Escola Secundária Gabriel Pereira Nome: N.º

Escola Secundária Gabriel Pereira
FICHA DE EXERCÍCIOS N.º 2 – MATEMÁTICA A
“Rectas e Planos”
Nome: _________________ N.º: __ Ano__ Turma__
A  3,1, 4  e é:
1) Determina uma equação vectorial e cartesianas da recta que passa em
1.1) paralela ao vector

u   5, 2,2  ;
x  3 y 1 z  2


;
1
1
3

2


1.3) perpendicular aos vectores u   4,3,2  e w   1,2,0  .
1.2) paralela à recta de equações
2) Seja
r , a recta definida pelas equações:
x2 y 2 z 4


.
1
1
3
2.1) Determina uma equação cartesiana do plano que passa no ponto
 2,2,4  e é perpendicular à recta.
2.2) Em que ponto se intersectam a recta e o plano anteriores?
2.3) Averigua se
2.4) Determina
P  3,5,2  é ou não ponto da recta.
8 

a de forma que  a, 2, a  seja ponto da recta.
3 

A  0,1,2  ; B  1,0,3  ; C  1,3,0  e D  0,0,5  . Determina:

3.1) as equações cartesianas da recta r que contém A e é paralela ao vector BC .

3.2) uma equação cartesiana do plano que contém A e é perpendicular a CD .
 
3.3) uma equação cartesiana do plano  que contém A e é paralelo a BC e CD .
3) São dados os pontos:
4) Considera os planos

e
 , sendo  : x  2 y  z  0
e
 : x  ky  1,k  IR .
4.1) Determina k de modo que os planos sejam perpendiculares.
4.2) Escreve uma equação do plano paralelo a
5) Considera a família de planos definida por

que contém o ponto
kx  2 y  z  4,k  IR .
5.1) Qual o plano desta família que passa no ponto
A  2, 1,3  ?
5.2) Mostra que todos os planos da família intersectam o eixo
5.3) Determina k
A  2,0,1 .
Oy no mesmo ponto.
de modo que o vector normal do plano seja perpendicular à recta de equação
 x, y,z    1,3, 2     1,1,4  ,  IR . Qual é, nesse caso, a posição da recta em relação ao plano?
6) Seja

o plano de equação
5x  y  3z  3 .
6.1) Define por uma equação vectorial a recta perpendicular a
eixo

e que passa pelo ponto de intersecção de

com o
Oy .
6.2) Para cada número real k , a equação
kx   3  5k  y  z  0 representa um plano  k .
6.2.1) Mostra que, qualquer que seja k ,
k

e
são perpendiculares.
6.2.2) Diz, justificando, se existe k  IR tal que
k
seja plano mediador do segmento
OA , sendo
O a
A  1,2,1 .
origem do referencial e

  
u  2,5,0  num referencial o. n. 0,e1 ,e2 ,e3 :

7.1) Indica dois vectores perpendiculares a u e não colineares.


7.2) Calcula o ângulo de u com e1 (aproximado à centésima do radiano).

7.3) Escreve uma equação do plano   u e que intersecta Oy em  0,1,0  .

7) Dado
 : x  y  z  1 e  : 3 y  2z  1
7.4) Dados os planos
8) Considera os planos

determina a posição relativa de
 : 8x  y  2z  5  0 ,  : kx  k 2 y  z  1  0
8.1) Investiga qual é a posição da recta
8.3) Determina k  IR de modo que os planos
8.4) Mostra que para todo o k  IR a recta

9.2) Determina k de modo que a recta

e
9.3) Determina a intersecção da recta
10) No referencial o. n.
y  5 z
.

2
3
r e que passa pelo ponto de r com abcissa 1 .

sejam perpendiculares.
r que passa no ponto P  0, 2,1 e é perpendicular a  .
s definida por
x 1 5  y

 z  2 , com k  0 , seja paralela ao plano
k
3
t definida por x  1  y 
z2
com o plano  .
2
Oxyz está representado um cubo de faces
paralelas aos planos coordenados. O centro da face
origem das coordenadas.
10.1) Determina as coordenadas de

DG
e
 ABCD 

GF .
10.2) Determina um vector perpendicular simultaneamente a
é a

DG
e
10.3) Escreve uma equação cartesiana do plano que contém os
D, G e F .
.
s definida por x  1  y  2 não é paralela ao plano  .
.
pontos

de equação  x  3z  1  0 .
9.1) Escreve as equações cartesianas da recta

GF .
r:x
e
r relativamente a  .
8.2) Determina uma equação cartesiana do plano perpendicular a
9) Considera o plano
e a recta
,
11) Observa a figura.
11.1) Determina uma equação vectorial e cartesianas da recta que
passa pelo ponto
A e é paralela a BC .
11.2) Determina um vector perpendicular ao plano definido por
e EF .
11.3) Escreve uma equação do plano da face
AE
 ABFE  .
11.4) Escreve uma equação do plano AFD .
11.5) Determina o ângulo das rectas EF e FD .
12) Considera o prisma hexagonal regular representado num referencial o. n.



