Fundamentos da Eletrostática Aula 15 Expansão Multipolar II

A Expansão Multipolar
Fundamentos da Eletrostática
Aula 15
Expansão Multipolar II
Prof. Alex G. Dias
Prof. Alysson F. Ferrari
Na aula passada, consideramos uma distribuição de cargas muito especíca para encontrar o potencial do dipolo elétrico.
Agora, vamos considerar
uma distribuição qualquer de cargas, como na gura. A origem do
sistema de coordenadas é arbitrária, pode estar dentro da distribuição de cargas ou não. O único requerimento é que a distribuição
seja limitada, ou seja, ela não se estenda até o innito. Neste caso,
partimos de
1
ϕ (r) =
4πε0
ˆ
dq 0
.
|r − r0|
O módulo do vetor r − r0 escreve-se
0
h
2
0 2
0
i1/2
|r − r | = r + (r ) − 2r · r
"
#1/2
0 2
0 0
r
(rr̂) · (r r̂ )
=r 1+
−2
r
r2
"
0 2
0 #1/2
r
r
=r 1+
− 2r̂ · r̂0
,
r
r
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1
1
1
=
|r − r0| r
"
0 2
0 #−1/2
1
r
1
r
=
1+
− 2r̂ · r̂0
.
0
|r − r | r
r
r
Usamos agora a suposição de que a distribuição de cargas é
0
limitada, ou seja, existe um R tal que r < R para todos os pontos
da
r0
r
distribuição. Desta forma, se r R, podemos garantir que
−1
em toda a região de integração. Ou seja, o fator |r − r0|
é da forma
1
da integral
1
1
−1/2
=
[1 + ε]
,
0
|r − r | r
0
0 2
r
r
− 2r̂ · r̂0
.
ε=
r
r
1
3
5
1
1
=
1 − ε + ε2 − ε3 + · · ·
0
|r − r | r
2
8
16
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Abrindo as potências e guardando termos até ordem
mos
0 3
r
r
, encontra-
(
0
2
i
r
1 r0 h
0 2
1 + r̂ · r̂
+
3 (r̂ · r̂ ) − 1
r
2 r
)
0 3 h
i
1 r
3
+
5 (r̂ · r̂0) − 3 (r̂ · r̂0) + · · · .
2 r
1
1
=
|r − r0| r
0
Substituimos agora essa expansão na expressão para o potencial,
obtemos,
Como ε é muito pequeno, consideremos a expansão
(
2
0
1 r0
0 r
1−
+ r̂ · r̂
2 r
r
" 0 # 2
0 2
r
3
r
+
− 2r̂ · r̂0
8
r
r

" #3
2

0
5
r0
0 r
−
− 2r̂ · r̂
+ ···

16
r
r
e portanto
1
ϕ (r) =
4πε0
ˆ
1
=
4πε0r
⇒
2
dq 0
|r − r0|
(
ˆ
dq 0
)
0
0 2
r
r
1 + r̂ · r̂0
+ [· · · ]
+ ··· .
r
r
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3
Termo de dipolo
Temos portanto uma soma de termos, que escreveremos,
ϕ (r) = ϕmonopolo (r) + ϕdipolo (r) + ϕquadrupolo (r) + · · · .
O segundo termo da expansão obtida é
Cada termo da expansão é muito menor que o anterior, já que o
0
integrando possui uma potência a mais de rr 1. Vamos analisar os
primeiros termos da soma acima.
Termo de monopolo
0
ˆ
1
0 r
r̂ · r̂
dq 0
ϕdipolo (r) =
4πε0r
r
ˆ
1 1
=
r̂ · r0dq 0 .
2
4πε0 r
O primeiro termo da expansão obtida é
1
ϕmonopolo (r) =
4πε0r
ˆ
Denindo o momento
de cargas como
1 Q
dq =
.
4πε0 r
0
Para uma distribuição qualquer de carga, a carga total Q é
chamado de momento de monopolo da distribuição, e o potencial
correspondente é:
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ˆ
p=
E corresponde ao potencial de uma carga pontual localizada na origem,
com carga igual à carga total da distribuição. Esta é justamente a
aproximação com que começamos a aula passada, e que havíamos
constatado em exemplos calculados anteriormente.
ϕmonopolo (r) =
de dipolo elétrico
1 Q
4πε0 r
r0dq 0 ,
escrevemos
ϕdipolo (r) =
1 r̂ · p
.
