss~ao de calor e feita via difus~ao de fotons da regi~ao de
alta temperatura para a de baixa temperatura. Quando isto acontece, dizemos que
o sistema esta em equilbrio radiativo.
8 Note
que
livre = < 1> n
onde < > e o valor medio da seca~o de choque de absorc~ao do foton na materia. O fator 4=3 vem da
media angular.
4.3. Estrutura Estelar - Caso Estatico
53
Vamos ent~ao considerar uma esfera em equilbrio radiativo, hidrostatico. Para
que tal situac~ao aconteca a materia estelar deve ser bem opaca para a radiac~ao.
Por outro lado, se o sistema for estritamente estatico, n~ao havera nem produc~ao
de energia nem de luminosidade, portanto, a unica soluc~ao consistente seria T = 0
para toda a estrela.
Assim, temos que considerar o caso em que a produca~o de energia, _, n~ao e
nula, e consequ^entemente deve haver uma variac~ao na composic~ao qumica. Por
outro lado, para manter a estrutura quase-estatica, e necessario que esta produc~ao
de energia n~ao altere substancialmente a composica~o da materia dentro de um
intervalo de tempo pequeno comparado com a vida da estrela. Nestas condico~es,
podemos resolver as 3 equac~oes'
dp = ;4G Z r (r0)r 2dr (4.86)
dr
r2 0
dL = 4r2 _
(4.87)
dr
dT = ; 3 L :
(4.88)
dr
4acT 3 4r2
Naturalmente, e necessario especicar as seguintes funco~es que determinam as propriedades da materia estelar,
p = p( T )
(4.89)
_ = _( T )
(4.90)
= ( T ):
(4.91)
A condic~ao contorno em r = 0 e
0
0
L(0) = 0
dp = 0
(4.92)
dr
dT = 0:
dr
Podemos resolver o sistema dando, por exemplo, os valores de densidade e temperatura no centro, r = 0. Na superfcie onde = 0 (ou p = 0), podemos calcular a
massa
ZR
M = 4 r2 dr:
(4.93)
0
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
54
Na superfcie, p = 0, e a temperatura deve se anular, tambem. Entretanto, para um
par de valores iniciais arbitrarios de 0 e T0 , isto n~ao acontece. Para um dado 0 ,
podemos ajustar T0 de tal forma que na superfcie tivessemos T = 0. Isto constitui
uma especie de problema de autovalor. Desta forma, podemos determinar o raio
R, a luminosidade supercial L, e a massa M . A temperatura supercial seria zero
pela denica~o, mas naturalmente este n~ao sera o valor observavel. A temperatura
observada pode ser obtida utilizando, ou a relac~ao de corpo negro,
4 = L,
4R2Teff
ou o calculo de profundidade otica, que dene o raio de fotoesfera, Rf
Z1
dr = 23 :
Rf
(4.94)
(4.95)
O equilbrio radiativo, Eq.(4.88), n~ao necessariamente sempre realizado. Quando
a taxa de produc~ao de energia for muito grande, tal que o gradiente de temperatura
n~ao consiga dar conta de transmitir a energia para fora sucientemente, o que ocorre
e uma corrente de convecca~o, pois a conguraca~o dada pelo equilbrio radiativo ca
instavel. Nesta situaca~o, surge uma camada convectiva. No equilbrio convectivo,
temos dS=dr = 0, e, portanto, devemos usar a relac~ao,
dT = ;2 ; 1 T dp (4.96)
dr
;2 p dr
onde ;2 e o segundo ndice adiabatico. Assim, o gradiente da temperatura deve ser
calculado como o menor das duas possibilidades,
(
)
dT = ; min 3 L ; ;2 ; 1 T dp :
dr
4acT 3 4r2
;2 p dr
4.4 Teoria Cinetica dos Gases e Fen^omeno de Transporte
O primeiro trabalho cientco que contribuiu para a formulac~ao da Termodin^amica
foi apresentado por Carnot em 1824, com o ttulo de Reexions sur la puissance
motrice du feux et sur les machines propres a developper cette puissance. O conceito de processo quase-estatico tambem foi introduzido aqui. Este trabalho n~ao
chamou muita atenc~ao da comunidade na epoca, mas o ponto fundamental sobre
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
55
o calor que Carnot levantou foi desenvolvido na forma de Termodin^amica posteriormente por Thomson (Lord Kelvin) e Clausius. O princpio da Termodin^amica
e bastante geral e sua formulaca~o leva a descric~ao quantitativa da propriedade
termica da materia. Por outro lado, a Termodin^amica n~ao determina uma equac~ao
fundamental, Eq.(4.1) para uma dada materia. Para cada materia, esta equac~ao
tem que ser determinada empiricamente. No nal do seculo 19, na epoca em que
a equival^encia entre energia e calor, via Termodin^amica, foi estabelecida, tambem
estava sendo proposta a exist^encia de atomos como constituintes da materia. N~ao
demorou muito para Helmholz e Clausius lancassem a ideia de que o calor e um
tipo de energia carregada pelo movimento dos atomos da materia, o que serviu
como a semente da Mec^anica Estatstica.
4.4.1 Funca~o de Distribuica~o e Equilbrio Termico
Na teoria cinetica dos gases, a quantidade basica e a func~ao de distribuic~ao de
partculas no espaco de fase,
f (~r ~p' t):
(4.97)
Assim, a probabilidade de achar, num determinado instante t, uma patcula na
posic~ao ~r , com momento ~p e dada por
dP = f (~r ~p' t) d3~r d3~p
(4.98)
A mec^anica estatstica prop~oe calcular esta funca~o a partir da Hamiltoniana do
sistema. Quando o sistema estiver em equilbrio, n~ao ha depend^encia nem em ~r
nem em t, de modo que
f ! feq (p~):
(4.99)
Uma das quest~oes fundamentais e: \Qual e o mecanismo para o qual a func~ao
de distribuc~ao tende a convergir para feq (p~), independentemente da condica~o inicial? Qual e a forma de feq ? ". Estas quest~oes foram discutidas pelos fundadores
da Mec^anica Estatstica, tais como Maxwell, Boltzman, casal Ehrenfest, Gibbs
e outros. A ideia e considerar que a forma da func~ao feq e a distribuc~ao mais
provavel dentro de todas as possibilidades compatveis com o sistema. Como estamos considerando um sistema macroscopico, mesmo xando o numero total de
partculas e a energia total, existem (quase) innitas maneiras de distribuir a energia para cada partcula. Como as partculas colidem entre si, acabam trocando
energia e momento. O estado do sistema microscopico, assim, vai mudando violentamente no tempo. Mas, para um observador macroscopico, os micro-estados
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
56
de cada partcula quase n~ao t^em impacto nos observaveis. Assim, o que observamos nas propriedades termodin^amicas deve ser determinado praticamente pela
distribuic~ao mais provavel. A distribuica~o mais provavel pode ser denida como
a distribuic~ao que tem o maior numero de micro-estados sob uma dada condic~ao
fsica.
Boltzman tentou formular esta ideia em termos de sua famosa equac~ao, atualmente chamada Equac~ao de Boltzman. Usando esta equac~ao para uma funca~o de
distribuic~ao f (~r ~p' t), Boltzman introduziu a quandidade9 ,
H (t) =
Z
d3~r
Z
d3p f ln f
(4.100)
e mostrou que sempre temos
dH < 0:
(4.101)
dt
Baseando neste resultado, Boltzman concluiu que a quantidade H deve estar associada com a entropia do sistema,
S = ;kH
(4.102)
Na epoca, o teorema H de Boltzman foi alvo de grande discuss~ao. Hoje, sabemos que a equaca~o de Bolzman n~ao e uma equaca~o exata, e portanto, a prova de
Boltzman sobre a segunda lei da Termodin^amica n~ao era correta. Mas, a ideia de
relacionar a entropia com o logaritmo do numero de micro-estados foi fundamental
para os desenvolvimentos posteriores.
Como um exemplo simples, vamos considerar um estado de equilbrio. Neste
caso,
f = f (p~):
9 Se a densidade de probabilidade de encontrar uma partcula e p, ent~ao, pdV = N seria o numero
medio de partculas que ocupam o volume de espaco de fase, dV . Assim, a probabilidade de ter o numero
de partcula igual ao valor medio neste vulume sera
pN :
Assim, a probabilidade de um sistema ter uma congurac~ao de partculas, ocupando cada celua do espaco
de fase por seus numeros medios e dada por
pN :
A func~ao H e o logaritmo desta quatidade.
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
57
Esta distribuic~ao deve corresponder ao maximo da entropia. Procuramos obter a
equac~ao para f pelo princpio variacional'
Z
d3~p f ln f = 0
(4.103)
juntamenteo com os vnculos,
Conservac~ao do numero de partculas,
Conservac~ao da energia,
Z
N = d3~p f = 0
(4.104)
Z
E = d3p~ E (p) f = 0
(4.105)
onde E (p) e a energia da partcula de momento ~p. Utilizando as constantes multiplicadoras de Lagrange, temos
ou
Assim, temos
Z
d3~p f fln f + + E (p)g = 0
(4.106)
ln f + 1 + + E (p) = 0:
(4.107)
feq (p) = e ;E(p)
(4.108)
onde as constantes ;1 ; e devem ser determinadas pelas condic~oes,
Z
feq (p)d3~p = N
(4.109)
Z
feq (p)E (p)d3~p = E
(4.110)
No caso de um gas perfeito, a energia de uma partcula isolada e
2
E (p) = 2pm :
(4.111)
Podemos vericar que
1
(4.112)
= kT
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
e
58
:
= kT
(4.113)
A distribuic~ao dada pela Eq.(4.108) nada mais e do que a distribuic~ao de MaxwellBoltzman.
A discuss~ao acima foi baseada na Mec^anica Classica de partculas livres. Quando
o efeito qu^antico se torna importante, devemos incluir a natureza de indistinguibilidade das partculas no sentido qu^antico. Todas as partculas da Natureza se classicam em dois tipos: Fermion e Bosons. Os bosons obedecem a estatstica de
Bose-Einstein e, como consequ^encia, sua distribuica~o de momento em equilbrio e
dada por
(4.114)
fBose(p~) = eE(p)1; ; 1 enquanto que os fermions obedecem a estatstica de Fermi-Dirac. A distribuica~o de
momento em equilbrio para fermions ca,
fFermi(p~) = eE(p)1; + 1 :
(4.115)
Note que para T ! 0, a Eq.(4.115) tende a
(
< fFermi ! 10 E
(4.116)
E > o que concide com a distribuic~ao de momento do gas de Fermion completamente
degenerado que discutimos anteriormente.
Quando o sistema n~ao esta em equilbrio, como a funca~o de distribuic~ao varia no
tempo? Como o sistema atinge o equilbrio? Para responder a estas perguntas, calculamos a variac~ao temporal da funca~o de distribuc~ao, @f=@t. Quando as partculas
n~ao interagem entre si, esta variac~ao ocorre pelo escoamento das partculas no
espaco de fase. Esta variac~ao e
Df = @f + ~p @f + F~ @f (4.117)
Dt @t m @~r
@~p
onde F~ e a forca externa. Pelo teorema de Liouville, temos
Df = @f + p~ @f + F~ @f = 0:
(4.118)
Dt @t m @~r
@~p
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
59
Este e o caso de partculas independentes. Se as partculas interagem entre si,
ent~ao o teorema de Liouville n~ao vale. A variac~ao da funca~o de distribuic~ao ocorre
tambem devido as colis~oes entre partculas, alterando suas congurac~oes'
!
@f + p~ @f + F~ @f = @f
(4.119)
@t m @~r
@~p
@t Col :
O termo do lado direito e chamado de termo de colis~ao. Para expressar o termo de
colis~ao, precisamos saber como ocorrem as colis~oes entre as partculas.
4.4.2 Seca~o de Choque
Para expressar a taxa de reac~ao entre duas partculas, em geral utlizamos uma
quantidade chamada de sec~ao de choque. A seca~o de choque e denida como a taxa
de transic~ao de um estado inicial para um determinado estado nal por unidade
de uxo incidente por colis~ao. Na linguagem experimental, a taxa de transic~ao e
determinada pela contagem dos eventos ocorridos por unidade de tempo. Suponha
que um detector registra eventos de uma quantidade fsica, digamos , (por exemplo, ^angulo, momento, energia,..) dentro de um intervalo + ! ]. Seja !C
o numero de contagens que este detector registrou num intervalo de tempo !t. A
sec~ao de choque (parcial) d e ent~ao calculada por
(4.120)
! = !T !CN = N !NC =A
alvo
inc alvo
onde representa o uxo incidente, Nalvo e Ninc s~ao, respectivamente, os numeros
de alvos e particulas incidentes envolvidos no processo, e A e a area transversal
do uxo incidente. Note que tem a dimens~ao de area. Para ! sucientemente
pequeno, ! ca proporcional a !. Assim, denimos a seca~o de choque diferencial
por
d = lim ! :
(4.121)
d !0 !
A soma total desta quantidade em relac~ao a ,
Z d
= d d
(4.122)
e a sec~ao de choque total.
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
60
Vamos considerar um exemplo simples. Um uxo de partculas puntiformes com
massa m e energia Einc, incide ao longo do eixo Z , sobre uma esfera de raio R com
superfcie rgida sem atrito, xa na origem. O uxo incidente e denido como o
numero de partculas que atravessam uma unidade de area transversal a direc~ao
do uxo por unidade do tempo e esta relacionado com a densidade numerica de
partculas, n e sua velocidade, v,
= vn:
(4.123)
O ponto importante e que as partculas incidentes se distribuem homogeneamente
no plano perpendicular ao uxo n~ao sendo possvel identicar suas trajetorias individualmente. Portanto devemos tratar essa quest~ao estatisticamente. Neste simples
exemplo, as partculas que colidem com a esfera tendo o par^ametro de impactob10,
sempre se espalham com ^angulo , (chamado de ^angulo de espalhamento, ver Fig.
4), sendo
!
;
1
, = ; 2 = ; 2 sin Rb
(4.124)
Inversamente, se uma partcula for espalhada com o ^angulo ,, o parametro de
impacto da partcula sera
,
,
b = R sin 2 ; 2 = R cos 2 :
(4.125)
Assim, o numero de partculas espalhadas num intervalo de ^angulo, , , + d,]
tem de ser igual ao numero de partculas que entram no intervalo, b(,) b(, + d,)].
Pela condic~ao inicial, o numero de partculas que entram neste intervalo por unidade
de tempo por alvo e dado pela area vezes o uxo,
N=dt = 2bdb (4.126)
que e, por sua vez, igual ao numero de partculas espalhadas no intervalo de ^angulo
por unidade do tempo, isto e, a taxa de espalhamento por alvo. Assim, temos
d = 1 N 1 = 2b db = R2 cos , sin ,
d, d,
dt d,
2 2
= 2 R2 sin ,:
(4.127)
10 A dist^ancia
entre a trajetoria incidente e o eixo z.
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
61
Em termos de ^angulo solido, temos
d = 1 R2
(4.128)
d& 4
Ou seja, o espalhamento de partculas puntiformes classicas por uma esfera dura e
isotropico. A sec~ao de choque total ca,
Z
= d = R2 (4.129)
que e a area transversal da esfera.
Este exemplo mostra que a sec~ao de choque e nada mais do que a area efetiva do
alvo visto pela partcula incidente para determinado processo. O mesmo conceito
pode ser aplicado para o processo de reaco~es mesmo n~ao existindo um par^ametro
geometrico, como no caso do espalhamento. O importante e lembrar que a taxa de
reac~ao !i!f por alvo e dada por
!i!f = :
(4.130)
4.4.3 Equaca~o de Boltzman
Vamos aplicar este conceito para calcular o termo de colis~ao. Suponha que o gas e
bastante diludo de modo que as colis~oes ocorrem so entre as pares de partculas
apenas, ou seja, n~ao ocorrem colis~oes envolvendo mais do que duas partculas simultaneamente. Consideremos uma partcula com o momento p~1 na posic~ao ~r e
instante t. A taxa de colis~ao desta partcula com outras partculas e dada pela
integral sobre todos os momentos das partculas que incidem,
Z
w1+2!1 +2 = d3p~2"(p~1 p~2) (j~p1 ; ~p2j)
0
0
(4.131)
onde "(p~1 p~2 ) e o uxo da partcula 2 dentro do meio e e a seca~o de choque
total de colis~ao das partculas com momento ~p1 e p~2 . Pela invari^ancia translacional
do problema de colis~ao de dois corpos, esta e apenas func~ao do momento relativo,
j~p1 ; ~p2 j. A densidade de probabilidade de colis~oes por unidade de tempo que ocorre
para qualquer partcula que tenha momento p~1 e dada por
!
dn = w
(4.132)
dt ; 1+2!1 +2 f (~r ~p1' t)
0
0
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
62
Ja que as colis~oes alteram o momento da partcula, o numero de partculas que
estavam com o momento p~1 diminue pela taxa acima. Por outro lado, existem
as partculas que adquirem o momento nal p~1 , apos a colis~ao. Analogamente a
Eq.4.131 podemos escrever
! Z
dn = d3~p0 f Z d3~p0 "(p~0 ~p0 ) d3 (jp~0 ; p~0 j)
(4.133)
1 1
2
1 2 d~p
1
2
dt +
1
onde dd~3p e a sec~ao de choque diferencial e f1 = f (~r p~1' t). O termo de colis~ao e
dado por
!
! !
dn
= dn ; dn
(4.134)
dt Col
dt +
dt ;
Na Eq.4.131, a sec~ao de choque total pode ser expressa em termos de sec~ao de
choque como
Z
3
d
3
0
= d p1 d~p0
(4.135)
portanto,
1
! Z
dn = d3p~0 f Z d3p~ "(p~0 p~0 ) d3 (j~p0 ; ~p0 j):
2
1 1
1 2 d~p0
1
2
dt ;
1
(4.136)
Agora, vamos considerar o uxo, ". Para dada partcula com momento ~p1 e
posic~ao ~r, qual e a probabilidade de encontrar uma outra partcula com o momento
~p2 ao seu redor? Uma resposta simples seria
f (~r ~p2' t)
(4.137)
e portanto,
" = j~v1;2j f (~r ~p2' t)
(4.138)
onde ~v1;2 e a velocidade relativa entre as partculas de momento ~p1 e ~p2, respectivamente. Alem disto, para o processo de colis~ao reversvel, temos o balanco detalhado,
d3 (jp~ ; p~ j) = ~v 0 d3 (j~p0 ; p~0 j):
j~v1;2 j
(4.139)
1;2 d~p0 1
2
d~p 1 2
Finalmente, a equac~ao de Boltzman e escrita como
"
#
@f + ~p @f + F~ @f = Z d3~p Z d3p~ v d3 (f 0 f 0 ; f f ):
(4.140)
1
2
@t m @~r
@~p
d~p3 1 2 1 2
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
63
Nas primeiras tentativas, Boltzman utilizou esta equaca~o para provar o teorema H .
Rigorosamente falando, esta equac~ao contem um hipotese fundamental, Eq.(4.138),
que pode parecer perfeitamente correta. Na realidade, para um sistema em interac~ao, n~ao e sempre verdade que a probabilidade de se achar uma outra partcula
na vizinhanca de uma dada partcula seja dada por Eq.(4.137). Em outras palavras,
quando existe uma correlac~ao entre as partculas a probabilidade de se achar um
par de partculas n~ao e dada pelo produto das probabilidades de se achar cada
uma, separadamente. Entretanto, nas maioria dos casos de gas em alta temperatura, pode-se considerar a Eq.(4.140) correta.
A descric~ao din^amica da funca~o de distribuica~o como Equaca~o de Boltzman e
chamada de teoria de transporte. Quando o sistema atinge o equilbrio termico,
ent~ao, o termo de colis~ao se torna nulo. Por exemplo, utilizando a Equac~ao de
Boltzman, a distribuic~ao de momento que anula o termo de colis~ao e dada pela
distribuic~ao de Maxwell-Boltzman. Alem disto, podemos deduzir as equac~oes da
Hidrodin^amica a partir da Equac~ao de Boltzman como consequ^encia da conservac~ao
de massa, momento e energia.
Vamos investigar o transporte de neutrinos no interior de uma estrela como exemplo. Os neutrinos interagem com a materia apenas por intermedio da interac~ao
fraca a qual, nas condic~oes usuais, e extremamente pequena. Desta forma, os neutrinos em geral escapam da estrela quase livremente. Assim, nos cenarios de evoluc~ao
estelar, o papel dos neutrinos e apenas o de retirar energia do sistema. Entretanto,
no nal da evoluc~ao estelar, quando a densidade da materia atinge densidades
acima de ~1011g=cm3, a materia comeca a se tornar opaca para os neutrinos e se
nicia o processo de connamento deles no interior da estrela. Para descrever estes
processos, e necessario utilizar a equac~ao de transporte. No caso de neutrinos, em
geral, as colis~oes com a materia s~ao mais importantes do que as interac~oes entre
eles. Ou seja, o termo de colis~ao vem da colis~ao de neutrinos com a materia. Os
neutrinos interagem com eletrons e nucleos. As colis~oes entre neutrinos podem ser
disprezadas.
Vamos considerar o processo de colis~ao entre um neutrino de momento ~k e uma
outra partcula massiva cujo momento e p~. Como a massa do neutrino e nula11, sua
velocidade em relac~ao a qualquer outra partcula massiva e c (velocidade da luz).
11 Certos
problemas atuais de Fsica de Partcula e Astrofsica (ver a discuss~ao sobre o neutrino solar)
poderiam ser resolvidos com massa n~ao nula para o neutrino.
4.4. Teoria Cinetica dos Gases e Fenomeno de Transporte
64
Se a materia estiver em equilbrio as partculas, exceto os neutrinos, devem
obedecer a distribuic~ao de equilbrio, ou seja, a distribuic~ao de Maxwell-Boltzman.
O termo de perda ca
!
Z
Z
3
dn
3
3 0 d v ()
~
=
f
v (~r k' t)c d ~p fEq (p~) d p~
dt ;
d~p01
= c n(~r) < > fv (~r ~k' t)
(4.141)
onde < > e o valor medio da sec~ao de choque total de neutrinos com a materia
e n(~r) e a densidade da materia. A media e feita sobre as distribuic~oes de equilbrio
das partculas.
O termo de ganho ca,
!
dn = c Z d3p~ Z d3~k0 f (p~) f (~r ~k' t) d3v ():
Eq
v
dt +
d~k
(4.142)
A equaca~o de transporte para o neutrino e, portanto,
@fv + ~k @fv
@t E (k) @~r
Z
Z
3
= c d3~p d3~k0 fEq (p~) fv (~r ~k' t) d ~v () ; c n(~r) < > fv (~r ~k' t):
dk
(4.143)
onde eliminamos o termo de forca externa, F~ . Quando a opacidade da materia e
grande, a distribuica~o de momento dos neutrinos tende a distribuica~o de equilbrio.
Se a distribuic~ao de neutrinos car bem proxima da distribuica~o de equilbrio, o
lado direito da equac~ao acima tende a se cancelar. Assim, devemos expandir a
func~ao de distribui~ao em torno da func~ao de equilbrio termico de tal forma que os
termos que v^em do primeiro termo da expans~ao se cancelam. Neste caso, a proxima
contribuic~ao n~ao nula contem o gradiente da funca~o f , e diz se que o processo de
transporte esta no regime de difus~ao.
5
Evoluc~ao Estelar e Nucleo-S
ntese
O tratamento estatica da estruruta estelar no captulo anterior foi bastante simplicado. Na pratica, n~ao temos meios de saber, a priori, a composic~ao qumica no
interior de uma estrela e, portanto, n~ao podemos calcular a opacidade, a equac~ao
de estado, etc. Um outro ponto que deve ser considerado e que a taxa de produc~ao
de energia vai alterar a composic~ao qumica e provocar a variac~ao da estrutura
estelar com o tempo. Assim, para saber a estrutura estelar devemos seguir sua
evoluc~ao temporal desde incio. Neste captulo, vamos estudar como uma estrela
evolui no tempo. O signicado do diagrama HR ca mais claro com o entendimento
dos processos de evoluc~ao estelar. A origim da abund^ancia dos elementos qumicos
no universo esta tambem intimamente relacionados com evoluc~ao estelar.
