Gabarito Lista 4 - Casa - IME-USP

MAE 116 - Noções de Estatística
o
Grupo A - 1 semestre de 2014
Lista de exercício 4 - Noções de probabilidade - CASA
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1. (4,5) Um experimento aleatório consiste em escolher um indivíduo ao acaso de uma população.
A população consiste de 200 indivíduos numerados de 1 a 200, e classicados segundo o sexo
(mulher ou homem) e estado civil (casado ou solteiro). Os primeiros 120 indivíduos são mulheres
(há 80 homens), das quais as 90 primeiras são casadas. Os últimos 10 homens são solteiros.
(a) (0,5) Descreva um espaço amostral para o experimento aleatório como um conjunto (e
chame-o de
Solução
Ω).
Neste caso temos as possibilidades de mulheres casadas (MC-90 1a s), mulheres solteiras
(MS-30) ( neste caso não ca claro que as próximas 30 são solteiras, mas esta informação
não interfere na questão); homens casados (HC-70), homens solteiros (HS-10 últimos). O
problema consiste em escolher apenas um indivíduo, então o espaço amostral é tal que:
Ω = {M C, M S, HC, HS}, ou seja, desta pessoa retirada ou sai MC ou MS ou HC ou HS.
(b) (0,5) Descreva os eventos M = indivíduo sorteado é mulher e S = indivíduo sorteado é
solteiro como subconjuntos de
Ω.
Solução
M={M C, M S} e S={M S, HS}
(c) (0,5) Descreva os eventos H = indivíduo sorteado é homem, A = indivíduo sorteado é
homem ou casado e B = indivíduo sorteado é mulher e solteira tanto como subconjuntos
de
Ω
quanto como composições adequadas de M e S.
Solução
Sejam Ω = {M C, M S, HC, HS}, M={M C, M S}, S={M S, HS},H={HC, HS},
A={HC, HS, M C} e B={M S}.
Composições.
Podemos escrever os conjuntos H, A e B como sendo:
H=M c , A=M c ∪ S c , B=M ∩ S ,
(d) (1,0) Calcule as probabilidades dos eventos do item b acima.
Solução
Dados os eventos como no item (b), e tendo as quantidades dadas na questão, temos que:
90
30
+ 200
= 3+9
= 0, 60
P(M)=P(MS ∪ MC)=P(M ∩ S)+P(M ∩ C)= 200
20
30
10
4
P(S)=P(M ∩ S)+ P(H ∩ S)= 200
+ 200
= 20
= 0, 20
(e) (1,0) Calcule as probabilidades dos eventos do item c acima.
Solução
Dados os eventos como no item (c), e tendo as quantidades dadas na questão, temos que:
70
10
8
+ 200
= 20
= 0, 40
P(H)=P(H ∩ C)+P(H ∩ S)= 200
90
P(A)=P(H ∩ C)+P(H ∩ S)+P(M ∩ C)=0, 4 + 200
= 0, 4 + 0, 45
30
P(B)=P(M ∩ S)= 200 = 0, 15
1
(f ) (1,0) Calcule as probabilidades condicionais de M dado S, de S dado M, de
c
de S dado M .
Mc
dado S, e
Solução
P (M ∩S)
= 30/200
= 43 = 0, 75
P (S)
40/200
)
30/200
3
P (S|M ) = PP(S∩M
= 120/200
= 12
= 0, 25
(M )
c
∩S)
= P (H∩S)
= 10/200
= 14 = 0, 25
P (M c |S) = P (M
P (S)
P (S)
40/200
c)
P (S|M c ) = PP(S∩M
= PS∩H
= 10/200
= 81 = 0, 125
(M c )
(H)
80/200
P (M |S) =
Obs.: Temos as seguinte informação: as 90 primeiras mulheres (indivíduos enumerados) são
casadas, isto não implica que as próximas 30 são solteiras, ou pelo menos não ca explicito na
questão. Logo quando dizemos a probabilidade de ser mulher e solteira consideramos 30/200.
Esta observação vale para os homens casados, ou seja, a informação que temos é que os 10
último são solteiros, mas não ca explicito que os 70 primeiros são casados. Mas consideramos
70 casados.
