O Problema da Conduç˜ao do Calor numa barra 1 Introduç˜ao 2

O Problema da Condução do Calor numa barra
Naiara Aparecida dos Santos Silva∗
Roberto de Almeida Prado
Depto. de Matemática e Computação, DMC, UNESP,
19060-900, Presidente Prudente, SP
E-mail: [email protected], [email protected]
RESUMO
O presente trabalho tem como objetivo estudar o problema da condução do calor em uma
barra com extremidades mantidas à temperatura 0 ◦ C. O método de resolução desse problema
é conhecido como o método de Fourier, no qual utiliza-se separação de variáveis e a teoria das
séries de Fourier para encontrar o candidato a solução e, em seguida, mostra-se que o candidato
é de fato solução do problema.
Palavras-chave: Equação do calor, Método de Fourier, Problema de valores inicial e de fronteira, Séries de Fourier.
1
Introdução
O estudo do problema da condução do calor em uma barra é muito significativo, pois uma
vez que J.-B.J. Fourier determinou o candidato à solução, surgiu à necessidade de desenvolver
novas teorias tais como a teoria das Séries de Fourier, Análise Funcional, entre outras, para
garantir a validade do método, bem como colocou-se a questão da representação de uma função
por uma série trigonométrica de modo mais claro. Da mesma forma, o trabalho desenvolvido na
referência [1] utiliza esse problema fı́sico para enfatizar a necessidade de se desenvolver a teoria
das séries de Fourier, visto que a matemática dos cursos de Cálculo Diferencial e Integral e de
Equações Diferenciais não são suficientes para resolvê-lo.
Assim, neste trabalho daremos ênfase ao problema da condução do calor em uma barra
com extremidades mantidas a 0 ◦ C e superfı́cies laterais isoladas termicamente. Para tanto,
matematicamente, o problema consiste em determinar uma função u(x, t), definida para t ≥ 0 e
0 ≤ x ≤ L, que satisfaz

ut = Kuxx ,
t > 0, 0 < x < L ,

u(0, t) = u(L, t) = 0 ,
t > 0,
(1)

