Probabilidade

Probabilidade
Introdução
Dentro de certas condições, é possível prever a que temperatura o leite ferve. Esse tipo de
experimento, cujo resultado é previsível, recebe o nome de determinístico.
No entanto, ao lançarmos um dado uma ou mais vezes, não podemos saber com antecedência o
número obtido; sabemos apenas que os possíveis resultados são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Esse tipo de
experimento, cujo resultado não pode ser previsto, é chamado aleatório.
São aleatórios os seguintes experimentos:
 O sorteio da Megassena.
 A escolha de um número de 1 a 50.
 O sorteio do 1º prêmio da loteria federal.
 A escolha de uma senha de acesso à conta bancária.
 O lançamento de uma moeda ou dado.
 O resultado do jogo 5 da loteria esportiva.
Na teoria das probabilidades, estudamos os experimentos aleatórios equiprováveis, isto é,
experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance.
Exemplo:
No lançamento de uma moeda, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa é a mesma.
Como se calcula a probabilidade de determinado evento?
A probabilidade P(x) da ocorrência de determinado evento x calcula-se utilizando o número de
possibilidades que me interessam (eventos favoráveis) e o número total de possibilidades (eventos
possíveis), dividindo-se o primeiro pelo segundo, assim:
P(x) 
nº de eventos favoráveis
nº de eventos possíveis
ou
P(x) 
QUERO
TENHO
Exemplos:
01. Qual a probabilidade de obtermos “cara” ao atirarmos para cima uma moeda?
Solução:
A probabilidade é
P(x) 
nº de eventos favoráveis 1

nº de eventos possíveis
2
1
, ou seja, 0,5 = 50%, visto que uma moeda tem 2 faces.
2
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1
02. Qual a probabilidade de obtermos face 5 no arremesso de um dado?
Solução:
P(x) 
nº de eventos favoráveis 1

nº de eventos possíveis
6
Visto que um dado tem 6 faces, a probabilidade é calculada dividindo o número de eventos
favoráveis (1) pelo número de eventos possíveis (6), ou seja,
1
ou 16,66%.
6
03. Jogando um dado duas vezes, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos menor que 6?
Solução:
Temos 36 elementos (a, b) possíveis, onde a é a face do dado 1 e b a face do dado 2.
Faces do dado 2
Faces do dado 1
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
Dessas 36 possibilidades, temos 10 favoráveis (estão salientadas na tabela acima em verde).
Assim, P(x) 
nº de eventos favoráveis 10

 0,27 ou 27%
nº de eventos possíveis
36
04. Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30, determinar a probabilidade de
que ele seja primo.
Solução:
Nº de eventos possíveis
 Divisores de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Nº de eventos favoráveis
 Primos = {2, 3, 5)
P(P) 
nº de eventos favoráveis 3
  0,375 ou 37,5%
nº de eventos possíveis
8
05. Qual a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, 2 vermelhas
e 5 verdes? E de retirar 1 branca?
Solução:
 10 possíveis
1 bola vermelha 
 2 favoráveis
P(V) 
nº de eventos favoráveis
2
1

  0,20 ou 20%
nº de eventos possíveis
10 5
 10 possíveis
 3 favoráveis
1 bola branca 
P(B) 
nº de eventos favoráveis
3

 0,30 ou 30%
nº de eventos possíveis
10
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2
06. Qual é a probabilidade de sair um “dois”, ao retirar, ao acaso, uma carta de um
baralho de 52 cartas?
Solução:
Um baralho de 52 cartas possui uma carta 2 de naipe ouro, uma carta 2 de naipe
paus, uma carta 2 de naipe copas e uma carta 2 de naipe espadas.
Logo, o baralho possui 4 carta com o número 2. Assim:
P(2) 
Paus, ouros,
copas e espadas
nº de eventos favoráveis
4
1