5.1 Equaco~es para Evoluca~o Temporal
Exceto durante algumas fases extremamente violentas, podemos ainda considerar
que a estrutura estelar esta num estado de quase equilbrio hidrostatico, ou seja, o
efeito do campo de velocidades pode ser desprezado. Isto n~ao quer dizer que n~ao
ocorra variac~ao temporal das outras quantidades, como por exemplo a entropia, a
composic~ao qumica, etc. Assim, as equaco~es que precisam ser tratadas s~ao:
dp = ;4G Z r (r0)r 2dr (5.1)
dr
r2 0
dL = 4r2 _ ; T dS (5.2)
dr (
dt
)
dT = ; min 3 L ; ;2 ; 1 T dp
dr
4acT 3 4r2
;2 p dr
e
(
)
dN = X * + X R N N
(5.3)
! dt
0
0
5.1. Equacoes para Evolucao Temporal
A taxa de produc~ao de energia _ esta relacionada com a taxa das reaco~es
X
_ = dN
dt
66
(5.4)
onde e o potencial qumico da especie 1. Quando existe um partcula que
escapa livremente da materia, ou seja, os neutrinos, a taxa de energia carregada
pelos neutrinos deve ser subtrada,
X
_ = dN
(5.5)
dt ; _ :
Para uma evoluc~ao quase-estatica, podemos determinar, a cada instante, a estrutura estelar considerando fN g e S constantes. O procedimento e analogo ao anterior. Mas, neste caso, precisamos manter a massa total M , como condica~o de contorno. Comecamos com uma dada condica~o inicial de composica~o qumica (usualmente tomamos uma composic~ao homog^enea de Hidrog^enio, ou a abund^ancia do
Sistema Solar), e dS=dt = 0 no tempo t = 0. Uma vez obtida a conguraca~o estatica
para uma dada massa M , segue-se para o proximo passo do tempo, t ! t + !t.
Tendo a congurac~ao determinada, podemos calcular fdN=dtg e, por sua vez,
dS=dt e fN(t + !T )g, usando as Eqs.(5.3) e (5.4) ou (5.5). Repete-se o processo
de obter a congurac~ao hidrostatica com estes valores atualizados. Desta forma,
podemos seguir o passo evolutivo de uma estrela de massa M xa.
Na Fig.5, mostramos um exemplo deste tipo de calculo para estrelas da Populac~ao I2 com varias massas. Est~ao tambem indicadas as idades de cada estrela.
Observamos que a velocidade de evoluca~o estelar e maior para as estrelas maiores.
Note-se que a passagem da sequ^encia principal para o ramo das gigantes vermelhas
e bastante rapida comparada com os tempos de permanencia na sequ^encia principal
ou como gigante vermelha. Esta e a raz~ao pela qual n~ao ha populac~oes de estrelas
em certas regi~oes do diagrama HR. Cada regi~ao do diagrama HR corresponde a
1 Aqui,
incluimos a massa de repouso da partcula em a . Isto e
a = ma c2 + a onde ma e a massa de repouso e a corresponde o potencial qumico n~ao relativstico.
2 Estrelas do tipo Populac~ao I contem linhas de elementos metalicos (Z 3), signicando estrelas de
segunda gerac~ao (veja discuss~ao posterior). O tipo Populac~ao II somente apresenta linhas de Hidrog^enio
e normalmente se encontra no bojo da Galaxia. Estas s~ao estrelas primordiais.
5.2. Energia de Ligacao Nuclear
67
uma etapa evolutiva das estrelas. Se a perman^encia das estrelas numa determinada regi~ao for muito rapida, ent~ao a probabilidade de encontrarmos estrelas nesta
regi~ao sera extremamente pequena.
O estudo da evoluc~ao estelar e particulamente util quando aplicado a um aglomerado de estrelas. Os aglomerados e seus componentes podem ser identicados nas
galaxias proximas. Para um aglomerado, podemos considerar que todas as estrelas
tenham iniciado sua evoluc~ao ao mesmo tempo. Assim, comparando seu diagrama
HR (utilizando sua luminosidade aparente) com o diagrama HR calculado, podemos estimar a sua idade e luminosidade absoluta, e, portanto, sua dist^ancia a
Terra.
5.2 Energia de Ligaca~o Nuclear
Como ocorrem as reac~oes nucleares no interior de uma estrela? Para obter as
taxas de reac~oes, e necessario o conhecimento de Fsica Nuclear. Como sabemos, os
nucleos s~ao sistemas ligados de protons e n^eutrons, e denotamos uma especie nuclear por (Z N ), onde Z e o numero de protons (numero atomico) e N e o numero
de neutrons. O que caracteriza as propriedades qumicas de um dado elemento e
seu numero Z pois para um nucleo em situaca~o normal, existem sempre Z eletrons
ligados ao nucleo. Numa razoavel aproximac~ao, os nucleos podem ser considerados
como uma esfera de raio R, sendo
R ' r0A1=3 r0 = 1:2 fm
(5.6)
(5.7)
onde A = N + Z e o numero de massa3.
A Eq.(5.6) mostra que a densidade nuclear normal e independente do nucleo,
3 ' 0:14=fm3
nN = 4RA3=3 = 4r
(5.8)
3
0
o que corresponde a densidade de massa,
N = mU nN 2:338 1014 g=cm3:
3 1fm = 10;13 cm
(5.9)
5.2. Energia de Ligacao Nuclear
68
A energia de ligac~ao por partcula de um nucleo depende tanto de Z como de N .
Uma equac~ao, conhecida como formula de massa de Bethe-Weizsacker, e particulamente simples para estimar a energia ligaca~o por partcula,
B=A ' aV ; aS =A1=3 ; aSym
onde
aV
aS
'
'
aSym '
N ; Z 2
2
Z
; aC 4=3
A
A
(5.10)
16 MeV
18 MeV
21MeV
e
aC ' 0:19 MeV:
O primeiro termo e o termo de volume, correspondendo a energia de ligaca~o da
materia nuclear innita, com N = Z . O segundo termo e a reduc~ao da energia de
ligac~ao com relac~ao a materia nuclear devido a presenca da superfcie, e e chamada
de energia de superfcie. O terceiro termo e a energia de simetria, mostrando que
a interac~ao nuclear prefereria permanecer com N = Z se n~ao existisse a energia
Coulombiana (ultimo termo).
A energia de ligac~ao por partcula tem o valor maximo em torno do 56 Fe. Assim, dois nucleos leves, quando se aproximam sucientemente, se fundem emitindo
energia (de fus~ao). Para formar um nucleo mais pesado que o Fe, e necessario
fornecer energia.
A formula de massa de Weizacker-Bethe n~ao e uma boa aproximac~ao para
nucleos pequenos(Ver Fig.6). A energia de ligac~ao para partculas cresce rapidamente de A = 4 para A = 10 e satura em torno de 8MeV=A. A energia de ligac~ao
(total) do deuterio e apenas 2:22MeV , do Helio e 28:30MeV (7:07MeV=A). Para
56 Fe, a energia ligac~ao por partcula e 8:79MeV=A.
Em princpio, os dois nucleos poderiam se fundir, formando um unico nucleo
emitindo a energia, se a energia de ligaca~o por partcula do estado nal for maior
do que a do estado inicial. Assim, a fus~ao nuclear exotermico sempre ocorreria para
os nucleos sucientemente menor que o nucleo 56 Fe. No entanto, ha varias raz~oes
que impedem que isto aconteca naturalmente. A primeira raz~ao e que, devido a
repuls~ao Coulombiana, os dois nucleos se repelem para dist^ancias fora do alcance
5.3. Fator de Gamow
69
da forca nuclear. Para formar o estado ligado de dois nucleos fundidos, e necessario
atravessar a barreira de potencial, a barreira Coulombiana. A altura desta barreira
entre dois nucleos pode ser estimado por
2
BC ' Re Z+1ZR2
(5.11)
1
2
Para dois Hidrog^enios, a altura e proxima a 0:7MeV . Em termos de energia
termica, isto corresponde a uma temperatura acima de 1010 K ! Isto e a raz~ao
principal pela qual n~ao ocorrem as reac~oes entre os nucleos numa ambiente usuais.
Um outro fator, em particular no caso de dois Hidrog^enios, que ainda inibe a fus~ao
entre eles e que os dois protons n~ao formam um estado ligado. Para formar o estado ligado, um dos protons tem de ser convertido em n^eutron. Este processo so
ocorre via interaca~o fraca, que e um processo que tem pequena probabilidade de
ocorrer. Em resumo, os Hidrog^enios s~ao muito difcil de ser queimado. Por estas
raz~oes, as estrelas na etapa incial do seu processo evolutivo permanecem na regi~ao
da sequ^encia principal por muito tempo.
5.3 Fator de Gamow
Foi dito que a exist^encia da barreira Coulombiana impede a aproximaca~o de dois
nucleos ate se tocarem, pois a energia cinetica devido ao movimento termico nunca
chega acima da barreira. Mas, na verdade, no interior de estrela, ocorrem reac~oes
nucleares. Ent~ao, qual e o mecanismo que permite ultrapassar a barreira? A resposta foi dada pela Mec^anica Qu^antica: o efeito de tunelamento. Vamos considerar
o poco de potencial nuclear com raio R = R1 + R2 , e cuja profundidade e igual
a energia de ligac~ao. Somando o potencial Coulombiano, o potencial entre dois
nucleos ca
(
R
V (r) = e2Z;ZB= r rr <
(5.12)
>R :
1 2
A equac~ao de Equaca~o de Schrodinger em termos de coordenadas relativas, ~r, ca,
~2 2
r -(~r) + V (r)-(~r) = E -(~r)
(5.13)
2
onde e a massa reduzida dos dois nucleos. Quando decompomos a funca~o de onda
em ondas parciais,
1
X
-(~r) = Pl (cos )Rl (r)
(5.14)
;
l=0
5.3. Fator de Gamow
a equac~ao radial ca
O termo
"
#
1 d2 r ; l(l + 1) R (r) + V (r)R (r) = ER(r):
;
l
l
2 r dr2
r2
~2
70
(5.15)
#
l
(
l
+
1)
(5.16)
+
2 r2
representa a barreira adicional devida a forca centrfuga. Introduzindo uma nova
variavel, por
= rRl (5.17)
podemos escrever
~2 d2
;
+ Veff (r) = E
(5.18)
2 dr2
onde
2
(5.19)
Veff = V (r) + 2~ l(l r+2 1) :
A Eq.(5.18) tem a mesma forma que a equac~ao de Schrodinger unidimensional.
O uso da aproximac~ao WKB permite calcular o fator de penetrabilidade da
barreira em func~ao da energia incidente E .
R max p(r)dr
; ~2 rrmin
P =e
(5.20)
onde
q
p(r) = 2 (Veff (r) ; E )
(5.21)
e rmin e rmax s~ao as razes de
p(r) = 0:
(5.22)
O caso l = 0 e de particular interesse, pois neste caso o fator de penetrabilidade se
torna maximo. Neste caso, temos
rmin = R
2
rmax = e ZE1Z2 :
~2
"
A integral (5.20) pode ser feita analiticamente e o resultado ca
2 Z rmax p(r)dr = 4e2Z1 Z2 ; sin;1 ( ) ; 1 ; 21=2 ~ rmin
~v
2
(5.23)
5.3. Fator de Gamow
onde
71
s
= BE
C
s
v = 2E :
e
Como mencionamos, e um numero bem menor do que um. Neste caso, podemos
expandir a Eq.(5.23) numa serie de Taylor em relaco~ a e vimos que o fator de
penetrabilidade se comporta como
P (E ) ' e;(E1 =E)1=2
sendo
E1 p
!
2e2 Z1Z2 2 :
~
(5.24)
(5.25)
P (E ) e uma func~ao que tende a zero rapidamente para E < E1, e tende a um para
E > E1 .
A probabilidade de ocorrer uma reaca~o de fus~ao pode ser decomposto em dois
fatores. Primeiro, o fator que representa a probabilidade de os dois nucleos atravessar a barreira Coulombiana. Segundo, tendo ultrapassado a barreira Coulombiana,
a probabilidade de que os dois nucleos se fundem para formar o nucleo nal. O
primeiro fator e nada mais do que a penetrabilidade que calculamos acima. Desta
forma, e conveniente escrever a sec~ao de choque de reac~ao como
(5.26)
(E ) = E1 S (E )e;(E1 =E)1=2
onde o fator 1=E vem da cinematica. O fator S (E ) contem basicamente a probabilidade de os dois ncleos, tendo atravessados a barreira Coulombiana, se fundem para
formar o nucleo nal. Em termos de Mec^anica Qu^antica, esta probabilidade e dado
por elemento de matriz nuclear. Quando n~ao ha resson^ancia, S (E ) e uma func~ao
suave em E , permitindo a extrapolac~ao dos dados experimentais sobre a seca~o de
choque. No laboratorio, n~ao e facil medir as sec~oes de choque para energias abaixo
da barreira Coulombiana. Nas situaco~es favoraveis, podemos ate mesmo considerar
S constante.
5.3. Fator de Gamow
72
A taxa de reac~ao de um processo no meio estelar deve considerar os movimentos
termicos. No equilbrio termico, a distribuic~ao de momento de um nucleo obedece
a distribuic~ao de Maxwell-Boltzman. Assim, podemos escrever
f (~r p~' t) = n(~r' t) "MB (p~' T )
onde n(~r' t) e a densidade numerica e
3=2
1
e; 2mkT
"MB (p~' T ) = 2mkT
e a distribuic~ao de Maxwell-Boltzman. Supondo que n~ao exista correlaco~es entre
partculas, a densidade da probabilidade de se encontrar os dois nucleos, a e b na
posica~o ~r e
p2
dPab = fa (~r p~a )fb(~r p~b)d3pad3 pbd3~r
= na nb "MB (p~a' T )"MB (p~b ' T )d3pa d3pbd3~r
onde na(b) e a densidade numerica do nucleo a(b). A taxa de reac~ao sera,
drab = vab Pabab
(5.27)
sendo vab a velocidade relativa entre dois nucleos, e ab a seca~o de choque. A taxa
por nucleo a ca
da+b = nrdab3r
a
= nbvab ab "MB (p~a' T )"MB (p~b ' T )d3pa d3pb
e, analogamente, para o nucleo b,
db+a = nrdab3r
b
= na vab ab "MB (p~a ' T )"MB (p~b' T )d3pad3 pb
As reac~oes entre os nucleos naturalmente alteram os momentos e energias das
partculas envolvidas. Mas quando a taxa de reaca~o e baixa, as colis~oes entre as
partculas as levam logo novamente para um estado de equilbrio termico. Assim,
consideramos apenas a variac~ao no numero de partculas pela reac~ao, e supormos
5.3. Fator de Gamow
73
que a distribuic~ao em momento seja sempre aquela do equilbrio. Neste caso, a taxa
de reac~ao por partcula a(b) de qualquer momento ca,
a+b
b+a
ZZ
= nb
vab ab "MB (p~a ' T )"MB (p~b' T )d3pad3 pb
ZZ
= na
vab ab "MB (p~a' T )"MB (p~b ' T )d3pa d3pb:
Devido a forma Gaussiana da distribuic~ao de Maxwell-Boltzman, as transformac~oes
de variaveis,
~pa + p~b = P
(5.28)
e
~pa ; p~b = p
permitem integrar em relac~ao ao P~ , pois vab ab depende so de ~p. Temos,
a+b
b+a
!
3=2 Z
1
;E 3
= nb
v
ab ab (E )e kT d p
2kT
!3=2 Z
1
= na 2kT
vab ab (E )e; kTE d3 p:
(5.29)
(5.30)
p
onde E = 2p2 , e vab = p = 2E . O calculo da integral restante so pode ser
efetuada quando a sec~ao de choque for especicada. Entretanto, podemos fazer uma
estimativa que demostre a depend^encia da taxa de reac~ao em relac~ao a temperatura
T . Escrevendo a integral em termos de E , temos
!
3=2 Z
1
I 2kT
vab ab (E )e; kTE d3p~
!3=2 Z
1
vab ab (E )e; kTE p2dp
= 4 2kT
!3=2 Z 1
1
= 8 2kT
(5.31)
S (E )e;(E1 =E)1=2 e; kTE dE:
0
Sem saber a forma do S (E ), n~ao podemos ir alem disto. Entretanto, ja mencionamos que S (E ) e, em geral, uma funEca~o suave de E . Alem disto, a combinac~ao
das duas exponenciais, e;(E1 =E)1=2 e e; kT tem um efeito interessante. A primeira
cresce rapidamente para E > E1 tendendo a um para grandes valores de E . O segundo fator descrece exponencialmente. O produto e uma func~ao que tem o maximo
5.3. Fator de Gamow
74
bastante acentuado. O maximo do produto pode ser obtido como o mnimo da
func~ao,
E:
h(E ) = (E1=E )1=2 + kT
(5.32)
O mnimo de h(E ) e dado por
h0(Em ) = 0
ou seja,
2 !1=3 " 2 p 2
#1=3
2
e
Z
(
kT
)
(
kT
)
1 Z2
Em = 4 E 1 = 4
:
(5.33)
~
A func~ao h(E ) pode ser expandida em E em torno de E Em .
h(E ) ' h(Em ) + 12 h00 (Em)(E ; Em )2 + (5.34)
= 3 EkTm + 34 E 1kT (E ; Em )2 + :
m
Substituindo na Eq.(5.31), temos
!
3=2 Z 1
E 3 1
1
S (E ) e;3 kTm ; 4 Em kT (E;Em)2 dE:
(5.35)
I ' 8 2kT
0
O fator exponencial ca como uma func~ao Gaussiana centralizada em E = Em . Se
S (E ) n~ao varia rapidamente, podemos tira-la para fora da integral e, executando
a integral Gaussiana, temos
I
'
onde
! 3=2
1
4Em kT
8 2kT
3
T 2=3
S (Em) T
e;(T0=T )1=3 0
!1=2
E
S (Em)e;3 kTm
2 2 p 2
!231=3
1=3 0
k
2
e
Z
Z
1 2 5
T0 3 4 4
2:3 107 Za2 Zb2 A
K
~
(5.36)
(5.37)
O valor deste T0 da uma estimativa da temperatura na qual a reac~ao nuclear entre
dois nucleos ca apreciavel no interior de uma estrela. Note que este valor cresce
rapidamente em func~ao de numero atomico Z .
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
75
5.4 Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
Vamos em seguida, estudar os principais processos de reaco~es nucleares que ocorrem
durante um processo de evoluc~ao estelar.
5.4.1 Queima do Hidrog^enio
Quando o gas interstelar se condensa e uma estela comeca ser formada, a composic~ao qumica e basicamente o Hidrog^enio, particularmente se este gas e materia
primordial do Universo. Na regi~ao central de uma galaxia, onde ja houve mais de
um ciclo de processos evolutivos das estrelas, a nuvem interestelar pode conter
elementos diferentes do Hidrog^enio. Mesmo assim, em termos de porcentagem, o
Hidrog^enio domina mais do que 99 % da composic~ao qumica da materia. Desta
forma, as reac~oes dos elementos mais pesados que o Hidrog^enio n~ao precisam ser
consideradas no incio.
Cadeia pp
Como mencionamos, as colis~oes entre somente nucleos do Hidrog^enio, ou seja
protons, n~ao provocam reac~oes nucleares pois os dois protons n~ao formam um
estado ligado. Em 1939, H.A. Bethe sugeriu que a interaca~o fraca exerce um papel
fundamental para iniciar o processo de queima do Hidrog^eneo,
p + p ;! d + e+ + e (5.38)
que ocorre via o decaimento + de um dos protons. A sec~ao de choque para esta
reac~ao e muito pequena e, por isso, a vida media dos protons no Sol devido a
transformac~ao em d^euterons pela reac~ao acima e de cerca de 1010 anos (veja a
tabela mais diante).
O d^euteron produzido na reaca~o acima se funde quase que imediatamente pelo
processo
d + p ;! 3 He + :
O 3He resultante n~ao pode reagir com o Hidrog^enio, pois a reaca~o,
3 He
+ p
;! 4 Li
(5.39)
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
76
n~ao ocorre porque o elemento 4 Li e instavel. A unica reac~ao que ocorre para 3He
e ent~ao
3 He
+ 3 He ;! 4 He + 2p (5.40)
formando o nucleo estavel 4 He. O ponto importante e que para esta reaca~o ocorrer,
devem ser acumuladas quantidades bastante grandes de 3 He para que haja chance
de outro 3He ser encontrado no mesmo local (Lembre-se do fator, na nb na Eq.
(5.22). A cadeia de reac~oes (5.38), (5.39) e (5.39) e chamada de cadeia ppI.
Quando ja existe 4 He formado4, ha uma outra possibilidade do 3 He reagir
3 He + 4 He ;! 7 Be + :
(5.41)
e; ;! 7 Li + e (5.42)
p ;! 2 4 He (5.43)
p ;! 8B + (5.44)
Neste caso ocorre uma cadeia de reac~oes tais como
7 Be +
7 Li +
ou
7 Be +
8 B ;! 8 Be + e+ + e
8 Be ;! 2 4 He :
(5.45)
(5.46)
A cadeia de reaco~es, de (5.41) a (5.43) e denominada cadeia ppII, enquanto que a
cadeia de (5.44) a (5.46) e chamada de cadeia ppIII. Na tabela abaixo, mostramos
os valores tpicos dos processos das reac~oes acima citados com T = 1:5 107(valor
tpico para o caso do Sol).
TABELA III
4 Os
elementos leves tais como 4 He3 Li s~ao tambem formados no incio da formaca~o do Universo.
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
Reac~ao
1 H (p + ) 2 D
2 D (p )3 He
3 He (3 He,2p) 4 He
3 He (, ) 7 Be
7 Be (e; , ) 7 Li
7 Li (p,) 4 He
7 Be (p, ) 8 B
8 B ( + v )8 Be () 4 He
Q MeV
1.442
5.493
12.859
1.586
0.861
17.347
0.135
18.074
< E > (MeV )
0.263
0.8
7.2
77
= 1= (anos)
7:9 109
4:4 10;8
2:4 105
9:7 105
3:9 10;1
1:8 10;5
6:6 101
3 10;8
Variac~ao de Composic~ao Qumica pela Cadeia pp
Naturalmente a cadeia de reac~oes nucleares e um processo din^amico. A taxa de
reac~ao, por exemplo,
3 He + 3 He ;! 4 He + 2p depende de quanto os nucleos de 3He ja foram formados. Para acompanhar a
din^amica da formac~ao dos elementos, devemos estabelecer as equac~oes mestre para
os elementos que participam na cadeia pp. Denotando o numero de i-esima especie
nuclear por Ni e a constante de taxa de reac~ao A + B por AB , as equaco~es diferenciais para variac~ao de composic~ao qumica para a cadeia pp ser~ao,
dNp = ;2 Np2 ; N N + 23 2 N32He ; N N ; N N7 pp
pd p d
pBe p Be
pLi p Li
He
dt
2
2
dNd = Np2 ; N N pp
pd p D
dt
2
dN3He = N N ; 23 2 N32He ; 3 4 N3 N4 pd p d
He 2
He He He He
dt
dN4He = 3 2 N32He ; 3 4 N3 N4 + 2 N N + 2 N N7 pBe p Be
pLi p Li
He 2
He He He He
dt
dNBe = 3 4 N3 N4 ; N N ; N N eBe e Be
pBe p Be
He He He He
dt
dN7 Li = N N ; N N7 :
eBe e Be
pLi p Li
dt
que podem ser resolvidas junto com as equac~oes hidrodin^amicas. A taxa de produca~o
de energia e dada por
X
_ = QAB AB NANB (5.47)
AB
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
78
onde QAB e a energia produzido pela reaca~o A + B .
Crclo CNO
Quando a materia inicial da evoluc~ao for puramente Hidrog^enio, ent~ao as cadeiras
pp s~ao as unicas que levam efetivamente a fus~ao dos nucleos de Hidrog^enio em
Helio, gerando a energia que fornece a luminosidade das estrelas. Portanto, exceto
nas estrelas da populac~ao II (as estrelas primodiais que se encontram no bojo das
galaxias ou nos aglomerados globulares), as estrelas comecam ser formadas pela
materia inter-estelar que ja contem uma pequeno mistura de elementos pesados
tais como 12C14 N e 16 O. Estes elementos foram formados no processo evolutivo
das estrelas as quais terminaram suas vidas por meio de uma explos~ao, espalhando
no meio interestelar a materia estelar evoluida. Em outras palavras, a maioria
das estrelas na regi~ao densa de uma galaxia e de segunda (ou mais) geraca~o. Desta
forma, uma estrela de populac~ao I ja pode comecar sua vida com uma certa mistura
destes elementos.