4πε0 r2
Para o caso de duas cargas pontuais localizadas em d2 ẑ e − d2 ẑ, a
correspondente densidade de carga é
ρ (r) = qδ
4
da distribuição
3
d
d
3
r − ẑ − qδ r + ẑ
2
2
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5
e portanto
ˆ
O terceiro termo da expansão obtida é
ˆ
d
d
r0 δ 3 r − ẑ − δ 3 r + ẑ
2
2
d
d
= q ẑ − − ẑ
= qdẑ .
2
2
p=
r0dq 0 = q
( )
i
0 2h
1 r
1
2
dq 0
3 (r̂ · r̂0) − 1
ϕquadrupolo (r) =
4πε0r
2 r
h
ˆ
i
1 1
0 1
0 2
0 2
=
dq
3 (r̂ · r ) − (r )
.
4πε0 r3
2
ˆ
d3V
Esta é exatamente a expressão que encontramos na aula passada para
o momento de dipolo de duas cargas separadas por uma distância d.
A denição que demos para p na aula passada, portanto, não é mais
do que um caso particular da denição geral que encontramos acima.
Num caso mais geral, com várias cargas pontuais qi, localizadas nos
pontos ri, temos
ρ (r) =
X
qiδ 3 (r − ri)
e portanto
r0ρ (r0) d3V 0 =
p=
=
X
X
ˆ
qi
adiantamos na aula passada, ϕquadrupolo cai com 1/r3
para r grande.
Os potenciais anteriores foram facilmente escritos em termos de
um momento de monopolo Q (que é um escalar) e um momento de
dipolo p (que é um vetor). O potencial do quadrupolo pode ser escrito
em termos de uma grandeza chamada de momento de quadrupolo,
só que este momento resulta ser um objeto mais complicado que um
vetor. O momento de quadrupolo elétrico é um tensor de segunda
ordem, que pode ser representado, num dado sistema de referências,
como uma matriz 3 × 3. Veja mais sobre isso na leitura adicional, no
nal desta aula.
i
ˆ
Numa distribuição com Q = 0 e p = 0, como
a representada ao lado, o potencial elétrico é dado
em primeira aproximação por ϕquadrupolo. Conforme
r0δ 3 (r − ri) d3V 0
i
q i ri ,
i
que é a expressão que já utilizamos na aula passada.
Termo de quadrupolo
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equação de Laplace em coordenadas esféricas!
A Expansão Multipolar e os Polinômios de
Legendre
P0 (cos θ) = 1
P1 (cos θ) = cos θ
Vamos escrever a expansão que encontramos até aqui coordenadas
esféricas. Neste caso,
r̂ · r̂0 = cos θ0 ,
onde θ 0 é o ângulo representado na gura do começo da aula. Temos
assim,
ϕmonopolo (r) =
ϕdipolo (r) =
1
4πε0r
1
ϕquadrupolo (r) =
4πε0r
1
ϕoctupolo (r) =
4πε0r
ˆ
1 1
1 Q
=
4πε0 r
4πε0 r
ˆ
ˆ
ˆ
...
Isso signica que podemos escrever a expansão que encontramos
como
dq 0 {1}
ˆ
∞
1 X 1
`
ϕ (r) =
dq 0 (r0) P` (cos θ0)
`+1
4πε0
r
0
0 r
dq
{cos θ0}
r
`=0
0 2 h
i
r
1
0 2
dq
3 (cos θ ) − 1
r
2
0
0 3 h
i
r
1
3
dq 0
5 (cos θ0) − 3 cos θ0
r
2
Note que os termos em chaves correspondem exatamente aos
Polinômios de Legendre, que encontramos anteriormente ao resolver a
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1
3 cos2 θ − 1
2
1
P3 (cos θ) =
5 cos3 θ − 3 cos θ
2
P2 (cos θ) =
8
A expressão acima é exata, valendo para qualquer distribuição de
carga limitada. Sua principal utilidade, contudo, está em encontrar
uma aproximação para o potencial válida a uma grande distância
da distribuição. Cada termo tem uma potência de 1r adicional se
comparado ao anterior, por isso, se r é grande, cada termo é muito
menor que os termos precedentes.