 0,08 ou 8%
nº de eventos possíveis
52 13
07. Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números de 1 a 10, duas fichas são distribuídas ao
jogador, que ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números consecutivos. A
probabilidade de ganhar o prêmio neste jogo é de
a) 14%
b) 16%
c) 20%
d) 25%
e) 33%
Solução:
Como temos os inteiros de 1 a 10, existem nove pares de números consecutivos.
Vejamos quais:
(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10).
10.9
10!
No entanto, temos C10, 2 =
=
= 45 maneiras diferentes de serem distribuídas
2.1
8! 2!
2 fichas distintas (ordem não importa).
Portanto, a probabilidade de ganhar o prêmio é:
9
1
  0,2 , ou seja, 20%.
P=
45 5
......
08. Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte;
30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam
somente de esporte; e 5 jovens gostam somente de leitura.
a) Qual é a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar de música?
b) Qual é a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de
nenhuma dessas atividades?
Solução:
Vamos distribuir no diagrama de Venn, as informações do problema, sendo M o conjunto dos
jovens que gostam de música, E, os que gostam de esporte e L, de leitura.
a) Gostam de música = 6 + 8 + 16 + 14 = 44
44
P(M) 
 0,58 ou 58%
75
M
E
6
b) Não gostam de nenhuma atividade = 11
11
P(N) 
 0,14 ou 14%
75
14
16
9
6
5
L
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8
11
3
09. (UFRGS) Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas
de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos
números sorteados seja 5 é
1
1
1
2
1
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e) .
15
12
11
21
9
Solução:
Vamos determinar o número total de possibilidades e o número total de eventos favoráveis, e
depois, aplicar a fórmula:
nº de eventos favoráveis
P(A) =
nº total de possibilidades
( i ) Número total de possibilidades
Faces do dado 2
Faces do dado 1
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
Número total = 6 . 6 = 36 possibilidades.
( ii ) Número total de eventos favoráveis:
E = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)}
Nº total = 4
4
1

P(A) =
36 9
10. No lançamento simultâneo de dois tetraedros distinguíveis perfeitos, cujas faces estão numeradas
de 1 a 4, qual é a probabilidade de que:
a) o mesmo número apareça em ambos os tetraedros?
b) a soma dos números seja maior que 5?
c) a soma dos números seja maior que 1?
d) a soma dos números seja menor que 1?
e) a soma dos números seja 7?
f) a soma dos números seja divisível por 3?
Solução:
O tetraedro possui 4 faces, que são numeradas de 1 a 4.
Número total de possibilidades, com 2 tetraedros distinguíveis é: 4 . 4 = 16.
Faces do
tetraedro 2
Faces do
tetraedro 1
1
2
3
4
1
1-1
2-1
3-1
4-1
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2
1-2
2-2
3-2
4-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
4
a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 
4
1
P
  0,25 ou 25% .
16 4
b) {(2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}
5
P
 0,31 ou 31% .
16
4 favoráveis

5 favoráveis
c) Todas as 16 possibilidades.
16
P
 1 ou 100% .
16
d) Nenhuma possibilidade.
0
P
 0 ou 0% .
16
e) {(3, 4), (4, 3)}  2 favoráveis
2
1
P
  0,125 ou 12,5% .
16 8
f) {(1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)}  5 favoráveis
5
P
 0,31 ou 31%
16
11. No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitamente distinguíveis, qual é a probabilidade de
serem obtidas:
a) pelo menos 2 caras
b) exatamente 2 caras
Solução:
Moeda 1  cara ou coroa  2 possibilidades
Moeda 2  cara ou coroa  2 possibilidades
Moeda 3  cara ou coroa  2 possibilidades
Pelo principio fundamental da contagem, temos:
2.2.2 = 8 possibilidades.
a) C = cara
C = coroa
Temos: (C, C, C), (C, C, C ), (C, C , C), ( C , C, C)  4 favoráveis.
4 1
P    0,5 ou 50%
8 2
b) (C, C, C ), (C, C , C), ( C , C, C)  3 favoráveis.
3
P   0,375 ou 37,5%
8
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5
Regra da Multiplicação (ou regra do “e”)
Usa-se essa regra para calcular a probabilidade da ocorrência de eventos independentes, isto
é, a ocorrência de evento A não afeta a ocorrência do evento B.
Para isso, multiplicam-se as probabilidades da ocorrência dos eventos em questão.
P(A  B) = P(A).P(B)
Exemplos:
01. Uma moeda é lançada 2 vezes. Qual a probabilidade de que apareça coroa nas 2 vezes?
Solução:
Espaço amostral U = {cara, coroa}  situações possíveis
1
 probabilidade do evento A (sair coroa)
2
1
2º lançamento: P(B) 
 probabilidade do evento B (sair coroa)
2
1 1 1
P(A  B)  P(A).P(B)  .   0,25 ou 25%
2 2 4
1º lançamento: P(A) 
02. Dois dados são lançados sobre uma mesa. A probabilidade de ambos os dados mostrarem na face
superior números ímpares é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/4
d) 2/5
e) 3/5
Solução:
Dado A dever ser ímpar e o dado B também.
3 1

