Raciocínio Lógico e Quantitativo p
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Aula 01
Raciocínio Lógico e Quantitativo p/ FUNAI (Todos os cargos) - Com videoaulas
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
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AULA 01: PROPOSIÇÕES
SUMÁRIO
PÁGINA
1. Teoria
01
2. Resolução de questões
25
3. Lista das questões apresentadas na aula
77
4. Gabarito
100
Olá!
Seja bem-vindo à nossa primeira aula! Hoje começamos o estudo do
seguinte tópico do seu edital:
Proposições: conectivos. Conceito. Conceito de proposição. Valores lógicos das proposições. Conectivos.
Tabela-verdade. Operações lógicas sobre proposições: negação de uma proposição. Conjugação de duas
proposições. Disjunção de duas proposições. Proposição condicional. Proposição bicondicional. Tautologias e
Contradições. Equivalência Lógica e Implicação Lógica. Conceito e propriedades da relação de equivalência
lógica. Recíproca, contrária e contrapositiva de uma proposição condicional. Implicação Lógica. Princípio de
substituição. Propriedade da implicação lógica.
Estamos diante da famosa “lógica de proposições”. Dedicaremos a próxima
aula para reforçar o seu entendimento sobre os assuntos que iniciaremos hoje.
ATENÇÃO: se você tem dificuldade nesses assuntos, recomendo
começar assistindo os vídeos, ok? Caso contrário, parta direto para este PDF
e economize tempo!
1. TEORIA
1.1 Introdução
Para começar este assunto, você precisa saber que uma proposição é uma
oração declarativa que admita um valor lógico (V – verdadeiro ou F – falso). Ex.: A
bola é azul. Veja que não existe meio termo: ou a bola é realmente de cor azul,
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tornando a proposição verdadeira, ou a bola é de outra cor, sendo a proposição
falsa. Observe que nem toda frase pode ser considerada uma proposição. Por
exemplo, a exclamação “Bom dia!” não pode ser classificada como verdadeira ou
falsa. O mesmo ocorre com as frases “Qual o seu nome?” ou “Vá dormir”, que
também não têm um valor lógico (V ou F). No estudo de lógica de argumentação,
usamos letras (principalmente p, q e r) para simbolizar uma proposição.
É importante também conhecer alguns princípios relativos às proposições. O
princípio da não-contradição diz que uma proposição não pode ser, ao mesmo
tempo, Verdadeira e Falsa. Ou uma coisa ou outra. Já o princípio da exclusão do
terceiro termo diz que não há um meio termo entre Verdadeiro ou Falso. Portanto,
se temos uma proposição p (exemplo: “2 mais 2 não é igual a 7”), sabemos que:
- se essa frase é verdadeira, então ela não pode ser falsa, e vice-versa (nãocontradição), e
- não é possível que essa frase seja “meio verdadeira” ou “meio falsa”, ela deve ser
somente Verdadeira ou somente Falsa (exclusão do terceiro termo).
Uma observação importante: não se preocupe tanto com o conteúdo da
proposição. Quem nos dirá se a proposição é verdadeira ou falsa é o enunciado do
exercício. Ao resolver exercícios você verá que, a princípio, consideramos todas as
proposições fornecidas como sendo verdadeiras, a menos que o exercício diga o
contrário. Se um exercício disser que a proposição “2 + 2 = 7” é Verdadeira, você
deve aceitar isso, ainda que saiba que o conteúdo dela não é realmente correto. Isto
porque estamos trabalhando com Lógica formal.
Vejamos duas proposições exemplificativas:
p: Chove amanhã.
q: Eu vou à escola.
Note que, de fato, p e q são duas proposições, pois cada uma delas pode ser
Verdadeira ou Falsa.
Duas ou mais proposições podem ser combinadas, criando proposições
compostas, utilizando para isso os operadores lógicos. Vamos conhecê-los
estudando as principais formas de proposições compostas. Para isso, usaremos
como exemplo as duas proposições que já vimos acima. Vejamos como podemos
combiná-las:
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a) Conjunção (“e”): trata-se de uma combinação de proposições usando o
operador lógico “e”, ou seja, do tipo “p e q”. Por exemplo: “Chove amanhã e eu
vou à escola”. Utilizamos o símbolo ^ para representar este operador. Ou seja,
ao invés de escrever “p e q”, podemos escrever “ p q ”.
Veja que, ao dizer que “Chove amanhã e eu vou à escola”, estou afirmando que
as duas coisas acontecem (chover e ir à escola). Em outras palavras, esta
proposição composta só pode ser Verdadeira se as duas proposições simples que
a compõem forem verdadeiras, isto é, acontecerem. Se chover e, mesmo assim, eu
não for à escola, significa que a conjunção acima é Falsa. Da mesma forma, se não
chover e mesmo assim eu for à escola, a expressão acima também é Falsa.
Portanto, para analisar se a proposição composta é Verdadeira ou Falsa,
devemos olhar cada uma das proposições que a compõem. Já vimos que se p
acontece (p é Verdadeira) e q acontece (q é Verdadeira), a expressão p e q é
Verdadeira. Esta é a primeira linha da tabela abaixo. Já se p acontece (V), isto é, se
chove, e q não acontece (F), ou seja, eu não vou à escola, a expressão inteira
torna-se falsa. Isto também ocorre se p não acontece (F) e q acontece (V). Estas
são as duas linhas seguintes da tabela abaixo. Finalmente, se nem p nem q
acontecem (ambas são Falsas), a expressão inteira também será falsa. Veja esta
tabela:
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de p e q
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
(pq)
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
A tabela acima é chamada de tabela-verdade da proposição combinada “p e q”.
Nesta tabela podemos visualizar que a única forma de tornar a proposição
verdadeira ocorre quando tanto p quanto q são verdadeiras. E que, para desmentila (tornar toda a proposição falsa), basta provar que pelo menos uma das
proposições que a compõem é falsa.
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b) Disjunção (“ou”): esta é uma combinação usando o operador “ou”, isto é, “p ou
q” (também podemos escrever p q ). Ex.: “Chove amanhã ou eu vou à escola”.
Veja que, ao dizer esta frase, estou afirmando que pelo menos uma das coisas
vai acontecer: chover amanhã ou eu ir à escola. Se uma delas ocorrer, já estou
dizendo a verdade, independentemente da outra ocorrer ou não. Agora, se
nenhuma delas acontecer (não chover e, além disso, eu não for à escola), a minha
frase estará falsa. A tabela abaixo resume estas possibilidades:
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de p ou q
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
(pq)
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Como você pode ver na coluna da direita, a única possibilidade de uma
Disjunção do tipo p ou q ser falsa ocorre quando tanto p quanto q não acontecem,
isto é, são falsas.
Talvez você tenha estranhado a primeira linha da tabela. Na língua
portuguesa, “ou” é utilizado para representar alternativas excludentes entre si (isto
é, só uma coisa poderia acontecer: chover ou então eu ir à escola). Assim, talvez
você esperasse que, caso p fosse verdadeira e q também fosse verdadeira, a frase
inteira seria falsa. Veja que isto não ocorre aqui. Veremos isso no próximo item, ao
estudar a disjunção exclusiva.
c) Disjunção exclusiva (Ou exclusivo): esta é uma combinação do tipo “ou p ou
q” (simbolizada por p q ou então por pvq). Ex.: “Ou chove amanhã ou eu vou
à escola”.
Aqui, ao contrário da Disjunção que vimos acima, a proposição composta só é
verdadeira se uma das proposições for verdadeira e a outra for falsa. Isto é, se eu
digo “Ou chove amanhã ou eu vou à escola”, porém as duas coisas ocorrem
(amanhã chove e, além disso, eu vou à escola), a frase será falsa como um todo.
Veja abaixo a tabela-verdade deste operador lógico, chamado muitas vezes de “Ou
exclusivo”, em oposição ao “ou” alternativo que vimos acima:
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Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de Ou p ou q
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
(p v q)
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Marquei em vermelho a única mudança que temos em relação ao caso
anterior.
d) Condicional (implicação): uma condicional é uma combinação do tipo “se p,
então q” (simbolizada por p q ). Usando o nosso exemplo, podemos montar a
proposição composta “Se chove amanhã, eu vou à escola”.
Esta é a proposição composta mais comum em provas de concurso. Chamamos
este caso de Condicional porque temos uma condição (“se chove amanhã”) que,
caso venha a ocorrer, faz com que automaticamente a sua consequência (“eu vou à
escola”) tenha que acontecer. Isto é, se p for Verdadeira, isto obriga q a ser
também Verdadeira.
Se a condição p (“se chove amanhã”) não ocorre (é Falsa), q pode ocorrer (V)
ou não (F), e ainda assim a frase é Verdadeira. Porém se a condição ocorre (p é V)
e o resultado não ocorre (q é F), estamos diante de uma proposição composta que
é Falsa como um todo. Tudo o que dissemos acima leva a esta tabela:
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de Se p,
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
então q ( p q )
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
e) Bicondicional (“se e somente se”): uma bicondicional é uma combinação do
tipo “p se e somente se q” (simbolizada por p q ). Ex.: “Chove amanhã se e
somente se eu vou à escola”.
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Quando alguém nos diz a frase acima, ela quer dizer que, necessariamente,
as duas coisas acontecem
juntas (ou então nenhuma delas acontece). Assim,
sabendo que amanhã chove, já sabemos que a pessoa vai à escola. Da mesma
forma, sabendo que a pessoa foi à escola, então sabemos que choveu. Por outro
lado, sabendo que não choveu, sabemos automaticamente que a pessoa não foi à
escola.
Note, portanto, que a expressão p q só é verdadeira quando tanto p
quanto q acontecem (são Verdadeiras), ou então quando ambas não acontecem
(são Falsas). Se ocorrer outro caso (chover e a pessoa não for à escola, por
exemplo), a expressão p q é Falsa. Isso está resumido na tabela abaixo:
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de p se e
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
somente se q ( p q )
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Novamente, marquei em vermelho a única coisa que mudou em relação à
condicional p q .
IMPORTANTE: Saiba que “e”, “ou”, “ou, ... ou...”, “se..., então...”, “se e
somente se” são as formas básicas dos conectivos conjunção, disjunção, disjunção
exclusiva, condicional e bicondicional. Entretanto, várias questões exploram formas
“alternativas” de se expressar cada uma dessas proposições compostas. Ao longo
das questões que resolvermos nessa e na próxima aula, você aprenderá a lidar com
estas alternativas. Veja os casos que considero mais importantes:
- Conectivo “mas” com idéia de conjunção (“e”). Ex.: Chove, mas vou à escola.
Observe que quem diz esta frase está afirmando que duas coisas acontecem: 1 =
chove, e 2 = vou à escola. No estudo da lógica, isto é o mesmo que dizer “Chove e
vou à escola”. Portanto, o “mas” está sendo usado para formar uma conjunção.
- Conectivo “ou” precedido por vírgula, com idéia de “ou exclusivo”. Ex.:
Chove, ou vou à escola. Aqui a pausa criada pela vírgula nos permite depreender
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que apenas uma coisa ocorre: ou chove, ou vou à escola. Assim, temos uma forma
alternativa de representar o “ou ..., ou...” que estudamos na disjunção exclusiva.
- Condicional utilizando “Quando...” ou “Toda vez que...”. Exemplos:
1)Quando chove, vou à escola.
2) Toda vez que chove vou à escola.
Veja que nos dois casos acima temos formas alternativas de apresentar uma
condição (“chove”) que leva a uma consequência (“vou à escola”). Portanto, estas
são formas alternativas ao clássico “se ..., então ...” da condicional.
- Uso do “...ou..., mas não ambos” com idéia de disjunção exclusiva. Ex.: “Jogo
bola ou corro, mas não ambos”. Repare que a primeira parte dessa frase é uma
disjunção comum (inclusiva), mas a expressão “mas não ambos” exclui o caso onde
“jogo bola” é V e “corro” também é V. Isto é, passamos a ter uma disjunção
exclusiva. Alguns autores entendem que só temos disjunção exclusiva se a
expressão “mas não ambos” estiver presente (ainda que tenhamos “ou..., ou ...”),
mas isso não pode ser considerado uma verdade absoluta. Trabalharemos esse
problema ao longo das questões.
Sobre proposições compostas, veja uma questão introdutória. Antes, porém,
saiba que ~p significa “negação de p”, ou seja, o valor lógico oposto ao de p. Isto é,
se p é uma proposição Verdadeira, então ~p é uma proposição Falsa. Vamos lá?
1. ESAF – ANAC – 2016) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples
p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade, assinale o item que apresenta
a proposição composta cujo valor lógico é a verdade.
a) ~p V q
q
b) p V q
c) p
q
d) p
q
q
e) q ^ (p V q)
RESOLUÇÃO:
Sabendo que p é V e q é F, podemos analisar cada alternativa de resposta:
a) ~p V q
P
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Veja que ~p é F (pois p é V, e ~p deve ter valor lógico oposto). Assim, o
trecho “~p v q” é uma conjunção do tipo “F v F”, que é falsa. Deste modo, sabendo
que o trecho “q” é F também, ficamos com Falso Falso, que é uma condicional
verdadeira. Isto é, a proposição desta alternativa é V. Este é o nosso gabarito.
b) p V q
q
Veja que o trecho “p v q” é representado como “V v F”, que é uma disjunção
Verdadeira. Como q é F, ficamos com VF, que é uma condicional FALSA.
c) p
q
Aqui ficamos com V F, que é uma condicional falsa.
d) p
q
Temos aqui uma bicondicional que fica com os valores lógicos VF, que é
uma proposição falsa.
e) q ^ (p V q)
Nesta alternativa o trecho “p v q” é representado como “V v F”, que é uma
disjunção Verdadeira. Assim, a conjunção q^(pvq) fica F^V, que é falsa.
Resposta: A
1.2 Operações lógicas sobre proposições: negação de proposições simples
Representamos a negação de uma proposição simples “p” pelo símbolo “~p”
(leia não-p).Também podemos usar a notação
p , que é menos usual. Sabemos
que o valor lógico de “p” e “~p” são opostos, isto é, se p é uma proposição
verdadeira, ~p será falsa, e vice-versa.
Quando temos uma proposição simples (por ex.: “Chove agora”, “Todos os
nordestinos são fortes”, “Algum brasileiro é mineiro”), podemos negar essa
proposição simplesmente inserindo “Não é verdade que...” em seu início. Veja:
- Não é verdade que chove agora
- Não é verdade que todos os nordestinos são fortes
- Não é verdade que algum brasileiro é mineiro
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Entretanto, na maioria dos exercícios serão solicitadas outras formas de
negar uma proposição. Para descobrir a negação, basta você se perguntar:
O que é o mínimo que eu precisaria fazer para provar que essa frase é mentira?
Se você for capaz de desmenti-la, você será capaz de negá-la.
Se João nos disse que “Chove agora”, bastaria confirmar que não está
chovendo agora para desmenti-lo. Portanto, a negação seria simplesmente “Não
chove agora”.