Foi reconhecido por H.A.Bethe e von Weizsacker, que a exist^encia dos elementos 12 C14 N e 16 O pode fornecer outros caminhos para converter os nucleos de
Hidrog^enio em Helio. Naturalmente, as reaco~es ocorrem sempre entre os elementos
pesados e o Hidrog^enio, devido a menor repuls~ao Coulombiana. Estes caminhos
s~ao,
12 C
+p
13 N
13 C + p
14 N + p
15 O
15 N + p
;! 13 N + ;! 13 C + e+ + ;! 14 N + ;! 15 O + ;! 15 N + e+ + ;! 12 C + 4 He
15 N + p
16 O + p
17 F
17 O + p
;! 16 O + ;! 17 F + ;! 17 O + e+ + v
;! 14 N + 4 He
(5.48)
ou,
(5.49)
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
79
Note que quando estas cadeias de reaco~es s~ao completadas, os 4 nucelos de Hidrog^enio
foram convertidos em um nucleo de Helio 4, ao mesmo tempo em que os os elementos pesados iniciais s~ao recuperados.
A exist^encia de qualquer um dos elementos que aparecem nos lados esquerdos
das equac~oes acima (ou uma mistura deles) serve como semente para iniciar o ciclo
CNO e o resultado acaba cando independemte deste sementes como mostramos
abaixo. Podemos escrever as equac~oes mestre para as abund^ancias dos elementos
pesados (i.e., excluindo o Hidrog^enio e Helio) na forma,
0
BB
dB
dt B
@
0 1 0 N1 1
N1 1
1n B
BB 11
CC B N2 CC
N2 C
CC
= ;B
CA BB .. CC (5.50)
... C
@
A
@ . A
n1
nn
Nn
Nn
onde ij s~ao as contantes de taxa de reaco~es. Note que durante a cadeia, o numero
total dos elementos pesados e mantido constante,
X
Ni(t) = Const
(5.51)
i
independentemente da condic~ao inicial. Consequentemente,
X dNi(t)
dt 0
i
e substituindo a Eq.(5.50), temos
1 1
0
BB 11
1 B
@
n1
0 1
1n 1 B N1 C
CC B N2 C
CA BB .. CC 0
@ . A
nn
Nn
que e valida para qualquer fNi g. Assim, temos
1 1
0
BB 11
1 B
@
n1
1 n 1
CC
CA = 0
nn
(5.52)
(5.53)
(5.54)
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
ou equivalentemente,
X
j
ji = 0:
80
(5.55)
Este fato pode ser observado facilmente se explicitarmos os 's. Uma das caractersticas da matrz formada pelas constantes de reac~oes e que ela possui um
autovalor nulo. Isto corresponde justamente a componente N = P Ni. Os outros autovalors s~ao negativos. Desta forma, podemos escrever a soluca~o geral da
Eq.(5.56) como
0 1 0 0 1 0
0 N (t) 1
1
N
(0)
1
1
BB
. C
BB N2 (t) CC
C
C B
BB .. CC = U ;1 BB 0. e;2t .0 .. CC U BBB N2..(0) CCC (5.56)
B@ .. 0 . . 0 CA @ . A
@ . A
Nn(t)
Nn(0)
0 0 e;n t
onde U e a matriz que diagonaliza a matriz * e i s~ao os autovalores. Em particular,
a base de U deve ser escolhida de tal forma que a primeira componente do vetor
0N 1
BB N12 CC
UB
B@ ... CCA
Nn
e Pi Ni .
Uma consequ^encia importante desta propriedade e que da Eq.(5.57), para t !
1, temos
0 1 0 0 1 0
1
0 N (t) 1
N
(0)
1
1
BB
... C
BB N2 (t) CC
CC BB N2(0) CC
0
0
0
B
;
1
BB .. CC ! U B .
C
CU B
(5.57)
@ . A t!1 B@ .. 0 . . . 0 CA B@ ... CA
Nn(0)
Nn(t)
0 0 0
Pela propriedade da matriz U , temos
0 N (t) 1
0 P N (0) 1
1
BB N2 (t) CC
BB 0i CC
BB .. CC ! U ;1 BB .. CC
(5.58)
@ . A t!1 @ . A
Nn (t)
0
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
81
Disto, podemos extrair duas conclus~oes importantes. Primeiramente, a abund^ancia
de cada elemento tende a um valor constante (entra em equilbrio) para t ! 1, e
em segundo lugar, a abund^ancia relativa entre Ni's em equilibrio ca independente
da condic~ao inicial. O tempo de relaxac~ao para obter equilbrio e ent~ao dado pelo
inverso do autovalor que tem seu valor mais proximo a zero. No caso do Sol, uma
estimativa razoavel para a abund^ancia relativa e
12 C
: 14O : 16O ' 5 5 : 1 : 9 6
(5.59)
e as abund^ancias dos outros elementos s~ao bastante pequenas.
As reac~oes acimas s~ao as fontes de energia das estrelas da Sequ^encia Principal,
inclusive o Sol. Vimos que o mecanismo que manter o Sol em equilbrio quasehidrostatico e bastante sutil, dependendo crucialmente da lentid~ao do processo de
queima de Hidrog^enio. Os nucleos de Helio produzidos comecam a se acumular
lentamente no centro da estrela, formando a concentrac~ao de Helio. Enquanto esta
queimando os nucleos de Hidrog^enio, o caroco da estrela parece ter uma composic~ao
bastante homogenea devido a mistura convectiva. Mas a medida que esta etapa
avanca e a concentraca~o de Helio ca dominante, comeca a ser formado um caroco
de Helio no centro.
Neutrino Solar
Das equac~oes de reac~ao nuclear observamos que o processo de queima do Hidrog^enio
acompanha a emiss~ao de neutrinos. Estes neutrinos podem, em princpio ser detectados na Terra. Entretanto, devido a sua pequena sec~ao de choque, a tarefa n~ao
e facil.
A sec~ao de choque de neutrino com eletron e
e 0 2v
(5.60)
onde 0 ' 0:6 10;44cm2 =MeV 2, e v e a energia do neutrino. A seca~o de choque
com um nucleo e da mesma ordem. Para neutrinos de energia da ordem de 1MeV ,
o seu livre-percurso medio numa materia com densidade normal ( g=cm3), ca
1 > 1013 Km
< > = < n
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
82
o que signica que os neutrinos atravessam a Terra essencialmente sem sofrer qualquer interac~ao.
Os neutrinos s~ao produzidos atraves de varias reac~oes na cadeia pp e ciclo CNO.
Porem os espectros de energia dos neutrinos de diferentes reac~oes s~ao bastante
distintos. Baseado no modelo Solar padr~ao, os uxos de neutrinos solares associados
as reac~oes podem ser estimado como mostrarmos na Fig.6. Os mais abundantes
que v^em da reac~ao
p + p ;! d + e+ + v
tem baixa energia e s~ao extremamente difceis de serem detectados.
Para expressar o uxo de neutrino, utilizamos uma unidade, que depende de
como foi feita a detecc~ao. Esta unidade e SNU (solar neutrino unit) que e o
numero de neutrinos capturados por atomos por unidade do tempo.
1SNU = 10;36 sec;1 :
Desde os anos '70, K.Davis e seus colaboradores v^em medindo os neutrinos solares,
usando um tanque que contem o uido perchloroethylene5, em uma quantidade de
cerca de 400.000 litros. A ideia e que o nucleo de 37 Cl interage com os neutrinos
37 Cl + ;! 37 Ar + e; (5.61)
sendo 37 Ar um gas nobre (radioativo) e relativamente facil de ser coletado por um
processo qumico. O nucleo de 37Ar decai novamente em 37 Cl com uma vida media
de 35 dias, emitindo a radiac~ao de Auger (E = 2:8KeV ) via captura eletr^onica.
Este raio gamma pode ser medido. Eles observaram em media cerca de 1/2 atomos
de 37Ar por dia em todo o uido6. O resultado obtido por Davis e colaboradores
corresponde a um uxo de neutrino de 2.2 SNU . Este e um exemplo de detecc~ao
radioqumica. A reac~ao (5.61) tem uma seletividade de energia de neutrinos de
814KeV . A partir do uxo de neutrino solar teorico, obtido pelo modelo padr~ao
do Sol, podemos calcular qual seria o numero de neutrinos capturados em 37 Cl,
obtendo 7:9SNU . Este valor e substancialmente maior do que aquele obtido por
Davis. Foram feitas mais 2 experi^encias utilizando um outro sistema 71 Ga ; 71 Ge.
O metodo e analogo mas considerado mais eciente em coletagem dos atomos de
71 Ge. A energia de neutrino a ser capturado e de 236KeV . As colaborac~oes de
SAGE e GALLEX registraram 73 12SNU e 79 12SNU , respectivamente. Estes
valores est~ao tambem abaixo do valor teorico para este caso, 132SNU .
5 C2 Cl4 , o material usado na lavagem a
6 Estime quantos atomos tem no uido!
s^eco.
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
83
Um outro tipo de experi^encia para detetar o neutrino solar e utilizar um tanque
de agua e observar o espalhamento de eletrons por neutrinos. Os eletrons, quando
recuam apos a interac~ao, emitem a luz de Cerenkov, a qual, por sua vez, pode
ser detectada. Nesta experi^encia, pode-se identicar a direc~ao dos neutrinos incidentes, vericando realmente se os neutrinos v^em ou n~ao do Sol. Entretanto, este
tipo de experi^encia so pode funcionar com n^eutrons de energia relativamente alta.
Portanto, ela so e sensvel para neutrinos solares provenientes do decaimento do
B,
8 B ;! 8 Be + e+ + :
(5.62)
e
O resultado da experi^encia em Kamioka, Jap~ao (KAMIOKANDE), registrou novamente apenas metade dos neutrinos esperados pelo modelo padr~ao do Sol. Uma
outra experi^encia em andamento e o do Subdury, Ontario, Canada. Esta sendo
montado um tanque esf^erico, contendo 1000 toneladas de agua pesada D2 O, situado a 200m abaixo do solo.
A discrep^ancia entre os valores observados e os calculos teoricos podem ser originarios do Modelo Solar. Entretanto, muitos astrofscos n~ao consideram que o
Modelo Padr~ao do Sol esteja t~ao errado. Existem algumas propostas para o Problema de Neutrino Solar:
1. No interior do Sol, a aproximaca~o de equilbrio termico, no sentido usual,
talvez contem um problema.
2. As estimativas das reac~oes nucleares talvez n~ao sejam corretas (exist^encia de
nveis nucleares disconhecidos).
3. Os neutrinos possuem massa. Isto faz com que os neutrinos se transformam
entre suas diferentes especies.
As duas primeiras possibilidades, ainda n~ao podem ser completamente discartadas,
embora n~ao seja facil alterar o Modelo Padr~ao Solar sem provocar discrep^ancias
nos outros observaveis que vem sendo acumulados ja ha muito tempo. Por outro
lado, a ultima possibilidade tambem envolve certos compromissos com os resultados
obtidos na fsica de partculas. O problema de Neutrino Solar e um dos grandes
enigmas em relac~ao ao qual a Fsica anda n~ao tem uma resposta concreta.
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
84
5.4.2 Queima do Helio
Quando os nucleos de Hidrog^enio s~ao consumidos no centro de uma estrela da
Sequ^encia Principal, a produca~o de energia nuclear comeca a cessar, pois a regi~ao
onde ocorre a queima do Hidrog^enio torna-se numa camada cada vez mais na
na superfcie deste caroco de Helio. Na congurac~ao das estrelas da Sequ^encia
Principal, a densidade e a temperatura n~ao s~ao sucientes para termos uma reac~ao
nuclear entre nucleos de Helio. Um dos fatores bastante curioso e que na Natureza,
n~ao existe nucleo estavel com numero de massa 5, nem 8. Isto signica que as
reac~oes,
p + 4He ;! 5Li
(5.63)
ou
4 He + 4 He ;! 8 Be
(5.64)
apresentam problemas. Os nucleos dos lados direitos retornaram a seus estados
iniciais devolvendo tudo em 4He de novo. Em particular, a primeira reaca~o e praticamente proibida, pois mesmo formando um estado instavel do nucleo de 5Li o
tempo de vida e infenitesimal.
Existem ent~ao duas barreiras que impedem que os nucleos mais pesados que
He sejam formados no interior de uma estrela! Isto e uma das raz~oes pela qual a
Sequ^encia Principal e bem separada do restante da evoluca~o estelar. No entanto,
os elementos mais pesados que He existem, e as estrelas se desenvolvem alem da
Sequ^encia Principal. Embora o mecanismo seja bastante sutil, a Natureza acaba
encontrando um caminho para formar os elementos mais pesados.
O que entra na cena agora e a reaca~o de tr^es corpos. O Be no lado direito da
Eq.(5.64) tem uma vida media de 2:6 10;16 sec, decaindo em dois nucleos de 4He,
8 Be ;! 4 He + 4 He:
(5.65)
A diferenca de energia entre o estado inicial e o estado nal deste sistema e apenas
!E = 96keV:
(5.66)
No caroco de Helio denso e quente, os dois processos (5.64) e (5.65), i.e., a formac~ao
do 8 Be e seu decaimento, entram em equilbrio rapidamente. Neste regime, usando
a teoria estatstica (equac~ao de Saha), a concentrac~ao do 8 Be e calculada por
h3 e; kTE :
N8 Be] ' NHe]2
(5.67)
(2kT )3=2
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
85
Por exemplo, a presenca do 8 Be se torna 1 em 109 nucieos de Helio na temperatura
de 108K e densidade 105 g/cm3. Assim, embora seja pequena, existe uma presenca
permanente (estatsticamente) do nucleo de 8 Be no caroco de Helio. Ocorre que,
no nal da Sequ^encia Principal, o esgotamento da queima do Hidrog^enio leva a um
resfriamento da estrela. A queda da press~ao do gas quebra o equilbrio hidrostatico
e o caroco comeca a se contrair devido a forca gravitacional. A densidade e temperatura no centro aumentam rapidamente devido a compress~ao adiabatica da materia
durante o colapso. Desta forma, a temperatura e densidade no caroco podem alcancar os valores acima mencionados.
Quando existe concentrac~ao de 8Be, podemos ter uma reac~ao de fus~ao,
8 Be + 4 He ;! 12 C + (5.68)
cuja diferenca de energia e 7 366MeV . Apos a sugest~ao desta possibilidade por
Salpeter, F.Hoyle mostrou que se a reaca~o n~ao fosse ressonante, a taxa de reac~ao
n~ao seria suciente ainda. De fato, foi vericada experimentalmente a exist^encia
de um nvel do 12 C justamente em E = 7:644MeV um pouco acima da diferenca
de energia. Assim, na etapa apos a Sequ^encia Principal, o processo de queima do
Helio ocorre via as reaco~es
4 He + 4 He 8 Be
(5.69)
8 Be + 4 He ! 12 C + (5.70)
O processo converte, no nal das contas, 3 ncleos de Helio em 1 nucleo de Carbono.
Um dos aspectos marcantes deste processo e a depend^encia violenta da taxa de
reac~ao com a temperatura. Isto pode ser entendido devido a natureza de tr^es corpos
acima mencionada (para atingir o estado nal da reac~ao, 12C , tem de envolver os 3
nucleos de Helio simultaneamente). Por exemplo, se escrevemos a taxa de produc~ao
de energia aproximadamente na forma7,
T n
_ ' _(T0) T (5.71)
0
n ca com um valor de quase 40 por volta de T = 108K .
Devido a esta violenta depend^encia da produca~o de energia em relac~ao a temperatura, a estrutura estelar no regime da queima de Helio e bastante diferente
7 Na
Astrofsica, utiliza-se frequentemente esta representac~ao.
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
86
daquela no caso da Sequ^encia Principal. Mesmo atinge-se a condica~o de queima de
Helio no centro do caroco de Helio, a pequena queda da temperatura e a densidade
para fora do centro ja e suciente para cessar as reac~oes. Assim, ocorre a queima do
Helio so bem no centro da estrela. Por outro lado, a energia produzida pela fus~ao
irradia a envoltoria que ca aquecida e assim a camada exterior expande bastante.
Consequentemente, o raio da estrela aumenta varias ordens de magnitude. A temperatura supercial portanto se reduz. O resultado aparece no diagrama HR como
giganges vermelhas.
5.4.3 Processo e etapa avancada
O nucleo do Helio, e um sistema fortemente ligado e ao mesmo tempo leve.
Durante a etapa de queima do Helio, alem do processo de formac~ao do Carbono,
existem outros processos de captura sucessivos. Os primeiros s~ao
12 C + ;! 16 O
16 O + ;! 20 N 2
20 Ne + ;! 24 Mg
que v~ao formando as camadas de elementos pesados no centro da estrela. A etapa
de gigante vermelha e relativamente longa, como visto anteriormente. Os elementos
formados via processo t^em naturalmente seu numero de massa como multiplos
de 4. A exist^encia do processo e nitidamente observada na curva de abund^ancia
dos elementos qumicos no Universo (Fig.7).
Quando a massa de uma estrela n~ao e muito grande, sua densidade central n~ao
cresce sucientemente e o processo de resfriamento prevalece antes de prosseguirem
as reac~oes nucleares entre os nucleos mais pesados. A reac~ao entre os nucleo pesados e cada vez mais inibida para os maiores numeros atomicos pois a barreira
Coulombiana cresci rapidamente em funca~o de Z . Assim, o sistema acaba tendendo
a um equilbrio hidrostatico sem produca~o de energia nuclear. O caroco e ent~ao sustentado pela press~ao do gas de eletrons degenerado em vez da press~ao termica e
da radiac~ao. A an~a branca e formada.
Para estrelas de massa grande, as reac~oes nucleares ainda continuam formando
os elementos mais pesados, via, por exemplo,
12 C + 12 C ;! 24 Mg
16 O + 16 O ;! 32 Si
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
87
etc. Ao mesmo tempo, nesta altura, surgem varios outros caminhos de reac~oes
nucleares, tendo uma grande variedade de especie nuclear. O caroco da estrela
ca cada vez mais concentrado com elementos pesados, formando uma estrutura
de varias camadas, se n~ao houver processos convectivos. O ultimo elemento formado neste procedimento seria o Ferro, o qual tem o maior energia de ligac~ao por
partcula. Quando ha formac~ao de um caroco de Ferro, a produc~ao de energia via
fus~ao nuclear cessa.
5.4.4 Processo e
Existem certas situac~oes em que os processos de fus~ao nuclear ocorrem sob densidade e temperatura extremamente altas. Por exemplo, o caroco central de uma
estrela massiva no seu estagio de evoluc~ao bastante avancada atua como se fosse
uma panela de press~ao que \cozinha" os nucleos. Uma situac~ao similar a esta
ocorre quando uma an~a branca se colapsa gravitacionalmente quando sua massa
ultrapassa o limite de Chandrasekhar8 . Nessas situaco~es, podemos considerar que
todos os possveis processos de fus~ao nuclear e seus processos inversos ocorrem de
forma tal que atinge-se um equilbrio qumico entre todas as especies nucleares.
Segundo a teoria estatstica, a abund^ancia relativa dos elementos e determidada
pela distribuic~ao,
N (Z N ) / e;B(ZN )=kT
(5.72)
De fato, a abund^ancia dos elementos observados mostra nitidamente um pco bastante agudo em torno do elemento 56 Fe (Fig. 7), o qual e reproduzido bem pela
Eq.(5.72). Este fato pode ser considerado como prova da exist^encia de tal processo
de equilbrio.
5.4.5 Processo s e Processo r
Os processos nucleares ate agora estudados s~ao sempre de natureza da fus~ao nuclear. Portanto, n~ao e possvel formar elementos mais pesados do que 56Fe. O
processo e pode ter alguns elementos alem do Ferro, mas sua abund^ancia cai rapidamente com o numero de masa A de acordo com a Eq.(5.72). A Eq.(5.72) n~ao
reproduz as abund^ancias dos nucleos, por exemplo, de Chumbo, Ouro, Ur^anio, etc,
que certamente temos aqui na Terra. De fato, os elementos pesados alem do Ferro
8 A massa de uma an~a branca pode crescer quando o processo de transfer^encia de massa da estrela
companheira, e acaba ultrapassando o limite de Chadrasekhar. Ver o Captulo de Supernova.
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
88
t^em abund^ancia relativa quase constante como visto em funca~o da massa A (ver
Fig.7). Alem disto, para elementos com A > 60, existem tr^es pares de picos curiosos
em A ' 100 140 e 200.
A formac~ao destes elementos so pode ser explicada via processo de captura de
n^eutrons. Os nucleos, quando submetidos a varias reac~oes, t^em probabilidades
de emitir n^eutrons. Estes n^eutrons podem ser absorvidos por outro nucleo com
facilidade, pois n^eutrons n~ao sofrem da repuls~ao da barreira Coulombiana. No
percurso normal da evoluc~ao estelar, a abund^ancia dos n^eutrons no interior da
estrela n~ao e muito alta, e portanto, o processo de captura ocorre apenas de vez em
quando. Mesmo assim, os elementos que em algum momento capturaram n^eutrons
t^em um aumento no numero N , e se este for instavel, ir~ao decair via processo de
decaimento . O processo e
(Z N ) + n ! (Z N + 1) ! (Z + 1 N ) + e; + :
(5.73)
O elemento assim formado (Z + 1 N ) pode capturar o n^eutron de novo, e o processo segue, lentamente subindo ao longo do Vale de Estabilidade 9 na carta de
nucldeos. Este e o chamado processo s, onde s e de slow, no sentido de que o
processo de captura de n^eutron e lento comparado ao processo de decaimento .
n (5.74)
Neste processo, a abund^ancia dos elementos e afetada pela estabilidade dos nucleos
envolvidos. Os nucleos que t^em numero de n^eutrons N = 50 82 126 s~ao especialmente estaveis (numeros magicos de n^eutrons10 ). Estes nucleos no caminho do
processo s, i.e., em cima da Vale da Estabilidade , correspondem aos picos do
lado direito de cada par de picos.
Existe outro cenario onde pode ocorrer o processo de captura de n^eutrons de
forma completamente diferente do processo s. Numa explos~ao de supernova, devido
9 Quando
superfcie
consideramos as massas nucleares como uma func~ao de Z e N , podemos construir uma
z = M (Z N )
acima do plano (Z N ). Esta superfcie apresenta um vale bem estreito, correspondendo a sequ^encia dos
mnimos
de M para todos os valores de A = N + Z . Os nucleos estaveis por processos de decaimentos e + situam no fundo deste vale.
10 Estes numeros magicos v^em de fato que a estrutura nuclear tem uma similhanca com a estrutura
at^omica onde a estrutura de camada de eletrons gera certas estabilidades extras para gas nobres em
relac~ao aos outros elementos. A presenca dos numeros magicos e devido ao efeito de camada na estrutura
nuclear. No caso nuclear, os numeros magicos aprecem tanto para protons como para n^eutrons.
5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
89
a n^eutronizac~ao e fotodisintegrac~ao de Ferro, surge um enorme uxo de n^eutrons,
embora de curta durac~ao (probavelmente menos do que alguns segundos), que irradia a materia. Nesta situaca~o, o processo de captura ca extremamente rapido de
tal modo que um nucleo que acabou de capturar um n^eutron continua capturando
outros em seguida, antes de ocorrer o decaimento . Assim, temos
n (5.75)
e ocorrem as capturas sucessivas para mesmo Z ,
(Z N ) + n
(Z N + 1) + n
!
!
(Z N + 1)
(Z N + 2)
...
(5.76)
Quando isto acontece, chamamos o processo de processo r (r de rapido). Naturalmente, tal processo n~ao vai continuar indenidamente. Quando o nucleo ca
bastante rico em n^eutrons, a captura comeca a competir com o processo inverso,
ou seja fotoemiss~ao de n^eutrons,
(Z N ) + ! (Z N ; 1) + n:
(5.77)
Isto e, um nucleo que foi forcado para engolir muito n^eutrons comecam cuspir
os n^eutrons e n~ao vai avancar mais para aumentar o numero de n^eutrons. Para
determinados valores da temperatura e da densidade de n^eutrons, existe um valor
de Nr para cada Z , que satisfaz o equilbrio,
(Z Nr ) + (Z Nr ; 1) + n:
(5.78)
Para cada Z , existe um valor de Nr . Os valores de Nr como func~ao de Z e que
determinam o caminho do processo r. Todos os elementos cam neste caminho durante a irradiaca~o do uxo de n^eutrons. Como o tempo de irradiaca~o e da ordem de
segundos, os elementos que est~ao no caminho do processo r decaem via emiss~ao de
eletrons e antineutrinos (decaimento ) e passam para o proximo Z , alimentando
a quantidade de elementos no proximo valor de Z . Os elementos que caem pelo decaimento participam imediatamente no processo de equilbrio, (5.78) para o novo
valor de Z . Para este novo Z , os elementos v~ao decair via novamente, aumentando o valor de Z por mais uma unidade. Assim, durante o tempo de irradiac~ao,
os elementos sobem o caminho do processo r com a velocidade do decaimento 5.4. Principais Etapas de Nucleo-Sintese Estelar
90
dos nucleos neste ponto de equilbrio (tipicamente cerca de milisegundos). Quando
cessar a irradiac~ao por n^eutrons, eles caminham na direca~o da Vale da Estabilidade
, formando os elementos observados. Note que agora neste processo r, o efeito de
numeros magicos de n^eutrons inuenciam no caminho de processo r. Quando terminar o processo de equilbrio, (5.78), os nucleos que tinham os numeros magicos
de n^eutrons no caminho do processo r v~ao ter o numero de n^eutrons ligeiramente
menor ao chegarram na regi~ao de vale de establidade apos do processo de decaimento . Assim, os numeros magicos de n^eutrons no caminho do processo r
aparecem como os picos do lado esquerdo de cada par dos picos observados na
abund^ancia dos elementos pesados.
