Potenciação - PET Engenharias

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CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2
Potenciação
Rafael Alves da Silva - Engenharia Civil
Potenciação
No século 3 a.C na Grécia antiga, Arquimedes resolveu
calcular quantos grãos de areia eram necessários para
encher o Universo.
Potenciação
Então Arquimedes calculou o diâmetro do universo e o
volume médio de um grão de areia. No final de seus
cálculos apareceu contas de multiplicar por dez repetidas
vezes.
N de vezes que o 10 aparece na multiplicação
Resultado
1
10
2
100
3
1000
4
10000
5
100000
...
...
Potenciação: Definição

Também chamada de EXPONENCIAÇÃO; é uma operação
usada para indicar a multiplicação de um número por ele
mesmo x vezes

Por exemplo:
4 . 4 . 4 = 64
Utilizando a potenciação podemos
escrever a expressão da seguinte
forma: 4³ .
Vejamos algumas aplicações ...
• 7³ =
•( 0,5)² =
Calcule o valor de
• 3x² + x – 1, para x = 0,5
Potenciação: Regras
A incógnita “n” usada abaixo representa o número Base
Qualquer número racional elevado ao expoente zero é igual
a um.
=1
Ex.:
=1
=1
=1
Caso a base N seja zero, essa regra não é verdadeira.
Por que?
Teremos a resposta mais adiante
Potenciação: Regras

Qualquer número racional elevado ao expoente um é
igual à base.
n¹ = n
Ex.:
•
•
•
2¹ = 2
25¹ = 25
134¹ = 134
Propriedades das potências
As potências surgiram no intuito de representar multiplicações
onde os fatores eram iguais. Dessa forma, algumas propriedades
foram criadas nas operações envolvendo potenciações de bases
iguais ou diferentes, simplificando os cálculos. Observe o
desenvolvimento de uma potência:
3² = 3 x 3 = 9
10³ = 10 x 10 x 10 = 1000
64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296
Propriedade 1:
“Multiplicação de potencia de mesma base”
Para efetuarmos um produto de potências
de mesma base, conservamos a base e
somamos os expoentes dos fatores.
X .X  X
a
b
Ex.:
• 10² . 10¹ = 10³
a b
Vejamos algumas aplicações ...
2.
3.
Propriedade 2:
“Divisão de Potências de Mesma Base”
Para efetuarmos um quociente de potências
de mesma base, conservamos a base e
subtraímos os expoentes.
a
X
a b

X
b
X
7
2
3

2
4
2
Vejamos algumas aplicações ...
1.
2.
Respondendo a questão feita no início da aula...
SABE-SE QUE :
Caso a base N seja zero, essa regra não é
verdadeira!
Por que?
n/n = 1 Qualquer número diferente de zero dividido
por ele mesmo dá 1.
n¹/n¹ = n° Usamos a propriedade de divisão de potência
de mesmas base.
Como o resultado tem que ser único, concluímos que
n°=1.
Propriedades das potências
Até agora vimos Multiplicação e
Divisão com termos de mesma
base. E quando não tiver mesma
base? O que podemos fazer?
O QUE VAMOS VER AGORA É
JUSTAMENTE O SEGUNDO CASO:
EXPOENTES IGUAIS.
Propriedade 3:
“Multiplicação de potência de mesmo expoente”

Os números "X" e "Y"
podem
ser
quaisquer
números do conjunto dos
reais.
X .Y  ( XY )
a
a
a
Propriedade 4:
“Divisão de Potências de mesmo expoente”
•
O mesmo raciocínio mostrado para a
multiplicação, pode ser aplicado para a
divisão.
Os números "X" e "Y" podem ser
quaisquer números do conjunto dos
números reais. Conserva-se o expoente e
divide-se as bases.
X
X

 
a
Y
Y 
a
a
Vejamos algumas aplicações ...
1.
2.
Propriedade 5:
“Potencia de Potencia”

Onde "a" e "b" podem ser
quaisquer
números
do
conjunto dos reais. Potência
de potência, multiplica-se os
expoentes.
(X )  X
a b
a.b
Vejamos algumas aplicações ...
1.
2.
Propriedade 6:
“O Inverso de um número”
a
n
1
 n
a
Propriedade 7
1
n

a
n
a
Vejamos algumas aplicações ...
1.
2.
3.
Outras propriedades
Quando tivermos um número negativo elevado numa
potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os
exemplos:
(-5)2= (-5) . (-5) = 25
(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16
Note, então, que quando temos um número negativo
elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como
se fosse positivo.
E se tivermos um expoente ímpar?
Outras propriedades
Observe:
(-5)3=(-5)·(-5)·(-5) = -125
Sempre que tivermos um número negativo elevado em
qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na
resposta.
IMPORTANTE!!!
(-5)2 É TOTALMENTE DIFERENTE DE -52 . NO
PRIMEIRO CASO O SINAL DE MENOS TAMBÉM
ESTÁ ELEVADO AO QUADRADO, ENTÃO A
RESPOSTA É +25. JÁ NO SEGUNDO CASO, O
MENOS NÃO ESTÁ ELEVADO AO QUADRADO,
SOMENTE O 5, PORTANTO A RESPOSTA É -25.
Vejamos algumas aplicações ...
1.
2.
3.
Obrigado pela atenção!
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