Entretanto, caso João nos diga que “Todos os nordestinos são fortes”,
bastaria encontrarmos um único nordestino que não fosse forte para desmenti-lo.
Portanto, a negação desta afirmação pode ser, entre outras possibilidades:
- “Pelo menos um nordestino não é forte”
- “Algum nordestino não é forte”
- “Existe nordestino que não é forte”
Já se João nos dissesse que “Algum nordestino é forte”, basta que um único
nordestino seja realmente forte para que a frase dele seja verdadeira. Portanto, aqui
é mais difícil desmenti-lo, pois precisaríamos analisar todos os nordestinos e
mostrar que nenhum deles é forte. Assim, a negação seria, entre outras
possibilidades:
- “Nenhum nordestino é forte”
- “Não existe nordestino forte”
A tabela abaixo resume as principais formas de negação de proposições
simples. Veja que, assim como você pode usar as da coluna da direita para negar
frases com as expressões da coluna da esquerda, você também pode fazer o
contrário.
Proposição “p”
Proposição “~p”
Meu gato é preto
Meu gato não é preto
Todos gatos são pretos
Algum/pelo menos um/existe gato (que) não
é preto
Nenhum gato é preto
Algum/pelo menos um/existe gato (que) é
preto
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Note ainda que ~(~p) = p, isto é, a negação da negação de p é a própria
proposição p. Isto é, negar duas vezes é igual a falar a verdade. Ex.: “Não é
verdade que meu gato não é preto” esta frase é equivalente a “Meu gato é preto”.
Veja abaixo uma questão inicial sobre negação de proposições simples.
2. FGV – MRE – 2016) João olhou as dez bolas que havia em um saco e afirmou:
“Todas as bolas desse saco são pretas”. Sabe-se que a afirmativa de João é falsa.
É correto concluir que:
(A) nenhuma bola desse saco é preta;
(B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas;
(C) pelo menos uma bola desse saco é preta;
(D) pelo menos uma bola desse saco não é preta;
(E) nenhuma bola desse saco é branca.
RESOLUÇÃO:
Para ser mentira que todas as bolas são pretas, o que é o mínimo que
precisamos mostrar? É preciso mostrar que nenhuma bola é preta? Não. Basta
encontrar alguma bola que NÃO seja preta. Assim, podemos concluir que:
“alguma bola não é preta”
ou
“existe bola que não é preta”
ou
“pelo menos uma bola não é preta”
Temos esta última opção na alternativa D.
Resposta: D
1.3
Operações
lógicas
sobre
proposições:
negação
de
proposições
compostas
Quando temos alguma das proposições compostas (conjunção, disjunção,
disjunção exclusiva, condicional ou bicondicional), podemos utilizar o mesmo truque
para obter a sua negação: buscar uma forma de desmentir quem estivesse falando
aquela frase. Vejamos alguns exemplos:
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a) Conjunção: “Chove hoje e vou à praia”. Se João nos diz essa frase, ele está
afirmando que as duas coisas devem ocorrer (se tiver dúvida, retorne à tabelaverdade da conjunção). Isto é, para desmenti-lo, bastaria provar que pelo menos
uma delas não ocorre. Isto é, a primeira coisa não ocorre ou a segunda coisa não
ocorre (ou mesmo as duas não ocorrem). Veja que para isso podemos usar uma
disjunção, negando as duas proposições simples como aprendemos no item
anterior: “Não chove hoje ou não vou à praia”. Da mesma forma, se João tivesse
dito “Todo nordestino é forte e nenhum gato é preto”, poderíamos negar utilizando
uma disjunção, negando as duas proposições simples: “Algum nordestino não é
forte ou algum gato é preto”.
b) Disjunção: “Chove hoje ou vou à praia”. Essa afirmação é verdadeira se pelo
menos uma das proposições simples for verdadeira. Portanto, para desmentir quem
a disse, precisamos provar que as duas coisas não acontecem, isto é, as duas
proposições são falsas. Assim, a negação seria uma conjunção: “Não chove hoje e
não vou à praia”. Já a negação de “Todo nordestino é forte ou nenhum gato é preto”
seria “Algum nordestino não é forte e algum gato é preto”.
c) Disjunção exclusiva: “Ou chove hoje ou vou à praia”.
Recorrendo à tabela-
verdade, você verá que a disjunção exclusiva só é verdadeira se uma, e apenas
uma das proposições é verdadeira, sendo a outra falsa. Assim, se mostrássemos
que ambas são verdadeiras, ou que ambas são falsas, estaríamos desmentindo o
autor da frase. Para isso, podemos usar uma bicondicional: “Chove hoje se e
somente se eu vou à praia”. Veja que esta frase indica que ou acontecem as duas
coisas (chover e ir à praia) ou não acontece nenhuma delas.
d) Condicional: “Se chove hoje, então vou à praia”. Lembra-se que a condicional só
é falsa caso a condição (p) seja verdadeira e o resultado (q) seja falso? Portanto, é
justamente isso que deveríamos provar se quiséssemos desmentir o autor da frase.
A seguinte conjunção nos permite negar a condicional: “Chove hoje e não vou à
praia”.
e) Bicondicional: “Chove hoje se e somente se vou à praia”. O autor da frase está
afirmando que as duas coisas (chover e ir à praia) devem ocorrer juntas, ou então
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nenhuma delas pode ocorrer. Podemos desmenti-lo provando que uma das coisas
ocorre (é verdadeira) enquanto a outra não (é falsa). A disjunção exclusiva nos
permite fazer isso: “Ou chove hoje, ou vou à praia”.
Veja na tabela abaixo as principais formas de negação de proposições
compostas:
Proposição composta
Negação
Conjunção ( p q )
Disjunção ( ~ p ~ q )
Ex.: Chove hoje e vou à praia
Ex.: Não chove hoje ou não vou à praia
Disjunção ( p q )
Conjunção ( ~ p ~ q )
Ex.: Chove hoje ou vou à praia
Ex.: Não chove hoje e não vou à praia
Disjunção exclusiva (p v q)
Bicondicional ( p q )
Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia
Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia
Condicional ( p q )
Conjunção ( p ~ q )
Ex.: Se chove hoje, então vou à praia
Ex.: Chove hoje e não vou à praia
Bicondicional ( p q )
Disjunção exclusiva (p v q)
Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia.
Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia
Outra forma de negar a bicondicional é escrevendo outra bicondicional,
porém negando uma das proposições simples. Por exemplo, p ~ q é uma forma
alternativa de negar p q . Esta negação pode ser escrita como “Chove se e
somente se NÃO vou à praia).
Comece a exercitar a negação de proposições compostas a partir da questão
abaixo:
3. VUNESP – MP/SP – 2016) Dada a proposição: “Se Daniela pratica natação ou
ensaia no coral, então é quarta-feira e não é feriado”, sua negação pode ser
(A) Daniela não pratica natação e não ensaia no coral, e é quarta-feira e não é
feriado.
(B) Se Daniela não pratica natação ou não ensaia no coral, então não é quarta-feira
e é feriado.
(C) Daniela pratica natação ou ensaia no coral, e não é quarta-feira ou é feriado.
(D) Se não é quarta-feira ou é feriado, então Daniela não pratica natação e não
ensaia no coral.
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(E) Se Daniela não pratica natação e não ensaia no coral, então não é quarta-feira
ou é feriado.
RESOLUÇÃO:
A frase do enunciado é uma condicional do tipo (p ou q) (r e s), onde,
p = Daniela pratica natação
q = Daniela ensaia no coral
r = é quarta-feira
s = não é feriado
Chamando “p ou q” de A e “r e s” de B, a frase do enunciado é AB. A sua
negação é dada por “A e ~B”, onde:
B=res
~B = ~(r e s)
Como a negação da conjunção “r e s” é a disjunção “~r ou ~s”. Assim,
~B = ~r ou ~s
Assim, temos:
A e ~B = (p ou q) e (~r ou ~s)
Veja que:
~r = NÃO é quarta-feira
~s = É feriado
Assim, ficamos com:
(p ou q) e (~r ou ~s) =
“Daniela pratica natação ou ensaia no coral, E não é quarta feira OU é feriado”
Resposta: C
1.4 Tabela-verdade
Alguns exercícios podem exigir que você saiba construir a tabela-verdade de
proposições compostas. Para exemplificar, veja a proposição A [(~ B ) C ] . A
primeira coisa que você precisa saber é que a tabela-verdade desta proposição terá
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sempre 2n linhas, onde n é o número de proposições simples envolvidas. Como só
temos 3 proposições simples (A, B e C), esta tabela terá 23, ou seja, 8 linhas.
Para montar a tabela verdade de uma expressão como A [(~ B ) C ] ,
devemos começar criando uma coluna para cada proposição e, a seguir, colocar
todas as possibilidades de combinações de valores lógicos (V ou F) entre elas:
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
de A
de B
de C
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Agora, note que em A [(~ B ) C ] temos o termo ~B entre parênteses.
Devemos, portanto, criar uma nova coluna na nossa tabela, inserindo os valores de
~B. Lembre-se que os valores de não-B são opostos aos valores de B (compare as
colunas em amarelo):
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
de A
de B
de C
de ~B
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
Agora que já temos os valores lógicos de ~B, e também temos os de C,
podemos criar os valores lógicos da expressão entre colchetes: [(~ B ) C ] . Observe
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P
A
L
A
que se trata de uma conjunção (“e”), que só tem valor lógico V quando ambos os
membros (no caso, ~B e C) são V:
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
de A
de B
de C
de ~B
de [(~ B ) C ]
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
Agora que já temos os valores lógicos de A e também os valores lógicos de
[(~ B ) C ] , podemos analisar os valores lógicos da disjunção A [(~ B ) C ] .
Lembre-se que uma disjunção só é F quando ambos os seus membros são F
(marquei esses casos em amarelo):
Valor
Valor
Valor
Valor
Valor lógico
Valor lógico
lógico de
lógico de
lógico de
lógico de
de
de
A
B
C
~B
[(~ B ) C ]
A [(~ B ) C ]
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
Assim, podemos omitir a 4ª e 5ª coluna, de modo que a tabela-verdade da
expressão A [(~ B ) C ] é:
P
A
L
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P
A
Valor
Valor
Valor
Valor lógico
lógico de
lógico de
lógico de
de
A
B
C
A [(~ B ) C ]
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
L
A
Veja que essa tabela nos dá os valores lógicos da expressão A [(~ B ) C ]
para todos os possíveis valores das proposições simples que a compõem (A, B e
C).
1.5 Tautologias e contradições. Princípio de substituição.
Ao construir tabelas-verdade para expressões, como fizemos acima,
podemos verificar que uma determinada expressão sempre é verdadeira,
independente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Tratase de uma tautologia. Por outro lado, algumas expressões podem ser sempre
falsas, independente dos valores das proposições que a compõem. Neste caso,
estaremos diante de uma contradição. Vejamos alguns exemplos:
a) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito e não sou bonito). Pela
simples análise desse exemplo, já vemos uma contradição (não dá para ser bonito e
não ser ao mesmo tempo). Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que
ela é falsa para todo valor lógico de p:
Valor lógico de p
Valor lógico de ~p
Valor lógico de
p ~ p
P
A
V
F
F
F
V
F
L
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P
A
L
A
Obs.: notou que essa tabela-verdade possui apenas duas linhas? Isso porque temos
apenas 1 proposição simples (p), e 21 = 2.
b) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito ou não sou bonito). Pela
simples análise desse exemplo, já vemos uma tautologia (essa frase sempre será
verdadeira, independente da minha beleza). Olhando na coluna da direita dessa
tabela, vemos que ela é verdadeira para todo valor lógico de p:
Valor lógico de p
Valor lógico de ~p
Valor lógico de
p ~ p
V
F
V
F
V
V
Pratique o que discutimos até aqui através da questão a seguir.
4. ESAF – Mtur – 2014) Assinale qual das proposições das opções a seguir é uma
tautologia.
a) p q q
b) p q q
c) p q q
d) ( p q ) q
e) p q q
RESOLUÇÃO:
Para ser uma tautologia, não pode haver uma situação onde a proposição
resulta em valores lógicos falsos. Vejamos:
a) p q q
Não é tautologia, pois quando p é V e q é F temos VF, que é FALSO.
b) p q q
É uma tautologia. Construa a tabela-verdade desta proposição para
confirmar. Você verá algo assim:
P
A
L
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P
A
L
P
Q
P^Q
P^QQ
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
A
c) p q q
Não é tautologia, pois quando p é F e q é V temos F<==>V, que é FALSO.
d) ( p q) q
Não é tautologia, pois quando p e q são ambas F, ficamos com FvF, que é
FALSO.
e) p q q
Não é tautologia, pois quando p é V q é F temos VF, que é FALSO.
RESPOSTA: B
Vale dizer que a maioria das proposições pode admitir valor V em algumas
linhas da tabela-verdade e F em outras linhas. Assim, elas não são nem tautologias
e nem contradições. Chamamos essas proposições de contingências. Por exemplo,
uma condicional pq é uma contingência, pois sua tabela-verdade possui valores V
e valores F, como já vimos anteriormente nesta aula:
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de Se p,
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
então q ( p q )
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
1.5.1 Princípio de substituição
Suponha a tautologia:
A: (pq)v(qp)
P
A
L
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P
A
L
A
Agora imagine a proposição:
B : p^q
C : pvq
Se substituirmos p e q na proposição A por B e C, ficamos com:
(BC)v(CB)
Substituindo B por p^q e substituindo C por pvq, temos:
[(p^q)(pvq)]v[(pvq)(p^q)]
O princípio da substituição nos diz que esta proposição acima TAMBÉM é
uma tautologia. Resumidamente: se eu tenho uma tautologia A, formada pelas
proposições simples p e q, e crio duas proposições compostas quaisquer B e C,
também formadas pelas mesmas proposições simples, eu posso substituir p e q na
tautologia A pelas proposições compostas B e C e, com isso, a proposição obtida ao
final também será uma tautologia.
Cá entre nós: eu nunca vi isso ser efetivamente cobrado em provas! Mas está
no seu edital...
1.6 Equivalência lógica
Dizemos que duas proposições lógicas são equivalentes quando elas
possuem a mesma tabela-verdade. Como exemplo, vamos verificar se as
proposições p q e ~ q ~ p são equivalentes.
Faremos isso calculando a tabela verdade das duas, para poder compará-las.
Mas intuitivamente você já poderia ver que elas são equivalentes. Imagine que
p q é “Se chove, então vou à praia”. Sabemos que se a condição (chove) ocorre,
necessariamente o resultado (vou à praia) ocorre. Portanto, se soubermos que o
resultado não ocorreu (não vou à praia), isso implica que a condição não pode ter
ocorrido (não chove). Isto é, podemos dizer que “Se não vou à praia, então não
chove”. Ou seja, ~ q ~ p .
