Cálculo 3 Sexta Avaliação 19/05/2016 Nome / Matrícula: / Turma

Cálculo 3
Sexta Avaliação
19/05/2016
/
Nome / Matrícula:
Turma: AA
Nota:
(de 3 pontos)
1. Considere a função de duas variáveis
f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 + 2x − 4y − 1,
e escolha as constantes a, b e c, de tal forma que a, b, c ∈ Z\{0}.
(a) (1 ponto) Determine o plano tangente no ponto (−1, 1) e a equação paramétrica da reta normal ao plano.
(b) (1 ponto) Determine os pontos críticos da função f (x, y).
(c) (1 ponto) Classifique os pontos críticos encontrados. Seria possível escolher outros a, b e c de forma que a
classificação do ponto crítico encontrado fosse diferente da que você encontrou?
1
Gabarito
1. (a) Derivando a função f , temos:
fx
=
2ax + by + 2
fy
= bx + 2cy − 4.
No ponto (−1, 1) temos que o gradiente é
∇f = (−2a + b + 2, −b + 2c − 4).
Logo, o plano tangente é dado por
(−2a + b) (x + 1) + (−b + 2c) (y − 1) − (z − f (−1, 1))
=
0⇒
(−2a + b) (x + 1) + (−b + 2c) (y − 1) − (z − a + b − c + 7)
=
0.
Finalmente, temos que a equação da reta normal é dada por
r(t) = (−1, 1, a − b + c − 7) + t(−2a + b + 2, −b + 2c − 4, −1).
(b) Igualando as derivadas a zero, para determinarmos os pontos críticos, temos o seguinte sistema linear:
(
2ax + by = −2
.
bx + 2cy = 4
Para resolver esse sistema linear, podemos multiplicar a primeira equação por 2c e a segunda por b e subtrair as
duas. Assim, teremos
4ac − b2 x = −4c − 4b ⇒
4c + 4b
.
x =
b2 − 4ac
Repetindo essa mesma ideia, podemos encontrar y:
b2 − 4ac y
= −2b − 8a ⇒
−2b − 8a
.
=
b2 − 4ac
y
−2b−8a
Portanto, o ponto crítico é P = b4c+4b
.
2 −4ac , b2 −4ac
(c) Para classificarmos o ponto crítico encontrado, precisamos calcular a segunda derivada da função f . Assim,
Jxx
=
2a
Jyy
=
2c
Jxy
=
b.
O Hessiano, neste caso, é dado por
∆
2
fxy
− fxx fyy
=
= b2 − 4ac.
Se ∆ > 0, então P será um ponto de mínimo se a > 0 e ponto de máximo se a < 0. Se ∆ < 0, o ponto P será um
ponto de sela. Desta forma, a escolha de a, b, c influencia a classificação do ponto crítico.
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