Oxyz . Sabe-se que:
A , B e C pertencem à base inferior do prisma, a qual
está contida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial;
os pontos D , E , F e G pertencem à base superior do prisma, a
qual está contida no plano de equação z  12 ;
o ponto C tem coordenadas  0,4,0  .
os pontos
12.1) Mostra que o ponto

tem coordenadas  
B tem coordenadas
resultado para justificar que o ponto G

12 ,2,0 e aproveita este

12 ,2,12 .
(NOTA: O lado de um hexágono regular é igual ao raio da circunferência
circunscrita ao hexágono.)
12.2) Mostra que a recta
DG pode ser definida pela condição
3x  y  4  z  12 .
12.3) Determina a intersecção da recta DG com o plano que contém a face
13) Considera, num referencial o. n.
Oxyz , um cilindro de revolução
como o representado na figura.
A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e
está contida no plano
C
xOy .
 BC  é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy . O ponto
tem coordenadas  0, 5,0  .
A pertence à circunferência que limita a base inferior do
cilindro e tem coordenadas  4,3,0  .
O ponto
r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz .
O ponto D pertence à recta r e à circunferência que limita a base
A recta
superior do cilindro.
13.1) Justifica que a recta AC é perpendicular à recta
13.2) Escreve uma equação vectorial da recta r .

AB .
13.3) Justifica que AC é um vector perpendicular ao plano
Determina uma equação deste plano.
ABD .
 ABFE  do prisma.
14) No referencial o. n.
regular
Oxyz está representada uma pirâmide quadrangular
 ABCDV  . O vértice V
é um ponto do semi-eixo positivo Oz .
14.1) Sabendo que o volume da pirâmide é 96, mostra que
V  0,0,8  .
14.2) Escreve as equações cartesianas para as rectas que contêm as arestas da
base.
14.3) Escreve as equações cartesianas para as rectas que contêm as arestas
laterais.
15) Considera a figura junta. Na pirâmide de base
rectangular, o centro da base é a origem das coordenadas.
15.1) Determina a equação dos planos:
15.1.1) BCV ;
15.1.2) ABV .
15.2) Determina uma equação da recta de intersecção dos
planos BCV e ABV .
Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular.
A base da pirâmide está contida no plano de equação z  4 .
O vértice A pertence ao eixo Oz .
O vértice B pertence ao plano yOz .
O vértice D pertence ao plano xOz .
O vértice C tem coordenadas  4,4,4  .
16) Na figura está representada, em referencial o. n.
A altura da pirâmide é 6 .
16.1)
Mostra
x  4  y 
que
uma
condição
que
define
a
DE
é
z 4
.
3
16.2) Determina uma equação do plano que passa no ponto
à recta
recta
B e é perpendicular
DE .
16.3) Determina a área da secção produzida na pirâmide pelo plano
xOy .
17) Considera o sólido formado por duas pirâmides regulares quadrangulares iguais, cuja
aresta da base mede 4cm , conforme ilustra a figura. A base
 ABCD  pertence ao plano
xOy ,  EFGH  pertence ao plano z  10 , AB / / EF / / Oy e os centros das bases
pertencem ao eixo Oz .
17.1) Indica as coordenadas dos pontos
A, B , G e H .
17.2) Determina a amplitude do ângulo formado pelas rectas
17.3) Escreve umas equações cartesianas da recta AG .
EH e BH .
17.4) Escreve uma equação do plano ABV .
17.5) Escreve uma equação do plano perpendicular à recta AG e que contenha o ponto V .
 
