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Capítulo 3
Probabilidade Condicional – Independência
Estatística – Valor Esperado
Recapitulando...
Já fizemos 3 definições básicas:
1) Experimento aleatório
Um experimento é dito aleatório se ele pode
produzir saídas diferentes, embora seja executado da
mesma forma.
Recapitulando...
Já fizemos 3 definições básicas:
2) Espaço amostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
Recapitulando...
Já fizemos 3 definições básicas:
3) Evento
Qualquer subconjunto do espaço amostral.
Dado um experimento aleatório...
com um conjunto amostral...
consideramos um evento em particular.
Considere o exemplo de um atleta que corre
diariamente e sofreu ruptura no tendão de Aquiles.
O atleta passou por uma cirurgia…
e está em um processo de fisioterapia para se
recuperar.
Em quantos meses ele poderá voltar a correr?
Suponha que o fisioterapeuta queira liberá-lo em 5
meses.
Qual será o experimento aleatório?
Exp: atleta que sofreu cirurgia para reparar tendão,
voltar a correr após 5 meses de fisioterapia.
Qual o espaço amostral?
Ω = {apresenta novamente a lesão; não apresenta
novamente a lesão}.
Qual o evento que interessa ao fisioterapeuta?
A = {não apresenta novamente a lesão}.
Como podemos saber a chance do evento que
interessa ocorrer?
Probabilidade!
O fisioterapeuta vai recorrer aos casos anteriores…
e verificar com que freqüência A ocorreu.
Ex: Se em 30 casos, 21 atletas puderam correr a partir
da 5ª semana:
21
P( A) 
 0,7
30
Há 70% de chances do evento A ocorrer e o atleta
não apresentar a lesão…
Já que 0,7 = 70%.
Não devemos dizer que a probabilidade é 70%!
Em geral diz-se que a probabilidade é 0,7 ou que há
70% de chance.
Aprendemos também:
Probabilidade Conjunta (interseção de dois eventos):
P(AB)
Aprendemos também:
Probabilidade da União de dois eventos:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Probabilidade Condicional
Um tema central em probabilidade é a possibilidade de
atualizar as probabilidades quando certos eventos são
observados.
Probabilidade Condicional de A dado B, é a
probabilidade do ‘evento A’ atualizada depois de
sabermos que o evento B ocorreu.
A probabilidade condicional é definida como a
proporção, dentro de B (que já sabemos que
ocorreu), na qual ‘A’ também ocorre.
Probabilidade Condicional:
Proporção de AB dentro
de B!
P( AB )
P( A | B) 
P( B)
Probabilidade condicional não é definida para P(B) = 0.
Um exemplo: Tratamento contra depressão (150 pacientes)
Resposta
Imipramina Lithium Combinação Placebo
Total
Recaiu
18
13
22
24
77
Não recaiu
22
25
16
10
73
Total
40
38
38
34
150
Sejam:
A o evento de que o paciente recaiu,
B o de que foi tratado com placebo
C o de que foi tratado com Lithium
P(B) = 34/150 P(AB)=24/150 e P(A|B) = 24/34 = 0.706
Da mesma forma, poderíamos calcular P(A|C)
P(A|C) = 13/38 =0.342
Note que se conhecemos P(AB) e P(B) poderíamos ter calculado
P(A | B) sem voltar a consultar a tabela, através da expressão que
havíamos mostrado a pouco:
P( AB )
P( A | B) 
P( B)
usando P(B) = 34/150 P(AB)=24/150, chegaríamos a:
P(A | B) = 24/34
É possivel calcular ‘probabilidade conjunta’ a partir da definição de
probabilidade condicional:
P(AB) = P(B) P(A|B)
ou
P(AB) = P(A) P(B|A)
e no caso de n eventos, A1, A2, A3, ... , An:
P(A1 A2 A3 ... An) = P(A1) P(A2 / A1) P(A3 / A1 A2) ... P(An / A1 A2
... An-1).
Estas formulas são as vezes chamadas de regra da multiplicação.
Uma Aplicação de Probabilidade Condicional
Suponha que faremos um teste:
O paciente tem ou não uma determinada doença?
O paciente pode ser liberado da fisioterapia?
O tratamento usado foi o adequado?
Em cada resultado podemos ter dois tipos de resposta:
positivo e negativo.
Uma Aplicação de Probabilidade Condicional
Quando o teste der resultado positivo:
O paciente pode ter a doença...
Verdadeiro positivo – VP.
O paciente pode ter não a doença...
Falso positivo – FP.
Uma Aplicação de Probabilidade Condicional
Quando o teste der resultado negativo:
O paciente pode não ter a doença...
Verdadeiro negativo – VN.
O paciente pode ter a doença...
Falso negativo– FN.
Uma Aplicação de Probabilidade Condicional
Podemos resumir isto em uma tabela:
DOENÇA
RESULTADO
PRESENTE
AUSENTE
POSITIVO
Verdadeiro Positivo
Falso Positivo
NEGATIVO
Falso Negativo
Verdadeiro Negativo
Uma Aplicação de Probabilidade Condicional
Qual a probabilidade do paciente testar positivo, dado
que ele tem a doença?
DOENÇA
RESULTADO
PRESENTE
AUSENTE
POSITIVO
Verdadeiro Positivo
Falso Positivo
NEGATIVO
Falso Negativo
Verdadeiro
Negativo
P(testar positivo | tem a doença ) 
P(testar positivo  tem a doença )