6 2
3 1
P(B)  
6 2
P(A) 
P(I)  P(A).P(B) 
1 1 1
. 
2 2 4
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6
03. Uma família planeja ter 3 crianças. Qual a probabilidade de que a família
tenha 3 rapazes, dado que a primeira criança que nasceu é rapaz?
Solução:
O primeiro filho é um rapaz. Portanto, devemos considerar a probabilidade dos demais filhos
serem rapazes. Como a probabilidade de nascer menino ou menina é ½ e, deve nascer rapaz e rapaz,
temos:
1 1 1
P(R).P(R)  .   0,25 ou 25%
2 2 4
04. Uma família planeja ter 3 crianças. Qual a probabilidade de os 3 serem
a) do sexo feminino?
b) do mesmo sexo?
Solução:
a) P 
1 1 1 1
. .   0,125 ou 12,5%
2 2 2 8
b) P 
1 1 1
1 1 1 1 1 1
. .
 . .   
 0,25 ou 25%
2 2 2
2 2 2 8 8 4
meninos
meninas
05. João e sua esposa Maria têm pigmentação normal. João é filho de um homem normal e mulher
albina; Maria é filha de uma mulher normal e pai albino. Qual é a probabilidade de João e Maria terem
uma criança albina e que seja do sexo masculino?
Solução:
Quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades:
João
A
a
1
4
1
Aa 
4
1
4
1
aa 
4
A AA 
a
aa  albino 
Maria
Aa 
1
4
AA, Aa, Aa  ser normal 
3
4
Probabilidade de ser albina  P(A) 
1
4
1
2
Ser albina é um “evento” independente de ser masculino. Logo:
1 1 1
P . 
4 2 8
Probabilidade de ser masculino  P(M) 
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7
06. A queratose (anomalia na pele) é devida a um gene dominante Q. Uma mulher com queratose, cujo
pai era normal, casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era normal. Se esse casal tiver filhos,
qual é a probabilidade de os dois apresentarem queratose?
Solução:
Quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades
Homem
Q
q
1
4
1
Qq 
4
1
4
1
qq 
4
Q QQ 
q
qq  ser normal 
Mulher
Qq 
1
4
QQ, Qq, Qq  com queratose 
3
4
A probabilidade de ter dois filhos com queratose é:
3 3
9
P . 
 0,56 ou 56%
4 4 16
07. Uma urna contém três bolas amarelas e duas brancas. Retirando sucessivamente duas bolas, sem
reposição, qual a probabilidade de saírem as duas brancas?
Solução:
2
5
Supondo que a 1ª bola retirada é branca, para a 2ª extração ficaram na urna 4 bolas, sendo
1
apenas 1 branca  P(B)  .
4
2 1
1
 0,1 ou 10%
Assim: P  . 
5 4 10
Há 2 bolas brancas no total de 5 bolas  P(A) 
08. De uma classe onde há 15 rapazes e 15 moças serão escolhidos dois alunos ao acaso. Qual a
probabilidade de serem escolhidas duas moças?
Solução:
15
.
30
Como a 1ª escolhida é moça, sobram 29 pessoas, sendo 14 moças. A probabilidade da 2ª
14
escolhida ser também moça é: P 
. Assim:
29
15 14
7
P
.

