3 a Lista

Terceira Lista – Logaritmo, exponencial, regiões de C.
Questão 1. Encontre os valores das seguintes expressões: ii ; (1 + i)1+i ; (−1)i ; 2i .
Questão 2. Encontre o conjunto de todos os possíveis valores de ln 1; ln i; ln(−i); ln(1 + i).
Questão 3. Para que valores de z temos eiz = eiz ?
Questão 4. Para z = r(cos θ + isen θ), com 0 ≤ θ < 2π, para que valores de z temos
√
z 2 = z?
Questão 5. Para a ∈ R e z ∈ C é verdade que |z a | = |z|a ?
Para que valores de z, w ∈ C vale que |z w | = |z||w| ?
Questão 6.
Para um ramo fixado da função logaritmo, mostre que se α, β, γ ∈ C, então
αβ+γ = αβ αγ .
Questão 7. Fixando-se o ramo do logaritmo em −π ≤ θ < π e tomando-se α, β ∈ C, em que
condições vale a igualdade ln αβ = β ln α?
Observação. Recordemos que uma função f : X ⊂ C → C é analítica em um ponto zo ∈ X se f
tem derivada em todo ponto de uma vizinhança de zo , isto é, se existe δ > 0 tal que f tem derivada
em todo ponto z ∈ Bδ (zo ).
Temos três maneiras de verificar que uma função é analítica em um ponto zo . A mais fácil consiste
calcular f 0 (z) para todo ponto de uma vizinhança de zo (mostrar que existe o valor f 0 (z)).
Outra forma é verificar que as condições de Cauchy-Riemann estão verificadas em todo ponto de
uma vizinhança de zo . Finalmente, a terceira forma, é verificar que f é do tipo soma de analíticas,
ou combinação linear de analíticas, ou produto de analíticas, ou composta de analíticas.
Questão 8.
Determine os conjuntos onde as funções abaixo são analíticas e calcule suas
derivadas. (Observe que nesses exercícios é trabalhoso encontrar u(x, y) e v(x, y) com f (z) = u + iv
e testar as condições de Cauchy-Riemann.)
3
(a) (z + 1) ;
z+1
(b)
;
z
(c)
1
z−1
10
;
(d)
z4 + z2 − 2
;
z 2 − 3z + 2
(e) sen (z).
Questão 9. Para cada uma das funções abaixo verifique se são analíticas no ponto indicado.
z2 + z + 1
em z = 0;
z−1
z−3
e z+1 em z = 1;
1
z+
1
em z = 0.
z
Vamos a seguir recordar os conceitos de aberto e fechado no plano complexo e introduzir novas
classificações de regiões que serão úteis na análise complexa.
Aberto: recordemos que um subconjunto X ⊂ C é chamado de aberto se para todo zo ∈ X
existe δ > 0 tal que Bδ (zo ) ⊂ X, onde Bδ (zo ) = { z ∈ C | |z − zo | < δ } é chamada de “bola” aberta
de centro zo . Bδ (zo ) também é chamada de “vizinhança.”
Fechado: um subconjunto Y ⊂ C é chamado de fechado, caso seu complementar C r Y seja
aberto.
Questão 10. Sejam U e V dois abertos de C. Mostre que U ∪ V e U ∩ V também são abertos.
Mostre igualmente que se F1 e F2 são dois fechados de C, então F1 ∪ F2 e F1 ∩ F2 também são
fechados.
Interior: Dado um subconjunto A ⊂ C, um ponto z ∈ A é chamado de ponto interior de A se
existe δ > 0 tal que Bδ (z) ⊂ A.
◦
◦
Chamamos de interior de A ao conjunto A = { z ∈ A | z é interior de A }. A é o conjunto de
todos os pontos interiores de A.
As questões 1 e 2 da segunda lista tratam de abertos e fechados. Verifique quais dos conjuntos
abaixo são abertos e quais são fechados.
◦
Questão 11. (a) B δ (zo ) = { z ∈ C | |z − zo | ≤ δ }; (b) X = {z = a + bi ∈ C | b 6= a2 }; (c) A.
Questão 12. Mostre que o conjunto { zo } é fechado. Mostre também que o complementar de
um conjunto finito { z1 , z2 , . . . , zn } é aberto.
Fronteira: Dado um subconjunto A ⊂ C, um ponto z ∈ C é chamado de ponto fronteira de A
se para todo δ > 0 temos
Bδ (z) ∩ A 6= ∅
Bδ (z) ∩ C r A 6= ∅.
e
Em outras palavras, z não é interior de A nem do complementar de A.