A tabela-verdade de p q encontra-se abaixo. Calcule-a sozinho, para
exercitar:
P
A
L
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P
Valor
Valor
Valor
lógico de
lógico de q
lógico de
A
L
A
pq
p
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Já a tabela-verdade de ~ q ~ p foi obtida abaixo:
Valor
Valor
Valor
Valor
Valor lógico
lógico de
lógico de q
lógico de
lógico de
de ~ q ~ p
~q
~p
p
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
Repare na coluna da direita de cada tabela. Percebeu que são iguais? Isso
nos permite afirmar que ambas as proposições compostas são equivalentes.
Veja ainda a tabela verdade de ~p ou q:
Valor lógico
Valor
Valor lógico
Valor lógico
de p
lógico de q
de ~p
de ~p ou q
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
Perceba que a tabela-verdade de ~p ou q é igual às duas anteriores (pq e
~q~p). Assim, essas 3 proposições são equivalentes.
Não usei este exemplo à toa. Ele cai bastante em concursos, portanto é bom
você gravar: ( p q ), ( ~ q ~ p ) e (~p ou q) são proposições equivalentes!!!
Veja as questões abaixo para começar a treinar as equivalências lógicas:
P
A
L
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P
A
L
A
5. ESAF – ANAC – 2016) A proposição “se o voo está atrasado, então o aeroporto
está fechado para decolagens” é logicamente equivalente à proposição:
a) o voo está atrasado e o aeroporto está fechado para decolagens.
b) o voo não está atrasado e o aeroporto não está fechado para decolagens.
c) o voo está atrasado, se e somente se, o aeroporto está fechado para decolagens.
d) se o voo não está atrasado, então o aeroporto não está fechado para decolagens.
e) o voo não está atrasado ou o aeroporto está fechado para decolagens.
RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado a condicional pq onde:
p = o voo está atrasado
q = o aeroporto está fechado para decolagens
Veja que podemos escrever as negações:
~p = o voo não está atrasado
~q = o aeroporto não está fechado para decolagens
Sabemos que pq é equivalente tanto a ~q~p como a ~pvq. Vamos
escrever as duas:
~q~p:
“Se o aeroporto não está fechado para decolagens, então o voo não está atrasado”
~pvq:
“O voo não está atrasado ou o aeroporto está fechado para decolagens”
Temos esta última na alternativa E, que é o gabarito.
Resposta: E
1.7 Condição necessária e condição suficiente
Quando temos uma condicional pq, sabemos que se a condição p
acontecer, com certeza o resultado q deve acontecer (para que pq seja uma
proposição verdadeira). Portanto, podemos dizer que p acontecer é suficiente para
afirmarmos que q acontece. Em outras palavras, p é uma condição suficiente para
q.
Por exemplo, se dissermos “Se chove, então o chão fica molhado”, é
suficiente saber que chove para afirmarmos que o chão fica molhado. Chover é uma
P
A
L
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P
A
L
A
condição suficiente para que o chão fique molhado. Por outro lado, podemos dizer
que sempre que chove, o chão fica molhado. É necessário que o chão fique
molhado para podermos afirmar chove. Portanto, “o chão fica molhado” é uma
condição necessária para podermos dizer que chove (se o chão estivesse seco,
teríamos certeza de que não chove). Ou seja, q é uma condição necessária para p.
Resumidamente, quando temos uma condicional pq, podemos afirmar que
p é suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p.
Por outro lado, quando temos uma bicondicional p q , podemos dizer que
p é necessária e suficiente para q, e vice-versa. Para a proposição “Chove se e
somente se o chão fica molhado” ser verdadeira, podemos dizer que é preciso
(necessário) que chova para que o chão fique molhado. Não é dada outra
possibilidade. E é suficiente saber que chove para poder afirmar que o chão fica
molhado. Da mesma forma, é suficiente saber que o chão ficou molhado para
afirmar que choveu; e a única possibilidade de ter chovido é se o chão tiver ficado
molhado, isto é, o chão ter ficado molhado é necessário para que tenha chovido.
1.8 Sentenças abertas
Sentenças abertas são aquelas que possuem uma ou mais variáveis, como o
exemplo abaixo (do tipo pq):
“Se 2X é divisível por 5, então X é divisível por 5”
Temos a variável X nessa frase, que pode assumir diferentes valores. Se X
for igual a 10, teremos:
“Se 20 é divisível por 5, então 10 é divisível por 5”
Esta frase é verdadeira, pois p é V e q é V. Se X = 11, teremos:
“Se 22 é divisível por 5, então 11 é divisível por 5”
Esta frase é verdadeira, pois p é F e q também é F. Já se X = 12.5, teremos:
“Se 25 é divisível por 5, então 12.5 é divisível por 5”
Agora a frase é falsa, pois p é V e q é F!
P
A
L
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P
A
L
A
Portanto, quando temos uma sentença aberta, não podemos afirmar de
antemão que ela é verdadeira ou falsa, pois isso dependerá do valor que as
variáveis assumirem. Assim, uma sentença aberta não é uma proposição (só será
uma proposição após definirmos o valor da variável).
Trabalhe o conceito de sentenças abertas na questão a seguir.
6. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x+y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS:
a) I é uma sentença aberta
b) II é uma sentença aberta
c) I e II são sentenças abertas
d) I e III são sentenças abertas
e) II e III são sentenças abertas
RESOLUÇÃO:
Uma sentença aberta é aquela que possui uma variável cujo valor pode
tornar a proposição V ou F. O caso clássico é aquele presente na alternativa II.
Dependendo dos valores atribuídos às variáveis x e y, a proposição pode ser V ou
F. Entretanto, a alternativa I também é uma sentença aberta. Isto porque,
dependendo de quem for “Ele”, a proposição pode ser V ou F. Precisamos saber
quem é a pessoa referida pelo autor da frase para atribuir um valor lógico.
Resposta: C
1.9 Recíproca, contrária e contrapositiva de uma proposição condicional.
Quando temos uma proposição condicional do tipo PQ, podemos definir a
sua recíproca, contrária e contrapositiva. Para exemplificar, vamos considerar a
condicional “Se estudo, então sou aprovado”. Temos o seguinte:
a) Recíproca: QP. Veja que basta inverter a ordem, trocando a condição e o
resultado (ou o antecedente e o consequente) da proposição original.
Teríamos, neste caso: “Se sou aprovado, então estudo”.
P
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P
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b) Contrária: ~P~Q. Aqui nós mantivemos a ordem, mas negamos as duas
proposições simples. Em nosso exemplo, ficaríamos com: “Se não estudo,
então não sou aprovado”.
c) Contrapositiva: ~Q~P. Veja que não só trocamos a ordem das proposições,
mas também negamos as duas. Em nosso exemplo: “Se não sou aprovado,
então não estudo”.
Conhecendo a recíproca, contrária e contrapositiva, você pode reparar o
seguinte: a proposição condicional PQ é equivalente à sua contrapositiva ~Q~P,
mas não é equivalente à sua recíproca nem à sua contrária.
Observe ainda que a recíproca de uma condicional (QP) é equivalente à
contrária (~P~Q).
Agora é hora de praticar tudo o que vimos até aqui, resolvendo uma bateria
de questões.
P
A
L
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P
A
L
A
2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
Começaremos a nossa bateria trabalhando questões recentes de diversos
concursos. Finalizaremos com uma bateria de questões da ESAF. Bons estudos!
7. FCC – TRF/3ª – 2016) Considere, abaixo, as afirmações e o valor lógico atribuído
a cada uma delas entre parênteses.
− Ou Júlio é pintor, ou Bruno não é cozinheiro (afirmação FALSA).
− Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é pintor (afirmação FALSA).
− Bruno é cozinheiro ou Antônio não é pedreiro (afirmação VERDADEIRA).
A partir dessas afirmações,
(A) Júlio não é pintor e Bruno não é cozinheiro.
(B) Antônio é pedreiro ou Bruno é cozinheiro.
(C) Carlos é marceneiro e Antônio não é pedreiro.
(D) Júlio é pintor e Carlos não é marceneiro.
(E) Antônio é pedreiro ou Júlio não é pintor.
RESOLUÇÃO:
Note que para a condicional ser falsa é preciso termos VF. Assim,
analisando a proposição “Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é pintor” (que é
falsa), vemos que:
“Carlos é marceneiro” é V
“Júlio não é pintor” é F, de modo que Júlio é pintor.
Para a disjunção exclusiva da primeira proposição ser Falsa, precisamos ter
V-V ou F-F. Como “Júlio é pintor” é V, precisamos que também seja verdade que
Bruno não é cozinheiro.
Deste modo, “Bruno é cozinheiro” é F, de modo que para a terceira
proposição (que é uma disjunção simples) ser V precisamos que “Antônio não é
pedreiro” seja V.
Com base nas informações sublinhadas, podemos marcar a alternativa C.
Resposta: C
8. FGV – MRE – 2016) Considere a sentença: “Corro e não fico cansado”. Uma
sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é:
P
A
L
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P
A
L
A
(A) Se corro então fico cansado.
(B) Se não corro então não fico cansado.
(C) Não corro e fico cansado.
(D) Corro e fico cansado.
(E) Não corro ou não fico cansado.
RESOLUÇÃO:
No enunciado temos uma conjunção “p e ~q” onde p = corro e ~q = não fico
cansado. Sabemos que “p e ~q” é a negação da condicional pq. Portanto, uma
forma de escrever a negação de “p e ~q” é justamente escrever a condicional pq,
onde:
q = fico cansado
Assim, pq seria:
Se corro, então fico cansado
Resposta: A
9. UFG – ISS/Goiânia – 2016) Considere verdadeira a informação “se a empresa A
dobrar seu capital então a empresa B vai triplicar o seu capital”, e falsa a informação
“a empresa A vai dobrar o seu capital e a empresa B vai triplicar seu capital”.
Nessas condições, necessariamente a empresa
(A) A vai dobrar seu capital.
(B) A não vai dobrar seu capital.
(C) B vai triplicar seu capital.
(D) B não vai triplicar seu capital.
RESOLUÇÃO:
A proposição “a empresa A vai dobrar o seu capital e a empresa B vai triplicar
seu capital” é uma conjunção do tipo “p e q”. Se ela é falsa, então a sua negação é
verdadeira. Sua negação é dada por “~p ou ~q”, ou seja,
“a empresa A não vai dobrar o seu capital OU a empresa B não vai triplicar seu
capital”
Ficamos com duas premissas verdadeiras:
P1: “se a empresa A dobrar seu capital então a empresa B vai triplicar o seu capital”
P
A
L
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P
A
L
A
P2: “a empresa A não vai dobrar o seu capital OU a empresa B não vai triplicar seu
capital”
Repare que se “a empresa A dobrar seu capital” for V, então “a empresa B
vai triplicar o seu capital” precisaria ser V também para P1 ser verdadeira. Mas isso
torna P2 falsa. Assim, precisamos que “a empresa A dobrar seu capital” seja F. Isto
já torna P1 e P2 verdadeiras. Em outras palavras, podemos dizer que a empresa A
não vai dobrar seu capital.
Resposta: B
10. FGV – TJ/PI – 2015) Considere a afirmação:
“Mato a cobra e mostro o pau”
A negação lógica dessa afirmação é:
(A) não mato a cobra ou não mostro o pau;
(B) não mato a cobra e não mostro o pau;
(C) não mato a cobra e mostro o pau;
(D) mato a cobra e não mostro o pau;
(E) mato a cobra ou não mostro o pau.
RESOLUÇÃO:
Temos uma conjunção “p e q” no enunciado, onde p = mato a cobra, e q =
mostro o pau. A sua negação é dada pela disjunção ~p ou ~q, onde:
~p = não mato a cobra
~q = não mostro o pau
Assim, ~p ou ~q é:
“Não mato a cobra ou não mostro o pau”
Resposta: A
11. FGV – TJ/PI – 2015) Considere a sentença: “Se gosto de capivara, então gosto
de javali”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é:
(A) Se não gosto de capivara, então não gosto de javali.
(B) Gosto de capivara e gosto de javali.
(C) Não gosto de capivara ou gosto de javali.
(D) Gosto de capivara ou não gosto de javali.
P
A
L
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P
A
L
A
(E) Gosto de capivara e não gosto de javali.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional pq onde p = “gosto de capivara” e q = “gosto de
javali”. Isto equivale a ~q~p e a ~pvq, como estudamos, onde:
~p = não gosto de capivara
~q = não gosto de javali
Assim, as proposições equivalentes “manjadas” são:
~q~p : “Se não gosto de javali, então não gosto de capivara”
~pvq : “Não gosto de capivara ou gosto de javali”
Temos esta última na alternativa C.
Resposta: C
12. FGV – TJ/PI – 2015) Barbosa afirmou: “Todo cidadão brasileiro tem direito à
educação e à saúde”. A negação lógica dessa sentença é:
(A) Nenhum cidadão brasileiro tem direito à educação e à saúde.
(B) Nenhum cidadão brasileiro tem direito à educação ou à saúde.
(C) Todo cidadão brasileiro não tem direito à educação e à saúde.
(D) Algum cidadão brasileiro não tem direito à educação ou à saúde.
(E) Algum cidadão brasileiro não tem direito à educação nem à saúde.
RESOLUÇÃO:
Se alguém nos diz que todo brasileiro tem direito à educação e saúde, qual é
o mínimo que precisamos demonstrar para provar que esta frase é mentirosa?
Basta encontrar algum brasileiro que não tenha direito à educação ou não tenha
direito à saúde, certo? Portanto, podemos negar a frase dizendo:
“Algum/pelo menos um brasileiro NÃO tem direito à educação ou à saúde”
Resposta: D
13. FGV – TJSC – 2015) Considere a sentença: “Se cometi um crime, então serei
condenado”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é:
(A) Não cometi um crime ou serei condenado.
(B) Se não cometi um crime, então não serei condenado.
(C) Se eu for condenado, então cometi um crime.
P
A
L
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P
A
L
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(D) Cometi um crime e serei condenado.
(E) Não cometi um crime e não serei condenado.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional pq no enunciado, onde:
p = cometi um crime
q = serei condenado
Ela é equivalente a “~q~p” e também a “~p ou q”. Para isso, note que:
~p = NÃO cometi um crime
~q = NÃO serei condenado
Assim, temos as equivalências “~q~p” e “~p ou q” abaixo:
“Se NÃO for condenado, então NÃO cometi um crime”
e
“NÃO cometi um crime OU serei condenado”
Temos esta última na alternativa A.
Resposta: A
14. FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere a afirmação: Se os impostos sobem,
então o consumo cai e a inadimplência aumenta. Uma afirmação que corresponde à
negação lógica dessa afirmação é
(A) Se os impostos não sobem, então o consumo aumenta e a inadimplência cai.
(B) Os impostos não sobem e o consumo não cai e a inadimplência não aumenta.
(C) Se os impostos não sobem, então o consumo não cai e a inadimplência não
aumenta.
(D) Se o consumo não cai ou a inadimplência não aumenta, então os impostos não
sobem.