 0,24 ou 24% .
30 29 29
a) Há 30 pessoas, sendo 15 moças. A probabilidade da 1ª escolhida ser moça é: P 
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8
09. Uma fábrica produz três produtos A, B e C. Qual é a probabilidade de se
selecionar, ao acaso, um produto defeituoso A, se é sabido que 30% dos
produtos produzidos pela fábrica são produtos A e 5% dos produtos são
defeituosos?
Solução:
30
 30%  30% do total fabricado é do produto A.
100
5
P(D) 
 5%  5% dos produtos A são defeituosos.
100
30
5
3
P
.

 0,015 ou 1,5%
100 100 200
P(A) 
10. (UFRGS) Um painel é formado por dois conjuntos de sete lâmpadas cada um, dispostos como na
figura 1 abaixo. Cada conjunto de lâmpadas pode ser aceso independentemente do outro, bem como as
lâmpadas de um mesmo conjunto podem ser acesas independentemente umas das outras, formando
ou não números. Estando todas as lâmpadas apagadas, acendem-se, ao acaso e simultaneamente,
cinco lâmpadas no primeiro conjunto e quatro lâmpadas no segundo conjunto. A probabilidade de que
apareça no painel o número 24, como na figura 2, é
1
735
1
b)
700
1
c)
500
1
d)
250
1
e)
200
a)
Solução:
No primeiro conjunto de 7 lâmpadas, 5 podem ser acesas. Para saber as possibilidades de
acender 5 de um total de 7, usamos a Combinação Simples.
7!
 21
1º conjunto de lâmpadas  C7,5 
2!.5!
No segundo conjunto de 7 lâmpadas, 4 podem ser acesas. Para saber as possibilidades
de acender 4 de um total de 7, usamos também a Combinação Simples.
7!
 35
2º conjunto de lâmpadas  C7, 4 
4!.3!
Assim:
P
1 1
1
.

21 35 735
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9
Regra da Adição (ou regra do “ou”)
Usa-se essa regra para calcular a probabilidade de ocorrências de eventos mutuamente
exclusivos.
Para isso, somam-se as probabilidades da ocorrência dos eventos em questão.
P(A  B) = P(A)
+
P(B)
Exemplos:
01. Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade
de ocorrer um rei ou um valete?
Solução:
O baralho possui 4 reis e 4 valete (paus, ouro, espada e copa).
Veja que devemos retirar um ou um valete. Assim:
P
4
4
8
2



 0,15 ou 15%
52 52 52 13
02. Em um auditório, estão 35 pessoas loiras e morenas. Vinte delas são homens, dos quais 4 são
loiros. Entre as mulheres, há 8 loiras. Sorteando-se ao acaso uma pessoa desse auditório, qual a
probabilidade de ela ser uma mulher morena ou um homem?
Solução:
Neste auditório temos 35 pessoas, assim discriminadas:
Homens (20)
Mulheres (15)
4 homens loiros
16 homens morenos
8 mulheres loiras
7 mulheres morenas
São 7 mulheres morenas de um total de 35 pessoas. Logo: P 
São 20 homens de um total de 35 pessoas. Logo: P 
7
.
35
20
35
Queremos a probabilidade de ela ser uma mulher morena ou um homem.
Assim:
P
7
20 27


 0,77 ou 77%
35 35 35
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10
03. Num cruzamento Aa x Aa, as combinações AA, Aa, aA e aa são igualmente prováveis, cada uma
1
com probabilidade de
. Sabemos que Aa e aA não podem ser distinguidas biologicamente. Qual é a
4
probabilidade de ocorrer Aa ou aA?
Solução:
Quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades:
A
1
A AA 
4
1
a aA 
4
a
1
4
1
aa 
4
Aa 
Queremos a probabilidade de ocorrer Aa ou aA. Assim:
1
1 1
P

  0,50 ou 50%
4
4 2
04. Considere duas caixas, I e II. Na caixa I há 4 bolas pretas e 6 azuis e na caixa II há 8 bolas pretas e
2 azuis. Escolhi ao acaso uma caixa e, em seguida, tirei uma bola. Qual a probabilidade desta bola ser:
a) preta?
b) azul?
Solução:
Caixa I
Caixa II
a) Probabilidade de escolher uma das caixas  P(C) 
1
.
2
4
.
10
8
Supondo escolhida a caixa II, a probabilidade de retirar uma preta é P(PII ) 
.
10
1 4
1 8
6
 .

