Lista - 2 1. Consideramos as rotações em torno de um vetor n

Lista - 2
1. Consideramos as rotações em torno de um vetor ~n, digamos o eixo z.
(a) Mostre que o conjunto de todas rotações em torno do eixo z forma
um grupo.
(b) Mostre que o grupo é Abeliano (todos os elementos comutam entre
si).
(c) Denotamos o ângulo de rotação por . Um mapeamento de um grupo
para um outro grupo é dito "representação". Podemos representar a
rotação correspondente por matriz
cos
sin
A( ) =
sin
cos
:
(1)
Mostre que
A ( 2) A ( 1) = A ( 3) ;
onde
3
=
1
+
2:
(d) Podemos considerar um espaço vetorial V em que as matrizes de
representação atuam (no caso do exemplo acima, o espaço vetorial
tem 2 dimensões). Para todas as matrizes A da representação do
grupo (no exemplo acima, todas A ( ) ;para qualquer ), se existe um
subespaço V1 dentro do espaço da representação tal que
8
j i 2 V1 ;
Aj i 2 V1 ;
o subespaço V1 é dito subespaço invariante da representação do grupo.
Quando não existe tal subespaço, a representação é dita "irredutível".
A representação Eq.(1) é irredutível?
(e) Construa a representação irredutível do grupo de rotação bidimensional. Desta forma, podemos mostrar explicitamente a equivalência
entre o grupo de rotação bi-dimensional e o fator de de fase ei , com
real.
2. Prove o Lemma de Schur na teoria de representação de grupo, isto é,
- Sejam G = fgg um grupo e A = fAg ; g 2 Gg sua representação
matricial (n n) irredutível. Se uma matriz M (n n) comuta com
todas as Ag s, então
M = Const I;
onde I é a matriz de identidade (n
1
n).
2.1 Usando o Lemma de Schur acima, demonstra que se um sistema
for invariante sob a transformação de grupo G não abeliano, sempre
existem degenerêscencia no espectro de energia.
3. Sejam Rx ( x ) ; Ry (
eixos, x, y e z.
y)
e Rz (
z)
as rotações in…nitesimais em torno de
(a) Mostre que no espaço de coordenadas Cartesianas, podemos escrever
0
1
1 0
0
A;
Rx ( x ) ! @ 0 1
x
0
1
x
0
1
1
0
y
1 0 A;
Ry ( y ) ! @ 0
0 1
y
0
1
1
0
z
1
0 A:
Rx ( x ) ! @ z
0
0
1
(b) Introduzindo as matrizes, ~ por
0
x
y
x
podemos escrever
0 0
=@ 0 0
0 1
0
0 0
=@ 0 0
1 0
0
0
1
=@ 1 0
0 0
1
0
1 A;
0
1
1
0 A;
0
1
0
0 A;
0
Rx (
x)
=1+
x
x;
Ry (
y) = 1 +
y
y;
Rz (
z)
z
z;
=1+
Calcule explicitamente
e
em expansão em série, e mostre
0
cos
e z = @ sin
0
e analogamente para x e y.
2
z
sin
cos
0
1
0
0 A;
1
(c) Prove que a matriz
e
~~
= e(
x
x+ y
y+ z
z)
representa uma rotação em torno do eixo ~, com o ângulo de rotação
~.
(d) Obtenha a forma explicita da matriz, e
~~
= (aij ) :
4. De…nimos um vetor como o conjunto de números, fVi ; i = 1; 2; 3g que
transformam sob a rotação R ~ no espaço como
Vi 0 =
X
aik Vk ;
k
onde (aij ) são os elementos de matriz da rotação na questão anterior. O
tensor Cartesiano é de…nido como o conjunto de números fTij ; i; j = 1; 2; 3g ;que
transformam sob a rotação no espaço R ~ como
Tij ! Tij0 =
X
aik ajl Tkl ;
k;l
isto é, como se fosse produto de dois vetores. Note que fTij g forma uma
base de espaço vetorial de dimensão 3 3 = 9;e a transformação acima
pode ser vista como uma representação de grupo de rotação de dimensão
9.
(a) Esta representação não é irredutível. Porque?
(b) Decompõe a representação em representações irredutíveis.