Questão 13. Encontre os pontos fronteira dos conjuntos descritos nas questões 9 e 10.
2
Questão 14.
Demonstre que um subconjunto Y é fechado se e somente se contém todos os
pontos fronteira. Isto é, em C r Y não há nenhum ponto fronteira de Y .
Dado um subconjunto A ⊂ C vamos chamar de Front(A) ao conjunto de todos os pontos fronteira
de A. Mostre que A ∪ Front(A) é fechado.
Vamos resolver as questões 3 e 4 da segunda lista:
Questão 3, lista 2. Seja f : X ⊂ C → C uma função contínua no aberto X 6= ∅ (é contínua
em todos os pontos de X) e U um aberto de C. Vamos mostrar que f −1 (U ) = { x ∈ X | f (x) ∈ U }
também é um aberto de C.
Temos que demonstrar que para todo zo ∈ f −1 (U ) existe δ > 0 tal que Bδ (zo ) = { z ∈ C |
|z − zo | < δ } ⊂ f −1 (U ).
Da continuidade de f temos que lim f (z) = f (zo ). Isso quer dizer que dado ε > 0 existe δ > 0
z→zo
tal que |z − zo | < δ implica |f (z) − f (zo )| < ε. Para zo com f (zo ) ∈ U , como U é um aberto de
C, podemos escolher ε de forma que Bε (f (zo )) ⊂ X. Observe que |z − zo | < δ é o mesmo que
dizer z ∈ Bδ (zo ). Portanto, dizer que |z − zo | < δ implica |f (z) − f (zo )| < ε é o mesmo que dizer
que z ∈ Bδ (zo ) implica f (z) ∈ Bε (f (zo )). Mas então f (z) ∈ U , para todo z ∈ Bδ (zo ), ou então,
Bδ (zo ) ⊂ f −1 (U ).
Questão 4, lista 2. Supomos que para todo aberto U de C temos que f −1 (U ) também é um
aberto de C. Logo, para zo ∈ X dado ε > 0, vale que f −1 (Bε (f (zo ))) é um aberto de C. Portanto
existe δ > 0 tal que Bδ (zo ) ⊂ f −1 (Bε (f (zo ))). Como já vimos antes, isso é o mesmo que dizer
z ∈ Bδ (zo ) implica f (z) ∈ Bε (f (zo )), ou então |z − zo | < δ implica |f (z) − f (zo )| < ε. Concluímos
assim que f é contínua todo zo ∈ X.
Questão 15. Use o fato de que uma função é contínua se e somente se a imagem inversa de um
aberto é aberto (questões 3 e 4 da lista 2, resolvidas acima) para concluir que a composta de duas
contínuas é contínua.
Use também esse fato para concluir que f (z) = z é contínua.
Observação. Vamos também definir continuidade entre C e R. Uma função f : X ⊂ C → R,
onde X é um aberto de C, é contínua em zo ∈ X se dado ε > 0 existe um δ tal que |f (z) − f (zo )| < ε
sempre que |z − zo | < δ. Observe f (z), f (zo ) são ágora números reais e que |f (z) − f (zo )| é o valor
absoluto real usual. Mas z, zo são complexos e |z − zo | é o valor absoluto complexo (|z − zo | =
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(z − zo )(z − zo )). f é contínua em X se for contínua em todos os pontos de X.
Temos igualmente continuidade de funções g : Y ⊂ R → C, com Y um aberto de R. A definição
é análoga: dado ε > 0 existe um δ tal que |f (r) − f (ro )| < ε sempre que |r − ro | < δ. Mas agora
|r − ro | é o valor absoluto real e |f (r) − f (ro )| é o valor absoluto complexo.
Aqui também g é contínua em Y se for contínua em todos os pontos de Y .
Observação. Definimos um aberto da reta R, como no caso de C, dizendo que U ⊂ R é aberto
se para todo r ∈ U exite δ > 0 tal que (r − δ, r + δ) ⊂ U . Uma “bola” (vizinhança) de r é o intervalo
aberto (r − δ, r + δ) = { x ∈ R | |x − r| < δ }. Observe que aqui | | é o valor absoluto usual dos reais.
Questão 16.
Mostre que funções f : X ⊂ C → R e g : Y ⊂ R → C, como acima, são
respectivamente contínuas em X e Y se e somente se tem a propriedade: “imagem inversa de um
aberto é aberto.”
Mostre em particular que | | : C → R é contínua.
