Lista 4 - Ângulos, distâncias e posições relativas 1. Considere os

Lista 4 - Ângulos, distâncias e posições relativas
1. Considere os vetores v = i + 3j + 2k, w = 2i − j + k e u = i − 2j. Seja π um plano paralelo
aos vetores w e u e r uma reta perpendicular ao plano π. Ache a projeção ortogonal do
vetor v sobre a reta r, ou seja, a projeção ortogonal de v sobre o vetor diretor da reta r.
2. Encontrar o ângulo entre o plano 2x − y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3)
e é perpendicular ao vetor i − 2j + k.
3. Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e π2 o plano
que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) e é paralelo ao vetor i + j. Ache o ângulo
entre π1 e π2 .
4. Ache uma reta que passa pelo ponto (1, −2, 3) e que forma ângulos de 45◦ e 60◦ com os
eixos x e y respectivamente.
5. Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e sabendo que
o lado BC está contido na reta r : (x, y, z) = t(0, 1, −1).
6. Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A = (1, 0, 0)
e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π.
7. Seja r1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0), e r2 a reta
z−4
y−3
=
.
x−2=
2
3
(a) Encontre as equações da reta perpendicular às retas r1 e r2 ;
(b) Calcule a distância entre r1 e r2 .
√
8. Dados A = (0, 2, 1), r : X = (0, 2, −2) + t(1, −1, 2), ache os pontos
√ de r que distam 3 de
A. A distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual à 3? Por que?
9. Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1, −1, 2) e B =
(4, 3, 1). Que lugar geométrico é esse?
10. Obtenha uma equação geral do plano π, que contém a reta
x − 2y + 2z = 0
r:
3x − 5y + 7z = 0,
e forma com o plano π1 : x + z = 0 um ângulo de 60◦ .
11. (a) Determine a equação do plano pi1 que passa por A = (10/3, 1, −1), B = (1, 9/2, −1) e
C = (1, −1, 5/6).
(b) Determine a equação do plano π2 que passa por D = (−1, 4, −1), E = (3/2, −1, 10) e é
paralelo ao eixo z.
(c) Escreva equações paramétricas para a reta r interseção dos planos π1 e π2 .
(d) Faça a um esboço dos planos π1 , π2 e da reta r no primeiro octante.
(e) Qual o ângulo entre os planos π1 e π2 ?
(f) Qual o ponto P de π1 que está mais próximo da origem?
12. Determine a posição relativa das retas r e s,
r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(2, 2, 1), t ∈ R,
s : (x, y, z) = t(1, 1, 0), t ∈ R.
13. Sejam r1 : (x, y, z) = (1, 0, 2) + (2t, t, 3t) e r2 : (x, y, z) = (0, 1, −1) + (t, mt, 2mt) duas retas.
(a) Determine m para que as retas sejam coplanares.
(b) Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa entre r1 e r2 .
1
2
(c) Determine a equação do plano determinado por r1 e r2 .
(d) Para m = −2 qual a posição relativa entre r1 e r2 ?
14. Dê a posição relativa dos seguintes ternos de planos:
(a) 2x + y + z = 1, x + 3y + z = 2, x + y + 4z = 3.
(b) x − 2y + z = 0, 2x − 4y + 2z = 1, x + y = 0.
(c) 2x − y + z = 3, 3x − 2y − z = −1, 2x − y + 3z = 7.
(d) 3x + 2y − z = 8, 2x − 5y + 2z = −3, x − y + z = 1.
(e) 2x − y + 3z = −2, 3x + y + 2z = 4, 4x − 2y + 6z = 3.