(MECÂNICA DOS FLUIDOS - Capitulo 03

13/05/2012
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS
FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO
DE BERNOULLI – 1ª PARTE
Prof. Eliane Justino
INTRODUÇÃO
Dinâmica dos Fluidos – Movimento típico dos fluidos
A Dinâmica dos Fluido estuda o comportamento dos fluidos em
movimento e as causas que provoca este movimento.
movimento.
Para entender os fenômenos associados aos movimentos dos fluidos é
necessário considerar as Leis fundamentais que modelam o movimento
das partículas fluidas.
Conceito Importante:
a)
Importante: força e aceleração, Segunda Lei de Newton (F=m.a
o momento da partícula fluida ( de um modo ideal).
Com isso se obtém a famosa Equação de Bernoulli que será aplicada a
vários escoamentos.
1
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3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
É usual identificarmos uma aceleração ou desaceleração, quando uma
partícula fluida escoa de um local para outro. De acordo com a Segunda lei
de Newton, a força líquida que atua na partícula fluido que estamos
considerando precisa ser igual ao produto de sua massa e a aceleração
que esta força provoca neste elemento.
Consideramos apenas os escoamentos em que a viscosidade é nula
(invíscidos)
invíscidos), assim o único mecanismo de transferência de calor presente
no escoamento invíscidos é a radiação térmica.
térmica (radiação
eletromagnética emitida por um corpo em equilíbrio térmico causada
pela temperatura do mesmo)
Os fluidos invíscidos na realidade não existem,
existem mas como as outras forças
presentes no escoamento, tais como as provocadas pela aceleração da gravidade
ou pelas diferenças de pressão são superiores a força de cisalhamento, esta
pode ser desprezada.
desprezada.
3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
Admitindo que o movimento do fluido é provocado pelas forças de
gravidade e de diferença de pressão. Aplicando a Segunda Lei de Newton à
partícula fluida, obtemos:
(Força Líquida na partícula devida a pressão) + (Força na partícula devida a gravidade
= (massa da partícula) x (aceleração da partícula)
Para aplicar a Segunda Lei de Newton à partícula fluida (ou a qualquer
outro objeto) nós precisamos definir um sistema de coordenadas
apropriado para descrever o movimento.
O movimento da partícula fluida será tridimensional e transitório, portanto
é necessário três coordenadas espaciais e o tempo para descrever
adequadamente o movimento.
TemTem-se:
se:
(x, y, z)
(r, θ, z)
coordenadas cartesianas
coordenadas cilíndricas
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3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
Normalmente o sistema de coordenadas mais apropriado para descrever
o fenômeno é definido pela geometria do problema que está sendo
considerado.
Neste capítulo consideraremos os escoamentos bidimensionais no plano
x – z, como mostra a figura abaixo.
3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
Pode-se descrever o escoamento em
função das acelerações e velocidades das
partículas fluidas nas direções x e z.
As equações resultantes são normalmente
conhecidas como a forma bidimensional das
equações de Euler no sistema de
coordenadas cartesiano.
O movimento de cada partícula fluido é descrito em função do vetor
velocidade, V, que é definido como a taxa de variação temporal da
posição da partícula.
A velocidade da partícula é uma quantidade vetorial, pois apresenta
módulo, direção e sentido.
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3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
Quando a partícula muda de posição, ela segue uma trajetória particular,
cujo o formato é definido pela velocidade da partícula.
A localização da partícula ao longo da trajetória é função do local
ocupado pela partícula no instante inicial e de sua velocidade ao longo da
trajetória.
Se o escoamento é Regime Permanente,
Permanente nada muda ao longo do tempo
em todo o campo de escoamento, todas as partículas que passam num
dado ponto.
Como no ponto (1), da Figura anterior, seguirão a mesma trajetória,
neste caso, a trajetória é uma linha fixa no plano x – z. As partículas
vizinhas que passam nas vizinhanças imediatas do ponto (1), seguem
outras trajetórias que podem apresentar formatos diferentes daquele
relativo as partículas que passam pelo ponto (1).
3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
No regime de Escamento Permanente toda partícula fluida escoa ao
longo de sua trajetória e seu vetor velocidade é sempre tangente a
trajetória.
As linhas que são tangentes aos vetores velocidade no campo de
escoamento são chamadas de linhas de corrente.
corrente
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3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
O movimento da partícula é descrito em função da distância, S = S (t)
medida ao longo da linha de corrente e a partir de uma origem
conveniente, e do raio de curvatura local da linha de corrente, R = R (S).
(S)
A distância ao longo da linha de corrente está relacionada com a
velocidade da partícula.
e o raio de curvatura está relacionado com o formato da linha de
corrente.
Adicionalmente:
coordenada ao longo da linha de corrente S
coordenada normal a linha de corrente n
3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
Para aplicar a segunda lei de Newton à partícula que escoa numa linha
de corrente, nós precisamos descrever a aceleração da partícula em
função da coordenada ao longo da linha de corrente.
coordenada da aceleração ao longo da linha de corrente
coordenada normal a linha de corrente an
as
as tem relação com V = V (s)
A aceleração ao longo da linha de corrente resulta da variação da
velocidade da partícula ao longo da linha de corrente.