18) Num referencial o. n.
O,i, j,k  ,
os pontos
A  2, 1,0  e
B  0,1, 2  são extremos de uma aresta de um cubo. O plano mediador de
 AB  é designado por  .
18.1) Mostra que o plano

pode ser definido pela equação
x y z 0.
18.2) O ponto C de coordenadas
 3,2,1
pode ser o centro do cubo?
Justifica.
18.3) Escreve equações cartesianas dos planos que contêm as faces do
cubo e são perpendiculares à aresta
 AB  .
18.4) Admite que o centro do cubo é a origem do referencial. Escreve uma
equação cartesiana do plano

A à superfície esférica
tangente no ponto
circunscrita ao cubo.
19) A embalagem de certo gelado é uma superfície esférica de equação
x 2  y 2  z 2  13 em
referencial o. n..
19.1) O bordo da tampa obtém-se seccionando a superfície esférica por um plano
e de cota positiva; sabendo que o bordo tem perímetro 2 , qual a equação de
19.2) Mostra que
 / / xOy
?
A  2,3,0  pertence à superfície esférica dada e determina B de modo que
 AB  seja diâmetro.
19.3) Calcula k de modo que o plano
ky  2x  z seja perpendicular ao plano mediador de  AB  .
SOLUÇÕES:
x  3 y 1 z  4


.
2
5
2
x  3 y 1 z  4
1

1.2)  x, y,z    3,1, 4     1,3,   ,   IR e


.
5
6
1
2

x  3 y 1 z  4
1.3)  x, y,z    3,1, 4     4,2,5  ,   IR e


.
4
2
5
1.1)
 x, y,z    3,1  4     5, 2,2  ,  IR
2.1)
x  y  3z  12  0 .
2.2)
 2,2,4  .
2.3) P não é ponto da recta.
2.4) a  6 .
y 1 z  2

.
3
3
3.2) x  3 y  5z  7  0 .
3.1)
x 0
e
3.3)
2x  y  z  3  0 .
1
k  .
2
4.2) x  2 y  z  3 .
4.1)
9
9
sendo o plano definido por x  2 y  z  4 .
2
2
5.2)  0,2,0  .
5.3) k  2 . A recta é paralela ao plano.
5.1)
k
 x, y,z    0,3,0   k  5,1, 3  ,k  IR .
6.2.1)  k ,3  5k ,1   5,1, 3   0,k  IR .
6.1)
6.2.2) Não; teria que ser
7.1) Por exemplo:
 
OA / / n  k  1 e nesse caso  não passa no ponto médio de OA .



v1   0,0,1 , v2   5,2,0  , v3   5,2,1 , …
7.2) 1,19rad .
7.3) 2x  5 y  5 .
7.4) Os três planos não têm nenhum ponto em comum; intersectam-se dois a dois segundo rectas paralelas.
r está contida em  .
8.2) x  2 y  3z  24  0 .
8.1)
8.3)
k  4  3 2  k   4  3 2 .
9.1)
x 
z 1
 y  2 .
3
9.2) k  3 .
9.3)
7 2 4 
 , ,  .
5 5 5
10.1)

DG   4,0,4 
10.2)
 1,0,1 .
e

GF   0,4,0  .
10.3) x  z  2 .
11.1)
 x, y,z    4,1,0     4,2,2  ,  IR
e

u   3,2,0  .
11.3) 3x  2 y  10 .
11.4) y  z  1  0 .
11.5) Cerca de 72º 43' 11'' .
11.2)
12.3)


12 , 10,12 .
r :  x, y,z    0,5,0   k  0,0,1 ,k  IR .
13.3) x  2 y  10  0 .
13.2)
x4
 y 1  z .
2
AB : y  3  z  0 ; BC : x  3  z  0 ; CD : y  3  z  0 e DA : x  3  z  0 .
x y z 8
x
y z 8
x y z 8
x
y z 8
14.3) VA :  
; BV : 
; CV :  
e VD : 
.


3 3
8
3 3
8
3 3
8
3 3
8
14.2)
4 y  3z  12  0 .
15.1.2) 2x  z  4  0 .
x y z 4
15.2)
 
.
2 3
4
15.1.1)
x  y  3z  8  0 .
16 2
16.3)
cm .
9
16.2)
17.1)
17.2)
17.3)
17.4)
17.5)
A  2, 2,0  , B  2,2,0  , G  2,2,10  e H  2, 2,10  .
69,6º .
x2 y2 z
.


4
4
10
5x  2z  10 .
2x  2 y  5z  25  0 .
18.2) Não. O centro do cubo pertence ao plano mediador de
 AB  , o que não acontece com o ponto C .
x y z 3 0 e x y z 3 0.
18.4) 2x  y  5  0 .
18.3)
z2 3.

19.2) 4  9  0  13 , proposição verdadeira; B  O  AO   2, 3,0  .
19.1)
19.3)
k
4
.
3
FIM
Sílvia Batista