Deta forma, os pares de picos que observados na curva de abund^ancia dos elementos cam explicados como consequ^enciaem de exist^encia dos numeros magicos
atuando diferentemente para os processos de captura de n^eutrons, s e r.
6
Supernova
6.1 Historico e Morfologia
Existe um artigo excelente de revis~ao sobre supernovas por H.A. Bethe (Rev. Mod.
Phys. 62 (1990) 801). O que se segue baseia-se bastante neste trabalho.
Os antigos Chineses chamavam de estrelas visitantes as estrelas que apareciam de
uma noite para outra e cavam no ceu por algumas semanas. Ha registros de varias
destas estrelas. Gracas a estes registros, podemos localizar os remanecentes destas
supernovas, as quais, em sua maiorias, s~ao hoje fontes de raio-X ou de radio. A mais
brilhante registrada talvez tenha sido a de 1006, a qual diziam que chegava a fazer
sombra no solo, e seu brilho chegava ate 1/4 da lua cheia. A mais conhecida, na
Nebulosa do Caranguejo, foi observada pelo Chineses em 1054. E curioso que n~ao
haja nenhum registro desta supernova na Europa. Hoje, ela aparece como nebulosa,
e foi descoberto um pulsar em seu centro (Ver Fig. 8). O pulsar e certamente uma
estrela de n^eutrons que gira cerca de 30 rotac~oes por segundo. Observac~oes mais
quantitativas da variac~ao de luminosidade no tempo (curva de luz) de supernovas
foram realizadas por Tycho Brahe em 1572 (cuja remanescente e hoje uma fonte de
raio X - Fig.9) e por Kepler em 1604 (raio -X, hoje). Ambas n~ao possuem estrelas
de n^eutrons no seu centro.
O estudo moderno de supernovas foi iniciado por Zwicky e Baade na decada de
30. A partir do comportamento das linhas espectrais e da curva de luz, classicamos
as supernovas em dois tipos, Tipo I e Tipo II. O tipo II tem, em geral, uma
forte linha spectral do Hidrog^enio, a qual n~ao aparece no Tipo I. As supernovas
de Tipo I tem uma curva de luz estreita, cuja escala de tempo e da ordem de
uma semana, enquanto que para as de Tipo II ele decresce mais lentamente com
o tempo (tipicamente da ordem de 100 dias). A forma da curva para o Tipo I
e bastante regular (pelo menos para o chamado Tipo Ia, que constitui cerca de
80% das supernovas do tipo I). Para as supernovas do Tipo II, a curva de luz
e bastante variada. Aparentemente, as estrelas de n^eutrons (ou pulsares) est~ao
sempre associadas com supernovas de Tipo II, e nunca com as do Tipo I.
6.1. Historico e Morfologia
92
O fen^omeno de aparecimento de uma supernova n~ao e raro do ponto de vista
astron^omico. A frequ^encia de ocorr^encia de supernovas parece ser da ordem de
30 a 50 supernovas por ano por galaxia. Desde o trabalho inicial de Zwicky e
Baade, mais de 700 supernovas foram observadas. A mais recente, visvel a olho
nu, ocorreu em fevereiro de 1987 (SN1987A). A estrela precursora foi identicada
como Sanduleak - 69292 na Grande Nuvem de Magalh~aes. Sua dist^ancia a Terra
e estimada como sendo de 160 mil anos-luz. Esta e a primeira supernova na qual
foram observados neutrinos. E do Tipo II.
A energia liberada por uma supernova e enorme. E tipicamente da ordem de 1051
ergs ( = foe1, a unidade de energia utilizada para supernovas) sendo ejetada dentro
da escala de tempo de segundos. O maximo de luminosidade observada de SN1987A chegou a 1042 erg/sec. (Lembre-se que a do Sol e da ordem de 1033erg/sec). De
onde vem a energia de uma Supernova?
O mecanismo da supernova esta intimamente relacionado com a exist^encia da
massa limite para as an~as brancas, MCh, embora as fontes de energia da explos~ao
sejam distintas para o Tipo I e o Tipo II. Apesar de n~ao ser ainda totalmente
esclarecido, acredita-se que o mecanismo de explos~ao para o Tipo I seja a detonaca~o de combustvel nuclear de uma an~a branca como membro de um sistema
binario. Considere um sistema binario onde uma das estrelas evoluiu ate o estagio
de an~a branca estando um pouco abaixo da massa de Chandrasekhar. Neste caso,
a estrela e composta basicamente de C e O alem de He. Esta vai atrair massa da
estrela companheira, crecendo em massa. Quando sua massa ultrapassar o limite de
Chandrasekhar, a estrela colapsa violentamente, levando a um aquecimento subito
da materia estelar junto com um aumento da densidade. Isto e como se fosse a
comprimir a povra a alta densidade e ascende a fogo. Os combustveis nucleares
tais como C e O, junto com He. As fus~oes entre eles ocorrem de forma detonativa, que explode a estrela inteira do centro para fora. Desta forma, para o tipo
I, a fonte da energia seria a energia nuclear de fus~ao. A teoria para combust~ao
e detornac~ao nuclear n~ao e trivial e ainda n~ao esta bem esclarecida quantitativamente. Mas o mecanismo acima descrito e geralmente aceito e consistente com o
fato das supernovas do Tipo I ter uma curva de luz bastante universal (pois, sempre
esta associada com a massa de Chandraselhar), e de n~ao haver linha espectral de
Hidrog^enio sendo, em geral, observada a linha do Fe (a detonaca~o nuclear produz
1 (ten
to) fifty-one erg.
6.1. Historico e Morfologia
93
os elementos do processo e)2 .
Apesar do mecanismo de ignica~o do processo tambem ter sua origem no limite
de massa de Chandrasekhar, a fonte de energia da explos~ao do Tipo II e totalmente
diferente. Esta vem da energia gravitacional. Pode-se estranhar que a energia gravitacional, que e atrativa, possa explodir uma estrela. Do ponto de vista energetico
parece ser contraditorio. A chave para entender o mecanismo de liberac~ao da energia gravitacional e a formac~ao de uma estrela de n^eutrons. Uma estrela bastante
grande, quando termina todos os processos de fus~ao nuclear em seu centro, tende a
formar um caroco de Fe com outros elementos leves tipo Si, C, O, e H a sua volta.
Esta etapa corresponde em geral a uma estrela gigante ou supergigante. Se a massa
do caroco ultrapassar o limite de Chandrasekhar, o colapso e inevitavel. Mas, como
n~ao ha mais combustvel nuclear (Fe e o elemento mais ligado), o colapso continua
sem causar fus~ao nuclear, ate todos os nucleos derreterem formando-se um novo
fase da materia chamada de materia nuclear. Se a massa de caroco n~ao for extremamente grande, o colapso termina quando formar uma estrela de n^eutrons. Como
vimos anteriormente pelo teorema virial, para formar um estado mais compacto
gravitacionalmente, pelo menos metade da energia de ligaca~o gravitacional tem que
ser liberada. Podemos estimar a energia de ligaca~o gravitacional de uma estrela de
n^eutrons. Uma estrela de n^eutrons tem tipicamente uma massa solar, com raio de
10 km.
2
2
GM
6
:
67
10;8 (2 1033 )
EGrav R =
= 2:668 1053 erg
106
Assim, se apenas 1% da energia de ligac~ao gravitacional for liberada e transmitida
para o resto da estrela, podemos perfeitamente explicar a fonte da energia de uma
supernova do Tipo II. Esta imagem e pelo menos consistente com a presenca da
linha espectral do Hidrog^enio (proveniente da camada externa ) e a irregularidade
da curva de luz (depende muito da massa e estrutura da estrela progenitora).
Entretanto, a historia n~ao e t~ao simples... O problema e como concentrar a energia
gravitacional para formar a estrela de n^eutrons, e transmitir este excesso da energia
para fora. Se este processo de transportar a energia para fora n~ao for bem sucedido,
o sistema como um todo caminha para um destino fatal.. o buraco negro.
2 A universalidade da curva de luz de uma supernova tipo Ia pode ser usada para estimar a sua
magnitude absoluta, e portanto, a sua dist^ancia a Terra. Baseando neste fato, esta sendo medido a
expans~ao de universo utilizando as supernovas distantes.
6.2. Colapso Estelar
94
6.2 Colapso Estelar
A din^amica do colapso do caroco de uma estrela pre-supernova e violento. Neste
caso, obviamente, o termo de energia cinetica da materia tem que ser considerado
na descrica~o hidrodin^amica. Assumindo a simetria esferica, a equac~ao de Euler ca,
dv = ;G M (r) ; 1 @p (6.1)
dt
r2
@r
onde o termo de viscosidade foi desprezado. Quando o colapso e extremamente
rapido, podemos considerar que a transfer^encia de energia na materia, via processo
radiativo, pode ser praticamente desprezada. Neste caso, podemos considerar o
processo como localmente adiabatico. Para se ter uma ideia, vamos considerar o
colapso gravitacional de uma esfera homog^enea, de massa M . A densidade = (t)
esta relacionada com o raio R atraves de
M = 43 R3
(6.2)
Se a densidade for constante dentro da esfera, a equac~ao de continuidade ca
1 d r2v = ; _ = 3 R_
(6.3)
r2 dr
R
a qual pode ser integrada em r,
R_
v(r t) = r R
(6.4)
onde a constante de integrac~ao foi determinada pela condica~o contorno,
v(r = 0) = 0
(6.5)
e e consistente com
v(r = R) = R_
(6.6)
A energia cinetica total da esfera e
_ !2 Z R
Z 1
1
4
K = 2 v2d3~r = 2 R
R 4 0 r dr
= 3 M R_ 2
10
(6.7)
6.2. Colapso Estelar
95
Por outro lado, a energia gravitacional da esfera e
e a energia interna
2
EGrav = ; 35 G MR
(6.8)
Eint = E ()M
(6.9)
onde Eint e a energia especca da materia. Agora podemos escrever o Lagrangeano
total do sistema como func~ao de R e R_ ,
3 M R_ 2 ; E ()M + 3 G M 2 L = 10
(6.10)
5 R
do qual, obtemos a equac~ao de movimento para R como
3 M R = ;4R2 p ; 3 G M 2
(6.11)
5
5 R2
Esta e a vers~ao efetva da equac~ao de Euler no caso de uma esfera homog^enea sob
sua propria atrac~ao gravitacional. Para uma esfera com massa acima da massa de
Chandraselhar, com o raio de uma an~a branca (6 109cm), a press~ao interna ca
bem menor do que a forca gravitacional. Neste caso, o sistema entra em regime de
queda-livre,
2
M R = ;G M
(6.12)
R2
Da primeira integral (que e a conservac~ao da energia), temos
s
_R = 2GM 1 ; 1
(6.13)
R R0
3
s 3 2q
s
R0 4 x(1 ; x) + tan;1 1 ; x 5 = t
(6.14)
2GM
x
onde x R=R0 . Assim, a escala de tempo caracterstica do colapso do caroco de
uma pre-supernova e
s 3
R0 ' 2 seg !
(6.15)
colapso = 2GM
6.3. Neutronizacao
96
6.3 Neutronizac~ao
O colapso estelar induz tambem um outro efeito, o qual altera a estrutura da
materia. A medida que a densidade do caroco cresce, a energia de Fermi do gas
degenerado de eletron aumenta ate valores bastante altos de tal forma que ca mais
vantajoso para a materia estelar absorver eletrons atraves do nucleo e em troca
emitir neutrinos (captura eletr^onica = processo inverso do decaimento ),
(A Z ) + e ! (A Z ; 1) + (6.16)
mesmo se a massa do nucleo (A Z ; 1) seja maior do que a massa do nucleo (A Z ).
Isto ocorre porque, devido a interac~ao eletromagnetica, os eletrons t^em livrepercurso medio em escala microscopica mas os neutrinos, que n~ao est~ao sujeitos
a esta interac~ao, escapam da materia quase que livremente no inicio de colapso.
Ou seja, a materia e completamente opaca para os eletrons, connando-os, mas
transparente para os neutrinos. Isto signica que o processo de captura eletr^onica
permite liberar energia para fora da estrela. Assim, o colapso avanca e ocorrem
capturas eletr^onicas que tornam a materia cada vez mais rica em n^eutrons (neutronizac~ao). O peso molecular aumenta cada vez mais. Isto implica numa reduc~ao
relativa da press~ao do gas de eletrons comparada com o aumento da press~ao gravitacional. Em termos de equaca~o de estado, o ndice adiabatico efetivo, , ca
ainda menor do que 4=3, que e o limite da instabilidade contra colapso. Assim,
o processo de colapso do caroco de uma supernova e um processo auto-acelerado,
praticamente em queda livre.
6.4 Onda de Choque
A medida que o colapso se desenvolve, a densidade central aumenta ate que os
nucleos dentro da materia comecam a se tocar ( ' 1013 g=cm3), formando a
materia nuclear. Neste regime, a press~ao da materia n~ao e dada pela apenas a
do gas de eletron degenerado, mas precisamos incluir a press~ao causada pelas interaco~es fortes que atuam entre nucleos. Discutiremos com mais detalhes como
tratar as interac~oes nucleares no proximo Captulo, enquanto que aqui vale apenas
mencionar que o ndice adiabatico comeca a crescer cando maior do que 4=3 e
chegando a quase 2 quando atinge valores acima da densidade da materia nuclear (nm ' 1014g=cm3). Isto implica que existe, em princpio, um novo ponto de
equilbrio hidrostatico na regi~ao de densidade nuclear (ver a discuss~ao do Captulo
de Massa de Chandrasekhar). Esta congurac~ao e chamada de estrela de n^eutrons.
6.4. Onda de Choque
97
Devido ao aumento do ndice adiabatico, que corresponde ao endurecimento da
materia contra compress~ao, a materia comeca a se empilhar no centro, formando
o caroco da estrela de n^eutrons. De fora para dentro, a materia continua caindo
em cima deste caroco. Por outro lado, o caroco da estrela de n^eutrons vai sendo
comprimido devido ao efeito de inercia ate atingir uma densidade maxima. Em
seguida comeca a se expandir devido a alta press~ao atingida. Assim, ocorre uma
especie de colis~ao da materia numa regi~ao que corresponde a separac~ao da parte
interna (estrela de n^eutrons) e da externa (envoltoria a ser detonada). Se esta
\colis~ao" transferir bem a energia da parte central para a envoltoria, uma ejec~ao
de massa ocorre.
O mecanismo acima pode ser entendio com o seguinte modelo ilustrativo. Vamos
considerar 2 massas, m1 e m2 , caindo dentro de um tubo. A massa m1 comeca na
altura h1 e a massa m2 em h2 com
h1 > h2
(6.17)
Dependendo da velocidade inicial, a massa m2 atinge o ch~ao antes da massa m1 ,
e volta para cima. Vamos supor que a elasticidade seja 1. O evento que ocorre
em seguida e a colis~ao da massa m1 (que continua caindo) com a massa m2 (que
esta subindo apos atingir o ch~ao). Dependendo das velocidades na hora da colis~ao,
pode ocorrer que a velocidade da massa m2 apos a colis~ao se anule, transferindo,
portanto, a maxma energia cinetica para a massa m1(para acima). Escolhendo a
condica~o inicial adequadamente, podemos obter uma congurac~ao nal em que a
massa m2 ca em repouso no ch~ao, tendo transferindo toda a sua energia para
a massa m1 . Este modelo simples pelo menos serve para mostrar como a energia
gravitacional inicial da massa m2 e transferida para m2 na forma de energia cinetica.
Na din^amica da materia contnua, a situac~ao e um pouco mais complicada. Em
particular, a formac~ao de uma onda de choque exerce um papel fundamental na
transfer^encia de massa e energia do centro para a envoltoria. Em primeiro lugar,
vamos estudar a formac~ao de ondas de choque num uido unidimensional. As
equac~oes que temos que resolver s~ao
@v + v @v + 1 @p = 0
(6.18)
@t @z @z
@ + v @ + @v = 0:
(6.19)
@t @z @z
6.4. Onda de Choque
98
Vamos procurar uma soluc~ao de onda simples. Pela onda simples, denimos um
tipo de soluc~ao na qual a depend^encia em z e t de todas as variaveis hidrodin^amicas,
por exemplo, e v, sera descrita atravez de uma unica func~ao f (z t),
= (f )
(6.20)
v = v(f )
(6.21)
No caso da equac~ao de onda linearizada, como no caso da onda sonora que vimos,
a soluc~ao geral da equac~ao de onda e dada por
(z t) = f1(z ; ct) + f2 (z + ct)
(6.22)
onde f1 e f2 s~ao func~oes arbitrarias, as quais devem ser determinadas pelas condic~oes
de contorno e condic~oes iniciais. O primeiro termo representa uma onda que se
propaga para a direita mantendo sua forma e o segundo uma onda que se propaga
para a esquerda. Dependendo da condica~o de contorno, e possvel ter a soluc~ao
apenas com f1 ou f2 . Quando isto acontece, a onda e chamada de simples.
A soluca~o de onda simples mesmo para uma equaca~o n~ao-linearizada (6.20,6.21)
existe, dependendo da condica~o de contorno. Para uma soluca~o simples, existe
ent~ao uma relac~ao funcional entre e v, eliminando f ,
= (v):
(6.23)
Supondo a exist^encia da relaca~o Eq.(6.23) e a adiabaticidade da din^amica, temos
1 @p = 1 dp @ = 1 dp d @v = c2 () d @v (6.24)
@z
d @z d dv @z
dv @z
@ = d @v (6.25)
@t
dv @t
onde
dp
c2() d
e a velocidade do som no meio. As equac~oes (6.18,6.19) cam
!
@v = ; v + c2() d @v @t
!dv @z
d @v = ; v d + @v :
dv @t
dv
@z
(6.26)
(6.27)
(6.28)
6.4. Onda de Choque
Se
@v
@t
e
@v
@z
99
n~ao forem nulas, temos que ter
!
c() d
dv = :
Integrando,
Z
(6.29)
v () = c() d:
Sem perder a generalidade, escolhemos o sinal + (escolhendo a direca~o de propagac~ao).
Substituindo esta express~ao de volta na Eq.(6.27), temos
@v = ; (v + c()) @v :
(6.30)
@t
@z
Vamos representar o campo de velocidade acima no plano t ; z. Uma forma facil
de visualizarmos uma func~ao a duas variaveis v(z t) no plano t ; z e considerar as
curvas de equi-velocidade,
v(z t) = const:
Para isto, consideramos a curva
z = z/(t)
(6.31)
que satisfaz a condic~ao de equi-velocidade para um dado valor de v = v/,
v(/z(t) t) = v/ = const:
(6.32)
Podemos ter a imagem da func~ao v(z t) tracejando as curvas (6.31) para varios
valores de v/.
Para determinar a forma da func~ao (6.31), derivamos os dois lados da Eq.(6.32)
em t, temos
@v dz/ + @v = 0:
(6.33)
@z dt @t
Comparando com Eq.(6.30), vemos que
dz/ = v/ + c(/)
(6.34)
dt
onde / e a densidade correspondente a v = v/, i.e., / = (/v). Como v/ e constante,
dz tambem e constante. Da conclumos que a curva de equi-velocidade no plano
dt
(t ; z) e uma reta.
6.4. Onda de Choque
100
Como um exemplo ilustrativo concreto, vamos considerar um gas num cilndro
semi-innito no qual um pist~ao empurra gradualmente o gas na direc~ao de z positivo. Suponha que a trajetoria do pist~ao seja expressa por,
zp(t) = F (t):
(6.35)
O pist~ao imp~oe uma condic~ao de contorno para o uido. O uido na superfcie
do pist~ao acompanha o movimento do pist~ao com a mesma velocidade. Assim, o
campo de velocidade deve satisfazer a condica~o de contorno,
v(zp(t) t) = dF
(6.36)
dt vp(t):
Deste modo, a linha de v; constante (a reta, (6.34)) que passa por um ponto da
trajetoria do pist~ao,
(tp zp)
e dada por
z/(t) ; zp = vp + c((vp))] (t ; tp) (6.37)
onde (vp) deve ser obtida invertendo a relaca~o (6.29),
Z c()
v () =
d:
(6.38)
0 A eq.(6.37) mostra que nos pontos cujo coordenadas s~ao
(t z/(t))
(6.39)
a velocidade do uido tem o valor dado por vp. Por outro lado, ja que
zp = zp(tp)
vp = vp(tp)
s~ao dados pelo movimento do pist~ao, podemos olhar a Eq.(6.37) como uma equac~ao
que determina o valor de tp para dados valores de
(t z):
(6.40)
Assim, resolvendo a Eq.(6.37) em relac~ao a tp, temos
tp = tp(t z)
(6.41)
6.4. Onda de Choque
que, por sua vez, determina o campo de velocidade
dF
v(z t) = dt :
p tp =tp (zt)
101
(6.42)
Como um exemplo concreto mais simples, vamos supor que a velocidade sonora
seja constante,
c = Const:
Neste caso, temos
(6.43)
v() = c ln( )
0
Ainda consideramos que o pist~ao tenha uma acelerac~ao constante. Assim,
zp = F (tp) = 12 at2p vp = atp:
(6.44)
Neste caso, a eq.(6.37) ca
z ; 12 at2p = atp + c] (t ; tp):
(6.45)
Considerando todos os valores de tp temos uma famlia de retas (Ver Fig. 8). Desta
gura obervamos que as retas comecam a se sobrepor apos um certo valor de tp.
Para determinar tal valor de tp, vamos reescrever a Eq.(6.45) na forma,
at2p + 2 (c ; at) tp + 2 (z ; ct) = 0:
Este valor de tp somente existe quando
(c ; at)2 ; 2a(z ; ct) 0
isto e,
2
z 12 at2 + 2ca :
A equac~ao,
2
z = zenv (t) 21 at2 + 2ca representa a curva da envoltoria para a famlia de linhas v = const. Para a regi~ao
abaixo desta envoltoria
2
z 12 at2 + 2ca
6.4. Onda de Choque
102
existe uma unica raiz positiva para tp
q
se
Entretanto, para
(c ; at)2 + 2a(ct ; z) ; (c ; at)
tp =
a
z < ct:
z > ct
existem duas raizes positivas de tp. Isto signica que nesta regi~ao existem dois
possveis valores de v num dado espaco-tempo. Ou seja, o perl da densidade para
este t,
(t z)
e uma func~ao de duplo valores de z. (Ver Fig. 9-a). Isto sicamente n~ao e aceitavel.
A fonte do problema e a superposic~ao da onda simples e a condica~o de adiabaticidade. O que esta acontecendo e que quando o sinal emitido no tempo anterior for
alcancado pelo sinal emitido posteriormente, a transmiss~ao de energia, via equac~ao
de Euler adiabatica, n~ao ca consistente com a conservac~ao do momento. Neste
ponto, massa comeca ser acumulada violando a condic~ao de equilbrio local.
Matematicamente falando, o ponto onde a materia e acumulada provocando o
surgimento de uma soluc~ao n~ao-fsica, aparece como uma singularidade da equac~ao
de Euler. Neste ponto, as equac~oes dierenciais da hidrodin^amica n~ao devem valer,
pois as relac~oes termodin^amicas neste ponto s~ao bem diferentes do equilbrio. Desta
forma, surgem descontinuidades nas quantidades hidrodin^amicas as quais referimos
como onda de choque. O que acontece na realidade com a funca~o de perl da densidade e ilustrado na Fig.9-b. A descontinuidade da onda de choque funciona como
uma parede que impede que o sinal se propague mais rapidamente do que a velocidade do som. Na Fig.10, mostramos o desenvolvimento do prole da densidade
obtido por um calculo numerico.