(c) As bases das representações irredutíveis acima são chamados de tensores irredutíveis para o grupo de rotação. Obtenha os tensores irredutíveis.
~ =~
5. Seja L
r
~ o vetor de momento angular orbital (operador).
P
(a) Mostre que
[Li ; xj ] = i"ijk xk ;
[Li ; Pj ] = i"ijk Pk :
(b) Seja ~ um vetor (número comun) e de…nimos o operador unitário,
U ~ =e
3
~
i~ L
:
Mostre que
onde e
tado.
~~
U ~ ~
rU
1
~ = e~ ~ ~
r;
~
U ~ PU
1
~ = e~ ~ P;
~
~
U ~ LU
1
~ = e~ ~ L;
~
é a matriz (3
3) obtida na questão 3 e Interprete o resul-
(c) Prove que
e
~
i~ S
~e+i
~S
~
=e
~~
~
~ o gerador de rotação do sistema. Suponhe que o conjunto
(d) Seja J
~ = (Vx ; Vy ; Vz ) satisfaz a regra de comutação com o
de operador V
~
operador J,
[Ji ; Vj ] = i"ijk Vk :
Neste caso, mostre que
e
~
i~ J
~ e+i~ J~ = e~ ~ V;
~
V
ou seja o novo conjunto no sistema após da rotaçcão transforma da
~ O operador V
~ é chamado o operador
mesma forma do vetor ~
r, ou P.
vetorial.
6. Construa um algorithmo computacional para obter autovalores e autofunções de equação diferencial para a função de onda radial de Equação
de Schrödinger de uma partícula dentro de um potencial esfericamente simetrica, V (r) : Aplique seu algorithmo para ober a função de onda de autoestados de um oscilador harmônico isotropico tridimmencional. (Tome
cuidado para a singularidade na origem).
7. Considere um potencial de Yukawa,
V (r) =
V0
r
e
r
(2)
(a) Calcule a seção de choque diferencial e a seção de choque total utilizando a aproximação de Born.
(b) Determine a condição de aplicabilidade acima em termos de energia
incidente.
(c) Obtenha o valor de seção de choque total na unidade de mb (1mb
= 10 27 cm2 ) para a colisão de proton e neutron, com o momento
incidente do proton no sistema de centro de massa = 50 MeV/c,
V0 = 10M eV e =1.3 fm (= 10 13 cm). Considere que as massas de
proton e neutron são aproximadamente 940 MeV.
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8. Usando a aproximação de Born, demonstre que a seção de choque diferencial de espalhamento de uma carga pornte forme por um potencial Coulombiano criado pela distribuição de cargas (r) é dada por
d
d
onde ~q = p~0
=
d
d
F (~q);
(3)
Ruth
p~ é o momento transferido no processo de espalhamento, é
Z
q
~~
r
F (~q) = d3~rei ~
é o fator de forma da distribuição :
9. Considere um processode colisão de duas partícluas, a e b. A partícula
a tem a massa repousa ma e b tem mb . No sistema Laboratório, a está
incidindo com a energia cinética T sob a partícula b repouso.
(a) Calcule a velocidade do CM do sistema em relação a laboratório.
(b) Obtenha a transformação de Lorentz do sistema Lab para CM.
(c) Calcule o momento da partícula no sistema CM.
(d) Suponha que após a colisão, as duas partículas formam um sistema
composto. Qual é a energia de excitação deste sistema composto?
10. Mostre que o módulo do tri-momento de uma das partículas …nais no
processo de decaimento de um objeto em repouso com massa M em duas
partículas com massas ma e mb é dada por
1=2
j~
pj =
(M; ma ; mb )c
2M
onde a função de tres argumentos 1=2 (x; y; z) é de…nida por
p
1=2
(x; y; z)
(x + y + z)(x + y z)(x y + z)(x y z) :
(4)
(5)
11. Mostre que o elemento de volume do espaço de fase de uma partícula de
massa m;
d6 V = d3~rd3 p~
é um escalar sob uma transformação de Lorentz. Mostre também que o
elemento de volume no espaço de momento,
d3 p~
não é um escalar, mas a quantidade,
1
d3 p~
E (p)
é um escalar, onde E =
p
p2 c2 + m2 c4 é a energia da partícula.
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