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3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
Exemplo:
Exemplo: A velocidade da partícula que passa pelo ponto (1) pode ser
igual a 30 m/s e igual a 15 m/s quando passa pelo ponto (2). Assim
utilizando a regra da cadeia para diferenciação, e lembrando que V = ds/
ds/dt
a componente da aceleração na coordenada s é dada por:
A componente normal da aceleração, a aceleração centrífuga, é dada em
função da velocidade da partícula e do raio de curvatura da trajetória.
Tanto V quanto R podem variar ao
longo da trajetória da partícula.
3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
As componentes do vetor aceleração nas direções s e n, as e an, são
dadas por:
e
(1)
Onde:
Onde:
R – raio de curvatura local da linha de corrente ;
S – distância medida ao longo da linha de corrente a partir de um ponto
inicial arbitrário.
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3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON
Para determinar as forças necessárias para produzir um dado
escoamento, considera-se o diagrama de corpo livre da partícula fluida.
Campo de
escoamento
A partícula que estamos interessados é removida do seu meio imediato e
as forças que atuam nas partículas são indicadas F1, F2 etc.
etc.
São desconsideradas a força de viscosidade e tensão superficial.
g é constante e atua na vertical, eixo z negativo, e θ ângulo formado
entre a linha de corrente e o plano horizontal.
3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE
Considere o diagrama de corpo livre.
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3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE
A dimensão da partícula da direção normal ao plano da figura é δy)
Vetor na direção ao longo da linha de corrente
Vetor na direção normal a linha de corrente
Considerando o Regime Permanente e aplicando a Segunda Lei de
Newton na direção ao longo da linha de corrente.
(2)
Note que:
Aceleração na
direção s
Volume da
partícula
3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE
A equação (2) é válida tanto para fluido compressível quanto
incompressível, pois ρ não precisa ser constante.
A força provocada pela aceleração da gravidade na partícula pode ser
escrita:
Onde:
Onde: γ = ρ.g
Assim a componente da força na direção da linha de corrente é dada
por:
Se o ponto que estamos analisando pertence a um trecho horizontal da
linha de corrente, temos θ = 0. Neste caso, não existe componente da força
peso na direção ao longo da linha de corrente, pois não existe contribuição
do campo gravitacional para aceleração da partícula nesta direção.
direção.
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3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE
Como a pressão não é constante num meio móvel
Em regime permanente, tem-se que:
Se a pressão no centro da partícula é representada por p, os valores
médios nas duas faces perpendiculares a linha de corrente são igual a:
e
Como a partícula é “pequena”, pode-se utilizar apenas o primeiro termo
da expansão de Taylor para calcular esta pequena variação de pressão, isto
é:
3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE
Assim, se δFps é a força líquida de pressão na partícula na direção da
linha de corrente, segue que:
Ou seja:
Note que o nível da pressão, não é importante
para determinar a força que acelera a partícula
fluida.
fluida.
O que produz uma força líquida sobre a partícula é o fato da pressão
não ser constante no campo de escoamento.
escoamento.
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3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE
O gradiente de pressão,
não é nulo é o responsável pela força líquida que atua na partícula.
As forças viscosas, representadas por
,
utilizamos a hipótese de que o fluido é invíscido.
são nulas porque
Assim, a força líquida que atua sobre a partícula fluida é dada por:
(3)
3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE
Combinando (2) e (3), tem-se a seguinte equação do movimento ao
longo da linha de corrente:
corrente
(4 )
A interpretação física da equação (4) é que a variação da velocidade
da partícula é provocada por uma combinação adequada do gradiente
de pressão com a componente do peso da partícula na direção da linha
da corrente.
As forças de pressão e peso não são necessariamente iguais num
fluido que escoa e o desbalanceamento destas forças provoca uma
aceleração,
aceleração assim, o movimento da partícula.
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EXEMPLO 3.1 - pag. 93
A figura (a) mostra algumas linhas de corrente do escoamento, em
regime permanente, de um fluido invíscido e incompressível em torno de
uma esfera de raio a. Nós sabemos, utilizando um tópico mais avançado
da mecânica dos fluidos, que a velocidade ao longo da linha de corrente
A – B é dada por:
Determine a variação de pressão
entre os pontos A (xa= - ∞ e Va = Vo)
e B (xb = - a e Vb = 0) da linha de
corrente mostrada na figura (a).
EXEMPLO 3.1 - pag. 93
A Equação (4) pode ser aplicada neste caso, porque o regime de
escoamento é permanente e o escoamento é invíscido.
Adicionalmente, como a linha de corrente é horizontal, senθ
θ = sem 0o = 0.