(E) Os impostos sobem e o consumo não cai ou a inadimplência não aumenta.
RESOLUÇÃO:
A afirmação do enunciado é a proposição condicional p-->(q e r), onde:
p = os impostos sobem
q = o consumo cai
r = a inadimplência aumenta
P
A
L
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P
A
L
A
Uma forma de negar essa proposição é escrevendo "p e ~(q e r)". Repare
que ~(q e r) é o mesmo que (~q ou ~r). Portanto, uma forma de escrever a
negação lógica da proposição do enunciado é "p e (~q ou ~r)", onde:
~q = o consumo não cai
~r = inadimplência não aumenta
Portanto, "p e (~q ou ~r)" é simplesmente:
Os impostos sobem e o consumo não cai ou a inadimplência não aumenta.
RESPOSTA: E
15. FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere as afirmações sobre Alberto, Bruno,
César e Dario sendo que cada um toca apenas um instrumento.
I. Alberto é pianista ou Bruno é saxofonista.
II. Bruno é saxofonista ou César é violinista.
III. Se César é violinista, então Dario é clarinetista.
Dentre essas afirmações, sabe-se que são verdadeiras I e III e que a II é falsa.
Deste modo,
(A) Dario é clarinetista e Bruno é saxofonista.
(B) Se Dario é clarinetista, então Alberto não é pianista.
(C) César é violinista ou Alberto é pianista.
(D) Bruno não é saxofonista e Dario não é clarinetista.
(E) Se César não é violinista, então Bruno é saxofonista.
RESOLUÇÃO:
Como a segunda afirmação é falsa, podemos dizer que a sua negação é
verdadeira. Ou seja:
Bruno não é saxofonista e César não é violinista.
Sabendo que Bruno não é saxofonista,
para que a primeira frase seja
verdadeira é necessário que Alberto seja pianista.
Sabendo que César não é
violinista, a terceira frase já é uma condicional verdadeira (pois o antecedente é F),
de modo que Dário pode ser ou não ser clarinetista. Analisando as alternativas de
resposta:
P
A
L
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P
A
L
A
(A) Dario é clarinetista e Bruno é saxofonista.
Falso,
pois Dário pode ser ou não ser clarinetista,
e Bruno não é
saxofonista.
(B) Se Dario é clarinetista, então Alberto não é pianista.
Falso,
pois Alberto é pianista,
mesmo que Dário seja efetivamente um
clarinetista.
(C) César é violinista ou Alberto é pianista.
Essa disjunção é verdadeira, pois sabemos que Alberto é pianista. Este é o
nosso gabarito.
(D) Bruno não é saxofonista e Dario não é clarinetista.
Não temos certeza se Dário é ou não é clarinetista,
de modo que essa
conjunção pode ser falsa.
(E) Se César não é violinista, então Bruno é saxofonista.
Observando os valores lógicos das proposições que encontramos,
esta
condicional pode ser representada por V-->F, o que é uma condicional falsa.
RESPOSTA: C
16. FUNIVERSA – POLÍCIA CIENTÍFICA/GO – 2015) Considerando que P e Q
sejam proposições simples e que os significados dos símbolos “P Q = P e Q”,
“P Q = se P, então Q” e “P Q = P se e somente se Q”, a partir da tabela abaixo,
é possível construir a tabela-verdade da proposição P Q.
Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna
correspondente à proposição P Q, na ordem que aparecem, de cima pra baixo.
a) VFVF
b) FVFV
c) VVFF
d) VFFV
e) FFVV
P
A
L
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P
A
L
A
RESOLUÇÃO:
Sabemos que uma bicondicional só é verdadeira quando ambas as
proposições simples são verdadeiras ou ambas as proposições simples são falsas,
o que ocorre na primeira e na última linhas. Nas demais linhas a bicondicional é
falsa. Assim ficamos com a ordem V F F V.
RESPOSTA: D
17. VUNESP – TCE/SP – 2015) Uma equivalente para a afirmação “Se Carlos foi
aprovado no concurso, então ele estudou” está contida na alternativa:
(A) Carlos não foi aprovado no concurso e não estudou.
(B) Se Carlos não estudou, então ele não foi aprovado no concurso.
(C) Carlos foi aprovado no concurso e não estudou.
(D) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não estudou.
(E) Carlos estudou e não foi aprovado no concurso.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional p–>q, onde:
p = Carlos foi aprovado no concurso
q = ele estudou
Esta condicional é equivalente a ~q–>~p, onde:
~p = Carlos NÃO foi aprovado no concurso
~q = ele NÃO estudou
Portanto, ~q–>~p pode ser escrita assim:
“Se Carlos NÃO estudou, então ele NÃO foi aprovado no concurso”
RESPOSTA: B
18. VUNESP – TCE/SP – 2015) Uma negação para a afirmação “Carlos foi
aprovado no concurso e Tiago não foi aprovado” está contida na alternativa:
(A) Tiago foi aprovado no concurso ou Carlos não foi aprovado.
(B) Carlos não foi aprovado no concurso e Tiago foi aprovado.
(C) Tiago não foi aprovado no concurso ou Carlos foi aprovado.
(D) Carlos e Tiago foram aprovados no concurso.
(E) Carlos e Tiago não foram aprovados no concurso.
P
A
L
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P
A
L
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RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado uma conjunção do tipo “P e Q”, onde:
P = Carlos foi aprovado no concurso
Q = Tiago não foi aprovado
A negação desta conjunção é expressa pela disjunção “~P ou ~Q”, onde:
~P = Carlos NÃO foi aprovado no concurso
~Q = Tiago FOI aprovado
Assim, escrevemos a negação “~P ou ~Q” assim:
“Carlos NÃO foi aprovado no concurso OU Tiago FOI aprovado”
A ordem dos termos não faz diferença em uma disjunção. Logo, esta frase é
equivalente a
“Tiago FOI aprovado no concurso OU Carlos NÃO foi aprovado”
RESPOSTA: A
19. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere a afirmação: Se
Adélia vence a eleição, então Gilmar continua membro da comissão. Do ponto de
vista lógico, uma afirmação equivalente é:
(A) Gilmar continua membro da comissão e Adélia vence a eleição.
(B) Adélia não vence a eleição ou Gilmar continua membro da comissão.
(C) Se Gilmar continua membro da comissão, então Adélia vence a eleição.
(D) Ou Gilmar continua membro da comissão ou Adélia vence a eleição.
(E) Se Adélia não vence a eleição, então Gilmar não continua membro da comissão.
RESOLUÇÃO:
Bastava lembrar que p
q é equivalente a ~p ou q. No enunciado temos
pq, onde p = “Adélia vence” e q = “Gilmar continua”. Assim, ~p é “Adélia não
vence”, de modo que “~p ou q” é “Adélia não vence OU Gilmar continua”, como
vemos na alternativa B.
RESPOSTA: B
P
A
L
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A
L
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20. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere a afirmação:
Estudei muito e passei no concurso, ou minha preguiça foi maior. Uma afirmação
que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é
(A) Não estudei muito ou não passei no concurso, e minha preguiça não foi maior.
(B) Se não estudei muito então minha preguiça foi maior e não passei no concurso.
(C) Minha preguiça foi maior e não passei no concurso, e não estudei muito.
(D) Não estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi maior.
(E) Estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi maior.
RESOLUÇÃO:
Estamos diante da disjunção:
(estudei e passei) OU (preguiça foi maior)
A sua negação é:
(não estudei ou não passei) E (preguiça não foi maior)
Temos isso na alternativa A.
RESPOSTA: A
21. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo prefeito de
uma grande capital.
Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das
passagens de ônibus será reajustado.
Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é:
(A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o preço das
passagens de ônibus não será reajustado.
(B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das
passagens de ônibus não será reajustado.
(C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação não terá
caído ou o preço do óleo diesel terá
P
A
L
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P
A
L
A
aumentado.
(D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá
caído ou o preço do óleo diesel terá
aumentado.
(E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá
caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado.
RESOLUÇÃO:
Temos a proposição condicional que pode ser sintetizada assim:
(inflação não cair ou diesel aumentar) passagem reajustada
Essa proposição é do tipo (P ou Q) R, onde:
P = inflação não cair
Q = diesel aumentar
R = passagem reajustada
Essa proposição é equivalente a ~R~(P ou Q), que por sua vez é
equivalente a ~R (~P e ~Q), onde:
~P = inflação cair
~Q = diesel NÃO aumentar
~R = passagem NÃO SER reajustada
Escrevendo ~R-->(~P e ~Q), temos:
passagem não ser reajustada (inflação cai e diesel não aumenta)
Temos isso na alternativa E.
RESPOSTA: E
22. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Antes da rodada final do campeonato inglês de
futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das duas únicas equipes
com chances de serem campeãs, por meio da seguinte afirmação:
P
A
L
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P
A
L
A
“Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida e que o
Chelsea perca ou empate a sua.”
Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta informação
é: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele
(A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o
Chelsea empate a sua.”
(B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida ou o
Chelsea empate a sua.”
(C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o
Chelsea não vença a sua.”
(D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida e o
Chelsea empate a sua.”
(E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida ou o
Chelsea empate a sua.”
RESOLUÇÃO:
A proposição do enunciado pode ser resumida assim:
Arsenal vença E (Chelsea perca OU Chelsea empate)
Sabemos que a proposição composta "p E (q OU r)" é equivalente a "(p E q)
OU (p E r)". Escrevendo essa última, teríamos algo como:
(Arsenal vença E Chelsea perca) OU (Arsenal vença E Chelsea empate)
Temos isso na alternativa A.
RESPOSTA: A
23. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação:
Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada.
Para que essa afirmação seja FALSA:
P
A
L
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P
A
L
A
a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões
tenham sido tomadas.
b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão
tenha sido tomada.
c)
é
necessário
e
suficiente
que
alguma
decisão
tenha
sido
tomada,
independentemente da participação de ministros na reunião.
d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões
tenham sido tomadas.
e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma
decisão tenha sido tomada.
RESOLUÇÃO:
Essa afirmação do enunciado é uma disjunção (“ou”). Ela só será falsa se
ambas as proposições que a compõem sejam falsas. Vamos, portanto, obter a
negação de cada uma delas separadamente:
p: Pelo menos um ministro participará da reunião
Como negar uma proposição com “Pelo menos um”? Basta usar “Nenhum”.
Assim, temos: Nenhum ministro participará da reunião.
q: nenhuma decisão será tomada.
Podemos negar essa proposição dizendo: “Pelo menos uma decisão será
tomada”.
Como queremos que ambas as proposições sejam falsas, basta que a
conjunção abaixo seja verdadeira:
“Nenhum ministro participará da reunião e pelo menos uma decisão será tomada”.
Portanto, se sabemos que nenhum ministro participou da reunião e, mesmo
assim, 1 ou mais decisões foram tomadas, isto é suficiente para podermos afirmar
que a afirmação é FALSA. A alternativa A cita o caso em que sabemos que nenhum
ministro participou e, ainda assim, 2 decisões foram tomadas, o que é suficiente
para desmentir a afirmação do enunciado.
Resposta: A
P
A
L
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P
A
L
A
24. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas:
p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.
q: O trabalho enobrece.
A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para
crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando:
a) p é falsa e q é falsa.
b) p é verdadeira e q é verdadeira.
c) p é falsa e q é verdadeira.
d) p é verdadeira e q é falsa.
e) p é falsa ou q é falsa.
RESOLUÇÃO:
Veja que a afirmação dada pelo enunciado é: “Se não-q, então não-p”. Só há
1 forma dessa condicional ser FALSA: se a condição (não-q) for Verdadeira, porém
o resultado (não-p) for Falso.
Para que não-q seja Verdadeira, a sua negação (q) deve ser Falsa. E para
que não-p seja Falsa, a sua negação (p) deve ser Verdadeira.
Assim, p deve ser Verdadeira e q deve ser Falsa.
Resposta: D
25. FCC – ISS/SP – 2007) Considere a seguinte proposição:
“Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então
ele não progride na carreira.”
Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:
(A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou
ele participa de projetos de aperfeiçoamento.
(B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então
ele progride na carreira.
(C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de
aperfeiçoamento e não progride na carreira.
(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de
projetos de aperfeiçoamento.
(E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride
na carreira.
RESOLUÇÃO:
P
A
L
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P
A
L
A
Considere as duas proposições simples abaixo:
p = Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento
q = Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira.
Sendo assim, a frase do enunciado é a condicional pq. Esse é o caso mais
“manjado”, e você deve lembrar que as proposições
~ q ~ p e ~p ou q são
equivalentes a ela. Vamos escrever, portanto, essas duas últimas. Antes disso,
precisamos saber as negações simples ~p e ~q:
~p Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento
~q Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira
Desse modo, temos:
~ q ~ p Se um Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira, então ele participa
de projetos de aperfeiçoamento.
~p ou q Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento ou
não progride na carreira.
Analisando as alternativas, veja que a letra D se aproxima da frase que
escrevemos acima:
(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de
projetos de aperfeiçoamento.
Aqui você poderia dizer: a letra D tem uma disjunção exclusiva, e não a
disjunção inclusiva (~p ou q) que vimos acima. Muito cuidado com a disjunção
exclusiva. Analisando as demais alternativas de resposta, você não encontraria
nenhuma parecida com ~ q ~ p ou com (~p ou q). Assim, só resta “aceitar” que a
FCC está considerando que a expressão “ou..., ou...” da letra D refere-se a uma
disjunção inclusiva, e não à bicondicional.
Resposta: D
26. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra em relação a
seus funcionários:
Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano,
realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a gripe.
Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir que,
necessariamente, se um funcionário dessa empresa:
P
A
L
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P
A
L
A
a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe, então ele
tem mais de 45 anos de idade.
b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos anualmente ou não
toma a vacina contra a gripe.
c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele não tem 50
ou mais anos de idade.
d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame médico por
ano, além de tomar a vacina contra a gripe.
e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos dois anos,
então ele tem pelo menos 47 anos de idade.
RESOLUÇÃO:
A condicional do enunciado é:
Funcionário tem 45 ou mais faz exame E toma vacina
Para essa frase ser verdadeira, todos os funcionários com 45 ou mais anos
devem fazer exame e tomar vacina todo ano. Já quanto aos funcionários com
menos de 45 anos, nada foi afirmado: eles podem fazer ou não exame, e tomar ou
não a vacina.
Se uma pessoa não fez exame, ela não pode ter mais de 45 (pois se tivesse,
deveria obrigatoriamente ter feito exame). Portanto, você deve concordar que a
frase abaixo é correta:
"Se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 45 ou mais anos".
(da mesma forma, poderíamos dizer que "se um funcionário não tomou vacina,
então ele não tem 45 ou mais anos").
Entretanto, essa alternativa não aparece entre as opções de respostas. Mas
temos uma parecida na letra C:
"se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 50 ou mais anos"
Se você concordou com a frase anterior, deve concordar com essa também.