2. (3,3) Numa certa região isolada de uma oresta tropical há dois povos diferentes, que vamos
chamar de X e Y, respectivamente. O povo X representa 80% da população da região, e o povo
Y representa 20%. Entre os X, 70% pescam com lanças de madeira e 30% pescam com cestos
de vime. Entre os Y, estas proporções são invertidas (30% com lanças e 70% com cestos).
(a) (1,5) Se escolhermos um indivíduo desta região ao acaso, qual é a probabilidade de ele
pescar com cesto?
Solução
Pelo teorema da probabilidade total temos que a probabilidade de um indivíduo desta região
pescar com cesto é dado pela probabilidade dele pescar com cesto dado que é de X, visto
que é realmente de X ou ele pescar com cesto dado que ele é de Y, visto que ele realmente
é de Y. O que equivale dizer que o indivíduo pesca com cesto e é de X ou ele pesca com
cesto e é de Y. Em termos matemáticos temos que:
P(C)=P(C|X).P(X)+P(C|Y).P(Y)=0,3.0,8+0,7.0,2=0,24+0,14=0,38
Legenda:
P(C): probabilidade de o indivíduo pescar com cesto;
P(C|X): probabilidade de o indivíduo pescar com cesto dado que é da região X;
P(X): probabilidade de o indivíduo ser da região X;
P(C|Y): probabilidade de o indivíduo pescar com cesto dado que é da região Y;
P(Y): probabilidade de o indivíduo ser da região Y;
(b) (1,8) Suponha que um botânico investigando a ora daquela região, em determinado
momento esteja perdido e aviste um morador da região pescando com cesto.
Qual é a
probabilidade de que ele seja um Y?
Solução
Queremos a probabilidade de o indivíduo ser da região Y dado que ele estava pescando
com cesto, ou seja, P(Y|C): probabilidade de o indivíduo ser da região Y dado que ele
estava pescando com cesto.
Legenda:
P(C): probabilidade de o indivíduo pescar com cesto;
P(C|X): probabilidade de o indivíduo pescar com cesto dado que é da região X;
P(X): probabilidade de o indivíduo ser da região X;
P(C|Y): probabilidade de o indivíduo pescar com cesto dado que é da região Y;
P(Y): probabilidade de o indivíduo ser da região Y;
Sabemos que:
2
P (Y |C) =
P (Y ∩C)
P (C)
Então: P (Y |C) =
, mas P (C|Y ) =
P (Y ∩C)
P (C)
=
P (C∩Y )
= P P(Y(Y∩C)
P (Y )
)
P (C|Y ).P (Y )
0,7.0,2
0,14
= 0,38 = 0,38
P (C)
, logo, P (Y ∩ C) = P (C|Y ).P (Y ).
= 0, 3684
3. (2,2) Dois eventos de um mesmo experimento aleatório, A e B, são independentes e tais que
P(A) = 1/2 e P(B) = 1/3. Ache:
(a) (1,0)
P (A ∪ B)
Solução
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Se os eventos A e B são independentes, então P (A ∩ B) = P (A).P (B) = 1/2.1/3 = 1/6
Portanto,
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = (3 + 2 − 1)/6 = 4/6 = 0, 6667
(b) (1,2)
P (Ac ∪ B c )
Solução
Análogo a alternativa a) e sabendo que P (Ac ) = 1−P (A), P (B c ) = 1−P (B) e (Ac ∩B c ) =
(A ∪ B)c , teremos que:
P (Ac ∪ B c ) =
=
=
=
P (Ac ) + P (B c ) − P (Ac ∩ B c ) = 1 − P (A) + 1 − P (B) − P [(A ∪ B)c ]
2 − P (A) − P (B) − [1 − P (A ∪ B)] = 2 − P (A) − P (B) − 1 + P (A ∪ B)
1 − P (A) − P (B) + P (A ∪ B) = 1 − 1/2 − 1/3 + 4/6
(6 − 3 − 2 + 4)/6 = 5/6 = 0, 8333
3