P(tem a doença )
VP /(VP  FN  FP  VN )
VP
(VP  FN  FP  VN )
VP


(VP  FN ) /(VP  FN  FP  VN ) (VP  FN  FP  VN )
(VP  FN )
VP  FN
Este valor é chamado de sensibilidade
Uma Aplicação de Probabilidade Condicional
Qual a probabilidade do paciente testar negativo, dado
que ele não tem a doença?
DOENÇA
RESULTADO
PRESENTE
AUSENTE
POSITIVO
Verdadeiro Positivo
Falso Positivo
NEGATIVO
Falso Negativo
Verdadeiro
Negativo
P(testar negativo | não tem a doença ) 
P(testar negativo  não tem a doença )
P(não tem a doença )
VN /(VP  FN  FP  VN )
VN
(VP  FN  FP  VN )
VN


(VN  FP ) /(VP  FN  FP  VN ) (VP  FN  FP  VN )
(VN  FP )
VN  FP
Este valor é chamado de especificidade
Uma Aplicação de Probabilidade Condicional
O que é um bom teste?
Possui alto valor para sensibilidade.
Possui alto valor para especificidade.
Em outras palavras, identifica os que têm a doença e os que
não têm.
Uma Aplicação de Probabilidade Condicional
Ja vimos que testes podem ser avaliados através de
sensibilidade e especificidade…
Ainda podemos aplicar probabilidade condicional para
obtermos outras informações sobre o desempenho do
teste.
Uma Aplicação de Probabilidade Condicional
Suponha que um teste foi realizado e o resultado tenha
sido positivo.
Qual a probabilidade do paciente estar mesmo doente,
dado que o teste deu resultado positivo?
Qual a probabilidade do paciente estar mesmo
doente, dado que o teste deu resultado positivo?
DOENÇA
RESULTADO
PRESENTE
AUSENTE
POSITIVO
Verdadeiro Positivo
Falso Positivo
NEGATIVO
Falso Negativo
Verdadeiro
Negativo
P(estar doente | testou positivo) 
P(estar doente  testou positivo)

P(testou positivo)
VP /(VP  FN  FP  VN )
VP
(VP  FN  FP  VN )
VP


(VP  FP ) /(VP  FN  FP  VN ) (VP  FN  FP  VN )
(VP  FP )
VP  FP
Este valor é chamado de Valor Preditivo
Positivo (VPP)
Suponha agora que o teste foi realizado e o resultado
tenha sido negativo.
Qual a probabilidade do paciente não estar doente,
dado que o teste deu resultado negativo?
Qual a probabilidade do paciente não estar doente,
dado que o teste deu resultado negativo?
DOENÇA
RESULTADO
PRESENTE
AUSENTE
POSITIVO
Verdadeiro Positivo
Falso Positivo
NEGATIVO
Falso Negativo
Verdadeiro
Negativo
P(não estar doente | testou negativo) 
P(não estar doente  testou negativo)

