EJA I - Professor Luciano Nóbrega

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MANT _ EJA I
“DEUS criou os números naturais.
O resto é obra dos homens.”
Leopold Kronecker (Matemático Alemão)
Aula 01
Teoria dos Conjuntos
Professor Luciano Nóbrega
1º Bimestre
TEORIA DOS CONJUNTOS
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Observe a foto de um supermercado:
01 – O que aconteceria se os produtos vendidos
nos supermercados não fossem agrupados?
02 – Seria adequado colocar um mesmo produto
em duas seções diferentes? Por quê?
03 – Dê exemplos de seu cotidiano que utilize a
ideia de agrupar elementos.
CONCEITOS PRIMITIVOS
USAMOS LETRAS MAIÚSCULAS
1º) CONJUNTO – é uma coleção não-ordenada de objetos. PARA REPRESNTÁ-LOS.
2º) ELEMENTOS – objetos que constituem o conjunto. usamos letras minúsculas para representá-los.
3º) SUBCONJUNTOS – são agrupamentos formados dentro de um conjunto.
4º) CONJUNTO UNIVERSO – é o conjunto que reúne TODOS os itens anteriores.
04 – Dê exemplos dos conceitos primitivos da teoria dos conjuntos.
05 – Determine o conjunto solução dado pela condição:
a) x2 + 25 = 0
b) x2 – 3x – 10 = 0 e x > 0
TEORIA DOS CONJUNTOS
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RELAÇÕES
Relação de Pertinência – Notação: ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence)
Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer
aquele conjunto.
Relação de Continência – Notação: ⊂ (contido) ou ⊄ (não está contido)
Quando um conjunto estiver inserido em outro conjunto, dizemos
que o primeiro conjunto está contido no segundo conjunto.
OBSERVAÇÕES:
A relação de pertinência, ∈ ou ∉ , é utilizada para relacionar elementos com conjuntos.
A relação de continência, ⊂ ou ⊄, é utilizada para relacionar conjunto com conjunto.
Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
N: conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, ...}
Criado para representar a contagem.
Z: conjunto dos números inteiros: {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
Criado para responder questões, tais como 3 – 8 = ?
Q: conjunto dos números racionais: {x|x = a/b ; a, b ∈ Z , b ≠ 0}
Criado para responder questões, tais como 3 : 8 = ? I: conjunto dos números irracionais: {x|x ∉ Q}
R: conjunto dos números reais: { x | x ∈ ( Q + I ) } Criado para responder questões, tais como √3 = ?
Criado para unir os conjuntos “Q” e “R”
06 – Utilize, corretamente, um dos quatro símbolos de relações:
a) 4/11 ___ N
f ) 0 ___ I
b) N ___ Ǭ c) N ___ R
d) √5 ___ R e) – 4,7 ___ Z
g) 2,3333... ___ Ir
h) R ___ Ǭ
i) √5 ___ Q j) Z ___ Q
TEORIA DOS CONJUNTOS
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07 – Se “a” e “b” pertencem a Z*, então, certamente serão números
inteiros:
A) a + b ; a – b ; a/b
B) a + b ; a.b ; a/b
C) a.b ; ab ; a + b
D) a – b ; √a ; a.b
E) a + b ; a – b ; a.b
08 – Determine as frações geratrizes das dízimas:
a) 0,7777...
b) 0,232323...
c) 0,789789789...
d) 2,3333...
e) 3,454545...
f) 0,005555...
g) 1,31212121...
h) 0,142857142857...
09 – Sendo a = 0,1222... e b = 2,1111... , calcule o valor de “a . b":
10 – O intervalo XY de extremos 20,14 e 26,74 indicados na reta
numerada abaixo está dividido em onze partes iguais. Nesse intervalo estão
indicados os números decimais “A”, “B” e “C”. Determine o valor de B – [(C – A)/2]
X
A
B
C Y
11 – Considere os números racionais A = 11/15 , B = 7/12 e C = 13/18.
a) Escreva – os em ordem crescente;
b) A + B + C = ?
c) 2A – 3(B – C) = ?
0,11  0,80
12 – (FEI) Que número real 8  2  3  1  1
representa a expressão: 3 . 3  .  3 
TEORIA DOS CONJUNTOS
CONJUNTOS DAS PARTES – P(A): É o conjunto de todos os
subconjuntos do conjunto A. OBS: O número de elementos de P(A) é dado
por 2n , onde “n” é o número de elementos de “A”.