 0,60 ou 60% .
Assim: P(P)  .
2 10 2 10 10
Supondo escolhida a caixa I, a probabilidade de retirar uma preta é P(PI ) 
b) Probabilidade de escolher uma das caixas  P(C) 
1
.
2
6
.
10
2
Supondo escolhida a caixa II, a probabilidade de retirar uma azul é P(AII ) 
.
10
1 6
1 2
4
 .

 0,40 ou 40% .
Assim: P(A)  .
2 10 2 10 10
Supondo escolhida a caixa I, a probabilidade de retirar uma azul é P(AI ) 
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11
05. Qual a probabilidade de um casal com pele normal, portador de gene para o albinismo ter dois
filhos, de qualquer sexo, sendo o primeiro com pele normal e o outro albino ou ambos normais?
Solução:
P
Normal
3 1
3 3
3
9
12 3
.

.



  0,75
4 4
4 4
16 16 16 4
Albino
Normal
ou 75%
Normal
06. (UFRGS) Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que
cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que
os três bebês sejam do mesmo sexo é
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/6
e) 1/8
Solução:
P
1 1 1
1 1 1 1 1 1
. .
 . .   
 0,25 ou 25%
2 2 2
2 2 2 8 8 4
meninos
meninas
07. Os esportistas João e Pedro vão disputar a corrida de São Silvestre. Se a
chance de João ser campeão é de 0,25 e a de Pedro é de 0,20, qual a
probabilidade de João ou Pedro ganharem a corrida?
Solução:
P = 0,25 + 0,20 = 0,45 ou 45%
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12
União de dois eventos
Considerando A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral S, o número de
elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de
elementos do evento B, subtraído do número de elementos da intersecção de A com B.
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da
equação por n(S) a fim de obter a probabilidade P(A  B).
n(A  B) n(A) n(B) n(A  B)



n(S)
n(S) n(S)
n(S)
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
OBS.: Para eventos mutuamente exclusivos – regra do “ou” – (A  B = ), a equação obtida fica:
P(A  B) = P(A) + P(B)
Exemplos:
01. Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se 1 bola ao acaso. Qual a
probabilidade de ser par ou maior que 4?
Solução:
Elementos disponíveis  E = {1, 2, 3, ..., 10}
 n(E) = 10 elementos
Evento A  ser par  A = {2, 4, 6, 8, 10}  n(A) = 5 elementos  P(A) 
5
10
Evento B  ser maior que 4  B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}  n(B) = 6 elementos  P(B) 
A  B = {6, 8, 10}  n(A  B) = 3 elementos
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) =
 P(A  B) 
6
10
3
10
5
6
3
8



 0,80
10 10 10 10
ou
80% .
02. Considerando a mesma situação anterior, qual a probabilidade da bola retirada ter um número primo
ou maior que 8.
Solução:
Elementos disponíveis  E = {1, 2, 3, ..., 10}
 n(E) = 10 elementos
Evento A  ser primo  A = {2, 3, 5, 7}  n(A) = 4 elementos  P(A) 
4
10
Evento B  ser maior que 8  B = {9, 10}  n(B) = 2 elementos  P(B) 
0
10
4
2
0
6



 0,60
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) =
10 10 10 10
2
10
A  B =   n(A  B) = 0 elementos  P(A  B) 
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ou
60% .
13
03. De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bolinha. Qual a
probabilidade dessa bolinha ter um número divisível por 2 ou por 3?
Solução:
Elementos disponíveis  E = {1, 2, 3, ..., 20}  n(E) = 20 elementos
Evento A  ser divisível por 2  A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}  n(A) = 10 elementos
10
P(A) 
20
Evento B  ser divisível por 3  B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}  n(B) = 6 elementos
6
P(B) 
20
3
A  B = {6, 12, 18}  n(A  B) = 3 elementos  P(A  B) 
20
10
6
3
13
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) =