Isso porque se alguém não tem 45 ou mais anos, esse mesmo alguém também não
tem 50 ou mais anos. Isto é, podemos garantir que uma pessoa que não fez exame
TEM MENOS DE 50 ANOS, até porque poderíamos garantir que esta pessoa tem
menos de 45 anos.
Resposta: C.
P
A
L
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P
A
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A
27. FCC – SEFAZ/SP – 2006)Se p e q são proposições, então a proposição
p (~ q ) é equivalente a:
RESOLUÇÃO:
Observe que p (~ q ) é justamente a negação da condicional pq. Isto é,
podemos dizer que p (~ q ) é equivalente a ~(pq). Assim, já podemos marcar a
alternativa D.
Que tal praticarmos a resolução mais tradicional? Basta escrever a tabelaverdade das proposições. Teremos apenas 22 = 4 linhas, pois só temos 2
proposições simples:
P Q ~p ~q
p (~ q)
~ ( q ~ p )
~ ( p q)
~ ( p ~ q)
~ ( p q)
~ q ~ p
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
Repare que apenas a coluna de
~ ( p q) é
igual à de p (~ q) .
Resposta: D
28. FCC – SEFAZ/SP – 2006)Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é:
P
A
L
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P
A
L
A
RESOLUÇÃO:
Observe que a proposição composta que buscamos só é verdadeira quando
p é V e q é F. Lembrando que pq só é falsaneste mesmo caso, fica claro que a
proposição que buscamos é a negação de pq, ou seja:
~(pq)
Temos isto na alternativa E.
Resposta: E
29. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Das proposições abaixo, a única que é logicamente
equivalente a pq é:
RESOLUÇÃO:
Questão “manjada”, na qual você não pode perder tempo, mas também não
pode errar. Sabemos que pq é equivalente a “~p ou q” e também a ~q~p.
Temos esta última na alternativa C.
Resposta: C
30. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere as afirmações abaixo.
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II. A proposição “ (10 10) (8 3 6) ” é falsa.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “ p q (~ q ) ” é uma tautologia.
É verdade o que se afirma APENAS em:
a) I e II
P
A
L
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P
A
L
A
b) I e III
c) I
d) II
e) III
RESOLUÇÃO:
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
O número de linhas de uma tabela verdade é 2n, onde n é o número de
proposições simples. Isto é, 2x2x2...x2, n vezes. Este número certamente é divisível
por 2, isto é, é par. Item VERDADEIRO.
II. A proposição “ (10 10) (8 3 6) ” é falsa.
Temos uma bicondicional onde a primeira parte é falsa (pois 10 é maior que a
raíz quadrada de 10), e a segunda parte também é falsa (pois 8 – 3 = 5). Na tabelaverdade da bicondicional, veja que esta proposição composta é verdadeira quando
temos F F. Item FALSO.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “ p q (~ q ) ” é uma tautologia.
Para avaliar se temos uma tautologia, vamos construir a tabela verdade desta
proposição. Repare que temos 2 proposições simples (p e q), de modo que a tabelaverdade da proposição composta terá 22 = 4 linhas. A tabela, construída da
esquerda para a direita, fica assim:
Valor
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico de
Valor lógico de
lógico de p
de q
de ~q
p q
p q (~ q)
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
De fato a proposição p q (~ q ) possui valor lógico V para qualquer valor
das proposições simples p e q. Isto é, temos uma tautologia. Item VERDADEIRO.
Resposta: B
P
A
L
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P
A
L
A
31. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta.
a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente equivalente à
proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
c) As proposições ~ ( p q ) e (~ p ~ q) não são logicamente equivalentes
d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está
bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está
bom”.
e) A proposição ~ [ p ~ ( p q )] é logicamente falsa.
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada alternativa:
a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente equivalente à
proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
Sendo p = “está quente” e q = “usa camiseta”, temos:
pq
~p e q
Sabemos que pq é equivalente a “~p ou q”, mas não a “~p e q”. Veja que
se tivermos p e q Verdadeiras, teríamos pq com valor lógico V e “~p e q” com
valor lógico F. Item FALSO.
b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
Aqui devemos apelar aos nossos conhecimentos para afirmar que “Terra é
quadrada” e “Lua é triangular” são duas informações incorretas, isto é, Falsas. Mas,
em uma condicional, FF tem valor lógico verdadeiro, ao contrário do que afirma
este item. Item FALSO.
c) As proposições ~ ( p q ) e (~ p ~ q) não são logicamente equivalentes
Sabemos que a negação da conjunção p q , isto é, ~ ( p q ) , é justamente a
disjunção (~ p ~ q) . Portanto, é correto falar que ~ ( p q ) é equivalente a
(~ p ~ q ) , ao contrário do que o item afirma. Item FALSO.
P
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P
A
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d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está
bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está
bom”.
Sabemos que a negação de uma bicondicional (“se e somente se”) é feita
com um “ou exclusivo” (“ou..., ou...”). Item FALSO.
e) A proposição ~ [ p ~ ( p q )] é logicamente falsa.
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
p
q
pq
~ ( p q)
p ~ ( p q)
~ [ p ~ ( p q )]
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
De fato temos uma contradição, isto é, uma proposição que somente possui
valor lógico F. Item VERDADEIRO.
Resposta: E
32. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Seja a sentença ~ {[( p q ) r ] [q (~ p r )]} .
Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que:
a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F.
b) faltou informar o valor lógico de q e de r
c) essa sentença é uma tautologia
d) o valor lógico dessa sentença é sempre F
e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V.
RESOLUÇÃO:
Observe que, se p for F, podemos afirmar que a condicional pq é V. Com
isto, a disjunção ( p q ) r certamente é V. Por outro lado, ~p será V. Com isso, a
disjunção ~ p r certamente é V, de modo que a condicional q (~ p r ) também
é V.
Pelo que vimos acima, a bicondicional [( p q ) r ] [ q (~ p r )] é V pois
ela tem os valores lógicos V V . E a negação desta bicondicional, isto é,
~ {[( p q ) r ] [q (~ p r )]} , é Falsa.
P
A
L
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A
L
A
Isto nos permite afirmar que, quando p é F, a sentença é F. Temos isto na
letra A.
Resposta: A
33. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Dada a sentença
espaço
~ (~ p q r ) ,
complete o
com uma e uma só das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p,
~q ou ~r para que a sentença dada seja uma tautologia. Assinale a opção que
responde a essa condição.
a) Somente uma das três: ~p, q ou r
b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r
c) Somente q
d) Somente p
e) Somente uma das duas: q ou r
RESOLUÇÃO:
Como se trata de uma condicional, devemos focar a análise no caso onde o
resultado ~ (~ p q r ) é F, pois se ocorrer de a condição
ser V, a condicional
será falsa, deixando de ser uma tautologia.
Para ~ (~ p q r ) ser F, (~ p q r ) precisa ser V. E para a conjunção
(~ p q r ) ser V, é preciso que tanto ~p, q e r sejam V.
Neste caso, p, ~q e ~r seriam todas F. Se qualquer uma dessas três
estivesse no lugar de
,
teríamos uma tautologia, pois FF tem valor lógico
Verdadeiro:
p ~ (~ p q r )
~ q ~ (~ p q r )
~ r ~ (~ p q r )
Resposta: B
- SEFAZ/SP – 2006) Seja a sentença aberta A: (~ p p) e a
34. FCC
sentença aberta B: “Se o espaço
for ocupado por uma ...(I)..., a sentença A será
uma ...(II)...”. A sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos,
respectivamente, por:
P
A
L
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P
A
L
A
a) contingência e contradição
b) tautologia e contradição
c) tautologia e contingência
d) contingência e contingência
e) contradição e tautologia
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, observe que (~ p p ) é uma tautologia. Para qualquer valor
lógico de p (V ou F), esta disjunção é V. Assim, sabemos que na bicondicional
(~ p p) , o lado esquerdo é sempre V.
Se o lado direito também for ocupado por uma sentença que seja sempre V
(uma tautologia), a frase inteira será uma tautologia.
Já se o lado direito for ocupado por uma sentença que seja sempre F (uma
contradição), a frase inteira será uma contradição.
Por fim, se o lado direito for ocupado por uma sentença que possa ser V ou F
(uma contingência), a frase inteira será uma contingência.
Temos apenas este último caso na alternativa D.
Resposta: D
35. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma
mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa
característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo
V. Escreva uma poesia
A frase que não possui essa característica comum é a:
a) IV
b) V
c) I
P
A
L
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A
L
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d) II
e) III
RESOLUÇÃO:
Note que a frase IV é uma proposição, pois pode assumir os valores lógicos
V ou F. Entretanto, é impossível atribuir esses valores lógicos às demais frases, pois
temos pergunta (III), ordem ou pedido (V), e expressão de opiniões (I e II). Ou seja,
todas elas não são proposições.
Portanto, a única frase diferente é a da letra IV, por ser uma proposição, ao
contrário das demais.
Resposta: A
36. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere como conjunto universo o conjunto
dos números inteiros positivos menores ou iguais a vinte e quatro.
Neste universo, assinale o conjunto verdade da sentença aberta:
x2 < 30 ou x - 1 é divisor de 30
a) V = {1, 2, 4, 5, 6, 11, 16}
b) V = {2, 3, 4, 6, 7, 11, 16}
c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
d) V = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 15, 30}
e) V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
RESOLUÇÃO:
Temos uma disjunção formada por duas sentenças abertas simples:
x2 < 30 para isto, é preciso que x seja 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, afinal 62 = 36, que é
maior do que 30.
x - 1 é divisor de 30 os divisores de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30. Portanto, os
valores que x pode assumir são 2, 3, 4, 6, 7, 11, 16 e 31, de modo que x – 1 seja
divisor de 30.
P
A
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P
A
L
A
Unindo os conjuntos-verdade de cada sentença simples, temos:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16 e 31}
Como o enunciado disse para considerar apenas os números inteiros
positivos menores ou iguais a vinte e quatro, devemos cortar o 0 e o 31, ficando
com:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
Resposta: C
37. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere as proposições a e b e assinale a
expressão que é logicamente equivalente a (a^b)v(a^¬b)
a) ¬a^¬b
b) ¬av¬b
c) ¬avb
d) av¬b
e) a
RESOLUÇÃO:
Caso “a” seja V, b pode ser V ou F e ainda assim (a^b) será V ou então
(a^¬b) será V, e com isso a disjunção será V. Quando “a” é F, então tanto (a^b)
como (a^¬b) serão F, e com isso a disjunção será F.
Portanto, repare que a tabela-verdade desta proposição é simplesmente a
tabela-verdade de “a”, o que temos na alternativa E.
Resposta: E
38. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere as proposições x e y e assinale a
expressão que corresponde a uma tautologia.
a) x^¬x
b) [¬(xy)]^y
c)
d)
P
A
L
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L
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e)
RESOLUÇÃO:
Vejamos cada alternativa, em busca de uma tautologia:
a) x^¬x
Repare que temos uma contradição (x e não-x).
b) [¬(xy)]^y
Podemos reescrever a negação ¬(xy) com a expressão (x^¬y). Assim, a
expressão desta alternativa é:
(x^¬y)^y
x^¬y^y
Como ¬y^y é uma contradição, então não temos uma tautologia.
c)
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
x
y
xy
x^(xy)
[x^(xy)]y
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
Temos uma tautologia.
d)
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
P
A
x
y
xy
y^(xy)
[y^(xy)]x
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
L
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P
A
L
Temos uma contingência.
e)
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
x
y
x^y
¬y
(x^y)¬y
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
Temos uma contingência.
Resposta: C
39. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Em relação à afirmação
Se x = 16 e y ≥ 7 então x∙y ≥ 112
pode-se concluir que:
a. ( ) Se x∙y < 112 então x ≠ 16 ou y < 7.
b. ( ) Se x∙y = 112 então x ≠ 16 e y < 7.
c. ( ) Se x∙y ≥ 112 então x = 16 e y ≥ 7.
d. ( ) x∙y ≥ 112 e x ≠ 16 e y < 7.
e. ( ) Nada se pode concluir.
RESOLUÇÃO:
Temos uma condicional do tipo (p e q) r no enunciado, onde:
p: x = 16
q: y ≥ 7
r: x∙y ≥ 112
Sabemos que uma proposição equivalente a esta é a condicional:
~r ~(p e q)
P
A
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A
L
A
Por sua vez, a expressão ~(p e q) pode ser reescrita como (~p ou ~q). Assim,
ficamos com a condicional:
~r (~p ou ~q)
Repare que:
~p: x ≠ 16
~q: y < 7
~r: x∙y < 112
Escrevendo a condicional ~r (~p ou ~q), temos:
Se x∙y < 112, então x ≠ 16 ou y < 7
Resposta: A
40. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Analise a afirmação abaixo.
"Nenhum número natural é primo e é par".
Assinale a alternativa que indica a negação dessa afirmação.
a) Existe um número natural primo que é par.
b) Todo número natural não é primo e não é par.
c) Existe um número natural que é primo ou é par.
d) Nenhum número natural é par ou não é primo.
e) Existe um número natural ímpar que não é primo ou não é par.
RESOLUÇÃO:
Para desmentir quem afirma que "Nenhum número natural é primo e é par",
basta encontrar um número natural primo e par. Ou seja, a negação desta
proposição é algo como:
Algum / Pelo menos um número natural primo é par
Existe número natural primo é par
Resposta: A
P
A
L
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41. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Considere a afirmação:
“Se você trabalha, então alcança.”
A negação dessa afirmação é:
a) Você trabalha e não alcança
b) Você não alcança ou não trabalha
c) Se você não trabalha, então não alcança
d) Se você não trabalha, então alcança
e) Se você não alcança, então não trabalha
RESOLUÇÃO:
A melhor forma de buscar a negação de uma afirmação é pensando em
como fazer para desmentir o autor daquela frase.
Se um amigo nos afirma “Se você trabalha, então alcança”, como faríamos se
quiséssemos desmenti-lo? Ora, bastaria mostrar que você trabalhou (isto é, cumpriu
a condição dada), mas mesmo assim não alcançou (isto é, o resultado da
condicional não se concretizou). Portanto, a negação seria: “Você trabalha e não
alcança”.
Você poderia se lembrar que a negação de uma condicional pq é p e ~q.
Resposta: A
42. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2012) Considere a afirmação:
“Toda cobra preta e amarela é venenosa”.
A negação dessa afirmação é:
A) Uma cobra é preta e amarela e não é venenosa.
B) Toda cobra preta ou amarela não é venenosa.
C) Uma cobra é preta ou amarela e é venenosa.
D) Toda cobra venenosa não é preta nem amarela.
E) Uma cobra não é venenosa ou é preta e amarela.
RESOLUÇÃO:
P
A
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P
A
L
A
Observe que a proposição do enunciado nada mais é que a seguinte
condicional: “Se uma cobra é preta e amarela, então ela é venenosa”.
Sabemos que para negar uma condicional pq, basta escrevermos “p e ~q”.