P(testou negativo)
VN /(VP  FN  FP  VN )
VN
(VP  FN  FP  VN )
VN


( FN  VN ) /(VP  FN  FP  VN ) (VP  FN  FP  VN )
( FN  VN )
FN  VN
Este valor é chamado de Valor Preditivo
Negativo (VPP)
Observe que, com sensibilidade e especificidade,
estávamos considerando se o paciente tinha ou não a
doença…
Aqui estamos considerando o fato do teste ter dado
positivo ou negativo.
Eventos Independentes
Vamos voltar ao caso do atleta….
Suponha que a temperatura esteja esteja 30º. Isso
influencia na probabilidade de ocorrência do evento
A?
A = {não apresenta novamente a lesão}.
B = {temperatura está 30º}
Qual é P(A | B)?
Eventos Independentes
Tínhamos visto que P(A) = 0,7.
Você acha que, ao saber que o evento B ocorreu, isto
é, que a temperatura no momento da corrida é de
30º…
a probabilidade do evento A muda?
Claro que não!
P(A | B) = P(A) = 0,7.
Eventos Independentes
Dizemos que os eventos A e B são independentes se o
conhecimento de que B ocorreu não interfere a
probabilidade de A, ou seja,
P(A | B) = P(A)
Assim, se A e B são independentes:
P( AB )
P( A | B) 
P( B)
e
P( A | B)  P( A)
Logo,
P( AB )
 P( A), ou seja P( AB )  P( A) P( B)
P( B)
Eventos Independentes
Portanto, os eventos A e B são independentes se
P(AB) = P(A)P(B)
P( AB ) P( A) P( B)
P( A | B) 

 P( A)
P( B)
P( B)
Eventos Independentes
Vamos supor agora um caso diferente….
diagnóstico de infarto.
Os quadros possíveis são:
A = {IAM com supra}.
B = {IAM sem supra}
Será que esses eventos são independentes?
Eventos Independentes
Já sabemos que,
P(AB) é a probabilidade de um paciente apresentar, ao
mesmo tempo, IAM com e sem supra…
mas isso é impossível!
Logo P(AB) = 0.
Eventos Independentes
É razoável supormos que, se o paciente está passando
mal…
a probabilidade dele ter um infarto é diferente de zero.
Então P(A)  0 e P(B)  0, o que implica que
P(A)P(B)  0.
Logo P(AB)  P(A)P(B) e os eventos não são
independentes.
Eventos Independentes
Graficamente:
Se IAM com supra ocorre:
Se IAM sem supra ocorre:
Estes eventos são chamados de mutuamente exclusivos.
Dois eventos mutuamente exclusivos NUNCA serão
independentes. Um exclui o outro…há uma relação entre
eles.
Exemplos:
1) Mostre que, em um lançamento de um dado justo,
encontrar um 4 na face superior e encontrar um
número ímpar não são eventos independentes.
A = {encontrar um 4 na face superior}.
B = {encontrar um número ímpar na face superior}.
P(A) = 1/6
P(B) = 3/6
P(AB) = 0
P(A)P(B) = 3/36
Como P(AB)  P(A)P(B), A e B não são independentes.
Exemplos:
2) Uma urna contém 2 bolas verdes, 2 bolas vermelhas,
um cubo vermelho e um cubo verde. Uma pessoa retira
um item aleatoriamente. Verifique se os eventos
“retirar um item verde” e “retirar um cubo” são
independentes.
A = {retirar um item verde}.
B = {retirar um cubo}.
P(A) = 3/6
P(B) = 2/6
P(AB) = 1/6
P(A)P(B) = 6/36
Como 1/6= 6/36, temos que P(AB) = P(A)P(B) e A e B
são independentes.
Exemplos:
3)Em uma sala de aula com 60 meninas e 40 meninos,
24 meninas e 16 meninos usam óculos. Haveria alguma
relação entre o déficit visual e o gênero?
É preciso verificar se déficit visual e gênero são
independentes.
A = {usar óculos}.
1. P(A | B) = P(A);
B = {menino}.
2. P(B | A) = P (B);
3. P(AB) = P(A)P(B).
Exemplos: Para os meninos
P(usar oculos  menino) 16 / 100
P(usar oculos | menino) 


P(menino)
40 / 100
16 100 16
.

 0,4
100 40 40
24  16 40
P(usar oculos ) 

 0,4
60  40 100
Logo, P(usar óculos | menino) = P(usar óculos).
Exemplos: Para os meninos
P(menino  usa oculos ) 16 / 100
P(menino | usa oculos ) 


P(usa oculos )
40 / 100
16 100 16
.