13 – Considere os conjuntos X = {a, b}, Y = {c, d, e} e Z = {f, g, h, i}.
Determine: a) P(X)
b) P(Y)
c) P(Z)
d) Para cada um dos itens anteriores, verifique a conjectura de que
o número de elementos de P(A) = 2n.
14 – (Unifor – CE) Se A = {x, y, z}, então o número de elementos de
P(P(A)) possui:
A) 8 elementos
B) 16 elementos
C) 256 elementos
D) 512 elementos
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Considere os conjuntos : A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}.
15 – UNIÃO: A união de “A” e “B”, denotada por A ⋃ B, é o conjunto que
contém aqueles elementos que estão em “A”, ou em “B”, ou em ambos.
Sendo assim, determine A ⋃ B
16 – INTERSEÇÃO: A interseção de “A” e “B”, denotada por A ⋂ B, é
o conjunto que contém aqueles elementos que estão em “A” e em
“B” ao mesmo tempo. Sendo assim, determine A ⋂ B
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TEORIA DOS CONJUNTOS
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OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Considere os conjuntos : A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}.
17 – DIFERENÇA: A diferença de “A” e “B”, denotada por A – B, é o conjunto
que contém aqueles elementos que estão em “A” mas não estão em “B”.
Sendo assim, determine: a) A – B
b) B – A
18 – COMPLEMENTAR: Se “U” é o conjunto Universo, U – A é chamado
de complemento de “A” e é denotado por “ Ā ” ou por
ou ainda
Sendo assim, determine: a) U = A U B
b) Ā
c)
19 – Dados os conjuntos:
A = {x | x é um número natural primo menor do que 10}
B = {x | x ∈ Z e – 6 < x ≤ 4}
C = {x | x ∈ N é divisor de 12} , determine:
a) A – B
b) CBA
c) A ⋂ B
d) A ⋂ C
e) B – A
f) A U B
g) B ⋂ C
h) (A ⋂ B) ⋂ C i) A ⋂ (B ⋂ C)
j) A – CAB
k) Ā
l) (C – B) U (C – A)
m) (B – A) U (A – B)
20 – Dados os conjuntos: P = {Todos os polígonos}; L = {Todos os losangos};
G = {Todos os paralelogramos}; Q = {Todos os quadrados} e R = {Todos os
retângulos}. Fazendo um diagrama, determine:
a) L ⋂ R
b) L U G
c) Q ⋂ L
d) G U P
21 – (UFRN) As figuras ao lado representam diagramas de
Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a
região hachurada representa o conjunto Y  Z – X.
TEORIA DOS CONJUNTOS
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NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO UNIÃO
22 – Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 3, 5, 7}.
Se n(A) representa a quantidade de elementos do conjunto “A”, então
determine:
a) n(A)
b) n(B)
c) A U B
d) n(AUB)
e) A ⋂ B
f) n(A⋂B)
23 – Verifique (utilize “V” ou “F”), com base nas respostas da questão anterior, se:
a) n(A ⋃ B) = n(A) + n(B)
b) n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) – n(A ⋂ B)
24 – Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram
consultadas 630 pessoas e o resultado foi o seguinte: 350 delas lêem o jornal A,
210 lêem o jornal B e 90 lêem os jornais A e B. Pergunta-se:
a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A?
b) quantas pessoas lêem apenas o jornal B?
c) quantas pessoas lêem jornais?
d) quantas pessoas não lêem jornais?
R CUR T
25 – Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças
ruivas, 13 meninos NÃO são ruivos e 9 meninas são ruivas. ♀
a) Quantas crianças existem na escola?
♂
b) Quantas crianças são meninas ou são ruivas?
c) Quantas crianças são meninos e são ruivas?
T
TEORIA DOS CONJUNTOS
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26 – O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre as
revistas que os estudantes do Ensino Médio costumam ler:
Revistas
Leitores
a) Quantos foram os estudantes
A
150
consultados?
B
200
b) Quantos estudantes lêem
C
250
apenas a revista A?
Ae B
70
c) Quantos estudantes lêem a
Ae C
90
revista B e não lêem a C?
BeC
80
d) Quantos estudantes não lêem
a revista A?
A, B e C
60
e) Quantos estudantes lêem a
Nenhuma
180
revista A ou a revista C?
27 – (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal,
apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados freqüentavam a praia
de Ponta Negra, 55% freqüentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia. De
acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam
ambas as praias era de: A) 20% B) 35% C) 40% D) 25%
28 – Os conjuntos A, B e A ⋂ B têm, respectivamente, 10, 15 e 7
elementos. Qual o número de elementos de A U B ?