Em vez de um cilindro semi-innito, se existir uma parede real do outro lado do
cilindro, a onda de compress~ao pode ser reetida pela parede antes da formac~ao
da onda de choque. Neste caso, surge uma onda de choque na direc~ao oposta ao
movimento do pist~ao, provocando uma colis~ao do uido (Fig. 11). Esta situac~ao se
parece mais com o caso da supernova, embora devido a simetria esferica, apareca
6.4. Onda de Choque
103
um fator geometrico, r2, que n~ao permite uma analise similar ao caso unidimensional. No entanto, justamente por causa deste fator, o centro da esfera, r = 0 se
comporta como se fosse uma parede de reex~ao. Alem disto, o mesmo fator tem
o efeito de amplicar o crescimento da densidade central devido ao acumulo de
massa na regi~ao. Assim, a onda de compress~ao chega primeiro ao centro, e a densidade central cresce rapidamente. Em sequida, a materia no centro comeca expandir
para fora que colide o resto da materia do envoltorio que ainda esta caindo. Este
processo gera uma onda de choque que vai propagar para fora.
Do ponto de vista matematico, a onda de choque atua como uma condic~ao de
contorno que conecta duas regi~oes nas quais as equaco~es da Hidrodin^amica s~ao
validas. Lembramos que as equac~oes da Hidrodin^amica s~ao a representac~ao da
conservac~ao de massa, de uxo de momento e de uxo de energia na forma diferencial. Quando existe uma superfcie de discontinuidade, a representaca~o diferencial
n~ao vale mais, embora a lei de conservac~ao continue valendo. Se a espessura da
onda de choque for nula (em geral, e da ordem de algumas vezes o livre-percuso
medio das partculas), concluimos que os uxos de massa, momento e energia que
atravessam a superfcie da onda de choque devem ser conservados. Assim, para
duas regi~oes separadas pela superfcie de onda de choque, temos,
1. Conservac~ao da massa:
1v1 = 2 v2
(6.46)
2. Conservac~ao do momento por massa:
p1 + 1 v12 = p2 + 2v22 (6.47)
3. Conservac~ao da energia especca'
"1 + 12 v12 = "2 + 21 v22 :
(6.48)
Os ndices se referem as duas regi~oes de dois lados da onda de choque. As velocidades do uido v1 e v2 s~ao as velocidades relativas a superfcie da onda de choque.
Escrevendo
1 v1 = 2v2 = j
6.4. Onda de Choque
104
e eliminando v1 e v2 usando Eq.(6.47), temos
j 2 = (p2 ; p1 )=(V1 ; V2 )
(6.49)
onde V = 1= e o volume especco. Usando ainda a Eq.(6.48), temos
"1 ; "2 + 12 (V1 + V2) (p2 ; p1) = 0
(6.50)
o que determina uma relac~ao entre p2 e V2 para dados p1 e V1, quando a equac~ao de
estado e especicada. Esta equac~ao e chamada de condic~ao adiabatica de HugniotRankine. Uma das consequ^encias importantes desta analise e o fato de existir descontinuidade na entropia da onda de choque. O aparecimento da onda de choque,
portanto, aquece a materia atras do choque.
No caso da supernova, como foi dito anteriormente, deve existir um mecanismo
de transfer^encia de energia do interior da onda de choque para a parte externa.
Se este mecanismo n~ao for eciente, a parte interna n~ao pode formar a estrela de
n^eutrons em seu centro, pois o estado hidrostatico n~ao pode ser formado sem perder
sua energia (lembre-se do Teorema Virial), e a parte exterior n~ao explode. Um
mecanismo sugerido e o do \bounce" hidrodin^amico, com o modelo de duas massas
em queda sequencial, ou seja, a colis~ao entre dois uidos, um na parte interior a
onda de choque, e outra na parte exterior. Este mecanismo e, sem duvida, bastante
atraente e foram feitas muitas simulac~oes numericas utilizando os computadores
do maior porte existentes. De fato, este mecanismo funciona de uma certa forma.
Este mecanismo e chamado de onda de choque imediata. Entretanto, tambem cou
claro que o mecanismo de choque imediato n~ao necessariamente funciona. Dentro
do conhecimento atual da equac~ao de estado da materia, parece ser inevitavel que
a onda de choque que se propaga para fora acabe perdendo sua energia devido ao
processo de fotodesintegrac~ao do 56 Fe,
56 F
4
e + ! 13 He + 4n
(6.51)
que e um processo endotermico. Este processo ocorre, portanto, atras da onda
de choque, a materia e extremamente aquecida (a condic~ao de Hugniot-Rankine).
Uma reaca~o deste tipo consome uma energia de cerca de 8:8MeV , o que e uma
quantidade enorme. Como existe uma camada espessa de Fe em volta, o processo
e inevitavel. Desta forma, a energia da onda de choque e consumida. Sem outro
mecanismo de transfer^encia de energia cinetica para fora, a onda de choque acaba
6.5. Papel dos Neutrinos
105
se perdendo pela queda contnua da materia externa contra ela. Finalmente a onda
de choque se estagna num raio de cerca de 600km e, no nal, volta a cair para o
centro. Neste caso, n~ao ocorrera a explos~ao naturalmente. A estrela inteira tende
a colapsar, sem recuperac~ao.
6.5 Papel dos Neutrinos
O fato e que as supernovas existem, e n~ao s~ao poucas. A falha da explos~ao no
modelo de onda de choque imediata acima n~ao pode, portanto, acontecer com
muita facilidade. E possvel que para estrelas de massa muito grande, o colapso
total na direc~ao de um buraco negro aconteca, mas para estrelas ate cerca de 20
vezes maior que o Sol deve ocorrer a explos~ao!
Na decada de '70 foi reconhecida a import^ancia do neutrino no processo de explos~ao de supernova. O desenvolvimento de computadores de grande porte tambem
permitiu executar as simulaco~es de explos~oes, incluindo a equac~ao de transporte
de neutrinos. Foi observado que, apos o surgimento da onda de choque imediata,
a materia interna tende a formar um caroco, a pre-estrela de n^eutrons. Nesta densidade ( ' NM ), os neutrinos s~ao os unicos que podem escapar deste caroco,
gerando luminosidade. Mesmo assim, eles n~ao escapam livremente, mas em regime
de difus~ao. Dependendo da opacidade da materia nuclear quente, a luminosidade
dos neutrinos deste caroco e enorme, alcancando ate 5 1052 erg= sec. Quando este
uxo de neutrino \ilumina" a regi~ao da onda de choque, uma parte da energia e
momento s~ao transferidas para a materia, reanimando a onda de choque.
Embora a maioria dos especialistas acredite que o cenario acima mencionado
seja o mecanismo de explos~ao de supernovas do tipo II, os calculos dos varios
grupos ainda n~ao chegaram a um acordo. O sucesso do mecanismo de explos~ao
depende crucialmente de varios fatores, tais como a equaca~o de estado, a opacidade
de neutrino, a exist^encia de corrente convectiva, a n~ao simetria esferica, e ate o
proprio codigo numerico. O efeito da Relatividade Geral para o tratamendo do
campo gravitacional tambem parece n~ao ser desprezvel. Aqui cabe lembrar mais
uma vez de que as explos~oes de supernovas existem e este parece ser um mecanismo
bastante robusto, pela frequ^encia observada.
7
Estrela de N^eutrons e Buracos Negros
7.1 Relatividade Geral
7.1.1 Conceitos Basicos
Pela limitac~ao de tempo, n~ao podemos estudar aqui a Teoria da Relatividade Geral
(TRG) em detalhes. Entretanto o fen^omeno de instabilidade de estrelas de n^eutrons
e formac~ao de buracos negros e uma boa oportunidade para introduzir a TRG. Embora n~ao seja nossa intenc~ao fazer nenhum estudo profundo, tentaremos introduzir
alguns conceitos fundamentais da TRG.
Uma caracterstica importante da natureza da forca gravitacional e que a acelerac~ao produzida pela forca gravitacional n~ao depende da massa de uma partcula,
como e conhecido pela famosa experi^encia de Galileo na Torre de Pisa1 . Em outras
palavras, a massa gravitacional e a massa inercial s~ao equivalentes. Este e chamado
de Princpio da Equival^encia. A validade do Princpio da Equival^encia leva a possibilidade de interpretarmos a origem da forca gravitacional de uma forma bastante
interessante, diferentemente das outras interaco~es, tais como o eletromagnetismo.
Devido ao Princpio da Equival^encia, na equac~ao de movimento de uma partcula
num campo gravitacional as massas se cancelam nos dois lados, desaparecendo
completamente. Assim, a acceleraca~o causada por um campo gravitacional sobre
uma partcula e n~ao depende de qual era a partcula em termos de sua estrutura,
nem de sua massa. Esta propriedade lembra, por exemplo, a forca centrfuga. A
accelerac~ao devido a forca centrfuga tambem n~ao depende da massa da partcula,
nem da sua estrutura. Ent~ao, sera que a forca gravitacional e um tipo de forca
analogo a forca centrfuga? Vamos rever o que e a forca centrfuga.
Considere uma partcula de massa m. Se n~ao houver nenhuma forca atuando
sobre ela sua equac~ao de movimento e dada, num sistema de coordenadas S inercial,
1 Na verdade, para provar esta propriedade da forca gravitacional, Galileo n~ao baseou na experi^encia
da Torre de Pisa. Dizem ate mesmo que a experi^encia nunca ocorreu.
7.1. Relatividade Geral
por
107
d2~r = 0
(7.1)
dt2
Vamos agora observar esta mesma partcula num outro sistema de coordenadas,
digamos S 0 , o qual esta em movimento n~ao uniforme em relaca~o ao sistema S .
Para estabelecer a equac~ao de movimento no sistema S 0, temos que relacionar as
coordenadas ~r0 com ~r.
~r = ~r(~r 0 t):
(7.2)
Em termos de componentes,
dxk = X dx0i @xk + @xk
(7.3)
0
dt
@t
i dt @xi
e
d2 xk = X d2 x0i @xk + X X dx0i dx0j @ 2 xk + 2 X dx0i @ 2 xk + @ 2 xk (7.4)
0
0 0
0
2
dt2
@t2
i dt @xi
i j dt dt @xj @xi
i dt @xi @t
Desta forma, mesmo que a equac~ao de movimento num sistema S seja de partcula
livre, num outro sistema de coodenadas, S 0, n~ao necessariamente sera de partcula
livre'
X d2x0i @xk X X dx0i dx0j @ 2 xk
X dx0i @ 2 xk @ 2 xk
+
+
2
(7.5)
0
0 0
0 + @t2 = 0:
2
i dt @xi
i j dt dt @xj @xi
i dt @xi @t
Multiplicando Eq. (7.5) pelo inverso da matriz,
!
k
Mki @x
(7.6)
@x0i temos
d2x0k + X X X M ;1 dx0i dx0j @ 2 xl
(7.7)
kl dt dt @x0 @x0
dt2
j
i
i
j
l
X ;1 (X dx0i @ 2 xl @ 2 xl )
+ 2 Mkl
(7.8)
0 + @t2 = 0
i dt @xi @t
l
A Eq.(7.7) mostra que, mesmo que a relac~ao (7.2) seja uma mera transformac~ao
de coordenadas sem ter depend^encia explicita em t,
~r = ~r(~r 0 )
7.1. Relatividade Geral
a equaca~o de movimento no sistema de coordenadas S 0 teria a forma,
d2x0k + X X ;ij dx0i dx0j = 0
k dt dt
dt2
i j
108
(7.9)
onde denimos
;ijk X
j
2x
l
Mkl;1 @x@0 @x
0:
j
i
(7.10)
o chamado de smbolo de Christo0el. ; n~ao seria nulo para uma transformac~ao
n~ao linear de coordenadas. A Eq. (7.9) mostra que num sistema de coordenadas
curvilineas, a trajetoria de uma partcula livre se apresenta como se existisse uma
forca atuando sobre a partcula. E obvio que esta forca aparente e uma propriedade
geometrica do sistema de coordenadas em uso. Um ponto importante e que a accerelac~ao criada pela forca aparente de natureza geometrica do sistema de coordenadas naturalmente n~ao depende da natureza da partcula em movimento, ou seja,
a acelerac~ao e universal para qualquer tipo de partcula. E ai que entra a possibilidade de formular a forca gravitacional como sendo uma propriedade geometrica
do espaco-tempo.
A equac~ao (7.9) continua representando o movimento da partcula livre, apesar
dela ter um aspecto diferente da usual denic~ao de uma partcula livre,
d2x = 0:
dt2
Mas qual e a raz~ao fsica para que um determinado sistema de coordenadas seja
mais adequado para denir se a partcula e livre ou n~ao? Por exemplo, porque
a raz~ao, se existir, pela qual o sistema de coordenadas Cartesiano e melhor que
o sistema de coordenadas polar? N~ao deve haver nenhuma. A Natureza n~ao quer
saber se nos usamos um tipo de sistema de coordenadas ou outro. Desta forma,
a denic~ao de partcula livre com acceleraca~o nula n~ao parece satisfatoria. Devemos procurar uma outra denica~o que n~ao dependa da escolha do sistema de
coordenadas.
O que e uma quantidade preservada na mudanca de um sistema de coordenadas
7.1. Relatividade Geral
109
para outro? Na geometria diferencial, isto e conhecido como elemento de linha,
dl2 =
X
ij
gij dxidxj gij dxidxj 2
(7.11)
onde G = (gij ) chamado de tensor metrico, dene a propriedade geometrica do
sistema de coordenadas. Por exemplo, num sistema cartesiano,
0
1
1 0 0
GjCartesiano = B
(7.12)
@ 0 1 0 CA
0 0 1
e no sistema de coodenadas esfericas,
0
1
1 0
0
GjEsf erica = B
0 C
(7.13)
@ 0 r2
A
2
2
0 0 r sin onde escolhemos x1 = r x2 = e x3 = . Para outro sistema de coordenadas
qualquer, podemos calcular o tensor metrico G pela regra do produto matricial,
Gjdepois
= *T Gjantes *
(7.14)
onde * e uma matriz cujo elemento e denido pela transformaca~o de coordenadas,
xantes ! xdepois por
i @xidepois !
*j =
(7.15)
@xjantes
ja que temos que ter
dl2 = ( Gjantes)ij dxiantes dxjantes =
Gjdepos
ij
dxidepoisdxjdepois
(7.16)
Ate aqui, parece tudo ser mera manipulaca~o matematica. Mas isto muda conceitualmente se associarmos uma nova entidade matematica a G como um todo.
Isto e, se consideramos que existe uma quantidade G independente da escolha do
sistema de coordenadas e que cada matriz tal como GjCartesiano Gjesferico Gjantes e
Gjdepois nada mais seja do que uma das representac~oes da quantidade u
nica G . Isto
2 Para simplicar a visualizac~ao, omitimos o smbolo de somatorio sobre i e j . Foi o Einstein que
introduziu esta convenca~o de que sempre existe somatorio sobre os ndices repetidos numa express~ao. Ele
comentou, brincando, que esta e sua unica contribuic~ao importante na Matematica... .
7.1. Relatividade Geral
110
e mesmo que considerar, por exemplo, o vetor A~ como uma entidade abstrata que
existe independentemente de sua representaca~o denida em termos de seus componentes num sistema de coordenadas, tal como A~ ! (Ax Ay Az ). Neste sentido, a
regra (7.14) pode ser vista como a lei de transformaca~o do tensor metrico. Assim,
denimos um tensor como a quantidade que se transforma de acordo com (7.14).
No caso de um vetor, existem algumas quantidades associadas as propriedades
intrinsecas deste vetor, tais como o seu tamanho. Do mesmo modo, para um tensor
existem certas quantidades que representam suas propriedades intrinsecas. No caso
do tensor metrico, podemos considerar que tal propriedade intrinseca seja justamente a propriedade geometrica intrinseca do espaco. Por exemplo, a curvatura
escalar. No caso do tensor metrico dado pela Eq.(7.12), a curvatura seria nula. Isto
porque, uma vez que a curvatura e uma propriedade geometrica intrinseca, a curvatura calculada por qualquer uma das express~oes GjCartesiano Gjesferico Gjantes e
Gjdepois forneceria o mesmo valor, ou seja, zero.
Naturalmente, dependendo das propriedades do espaco, o tensor metrico pode
possuir curvatura n~ao nula. Por exemplo, o espaco bidimensional, denido numa
superfcie de uma esfera tridimensional tem curvatura n~ao nula. Num espaco com
curvatura n~ao nula, a geometria Euclidiana n~ao vale. Por exemplo, a soma dos
angulos internos de um triangulo na superfcie de uma esfera n~ao e igual a .
Desta forma, num espaco com curvatura n~ao nula, o conceito geometrico basico
deve ser alterado tais como reta. N~ao existe uma reta. O conceito correspondente
num espaco curvo a reta e denido como geodesico, isto e, a trajetoria que tem a
menor dist^ancia entre dois pontos dados.
Podemos agora formular o conceito de movimento de uma partcula livre. Num
sistema de coordenadas Cartesianas, o movimento de partcula livre e dado por uma
reta no espaco. Desta forma, podemos denir como trajetoria, entre dois pontos no
espaco, de uma partcula livre aquela que tem o menor comprimento entre todas as
possveis trajetorias. Em outras palavras, podemos formular o problema em termos
do princpio variacional. Queremos determinar uma trajetoria,
xi = xi(s)
onde s e um par^ametro, que minimize a dist^ancia entre dois pontos,
Z
I dl = 0
(7.17)
(7.18)
7.1. Relatividade Geral
Ou, explicitamente,
Zq
Z s dxi dxj
gij dxidxj = gij ds ds ds = 0:
111
(7.19)
Sendo I uma quantidade escalar, esta equac~ao agora pode ser estendida para qualquer sistema de coordenadas. A variaca~o deve ser feita em relac~ao a trajetoria,
xi (s) ! xi(s) + xi (s)
A equac~ao de Euler-Lagrange para a Eq.(7.19) ca
0
1
0s
1
s
d @g dxj = g dxl dxm A ; @ @ g dxl dxm A = 0
(7.20)
lm
lm
ds ij dt
ds ds
@xi
ds ds
Como s e um par^ametro que pode ser ajustado livremente, e podemos escolher a
propria dist^ancia percorrida, ou seja
s
l dxm
ds = dl = glm dx
(7.21)
ds ds ds
temos, portanto,
s
l dxm
glm dx
(7.22)
ds ds = 1:
Neste caso, podemos mostrar que a Eq.(7.20) resulta em
d2xi + ;i dxj dxk = 0
(7.23)
jk ds ds
ds2
onde
(
)
1
@g
lj @gkl @gjk
i
;
1
;jk gil
(7.24)
2
@xk + @xj ; @xl
e o smbolo de Christo0el. Podemos vericar que a Eq.(7.24) e de fato equivalente
a Eq.(7.9). Formulamos assim o conceito de partcula livre, independentemente do
sistema de coordenadas, via Eq.(7.18).
O que foi descrito acima pode ser estendido para o espaco-tempo. Segundo a
Teoria da Relatividade Restrita, qualquer lei fsica independe da escolha do sistema inercial. Um sistema de coordenadas espaco-temporal, fx = 0 1 2 3g3
3 Usualmente x0
= ct x1 = x x2 = y x3 = z:
7.1. Relatividade Geral
112
esta relacionada a outro sistema de coordenadas, fx0 g por uma transformaca~o de
Lorentz,
x0 = * x (7.25)
onde a matriz de transformac~ao de Lorentz deve satisfazer a invari^ancia da dist^ancia
propria,
s2 = g x x (7.26)
onde
01 0 0 0 1
B 0 ;1 0 0 CC
(g ) = B
B@ 0 0 ;1 0 CA
(7.27)
0 0 0 ;1
Para estender isto ao sistema de coordenadas espaco-temporal curvilineas, a
transformac~ao global de coordenadas Eq.(7.25) obviamente n~ao e adequada, pois
a transformac~ao deve ser feita localmente. Em analogia ao caso 3-dimensional
(Eqs.7.11 7.19), vamos generalizar a TRR para uma transformac~ao local,
dx0 = * dx
onde
0
* = dx dx
Esta transformac~ao deve satisfazer a condic~ao,
0 dx0 dx0 :
ds2 = g dx dx = g
(7.28)
(7.29)
(7.30)
As leis da fsica ent~ao n~ao devem depender da escolha do sistema de coordenadas4 .
Vamos agora estudar o movimento de uma partcula livre. O calculo e exatamente
igual ao caso de 3-dimens~oes, apenas estendendo os ndices. Temos
d2x + ; dx dx = 0
ds ds
ds2
4 Para
(7.31)
uma transformaca~o de coordenadas,
x ! x = x (x)
0
0
e sempre possvel obter , mas o inverso n~ao e verdade. Ou seja, para um dado , n~ao e sempre possvel
obter a forma integrada da transformac~ao acima.
7.1. Relatividade Geral
com
(
113
)
1 g;1 @g + @g ; @g :
(7.32)
2 @x @x @x
A diferenca basica entre a Eq.7.31 e a Eq.(7.20) e que esta tem componente temporal. Para compreender o signicado da Eq.(7.31), vamos considerar o limite n~ao
relativstico da Eq.(7.31). Para isto, em primeiro lugar, consideramos que o tensor
metrico e quase igual ao caso do espaco Minkowskiano e consideramos um sistema
de coordenadas cartesiano,
g = + h (x)
(7.33)
onde
e
Tomando o limite de
; 01 0 0 0 1
B 0 ;1 0 0 CC
( ) = B
B@ 0 0 ;1 0 CA 0 0
0
(7.34)
;1
jh j 1:
jdxi =dx0 j = jv i =cj 1 temos
ds ' cdt:
Neste limite, a parte espacial da Eq.(7.31) ca,
d2xi + ;i ' 0:
c2dt2 00
Da denic~ao de ;, temos que
00
;i00 ' ; 12 @h
@xj :
Finalmente, a equac~ao de movimento ca,
d2 xi = c2 @h00
dt2 2 @xj
ou em forma mais familiar,
!
d2~r = ;r ; c2 h :
dt2
2 00
(7.35)
(7.36)
(7.37)
(7.38)
(7.39)
7.1. Relatividade Geral
114
Esta ultima forma pode ser vista como a equaca~o de movimento de uma partcula
dentro de um potencial gravitacional dado por
2
(7.40)
UGrav = ; c2 h00 :
Assim, o componente (00) do tensor metrico g00 esta associado com o potencial
gravitacional,
g00 ' 1 ; c22 UGrav
(7.41)
no limite da aproximaca~o n~ao relativstica.
A Eq.(7.41) mostra que o campo gravitacional esta associado ao tensor metrico
e, por sua vez, a estrutura geometrica do espaco-tempo. Por outro lado, uma simples transformac~ao de sistema de coordenadas pode alterar o valor da componente
do tensor metrico, inclusive g00. Isto signica que escolhendo um sistema de coordenadas apropriado e possvel eliminar o efeito da aceleraca~o gravitacional, pelo
menos localmente. Por exemplo, para um campo gravitacional homog^eneo escolhese um sistema de coordenadas xo a partcula em queda livre. Neste caso, a equac~ao
de movimento da partcula ca como se n~ao existisse campo gravitacional. O campo
gravitacional homog^eneo n~ao sera, portanto, um verdadeiro campo gravitacional
mas apenas um artifcio causado pela escolha do sistema de coordenadas. Dizem
que Newton descobriu a exist^encia da gravitac~ao da Terra, observando a queda de
uma mac~a. Sem desmerecer Newton, como ele poderia saber se o efeito da queda da
mac~a era gravitacional, ou devido ao movimento accelerado da superfcie da Terra?
Ent~ao, qual e o verdadeiro campo gravitacional? Como ele se distingue do efeito
de accelerac~ao devido a escolha do sistema de coordenadas? Para isto, precisamos
calcular o tensor de curvatura. Se o tensor de curvatura for nulo, ent~ao n~ao ha
campo gravitacional verdadeiro. A verdadeira gravidade n~ao pode ser eliminada
completamente por uma mera escolha do sistema de coordenadas, mesmo dependente no tempo. Por exemplo, no caso do campo gravitacional da Terra, o efeito
da gravidade pode ser eliminado dentro de um pequeno elevador em queda livre,
mas naturalmente isto n~ao elimina o efeito no mundo inteiro.
