2.6 Continuidade

Cálculo Diferencial e Integral I – CDI I
Continuidade
Luiza Amalia Pinto Cantão
[email protected]
Continuidade
1 Definição
2 Teste de continuidade
3 Teorema — Propriedades de Funções Contı́nuas
4 Compostas de Funções Contı́nuas — Teorema
5 Consequência do Teorema de Composta de Funções Contı́nuas
6 Teorema do Valor Intermediário
Continuidade
1¯◦ Exemplo Dada a função abaixo, faça o seu gráfico. Encontre os pontos
nos quais a função é contı́nua e aqueles em que é descontı́nua.
−x, −2 ≤ x < −1
0,
x = −1
x2, −1 < x ≤ 1
f (x) = −x + 2, 1 ≤ x ≤ 2




3



,
x=2


2


3x − 6, 2 < x ≤ 3












Ideia: A continuidade de uma função é definida pelos pontos internos do
domı́nio da função (limites bilaterais) e pelos pontos finais (limites laterais).
Continuidade — Definição
Definição — Contı́nua em um ponto:
Ponto Interior: Uma função y = f (x) é contı́nua em um ponto interior
x0 de seu domı́nio quando
lim f (x) = f (x0)
x→x0
Extremidades: Uma função y = f (x) é contı́nua na extremidade esquerda a ou é contı́nua na extremidade direita b de seu domı́nio
quando
lim f (x) = f (a)
x→a+
ou
lim f (x) = f (b),
x→b−
respectivamente.
Continuidade: Observação e Exemplo
Note que y = f (x) é descontı́nua em x = x0 se x0 é um ponto de descontinuidade.
2¯◦ Exemplo
a) f (x) = x + 5
x2 − x − 2
b) f (x) =
x−2
Teste de descontinuidade
Teste Uma função f (x) será contı́nua em x = x0 se e somente se ela obedecer
às três condições seguintes:
1. f (x) existe — x0 ∈ Dom {f } ;
2. lim f (x) existe — f tem um limite quando x → x0;
x→x0
3. lim f (x) = f (x0) — o limite é igual ao valor da função.
x→x0
√
3¯◦ Exemplo: Mostre que f (x) = 1− 1 − x2 é contı́nua no intervalo [−1, 1].
1
4¯◦ Exemplo: Analise a função f (x) = .
x
Teorema
Teorema — Propriedade de funções contı́nuas: Se as funções f e g são
contı́nuas em x = x0, então as seguintes combinações são contı́nuas em
x = x0 .
1. Soma: f + g;
2. Diferença: f − g;
3. Produto: f · g;
4. Multiplicação por constante: k · f , para qualquer número real k;
f
5. Quocientes: , uma vez que g(x0) 6= 0;
g
r
6. Potenciação: f s , uma vez que ela é definida num intervalo aberto
contendo x0, onde r e s são inteiros.
x2 − 16
◦
5¯ Exemplo: Defina g(4) de maneira que estenda g(x) = 2
para
x − 3x − 4
torná-la contı́nua em x = 4.
Composta de funções contı́nuas
Ideia: f (x) é contı́nua em x = x0 e g(x) é contı́nua em x = f (x0), então
f ◦ g é contı́nua x = x0, ou seja, lim g(f (x)) = g(f (x0)).
x→x0
Teorema — Composta de funções contı́nuas: Se f é contı́nua em x0 e
g é contı́nua em f (x0), então a composta g ◦ f é contı́nua em x0.
Exemplos de compostas de funções contı́nuas
6¯◦ Exemplo: Discuta a continuidade da função h(x) = sen(x2).
7¯◦ Exemplo: Determine os limites das funções abaixo.
contı́nuas no ponto sendo aproximado ?
π
a) lim sen
cos(tg t)
t→0
2
√
π
b) lim tg
cos sen 3 x
x→0
4
√ c) lim arccos ln x
x→1
As funções são
Consequência do Teorema de Composta de Funções Contı́nuas
Teorema Se g é contı́nua no ponto x0 e lim f (x) = L, então
x→x0
lim g (f (x)) = g(L) = g
lim f (x)
x→x0
x→x0
Demonstração Seja > 0 dado. Como g é contı́nua em x = x0, exite um
número δ1 > 0 tal que
|g(y) − g(x0)| < 0 < |y − x0| < δ1
sempre que
Como lim f (x) = L, existe um δ > 0 tal que
x→x0
|f (x) − L| < δ1
0 < |x − x0| < δ
sempre que
Se considerarmos y = f (x), temos então que
|y − L| < δ1
sempre que
0 < |x − x0| < δ
o que implica de acordo com a primeira afirmação, que |g(y) − g(x0)| =
|g(f (x)) − g(x0)| < sempre que 0 < |x − x0| < δ. De acordo com a
definição precisa de limite, isso prova que lim g (f (x)) = g(L).
x→x0
Exemplos e Teorema do Valor Intermediário
√ 1− x
8¯◦ Exemplo: Calcule lim arcsen
x→1
1−x
Teorema do Valor Intermediário: Seja y = f (x) uma função contı́nua no
intervalo fechado [a, b]. Então y = f (x) assume cada um dos valores entre
f (a) e f (b). Ou seja, se y0 ∈ R tal que f (a) ≤ y0 ≤ f (b) então ∃x0 ∈ [a, b]
tal que f (x0) = y0.
9¯◦ Exemplo: Mostre que existe uma raiz da equação 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0.