Portanto a Equação do movimento ao longo da linha de corrente fica
reduzida a:
Aplicando a Equação que descreve a velocidade ao longo da linha de
Corrente na Equação anterior , podemos obter o termo da aceleração, ou
seja;
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EXEMPLO 3.1 - pag. 93
foi trocado s por x porque as duas coordenadas são idênticas ao longo da linha de
corrente A – B.
Note que V(dV/ds) < 0 ao longo da linha de corrente.
Assim o fluido desacelera de Vo, ao longe da esfera, até a velocidade nula no “nariz”
da esfera (x = -a).
Portanto o gradiente de pressão ao longo da linha de corrente é:
EXEMPLO 3.1 - pag. 93
Esta variação está indicada na Figura abaixo:
Note que a pressão aumenta na direção do escoamento , pois dp/dx > 0 do ponto A
para o ponto B.
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EXEMPLO 3.1 - pag. 93
O gradiente de pressão máxima ocorre um pouco a frente da esfera (x = - 1,205 a).
Este gradiente de pressão é necessário para que o fluido escoe de A (Va=Vo) para B
(VB= 0)
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A Eq. (4) pode ser rearranjada do seguinte modo:
Note que ao longo de uma linha de corrente senθ
senθ =dz/
dz/ ds
Que VdV/
VdV/ds = ½ d(V
d(V²)/ ds e que o valor de n é constante
ao longo da linha de corrente (dn
dn = 0).
Como dp = (∂p/ ∂s) ds + (∂p/ ∂n) dn,
dn segue que, ao longo de uma linha
de corrente, ∂p/ ∂s = dp/
dp/ ds.
ds Aplicando estes resultados na Eq. (4) nós
obtemos a seguinte equação (que é válida ao longo de uma linha de
corrente):
Simplificando:
(5)
Ao longo da linha
de corrente
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Integrando a Eq. (5) ao longo da linha de corrente, resulta:
(6)
Ao longo da linha
de corrente
Onde C é uma constante de integração que deve ser determinada pelas
condições existentes em algum ponto da linha de corrente.
Se a massa específica ρ não for constante é preciso saber como esta
varia com a pressão, isto não é fácil na maioria das vezes.
• Ex.: gás.
p = ρ. R. T
para saber como ρ varia com a pressão é preciso, também,
saber como T varia com a pressão.
Mas por enquanto será admitido ρ constante, fluido incompressível.
incompressível
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Com a hipótese adicional de que a massa específica é constante, válida
para o escoamento de líquido e, também, para os gases desde que a
velocidade não seja muito alta.
alta A eq. (6) se reduz (válida para
escoamento em regime permanente, incompressível e invíscido).
Constante ao longo da linha
de corrente
(7)
A Eq.
Eq. (7) é conhecida como a Equação de Bernoulli.
Bernoulli.
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Para que esta Equação de Bernoulli seja válida, temtem-se:
se
• os efeitos viscosos foram desprezados;
• o escoamento ocorre em regime permanente;
• o escoamento é incompressível;
• a equação é aplicável ao longo da linha de corrente;
•A equação é válida tanto para escoamentos planos como
tridimensionais, desde que ela seja aplicada ao longo de uma linha
de corrente.
EXEMPLO 3.2 pag. 95
Considere o escoamento do ar em torno do ciclista que se move em ar
estagnado com a velocidade Vo (veja a figura). Determine a diferença
entre as pressões nos pontos (1) e (2), do escoamento.
Solução:
Solução: Sistema de Coordenadas fixo na bicicleta, o escoamento de ar
ocorre em regime permanente e com velocidade ao longe igual a V0.
Respeitando as condições, aplica-se Eq. de Bernoulli ao longo da linha
de corrente que passa pelos pontos (1) e (2).
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EXEMPLO 3.2 pag. 95
Tem-se:
Considerando que o ponto (1) está posicionado suficientemente longo
do ciclista de modo que V1=V0 e que o ponto (2) está na ponta do nariz
do ciclista.
Admitindo que z1=z2 e V2 = 0, nestas condições, a pressão em (2) é
maior que em (1), ou seja,
É interessante notar que não é necessário um conhecimento detalhado
da distribuição da velocidade do escoamento para calcular p2-p1 , mas
apenas as condições de contorno em (1) e (2).
EXEMPLO 3.2 pag. 95
É necessário conhecer como varia a velocidade ao longo da linha de corrente
para determinar a distribuição de pressão entre os pontos.
Nós podemos determinar o valor de V0 se nós medirmos a diferença de pressão
(p1 – p2).
Se o ciclista estiver acelerando ou desacelerando, o escoamento será transitório
(Vo ≠ constante) e a análise que nós realizamos seria incorreta porque a
equação (7) só é aplicável a escoamentos em regime permanente.
permanente.
A diferença entre as velocidades nos pontos do escoamento, V1 e V2, pode ser
sempre controlada por restrições geométricas apropriadas.
apropriadas.
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OBSERVAÇÕES
1.