7.1.2 Equaca~o de Einstein
Ate aqui, discutimos o movimento de um objeto dentro de um dado campo gravitacional. Por outro lado, sabemos que a exist^encia de um objeto massivo gera um
7.1. Relatividade Geral
115
campo gravitacional. Vamos considerar o limite Newtoniano. Neste caso, temos
r2 UGrav
Se usarmos a Eq.(7.39),
= 4G:
(7.42)
(7.43)
= 8 G2 :
c
Na verdade, pela equival^encia de massa e energia, a fonte do campo gravitacional
deve ser a energia. Ent~ao o lado direito deve ser
8 cG4 (7.44)
onde e a densidade da energia. Por outro lado, sabemos que a densidade de
energia n~ao e uma quantidade escalar, mas sim, a componente (00) do tensor
de energia-momento. Deste modo, para satisfazer o Princpio da Relatividade, a
equac~ao para gravitac~ao n~ao pode ser apenas uma componente do tensor, mas deve
haver equac~oes para todas as componentes do tensor. Baseado nestas considerac~oes,
Einstein propos a sua famosa equaca~o5 ,
R ; 21 g R + g = 8 cG4 T T
(7.45)
Aqui, R e o tensor de Ricci, expresso em termos de derivadas do fg g. R e a
curvatura-escalar, denida por
r2 g00
;1 R :
R = R = g
(7.46)
O terceiro termo do lado direito, g e chamado de termo cosmologico. Exceto para
problemas cosmologicos, este termo usualmente e desprezado devido ao pequeno
valor de . T e o tensor energia-momento. A quantidade,
(7.47)
G R ; 12 g R
e chamada de tensor de Einstein. A equac~ao de Einstein e uma equaca~o tensorial,
portanto, 4 4 equac~oes simult^aneas. Entretanto, n~ao s~ao todas independentes,
especialmente quando ha simetria no sistema.
5 D.Hilbert
tambem propos a mesma forma independentemente.
7.1. Relatividade Geral
116
7.1.3 Soluca~o de Schwartzchild
Quem obteve, pela primeira vez, uma soluca~o da Equaca~o de Einstein sem aproximac~ao foi K. Schwarzschild(1916). Ele considerou o seguinte caso:
1. O tensor metrico e estatico e esfericamente simetrico. Isto e, os componentes
do tensor s~ao constantes no tempo e func~ao apenas da coordenada radial, r.
2. N~ao ha materia fora de um certo raio R.
Das duas condic~oes acima, podemos provar que a forma mais geral possvel do
tensor metrico e dada por
0 e 0 0
0 1
B 0 ;e 0
C
(g ) = B
B@ 0 0 r2 00 CCA
(7.48)
0 0 0 r2 sin onde
= (r)
= (r)
s~ao as func~oes incognitas que devem ser determinadas pela Equac~ao de Einstein.
As coordenadas aqui s~ao
x0 = ct
x1 = r
x2 = x3 = :
Neste caso, o tensor de Einstein pode ser calculado facilmente. Os componentes
n~ao nulos s~ao
!
1
1
1
d
0
;
G 0 = r2 ; e r2 ; r dr (7.49)
!
1
1
1
d
;
1
G 1 = r2 ; e r2 + r dr (7.50)
G22 = G33 8
(7.51)
9
!
2
< d d2 1 d
1 d( ; ) = :
= 12 e; : 12 d
; 2;
;
dr dr dr 2 dr
r dr 7.1. Relatividade Geral
117
Pela hipotese de que para r > R n~ao ha materia, T = 0 e, portanto, da Equac~ao
de Einstein, temos G = 0. Ou seja,
!
1 ; e; 1 ; 1 d = 0
2
r2
r r dr !
1 ; e; 1 + 1 d = 0
r2
r2 r dr
!
1 d d ; d2 ; 1 d 2 ; 1 d( ; ) = 0:
2 dr dr dr2 2 dr
r dr
Chamando e; = f , a primeira equac~ao ca
df + 1 ; f = 0
dr
r
que pode ser integrada facilmente,
1 ; f = rs=r
(7.52)
(7.53)
(7.54)
(7.55)
(7.56)
ou
(7.57)
e; = 1 ; rrs
onde rs e a constante de integrac~ao. Por outro lado, subtraindo a Eq.(7.53) da
Eq.(7.52), temos
d ( + ) = 0
(7.58)
dr
portanto + = Const, por sua vez,
e e = Const:
(7.59)
Tomando a condic~ao contorno de que para r ! 1 a metrica se reduz aquela do
espaco Minkowskiano, podemos escolher uma escala de tempo de tal forma que a
constante acima seja 1. Assim
e = e; = 1 ; rrs (7.60)
Ou seja,
g00 = 1 ; rrs :
(7.61)
7.1. Relatividade Geral
118
O valor da constante rs pode ser determinado se usarmos o fato de que para r ! 1
o campo gravitacional seria bastante fraco, tendendo ao limite n~ao relativstico,
como discutimos anteriormente. Neste limite, sabemos que
g00 ! 1 ; c22 UGrav = 1 ; c22 GM
(7.62)
r onde M e a massa do objeto que esta dentro do raio R. Comparando com a
Eq.(7.61), temos que
rs = 2GM=c2
(7.63)
que e chamado de raio de Schwarzschild. Podemos vericar que a Eq.(7.54) n~ao e
independente das outras equac~oes e, portanto, n~ao foi utilizada. Finalmente, temos
a soluc~ao de Schwarzschild para o elemento de linha,
ds2
2
2
GM
dr
2
= 1 ; c2 r (cdt) ;
1 ; c22 GM
r
; r2
2
d + sin2 d2 (7.64)
a qual e valida para o espaco vazio, ou seja r > R.
A soluc~ao de Schwarzschild tem um aspecto bastante curioso. A forma (7.64)
mostra obviamente a presenca de um comportamento singular do elemento de
linha no ponto r = rs. Em princpio, o valor de R (o raio para o qual que n~ao
existe nenhuma materia fora dele, por exemplo, o raio da estrela) e o raio de
Schwarzschild, rs s~ao quantidades independentes. Nas estrelas comuns, temos
R rs :
e nestes casos, a singularidade contida na express~ao (7.64) ca fora da validade
desta soluc~ao. Para r < R, temos que resolver a Equac~ao de Einstein com T n~ao
nulo e conectar o resultado com a soluc~ao externa, Eq.(7.64). No caso do Sol, o
raio de Schwarzschild e cerca de 3km o que e muito menor do que o raio do Sol,
7 105km. Por outro lado, no caso de uma estrela de n^eutrons, o raio tpico e de
cerca de 5~10km, comparavel ao seu raio de Schwarzschild. Em geral, nada impede
que n~ao ocorra
rs > R:
(7.65)
Neste caso, a soluc~ao de Schwarzschild vale inclusive para r = rs. Neste ponto,
o que acontece? Lembre-se que o sistema de coordenadas que esta sendo usado
7.2. Estrutura das Estrelas de neutrons
119
esta calibrado com a metrica Minkowskiana para r ! 1. Ou seja, a medida de
tempo dt e o padr~ao de dist^ancia dr s~ao determinados de acordo com os padr~oes
do observador que esta bem longe do objeto. Para este observador, perto do raio
de Schwarzschild, o andamento do tempo fsico !T aparece como
s
!T = 1 ; 22 GM dt:
c r
pois, para um observador local que esta instantaneamente se movendo com a
partcula em queda livre naquele ponto, o elemento de linha do universo ca localmente Minkowskiano,
ds2 = !T 2 ; !R~ 2 :
(7.66)
Isto e, para um observador bem longe de rs, o intervalo de tempo dt do andamento
do seu relogio que mede o !T fsico de um evento que ocorre em r = rs ca
innito. Em outras palavras, para um observador fora, o andamento do tempo em
r = rs parece como se estivesse parado. Isto vale tambem para a frequ^encia da luz
que se propaga. Assim, a luz que vem da regi~ao do raio de Schwarzschild teria uma
frequ^encia nula quando sai para r ! 1. Nenhuma luz e observada alem do raio
do Schwarzschild!!
Por outro lado, para qualquer material em queda livre n~ao ha nada particular
no ponto r = rs' e simplesmente uma regi~ao igual a outra regi~ao qualquer. So
que, passando esta regi~ao, nenhuma informaca~o sera capaz de ser transmitida para
r ! 1. A superfcie r = rs e chamada de horizonte de eventos. A fsica associado ao
horizonte de evento e bastante curiosa e fascinante como, por exemplo, a radiac~ao
de Hawking, o problema da entropia e mec^anica qu^antica, etc. Infelizmente estes
assuntos ultrapassam o contexto desta aula e n~ao vamos discuti-los aqui.
7.2 Estrutura das Estrelas de n^eutrons
7.2.1 Equilbrio Hidrostatico
Como mencionamos antes, o raio de Schwarzschild para uma estrela de n^eutrons
n~ao e muito pequeno comparado com o proprio raio. Assim, o efeito da Relatividade Geral para a gravitac~ao deve ser considerado. Vamos obter agora a equac~ao
que determina a estrutura de uma estrela de n^eutrons. Naturalmente, esta seria a
generalizac~ao da Eq.(3.44) para TRG. A equaca~o de Einstein e
Ga = T (7.67)
7.2. Estrutura das Estrelas de neutrons
120
onde consideramos novamente uma estrutura estatica e esfericamente simetrica.
Supondo tambem que n~ao exista qualquer efeito de campo eletromagnetico, o tensor
de energia-momento e
0 0 0 0 1
B 0 ;p 0 0 CC
T = B
B@ 0 0 ;p 0 CA
(7.68)
0 0 0 ;p
A express~ao para o tensor metrico (7.48) continua valida,
0 e 0 0
0 1
B 0 ;e 0
C
(g ) = B
B@ 0 0 r2 00 CCA
(7.69)
0 0 0 r2 sin e, por sua vez, os elementos do tensor de Einstein (7.49),(7.50),(7.51) tambem s~ao
mantidos.
!
1
1
1
d
G00 = r2 ; e; r2 ; r dr (7.70)
!
1
1
1
d
1
;
(7.71)
G 1 = r2 ; e r2 + r dr G22 = G33 8
(7.72)
9
!
2
< d d2 1 d
1 d( ; ) = :
; 2;
;
= 12 e; : 12 d
dr dr dr 2 dr
r dr Assim, temos
!
1 ; e; 1 ; 1 d = 2
r2
r r dr !
1 ; e; 1 + 1 d = ;p
r2
r2 r dr
!
1 d d ; d2 ; 1 d 2 ; 1 d( ; ) = ;p:
2 dr dr dr2 2 dr
r dr
A primeira equac~ao pode ser integrada como
Zr
;
e = 1 ; r r2 dr
0
(7.73)
(7.74)
(7.75)
(7.76)
7.2. Estrutura das Estrelas de neutrons
121
Podemos eliminar da terceira equaca~o, utlizando as duas primeiras. Os caclulos
s~ao um pouco complicados, mas temos o resultado como
dp + 1 d ( + p) = 0
(7.77)
dr 2 dr
Reconhecendo que
Zr
4 r2 dr = M (r)c2 (7.78)
0
M (r)c2
onde
e a energia ( inclusive a de massa de repouso) contida na esfera de
raio r, podemos escrever a Eq.(7.76) como,
(7.79)
e; = 1 ; c22Gr M (r):
Para r > R, onde R e o raio da estrela, temos
e; = 1 ; c22Gr M
(7.80)
que e a soluc~ao exterior de Schwarzschild. Portanto, a quantidade
M = 4
ZR
0
r2 dr=c2
pode ser identicada como a massa do sistema vista por um observador bem longe
da estrela. A energia total do sistema ent~ao seria
Etot
= Mc2
= 4
Zr
0
r2 dr
(7.81)
que e simplesmente a integral de volume da densidade de energia da materia. Se
eliminarmos e da Eq.(7.77), temos
dp = ; ( + p) M (r)c2 + 4r3p]
(7.82)
dr
r(r ; 2GM (r)=c2 )
que e a equac~ao de Oppenheimer-Volkov. No limite n~ao relativistico, temos
= c2 + int ' c2
c2 p
r 2GM (r)=c2
7.2. Estrutura das Estrelas de neutrons
122
e, portanto, a equac~ao de Oppenheimer-Volkov se reduz a
dp = ; M (r) dr
r2
que nada mais e do que a equaca~o hidrostatica n~ao-relativstica que obtivemos na
Eq.(3.44).
Para resolver a Equac~ao de Oppenheimer-Volko0, temos que especicar a relac~ao,
p = p()
(7.83)
como no caso anterior. Infelizmente, agora, mesmo com a hipotese tipo politropica,
p = K
(7.84)
n~ao podemos obter uma soluc~ao simples. Como podermos ver do lado direito da
Eq.(7.82) a press~ao e a densidade de energia da materia entram como fontes da
forca gravitacional, alem da densidade da massa de repouso. Quando o sistema ca
compacto, a forca gravitacional aumenta n~ao so porque as dist^ancias entre materia
cam menores, mas tambem porque a densidade de energia aumenta, e portanto,
gera mais forca gravitacional. Este mecanismo de autoalimentac~ao faz com que,
numa situac~ao extrema, a propria press~ao que tenta sustentar o colapso coopere
para colapsar ainda mais. No caso da gravitaca~o Newtoniana, se a materia tiver
press~ao suciente, ou seja,
d ln p = > 4=3
(7.85)
d ln sempre existe um ponto de equilbrio para qualquer massa do sistema. No caso da
Relatividade Geral, foi mostrado que independentemente do valor do , sempre
ocorre uma instabilidade gravitacional para massas maiores do que certo valor
M . Este valor limite da massa depende da equaca~o de estado. Oppenheimer e
Volko0 mostroram que para estrelas formadas de gas de n^eutrons degenerado,
o valor maximo de M e cerca de 3=4M. Na decada de 70, foram feitos varios
calculos sobre a estrutura das estrela de n^eutrons, juntamente com a investigac~ao
das propriedades da materia nuclear.
7.2. Estrutura das Estrelas de neutrons
123
7.2.2 Princpio Variacional
A express~ao da energia total, (7.81) parece ser um resultado trivial. No entanto,
devemos lembrar que esta energia contem a energia de gravitac~ao. Como? Para
isto, precisamos incluir o efeito geometrico da forca gravitacional. No caso esferico
e estatico, a Eq.(7.79) e a relaca~o que vale entre o efeito de distorca~o do espaco e
a distribuic~ao da energia. O elemento de linha espacial ca,
2
dl2 = e=2 dr + r2d2 + r2 sin2 d2:
(7.86)
Da podemos ver que o elemento de volume deste espaco e
d3V = e=2 r2dr sin dd:
(7.87)
Assim, se a densidade numerica da materia n(r) for dada, ent~ao, o numero total
de partculas do sistema e
Z
N = 4 n(r)e=2 r2dr
(7.88)
e a energia total interna do sistema mais a energia de massa de repouso seria,
Z
Eint = 4 (r)e=2 r2dr:
(7.89)
Como e 1, sempre (se n~ao tiver singularidade), ent~ao,
Eint Etot = 4
Zr
0
r2 dr:
(7.90)
Ou seja a integral da energia, inclusive a massa de repouso e maior que a massa
total do sistema vista por um observador afastado. A raz~ao disto e que para este
observador, a energia total da estrela, percebida como a massa do sistema atraves
da sua forca gravitacional, contem tambem a energia gravitacional. Desta forma,
a diferenca,
Z r
!E = Etot ; Eint = 4
e=2 ; 1 r2 dr
(7.91)
0
pode ser considerada como a energia gravitacional do sistema. De fato, no limite
de pequena gravitac~ao,
v
u
u
=
2
e =t
1
G
1
' 1 + 2 M (r ) = 1 ; 2 UGrav (r )
cr
c
1 ; c22Gr M (r)
(7.92)
7.2. Estrutura das Estrelas de neutrons
temos
!E ' 4 Zr
0
h
i
r2dr =c2 UGrav = EGrav :
124
(7.93)
E interessante observar que pelas considerac~oes acima, podemos formular o
equilbrio hidrostatico relativstico como
Etot n] = 0
com
N n] = 0
ou seja,
Z1
r2dr + e=2 n = 0
(7.94)
0
onde e a constante multiplicadora de Lagrange. Temos
" !
1
#
Z1
@
2
r dr @n n + 2 n
+ n e=2 = 0:
(7.95)
0
Podemos calcular a variac~ao de pela Eq.(7.79),
!
Zr
@ n(r0)
;
0
2
0
e = ; r r dr @n
(7.96)
0
e susbstituindo em (7.95),
" !
!
#
Z1
Zr
@
@
2
3
=
2
0
2
0
0
=
2
r dr @n n ; 2 n r e
r dr @n n(r ) + e n = 0: (7.97)
0
0
O segundo termo da equac~ao acima pode ser reexpresso apos integraca~o por partes,
"
!
#
Z1
Zr
@
2
3
=
2
0
2
0
0
;
2 0 r dr n r e! 0 r dr @n n(r )
Z1
Zr
@
2
= +2
r dr @n n(r) r0dr0e3=2 n(r0)
0
0
e, portanto, o resultado da variac~ao ca,
!
"
!
#
@ + e=2 1 + @ e;=2 Z r r0dr0e3=2 n(r0) = 0:
@n
2 @n
0
(7.98)
7.3. Materia Nuclear e Alem
ou
Zr
=2
e@ + r0dr0e3=2 n(r0) = ; 1 :
2 0
@n
125
(7.99)
Tomando a derivada dos dois lados, temos
2 !
3
d 4 @ ;1 e=2 5 + r e3=2 n(r) = 0:
dr @n
2
Utlizando as relac~oes,
!
@ = + p n
@n !
d @ = 1 dp dr @n
n dr
obtemos a equac~ao de Oppenheimer-Volko0. Esta forma de ver o equilbrio hidrostatico
e util quando mais de uma componente da materia constituem a estrela de n^eutrons.
7.3 Materia Nuclear e Alem
7.3.1 Sistema de Unidade Natural
Daqui, por diante, utilizamos frequentemente o sistema de unidade chamado natural, onde a constante de Planck ~novo e a velocidade da luz cnovo cam iguais a um.
Para isto, basta modicar as unidades do tempo e dist^ancia espacial, de acordo
com
Lnovo =
1
c = 3 1010 cm
sec
tnovo
;
13
~c = 197 10 MeV cm = 1MeV Lnovo :
Portanto, se escolhermos a unidade de energia como MeV , podemos determinar
as novas unidades de dist^ancia e tempo como
Lnovo = 197 10;13cm
197
10;13
tnovo = 3 1010 sec = 6:57 10;22 sec :
7.3. Materia Nuclear e Alem
126
Se tivessemos usado uma unidade da energia como erg, os valores acima teriam
que ser ajustados. Note que os valores cam inversamente porporcionais a unidade
da energia. A escolha de um sistema como este tem justicativa fsica obvia. Por
exemplo, consideremos o movimento de uma partcula com velocidade quase igual
a de luz, tendo o valor de ac~ao da ordem de ~, e sua massa ou energia e da ordem
de MeV , como no caso de um eletron emitido num processo de decaimento de
um nucleo. Ent~ao, quando expressarmos sua equac~ao de movimento neste sistema
de unidade, n~ao teremos nenhuma constante com valores grandes ou pequenos.
Portanto, se o comportamento da soluca~o for normal, todas as quantidades fsicas
devem ser numeros n~ao muito grande nem pequeno. Na unidade natural, a dist^ancia
tem dimens~ao igual ao tempo e inversa da massa ou da energia.
7.3.2 Pro tons numa Estrela de n^eutrons?
Como sabemos, os n^eutrons na Terra decaem apenas em cerca de 12 min convertendose em protons pelo decaimento . Porque ent~ao numa estrela de n^eutrons isto n~ao
acontece? Para ver porque, vamos estimar da maneira mais simples a energia da
materia numa estrela de n^eutrons. Consideramos aproximadamente a materia nuclear como uma soma de gases degenerados de protons e de n^eutrons n~ao relativsticos6. Neste caso, a densidade da energia, sem a parte da massa de repouso e
dada por
= p + n (7.100)
onde
p(n) = 53 EF (np(n) ) np(n)
(7.101)
sendo n a densidade numerica das partculas, e EF a energia de Fermi,
(7.102)
EF (n) = 2m1 (32n)2=3 :
N
mN e massa do nucleon.
A Eq.(7.100) n~ao e completa para a densidade de energia da materia no meio da
estrela, pois a materia e eletricamente neutra e, portanto, precisamos acrescentar
6 Na
vizinhanca da densidade de equilbrio da materia nuclear, o momento de Fermi dos nucleons e
ainda n~ao relativstico,
PF ~(32 n)1=3 15 mn c:
7.3. Materia Nuclear e Alem
127
a energia do gas de eletron que tem a mesma densidade do proton. Se n~ao houvesse eletrons para n^eutronizar as cargas eletricas positivas de protons, a energia
Coulombiana estatica entre os protons se tornaria enorme. Assim, escrevemos
= p + n + e
(7.103)
onde para eletrons, e necessario utlizar as express~oes relativsticas, pois a energia
de Fermi para eletrons nesta densidade e muito maior que sua massa de repouso.
4 q
2 m
e
2
e = 82 xF (xF + 1) 2xF + 1 ; arcsinh xF
m4e x4 = 1 32n 4=3
'
(7.104)
p
42 F 42
onde
1=3
1=3
xF = PmF = m1 32 ne = m1 32np 1.
(7.105)
e
e
e
Aqui, colocamos ne = np pela condic~ao de neutralidade eletrica. Vamos expressar a
energia por partcula, =(np + nn) em termos de densidade bari^onica nB np + nn
e a concentrac~ao de protons, Xp np=nB . Ja que,
np = XpnB nn = (1 ; Xp)nB
temos
E (nB Xp) n = C1n2B=3 Xp5=3 + (1 ; Xp)5=3 + C2n1B=3 Xp4=3 b
onde
C1 = 53 2m1 (32~3)2=3 N 24=3
1
C2 = 42 3
:
(7.106)
Para uma dada densidade bari^onica, nB , existe um valor de Xp que minimiza a
energia por partcula dada por,
@E (nB Xp) = 0
(7.107)
@Xp
7.3. Materia Nuclear e Alem
ou
5C1n1B=3 Xp2=3 ; (1 ; Xp)2=3 + 4C2Xp1=3 = 0
Podemos resolver aproximadamente pela recorr^encia,
2
33
1=3 n
o
Xp = 4 54 C1CnB (1 ; Xp)2=3 ; Xp2=3 5 2
ja que
128
(7.108)
(7.109)
5 C1 n1B=3 = 25 (32nB )1=3 0 04
(7.110)
4 C2
18 mN
e um numero muito menor que 1. Na primeira aproximac~ao, temos
(7.111)
Xp ' 5:7 10;5 nnB MN
o que implica em uma concentraca~o de proton-eletron de cerca de 0,06% na densidade da materia nuclear.
A Equac~ao de mnimo da energia, Eq.(7.107), e equivalente a dizer que
@E = @E (7.112)
@Np @Nn
ou ainda,
p + e = n
(7.113)
onde p e e n s~ao os potenciais qumicos do proton, eletron e n^eutron, respectivamente. Em termos de reac~oes, estas partculas est~ao em equilbrio qumico,
p + e n:
(7.114)
A Eq.(7.113) se reduz a
EFp + EFe = EFn
(7.115)
no limite de completa degeneresc^encia, onde o potencial qumico de cada partcula
e sua energia de Fermi. Como os eletrons s~ao muito mais leves do que nucleons,
a energia de Fermi deles ca enorme numa mesma densidade. Para satisfazer a
equac~ao acima, a densidade dos protons (e dos eletrons) tem que ser bem pequena
comparada com a de n^eutrons. Esta e a raz~ao pela qual a estrela neste regime e
chamada de estrela de n^eutrons, embora isto n~ao signica a estrela de n^eutrons
puros. Em resumo, os n^eutrons numa estrela de n^eutrons n~ao decaem pelo decaimento , porque a alta energia de Fermi dos eletrons ja existentes impede a emiss~ao
de mais outros eletrons que associados no processo de decaimento .
7.3. Materia Nuclear e Alem
129
7.3.3 Equaca~o de Estado da Materia Nuclear - QHD
A aproximac~ao de gas de Fermi degenerado para a materia nuclear e bastante
grosseira. A interac~ao entre partculas tem que ser considerada. O estudo da propriedade da materia nuclear e um dos assuntos mais discutidos na Fsica Nuclear.
Uma teoria correta deve reproduzir os valores dos coecientes que aparecem na
formula de massa, em particular a energia de ligaca~o por partcula (' 16MeV ) e a
densidade do ponto de equilbrio (r0 ' 1:2fm). Uma outra quantidade importante
da materia nuclear e a compressibilidade,
!