Dada uma distribuição qualquer de carga, se Q 6= 0, a contribuição dominante para o potencial será o termo de monopolo, que
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corresponde a uma carga Q na origem. O termo de dipolo e os
posteriores podem ser calculados, se necessário, como uma correção
ao termo de monopolo. Quando Q = 0 e p 6= 0, o potencial do
dipolo é dominante, e assim por diante.
Da posição da origem e a expansão
multipolar
Uma distribuição de carga arbitrária terá, em princípio, innitos
multipolos não nulos, e se conseguíssemos calcular todos, teríamos o
potencial exato em qualquer ponto do espaço fora da distribuição de
carga.
Considere por exemplo uma carga pontual q localizada na origem,
correspondendo a
dq 0 = qδ 3 (r0) d3V 0 .
Calculando os momentos de monopolo, dipolo encontramos,
ˆ
Q=
ˆ
p=
r0dq 0 = q
ˆ
dq 0 = q
r0δ 3 (r0) d3V 0 = 0
e, da mesma forma, as contribuições de quadrupolo, octupolo etc...
se anulam, pois envolvem integrais da forma
ˆ
`
dq 0 (r0) [· · · ] δ 3 (r0) = 0 .
Ou seja, neste caso, todos os termos da expansão multipolar se
anulam, restando apenas o termo do monopolo, que é justamente o
potencial exato para uma carga centrada na origem, como deveria ser.
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Agora se a carga pontual não
está localizada na origem? Considere uma carga pontual localizada
no ponto a, como na gura. A
distribuição de carga correspondente é
dq 0 = qδ 3 (r0 − a) d3V 0 .
O momento de monopolo correspondente é claramente
ˆ
dq 0 = q
Q=
mas agora para o momento de dipolo encontramos
ˆ
p=q
0 3
0
3
p=
um resultado diferente de zero! O mesmo deve acontecer em geral
para os momentos de ordem superior. Este resultado não se torna tão
surpreendente se pensamos no seguinte: neste caso, o potencial do
monopolo
não corresponde
O que acontece aqui é que,
excetuando-se o momento de monopolo,
todos os momentos superiores dependem da origem do referencial escolhido
para realizar os cálculos. De fato, suponha calculamos o momento de dipolo de
uma distribuição qualquer de carga dq 0
usando dois referenciais diferentes, xyz
e xyz , cujas origens são relacionadas por
um vetor a como na gura. Calculando
o momento de dipolo p no referencialxyz , encontramos
ˆ
0
r δ (r − a) d V = qa
ϕmonopolo (r) =
Se a aproximação de monopolo não forneceu o resultado exato, as
contribuições de dipolo, quadrupolo, etc... não são nulas, já que
a soma de todas estas contribuições deve coincidir com o potencial
exato.
1 Q
4πε0 r
0 0
dq r =
ˆ
0
0
ˆ
dq (r − a) =
0 0
dq r − a
ˆ
dq 0 ⇒
p = p − Qa
Os momentos de dipolo (e em geral todos os momentos de ordem
superior) são
no referencial xyz e xyz , exceto no caso em
´ diferentes
0
que Q =
dq = 0.
ao potencial exato da distribuição, que na verdade é
ϕ (r) =
1
Q
.
4πε0 |r − a|
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Ou seja, considerando a gura acima, o momento de dipolo da
conguração (a) será o mesmo calculado em qualquer referencial, já na
conguração (b), será diferente dependendo da escolha de referencial.
Obviamente, se fomos capazes de calcular todos os momentos de
multipolo nos dois referenciais, deveremos obter o mesmo resultado já que o potencial exato da distribuição não depende da escolha de
referencial.
Leitura Adicional: do Caráter Tensorial do
Momento de Quadrupolo
Considere o potencial do dipolo elétrico,
ϕdipolo (r) =
1 r̂ · p
.
4πε0 r2
Se r̂ e p são escritos em termo de suas componentes cartesianas,
temos
X
r̂ · p =
r̂ipi ,
i
logo, escrevemos, equivalentemente,
ϕdipolo (r) =
1 1 X
r̂ipi
4πε0 r2 i
Consideremos agora o integrando que aparece em
1 1
ϕquadrupolo (r) =
4πε0 r3
Podemos escrever,
0 2
(r̂ · r ) =
3
X
i=1
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!
r̂iri0
h
i
1
2
2
dq 0
3 (r̂ · r0) − (r0)
.
