1 Resumo 2 Instrodução - Instituto de Física de São Carlos

CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN
Andrés Rodriguez Salas
Instituto de Fisica de São Carlos
Junio 20 de 2011
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Resumo
O tratamento estadistico dado por Bose ao problema da radiação do corpo
negro, tratando a luz como corpusculos solidos que não interagem, abriou a
puerta para Einstein prever um determinado comportamento da materia em
uma certa densidade temperatura critica conhecido por Condensado de BoseEinstein. Este estado da materia só ocorre em temperaturas proximas do
zero absoluto. O comportamento das partículas que compõem o condensado é
bosônicos que nos diz que todas as particulas que estão no estado fundamental,
não é se comportar como particulas individuais, mas como un tudo, onde o
comprimento de onda de Brolie é a caracteristica ao sistema do tamanho do
Codensado.
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Instrodução
No início dos anos 20, Satyendra Nath Bose estudou o problema da radiação do
corpo negro, que trata de radiação como um gas não interativas monoatômico
, e començou derivar a ecuação de Planck. Para isso, ele usou a estatistica,
posteriormente, nomeado em honra do seu nome "estatistica de Bose" . As
ideas de Einstein generalizou as deBose, não só para a quanta de luz, mas
também as para particulas que têm massa. O Einstein foi capaz de deduzir
a equação de estado para um gás ideal quântico. Neste ponto, Albert Einstein
advertiu a existência de um novo estado da materia, considerando que, além
de uma densidade critica as particulas se condensam no estado fundamental.
Esse fenomenno puramente quântico é conhecido como o Condesado de Bose
Einstein.
Os sistemas quânticos com partículas idênticas são bem relevantes, devido
ao conceito de que as partículas quânticas não tem um caminho de…nido, mas
há uma função de onda associada a partícula que representa a probabilidade
de encontrar a partícula em um ponto, se …zermos uma medição. Portanto, a
existência de duas partículas similares, desde que estejam perto, as partículas
seriam indistinguíveis. Portanto, as partículas , formam um sistema em que as
permutações de suas funções de onda são iguais. Em outras palavras, teríamos
o sistema composto da seguinte forma
j
!
r 1)
1(
!
r 2) +
2(
!
r 1)
2(
2
!
r 2 )j = j
1(
1
!
r 1)
2(
!
r 2) +
1(
!
r 1)
1(
2
!
r 2 )j
(1)
2(
Agora uma do sistema preparada como segue:
j
!
r 1)
1(
!
r 2)
2(
!
r 1)
2(
2
!
r 2 )j = j
1(
!
r 1)
2(
!
r 2)
1(
!
r 1)
1(
2
!
r 2 )j
(2)
2(
Equação 1 mostra que a introdução de um estado trocados no sistema não
há mudança. Em contraste com a equação 2 da função de onda tem a ordem
inversa, ou seja, tem o estado oposto. para estas equações é dito que o primeiro
é simétrico eo antisimétrico segundo.
Agora podemos relacionar o conceito de simetria com o spin da partícula da
seguinte forma, os sistemas de partículas com número de spin inteiro deve ter
funções de onda simétrica, que são regidos pela estatísticas de Bose . O número
de partículas com spin fracionario têm consequências assimétrica em que essas
partículas são regidos pelas Fermi-Dirac. As primeiras são conhecidas Bósons
e as segundas como férmions . No caso das partículas condensadas apresentmr
Spin inteiro, assim não cumprem com o princípio de exclusão de Pauli e sigem
as estatísticas de Bose.
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3.1
Geração de um Condensado de Bose-Einstein
Estatistica quântica
O condendo Bose-Einstein é um estado da matéria que ocorre em determinadas
condições. Estes são principalmente de baixa densidade e uma temperatura
próxima do zero absoluto, ou seja, o mínimo de energia cinética. A razão que
o condensado está presente em baixas temperaturas (T_ baixa temperatura
crítica {c}) é o potencial químico ser equivalente à energia do sistema. Entre a
faixa de zero absoluto e a temperatura crítica, as ocupações no átomo não pode
mudar eo nível de energia fundamental começa a ser povoada macroscopicamente. Isto signi…ca que para sistemas bosônicos, eles começam a se condensar
no mesmo nível estado quântico ou o mínimo de energia possível. As estatísticas
de Bose-Einstein, temos:
1
(3)
hnk i = ("
e k ) 1
donde = 1=kB T , : potencial químico.
Olhando para a equação 3, que tende ao in…nito quando o argumeto da
exponencial é zero e cai rapidamente, isso ocorre porque os bósons não atendem o princípio de exclusão de Pauli pode, portanto, muitos deles no mesmo
estado quântico . Ahara se o sistema tem N número de partículas, a soma deve
corresponder agora,
X
1
N=
(4)
("
)
k
e
1
k
Agora, suponha que a diferença de estados consecutivos é tão pequena que a
soma se torna uma integral. Antes, é conveniente separar em dois montantes, o
2
número total de partículas em N = N0 + N 0 ,onde N0 é o número de partículas
encontradas no estado fundamental e N 0 representam as partículas encontradas
nos demais estados.