EXEMPLOS:
EXEMPLOS:
Os bocais das mangueiras de jardim são projetados para proporcionar uma
velocidade na seção de descarga do bocal maior que aquela na seção de
alimentação do bocal. Como mostra a equação de Bernoulli, a pressão no fluido
localizado na mangueira precisa ser maior do que aquela na seção de descarga do
bocal (se a altura média das seções é a mesma. Portanto é necessário uma
diminuição na pressão para que se obtenha um aumento de velocidade.
É a queda de pressão no bocal da mangueira que acelera o escoamento de água.
2.
De modo análogo um aerofólio é projetado para que a velocidade média do
escoamento sobre a superfície superior seja maior que aquela do escoamento na
região inferior do aerofólio.
A Equação de Bernoulli mostra que a pressão média na superfície inferior do
aerofólio é maior do que na superior. O resultado desta diferença de pressão é uma
força líquida para cima e que é denominada sustentação
3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL
À LINHA DE CORRENTE
Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção normal a linha de
corrente.
Muitos escoamentos apresentam linhas de corrente praticamente reta e
o escoamento pode ser considerado unidimensional, já que, as
variações dos parâmetros na direção perpendicular às linhas de
corrente podem ser desprezadas em relação as variações encontradas
ao longo da linha de corrente.
Só que há alguns escoamentos que é importante considerar os efeitos
normais, um exemplo, é a região de baixa pressão no centro de um
tornado (olho do tornado ) que pode ser explicada pela Segunda Lei de
Newton numa direção normal a linha de corrente do tornado.
Aplicando a Segunda Lei de Newton:
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3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL
À LINHA DE CORRENTE
Admitindo que o regime de escoamento é permanente e que a aceleração
normal é:
Onde: R – é o raio de curvatura local da linha de corrente.
Admitimos, também, que a únicas forças importantes são as devidas a
pressão e a gravidade.
A componente do peso (força gravitacional) na direção normal à linha de
corrente é:
Se a linha de corrente é vertical no ponto em que estamos interessados,
θ=90°
90° e não existe componente da força peso na direção normal ao
escoamento
3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL
À LINHA DE CORRENTE
Se a pressão no centro da partícula é p os valores nas faces superior e inferior
da partícula :
e
Como a partícula é “pequena”, pode-se utilizar apenas o primeiro termo da
expansão de Taylor para calcular esta pequena variação de pressão, isto é:
Sendo δFpn a força líquida devida a variação de pressão na direção normal à
trajetória, tem-se:
ou
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3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL
À LINHA DE CORRENTE
Assim, a força líquida que atua na direção normal a linha de corrente
mostrada na figura:
como:
E lembrando que ao longo da normal à linha de corrente cosθ
cosθ = dz/
dz/ dn,
dn a
Equação do movimento na direção normal à linha de corrente é expressa por:
por:
3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL
À LINHA DE CORRENTE
Note:
Note: A mudança na direção do escoamento de uma partícula fluida, isto é,
uma trajetória curva, R < ∞, é realizada pela combinação apropriada do
gradiente de pressão e da componente da força peso na direção normal da
linha de corrente.
Uma velocidade, ou massa específica, mais alta e um raio de curvatura da
linha de corrente mais baixo requer desbalanceamento maior para produzir
movimento.
Por exemplo, se desprezamos o efeito da gravidade (como normalmente é feito
nos escoamentos de gazes) ou se o escoamento ocorre num plano horizontal
(dz
dz/
dz/ dn = 0), a equação do movimento reduz a:
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3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL
À LINHA DE CORRENTE
Esta equação indica que a pressão aumenta com a distância para fora do
centro de curvatura (dp
dp/
dp/ dn é negativo porque ρV2 /R é positivo)
positivo o sentido
positivo de n é para “dentro” da linha de corrente curvada.
Assim, a pressão fora de um tornado (pressão atmosférica típica) é maior que
aquela no centro do tornado. Esta diferença de pressão é necessária para
balancear a aceleração centrífuga associada com as linhas curvas do
escoamento.
EXEMPLO 3.3 – pag. 97
As Figuras abaixo mostram dois escoamentos com linhas de correntes circulares. A
distribuições de velocidade para estes escoamentos são:
V= C1 r
V=C2/r
- para o caso (a)
- para o caso (b)
Onde C1 e C2 são constantes.
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EXEMPLO 3.3 – pag. 97
Determine a distribuição de pressão, p=p(r), para cada caso sabendo que p=p0 em
r=r0.
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO:
Admitindo que o escoamento é invíscido, incompressível, ocorre em regime
permanente e que as linhas de corrente pertencem a um plano horizontal (dz/dn =
0).
Como as linhas de corrente são circulares, a coordenada n aponta num sentido
oposto ao da coordenada radial.
Assim, δ/δn = - δ/δr e o raio de curvatura é dado por R = r.
Nestas condições a Equação do movimento na direção normal a Linha de corrente
é:
EXEMPLO 3.3 – pag. 97
Aplicando a distribuição de velocidade do caso (a) na Equação acima, tem-se;
No caso (b)
A pressão aumento com o raio nos dois casos porque δp/δr > 0.