2 E (r ) !
E
@
NM (r0 )
2
K
= 9 @2 NMA 0 :
(7.116)
A
Embora as massas (energia de ligaca~o) dos nucleos estaveis n~ao contenham informac~ao sobre K , ele esta relacionado com quantidades mensuraveis como a energia de vibrac~ao no modo de compress~ao, a din^amica uxo dos partculas apos a
colis~ao entre dois ions pesados, etc. Os valores experimentais indicam que
@2
r02 2
@r0
K ' 150 200 MeV:
(7.117)
Foi sugerido, juntamente com a discuss~ao sobre o mecanismo do choque imediato da explos~ao das supernovas, que ha possibilidade de que o valor do K seja
substancialmente menor, ate ' 100MeV .
Um problema de muitos corpos qu^antico e bastante formidavel, em particular,
quando a interac~ao entre partculas e complicado como no caso da interac~ao entre nucleons. Ate a decada de 70, o problema era abordado dentro do formalismo
da teoria de muitos corpos n~ao-relativstica, utilizando potenciais fenomenologicos
entre nucleons. Um dos problemas mais serios e reproduzir a propriedade fundamental da materia nuclear: a saturaca~o. Como vimos, os nucleos t^em quase que a
mesma densidade em toda a tabela periodica. Isto signica que existe uma forte repuls~ao entre nucleons nas curtas dist^ancias para impedir que os nucleos colapsem.
Numa imagem simples, o potencial da interac~ao poderia ter um caroco repulsivo,
v(~r)r!0 ! 1:
Por outro lado, existe uma forca atrativa que mantem os nucleos ligados. Do ponto
de vista teorico, estas propriedades da forca nuclear s~ao muito difcil de ser implementadas. Em particular, uma repuls~ao muito forte em curta dist^ancia entre dois
nucleons causa o seguinte problema.
7.3. Materia Nuclear e Alem
130
Numa teoria de muitos corpos, o tratamento tipo Equaca~o de Boltzman visa
obter uma distribuic~ao de partculas de um-corpo no espaco de fase. Entretanto,
para calcular o termo de colis~ao, por exemplo, precisa-se da probabilidade de se
encontrar uma outra partcula na vizinhanca de uma dada partcula. Vimos que
no procedimento da Equac~ao de Boltzman, isto foi aproximada por um produto de
probabilidades de distribuic~ao de um-corpo. Isto e, a probabilidade de encontrarmos um par de partculas foi escrita por,
P12 / f1f2 :
(7.118)
No caso de problema de materia nuclear, a prescrica~o acima encontra-se logo a
diculdade. Suponha que a materia nuclear seja homog^enea. Para um sistema homog^eneo, obviamente os f 's n~ao dependem da posic~ao e, portanto, esta probabilidade tambem n~ao depende. Por outro lado, se calcularmos a energia media da
interac~ao, teremos
ZZ
<V >
f1 f2v(~r1 ; ~r2)d3r1 d3r2:
(7.119)
Nesta express~ao, se o potencial da interac~ao tem comportamento,
v(~r1 ! ~r2) ! 1
a Eq.(7.119) ca innita tambem.
(7.120)
Na verdade, se o potencial tiver o comportamento do tipo (7.120), ele impediria
um par de nucleons se aproximarem e, portanto, a probabilidade de encontar um
par de partculas depende da dist^ancia relativa entre elas. Portanto, a Eq.(7.118)
n~ao e correta.
A presenca de interac~ao gera uma correlac~ao7 entre as partculas. Desta forma,
para discutir a propriedade da materia nuclear com potencial de caroco repulsivo, e
necessario tratar a func~ao de distribuica~o de 2-corpos. Entretanto, para calcular a
func~ao de distribuic~ao de dois-corpos, precisamos a informaca~o sobre a distribuic~ao
de t^es- e quatro-corpos. Para calcular a distribuic~ao de tr^es-corpos, precisamos a
distribuic~ao de quatro-, cinco- e seis-corpos, e assim por diante. Esta serie indenida de elos que ligam uma distribuica~o de um ordem para as distribuic~oes
7 Quando a probabilidade de ocorrer um par de evento (A B ) n~ao for dada pelo produto das probabilidades do evento A e do evento B , dizermos que existe a correlac~ao entre dois eventos, A e B .
7.3. Materia Nuclear e Alem
131
de ordem superiores e chamada de hierquia no problema de muitos corpos. Desta
forma, sem introduzir alguma aproximac~ao, n~ao e possvel obter uma teoria fechada
para uma distribuic~ao de uma determinada ordem. Na equaca~o de Bolzman esta
hierquia foi cortada em primeiro ordem, introduzindo a hipotese de caos molecular, Eq.(7.118). Podemos introduzir a corte da hierquia na segunda ordem, isto e,
ate a distribuic~ao de dois-corpos. Tais teorias foram extensivamente desenvolvidas
por Brueckner, Bethe, Goldstone, e outros. Mesmo assim, o resultado da teoria n~ao
ca completamente satisfatorio enquanto utilizarmos os potenciais nucleon-nucleon
obtidos pelos experimentos de espalhamento. O raz~ao disto e que a correlac~ao de
ordem mais alta n~ao e desprezvel. Uma sada foi o uso de potenciais efetivos,
que depende da densidade da materia. Um conjunto de potenciais fenomenologicos
foi introduzido por Skyrme e junto com a teoria de Breuckner, obteve bastante
sucesso.
Em 1983, Walecka formulou o problema da materia nuclear de um ^angulo inteiramente diferente. Se visamos uma aplicac~ao da teoria da materia nuclear a uma
estrela de n^eutrons, e obvio que precisamos extrapolar o resultado da teoria n~ao so
na densidade da materia nuclear, mas para valores maiores. Neste caso, os nucleons
tambem adquirir~ao uma energia cinetica igual ou maior que sua massa de repouso.
Assim, precisamos um tratamento relativstico para a materia nuclear. Note que o
conceito de potencial e valido so no regime relativstico e, portanto, n~ao pode ser
utlizado num formalismo relativstico.
Uma teoria relativstica de muitos corpos e na verdade, uma teoria de campo
relativstico. Isto porque no regime relativstico, alem de n~ao podermos usar o
potencial para descrever a interac~ao, devido a energia relativstica, o processo de
produc~ao em par de partculas se torna importante e, em consequ^encia, o numero de
partculas tambem n~ao se conserva mais. Aqui, n~ao teremos tempo suciente para
entrar no formalismo de uma teoria de campo relativstica. Entretanto, relatamos
uma vis~ao bem simplicada do problema.
Como previsto pelo H.Yukawa8 , uma parte da forca nuclear e intermediada pelo
meson . Yukawa considerou que deve existir um campo (~r t), analogo ao campo
eletromagnetico entre dois nucleons. Como no caso de Equac~ao de Maxwell, o
8 A teoria de Yukawa foi conrmada experimentalmente pela descoberta de meson pelo Prof. C.M.G.
Lattes em 1947.
7.3. Materia Nuclear e Alem
132
campo deve satisfazer a seguinte equaca~o (aqui explicitamos c e ~),
!
@ 2 ; r2 + 2 = g (7.121)
N
c2 @t2
onde e uma constante, N e a densidade da materia de nucleon como fonte de e g e a constante de acoplamento. No caso de N = 0,
!
2
@ ; r2 + 2 = 0
(7.122)
c2@t2
o campo deve se propagar como uma onda plana,
e;i!t+i~k~r
(7.123)
2 = !c2
(7.124)
Substituindo na (7.122), temos
2
; ~k2 :
Utilzando as relac~oes de deBroglie,
~!
~~k
= E
= ~p
temos
q
= ~1c E 2 ; p2c2 = m~ c (7.125)
que nada mais e do que o comprimento de onda de Compton da partcula.
Agora supomos para uma fonte estatica puntiforme,
N = (~r)
(7.126)
onde e a func~ao de Dirac. Para um campo estatico,
;r2 + 2
cuja soluc~ao e conhecida,
= g
(~r)
g e;r :
= 4r
(7.127)
(7.128)
7.3. Materia Nuclear e Alem
133
A Eq.(7.128) mostra que a intensidade do campo decresce exponencialmente a
partir da fonte puntiforme alem do fator 1=r que e igual ao caso do campo eletrico.
O alcance da forca e dado por9
rN 1 = m~ c 1:4fm:
(7.129)
A interac~ao entre dois nucleons nesta imagem e dada pelo campo de pons como
no caso da interac~ao eletromagnetica onde o campo e de fotons.
Os mesons s~ao importantes para os processos din^amicos entre nucleons e
nucleos. Por outro lado, os mesons s~ao partculas pseudo-escalares10 e, portanto,
para propriedades globais estaticas tais como as da materia nuclear, o valor medio
do campo desaparece. Assim, os mesons n~ao s~ao dominante para energia da
materia nuclear estatica. Walecka introduziu dois mesons, e !, para descrever o
comportamento da materia nuclear, onde o campo para e um campo escalar, e
para ! o campo e vetorial. A densidade da energia do sistema dos nucleons junto
com os campos de e ! ca, na unidade natural,
Z kF d3~k
(7.130)
=4
E (k) + g! "! nB ; 12 m2! "2! + 21 m2 "2 3
0 (2 )
onde kF e a energia de Fermi, e um fator estatstico11, E (k) e a energia do
nucleon com o momento ~k, "! e a 0; esima componente do campo vetorial de
! e " e o campo de . O primeiro termo e a soma das energias dos nucleons, o
segundo termo representa a interac~ao entre nucleon e o campo !, e os dois ultimos
termos representam as energias dos campos de ! e , respectivamente. A energia
9 Na verdade, foi assim que Yukawa previu a massa do .
10 Um campo (~r t) e chamado de pseudo-escalar, quando
o campo tem a propriedade,
(~r t) ! (~r t ) = det (~r t)
0
0
0
sob a transformac~ao de Lorentz do sistema de coordenadas,
(~r t) ! (~r t ) = (~r t):
0
0
11 = 2, se contamos spin apenas, mas aqui consideramos os protons e neutrons igualmente, ou seja,
tratamos os dois especies, proton e neutron, como sendo dois estados de um tipo de partcula chamada
genericamente de nucleon. Assim = 2 2 = 4. Este tratamento so vale quando N = Z , naturalmente.
7.3. Materia Nuclear e Alem
134
de um nucleon na presenca do campo "s e escrita como
q
q
E = k2 + (mn ; gs"s )2 (k)2 + mn2 :
(7.131)
Note que a combinac~ao,
mn mn ; gs"s
aparece exatamente como se fosse a massa do nucleon neste estado de interac~ao
com o campo. Em outras palavras, o efeito do campo escalar, "s e alterar a massa
do nucleon. As intensidades dos campos, "! e "s podem ser obtidas pela condic~ao
de autoconsist^encia, tratando os campos como se fossem um campo classico12 satisfazendo,
!
2
@ ; r2 + 2 = g N
@t2
e no caso estatico e homog^eneo ( @t@22 r2 ! 0) , temos imediatamente
"! = mg!2 nB !
g
" = 2 ns m
onde ns e a densidade escalar dos nucleons, denida por
Z kF d3~k m
n :
(7.132)
ns 4
3
E
(
k)
0 (2 )
Eliminando os campos das equaco~s acima, temos
2 Z kF d3~k m
n
mn = mn ; 4 mg2
(7.133)
3 E (k ) 0
(2
)
e
Z kF d3~k
2
2
(k) + 1 g! n2 + 1 m (m ; m )2 :
=4
E
(7.134)
b
n
2 m2!
2 g2 n
0 (2 )3
Pela estrutura da teoria de campo relativstico, o campo escalar da origem a forca
atrativa entre nucleons, e o campo vetorial se torna repulsivo. E curioso notar que,
neste formalismo, a saturac~ao da materia nuclear vem do fato de que para alta
12 As
vezes nos referimos a isto como a aproximac~ao de campo medio.
7.3. Materia Nuclear e Alem
135
densidade, o efeito do campo escalar diminui como pode ser visto da Eq.(7.132).
Temos
3 q
ns = mn2 xF (xF2 + 1) ; sinh;1 xF
mn3 x2 x 1:
!
2 F F
onde
2 !1=3
xF = 32nb =mn
e a condic~ao de autoconsist^encia resulta na seguinte equaca~o para mn
mn
i
mn =
2 mn2 h q 2
g
1 + m2 2 xF (xF + 1) ; sinh;1 xF
(7.135)
que pode ser resolvida pelo metodo iterativo. Note que para nb ! 0,
mn ! mn e para nb ! 1,
mn ! 0:
De (7.133), temos que
2
2
4
n g (x ) + 1 g! n2 + 1 m (m ; m )2 = 2m
F
b
n
2
2 m2
2 g2 n
!
(7.136)
Nesta express~ao, os dois numeros,
2
g
!
C! = m 2 !
2
C = mg2 entram como par^ametos ajustaveis para reproduzir o valor da energia ligaca~o por
partcula no equilbrio e sua densidade. Os par^ametos foram escolhidos como
C! = 195:7=m2n
C = 266:9=m2n:
7.3. Materia Nuclear e Alem
136
Na Fig. 10, mostramos a energia da materia nuclear por partcula em func~ao do
comprimento de onda de Fermi,
!
2 n 1=3
3
k= 2 b :
Um codigo em FORTRAN para calcular a energia da materia nuclear neste modelo
e apresentado no Ap^endice C.
O resulado pode ser utilizado para calcular a estrutura de uma estrela de n^eutrons.
No modelo mencionado acima, o modulo da compressibilidade, K ca bastante
grande, cerca de 500MeV . A massa maxima calculada para a estrela de n^eutrons
e '2.5M.
O modelo deste tipo que trata o sistema de nucleons e mesons em termos dos
respectivos campos relativsticos e chamado Hadrodin^amica Qu^antica (QHD). E
existem varios modelos mais sosticados da QHD. A QHD pode ser utilzada para
nucleos nitos dando bons resultados. O formalismo do Walecka e bastante util
para incorporar uma parte do efeito relativstico entre as partculas. No entanto,
de um ponto de vista rigoroso, a teoria ainda n~ao e fundamental no sentido de que
as estruturas internas das partculas s~ao ignoradas.
7.3.4 Plasma de Quarks e gluons
Antes da decada de 50, as partculas elementares conhecidas eram poucas, tais
como proton, n^eutron, eletron, muon, meson , foton e talves o neutrino, e suas
antipartculas. Na decada de 50, para classicar as partculas, foi descoberta a
necessidade de um outro numero qu^antico, alem de carga eletrica e do numero barionico, a estranheza. Assim, para cada partcula que interage fortemente (hadrons),
associamos um conjunto de t^es numeros: B o numero bari^onico, Q a carga eletrica
e S a estranheza. Por exemplo, o proton e (B = 1 Q = 1 S = 0), o n^eutron
(B = 1 Q = 0 S = 0), o pon positivo, +(B = 0 Q = +1 S = 0) e K ;(B =
0 Q = ;1 S = 1), assim por diante13 . Isto lembra os nucleos, onde cada nucleo
e especicado por dois numeros A e Z . No nal da decada de 50, para explicar
a grande variedade de partculas elementares, foram introduzidos os modelos de
13 Os leptons e fotons s~ao tratados diferentemente. O numero lept^onico tambem e um numero qu^antico
necessario para expressar a conservac~ao de numero de leptons num determinado processo.
7.3. Materia Nuclear e Alem
137
partculas compostas para os hadrons. Sakata prop^os incialmente esta ideia, considerando que os barions s~ao sistemas compostos de (p n ). Para ele os mesons
eram os estados ligados de uma destas partculas e antipartculas. Por exemplo,
o meson + seria (pn/). Posteriormente, Gell-Mann e Zweig, independentemente,
introduziram o modelo de quarks14 , que teve sucesso em explicar os espectros de
partculas elementares. Inicialmente foram considerados 3 quarks, (u d s), onde
os barions s~ao estado ligado de 3 quarks, e os mesons de quarks e anti-quarks.
O modelo de quark tem a peculiaridade de que os quarks tem carga eletrica
1/3 (ou 2/3) de proton15. Precisamente falando, Qu = +2=3e0 Qd = ;1=3e0 e
Qs = ;1=3e0, onde e0 e a carga do proton. Na descrica~o anterior, os quarks cariam como u = (B = 1=3 Q = 2=3 S = 0) d = (B = 1=3 Q = ;1=3 S = 0) e
s = (B = 1=3 Q = ;1=3 S = 1). Estes numeros qu^anticos s~ao aditivos, ou seja,
um sistema que composto de quarks tera os numeros qu^anticos que s~ao iguais as somas dos numeros correspondentes dos quarks. Assim, podemos construir hadrons
em termos de combinac~a~oes de quarks. Por exemplo, o proton e um estado de
(uud), o n^eutron (udd), e o + (ud/) e o K ; (sd/).
Apesar do sucesso da classicac~ao e de esquema de decaimento dos hadrons
(espectoscopia hadr^onica) um problema muito serio na epoca eram os quarks que
nunca foram observados. Por outro lado ate na decada de 70, as experi^encias de
espalhamento de eletrons de altas energias (& GeV ) vericaram a exist^encia da
estrutura interna do proton e, portanto, o modelo de quarks adquiriu lentamente
a conanca da comunidade cientca.
Ent~ao porque os quarks nunca foram observados? No incio, pensou-se que isto
era devido a falta de energia experimental, isto e, para arrancar um dos quarks de
uma partcula precisariamos de um energia que n~ao havia sido alcancada na epoca.
Mas, contra esta expectiva, a tentativa de retirar quarks de dentro das partculas
nunca teve sucesso mesmo com um aumento da energia que era aparentemente
suciente. O que acontece e que quando injetamos uma grande energia em uma
14 O nome quark foi intrroduzido por Gell-Mann. Zweig o chamava
15 Atualmente, e sabido que existem 3 familias de quarks,
de ace.
uct
d
s
b
tendo os quarks que s~ao a primeira componente a carga 2/3, enquanto que os que s~ao segunda componente
tem carga -1/3. Existe uma estrutura de famlias analoga para os leptons, mas sua origem e desconhecida.
7.3. Materia Nuclear e Alem
138
partcula via processo de espalhamentos, em vez de retirar os quarks, varias outras
partculas, tipo meson ,e K surgem.
Temos uma dilema: os hadrons s~ao compostos, e ate sua estrutura interna e visvel
pelo espalhamento de eletrons. No entanto, as partculas que constituem os hadrons
n~ao podem aparecer fora dos hadrons. Chamamos este fato de connamento de
quarks. Os quarks parecem que so existem dentro de hadrons, n~ao podendo existir
no espaco livre.
Para entender qualitativamente o mecanismo por tras do connamento, e necessario
reetir sobre o proprio conceito de partcula. O que e uma partcula, enm? Na
mec^anica classica, uma partcula aparece como uma entidade que tem sua identidade propria e e tratada como exist^encia fsica. Na teoria qu^antica de campos,
entretanto, uma partcula e um modo de vibrac~ao de um campo. Se um campo tem
um modo de oscilac~ao do tipo de uma onda plana,
= N 1=2 e;i!t+i~k~r associamos, ao este modo de oscilac~ao, a exist^encia de uma partcula com momento
~~k e energia ~! . A massa da partcula e denida como
m2 c4 = ~2!2 ; c2 ~2~k2
Em termos da Mec^anica Qu^antica, a amplitude de oscilaca~o do campo ca quantizada de tal forma que permite existir apenas um numero inteiro de partculas
deste modo. Isto tambem e o caso para o foton. Os fotons s~ao nada mais do que
os modos de oscilac~ao quantizada do campo eletromagnetico.
Nesta vis~ao de partculas, uma partcula e a consequ^encia de movimento de um
campo, e portanto, as propriedades fsicas das partculas, por exemplo a massa, dependeria na din^amica do campo. Em particular, as partculas livres como denidas
em termos de ondas planas, so podem existir no limite da linearizaca~o da amplitude
da vibrac~ao do campo16,
= 0 + :
onde 0 representa o valor do campo no equilbrio que atua como o fundo que dene
os modos de vibrac~ao de . Em outras palavras, as partculas s~ao as vibraco~es em
16 Isto e o
analogo do caso de uma onda sonora que vimos no capitulo 4.
7.3. Materia Nuclear e Alem
139
tornos de ponto de equilbrio, o que referimos como o fundo = 0. Nos nunca
saberemos o que e 0, enquanto estudando apenas as partculas livres. O fundo 0
e chamado de vacuo. Dependendo do estado do sistema, o campo assume valores
deferentes de vacuos,
= 00 + 0:
Naturalmente, quando o vacuo e alterado, a vibraca~o linearizada, , tambem muda
sua din^amica. Desta forma, a onda plana que se propaga num vacuo diferente do
anterior, pode se manifestar como uma partcula com massa diferente.
0 = N 1=2 e;i! t+i~k ~r 0
0
onde
m02 c4 = ~2!02 ; c2~2~k02 6= m2 c4:
Na analogia com a fsica de solidos, o vacuo, 0 pode ser considerado como um
estado macroscopico do sistema de campo. A mudanca do vacuo pode ser considerada ent~ao como uma transic~ao de fase do sistema. Na linguagem da fsica
de solidos, as partculas correspondem os fonons. Naturalmente o comportamento
de um fonon num fase pode ser inteiramente diferente do seu comportamento em
outra fase.
A teoria da interac~ao forte foi formulada em termos de campos de quarks em
analogia com o electromagnetismo. No caso do eletromagnetismo, as equaco~es de
Maxwell podem ser deduzidas por um princpio chamado de invari^ancia de calibre. A invari^ancia de calibre no caso de electromagnetismo tem a seguinte forma.
Quando expressamos os campos eletrico, E~ , e o uxo magnetico, B~ , em termos dos
potenciais, e A~ ,
@ A~ ; r
E~ = ; @t
~
B~ = r A
podemos considerar o conjunto,
0 B Ax
A = B
B@ A
y
Az
1
CC
CA
7.3. Materia Nuclear e Alem
140
o campo (quadri-) vetorial que carrega a din^amica do campo. A interaca~o entre
uma partcula carregada com este campo pode ser descrita pela sua Hamiltoniana
livre pela substituic~ao,
p ! p ; ec A :
A teoria da interac~ao eletromagnetica construda assim tem a seguinte propriedade
chamada de invari^ancia de calibre: as quantidades observaveis, tais como a densidade da probabilidade (quadrado da func~ao de onda) e as intensidades de campos,
cam inalteradas mesmo introduzindo um fator de fase , uma funca~o arbitrario
em t e ~r, na func~ao de onda da partcula,
! 0 = ei(t~r)
(7.137)
desde que se modique simultaneamente o campo A (t~r) por
@
A (t~r) ! A (t~r) ; i ec @x
(7.138)
De fato, podemos vericar facilmente que os campos E~ e B~ n~ao cam alterados
pela mudanca (7.138). Chamamos de transformaca~o de calibre as substituic~oes
combinadas Eqs.(7.137) e (7.138). Quando uma teoria possui a propriedade de
que as quantidades observaveis da teoria cam inalteradas sob transformac~ao de
calibre, dizemos que a teoria e invariante sob uma transformac~ao de calibre.
O ponto importante e que as equaco~es de Maxwell podem ser obtidas pelo caminho inverso. Ou seja, se exigimos que uma teoria de campo seja invariante sob
transformac~ao de calibre, recuperamos a interac~ao eletromagnetica, junto com as
equac~oes de Maxwell.
Podemos generalizar o conceito de transformaca~o de calibre. Em vez de uma
func~ao de onda, consideramos 3 funco~es de ondas simult^aneamente e as colocamos
na forma de um vetor,
0 1
1
-=B
(7.139)
@ 2 CA :
3
Vamos considerar, alem de mudanca de fase de cada func~ao de onda, uma transformac~ao linear feita pela uma matriz 3 3, U ,
- ! -0 = U -
(7.140)
7.3. Materia Nuclear e Alem
141
onde a matriz U depende de t e ~r. Com esta generalizaca~o podemos construir uma
teoria onde as quantidades observaveis cam inalteradas mesmo introduzindo-se a
transformac~ao (7.141), desde que exista um outro campo na forma de matriz, A ,
que se transforme como
A ! A0 = A0 ; iU ;1 @x@ U:
(7.141)
Este campo (matrricial) e chamado de campo compensador, ou campo de calibre.
No caso da interac~ao eletromagnetica, o campo de calibre e o campo de foton.
Assim, podemos construir uma teoria que e invariante por transformac~ao de calibre envolvendo 3 func~oes de onda simultaneamente. Tal transformac~ao, do ponto
de vista matematico, forma um grupo chamado de grupo SU(3). A teoria da interac~ao entre quarks e uma teoria de calibre com o grupo de simetria SU(3). O
campo de calibre, A nesta teoria e chamada de gluons17. As tr^es funco~es de onda
de quarks 7.139 representa os tres estados diferentes de um tipo de quark (seja
u, ou d ou s). Estes tr^es estados novos introduzido aqui s~ao chamados de estados
de cor, mas isto n~ao tem nada haver com cor no sentido usual18. Esta teoria e
chamada de Chromodin^amica Qu^antica (QCD).