 0,65 ou 65% .
20 20 20 20
04. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja
vermelha ou um ás?
Solução:
Elementos disponíveis  n(E) = 52 cartas
Evento V  n(V) = 26 cartas vermelhas  P(V) 
26
52
4
52
A  B = {6, 12, 18}  n(A  B) = 2 cartas vermelhas e “Ás” (naipe ouro e copa)
2
P(A  B) 
52
26
4
2
28



 0,53 ou 53% .
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) =
52 52 52 52
Evento A  n(A) = 4 cartas “Ás”  P(A) 
05. (Técnico de finanças e controle – TFC/CGU) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele
encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de
ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar
Ricardo ou Fernando é igual a:
a) 0,04
b) 0,40
c) 0,50
d) 0,45
e) 0,95
Solução:
P(R  F) = P(R) + P(F) – P(R  F) = 0,40 + 0,10 + 0,05 = 0,45.
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14
06. De uma reunião participam 200 profissionais, sendo 60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os
demais nutricionistas. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidade de ele ser
médico ou dentista?
Solução:
Elementos disponíveis  n(E) = 200 profissionais
60
Evento M  n(M) = 60 médicos  P(M) 
200
50
Evento D  n(D) = 50 dentistas  P(D) 
200
0
n(A  B) = 0  P(A  B) 
200
60
50
0
110 11




 0,55 ou 55% .
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) =
200 200 200 200 20
07. Em uma reunião, há 16 homens e 20 mulheres, sendo que apenas metade dos homens e metade
das mulheres usam óculos. Ao escolher uma dessas pessoas ao acaso, qual é a probabilidade de ele
ser homem ou usar óculos?
Solução:
Elementos disponíveis  n(E) = 36 pessoas
16
Evento H  n(H) = 16 homens  P(H) 
36
Evento O  n(O) = 18 pessoas usam óculos  P(O) 
18
36
8
36
16 18
8
26 13




 0,72 ou 72% .
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) =
36 36 36 36 18
n(A  B) = 8 homens com óculos  P(A  B) 
08. Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter “cara” ou o
número 6 no dado?
a) 8/12
b) 7/12
c) 1/12
d) 5/12
e) 2/3
Solução:
1
 Probabilidade de obter “cara”.
2
1
P(D) 
 Probabilidade de obter 6 num dado.
6
P(C) 
1
 Probabilidade de obter “cara” e 6 (em algum momento teremos uma cara e
12
um 6, de um total de 12 possibilidades possíveis).
1 1
1
7

 0,58 ou 58% .
P(C  D) = P(C) + P(D) – P(C  D) =  
2 6 12 12
P(C  D) 
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15
09. Numa cidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de
ambos os clubes. Calcule a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ser sócia do clube A ou
do B?
a) 3/4
b) 3/7
c) 4/5
d) 1/4
e) 1/2
Solução:
Elementos disponíveis  n(E) = 1000 habitantes
400
1000
300
Evento B  n(B) = 300 sócios do clube B  P(B) 
1000
200
n(A  B) = 200 sócios do clube A e B  P(A  B) 
1000
400
300
200
500
1




P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) =
.
1000 1000 1000 1000 2
Evento A  n(A) = 400 sócios do clube A  P(A) 
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16
Método binomial
Considerando-se um experimento aleatório, observa-se a probabilidade de ocorrer um evento E
(sucesso), assim como o seu complementar E (insucesso), em n tentativas independentes. A
probabilidade de ocorrerem k sucessos e n – k fracassos é dada pelo termo geral do Binômio de
Newton (p + q)n.
n
P    p k .q n  k
k
 p é a possibilidade de sucesso em cada tentativa
 q = 1 – p é a probabilidade de fracasso
OBS.:
“Sucesso” e “fracasso” aqui apenas representam ocorrências que se excluem e se
complementam:
 Se ocorre um sucesso, não ocorre um fracasso, e vice-versa.
 Sucesso e fracasso cobrem todas as possibilidades, não há ocorrência diferentes dessas.
Exemplos:
01. Qual a probabilidade de sair o número 3 quatro vezes, num dado que é jogado 5 vezes?
Solução:
Probabilidade de sair o número 3 em cada jogada  p 
1
6
Probabilidade de não sair o número 3 em cada jogada  q  1  p  1 
1 5