Ou seja: Uma cobra é preta e amarela e não é venenosa.
Resposta: A
43. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2010) Em uma pequena cidade, só há ônibus verdes e
amarelos. Considere a afirmação:
Qualquer ônibus verde não passa pela prefeitura
Pode-se concluir que:
a) Todo ônibus amarelo passa pela Prefeitura
b) Todo ônibus que passa pela Prefeitura é amarelo
c) Um ônibus que não passa pela Prefeitura é certamente verde
d) Alguns ônibus que passam pela Prefeitura são verdes
e) Alguns ônibus verdes passam pela Prefeitura
RESOLUÇÃO:
A frase do enunciado também pode ser lida assim: “Todo ônibus verde não
passa pela prefeitura”. Como só existem 2 tipos de ônibus (verde e amarelo), fica
claro que os ônibus que passam pela Prefeitura só podem ser amarelos.
Repare que não podemos afirmar a alternativa C, pois é possível que alguns
ônibus amarelos também não passem pela Prefeitura.
Resposta: B
44. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Uma proposição equivalente a “Se o peru
gruguleja, então opombo arrulha” é
(A) Se o peru grugulejou foi porque o pombo arrulhou.
(B) Se o pombo não arrulha, então o peru não gruguleja.
(C) O pombo não gruguleja porque o peru não arrulha.
(D) O peru gruguleja porque o pombo arrulha.
P
A
L
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A
L
A
(E) Se o peru não gruguleja, então o pombo não arrulha.
RESOLUÇÃO:
A proposição do enunciado é p q, onde p = “peru gruguleja” e q = “pombo
arrulha”. Trata-se de uma proposição “manjada”, e sabemos que uma equivalente é
~q ~p, ou seja, “Se o pombo não arrulha, então o peru não gruguleja”. Letra B.
Resposta: B
45. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere a proposição “Paula estuda, mas não
passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:
a) condicional
b) bicondicional
c) disjunção inclusiva
d) conjunção
e) disjunção exclusiva
RESOLUÇÃO:
Vimos logo acima que o “mas” pode ser utilizado para representar o
conectivo conjunção (“e”). Do ponto de vista lógico, a frase “Paula estuda e não
passa no concurso” tem o mesmo valor da frase do enunciado. Isto porque o autor
da frase quer dizer, basicamente, que duas coisas são verdadeiras:
- Paula estuda
- Paula não passa no concurso
Portanto, temos uma conjunção (letra D).
Ao estudar Português, você verá que o “mas” tem função adversativa. Isto é,
o autor da frase não quer dizer apenas que as duas coisas são verdadeiras. Ele usa
o “mas” para ressaltar o fato de que essas coisas são, em tese, opostas entre si
(espera-se que quem estuda seja aprovado). Por mais importante que seja este
detalhe semântico naquela disciplina, aqui na Lógica Proposicional devemos tratar
estas proposições como sendo equivalentes.
Resposta: D
46. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009) A afirmação: “João não chegou ou Maria
está atrasada” equivale logicamente a:
a) Se João não chegou, Maria está atrasada.
P
A
L
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P
A
L
A
b) João chegou e Maria não está atrasada.
c) Se João chegou, Maria não está atrasada.
d) Se João chegou, Maria está atrasada.
e) João chegou ou Maria não está atrasada.
RESOLUÇÃO:
A frase do enunciado pode ser escrita como “~p ou q”, onde:
p = João chegou
q = Maria está atrasada
Novamente estamos diante de uma proposição “manjada”, pois sabemos que
~p ou q é equivalente a pq e também a ~q~p. Essas duas últimas frases são,
respectivamente:
- Se João chegou, então Maria está atrasada.
- Se Maria não está atrasada, então João não chegou.
Veja que a primeira das duas frases acima é similar à alternativa D, sendo
este o gabarito.
Resposta: D
47. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
RESOLUÇÃO:
Vejamos cada alternativa:
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
Temos uma conjunção (p e q) onde p é F e q é F. Proposição FALSA.
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
Temos uma condicional (pq) onde p é V e q é F. Proposição FALSA.
P
A
L
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P
A
L
A
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
Temos uma condicional (pq) onde p é F e q é F. Proposição
VERDADEIRA.
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
Temos uma disjunção (p ou q) onde p e q são F. Proposição FALSA.
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
Temos uma bicondicional (p se e somente se q) onde p é V e q é F.
Proposição FALSA.
Resposta: C
48. ESAF – FISCAL DO TRABALHO – 2010) Um poliedro convexo é regular se e
somente se for: um
tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não
for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.
d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou
um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada alternativa:
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
FALSO. Podemos ter um poliedro convexo regular que não seja um cubo
(tetraedo, octaedro etc.).
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
FALSO. Se um poliedro convexo não for um cubo (ex.: tetraedro, octaedro
etc.) ele pode ainda assim ser regular.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não
for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.
P
A
L
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P
A
L
A
FALSO. O enunciado diz que as únicas possibilidades de um poliedro
convexo ser regular são estas acima (cubo, tetraedro, etc.). Mas a frase deste item
não se restringiu aos poliedros convexos. Pode ser que outros poliedros (côncavos)
sejam regulares.
d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou
um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
FALSO. Novamente, a frase do enunciado tratava dos poliedros convexos, de
modo que nada podemos afirmar sobre os demais tipos de poliedros.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
VERDADEIRO. Para que um poliedro seja um cubo, é necessário que ele
seja convexo e regular (estas são características do cubo, tetraedro, octaedro etc.).
Ora, se um poliedro nem é regular, podemos eliminar a possibilidade de ele ser um
cubo.
Resposta: E
49. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é
a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
b) Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Milão não é a capital da Itália.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
RESOLUÇÃO:
Para desmentir o autor dessa frase, precisamos mostrar que nenhuma das
informações é verdadeira: Milão não é a capital da Itália E Paris não é a capital da
Inglaterra. Esta é a negação.
Resposta: A.
50. ESAF – AUDITOR SMF/RJ – 2010) Considere x um número real. A negação da
proposição 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 é:
P
A
L
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P
A
L
A
a) –1 < x ≤ 2/3.
b) –1 ≤ x < 2/3.
c) x ≤ –1 e x > 5/3.
d) x ≤ –1 ou x > 5/3.
e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3
RESOLUÇÃO:
A negação de uma disjunção “p ou q” é a conjunção “~p e ~q”. Temos:
p = 2/3 ≤ x ≤ 5/3
q = –1< x < 1
Assim,
~p = x < 2/3 ou x > 5/3
~q = x -1 ou x 1
A princípio você poderia querer escrever ~p e ~q assim:
(x < 2/3 ou x > 5/3) e (x -1 ou x 1)
Veja que não temos essa opção de resposta, o que nos leva a interpretar
melhor a frase acima para tentar reescrevê-la de outra forma. Note que, para esta
frase acima ser verdadeira, é preciso que:
- x seja menor que 2/3 e também menor ou igual a -1: neste caso, basta que x seja
menor ou igual a -1, e essas duas condições serão atendidas;
P
A
L
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P
A
L
A
- x seja maior que 5/3 e também maior ou igual a 1: basta que x seja maior que 5/3
e ambas essas condições serão atendidas.
Portanto, há duas formas de atender a proposição do enunciado, isto é, ter x
menor ou igual a -1 ou então ter x maior que 5/3, o que nos permite escrever:
x -1 ou x > 5/3
Veja que para resolver corretamente essa questão foi preciso fugir do
“decoreba” e trabalhar a interpretação!
RESPOSTA: D
51. ESAF – STN – 2012) A negação da proposição “se Curitiba é a capital do Brasil,
então Santos é a capital do Paraná” é logicamente equivalente à proposição:
a) Curitiba não é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná.
b) Curitiba não é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná.
c) Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná.
d) Se Curitiba não é a capital do Brasil, então Santos não é a capital do Paraná.
e) Curitiba é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná.
RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado a condicional pq onde:
p = Curitiba é a capital do Brasil
q = Santos é a capital do Paraná
A negação de pq é dada pela disjunção “p e ~q”, onde:
P
A
L
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P
A
L
~q = Santos não é a capital do Paraná
Assim, a negação é escrita como:
“Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná”
RESPOSTA: C
52. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A negação da proposição “se Paulo
estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente à proposição:
a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.
b) Paulo estuda e Marta não é atleta.
c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.
RESOLUÇÃO:
A proposição do enunciado é a condicional pq onde:
p = Paulo estuda
q = Marta é atleta
Para negar pq basta escrever a conjunção “p e ~q”, sendo que:
~q = Marta não é atleta
P
A
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P
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A
Assim, a negação é:
“Paulo estuda e Marta não é atleta”
RESPOSTA: B
53. ESAF – PECFAZ – 2013) A negação da proposição “Brasília é a Capital Federal
e os Territórios Federais integram a União” é:
a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a União.
b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União.
c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a União.
d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União.
e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União.
RESOLUÇÃO:
Temos a conjunção “p e q” onde:
p = Brasília é a Capital Federal
q = os Territórios Federais integram a União
A negação da conjunção “p e q” é a disjunção “~p ou ~q”, onde:
~p = Brasília não é a Capital Federal
~q = os Territórios Federais não integram a União
Portanto, a disjunção “~p ou ~q” é:
P
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P
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L
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Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União
RESPOSTA: B
54. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2012) A proposição p
(p
q) é
logicamente equivalente à proposição:
a) p
b)
q
p
c) p
d)
q
e) p
q
RESOLUÇÃO:
Para a conjunção p
(p
q) ser verdadeira, é preciso que ambos os lados
sejam V. Isto é, é preciso que p seja V, e também que pq seja V. Para esta
condicional ser verdadeira, como p é V é preciso que q também seja V. Assim, a
proposição p
(p
q) só é verdadeira quando p e q são V, sendo falsa nos demais
casos.
Veja que isso também ocorre com a conjunção p
q da alternativa E, que só
é verdadeira quando p e q são ambas V. Assim, temos uma proposição com mesma
tabela-verdade que a do enunciado, ou seja, equivalente.
RESPOSTA: E
55. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou
o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente:
a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.
P
A
L
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P
A
L
A
b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.
c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.
d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.
e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.
RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado a disjunção:
A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro
Veja que algumas alternativas de resposta são condicionais. Sabemos que
há uma equivalência “manjada” entre condicionais e disjunções, pois pq é
equivalente a “~p ou q”. Assumindo que a frase do enunciado é essa disjunção,
temos que:
~p = A menina tem olhos azuis
q = o menino é loiro
Portanto,
p = A menina NÃO tem olhos azuis
Escrevendo a condicional pq, temos:
“Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro”
RESPOSTA: C
56. ESAF – DNIT – 2012) A proposição “Paulo é médico ou Ana não trabalha” é
logicamente equivalente a:
a) Se Ana trabalha, então Paulo é médico.
P
A
L
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P
A
L
A
b) Se Ana trabalha, então Paulo não é médico.
c) Paulo é médico ou Ana trabalha.
d) Ana trabalha e Paulo não é médico.
e) Se Paulo é médico, então Ana trabalha
RESOLUÇÃO:
No enunciado temos uma disjunção:
Paulo é médico ou Ana não trabalha
Veja que algumas opções de resposta são condicionais. Sabemos que há
uma equivalência “manjada” entre uma disjunção e uma condicional, pois:
pq é equivalente a “~p ou q”
A frase do enunciado pode ser representada por “~p ou q” onde:
~p = Ana não trabalha
q = Paulo é médico
Com essas mesmas proposições simples, podemos escrever a condicional
pq assim:
Se Ana trabalha, então Paulo é médico
RESPOSTA: A
57. ESAF – MPOG – 2010) Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas
respectivas negações. Marque a opção que equivale logicamente à proposição
composta: F se e somente G.
a) F implica G e ~G implica F.
P
A
L
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P
A
L
A
b) F implica G e ~F implica ~G.
c) Se F então G e se ~F então G.
d) F implica G e ~G implica ~F.
e) F se e somente se ~G.
RESOLUÇÃO:
Temos a bicondicional “F se e somente se G” no enunciado. Uma
bicondicional é formada pela união de duas condicionais, isto é, essa proposição é
equivalente a:
(FG) e (GF)
Por sua vez, sabemos que a condicional GF é equivalente a ~F~G.
Portanto, podemos escrever:
(FG) e (~F~G)
Temos isto na alternativa B.
RESPOSTA: B
58. ESAF – DNIT – 2012) A proposição composta p
p
q é equivalente à
proposição:
a) p v q
b) p
q
c) p
d) ~ p v q
P
A
L
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P
A
L
A
e) q
RESOLUÇÃO:
Para a proposição do enunciado ser falsa, é preciso que p seja V e (p
q)
seja F, o que ocorre quando q é F. Em qualquer outro caso essa proposição é
Verdadeira. Vejamos o que ocorre em cada alternativa de resposta:
a) p v q : é falsa quando p e q são F, ou seja, tem tabela-verdade diferente da
proposição do enunciado.
b) p
q : pode ser falsa quando p é F, ao contrário da do enunciado.
c) p : possui tabela-verdade diferente da proposição do enunciado, até porque é
uma proposição simples.
d) ~ p v q : já vimos que essa proposição é equivalente à condicional pq , que só é
falsa quando p é V e q é F. Portanto, trata-se de uma proposição com tabela-verdae
igual à da proposição do enunciado.
e) q : incorreta pelo mesmo raciocínio da alternativa C.
RESPOSTA: D
59. ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) A proposição “um número inteiro é par se e
somente se o seu quadrado for par” equivale logicamente à proposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro
não for par, então o seu quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
P
A
L
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P
A
L
A
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um
número inteiro não for par, então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado a bicondicional p q , onde p = “um número inteiro é
par” e q = “o quadrado de um número inteiro é par”.
Sabemos que a bicondicional
p q é formada pela junção de duas
condicionais. Ou seja, ela equivale ( p q) (q p) . Escrevendo esta frase, temos:
se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um
número inteiro for par, então o número é par”
Não temos essa opção de resposta, mas temos algo parecido nas
alternativas A e D. Para chegar em uma delas, podemos lembrar que qp é
equivalente a ~p~q, e assim substituir nossa frase por:
( p q ) (~ p ~ q )
Escrevendo esta última, temos:
se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro
não for par, então o seu quadrado não é par
Podemos marcar a alternativa A.
Resposta: A
60. ESAF – AUDITOR SMF/RJ – 2010) Qual das proposições abaixo tem a mesma
tabela verdade que a proposição: “Se |a| < 3, então b ≤ 4 ”, onde a e b são números
reais?
a) b ≤ 4 e |a| < 3
b) b > 4 ou |a| < 3
P
A
L
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P
A
L
A
c) b > 4 e |a| < 3
d) b ≤ 4 ou |a| < 3
e) b ≤ 4 ou |a| ≥ 3
RESOLUÇÃO:
Temos uma condicional pq no enunciado, onde:
p = |a| < 3
q=b≤4
Sabemos que as proposições ~q~p e “~p ou q” são equivalentes àquela do
enunciado. Note que:
~p = |a| 3
~q = b > 4
Assim,
~q~p: se b > 4, então |a| 3
e
~p ou q: |a| 3 ou b ≤ 4
Temos esta última opção na alternativa E.