2
ˆ

3
X
j=1
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
r̂j rj0 
=
3
X
r̂ir̂j ri0 rj0 .
i,j=1
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2
Para escrever o termo (r 0) de forma mais semelhante ao primeiro
termo, lembremos que
1 = r̂ · r̂ =
3
X
r̂ir̂i .
i=1
Além disso, vamos introduzir o seguinte símbolo,
δij =
chamado de
1, se i = j
,
0, se i 6= j
xi =
X
δij xj
j
Assim como um vetor pode ser entendido como um conjunto
de três números que tem um certo comportamento bem denido
frente a mudanças de referenciais (lembre-se da aula 01), um tensor
de segunda ordem é um conjunto de nove números (que podemos
organizar, por exemplo, numa matriz quadrada 3 × 3) que também se
transforma de forma bem denida frente a mudança de coordenadas.
Na verdade, dentro da teoria mais gerais dos tensores, escalares e
vetores são entendidos como casos particulares, tensores de grau 0
e grau 1. Tensores aparecem em muitos problemas da física, como
no eletromagnetismo em meios materiais (você vai ouvir falar disso
quando falarmos do vetor deslocamento, mais a frente neste curso),
física de uídos, mecânica de rotações, etc...
para qualquer vetor x = (x1, x2, x3). Logo
0 2
0 2
(r ) = (r )
3
X
3
X
r̂ir̂i =
i=1
2
r̂ir̂j (r0) δij .
i,j=1
Portanto,
0 2
0 2
3 (r̂ · r ) − (r ) = 3
3
X
r̂ir̂j ri0 rj0
−
=
3
X
r̂ir̂j
3
X
2
r̂ir̂j (r0) δij
i,j=1
i,j=1
h
3ri0 rj0
3
1 1 X
r̂ir̂j Qij
ϕquadrupolo (r) =
4πε0 r3 i,j=1
ˆ
h
i
1
0
0 0
0 2
Qij =
dq 3rirj − (r ) δij
2
Repare na similaridade com a fórmula para o potencial do dipolo,
a diferença é que o momento de quadrupolo não é um vetor (que tem
três componentes), mas sim um tensor de segunda ordem Qij , que tem
em princípio nove componentes. Na verdade, pela simetria Qij = Qji
pode-se ver que na verdade são seis componentes independentes.
A δij satisfaz
delta de Kroenecker.
Podemos portanto escrever o potencial do quadrupolo como
0 2
− (r ) δij
i
i,j=1
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Portanto,
Problema: o campo médio em uma esfera
carregada
Em
Considere uma esfera carregada de raio R. Mostrar que a média
do campo elétrico no interior da esfera é dada por
Em = −
p
,
4πε0R3
onde p é o momento de dipolo da esfera, com respeito à origem que
coincide com seu centro.
Em
ˆ
E (r) d3V
#
ˆ "X
δqi r − ri
1
d3V
=
3
V
4πε0 |r − ri|
i
X ˆ (−δqi/V ) ri − r
=
d3V .
3
4πε0 |ri − r|
i
Note que, se escrevemos ρi = −δqi/V , ρi é o densidade de carga
que a esfera teria se ela fosse uniformemente carregada, e se tivesse
carga total −δqi. O campo elétrico gerado por uma esfera com tal
densidade constante de carga é
Ei (ri) =
E (r) d3V ,
ρ i ri − r 3
d V,
4πε0 |ri − r|3
e o que acabamos de mostrar é que Em é simplesmente a soma destas
contribuições, para cada elemento δqi,
onde V = 43 πR3 é o volume da esfera. Por simplicidade, vamos
dividir a esfera em pequenos elementos innitesimais de carga δqi,
cada um localizado em ri, de forma que o campo elétrico gerado pela
esfera escreve-se
Em =
X
Ei (ri) .
i
O que ganhamos com isso? Acontece que o campo elétrico
Ei (ri), gerado por uma distribuição esférica uniforme de carga, pode
ser facilmente calculado usando a lei de Gauss. Claramente, como a
X δqi r − ri
E (r) =
3.