u(x, 0) = f (x) ,
0 ≤ x ≤ L,
onde a constante K (difusibilidade térmica) e a função f são dadas. Em (1) a primeira linha
contém a chamada equação do calor, a segunda linha contém as condições de fronteira e a terceira
linha contém a condição inicial. Um problema desse tipo é chamado um problema de valores
inicial e de fronteira (PVIF).
Na seção 2 apresentamos algumas definições importantes, na seção 3 estudamos a solução
do PVIF (1) e na seção 4 fazemos uma breve conclusão acerca do que foi trabalhado.
2
Definições
Nesta seção apresentamos algumas definições necessárias para o desenvolvimento deste trabalho. Para mais detalhes (ver [1]).
∗
Bolsista de Iniciação Cientı́fica FAPESP
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Definição 1. Seja f : R → R uma função periódica de perı́odo 2L, integrável
R Le absolutamente
integrável (f e |f | são integráveis) em cada intervalo limitado; em particular −L |f (x)|dx < ∞.
Os coeficientes de Fourier de f são dados por
Z
Z
nπx nπx 1 L
1 L
an =
f (x) cos
f (x)sen
dx, n ≥ 0 e bn =
dx, n ≥ 1.
L −L
L
L −L
L
A série
∞
nπx nπx X
1
a0 +
+bn sen
an cos
2
L
L
n=1
é chamada série de Fourier de f .
A seguir, consideremos as regiões:
R = {(x, t) ∈ R2 : 0 < x < L, t > 0}
e
R = {(x, t) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0}.
Definição 2. Uma função u : R → R é uma solução do PVIF (1) se ela for contı́nua em R,
tiver derivadas parciais ut e uxx em R, e satisfizer às três relações em (1).
Definição 3. Uma função f : [a, b] → R é dita ser de quadrado integrável, escrevemos f ∈
L2 [a, b], se f e |f |2 forem integráveis.
3
Resolução e Análise
Nesta seção apresentaremos a solução do problema (1) da condução do calor. Para encontrar
o candidato a solução usaremos o método de Fourier (ver [1]). De fato, usando separação de
variáveis procuramos soluções u(x, t) do problema na forma u(x, t) = F (x)G(t). Substituindo
na equação do calor e, usando que u(0, t) = u(L, t) = 0, obtemos
 00
0 < x < L,
 F (x) − σF (x) = 0 ,
F (0) = F (L) = 0 ,
(2)
 0
G (t) − σKG(t) = 0 ,
t>0,
onde σ é um parâmetro independente de t e de x. Utilizando as técnicas de resolução de E.D.O.
obtemos (ver [1]) que as soluções gerais de (2) são dadas por
nπx 2 2
2
Fn (x) = c sen
e Gn (t) = a e−n π Kt/L , n = 1, 2, 3, ...
L
onde c e a são constantes não-nulas. Não há necessidade de considerar as constantes c e a, pois
trabalharemos com expressões da forma cn Fn (x), com a constante cn a determinar (veja (4)).
Daı́, segue que as funções
nπx
2 2
2
un (x, t) = e−n π Kt/L sen
, ∀ n ≥ 1,
(3)
L
satisfazemP
a equação do calor e as condições de fronteira em (1). Além disso, qualquer expressão
da forma N
n=1 cn un (x, t), onde os cn são constantes e os un são as funções definidas em (3), é
solução da equação do calor e satisfaz as condições de fronteira. Supondo que a função dada
f (x) possa ser expressa por uma série da forma
∞
nπx X
f (x) =
cn sen
,
L
n=1
então mostra-se que o candidato a solução do problema (1) é
∞
nπx X
2 2
2
u(x, t) =
cn e−n π Kt/L sen
,
L
(4)
n=1
onde as constantes cn são os coeficientes de Fourier de f .
Procederemos agora no sentido de mostrar que (4) é, de fato, solução do problema (1). Para
isso, demonstraremos o seguinte resultado (ver [1]):
2
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Teorema 4. Seja f : [0, L] → R uma função contı́nua com f (0) = f (L) = 0 e tal que a
derivada f 0 exista em [0, L] e seja de quadrado integrável. Então a expressão (4) define uma
função contı́nua em R, que é solução do PVIF (1).
Demonstração:(i) Temos que as séries
∞
X
cn e−n
2 π 2 Kt/L2
sen
n=1
nπx L
,
∞
X
ncn e−n
2 π 2 Kt/L2
sen
n=1
nπx L
e
∞
X
n2 cn e−n
n=1
2 π 2 Kt/L2
sen
nπx L
b = {(x, t) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ L, t > 0}:
convergem uniformemente em qualquer sub-retângulo de R
x2 ≤ L, 0 P
< t1 ≤ t ≤ t2P
< ∞}. De fato, elas são majoradas,
R12 = {(x, t)/ 0 ≤ x1 ≤ x ≤ P
2
2
2
respectivamente, pelas séries
Ae−αn ,
Ane−αn e
An2 e−αn , onde α = π 2 Kt1 /L2 e
|cn | ≤ A, ∀n, que convergem devido ao teste da razão. Assim, podemos aplicar o teste M de
Weierstrass para concluir a convergência uniforme das três séries de funções acima.
(ii) A convergência uniforme (em sub-retângulos R12 ) da primeira série em (i) implica que
b
(4) define uma função contı́nua em R.
P
(iii) Agora, lembramos o seguinte resultado do Cálculo: “Seja un (x, t) uma série de funções
continuamente diferenciáveis em um retângulo R12 = {(x,
P t)/ x1 ≤ x ≤ x2 , t1 ≤ t ≤ t2 }, tal que
ela convirja para uma função u(x, t) e tal que a série
∂un /∂x(x, t) convirja uniformemente
para uma função v(x, t). Então, ∂u/∂x existe e é igual a v”. Usando esse resultado temos que u
b e satisfaz as condições de fronteira e inicial.
definida em (4) é solução da equação do calor em R
P
iv) Como a série (4) é majorada em valor absoluto por ∞
n=1 |cn |, ∀ (x, t) ∈ R, devemos
obter uma expressão relacionando os cn com os coeficientes de Fourier de f 0 e usando o Teste M
de Weierstrass concluir que ela converge em R, portanto define uma função contı́nua em R. De
fato, usando integração por partes e que f (0) = f (L) = 0, obtemos
Z
Z L
nπx nπx 2 L
2
L
cn =
dx =
dx =
dn ,
f (x)sen
f 0 (x) cos
L 0
L
nπ 0
L
nπ
onde os dn são os coeficientes de Fourier de f 0 estendida como uma função par e periódica de
perı́odo 2L. Usando a desigualdade |α||β| ≤ 12 (α2 + β 2 ), segue que
X
n
|cn | ≤
L2 X 1
1X 2
+
d < ∞,
2π 2 n n2 2 n n
onde se usou a desigualdade
P de Bessel (ver seção 3.5 de [1]),
a convergência da série n d2n .
4
2
n dn
P
≤
2
L
RL
0
|f 0 |2 dx, para garantir
Conclusões
Neste trabalho estudamos o problema da condução do calor numa barra com extremidades
mantidas a temperatura 0 ◦ C. Usando o método de Fourier encontra-se o candidato a solução
e mostra-se matematicamente que este é de fato a solução do problema. Para outras condições
de fronteira tais como ux (0, t) = ux (L, t) = 0 ou u(0, t) = ux (L, t) = 0, em que t > 0, o processo
para determinar o candidato a solução segue de modo análogo ao que realizamos, no entanto
para a condição de fronteira ux (0, t) + ku(0, t) = 0, u(L, t) = 0, para t > 0, onde k é constante,
não obtém-se f escrita como uma série de Fourier (usa-se a teoria de Sturm-Liouville; ver seção
4.2 de [1]).
Assim, procuramos descrever o problema da condução do calor tomando como base a referência [1], de modo a ilustrar a relevância do estudo da teoria das séries de Fourier.
Referências
[1] FIGUEIREDO, D. G.: Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides, 4a edição, Rio de Janeiro: IMPA, 2005.
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