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EXEMPLO 3.3 – pag. 97
A integração destas Equações em relação a r e considerando p=p0 em r=r0 resulta
em:
para o caso (a)
para o caso (b)
As distribuições de pressão estão esboçadas na Figura a seguir;
EXEMPLO 3.3 – pag. 97
Distribuição
de
Pressão
Considerando o Raio
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EXEMPLO 3.3 – pag. 97
As distribuições de pressão necessárias para balancear as acelerações
centrífugas nos casos (a) e (b) não são iguais porque as distribuições de
velocidade são diferentes.
De fato, a pressão no caso (a) aumenta sem limite quando r → ∞ enquanto
que a pressão no caso (b) se aproxima de um valor finito quando r → ∞
(apesar dos formatos das linhas de corrente serem os mesmos nos dois
casos).
Fisicamente, o caso (a) representa uma aproximação de corpo rígido (pode
ser obtida numa caneca de água sobre uma mesa giratória) e o caso (b)
representa um vórtice livre que é uma aproximação de um tornado ou do
movimento da água na vizinhança do ralo de uma pia.
REARRANJO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO AO
LONGO DA NORMAL A LINHA DE CORRENTE
Se multiplicarmos a Equação do movimento na direção normal a linha de
corrente
por dn e dividir pela massa específica, utilizarmos a relação ∂p/∂n = dp/dn, se
s é constante e integrarmos a Equação Resultante, tem-se:.
Precisa-se saber como varia a massa específica do fluido com a pressão e
como a velocidade do escoamento e o raio de curvatura variam com n para
integrarmos esta Equação.
Se o escoamento é incompressível, a massa específica é constante e o primeiro
termo da equação fica igual a p/ρ.
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REARRANJO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO AO
LONGO DA NORMAL A LINHA DE CORRENTE
É impossível integrar o segundo termo da última Equação sem o conhecimento das
relações V = V(s,n) e R = R(s,n).
Assim, a forma final da Segunda Lei de Newton aplicada na direção normal à Linha
de Corrente num escoamento invíscido, incompressível e em regime permanente é:
É importante lembrar que é preciso tomar muito cuidado na aplicação desta
Equação nos casos onde as hipóteses envolvidas na sua derivação forem violadas.
FORMA EQUIVALENTE DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Uma forma equivalente da Equação de Bernoulli é:
É obtida dividindo todos os termos pela pelo peso específico do fluido, γ.
Os termos apresentam dimensão de energia por peso (LF/F=L) ou comprimento
(metros) e representa um tipo de carga.
Z - é o termo de elevação, está relacionado com a energia potencial da partícula e
é chamado de carga de elevação.
é denominada de carga de pressão e representa o peso de uma coluna de
líquido necessária para produzir a pressão p.
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FORMA EQUIVALENTE DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
é a carga de velocidade e representa a distância vertical necessária
para que o fluido acelere do repouso até a velocidade V numa queda
livre (desprezando o atrito).
A Equação de Bernoulli estabelece que a soma da carga de pressão, velocidade e
elevação é constante ao longo da Linha de Corrente.
Corrente.
3.4 – INTERPRETAÇÃO FÍSICA
A aplicação de F = m.a nas direções ao longo da Linha de Corrente e na direção
normal à Linha de Corrente resulta em:
Sobre as seguintes hipóteses:
Escoamento em Regime Permanente ;
Fluidos Invíscidos;
Fluidos Incompressíveis.
É necessário que exista um desbalanço de forças devidas ao campo de pressão e a
gravidade, para que haja movimentação do fluido.
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3.4 – INTERPRETAÇÃO FÍSICA
Existem 3 processos envolvidos no escoamento:
Massa multiplicada pela aceleração:
A pressão ( o termo p);
Peso ( o termo γz).
A Equação que descreve o movimento ao longo da uma Linha de Corrente (L.C),
resultante da integração da Equação do movimento, que representa o princípio do
Trabalho – Energia. Que é definido por
3.4 – INTERPRETAÇÃO FÍSICA
O trabalho realizado sobre uma partícula por todas as forças
que atuam na partícula é igual a variação de energia cinética
da partícula
A Equação de Bernoulli é a formulação matemática deste Princípio.
Quando uma partícula se move, tanto a força gravitacional quanto as forças
de pressão realizam trabalho sobre a partícula.
γz e p – são relacionados ao trabalho realizada pela força peso e força de
pressão.
relaciona-se a energia cinética da partícula.
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EXEMPLO 3.4 – pag. 100
Considere o escoamento de água mostrado na Figura abaixo. A força aplicada no
êmbolo da seringa produzirá uma pressão maior do que a atmosférica no ponto (1)
do escoamento. A água escoa pela agulha, ponto (2), com uma velocidade bastante
alta e atinge o ponto (3) no topo do jato. Discuta utilizando a equação de Bernoulli, a
distribuição de energia nos pontos (1), (2) e (3) do escoamento.