TEORIA DOS CONJUNTOS
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29 – Sabe – se que n(A U B) = 15, n(A) = 7 e n(A ⋂ B) = 3, então
n(B – A) é igual a: A) 6 B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
INTERVALOS
Dados dois números reais “a” e “b”, com a < b, tem – se:
]a. b[ = {x ∈ R | a < x < b} = (a, b)
a
b
[a. b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} = [a, b]
a
b
30 – Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos:
a) {x ∈ R | – 1 < x ≤ 3}
b) {x ∈ R | 2 ≤ x < 3}
c) [3, +∞[
d) x < – 4
e) ] –√5, √3]
f) [ –π, e [
g) x ≥ – 2
h) {–1 < x < 1} ⋂ [0, 3[
31 – Considere os conjuntos
e
a) Represente, sob a forma de intervalo, os conjuntos A e B.
b) Represente, na reta real , os conjuntos A, B e A ⋂ B.
c) Indique a condição que representa A U B e A ⋂ B.
d) Indique o menor número inteiro que não pertence a A U B.
32 – (UFMG) Em uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados:
7% dos entrevistados, acessam os três sites; 12% dos entrevistados acessam os
dois sites, A e B; 15% acessam os sites A e C; 19% acessam B e C; 40%, o site A;
55% o B; 35% o C;135 pessoas entrevistadas não acessam nenhum dos sites.
Quantas pessoas foram entrevistadas ? A) 1500 B) 1450 C) 91 D) 100
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GABARITO
03) Pessoal. Ex: Grupo de alunos desta sala.
01) Pessoal. Ex: Dificuldade em encontrar um produto.
02) Pessoal. Exs: “SIM”, pois um mesmo produto pode pertencer a
dois grupos diferentes. Ou “NÃO”, pois dificultaria a organização.
05) a) S = ϕ
07) E
b) S = {–2, 5}
06) a) ∉ b) ⊄ c) ⊂ d) ∈ e) ∉ f)∉
g) ∉ h) ⊄ i) ∉ j) ⊂
08) a) 7/9 b) 23/99 c) 263/333 d) 7/3
12) –1/3
11) a) B<C<A b) 367/180 c) 113/60
13) //cont.//
14) C
e) 114/33
04) Pessoal. Exs: CONJUNTO de alunos desta
sala. Cada aluno é um ELEMENTO. O s meninos
formam um SUBCONJUNTO. Todos os alunos da
escola compõem o conjunto UNIVERSO.
f) 1/180 g) 433/330 h) 142857/999999
13) a) P(X) = {ϕ ; X; {a}; {b}}
09) 209/810
10) 20,74
b) P(Y) = {ϕ ; Y; {c}; {d}; {e}; {c,d}; {c,e}; {d,e}}
c) {ϕ ; Z; {f}; {g}; {h}; {i};{f,g}; {f,h}; {f,i}; {g,h}; {g,i}; {h,i}; {f,g,h}; {f,g,i}; {g,h,i}; {f,h,i}} d) Use P(A) = 2 n
15) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
16) (4, 5)
17) a) {1, 2, 3} b) {6, 7}
18) a) = (questão 15) b) {6, 7} c) 1, 2, 3}
19) a) {5, 6, 7, 8, 9} b) {–5, –4, –3, –2, –1} c) {0, 1, 2, 3, 4} d) {1, 2, 3, 4, 5, 6} e) = (b) f) {–5, –4, –3, ..., 5, 6, 7, 8, 9}
g) {1, 2, 3, 4} = (h) = (i) j) = (c)
20) a) Q b) L c) Q
d) P
21) C
24) a) 260 b) 120 c) 470 d) 160
28) 18
29) 8
30) Graf.
22) a) 5 b) 4 c) {1, 2, 3, 5, 7, 9}
25) a) 70 b) 57 c) 15
d) 6 e) {3, 5, 7} f) 3
23) a) F b) V
26) a) 620 b) 50 c) 120 d) 470 e) 330
27) B
31) a) A = ] – ∞, 0[ B = [ – 2, 3] b) Graf. c) A U B = ] – ∞, 3] A ⋂ B = [ – 2, 0 [ d) 4
32) A
“A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos.”
(Aristóteles – Filósofo Grego)
Complete com números:
___ção
___buscar
___ no meu colo
___ me beijar.
pois ja rezei ___
para encontrar ___
de te levar para ___
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