Observação. A vantagem de trabalhar com abertos é que é mais fácil verificar a propriedade
“imagem inversa de um aberto é aberto” do que através do limite.
Questão 17.
Seja g : Y ⊂ R → C, com Y aberto, uma função contínua da reta no plano
complexo. Escreva g(t) = u(t) + iv(t) para todo t ∈ R. Observe que u, v : Y → R são funções.
Demonstre que g é contínua se e somente se u e v são contínuas.
Compactos Um subconjunto K ⊂ C é chamado de compacto se K for fechado e limitado, isto
é, K é fechado e existe M > 0 tal que |z| < M , para todo z ∈ K. Vemos então que K está contido
em uma bola BM (0), de centro na origem e raio M .
Questão 18. Mostre que os seguintes conjuntos são compactos. (a) B δ (zo ), para todo zo ∈ C;
(b) o círculo de raio ρ > 0 e centro em zo , = { z ∈ C | |z − zo | = ρ }; (c) uma elipse = {z = x + yi |
x2 y 2
+ 2 = 1, a e b reais 6= 0.
a2
b
Observação. O interesse em conjuntos compactos deve-se a que se tivermos uma função contínua
f : X ⊂ C → R e K ⊂ X for um conjunto compacto, então f atinge um mínimo e um máximo em
K (não necessariamente únicos). Isto é, existem xm , xM ∈ K tais que f (xm ) ≤ f (x) ≤ f (xM ) pra
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todo x ∈ K.
Em particular se f : X ⊂ C → C for contínua e K ⊂ X for compacto, então |f (x)| terá um
mínimo e um máximo em K.
Conexos Um subconjunto X ⊂ C é chamado de conexo se não pode ser decomposto X =
(U ∩ X) ∪ (V ∩ X), onde U e V são abertos de C, U ∩ X 6= ∅, V ∩ X 6= ∅, e (U ∩ X) ∩ (V ∩ X) = ∅.
Isto é, X não pode ser quebrado em duas partes disjuntas, não vazias, e relativamente abertas.
Em particular, caso X seja aberto, temos que U ∩ X e V ∩ X também são abertos.
Questão 19. Mostre que um subconjunto aberto X é conexo se e somente se os únicos subconjuntos Y ⊂ X que são abetos e fechados ao mesmo tempo são ∅ e X.
Convexos Um subconjunto X ⊂ C é chamado de convexo se para quaisquer dois pontos z1 , z2 ∈
X o segmento que une esses pontos está inteiramente contido em X.
Como construir um segmento unindo z1 e z2 ? Seja
z1 z2 = { z ∈ C | z = tz1 + (1 − t)z2 , para algum 0 ≤ t ≤ 1 }.
Logo X é convexo, se z1 z2 ⊂ X, para todo par z1 , z2 ∈ X.
Questão 20. Mostre que z1 z2 é de fato o segmento unido z1 e z2 , isto é, mostre que para todo
0 ≤ t ≤ 1 os pontos z1 , z2 , e z = tz1 + (1 − t)z2 estão alinhados e |z1 − z| ≤ |z1 − z2 |.
Questão 21. Verifique que os seguintes subconjuntos são convexos. (a) B δ (zo ), e Bδ (zo ), para
todo zo ∈ C; (b) o retângulo {z = x + yi ∈ C | −1 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 5 }; (c) o triângulo
{z = x + yi ∈ C | 0 ≤ y ≤ −x − 1 e 0 ≤ x ≤ 1 }; (d) { z = x + yi | y ≥ 2x − 1 e x ≥ 0 }.
Conexo por Caminho.
Inicialmente definimos como caminho a uma função contínua
λ : [0, 1] → C. Por exemplo λ(t) = tz1 + (1 − t)z2 é um caminho. Em geral temos que λ(t) é
um caminho que liga o ponto z1 = λ(0) ao ponto z2 = λ(1), mas não é uma reta. O caminho
generaliza a ideia de segmento e conexo por caminho generaliza a ideia de convexo.
Um subconjunto X ⊂ C é chamado de conexo por caminho se quaisquer que sejam z1 , z2 ∈ X
podem ser ligados por um caminho.
Questão 22.
Verifique quais dos conjuntos abaixo é conexo por caminho. Estude também
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outras propriedades como se é aberto, fechado, compacto, conexo, etc.
{ z | 1 ≤ |z| ≤ 3 };
{ z | Re z > −1 };
{ z | Re z ≤ 2 e Im z < 3 };
{ z | |z − (3 + 2i)| < 3 ou |z + (1 + i)| < 2 }
6
{z | (Re z)2 = Im z };