EXEMPLO 3.4 – pag. 100
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO:
Se as hipóteses (regime permanente, invíscido e escoamento incompressível)
utilizadas na s obtenção da Equação de Bernoulli são aproximadamente válidas, nós
podemos analisar o escoamento com esta equação.
De acordo com a Equação a soma dos três tipos de energia (cinética, potencial e
pressão) ou cargas (velocidade, elevação e pressão) precisam permanecer
constante.
A próxima tabela indica as grandezas relativas de cada uma destas energias nos
três pontos mostrados na Figura.
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EXEMPLO 3.4 – pag. 100
Observe que os valores associados aos diferentes tipos de energia variam
ao longo do escoamento da água. Um modo alternativo de analisar este
escoamento é o seguinte:
O gradiente de pressão entre (1) e (2) produz uma aceleração para ejetar
água pela agulha;
EXEMPLO 3.4 – pag. 100
A gravidade atua na partícula entre (2) e (3) e provoca a paralisação da
água no topo de vôo.
Se o efeito do atrito (viscoso) é importante nós detectaremos uma perda de
energia mecânica entre os pontos (1) e (3). Assim, para um dado p1, a água
não será capaz de alcançar a altura indicada na Figura.
Tal atrito pode surgir na agulha (veja o Cap. 8, escoamento em tubo) ou
entre o jato d’água e o ar ambiente (veja o Cap. 9, escoamento externo).
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CONSIDERAÇÕES
É necessária uma força líquida para acelerar qualquer massa. A aceleração, num
escoamento em regime permanente, pode ser interpretada como o resultado de
dois efeitos distintos – da mudança de velocidade ao longo da linha de corrente e
da mudança de direção se a linha de corrente é retilínea.
A interpretação da Equação do movimento ao longo da Linha de Corrente leva em
consideração a variação de velocidade (variação de energia cinética) e resulta na
Equação de Bernoulli.
A interpretação da Equação do movimento na Direção normal à Linha de Corrente
leva em consideração a aceleração centrífuga (V2/R) e resulta em:
CONSIDERAÇÕES
É necessário existir uma força líquida, dirigida para o centro de curvatura, quando
uma partícula fluida se desloca ao longo de uma trajetória curva.
Sob estas condições, a Equação:
Esta Equação mostra que esta força pode ser tanto gravitacional ou devida a
pressão ou combinação de ambas.
Em muitas situações, as linhas de correntes são quase retilíneas (R = ∞).
Neste casos, os efeitos centrífugas são desprezíveis e a variação de pressão na
direção normal as linhas de correntes é a hidrostática (devida a gravidade) mesmo
que o fluido esteja em movimento.
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EXEMPLO 3.5 – pag. 101
Considere o escoamento em regime permanente, incompressível e invíscido
mostrado na Figura abaixo. As linhas de correntes são retilíneas entre as seções A e
B e circulares entre as seções C e D. Descreva como varia a pressão entre os pontos
(1) e (2) e entre os pontos (3) e (4)
EXEMPLO 3.5 – pag. 101
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO:
Com as hipóteses fornecidas e o fato de que R = ∞ no trecho limitado por A e B, a
aplicação da Equação;
Resulta em:
A constante pode ser determinada a partir da avaliação de variáveis conhecidas em
duas posições. Utilizando p2 = 0 (pressão relativa), z1 = 0 e z2 = h2-1, tem-se:
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EXEMPLO 3.5 – pag. 101
Note que a variação de pressão na direção vertical é a mesma daquela onde o
fluido está imóvel porque o raio de curvatura da linha de corrente no trecho
analisado é infinito.
Entretanto, se aplicarmos a Equação;
Nos pontos (3) e (4), obtém-se (utilizando dn = -dz):
Como p4=0 e z4 - z3 = h4-3, obtém-se:
EXEMPLO 3.5 – pag. 101
Precisa-se conhecer com V e R variam com z para avaliar esta integral. Entretanto,
por inspeção, o valor da integral é positiva. Assim, a pressão em (3) é menor do que
o valor da pressão hidrostática, γh4-3.
Esta pressão mais baixa, provocada pela curvatura da linha de corrente, é
necessária para acelerar o fluido em torno da trajetória curva.
Note que não aplicamos a Equação de Bernoulli:
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EXEMPLO 3.5 – pag. 101
Na direção normal as linhas de corrente de (1) para (2) ou de (3) para (4). Em vez
disto, utilizamos a Equação:
Isto se deve ao fato de que, os pontos pertencem a Linhas de corrente distintas, e
isso infringe uma das hipóteses da utilização da Equação de Bernoulli, de que esta
Equação só é aplicada a partículas fluidas que pertencem a mesma Linha de
Corrente.
Corrente.
Como será discutido na Seção 3.6, a aplicação da Equação de Bernoulli na direção
normal a linhas de corrente (em vez de ao longo delas) pode levar a sérios erros.
