Existem duas formas de se pensar a questão da composição de

Existem duas formas de se pensar a questão da composição de
movimento. Uma primeira forma de se entender a composição de
movimentos (aqui é melhor falar em decomposição de movimentos) é
pensar o movimento de um objeto como resultante de dois ou três outros
movimentos retilíneos ao longo de eixos ortogonais. Por exemplo, no
estudo do lançamento de projéteis, Galileu introduziu a decomposição do
movimento em duas componentes, uma horizontal e uma vertical. Dois
movimentos, descritos de uma forma simples em dois eixos ortogonais. A
decomposição de movimentos é, assim, um artifício para equacionar
alguns problemas em duas (no plano) ou três (no espaço) dimensões em
termos de equações de uma dimensão em função do tempo.
Lançamento horizontal
Lançamento Oblíquo
“No que pretendo tratar agora, tentarei apresentar e estabelecer, através de
demonstrações exatas, algumas conseqüências particulares interessantes e
dignas de serem conhecidas e que são próprias de um móvel quando se
movimente com um movimento composto por outros dois, a saber, um
movimento uniforme e outro naturalmente acelerado, pois desse gênero
parece ser aquele movimento que chamamos movimento dos projéteis, cuja
geração concebo da seguinte maneira: imagino que um móvel foi projetado
sobre um plano horizontal livre de qualquer obstáculo; já é evidente, de
acordo com o que expusemos longamente em outro lugar, que dito móvel se
movimentará sobre esse mesmo plano em movimento uniforme e perpétuo,
supondo que esse plano seja prolongado ao infinito. Se, ao contrário,
supomos um plano limitado e situado a uma certa altura, um móvel que
supomos dotado de gravidade, uma vez chegando a extremidade do plano e
continuando seu curso, acrescentará ao anterior movimento uniforme e
indestrutível, a tendência de ir para baixo, devido a sua própria gravidade;
origina-se, assim, um movimento composto de um movimento horizontal
uniforme e de um movimento descendente naturalmente acelerado que
chamo de projeção.”
Galilei. G. Discorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno a due
nuove scienzie attenenti alla Mecanica ed ai Movimenti
Locali.Leiden,1638.
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Conclusões
•Movimento dos projéteis é um
movimento composto de um MRU e
outro MRUV perpendiculares;
•Trajetória parabólica;
•Se um móvel apresenta um
movimento composto, cada um dos
movimentos componentes se realiza
como se os demais não existissem
e no mesmo intervalo de tempo.
Princípio da independência
dos movimentos simultâneos
de Galileu
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Estudo do lançamento horizontal
Em qualquer instante
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Exemplo 1
Um menino posicionado na borda de uma piscina atira uma pedra
horizontalmente de altura de 1m em relação à superfície da água. A pedra atinge
a água a 3m da borda. Determine a velocidade, em m/s, com que o menino a
lançou, considerando g= 10m/s2 e desprezando a resistência do ar.
1m
3m
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Exemplo 2
Um avião de salvamento, voando horizontalmente a uma altura de 125m do nível do mar
e com velocidade de 108km/h, deve deixar cair um pacote para um grupo de pessoas
que ficaram isoladas após um acidente.
Para que o pacote atinja o grupo, deve ser abandonado t segundos antes do avião
passar diretamente acima do grupo. Adotando g=10m/s 2 e desprezando a resistência
oferecida pelo ar, determine:
a) o valor de t;
b) a que distância da vertical, em que o pacote foi lançado, ele atinge a água;
c) a velocidade com que o pacote atinge a água.
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Estudo do lançamento Oblíquo
S  x  v0 x .t (alcance)
v y  v0 y  a.t
v 0 x  v0 . cos
v 0 y  v0 .sen
v  v  2.a.y
2
y
a 2
S  y  y0  v0 y .t  t
2
2
0y
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Equação da trajetória
Podemos determinar a equação da trajetória de um
projétil, eliminando a variável tempo, das duas
equações abaixo:
resolvendo a anterior para t, temos:
levando este resultado na equação para “y” e
fazendo, y0 = x0 = 0, obtemos:
nesta equação temos variável somente a grandeza
“x”, os demais termos são constantes,
caracterizando assim uma equação do 2º. Grau que
descreve uma parábola, como mostrada na figura
ao lado.
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O efeito do ar
A figura mostra que para a maioria dos objetos se movimentando
em situações reais, a influência do ar, ou como em geral dizemos,
do fluido dentro do qual ele se desloca, é de grande importância
na determinação de sua melhor trajetória.
A trajetória II é a prevista para o lançamento do objeto, sem considerar o
atrito do ar. A trajetória I mostra a situação real, com a influência do ar.