4πε
0
|r
−
r
|
i
i
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ˆ
ˆ
A média do campo elétrico no interior da esfera é denida por
1
=
V
1
=
V
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19
origem está no centro da esfera, Ei (ri) = Ei (ri) r̂i e, integrando
Ei (ri) numa superfície esférica de raio ri em torno da origem, temos
˛
P
Note que a expressão i δqiri não é mais que o momento de dipolo
da esfera, com respeito à origem, ou seja,
Q (ri)
,
Ei (ri) · da =
ε0
p=
Q (ri) = ρi ×
4 3
πr
3 i
δqiri
i
onde Q (ri) é a carga contida pela superfície, ou seja,
X
e então
Em = −
.
p
,
4πε0R3
como queríamos mostrar.
Portanto,
˛
2
Ei (ri) · da = Ei (ri) × 4πri
ρi
=
×
ε0
4 3
πr
3 i
Vamos agora encontrar outro resultado de que precisaremos mais
adiante. Vamos calcular a média, dentro da esfera, do campo elétrico
gerado por cargas exteriores à esfera.
⇒
ri
δqi ri
1
=−
=−
δqiri ⇒
3ε0
V 3ε0
4πε0R3
1
Ei (ri) = Ei (ri) r̂i = −
δqiri .
4πε0R3
Ou seja, vamos considerar o campo elétrico gerado por uma
coleção de cargas qi, localizadas em ri tal que ri > R. A média de
tal campo escreve-se:
E (ri) = ρi
Em
O campo médio é
Em =
X
Ei (ri)
i
X
1
=−
δqiri .
4πε0R3 i
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20
1
=
V
ˆ
E (r) d3V
#
ˆ "X
1
qi r − ri
=
d3 V
3
V
4πε0 |r − ri|
i
X 1 qi ˆ r − ri
=
d3V .
3
V 4πε0
|r − ri|
i
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21
Note que
r−ri
|r−ri |3
= −∇ |r−1ri| , ou seja,
Em
logo
˛
X 1 qi ˆ
1
=−
∇
d3 V .
V 4πε0
|r − ri|
i
Agora usamos uma relação que foi derivada na Lista 02,
ˆ
V
∇f d3V =
˛
S
f da ,
X 1 qi ˛
1
da.
=−
V
4πε
|r
−
r
|
0
i
i
A integral é sobre a superfície da esfera
de raio R. Para calculá-la, podemos usar
coordenadas esféricas, com o eixo dos z na
direção de ri, como na gura. Temos:
q
2
2
|r − ri| = (z − R cos θ) + (R sin θ)
p
= R2 + z 2 − 2Rz cos θ ,
0
2π
ˆ
dφ
0
π
dθ×
(sin θ cos φx̂ + sin θ sin φŷ + cos θẑ) R2 sin θ
√
×
.
R2 + z 2 − 2Rz cos θ
Note que, efetuando a integral em φ, as contribuições na direção x̂ e
ŷ se anulam, e sobra
ˆ π
cos θ sin θ
1
dθ √
da = 2πR2ẑ
|r − ri|
R2 + z 2 − 2Rz cos θ
0
"√
#π
2 + z 2 − 2Rz cos θ R2 + z 2 + Rz cos θ
R
= 2πR2ẑ
3R2z 2
0
"
#
2
2
2
2
|R
+
z|
R
+
z
−
Rz
−
|R
−
z|
R
+
z
+
Rz
= 2πR2ẑ
.
3R2z 2
Como z > R, |R − z| = z − R e
˛
e
da = (sin θ cos φx̂ + sin θ sin φŷ + cos θẑ) R2 sin θdθdφ ,
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ˆ
˛
para escrever
Em
1
da =
|r − ri|
22
1
2 ẑ da = π 2 (R + z) R2 + z 2 − Rz
|r − ri|
3 z
− (z − R) R2 + z 2 + Rz
2R3
ẑ
4
ẑ
2
= 2πR ẑ
= πR3 2 = V 2 .
2
2
3R z
3
z
z
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23
Portanto, o campo médio é dado por
Em
X 1 qi ˛
1
da
=−
V
4πε
|r
−
r
|
0
i
i
=−
=
X
i
=
X 1 qi
ẑ
×V 2
V 4πε0
z
i
X
qi (−ẑ)
4πε0 z 2
Ei (0) ,
i
onde
Ei (r) =
qi r − ri
,
4πε0 |r − ri|3
é o campo gerado por cada uma das cargas externas. O que descobrimos foi que a média, na esfera, do campo elétrico gerado por
cargas externas é exatamente igual ao campo que as cargas externas
produzem na origem da esfera.
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