3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
A Pressão de Estagnação e Dinâmica são conceitos que podem ser relacionados a
Equação de Bernoulli.
Bernoulli.
Estas Pressões surgem da conversão de Energia Cinética do Fluido em Pressão
quando o fluido é levado ao Repouso.
Repouso
Os termos da Equação de Bernoulli apresentam dimensões de força por unidade de
área.
O Primeiro Termo, p, é a pressões termodinâmicas no fluido que escoa.
Para medir a pressão termodinâmica, devemos nos mover solidariamente ao fluido,
fluido
ou seja, de um modo estático em relação ao fluido,
fluido por este motivo, esta pressão é
denominada Pressão Estática.
Estática
Um outro modo de medir a Pressão Estática é utilizando um Tubo Piezométrico
instalado numa superfície plana.,
plana do modo indicado no ponto (3) da Figura a seguir.
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3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
Medição das pressões Estática e Dinâmica.
3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
Como foi visto no Exemplo 3.5, a pressão no fluido em (1) é p1 = γ h3-1 + p3 (igual a
pressão se o fluido estivesse em repouso). Das considerações sobre manômetros
apresentados no Capítulo 02, nós sabemos que p3 = γ h4-3. Assim, como h3-1 + h4-3 =
h, segue que p1 = γh.
O Terceiro Termo da Equação de Bernoulli, γz, é denominado Pressão Hidrostática
pela relação óbvia com a variação de Pressão Hidrostática discutida no Capítulo 02.
Ele não é realmente uma pressão mas representa a mudança possível na pressão
devida a variação de energia potencial do fluido como resultado na alteração de
elevação.
elevação.
O Segundo termo da equação de Bernoulli, ρV2/2 é denominado Pressão Dinâmica.
Dinâmica
Sua interpretação pode ser vista na Figura a seguir.
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3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
Medição das pressões Estática e Dinâmica.
3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
Considerando a pressão na extremidade do pequeno tubo inserido no escoamento e
apontando para a montante do escoamento.
Após o término do movimento inicial transitório, o líquido preencherá o tudo até uma
altura H.
O fluido no tubo, incluindo aquele na ponta do tubo, (2) estará imóvel, ou seja, V2 =
0. Nestas condições o ponto (2) será denominado um Ponto de Estagnação.
Estagnação
Se aplicarmos a Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2), utilizarmos V2 = 0 e
admitirmos que z1 = z2, é possível obter.
Assim, a pressão no Ponto de Estagnação é maior do que a Pressão estática , p1, de
ρv12/2, ou seja , o valor da pressão dinâmica.
dinâmica
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3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
É possível mostrar que só existe um Ponto de Estagnação em qualquer corpo móvel
colocado num escoamento de fluido.
fluido.
Alguns fluidos escoa “sobre” e algum “abaixo” do objeto. A linha divisória (ou
superfície para o escoamento bidimensionais) é denominada Linha de Corrente de
Estagnação e termina no ponto de Estagnação (Pressão máxima e velocidade nula).
nula)
Para objetos simétricos (tal como uma esfera) o Ponto de Estagnação está
localizado na frente do objeto,
objeto como mostrado na Figura abaixo.
3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
Para objetos não simétricos tal como um avião, como mostrado na Figura abaixo, a
localização do Ponto de Estagnação não é óbvia.
óbvia.
Se os efeitos de elevação podem ser desprezados, a Pressão de Estagnação, p +
ρV2/2 é a máxima pressão que uma linha de corrente pode apresentar, isto é, toda
Energia Cinética do fluido é convertida num aumento de Pressão.
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3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
A soma das Pressões Estática, Hidrostática e Dinâmica é denominada
Pressão Total, pT.
A Equação de Bernoulli estabelece que a Pressão Total permanece
constante ao longo da Linha de Corrente, ou seja:
Novamente, é preciso que se verifique as hipóteses utilizadas na derivação
desta Equação são respeitadas no escoamento que estamos considerando.
Os conhecimentos dos valores de Pressões Estática e Dinâmica no
escoamento nos permite calcular a velocidade local do escoamento e esta
é a base do funcionamento do tubo de Pitot Estático, mostrado na Figura a
seguir:
3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
A Figura acima mostra dois tubos concêntricos que estão conectados a dois
medidores de pressão (ou a um manômetro diferencial) de modo que os valores de
p3 e p4 (ou a diferença p3 – p4) pode ser determinada.
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3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
Note que o tubo central mede a Pressão de Estagnação (na sua extremidade
exposta ao escoamento) se a variação de elevação é desprezível.
desprezível
Onde p e V são a pressão e a velocidade a montante do ponto (2). O Tubo externo
contém diversos furos pequenos localizados a uma certa distância da ponta de
modo que, este medem a Pressão Estática.
Estática Se a diferença de elevação entre os
pontos (1) e (4) é desprezível.