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Exemplo 3
Um projétil é disparado por um canhão sobre o solo de um campo horizontal
com uma velocidade de módulo igual a 288 km/h. Sabendo-se que o vetor
velocidade inicial forma com o solo um ângulo de 60°. Desprezando a
resistência do ar, determine:
a) o tempo gasto pelo projétil para atingir a altura máxima;
b) o tempo gasto pelo projétil para retornar ao solo;
c) o alcance do projétil;
d) a altura máxima atingida pelo projétil;
e) a intensidade da velocidade escalar do projétil 2s após o disparo.
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Exemplo 4
Um projétil é lançado do solo numa direção que forma um ângulo α com a
horizontal. Sabe-se que ele atinge uma altura máxima hmáx=15m e que sua
velocidade no ponto de altura máxima é v =10m/s. Determine a sua velocidade
inicial e o ângulo de lançamento.Despreze a resistência do ar. Adote g=10m/s 2.
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Exemplo 5
Você atira uma bola com velocidade escalar de 25,3 m/s num ângulo de 42° acima da
horizontal e diretamente para uma parede, como mostra a figura. A parede está a 21,8 m
do ponto de onde a bola foi lançada. Adote sen 42°=0,6 e cos 42°=0,8.
a) Quanto tempo a bola fica no ar antes de atingir a parede?
b) A que altura acima do ponto de onde foi atirada a bola atinge a parede?
c) Quais as componentes horizontal e vertical de sua velocidade, quanto atinge a parede?
d) Ela passou pela altura máxima de sua trajetória ao atingir a parede?
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Na segunda forma, o movimento de um objeto é pensado
como resultante de dois movimentos tais como, por exemplo,
quando dois sistemas de coordenadas estão em movimento
relativo. Um primeiro movimento refere-se ao deslocamento de
um objeto observado num determinado sistema de referência.
O segundo movimento é aquele associado ao deslocamento
desse sistema de coordenadas. Por exemplo, em alguns
carrosséis de parques de diversão, os cavalos sobem e
descem num eixo vertical. Por outro lado, o carrossel gira em
relação ao parque. Num referencial fixo no carrossel, o cavalo
realiza um movimento retilíneo, ora em uma direção ora na
direção oposta. O carrossel realiza um movimento circular e
uniforme com relação a um referencial fixo no parque de
diversões. Neste referencial fixo no parque, um ponto do
cavalo realiza um movimento semelhante a uma senóide numa
superfície vertical, mas que se fecha como num cilindro.
Quando se consideram dois sistemas de referências (S e S') para o estudo de um movimento,
adota-se terminologia diferenciadora, a saber:
Movimento absoluto (ou resultante): movimento (ou trajetória) em relação ao sistema de referência
(S). Poderia ser S'.
Movimento de arrastamento: movimento do referencial S' que translada em relação ao sistema de
referência S. Poderia ser de S em relação a S'.
Movimento relativo: movimento (ou trajetória) do ponto material em estudo, em relação ao
referencial S'. Poderia ser em relação a S.
Em geral, nas questões de cinemática envolvendo ponto material em movimento em breves
intervalos de tempo, adota-se a Terra como corpo onde se fixa o sistema de referência absoluto
S. Nessa opção, S' será qualquer outro referencial móvel em relação a S.
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Observações do cotidiano
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Exemplo 1
Um teco-teco (avião) dirige-se de Oeste para Leste com velocidade de
200km/h em relação ao ar. O vento sopra de oeste para Leste com velocidade
de 80km/h. Determine a velocidade do avião em relação ao solo.
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Exemplo 2
Um barco a vapor sobe um rio percorrendo 2160 m em 432 s. Quando
ele desce o rio, percorrendo a mesma distância, leva 240 s. A máquina
imprime a mesma velocidade ao barco nos dois trajetos. Obter a
velocidade do barco e a das águas do rio.
Exemplo 3
Um barco apresenta velocidade de 2 m/s em águas tranqüilas. Ele pretende atravessar
um rio de 40 m de largura e cujas águas tem velocidade de 0,5 m/s. O barco atravessa
mantendo-se sempre perpendicular às margens.
a)Obter a posição atingida na outra margem.
b)A distância efetivamente percorrida pelo barco.
c) Qual deveria ser a orientação do barco para atravessar o rio perpendicularmente ao
ponto de partida?
d)Que orientação deverá tomar o barco para atingir a outra margem num ponto dado?
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Exemplo 4
Um trem viaja a uma velocidade constante de 50km/h. Ao mesmo tempo, cai uma
chuva, com ausência de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais do trem
são segmentos de retas que formam ângulos de 60 com a vertical. Qual deve ser o
valor aproximado da velocidade das gotas, em relação ao solo ?
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Composição no Movimento Circular
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Exemplo 5
Uma bola roda sem escorregar sobre uma mesa de sinuca com velocidade
v=10m/s. Qual é o módulo da velocidade do ponto P da superfície da bola
no instante mostrado na figura ?
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RESUMO
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