Solução

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Num vaso contendo água soltam-se duas esferas. A primeira com densidade d 1 > 1, é
largada na superfície livre, e a segunda com densidade d 2 < 1, é abandonada no fundo.
Calcular a razão de suas velocidades quando passam pelo ponto médio da altura da água no
vaso. A densidade da água é de 1 g/cm 3.
Dados do problema
•
•
•
densidade da esfera 1:
densidade da esfera 2:
densidade da água:
d 1;
d 2;
d A = 1 g/m 3.
Esquema do problema
Adota-se um sistema de referência com
origem no fundo do vaso e orientado para cima
(figura 1).
Inicialmente as esferas estão em repouso
( v 01 = v 02 = 0 ), como a densidade da esfera 1 é
maior do a densidade da água (d 1 > 1) ela começa
a afundar, e a esfera 2 que tem densidade menor
que a da água (d 2 < 1) começa a subir.
Vamos adotar h para a altura do vaso e g
para a aceleração local da gravidade.
Solução
Aplicando a 2.ª Lei de Newton às forças da
figura 1, temos
figura 1
 = m
F
a
(I)
E 1−P 1 = m 1 a 1
(II)
P1 =m1 g
(III)
E 1 = mA g
(IV)
Para a esfera na superfície, temos
o peso da esfera é dado por
a força de empuxo é dada por
onde m A é massa de água deslocada, substituindo (III) e (IV) em (II), obtemos
m A g−m 1 g = m 1 a 1
(V)
m
, com o volume (V) do corpo igual ao volume de
V
água deslocada, aplicando esta expressão ao corpo e ao líquido, obtemos
Sendo a densidade dada por d =
m1
⇒ m 1 = d 1V 1
V1
mA
d A=
⇒ mA = d AV 1
V1
d1=
substituindo (VI) e (VII) em (V), fica
1
(VI
(VII)
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d A V 1 g−d 1 V 1 g = d 1 V 1 a 1
simplificando o volume V 1 de ambos os lados da igualdade, colocando a aceleração da
gravidade g em evidência do lado esquerdo da igualdade e substituindo a densidade da água
pelo valor dado no problema, temos
d A g−d 1 g = d 1 a 1
g  d A−d 1  = d 1 a 1
g  1−d 1  = d 1 a 1
e a aceleração com que a esfera 1 afunda
a1 =
g  1−d 1 
d1
(VIII)
Analogamente aplicando a expressão (I) para o caso da segunda esfera, obtemos
E 2 −P 2 = m 2 a 2
as forças peso e de empuxo serão dadas por P 2 = m 2 g e E 2 = m A g o que nos leva a
m A g−m 2 g = m 2 a 2
substituindo as massas pelas expressões obtidas a partir das densidades,
m2
mA
d2 =
⇒ m 2 = d 2V 2 e d A =
⇒ m A = d A V 2 , assim a aceleração da esfera 2 será
V2
V2
d A V 2 g−d 2 V 2 g = d 2 V 2 a 2
d A g −d 2 g = d 2 a 2
g  d A−d 2  = d 2 a 2
g  1−d 2  = d 2 a 2
e a aceleração com que a esfera 2 sobe
a2 =
g  1−d 2 
d2
(IX)
Escrevendo a Equação de Torricelli para os dois casos, temos
2
2
v 1 = v 01−2 a 1 Δ S
a aceleração da esfera 1 está no sentido contrário do referencial por isso é negativa, o
h
deslocamento será da superfície até a metade do vaso Δ S =
, substituindo a expressão
2
(VIII) e a velocidade inicial suposta nula

2
g  1−d 1  h
d1
2
g  1−d 1  h
2
v 1 =−
d1
g

d
2
1 −1  h
v1=
d1

2
v 1 = 0 −2
(X)
A aceleração da esfera 2 está no mesmo sentido do referencial por isso é positiva, o
deslocamento será o mesmo da esfera 1, substituindo a expressão (IX) e a velocidade inicial
suposta nula
2
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2
g  1−d 2  h
d2
2
g

1−d

h
2
2
v2=
d2
2
v 2 = 0 2
(XI)
Dividindo a expressão (X) por (XI), obtemos
v 21
v 22
 
v1
v2
2
=
g  d 1−1  h
d1
=
g  1−d 2  h
d2
g  d 1 −1  h
d2
d1
g  1−d 2  h
simplificando a aceleração g e a altura h do vaso no numerador e no denominador do lado
direito da igualdade, temo
2
 
 
v1
v2
 d 1 −1 
d2
d1
 1−d 2 
=
v1
v2
v1
=
v2
2
=

 d 1−1  d 2
 1−d 2  d 1
 d 1 −1  d 2
 1−d 2  d 1
3