Combinando as duas última equações, tem-se:
3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE
ESTAGNAÇÃO E TOTAL
Esta última Equação pode se arranjada da seguinte forma;
A forma dos tubos de Pitot Estático utilizado para medir velocidade em experimentos
varia consideravelmente. A Figura abaixo apresenta alguns tipos usuais de tubos de
Pitot Estático.
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EXEMPLO 3.6 – pag. 104
A Figura abaixo mostra um avião voando a 160 km/h numa altitude de 3000 m.
Admitindo que atmosfera seja a padrão, determine a pressão ao longe do aviação,
ponto (1), a pressão no ponto de estagnação no nariz do avião, ponto (2), e a
diferença de pressão indicada pelo tubo de Pitot que está instalado na fuselagem
do avião.
EXEMPLO 3.6 – pag. 104
SOLUÇÃO:
SOLUÇÃO:
Nós encontramos na Tab. C.1 os valores da pressão estática e da massa
específica do ar na altitude fornecida, ou seja:
p1 = 70,
70,.02 kPa e
ρ = 0,9093 kg/m3
Nós vamos considerar que as variações de elevação são desprezíveis e que
o escoamento ocorre em regime permanente, é invíscido e incompressível.
Nestas condições, a aplicação da Equação de Bernoulli resulta em;
Como V1 = 160 km/h = 44,4 m/s e V2 = 0 ( porque o sistema de
coordenada está solidário ao avião), tem-se:
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EXEMPLO 3.6 – pag. 104
Em termos relativos, a pressão no ponto (2) é igual a 0,896 kPa e a
diferença de pressão indicada no tubo de Pitot é;
Nós admitimos que o escoamento é incompressível – a massa específica
permanece constante de (1) para (2). Entretanto como ρ = p/RT, uma
variação na pressão (ou temperatura) causará uma variação da massa
específica.
Para uma velocidade relativamente baixa, a relação entre a variação na
massa específica é desprezível. Entretanto, se a velocidade é alta, torna-se
necessário utilizar os conceitos de escoamento compressível para obter
resultados precisos.
CONSIDERAÇÕES
O Tubo de Pitot é um instrumento simples para medir a velocidade de escoamento.
Seu uso depende da habilidade de medir as pressões de Estagnação e Estática do
escoamento. É necessário tomar certos cuidados para obter estes valores
adequadamente.
Por exemplo, uma medição precisa da pressão requer que nenhuma energia
cinética do fluido seja convertida num aumento de pressão no ponto de medida.
Isto requer um furo bem usinado e sem a presença de imperfeições. Como indicado
nas Figuras a baixo, tais imperfeições podem provocar uma leitura incorreta da
pressão (o valor medido pode ser maior ou menor do que a pressão estática real)
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13/05/2012
CONSIDERAÇÕES
A pressão varia ao longo da superfície do corpo imerso no escoamento desde a
Pressão de Estagnação (Ponto de Estagnação) até valores que podem ser menores
que a Pressão Estática ao longe do corpo (na linha de corrente livre).
Uma variação típica de pressão num tubo de Pitot está indicado na Figura abaixo.
Distribuição típica de
pressão ao longo de
um tubo de Pitot
CONSIDERAÇÕES
É importante que os furos utilizados para a medida de pressão estejam localizados
de modo a assegurar que a Pressão Medida é realmente igual a Pressão Estática
Real.
É sempre difícil alinhar o tubo de Pitot com a direção do escoamento.
Qualquer desalinhamento produz um escoamento não simétrico em torno do tubo
de Pitot e isto provocará erros.
Normalmente desalinhamento de 12 a 20º (dependendo do projeto do tubo de Pitot
que está sendo utilizado) provocam erros menores que 1% em relação a medida
obtida com um alinhamento perfeito.
É interessante ressaltar que, geralmente, é mais difícil medir a Pressão Estática do
que a Pressão de Estagnação.
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CONSIDERAÇÕES
Um dispositivo utilizado para determinar a direção do escoamento e sua velocidade
é o tubo de Pitot com três furos,
furos como mostrado na Figura abaixo.
Seção transversal de
um tubo de Pitot com
três furos (para a
determinação
da
direção
do
escoamento)
Os três furos são usinados num pequeno cilindro e são conectados a três
transdutores de pressão.
O cilindro é rotacionado até que a pressão nos dois furos laterais se tornem iguais e,
assim, indicando que o furo central aponta diretamente para a montante do
escoamento.
CONSIDERAÇÕES
O Furo Central mede a Pressão de Estagnação.
Estagnação
Os dois furos laterais estão localizados num ângulo específico (β
β = 29,
29,5º) de modo
que eles medem a Pressão Estática.
Estática
A velocidade de escoamento é obtida com V = [2(p2 – p1)/ρ]1/2.
A discussão anterior só é válida para escoamento incompressível.
Quando a velocidade é alta, os efeitos da compressibilidade do fluido se tornam
importante (a massa específica não permanece constante) e outros fenômenos
ocorrem.
Os conceitos de Pressão Estática, Dinâmica, Estagnação e Pressão Total são
importante e muito úteis na análise dos escoamento
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