RESPOSTA: E
P
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P
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L
A
61. ESAF – AUDITOR SMF/RJ – 2010) Sendo x um número real, a proposição: x2 ≥
1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1 equivale logicamente à:
a) se x = 1, então x2 = 1.
b) se x > 1, então x2 > 1.
c) se -1 < x < 1, então x2 < 1.
d) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1.
e) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1.
RESOLUÇÃO:
Temos a bicondicional:
x2 ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1
Sabemos que uma bicondicional do tipo A B pode ser reescrita com duas
condicionais ligadas por uma conjunção:
(AB) e (BA)
Neste caso temos A = x2 ≥ 1 , e B = x ≥ 1 ou x ≤ -1. Assim, podemos escrever
a proposição:
Se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1
Veja que não temos essa alternativa de resposta. Agora lembre que AB
pode ser reescrito como ~B~A. Temos:
~A = x2 < 1
~B = -1 < x < 1
P
A
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P
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Portanto, podemos substituir a parte AB por ~B~A na frase que
construímos acima, ficando com:
Se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1
RESPOSTA: D
62. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009)Considere a seguinte proposição: “Se
chove ou neva,
então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
RESOLUÇÃO:
Sendo p = “chove”, q = “neva” e r = “chão fica molhado”, temos no enunciado
a frase (p ou q) r.
Equivalente a ela é a frase ~r ~(p ou q), que por sua vez é equivalente a ~r
(~p e ~q). Escrevendo esta última frase:
“Se o chão não fica molhado, então não choveu e não nevou”
Admitindo que “o chão está seco” é equivalente a “o chão não fica molhado”,
temos a alternativa E.
Resposta: E
63. ESAF – PECFAZ – 2013) Conforme a teoria da lógica proposicional, a
proposição ~ P
P é:
a) uma tautologia.
b) equivalente à proposição ~ P V P .
P
A
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P
A
L
A
c) uma contradição.
d) uma contingência.
e) uma disjunção
RESOLUÇÃO:
Veja que a conjunção “~P e P” é uma contradição, pois esta proposição é
falsa tanto quando P é V como quando P é F.
RESPOSTA: C
64. ESAF – AUDITOR SMF/RJ – 2010) Por definição, um triângulo equilátero é o
que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: “Um triângulo é
equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”.
Uma conclusão falsa desta proposição é:
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a
de que os três ângulos sejam iguais.
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo
não é equilátero.
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos
outros.
RESOLUÇÃO:
Temos a bicondicional: “Um triângulo é equilátero se e somente se os três
ângulos são iguais”. Vejamos qual das alternativas de resposta não é condizente
com esta proposição:
P
A
L
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P
A
L
A
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a
de que os três ângulos sejam iguais
CORRETA, pois em uma bicondicional A B sabemos que A é condição
necessária e suficiente para B, e B é condição necessária e suficiente para A.
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
CORRETAS. De uma bicondicional A B, podemos obter as condicionais
AB e BA.
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo
não é equilátero.
CORRETA. Para uma bicondicional A B ser verdadeira, quando A é falsa é
preciso que B também seja falsa.
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos
outros.
ERRADO. Se um triângulo não é equilátero, é preciso que seus ângulos não
sejam todos iguais entre si. Mas pode ser que 2 sejam iguais e somente 1 seja
diferente.
RESPOSTA: E
65. ESAF – Mtur – 2014) A proposição “se Catarina é turista, então Paulo é
estudante” é logicamente equivalente a
a) Catarina não é turista ou Paulo não é estudante.
b) Catarina é turista e Paulo não é estudante.
P
A
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P
A
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A
c) Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista.
d) Catarina não é turista e Paulo não é estudante.
e) Se Catarina não é turista, então Paulo não é estudante.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional pq onde:
p = Catarina é turista
q = Paulo é estudante
Isto equivale a ~q~p, onde:
~p = Catarina NÃO é turista
~q = Paulo NÃO é estudante
Ou seja:
“Se Paulo NÃO é estudante, então Catarina NÃO é turista”
Lembre-se que outra equivalência é “~p ou q”, que seria:
“Catarina NÃO é turista ou Paulo é estudante”
Só temos uma dessas equivalências na alternativa C.
RESPOSTA: C
66. ESAF – Mtur – 2014) As seguintes premissas são verdadeiras: - Se Paulo não
trabalha terça-feira, então Maria trabalha sábado. - Se Ana não trabalha domingo,
então Samuel não trabalha sexta-feira. - Se Samuel trabalha sexta-feira, então
Maria não trabalha sábado. - Samuel trabalha sexta-feira. Logo, pode-se afirmar
que:
a) Paulo trabalha terça-feira e Maria trabalha sábado.
b) Paulo não trabalha terça-feira ou Maria trabalha sábado.
c) Maria trabalha sábado e Ana não trabalha domingo.
d) Ana não trabalha domingo e Paulo trabalha terça-feira.
e) Se Maria trabalha sábado, então Ana não trabalha domingo.
RESOLUÇÃO:
Temos as premissas:
P1- Se Paulo não trabalha terça-feira, então Maria trabalha sábado.
P
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P
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P2- Se Ana não trabalha domingo, então Samuel não trabalha sexta-feira.
P3- Se Samuel trabalha sexta-feira, então Maria não trabalha sábado.
P4- Samuel trabalha sexta-feira.
Veja que P4 é uma proposição simples, logo ali devemos começar. Sabendo
que Samuel trabalha sexta-feira, podemos voltar em P3 e concluir que Maria não
trabalha sábado. Também podemos voltar em P2 e ver que o trecho “Samuel não
trabalha sexta-feira” é F, de modo que “Ana não trabalha domingo” deve ser F
também. Assim, é verdade que Ana trabalha domingo. Podemos voltar em P1 e
notar que “Maria trabalha sábado” é F, de modo que “Paulo não trabalha terça-feira”
deve ser F. Assim, Paulo trabalha terça-feira.
Com as conclusões sublinhadas, podemos marcar a alternativa E, pois a
condicional “Se Maria trabalha sábado, então Ana não trabalha domingo” é do tipo
FF, que é uma condicional verdadeira.
RESPOSTA: E
67. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2014) A negação da proposição “se
Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público” é logicamente
equivalente à proposição:
a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público.
b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público.
c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público.
d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público.
e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional pq no enunciado, onde:
p = Paulo trabalha oito horas por dia
q = ele é servidor público
A sua negação é dada por “p e ~q”, onde:
~q = ele NÃO é servidor público
Assim, podemos escrever a negação:
“Paulo trabalha oito horas por dia E ele NÃO é servidor público”
P
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P
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RESPOSTA: B
Fim de aula. Até o próximo encontro!
Abraço,
Prof. Arthur Lima
Periscope: @ARTHURRRL
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
P
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1. ESAF – ANAC – 2016) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples
p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade, assinale o item que apresenta
a proposição composta cujo valor lógico é a verdade.
a) ~p V q
q
b) p V q
c) p
q
d) p
q
q
e) q ^ (p V q)
2. FGV – MRE – 2016) João olhou as dez bolas que havia em um saco e afirmou:
“Todas as bolas desse saco são pretas”. Sabe-se que a afirmativa de João é falsa.
É correto concluir que:
(A) nenhuma bola desse saco é preta;
(B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas;
(C) pelo menos uma bola desse saco é preta;
(D) pelo menos uma bola desse saco não é preta;
(E) nenhuma bola desse saco é branca.
3. VUNESP – MP/SP – 2016) Dada a proposição: “Se Daniela pratica natação ou
ensaia no coral, então é quarta-feira e não é feriado”, sua negação pode ser
(A) Daniela não pratica natação e não ensaia no coral, e é quarta-feira e não é
feriado.
(B) Se Daniela não pratica natação ou não ensaia no coral, então não é quarta-feira
e é feriado.
(C) Daniela pratica natação ou ensaia no coral, e não é quarta-feira ou é feriado.
(D) Se não é quarta-feira ou é feriado, então Daniela não pratica natação e não
ensaia no coral.
P
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P
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(E) Se Daniela não pratica natação e não ensaia no coral, então não é quarta-feira
ou é feriado.
4. ESAF – Mtur – 2014) Assinale qual das proposições das opções a seguir é uma
tautologia.
a) p q q
b) p q q
c) p q q
d) ( p q) q
e) p q q
5. ESAF – ANAC – 2016) A proposição “se o voo está atrasado, então o aeroporto
está fechado para decolagens” é logicamente equivalente à proposição:
a) o voo está atrasado e o aeroporto está fechado para decolagens.
b) o voo não está atrasado e o aeroporto não está fechado para decolagens.
c) o voo está atrasado, se e somente se, o aeroporto está fechado para decolagens.
d) se o voo não está atrasado, então o aeroporto não está fechado para decolagens.
e) o voo não está atrasado ou o aeroporto está fechado para decolagens.
6. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x+y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS:
a) I é uma sentença aberta
b) II é uma sentença aberta
c) I e II são sentenças abertas
d) I e III são sentenças abertas
e) II e III são sentenças abertas
7. FCC – TRF/3ª – 2016) Considere, abaixo, as afirmações e o valor lógico atribuído
a cada uma delas entre parênteses.
− Ou Júlio é pintor, ou Bruno não é cozinheiro (afirmação FALSA).
P
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− Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é pintor (afirmação FALSA).
− Bruno é cozinheiro ou Antônio não é pedreiro (afirmação VERDADEIRA).
A partir dessas afirmações,
(A) Júlio não é pintor e Bruno não é cozinheiro.
(B) Antônio é pedreiro ou Bruno é cozinheiro.
(C) Carlos é marceneiro e Antônio não é pedreiro.
(D) Júlio é pintor e Carlos não é marceneiro.
(E) Antônio é pedreiro ou Júlio não é pintor.
8. FGV – MRE – 2016) Considere a sentença: “Corro e não fico cansado”. Uma
sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é:
(A) Se corro então fico cansado.
(B) Se não corro então não fico cansado.
(C) Não corro e fico cansado.
(D) Corro e fico cansado.
(E) Não corro ou não fico cansado.
9. UFG – ISS/Goiânia – 2016) Considere verdadeira a informação “se a empresa A
dobrar seu capital então a empresa B vai triplicar o seu capital”, e falsa a informação
“a empresa A vai dobrar o seu capital e a empresa B vai triplicar seu capital”.
Nessas condições, necessariamente a empresa
(A) A vai dobrar seu capital.
(B) A não vai dobrar seu capital.
(C) B vai triplicar seu capital.
(D) B não vai triplicar seu capital.
10. FGV – TJ/PI – 2015) Considere a afirmação:
“Mato a cobra e mostro o pau”
A negação lógica dessa afirmação é:
(A) não mato a cobra ou não mostro o pau;
(B) não mato a cobra e não mostro o pau;
(C) não mato a cobra e mostro o pau;
(D) mato a cobra e não mostro o pau;
(E) mato a cobra ou não mostro o pau.
P
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11. FGV – TJ/PI – 2015) Considere a sentença: “Se gosto de capivara, então gosto
de javali”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é:
(A) Se não gosto de capivara, então não gosto de javali.
(B) Gosto de capivara e gosto de javali.
(C) Não gosto de capivara ou gosto de javali.
(D) Gosto de capivara ou não gosto de javali.
(E) Gosto de capivara e não gosto de javali.
12. FGV – TJ/PI – 2015) Barbosa afirmou: “Todo cidadão brasileiro tem direito à
educação e à saúde”. A negação lógica dessa sentença é:
(A) Nenhum cidadão brasileiro tem direito à educação e à saúde.
(B) Nenhum cidadão brasileiro tem direito à educação ou à saúde.
(C) Todo cidadão brasileiro não tem direito à educação e à saúde.
(D) Algum cidadão brasileiro não tem direito à educação ou à saúde.
(E) Algum cidadão brasileiro não tem direito à educação nem à saúde.
13. FGV – TJSC – 2015) Considere a sentença: “Se cometi um crime, então serei
condenado”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é:
(A) Não cometi um crime ou serei condenado.
(B) Se não cometi um crime, então não serei condenado.
(C) Se eu for condenado, então cometi um crime.
(D) Cometi um crime e serei condenado.
(E) Não cometi um crime e não serei condenado.
14. FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere a afirmação: Se os impostos sobem,
então o consumo cai e a inadimplência aumenta. Uma afirmação que corresponde à
negação lógica dessa afirmação é
(A) Se os impostos não sobem, então o consumo aumenta e a inadimplência cai.
(B) Os impostos não sobem e o consumo não cai e a inadimplência não aumenta.
(C) Se os impostos não sobem, então o consumo não cai e a inadimplência não
aumenta.
(D) Se o consumo não cai ou a inadimplência não aumenta, então os impostos não
sobem.
(E) Os impostos sobem e o consumo não cai ou a inadimplência não aumenta.
P
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15. FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere as afirmações sobre Alberto, Bruno,
César e Dario sendo que cada um toca apenas um instrumento.
I. Alberto é pianista ou Bruno é saxofonista.
II. Bruno é saxofonista ou César é violinista.
III. Se César é violinista, então Dario é clarinetista.
Dentre essas afirmações, sabe-se que são verdadeiras I e III e que a II é falsa.
Deste modo,
(A) Dario é clarinetista e Bruno é saxofonista.
(B) Se Dario é clarinetista, então Alberto não é pianista.
(C) César é violinista ou Alberto é pianista.
(D) Bruno não é saxofonista e Dario não é clarinetista.
(E) Se César não é violinista, então Bruno é saxofonista.
16. FUNIVERSA – POLÍCIA CIENTÍFICA/GO – 2015) Considerando que P e Q
sejam proposições simples e que os significados dos símbolos “P Q = P e Q”,
“P Q = se P, então Q” e “P Q = P se e somente se Q”, a partir da tabela abaixo,
é possível construir a tabela-verdade da proposição P Q.
Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna
correspondente à proposição P Q, na ordem que aparecem, de cima pra baixo.
a) VFVF
b) FVFV
c) VVFF
d) VFFV
e) FFVV
17. VUNESP – TCE/SP – 2015) Uma equivalente para a afirmação “Se Carlos foi
aprovado no concurso, então ele estudou” está contida na alternativa:
(A) Carlos não foi aprovado no concurso e não estudou.
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(B) Se Carlos não estudou, então ele não foi aprovado no concurso.
(C) Carlos foi aprovado no concurso e não estudou.
(D) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não estudou.
(E) Carlos estudou e não foi aprovado no concurso.
18. VUNESP – TCE/SP – 2015) Uma negação para a afirmação “Carlos foi
aprovado no concurso e Tiago não foi aprovado” está contida na alternativa:
(A) Tiago foi aprovado no concurso ou Carlos não foi aprovado.
