UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA FICHA DE DISCIPLINA CURSO GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA - BACHARELADO DISCIPLINA: ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 2 PERÍODO: 5o. C.H. TEÓRICA: 60 CÓDIGO: DISCIP. OBRIGATÓRIA (X) C.H. PRÁTICA: 0 PRÉ-REQUISITOS: Estruturas Algébricas 1 DISCIP. OPTATIVA ( ) C.H. PIPE: 0 UNIDADE ACADÊMICA: FAMAT C.H. TOTAL: 60 CÓ-REQUISITOS: OBJETIVOS DA DISCIPLINA Objetivos Gerais: Aprofundar e diversificar os conhecimentos do aluno nas áreas de teoria dos corpos e teoria dos números, através do estudo de anéis euclidianos e extensões de corpos. Apresentar e solucionar problemas clássicos como a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo de 60º através de régua e compasso, usando a teoria dos corpos. Expandir os conhecimentos do aluno na área de teoria dos números, introduzindo o inteiro de Gauss e sua relação com o problema dos naturais que são soma de dois quadrados. EMENTA Anéis euclidianos; Anéis de polinômios; extensões algébricas dos racionais; construções por meio de régua e compasso. DESCRIÇÃO DO PROGRAMA 1. ANÉIS EUCLIDIANOS 1.1. Definição, existência do máximo divisor comum, elementos primos. 1.2. Teorema da Unicidade da Fatoração. 1.3. O anel dos inteiros de Gauss. 1.4. Determinação dos naturais que são soma de dois quadrados. 2. ANÉIS DE POLINÔMIOS 2.1. Polinômios: definição, exemplo, grau e operações. 2.2. O algoritmo da divisão. 2.3. O anel de polinômios como anel euclidiano. 2.4. O algoritmo do máximo divisor comum. 2.5. Polinômios sobre o corpo racional. 2.6. O Lema De Gauss e o critério de Eisenstein. 2.7. O número de raízes de um polinômio. 3. EXTENSÕES ALGÉBRICAS DOS RACIONAIS 3.1. Definição de extensões, elemento algébrico, transcendente e extensões algébricas 3.2. Adjunção de raízes. 3.3. Corpo de decomposição de um polinômio. 3.4. Grau de uma extensão: extensão finita, extensão finitas e extensões algébricas, grau e base de uma extensão simples. 4. CONSTRUÇÕES COM RÉGUA E COMPASSO 4.1. Números construtíveis. 4.2. Critérios de construtibilidade. 4.3. Aplicações: trissecção do ângulo de 60º, duplicação do cubo e a quadratura do círculo. BIBLIOGRAFIA Bibliografia Básica: [1] MONTEIRO, L.H. J., Elementos de Álgebra, LTC , 1969. [2] DOMINGUES H. H. E IEZZI G., Álgebra Moderna, Atual Editora, São Paulo, 1982. [3] GONÇALVES, A., Introdução á Álgebra, Projeto Euclides, IMPA - SBM, Rio de Janeiro, 1979. [4] GARCIA A. Janeiro, 2002 E LEQUAIN, I., Elemento de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA - SBM, Rio de [5] HERSTEIN I., Tópicos de Álgebra, Editora da Universidade de São Paulo e Editora Polígono, São Paulo. Bibliografia Complementar: Aprovada em ___/__ /_____ ____________________________________________ Coordenador do Curso de Lic. e Bach. em Matemática ___________________________________________ Diretor da Faculdade de Matemática