6 6
Dados:
n = 5 tentativas
k = 4 sucessos, ou seja, 4 vezes que deve sair o número 3
1
p
6
5
q
6
Probabilidade de sair o número 3 em 4 das 5 jogadas:
4
54
4
1
n
5  1   5 
P    pk .qn  k  P   5  .  1  .  5 
 P   .  . 
k 
 4  6   6 
 4  6   6 
P
5!
1 5
25
.
. 
 0,003 ou 0,3%
4!.1! 1296 6 7776
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17
02. Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual a probabilidade de sair “cara” 5 vezes?
Solução:
Probabilidade de sair “cara” em cada lançamento  p 
1
2
Probabilidade de não sair “cara” em cada lançamento  q  1  p  1 
1 1

2 2
Dados:
n = 8 lançamentos da moeda
k = 5 sucessos, ou seja, sair “cara” 5 vezes
1
p
2
1
q
2
Probabilidade de sair “cara” 5 vezes em 8 lançamentos:
5
3
n
P    pk .qn  k  P   8  .  1  .  1 
k 
5  2   2 
P
8! 1 1
1
. .  56.
 0,22 ou 22%
5!.3! 32 8
256
03. Uma prova é constituída de 10 exercícios em forma de teste com 5 alternativas em cada teste. Se
um aluno “chutar” todas as respostas, qual é a probabilidade de ele acertar 6 exercícios?
Solução:
Probabilidade de acertar cada exercício  p 
1
5
Probabilidade de não acertar cada exercício  q 
4
5
Dados:
n = 10 exercícios
k = 6 sucessos, ou seja, acertar 6 exercícios.
1
p
5
4
q
5
6
4
n
P    pk .qn  k  P   10  .  1  .  4 
k 
 6  5 5
P
10!
1
256
256
.
.
 210.
 0,005 ou 0,5%
6!.4! 15625 625
9765625
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18
04. (Técnico de finanças e controle – TFC/CGU) Em um hospital, 20% dos enfermos estão acometidos
de algum tipo de infecção hospitalar. Para dar continuidade às pesquisas que estão sendo realizadas
para controlar o avanço deste tipo de infecção, cinco enfermos desse hospital são selecionados, ao
acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente três dos enfermos selecionados não
estejam acometidos de algum tipo de infecção hospitalar é igual a:
a) (0,8)3(0,2)2
b) 10(0,8)2(0,2)3
c) (0,8)2(0,2)3
d) 10(0,8)3(0,2)2
e) (0,8)3(0,2)0
Solução:
Probabilidade de ter infecção hospitalar  p = 20% = 0,20
Probabilidade de não ter infecção hospitalar  q = 80% = 0,80
Dados:
n = 5 enfermos
k = 2 enfermos possuir infecção hospitalar.
p = 0,20
q = 0,80
n
P    pk .qn  k  P   5  .  0,20 2 .  0,80 3  10.(0,2)2 .(0,8)3
k 
3
05. Sabendo-se que a probabilidade de uma pessoa acertar um tiro no alvo é 1/4, qual a probabilidade
de acertar pelo menos um tiro em 4 tentativas?
Solução:
1
108
3
.  
4
256
 
