Sistema de Muitos Corpos

Sistema de Muitos
Corpos
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O que é relevante em um sistema com
muitos corpos?
●
Existe algum ponto especial a se observar?
●
Quais forças são relevantes no sistema?
Centro de Massa
Um alteres com duas massas m iguais separadas por um distância
fixa L é lançado ao ar:
m
L
m
Centro de Massa (CM)
Centro de Massa
Supondo M > m:
Centro de Massa (CM)
Centro de Massa (CM)
Centro de Massa (CM)
Centro de Massa (CM)
Centro de Massa (CM)
Centro de Massa
Teste 2 – uma massa muito maior que a outra:
Neste caso é esperado que o centro de massa vá para próximo da massa maior
Com
Aplicando estas aproximações à equação do Centro de Massa:
Centro de Massa
Determinando o Centro de Massa:
Média Ponderada das posições usando as massas como pesos.
Teste 1 – massas iguais:
Aplicando à equação do Centro de Massa:
Centro de Massa
Para um sistema com n corpos ao longo do eixo x:
Centro de Massa
Em 3 dimensões:
Centro de Massa
Exemplo 1: Dado três massas posicionadas conforme a tabela abaixo.
#
Massa (kg)
x (cm)
y (cm)
1
1,2
0
0
2
2,5
140
0
3
3,4
70
120
Centro de Massa
Massa Total:
Posição x do centro de massa:
Momento Linear
ou Quantidade de Movimento Linear:
Reescrevendo a equação do centro de massa como segue e supondo massa
constante
Para uma partícula de massa m se movendo a velocidade v, sua quantidade
de movimento é definida como:
Com unidade:
Momento Linear
A derivada do momento linear no tempo (com massa constante)
Portanto a taxa de variação no tempo do momento linear é igual a soma das
forças atuando sobre o corpo.
Momento Linear
Retornando a equação do sistema de partículas
ou apenas
derivando novamente em relação ao tempo
A primeira soma se refere a soma das forças atuando sobre a i-ésima
partícula, enquanto a segunda se refere a soma sobre todas as partículas.
Momento Linear
Considere um sistema composto de n bolas distintas lançadas em queda
livre:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Forças Internas: Interação entre as
partículas do sistema.
+
+
Forças Externas: Interação entre as
partículas do sistema e o meio
externo.
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Momento Linear
Portanto aquela soma dupla pode ser separada em duas somas
Onde a primeira soma será sempre nula já que as forças sempre aparecem aos
pares e a sua ação e reação estarão sempre dentro do sistema, e portanto:
ou ainda
Momento Linear
Neste primeiro momento daremos atenção a esta última equação
Esta equação expressa o equivalente para a 2a Lei do Movimento de Newton para um
sistema de muitos corpos. Em suma ela afirma:
●
Em um sistema de muitos corpos apenas uma força externa pode alterar o
movimento do seu centro de massa.
Forças internas interferem no movimento das massas internas mas não no movimento
do seu centro de massa. Para isto é necessário a ação de uma força externa sobre o
sistema.
Por exemplo: Uma mancha de óleo sobre o mar irá se mover segundo o movimento
das correntes marítimas, marés e ação dos ventos, mas jamais devido a interação
entre as moléculas internas do óleo.
Conservação do
Momento Linear
Voltando a equação (08)
Supondo que não exista uma força externa resultante
Isto significa que o momento linear é uma constante do movimento.
Ou seja, se medito o momento linear de um sistema onde não exista forças
externas resultante, o momento linear medido posteriormente terá o mesmo
valor
Conservação do
Momento Linear
Exemplo 2: Um veículo de 1000 kg se desloca a 36 km/h em uma via, quando um
segundo veículo de 1500 kg, movendo-se a 80 km/h na mesma direção e sentido,
colide em sua traseira. Após a colisão o primeiro veículo é lançado a frente a 45 km/h.
(a) Qual a velocidade final do segundo veículo?
Dados:
O momento final, após da colisão:
Fazendo a conservação do momento:
O momento inicial, antes da colisão:
Conservação do
Momento Linear
(b) Qual a energia perdida na colisão?
Energia inicial:
A variação da energia
Energia final:
Portanto 25,1 kJ de energia foram
perdidos em deformação (permanente),
ruído e calor liberado na colisão.
Este tipo de colisão é chamada de
colisão inelástica, uma vez que a energia
não é conservada.
Colisão
Uma colisão é dita elástica quanto a energia total do sistema é conservada