Embora ainda n~ao tenha sido explicitada uma prova concreta, todo indica que
na QCD existem pelo menos duas fases de vacuo. Numa fase, digamos o vacuo
verdadeiro, os campos de quarks e gluons atuam como graus de liberdades fsicas e
se manifestam como as partculas. Noutra fase, digamos o vacuo fsico, os campos
de quarks e gluons n~ao se manifestam como partculas, ou seja, as vibraco~es do
tipo
= N 1=2 e;i!t+i~k~r n~ao s~ao permitidas para os campos de quarks e gluons separadamente, mas combinac~oes mais complexas entre eles se manifestam como vibrac~oes de ondas planas.
Estas vibrac~oes s~ao os hadrons. Desta forma, podemos dizer que os hadrons vivem
no vacuo fsico, enqunto que os quarks e gluons atuam como partculas no vacuo
verdadeiro. Em outras palavras, o vacuo fsico esta cheio de quarks e antiquarks mas
como eles n~ao podem manifestar individualmente. Para ter uma imagem, podemos
fazer uma analogia associando os hadrons a bolhas de ar na agua. Aqui, a agua
17 Vem de glue (=cola).
18 Alem da cor, quando consideramos os diferentes quarks, u d s como tr^es estados de um quark, ent~ao,
estes estados s~ao referidos como sabor. Deste forma, um quark tem sabor e cor.
7.3. Materia Nuclear e Alem
142
seria o nosso vacuo fsico. As moleculas de agua corresponderiam aos quarks. Na
agua, n~ao observamos os movimentos das moleculas de agua como partcluas livres
(estado de lquido), mas como dentro de uma bolha, as moleculas se comportam
como partculas livres (estado de gas).
Demonstrar o mecanismo acima de surgimento da fase de hadrons na teoria
QCD e uma tarefa formidavel e n~ao existem ainda calculos completos. Foram desenvolvidos metodos computacionais que permitem calcular as propriedades de
hadrons partindo da QCD, utilizando computadores de grande porte (Teoria QCD
na rede). Ja foram construdos computadores especicamente para executar tais
calculos de QCD.
O primeiro modelo semi-fenomenologico de hadrons, inspirado na QCD, foi o
modelo de sacola do MIT. Neste modelo, como foi dito acima, um hadron e como
uma bolha de ar dentro da agua, o vacuo fsico. Dentro do hadron, ou seja, a bolha
do ar, o vacuo verdadeiro e realizado, e nele, aparecem os graus de liberdades de
quarks e gluons como as partculas que se manifestam nos processos de colis~ao
com eletrons de altas energias. Aqui, os eletrons ( leptons em geral) podem ser
considerados como partculas puntiformes, que penetram no interior dos hadrons
e colidem com os quarks via interac~ao eletromagnetica, fazendo assim o papel de
uma sonda ao interior dos hadrons.
A QCD e considerada atualmente a teoria para interac~ao forte, tendo acumulado
varias provas experimentais. Entretanto, devido ao connamento de quarks, n~ao e
possvel extrair os quarks isoladamente. Os quarks dentro de um hadron sofrem as
interac~oes extremamente complexas. Para estudar as propriedades dos quarks, o
ideal seria encontrar uma situac~ao em que eles se comportam como partculas livres.
A QCD prev^e tal situac~ao. Quando a materia se torna extremamente densa, ent~ao,
os hadrons comecam a se fundir em densidades acima de algumas vezes a densidade
da materia nuclear. Esta situac~ao e similar ao caso dos nucleos que se fundem na
proximidade da densidade da materia nuclear. Vamos ver qualitativamente esta
situac~ao utilizando o modelo de sacola. Por simplicidade, consideramos um gas de
nucleon com temperatura zero. Neste caso podemos adotar o modelo QHD para
obter a densidade de energia para o gas:
4
2
2
n g (xn ) + 1 g! n2 + 1 m (m ; m )2 :
n = 2m
F
b
n
2
2 m2
2 g2 n
!
(7.142)
7.3. Materia Nuclear e Alem
143
Note que no limite de alta densidade, a densidade de energia se comporta19 como
n / n2b :
Por outro lado, no cao em que os nucleons se fundem e formam um gas de quarks
qual seria a densidade de energia? Podemos expressar a densidade de energia como
a de um gas de quarks livres20.
N N m4
(7.143)
q = f 2c q g(xqF ) + B
onde Nf e o numero de sabores ( para quarks u e d, Nf = 2), Nc e o numero de
cor (Nc = 3) e
2 n =N N )1=3
(3
b f c
q
xF =
:
m
q
B e a diferenca nas densidades de energia de dois vacuos, o verdadeiro e o fsico.
O modelo de sacola do MIT estima este valor como sendo
B ' 200MeV=fm3:
Note que a densidade da energia para o gas de quarks, Eq.(7.143) cresce mais
lentamente comparada com aquela do gas um de hadrons, Eq.(7.142) nas densidades altas, embora para densidades baixas, devido a presenca de B , ela e maior
do que a de hadrons. Desta forma, as duas curvas de densidades de energia para os
gases de hardons e de quarks em funca~o da densidade bar^onica nb, se cruzam ( ver
Fig. ftrans.ps). Isto mostra que, para altas densidades, a materia prefere assumir a
forma de gas de quarks do que a forma de gas de nucleons, no entanto, para baixas
densidades, o estado da materia e o gas de hadrons.
A transic~ao de fase n~ao acontece exatamente na densidade onde as duas curvas
se cruzam. Na verdade, existe uma faixa de densidade para a qual as duas fases
19 Verique que
neste limite, a velocidade do som na materia tende a velocidade de luz,
vSom ! c:
20 Em altas densidades bari^onicas, devido a propriedade chamada Liberdade Assimtotica da teoria
QCD, os quarks se comportam como se fossem partculas livres. Esta e raz~ao pela qual o espalhamento de
eletrons de altas energias v^e o interior de um hadron como se fosse um conjunto de partculas puntiformes
livres.
7.3. Materia Nuclear e Alem
144
coexistem. Para determinar esta faixa da densidade, e necessario utilizar a construc~ao de Maxwell como no caso do gas de Van der Waals. Quando as duas fases
coexistem, ent~ao, n~ao so as press~oes dos dois gases t^em que ser iguais, mas tambem
os potenciais qumicos dos constituentes coincidem. Vamos denotar por
nh
a densidade onde termina a fase de gas de hadrons puro, e
nq a densidade onde comeca a fase de gas de quarks puros. Ent~ao,
pn(nh) = pq (nq )
n(nh) = p(nq ):
Utilizando a relac~ao,
a condic~ao de equilbrio ca,
d n ; p = dn
d = dn
dn n ; (n ) = dq n ; (n )
dnb nh h n h
dnb nq q q q
dn = dq dnb nh
dnb nq
Temos portanto,
dn = dq = h(nq ) ; p(nh) :
dnb nh dnb nq
nq ; nh
Isto e, as densidades, np e nh s~ao dadas como sendo os pontos de contatos da linha
reta tangencial comum para duas curvas (Ver Fig. ftrans.eps). Assim, o sistema
possui a fase hadr^onica para as densidades,
0 n b nh 7.3. Materia Nuclear e Alem
145
e comeca ter a fase mista no intervalo,
nh nb nq para depois se torna a fase de gas de quarks,
nb nq :
Este tipo de transic~ao de fase e de primeira ordem, tendo descontinuidade das
derivadas de quantidades termodin^amicas. O tratamento semi-fenomenologico simplicado acima naturalmente n~ao e suciente para julgar que a transic~ao de fase e
de fato de primeira ordem ou n~ao21.
Independentemente da transica~o ser de primeira ordem ou n~ao, vimos a possibilidade de ocorrer a mudanca de fase do gas de hadrons para o gas de quarks nas altas
densidades. Tal transic~ao de fase ocorre tambem em altas temperaturas22 . Desta
forma, tanto para altas densidades quanto para altas temperaturas, a materia se
transformam em materia de quarks, o que chamamos de plasma de quarks e gluons.
Nesta fase, os quarks se comportam como partculas, isto e, os quarks e gluons s~ao
os graus de liberdades para a din^amica do sistema.
7.3.5 Estrelas de quarks e estrelas estranhas
No interior de uma estrela de n^eutrons, espera-se que a densidade de materia que
acima da densidade de materia nuclear. Como a QCD prev^e uma transica~o de fase,
esperamos que o caroco de uma estrela de n^eutron seja formado por materia de
quarks. Em relac~ao a materia de quarks, foi sugerido por E.Witten em 1984, uma
possibilidade extremamente interessante. Analogo ao caso da materia nuclear para
a qual a materia se torna basicamente de n^eutrons para reduzir o aumento da
energia de Fermi da parte de eletrons, a materia de quarks eletricamente neutra
pode preferir converter a parte dos quarks u e d em quarks s, pois desta forma,
as energias de Fermi dos quarks u e d podem ser economizadas. O processo de
convers~ao e via interac~ao fraca. Witten discutiu tambem da possibilidade de haver
um estado ligado de quarks de densidade altssima, formando o que chamamos
de materia estranha estavel. Naturalmente, para um sistema microscopico, por
21 Recentemente, um calculo de QCD em rede mostra uma evid^encia de que a transic~ao seja de primeira
ordem.
22 Podemos dizer, talvez, que o vacuo fsico se \derrete" a altas temperaturas....
7.3. Materia Nuclear e Alem
146
exemplo, NB = 1, sabemos que ocorre o decaimento * ! N e, portanto, o estado
com estranheza n~ao nula n~ao e o estado de menor energia. A materia estranha
existiria, se existir, so para NB 1. Se a estabilidade absoluta da materia estranha
for real, ha possibilidade de que pequenos pedacos da materia estranha (strangelets)
possem ser emitidos no espaco, e eles poderiam ser observados na ocasi~ao de choque
com nucleos da atmosfera. Ainda n~ao ha conrmac~ao de tal especulaca~o.
Independentemente de que se e verdade ou n~ao a estabilidade absoluta da materia
estranha, quando a materia de quarks for formada com densidade sucientemente
alta, esta materia se torna estranha. Assim, podemos esperar que quase todas as
estrelas de n^eutrons devem ter um caroco central estranho. A transic~ao de fase da
materia hadr^onica para a materia de quarks no interior de uma estrela de n^eutron
pode causar outras consequ^encias interessantes. Por exemplo, a reduc~ao brusca
do momento de inercia do sistema associado a transica~o pode causar o aumento
de rotac~ao e isto, portanto, poderia ser observado pela mudanca no perodo de
pulsares.
8
Comentarios Finais
Como vimos neste pequeno curso, a astrofsca nuclear envolve a fsica de muitas
areas, desde fsica at^omica, fsica nuclear, fsica de partculas, complementadas
pelas teorias de gravitac~ao, hidrodin^amica, mec^anica qu^antica e mec^anica estatstica.
Alguns assuntos abordados aqui nesta nota s~ao de carater bastante ilustrativos.
Muitos detalhes tecnicos foram simplicados ou simplesmente omitidos. Por exemplo, para o calculo de estrutura e evoluca~o estelar, os processos at^omicos que
determinam a opacidade, e as propriedades de atmosfera estelar. Um outro fator
importante e a luminosidade de massa. Todas as estrelas perdem sua massa durante a evoluc~ao, via varios processos. Mesmo o Sol emite o vento solar. Durante a
evoluc~ao, tambem ocorrem processos explosivos, tais como are, nova, etc. Os processos associados com plasma e magnetohidrodin^amica foram tambem n~ao foram
mencionados aqui.
Processos que envolvem as interac~oes nucleares exigem os tratamentos mais
tecnicos, necessitando um estudo mais detalhado de estrutura nuclear e as din^amicas
de reac~oes. A presenca de um nvel nuclear desconhecido pode alterar a taxa de
reac~ao ate de varios fatores. O processo de nucleo-sintese dos elementos leves e
tambem importante do ponto de vista cosmplogico.
A realizac~ao de plasma de quarks e gluons no laboratorio e uma das principais
metas dos grandes projetos experimentais de colis~ao de ons pesados relativsticos
em Brookhaven e no CERN, os quais est~ao previstos serem resultados ate o ano
2000. Os estudos teoricos e experimentais de Fsica Nuclear Relativstica podem
trazer mais informaco~es crticas para a area de astrofsica de altas energias.
Na astrofsica de altas energias, existem muitos fen^omenos fascinantes, para alguns dos quais n~ao temos nenhuma pista sobre seus mecanismos. Por outro lado,
e extremamente divertido para estender a asa de imaginac~oes especular, por exemplo, sobre o que acontece se duass estrelas de n^eutrons colidem? Como formar
a galaxia? Quais e a origem da materia escura? Os neutrinos tem massa? O que e
8. Comentarios Finais
148
a explos~ao de gamma de altssima energia (gamma burst)? Quais e a origem dos
raios cosmicos e qual e o limite de energia?, etc, etc...
Desejo que esta pequena nota tenha servido para os leitores como uma introduc~ao
a estudos mais profundos sobre esta materia.
9
Ap^endices
9.1 Codigo FORTRAN para resolver a Equac~ao de Lane-Emden
c
c
c
c
c
c
c
c
c
Resoluc~ao da Equacao de Lane-Emden
F"=-(2F'/x + F**pn)
Metodo de Integracao: Runge-Kutta ordem 4
Double Precision for all real variables
Y(1) = F(x)
Y(2) = dF/dx
implicit real*8 (a-h,o-z) parameter(n=2)
dimension y(n),dydx(n),YOUT(N)
common /poly/ pn
common /neg/ ng
CHARACTER*16 FILEN(0:10)
DATA FILEN/'N00.DAT','N05.DAT','N10.DAT','N15.DAT',
. 'N20.DAT','N25.DAT','N30.DAT','N35.DAT','N40.DAT',
. 'N45.DAT','N50.DAT'/
XMAX=200
DO NP=0,10
OPEN(7,FILE=FILEN(NP))
PN=NP*0.5
h=0.01d0
Y(1)=1.d0
y(2)=0.d0
X=0.D0
1 CALL DERIVS(N,X,Y,DYDX)
WRITE(7,*) X,Y(1),Y(2)*X**2
15 CONTINUE
9.1. Codigo FORTRAN para resolver a Equacao de Lane-Emden
CALL RK4(Y,DYDX,N,X,H,YOUT,DERIVS)
IF(NG.LT.0.) THEN
H=H/2.D0
IF(H.LT.0.1D-08) GO T 2
GO TO 15
END IF
X=X+H
DO I=1,N
Y(I)=YOUT(I)
END DO
IF(X.LT.XMAX) GO TO 1
2 CONTINUE
CLOSE (7)
END DO
STOP
END
subroutine derivs(n,x,y,dydx)
implicit real*8 (a-h,o-z)
dimension Y(n),dydx(n)
common /poly/ pn
common /neg/ ng
ng=1
if(y(1).le.0.d0) then
ng=-1
return
end if
dydx(1)=y(2)
if(x.lt.0.1d0) then
dydx(2)=-1.d0/3.d0+ 0.1d0*pn*x**2-pn*(8.d0*pn-5.d0)*x**4/504.d0
else
dydx(2)=-(2.d0*y(2)/x+y(1)**pn)
end if
return
END
SUBROUTINE RK4(Y,DYDX,N,X,H,YOUT,DERIVS)
implicit real*8(a-h,o-z)
EXTERNAL DERIVS
150
9.2. Conversao da Equacao de Euler para um sistema de coordenadas Lagrangeano
151
PARAMETER (NMAX=2,half=0.5d0, one6=0.16666666666666667d0)
DIMENSION Y(N),DYDX(N),YOUT(N),YT(NMAX),DYT(NMAX),DYM(NMAX)
common /neg/ ng
HH=H*half
H6=H*one6
XH=X+HH
DO 11 I=1,N
YT(I)=Y(I)+HH*DYDX(I)
11 CONTINUE
CALL DERIVS(n,XH,YT,DYT)
if(ng.lt.0) return
DO 12 I=1,N
YT(I)=Y(I)+HH*DYT(I)
12 CONTINUE
CALL DERIVS(n,XH,YT,DYM)
if(ng.lt.0) return
DO 13 I=1,N
YT(I)=Y(I)+H*DYM(I)
DYM(I)=DYT(I)+DYM(I)
13 CONTINUE
CALL DERIVS(n,X+H,YT,DYT)
if(ng.lt.0) return
DO 14 I=1,N
YOUT(I)=Y(I)+H6*(DYDX(I)+DYT(I)+2.d0*DYM(I))
14 CONTINUE
RETURN
END
9.2 Convers~ao da Equac~ao de Euler para um sistema de
coordenadas Lagrangeano
Frequentemente e conveniente utilizar o sistema de coordenadas Lagrangeano para
resolver numericamente uma equac~ao de Euler. Por exemplo, o caso de um pist~ao
movel, teremos que acompanhar a materia junto com o pist~ao para implementar a
9.2. Conversao da Equacao de Euler para um sistema de coordenadas Lagrangeano
152
condic~ao de contorno na posica~o do pist~ao. Aqui vamos explicitar as equaco~es da
hidrodin^amica num sistema de coordenadas Lagrangeano.
Consideraremos o caso mais tpico e simples, onde a equaca~o de Euler escrita
num sistema de coordenadas xo no espaco ca
@~v + (~v r) ~v = ; 1 rP
@t
e deve ser complementada pela equac~ao de continuidade,
@ + r (~v) = 0:
@t
A ideia de coordenada Lagrangeana e resolver primeiro a equac~ao de continuidade
explicitamente, e expressar a equaca~o de Euler em termos de variaveis da soluc~ao
da equac~ao da continuidade. Naturalmente, este metodo so pode ser colocado em
pratica quando a equac~ao de continuidade e resolvida explicitamente. Isto ocorre,
quando o sistema tem simetria, por exemplo, o movimento unidimensional. Vamos
considerar o caso do problema unidimensional, com um pist~ao em movimento.
Denotamos a posic~ao do pist~ao por
xp = xp (t)
Neste caso, vamos introduzir uma nova variavel,
Zx
y(x t) (x t) dx
xp
De fato, y(x t) representa a massa contida no intervalo, xp x]. Quando calculamos
a derivada temporal acompanhando a massa, temos dy=dy = 0 e, portanto,
!
dy = @ + v @ y = 0:
(9.1)
dt
@t x @x
Isto e facil de ser vericado, pois
!
@ + v @ y = Z x @ (x t) dx + v(x t)
@t x @x
xp @t !
Z x @x + r (~v) dx
=
xp @t x
= 0
9.2. Conversao da Equacao de Euler para um sistema de coordenadas Lagrangeano
153
pela equac~ao de continuidade. Agora, considere y como uma nova coordenada espacial no lugar de x. A equaca~o, (9.1) mostra que o operador
!
@ + v @
@t x @x
e igual a derivada temporal xando y,
!
@ + v @ = @ :
@t x @x
@t y
Por outro lado,
@ = @y @ = @
@x @x @y @y
Assim, a equac~ao de Euler como y variavel espacial ca
@v(y t) = ; @ P (y t)
@t y
@y
Consideramos o caso adiabatico. Ent~ao,
P = P () = P ((y t))
A func~ao incognita e
x = x(y t)
e utilizamos as relac~oes,
@ x(y t)
v = v(y t) = @t
= (y t) = @x(y1t)=@y
Assim, a equac~ao a ser resolvida e
@ 2 x(y t) = ; @ P (
1
@t2
@y @x(y t)=@y )
com a condic~ao de contorno,
x(0 t) = xp(t)
v(0 t) = x_ p(t) ::
9.3. Codigo FORTRAN para calcular a energia da materia nuclear pelo Modelo de Walecka
154
e a condic~ao inicial deve ser obtida pela equac~ao,
y=
Zx
xp
(x 0) dx:
9.3 Codigo FORTRAN para calcular a energia da materia nuclear
pelo Modelo de Walecka
data pi/3.141593/, hc/197.33/
pi2=pi**2
open(7,le='walecka.dat')
drho=(2.*(hc*2.)**3/(3.*pi2))/500
em=938.
gs=266.9/em**2
gw=195.7/em**2
rho =0.
ems=em
fermi=0.
e=em
write(7,*) fermi/hc, e-em,ems
do i=1,500
rho=rho+drho
fermi=(3.*pi2*rho/2.)**.3333333
1 xs=fermi/ems
u1=ems/em
rhos=fns(xs)/pi2
u=1./(1.+gs*em**2*u1**2*rhos)
if(abs(u-u1).lt.0.1e-07)
go to 2
ems=u*em
go to 1
2 e=2.*ems**4*g(xs)/(pi2*rho)+0.5*gw*rho
. +0.5*(em-ems)**2/(gs*rho)
write(7,*) fermi/hc, e-em,ems
9.4. Constantes Fsico-Qumicos
end do
stop
end
function g(x)
x2=x*x
sq=sqrt(x2+1.)
if(x.gt.0.1) then
g=0.125*(x*sq*(2.*x2+1)-alog(x+sq))
else
g=x2*x*(0.333333333+x2*(0.1-x2*(1./56.-x2/144.)))
end if
return
end
function fns(x)
x2=x*x
sq=sqrt(x2+1.)
if(x.gt.0.1) then
fns=x*sq-alog(x+sq)
else
fns=x2*x*(0.66666667-x2*(0.2-x2*(3./28.-10.*x2/72.)))
end if
return
end
9.4 Constantes Fsico-Qumicos
Constants Universais.
Velocidade da Luz
Permeabilidade do vacuo
Permissividade do vacuo
Constante Gravitacional
Constante de Planck
h=2
c
2:99792458 108ms;1
0
1:25664 10;6NA;2
0 8:854187817 10;12 Fm;1
G 6:67259 10;11m3 Kg;1s;2
h
6:6260755 10;34J s
= 4:135669 10;15eV s
~
1:05457266 10;34 J s
= 6:5821220 10;16 eV s
155
9.4. Constantes Fsico-Qumicos
NA 6:0221367 1023 mol;1
mU 1:6605402 10;27Kg
= 931:49432MeV
Constante de Boltzmann
k 1:380658 10;23JK ;1
8:617385 10;5eV K ;1
Volume Molar (gas ideal)
Vm 22:41410L mol;1
Constante Stefan-Boltzmann 5:67051 10;8Wm;2K ;4
Numero de Avogadro
Massa Atomica
Constantes Electromagneticas.
Carga do eletron e
1:60217733 10;19 C
e=h 2:41798836 1014 AJ ;1
Magneton de Bohr B 9:2740154 10;24JT ;1
= 5:78838263 10;5eV T ;1
Magneton nuclear N 5:0507866 10;27JT ;1
Constantes At^omicas
Constante de estrutura na ;1
Constante de Rydberg
R1
Raio de Bohr
a0
7:29735308 10;3
137:0359895
1:0973731534 107m;1
0:529177249 10;10m
Sol
Massa
Raio
Dist^ancia da Terra
Luminosidade
M
R
UA
L
1:989 1030 Kg
6:9598 108m
1:496 1011 m
3:9 1033erg=s
156
9.4. Constantes Fsico-Qumicos
Eletron.
Massa
me
;e=me
C = h=mc
Carga especca
Raio classica
Secc~ao de choque de Thomson
Momento magnetico
Muon.
Massa
~=mcq
re = e2=mc2
e
e
e=B
m
Raz~ao de massa Muon-electron m =me
Momento magnetico
=B
9:1093897 10;31 Kg
= 0:51099906eV
;1:75881962 1011 CKg ;1
2:42631058 10;12m
3:86159323 10;13m
2:81794092 10;15m
0:66524616 10;28m2
9:2847701 10;24 JT ;1
1:001159652193
1:8835327 10;28Kg
= 105:658389MeV
206:768262
4:4904514 10;26JT ;1
4:84197097 10;3
proton.
1:6726231 10;27 Kg
= 938:27231MeV
Raz~ao de massa
mp=me 1836:152701
mp=m 8:8802444
Carga especca
e=mp 9:5788309 107CKg;1
Cp
1:32141002 10;15m
Cp=2 2:10308937 10;16m
Momento magnetico p
1:41060761 10;26JT ;1
p=B 1:521032202 10;3
p=N 2:792847386
Massa
n^eutron.
mp
157
9.4. Constantes Fsico-Qumicos
1:6749286 10;27Kg
= 939:56563MeV
Raz~ao de massa
mn=me 1838:683662
mn=mp 1:001378404
Cn
1:31959110 10;15 m
Cn=2 2:10019445 10;16 m
Momento magnetico n
0:96623707 10;26 JT ;1
n=B 1:04187563 10;3
n=N 1:91304275
Massa
mn
C : Comprimento de Onda de Compton
158