(B) Carlos não foi aprovado no concurso e Tiago foi aprovado.
(C) Tiago não foi aprovado no concurso ou Carlos foi aprovado.
(D) Carlos e Tiago foram aprovados no concurso.
(E) Carlos e Tiago não foram aprovados no concurso.
19. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere a afirmação: Se
Adélia vence a eleição, então Gilmar continua membro da comissão. Do ponto de
vista lógico, uma afirmação equivalente é:
(A) Gilmar continua membro da comissão e Adélia vence a eleição.
(B) Adélia não vence a eleição ou Gilmar continua membro da comissão.
(C) Se Gilmar continua membro da comissão, então Adélia vence a eleição.
(D) Ou Gilmar continua membro da comissão ou Adélia vence a eleição.
(E) Se Adélia não vence a eleição, então Gilmar não continua membro da comissão.
20. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere a afirmação:
Estudei muito e passei no concurso, ou minha preguiça foi maior. Uma afirmação
que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é
(A) Não estudei muito ou não passei no concurso, e minha preguiça não foi maior.
(B) Se não estudei muito então minha preguiça foi maior e não passei no concurso.
(C) Minha preguiça foi maior e não passei no concurso, e não estudei muito.
(D) Não estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi maior.
(E) Estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi maior.
21. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo prefeito de
uma grande capital.
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Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das
passagens de ônibus será reajustado.
Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é:
(A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o preço das
passagens de ônibus não será reajustado.
(B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das
passagens de ônibus não será reajustado.
(C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação não terá
caído ou o preço do óleo diesel terá
aumentado.
(D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá
caído ou o preço do óleo diesel terá
aumentado.
(E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá
caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado.
22. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Antes da rodada final do campeonato inglês de
futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das duas únicas equipes
com chances de serem campeãs, por meio da seguinte afirmação:
“Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida e que o
Chelsea perca ou empate a sua.”
Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta informação
é: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele
(A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o
Chelsea empate a sua.”
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(B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida ou o
Chelsea empate a sua.”
(C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o
Chelsea não vença a sua.”
(D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida e o
Chelsea empate a sua.”
(E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida ou o
Chelsea empate a sua.”
23. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação:
Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada.
Para que essa afirmação seja FALSA:
a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões
tenham sido tomadas.
b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão
tenha sido tomada.
c)
é
necessário
e
suficiente
que
alguma
decisão
tenha
sido
tomada,
independentemente da participação de ministros na reunião.
d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões
tenham sido tomadas.
e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma
decisão tenha sido tomada.
24. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas:
p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.
q: O trabalho enobrece.
A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para
crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando:
a) p é falsa e q é falsa.
b) p é verdadeira e q é verdadeira.
c) p é falsa e q é verdadeira.
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d) p é verdadeira e q é falsa.
e) p é falsa ou q é falsa.
25. FCC – ISS/SP – 2007) Considere a seguinte proposição:
“Se um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento, então
ele não progride na carreira.”
Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:
(A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou
ele participa de projetos de aperfeiçoamento.
(B) Se um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento, então
ele progride na carreira.
(C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de
aperfeiçoamento e não progride na carreira.
(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele participa de
projetos de aperfeiçoamento.
(E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento e progride
na carreira.
26. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra em relação a
seus funcionários:
Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano,
realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a gripe.
Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir que,
necessariamente, se um funcionário dessa empresa:
a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe, então ele
tem mais de 45 anos de idade.
b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos anualmente ou não
toma a vacina contra a gripe.
c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele não tem 50
ou mais anos de idade.
d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame médico por
ano, além de tomar a vacina contra a gripe.
e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos dois anos,
então ele tem pelo menos 47 anos de idade.
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27. FCC – SEFAZ/SP – 2006)Se p e q são proposições, então a proposição
p (~ q ) é equivalente a:
28. FCC – SEFAZ/SP – 2006)Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é:
29. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Das proposições abaixo, a única que é logicamente
equivalente a pq é:
P
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30. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere as afirmações abaixo.
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II. A proposição “ (10 10) (8 3 6) ” é falsa.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “ p q (~ q ) ” é uma tautologia.
É verdade o que se afirma APENAS em:
a) I e II
b) I e III
c) I
d) II
e) III
31. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta.
a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente equivalente à
proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
c) As proposições ~ ( p q ) e (~ p ~ q) não são logicamente equivalentes
d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está
bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está
bom”.
e) A proposição ~ [ p ~ ( p q )] é logicamente falsa.
32. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Seja a sentença ~ {[( p q ) r ] [q (~ p r )]} .
Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que:
a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F.
b) faltou informar o valor lógico de q e de r
c) essa sentença é uma tautologia
d) o valor lógico dessa sentença é sempre F
e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V.
33. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Dada a sentença
espaço
P
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~ (~ p q r ) ,
complete o
com uma e uma só das sentenças simples p, q, r ou a sua negação ~p,
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~q ou ~r para que a sentença dada seja uma tautologia. Assinale a opção que
responde a essa condição.
a) Somente uma das três: ~p, q ou r
b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r
c) Somente q
d) Somente p
e) Somente uma das duas: q ou r
- SEFAZ/SP – 2006) Seja a sentença aberta A: (~ p p) e a
34. FCC
sentença aberta B: “Se o espaço
for ocupado por uma ...(I)..., a sentença A será
uma ...(II)...”. A sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos,
respectivamente, por:
a) contingência e contradição
b) tautologia e contradição
c) tautologia e contingência
d) contingência e contingência
e) contradição e tautologia
35. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma
mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa
característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo
V. Escreva uma poesia
A frase que não possui essa característica comum é a:
a) IV
b) V
c) I
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d) II
e) III
36. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere como conjunto universo o conjunto
dos números inteiros positivos menores ou iguais a vinte e quatro.
Neste universo, assinale o conjunto verdade da sentença aberta:
x2 < 30 ou x - 1 é divisor de 30
a) V = {1, 2, 4, 5, 6, 11, 16}
b) V = {2, 3, 4, 6, 7, 11, 16}
c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
d) V = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 15, 30}
e) V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
37. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere as proposições a e b e assinale a
expressão que é logicamente equivalente a (a^b)v(a^¬b)
a) ¬a^¬b
b) ¬av¬b
c) ¬avb
d) av¬b
e) a
38. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere as proposições x e y e assinale a
expressão que corresponde a uma tautologia.
a) x^¬x
b) [¬(xy)]^y
c)
d)
e)
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39. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Em relação à afirmação
Se x = 16 e y ≥ 7 então x∙y ≥ 112
pode-se concluir que:
a. ( ) Se x∙y < 112 então x ≠ 16 ou y < 7.
b. ( ) Se x∙y = 112 então x ≠ 16 e y < 7.
c. ( ) Se x∙y ≥ 112 então x = 16 e y ≥ 7.
d. ( ) x∙y ≥ 112 e x ≠ 16 e y < 7.
e. ( ) Nada se pode concluir.
40. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Analise a afirmação abaixo.
"Nenhum número natural é primo e é par".
Assinale a alternativa que indica a negação dessa afirmação.
a) Existe um número natural primo que é par.
b) Todo número natural não é primo e não é par.
c) Existe um número natural que é primo ou é par.
d) Nenhum número natural é par ou não é primo.
e) Existe um número natural ímpar que não é primo ou não é par.
41. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Considere a afirmação:
“Se você trabalha, então alcança.”
A negação dessa afirmação é:
a) Você trabalha e não alcança
b) Você não alcança ou não trabalha
c) Se você não trabalha, então não alcança
d) Se você não trabalha, então alcança
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e) Se você não alcança, então não trabalha
42. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2012) Considere a afirmação:
“Toda cobra preta e amarela é venenosa”.
A negação dessa afirmação é:
A) Uma cobra é preta e amarela e não é venenosa.
B) Toda cobra preta ou amarela não é venenosa.
C) Uma cobra é preta ou amarela e é venenosa.
D) Toda cobra venenosa não é preta nem amarela.
E) Uma cobra não é venenosa ou é preta e amarela.
43. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2010) Em uma pequena cidade, só há ônibus verdes e
amarelos. Considere a afirmação:
Qualquer ônibus verde não passa pela prefeitura
Pode-se concluir que:
a) Todo ônibus amarelo passa pela Prefeitura
b) Todo ônibus que passa pela Prefeitura é amarelo
c) Um ônibus que não passa pela Prefeitura é certamente verde
d) Alguns ônibus que passam pela Prefeitura são verdes
e) Alguns ônibus verdes passam pela Prefeitura
44. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Uma proposição equivalente a “Se o peru
gruguleja, então opombo arrulha” é
(A) Se o peru grugulejou foi porque o pombo arrulhou.
(B) Se o pombo não arrulha, então o peru não gruguleja.
(C) O pombo não gruguleja porque o peru não arrulha.
(D) O peru gruguleja porque o pombo arrulha.
(E) Se o peru não gruguleja, então o pombo não arrulha.
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45. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere a proposição “Paula estuda, mas não
passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:
a) condicional
b) bicondicional
c) disjunção inclusiva
d) conjunção
e) disjunção exclusiva
46. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009) A afirmação: “João não chegou ou Maria
está atrasada” equivale logicamente a:
a) Se João não chegou, Maria está atrasada.
b) João chegou e Maria não está atrasada.
c) Se João chegou, Maria não está atrasada.
d) Se João chegou, Maria está atrasada.
e) João chegou ou Maria não está atrasada.
47. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
48. ESAF – FISCAL DO TRABALHO – 2010) Um poliedro convexo é regular se e
somente se for: um
tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não
for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.
d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou
um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
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49. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é
a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
b) Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Milão não é a capital da Itália.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
50. ESAF – AUDITOR SMF/RJ – 2010) Considere x um número real. A negação da
proposição 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 é:
a) –1 < x ≤ 2/3.
b) –1 ≤ x < 2/3.
c) x ≤ –1 e x > 5/3.
d) x ≤ –1 ou x > 5/3.
e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3
51. ESAF – STN – 2012) A negação da proposição “se Curitiba é a capital do Brasil,
então Santos é a capital do Paraná” é logicamente equivalente à proposição:
a) Curitiba não é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná.
b) Curitiba não é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná.
c) Curitiba é a capital do Brasil e Santos não é a capital do Paraná.
d) Se Curitiba não é a capital do Brasil, então Santos não é a capital do Paraná.
e) Curitiba é a capital do Brasil ou Santos não é a capital do Paraná.
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52. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A negação da proposição “se Paulo
estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente à proposição:
a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.
b) Paulo estuda e Marta não é atleta.
c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.
53. ESAF – PECFAZ – 2013) A negação da proposição “Brasília é a Capital Federal
e os Territórios Federais integram a União” é:
a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a União.
b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União.
c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a União.
d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União.
e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União.
54. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2012) A proposição p
(p
logicamente equivalente à proposição:
a) p
q
b) ~ p
c) p
d) ~ q
P
A
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q) é
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P
e) p
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A
q
55. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou
o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente:
a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.
b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.
c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.
d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.
e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.
56. ESAF – DNIT – 2012) A proposição “Paulo é médico ou Ana não trabalha” é
logicamente equivalente a:
a) Se Ana trabalha, então Paulo é médico.
b) Se Ana trabalha, então Paulo não é médico.
c) Paulo é médico ou Ana trabalha.
d) Ana trabalha e Paulo não é médico.
e) Se Paulo é médico, então Ana trabalha
57. ESAF – MPOG – 2010) Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas
respectivas negações. Marque a opção que equivale logicamente à proposição
composta: F se e somente G.
a) F implica G e ~G implica F.
P
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P
A
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A
b) F implica G e ~F implica ~G.
c) Se F então G e se ~F então G.
d) F implica G e ~G implica ~F.
e) F se e somente se ~G.
58. ESAF – DNIT – 2012) A proposição composta p
p
q é equivalente à
proposição:
a) p v q
b) p
q
c) p
d) ~ p v q
e) q
59. ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) A proposição “um número inteiro é par se e
somente se o seu quadrado for par” equivale logicamente à proposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um número inteiro
não for par, então o seu quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o quadrado de um
número inteiro não for par, então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
60. ESAF – AUDITOR SMF/RJ – 2010) Qual das proposições abaixo tem a mesma
tabela verdade que a proposição: “Se |a| < 3, então b ≤ 4 ”, onde a e b são números
reais?
P
A
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P
A
L
A
a) b ≤ 4 e |a| < 3
b) b > 4 ou |a| < 3
c) b > 4 e |a| < 3
d) b ≤ 4 ou |a| < 3
e) b ≤ 4 ou |a| ≥ 3
61. ESAF – AUDITOR SMF/RJ – 2010) Sendo x um número real, a proposição: x2 ≥
1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1 equivale logicamente à:
a) se x = 1, então x2 = 1.
b) se x > 1, então x2 > 1.
c) se -1 < x < 1, então x2 < 1.
d) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1.
e) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1.
62. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009)Considere a seguinte proposição: “Se
chove ou neva,
então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
63. ESAF – PECFAZ – 2013) Conforme a teoria da lógica proposicional, a
proposição ~ P
P
A
P é:
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P
A
L
A
a) uma tautologia.
b) equivalente à proposição ~ P V P .
c) uma contradição.
d) uma contingência.
e) uma disjunção
64. ESAF – AUDITOR SMF/RJ – 2010) Por definição, um triângulo equilátero é o
que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: “Um triângulo é
equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”.
Uma conclusão falsa desta proposição é:
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a
de que os três ângulos sejam iguais.
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo
não é equilátero.
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos
outros.
65. ESAF – Mtur – 2014) A proposição “se Catarina é turista, então Paulo é
estudante” é logicamente equivalente a
a) Catarina não é turista ou Paulo não é estudante.
b) Catarina é turista e Paulo não é estudante.
c) Se Paulo não é estudante, então Catarina não é turista.
d) Catarina não é turista e Paulo não é estudante.
e) Se Catarina não é turista, então Paulo não é estudante.
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66. ESAF – Mtur – 2014) As seguintes premissas são verdadeiras: - Se Paulo não
trabalha terça-feira, então Maria trabalha sábado. - Se Ana não trabalha domingo,
então Samuel não trabalha sexta-feira. - Se Samuel trabalha sexta-feira, então
Maria não trabalha sábado. - Samuel trabalha sexta-feira. Logo, pode-se afirmar
que:
a) Paulo trabalha terça-feira e Maria trabalha sábado.
b) Paulo não trabalha terça-feira ou Maria trabalha sábado.
c) Maria trabalha sábado e Ana não trabalha domingo.
d) Ana não trabalha domingo e Paulo trabalha terça-feira.
e) Se Maria trabalha sábado, então Ana não trabalha domingo.
67. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2014) A negação da proposição “se
Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público” é logicamente
equivalente à proposição:
a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público.
b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público.
c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público.
d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público.
e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia.
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