 0,4
100 40 40
40
P(menino) 
 0,4
100
Logo, P(menino | usa óculos) = P(menino).
Exemplos: Para os meninos
P(menino  usar oculos ) 
16
 0,16
100
40
P(menino) 
 0,4
100
24  16 40
P(usar oculos ) 

 0,4
60  40 100
0,4.0,4  0,16
Logo, P(menino  usa óculos) = P(menino)P(usar óculos).
Exemplos: Para os meninas
P(usar oculos  menina ) 24 / 100
P(usar oculos | menina ) 


P(menina )
60 / 100
24 100 24
.

 0,4
100 60 60
24  16 40
P(usar oculos ) 

 0,4
60  40 100
Logo, P(usar óculos | menina) = P(usar óculos).
Exemplos: Para os meninas
P(menina  usa oculos ) 24 / 100
P(menina | usa oculos ) 


P(usa oculos )
40 / 100
24 100 24
.

 0,6
100 40 40
60
P(menina ) 
 0,6
100
Logo, P(menina | usa óculos) = P(menina).
Exemplos: Para os meninas
P(menina  usar oculos ) 
24
 0,24
100
60
P(menina ) 
 0,6
100
24  16 40
P(usar oculos ) 

 0,4
60  40 100
0,6.0,4  0,24
Logo, P(menina  usa óculos) = P(menina)P(usar óculos).
Gênero e déficit visual parecem independer um do
outro, pelo menos nesta pequena amostra.
Filosoficamente, na ciência não é tão importante
descobrir a independência entre fenômenos. Mais
importante é descobrir a dependência entre
fenômenos que antes não imaginávamos serem
relacionados.
Valor Esperado
Seja um experimento aleatório com um espaço
amostral associado.
Suponha que sabemos calcular a probabilidade de cada
elemento do espaço amostral.
Ex: Em uma jogada de um dado justo, a face de cima
pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6
Valor Esperado
Já aprendemos que, em geral, escolhemos a média
como representante dos dados.
No caso de um dado justo, como todos os resultados
possíveis possuem a mesma probabilidade, podemos
calcular a média aritmética:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3,5
Observe que a média, neste caso, não pertence ao
espaço amostral.
Valor Esperado
Existem situações onde as probabilidades dos eventos
são diferentes.
Exemplo: Em um grupo de 100 pacientes
diagnosticados com um determinado estadiamento
observou-se os seguintes tempos de sobrevida em
meses a partir do diagnostico:
Número
Meses de
de
sobrevida
pacientes
10
3
20
6
50
12
15
36
5
48
100
Valor Esperado
Exemplo: Em um grupo de 100 pacientes
diagnosticados com um determinado estadiamento
observou-se os seguintes tempos de sobrevida em
meses apartir do diagnostico:
Número
Meses de
de
sobrevida
pacientes
Probabilidade
10
3
0.10
20
6
0.20
50
12
0.50
15
36
0.15
5
48
0.05
 soma
1
100
Valor Esperado
Pergunta: quantos meses de sobrevida você acredita
que um paciente tenha?
Podemos calcular o tempo médio...mas como as
probabilidades diferem, temos que calcular uma média
ponderada pelas probabilidades.
Valor Esperado
(0.10 x 3) + (0.20 x 6) + (0.50 x 12) + (0.15 x 36) +
(0.05 x 48) = 15,2 meses.
Número
Meses de
de
sobrevida
pacientes
Probabilidade
10
3
0.10
20
6
0.20
50
12
0.50
15
36
0.15
5
48
0.05
 soma
1
100
Valor Esperado
A essa média ponderada pelas probabilidades, damos o
nome de valor esperado. Formalmente…
n
E ( X )   xi P( xi )  x1P( x1 )  x2 P( x2 )  ...  xn P( xn )
i 1
Exemplo: Um concorrente em um programa de TV tem 4
caixas fechadas com prêmios, 1 está vazia, 2 tem R$
5000,00 e 1 tem R$ 20000,00. Ele deverá escolher e abrir
um destas caixas. Por quanto o concorrente deveria
aceitar uma oferta da produção para vender sua caixa?
E(X) = 0.25 x 0,00 + 0.50 x 5000,00 + 0.25 x 20000,00
= R$ 7500,00