Para o caso de partículas que estão em diferentes estados, para a integral
fundamental tem a forma de:
Z 1
1
dE
(5)
N0 =
(E) (E )
e
1
0
p
2 V gs
3=2
(E) =
(2m)
E
3
h
onde gs é a degenerecencia.
Realizando o tratamento matemático necessário podemos expressar o número
de partículas como
3=2
Nmax = gs
(2m )
h3
V
3=2
g3=2 (z) (kB T )
(6)
O número máximo de partículas que pode ser encontrados em uma dada temperatura. Agora podemos de…nir a temperatura crítica para a qual o potencial
químico é nulo.
2=3
3:31 }2 N
T0 =
(7)
2=3 m
V
g
3=2
Se dividirmos a expressão 6 pelo número total de partículas, temos:
T
T0
Nmax
=
N
3=2
(8)
Analisando-se a equação 8 pedemos dizer que para a temperaturasuperor
à temperatura crítica o número de ocupação do estado fundamental é baixo,
isso quer dizer que os Bosons estão nos niveis excitados. Para temperaturas
abaixo da temperatura crítica os bósons estão no estado fundamental, porque a
população nos estado excitado tende a zero. Agora vemos que o número total
de partículas no estado fundamental é:
"
#
3=2
T
N0 = N 1
(9)
T0
Quando a temperatura T ! 0;a população do estado fundamental será igual
ao número total de partículas. isto signi…ca que o estado fundamental será
totalmente preenchida por bósons o que faz o sistema ser chamado de BoseEinstein.
Neste estado de temperaturas baixas corresponde a uma sobreposição das
funções de onda de partículas que estão ocupando o estado fundamental. A
3
Figure 1: Fração relativa de atomos bosonicos em um condensado em fução da
razão entre a temperatura e a teperatura critica.
Figure 2: Distribução de velocidades de Maxwell-Bolmann em um Condensado
de Bose Einstein 87 Rb.
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Figure 3: a) Atomos ultrafrios, b) Atomos em estados de Condensado de Bose
Einstein.
posição dos átomos não está de…nido, as partículas param de se comportar como
pontos localizados, aqui nós temos que pensar a idéia de pacotes associados com
a partícula. Como a temperatura tende a zero os aumentos pacote de tamanho e
sobreposições com a onda associada à partícula seguinte, quando a temperatura
tende tem zero assim que faz a distribuição de velocidades, como mostrado
na Figura 2, em que mostra a distribuição de Maxwell-Boltzmann velocidades
em diferentes temperaturas criticas. O comprimento de onda de De Broglie
associado, cresce rapidamente como mostrado na equação 10, em função da
temperatura
~
(10)
DB =
1=2
(2mkB T )
Pacotes de diferentes átomos que estão no estado fundamental irão se fundir
em um pacote chamado superátomos macroscópica. Aqui os átomos não são
partículas com compartimentos individuais mas omençam ser parte de tudo, e
esses átomos exibem comportamento das partículas em um estado de coerência
quântica macroscópica. Na …gura três pode ser visto em parte como os átomos
estão dispostos a temperaturas muito baixas, na segunda parte nota-se que nesta
fase desapar e o sistema tornar um superátomo único.
4
Conclusões
Estatísticas de Bose é válido não só para os fótons como Bose originalmente
tinha postuladado , mas também para as partículas que têm massa e átomos,
esta estatística mostra uma fantantisco resultado que Albert Einstein previu,
a equação deduzida por Einstein para um gás atômica foi experimentalmentee
comprovada em 1995 pelo físico alemão Wolfgang Ketterle (com o qual ele recebeu o Prêmio Nobel de Física em 2001), este fenômeno é chamado de Condensado de Bose-Einstein. Abaixo de uma temperatura crítica, os átomos começam
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a mudar seu comportamento de partículas para mostrar a sua natureza ondulatória e o fato de que esses átomos se comportam como bósons faz com que o
número total de átomos do sistema tende para o estado fundamental mínimo
de energia, ( podemos dizer que o potencial químico é equivalente à energia do
sistema). O comprimento de onda de De Brglie dos átomos se sobrepõem e formam um grande comprimento de onda Broli que caracteriza o sistema como um
todo. Neste ponto, os átomos começam a se comportar como o próprio sistema
mostram a consistência Quântico.
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Referencias
[1] Landau, Lifschitz. Vol. 5. Statistical physics part 1. Vol 5, pp 159-183.
[2] Ph. W. Courteille, , V. S. Bagnato and V. I. Yukalov. Bose–Einstein
Condensation of Trapped Atomic Gases. Laser
Physics, Vol. 11,
No. 6, 2001, pp. 659–800. Laser Physics, Vol. 11, No. 6, 2001, pp. 659–800.
[3] Vanderlei Salvador Bagnato. A Condensacão de Bose-Einstein. Revista
Brasileira de Ensino de F sica, vol. 19, no.
1, mar co, 1997
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