 4  1 
 . 
 2  4 
2
54
3
.  
4
256
 
4  1 
 . 
3  4 
3
k=3
12
3
.  
4
256
 
 4  1 
 . 
 4  4 
4
k=4
1
3
.  
4
256
 
k=1
4  1 
 . 
 1  4 
k=2
P
3
2
1
0
108
54
12
1
175




 0,68
256 256 256 256 256
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ou
68%
19
06. Um jogador de xadrez tem 2/5 de probabilidade de vitória quando joga. Na realização de cinco
partidas, determinar a probabilidade de esse jogador vencer:
a) duas partidas
b) mais da metade das partidas
Solução:
a) Dados:
n = 5 partidas
k = 2 sucessos, ou seja, vencer 2 partidas
2
p
5
3
q
5
2
3
n
P    pk .qn  k  P   5  .  2  .  2   216  0,34
625
k 
 2  5   5 
b)
ou
34%
Ptotal  Pvencer 3  Pvencer 4  Pvencer 5
3
2
4
1
5  2   3 
5  2   3 
Ptotal    .   .      .   .   
3  5   5 
 4  5   5 
720
240
32
992
Ptotal 



 0,32
3125 3125 3125 3125
5  2 
 . 
5  5 
5
3
. 
5
0
ou 32%
07. Uma escola tem 46% de seus alunos do sexo feminino. Num sorteio de quatro alunos, qual é a
probabilidade de saírem:
a) duas pessoas do sexo feminino?
b) quatro pessoas do sexo feminino?
Solução:
 4
2
2
a) P    .  0,46  .  0,54   0,37 ou 37%
 2
 4
4
0
b) P    .  0,46  .  0,54   0,045 ou 4,5%
 4
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20
Testes
01. (Osec-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma única bola de uma urna
contento 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/4
d) 1/12
e) n.d.a
02. (Cescea-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento: retirada de uma
bola. Considere os eventos:
A = {a bola retirada possui um número múltiplo de 2}.
B = {a bola retirada possui um número múltiplo de 5}.
Então, a probabilidade do evento A  B é:
a) 13/20
b) 4/5
c) 7/10
d) 3/5
e) 11/20
03. (Unesp) Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma
dos resultados obtidos seja 3 ou 6 é:
a) 7/18
b) 1/18
c) 7/36
d) 7/12
e) 4/9
04. (Osec-SP) Foram preparadas noventa empadinhas de camarão, sendo que, a pedido, sessenta
delas deveriam ser bem mais apimentadas. Por pressa e confusão de última hora, foram todas
colocadas ao acaso, numa mesma travessa, para serem servidas. A probabilidade de alguém retirar
uma empadinha mais apimentada é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/60
d) 2/3
e) 1/90
05. UMC-SP) Uma roleta tem 37 posições numeradas (0, 1, 2, ..., 36). Suponhamos que a bola caia em
cada posição com probabilidades iguais. A probabilidade de a bola cair em um número menor que 5 e
um número maior que 30 são
a) 32/37 e 6/37
b) 5/37 e 31/37
c) 1/5 e 1/6
d) 6/37 e 5/37
e) 5/37 e 6/37
06. (FGV) Numa sala existem seis casais. Entre estas 12 pessoas, duas são selecionadas ao acaso. A
probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa é
a) 1/12
b) 1/11
c) 1/8
d) 3/4
e) 11/12
07. Um casal tem 3 meninos e espera sua quarta criança. Qual é a probabilidade de essa criança ser
um menino?
a) 3/4
b) 1/4
c) 1/2
d) 33%
e) 12,5%
08. (FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três lâmpadas são
escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de apenas uma das escolhidas estar
queimada?
a) 1/3
b) 2/3
c) 28/55
d) 12/55
e) 1/110
09. O casal Deolindo e Elvira quer ter 4 filhos. A probabilidade de esses filhos serem dois homens e
duas muheres e 4 homens são, respectivamente
a) 3/8 e 1/16
b) 3/16 e 1/2
c) 1/16 e 3/16
d) 1/2 e 1/16
e) 1/16 e 1/2
10. A probabilidade atual de uma pessoa viver além dos 70 anos é de 30% ou 0,3. De um grupo de 5
amigos, todos com 60 anos, qual é a chance de 4 deles ultrapassarem os 70 anos?
a) 0,28%
b) 2,8%
c) 28%
d) 70%
e) 30%
GABARITO
01  A
04  D
07  C
02  D
05  E
08  C
03  C
06  B
09  A
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10  B
21