Instituto de Ciências Exatas e Naturais (ICEN)

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Universidade Federal do Pará (UFPA)
Instituto de Ciências Exatas e Naturais (ICEN)
Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatı́stica (PPGME)
Prova no : 3
Disciplina: Probabilidade
Professor: Héliton Ribeiro Tavares
Nome:
Matrı́cula:
*********************************** Atenção: ****************************************
i) Selecione 5 questões fazendo um cı́rculo nos números abaixo. Cada questão vale 2 pontos
1 2 3 4 5 6 7 8
ii) Descreva detalhadamente cada passo do desenvolvimento
iii) A prova é estritamente individual e sem consulta.
**************************************************************************************
1) Retiram-se duas cartas de um baralho. Sejam X = no de azes obtidos e Y = no de damas obtidas. A
distribuição conjunta é dada pela tabela abaixo. Obtenha,
a) Distribuição Marginal de X e de Y .
b) Distribuição Condicional de X, dado Y = 2.
Y/X
0
1
2
Total
0
0,714
0,133
0,004
0,851
1
0,133
0,012
0
0,145
2
0,004
0
0
0,004
Total
0,851
0,145
0,004
1,00
......................................................................................................................................../PROB/CP03010A.tex
2) Retiram-se duas cartas de um baralho. Sejam X = no de azes obtidos e Y = no de damas obtidas. A
distribuição conjunta é dada pela tabela abaixo. Obtenha,
a) Distribuição Marginal de X e de Y .
b) Distribuição Condicional de X, dado Y = 0.
c) Veriﬁque se X e Y são independentes.
Y/X
0
1
2
0
0,714
0,133
0,004
1
0,133
0,012
0
2
0,004
0
0
......................................................................................................................................../PROB/CP03010B.tex
3) Retiram-se duas cartas de um baralho. Sejam X = no de azes obtidos e Y = no de damas obtidas. A
distribuição conjunta é dada pela tabela abaixo. Obtenha,
a) Distribuição Marginal de X e de Y .
b) Distribuição Condicional de X, dado Y = 1.
Y/X
0
1
2
0
0,714
0,133
0,004
1
0,133
0,012
0
2
0,004
0
0
......................................................................................................................................../PROB/CP03010C.tex
4) Seja X uma v.a. com distribuição U (0, 1). Mostre que:
a) Y = (b − a)X + a tem distribuição U (a, b).
b) Y = − λ1 ln(1 − X) tem distribuição Exp(λ)
......................................................................................................................................../PROB/CP05001A.TEX
5) Seja X uma v.a. com distribuição U (0, 1). Mostre, usando o Método do Jacobiano, que:
a) Y = (b − a)X + a tem distribuição U (a, b).
b) Y = − λ1 ln(1 − X) tem distribuição Exp(λ)
......................................................................................................................................../PROB/CP05001B.tex
6) Suponha que a velocidade V de um objeto tenha distribuição N (0, 1). Seja K = mV 2 /2 a eneergia
cinética do objeto. Encontre a f dp de K.
......................................................................................................................................../PROB/CP050020A.TEX
7) Para cada uma das distribuições abaixo, informe: (i) se é discreta ou contı́nua, (ii) valores que ela
assume, (iii) função de probabilidade (fp) ou função densidade de probabilidade.
a) Binomial (n,p) b) Exponencial(λ) c) Geométrica(p) [num. lanc.]
d) Normal(µ, σ 2 ) e) Poisson(λ)
f) Binomial Negativa (r, p).
......................................................................................................................................../PROB/CP05002E.TEX
8) Calcule a Esperança e a Variância da variável aleatória X nos seguintes casos:
(a) X ∼ P oisson(λ); (b) Normal (µ, σ 2 ).
......................................................................................................................................../PROB/CP05003B.TEX
9) Considerando a distribuição N (0, 1):
a) Qual o valor máximo que a função de densidade assume?
b) Ele é de fato uma função de densidade? [dica: veriﬁque que f (x) ≥ 0, ∀x e que sua integral é 1.]
......................................................................................................................................../PROB/CP05005A.TEX
2
10) Seja X uma v.a. qualquer com média µX e variância σX
, e Y = aX +b, onde a e b são duas constantes
quaisquer. Mostre que a Esperança e a Variância de Y podem ser obtidas por
a) E(Y ) = aµX + b
2
b) V ar(Y ) = a2 σX
.
......................................................................................................................................../PROB/CP05010A.TEX
11) Suponha que a duração de um certo tipo de lâmpada depois de instalada distribui-se, exponencialmente, com duração média de 20 dias. Quando uma lâmpada queima, instala-se outra do mesmo
tipo em seu lugar. Obtenha a probabilidade de que sejam necessárias mais de 40 lâmpadas durante o
perı́odo de um ano.
......................................................................................................................................../PROB/CP05015B.TEX
12) Suponha que a velocidade V de um objeto tenha dsitribuição N (0, 1). Seja K = mV 2 /2 a energia
cinética do objeto. Encontre a f dp de K.
......................................................................................................................................../PROB/CP05020A.tex
13) Considere que você tem um conjunto de observações X1 , X2 , · · · , Xn de uma v.a. X com média µ e
variância σ 2 .
∑n
a) O que você pode pode aﬁrmar sobre a distribuição amostral da média X = n1 i=1 Xi ?
b) Agora considere que X tem∑distribuição Bernoulli(p). O que se pode aﬁrmar sobre a distribuição
n
amostral da proporção pb = n1 i=1 Xi ?
......................................................................................................................................../PROB/CP05025A.TEX
14) Suponha que a variável aleatória (X, Y ) tenha f.d.p conjunta dada por:
{
f (x, y) =
a) Calcule P (0 < X < 1,
e−(x+y)
0,
x > 0, y > 0
c.c.
1 < Y < 2)
b) Desenhe a região B = {X > Y } = {(x, y) : x > y}
c) Calcule P (X > Y )
......................................................................................................................................../PROB/cp05030.tex
15) Suponha que a variável aleatória (X, Y ) tenha f.d.p conjunta dada por:
{
x2 +
f (x, y) =
0,
xy
3
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
c.c.
a) Veriﬁque que integra 1
b) Desenhe a região B = {X + Y ≥ 1}
c) Calcule P (X + Y ≥ 1)
......................................................................................................................................../PROB/cp05031.tex
16) Dois caracterı́sticos do desenpenho do motor de um foguete são o empuxo X e a taxa de mistura Y .
Suponha que (X, Y ) seja uma variável aleatória com f.d.p conjunta dada por:
f (x, y) = 2(x + y − 2xy), 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1
Encontrar as f.d.p’s marginais de X e Y.
......................................................................................................................................../PROB/cp05032.tex
17) Considerando a densidade conjunta abaixo, obter as densidades marginais e condicionais.
{
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
x2 + xy
3
f (x, y) =
0,
c.c.
......................................................................................................................................../PROB/cp05033.tex
18) Adimita que um inseto ponha ovos segundo uma distribuição de Poisson de parâmetro 5 e que a
probabilidade de que um ovo dê origem a um novo inseto seja 0,7. Admitimos que os ovos produzam
novos insetos de maneira independente, encontre o número esperado de novos insetos gerados pelo
inseto.
......................................................................................................................................../PROB/CP060010A.TEX
√
19) Sejam
X
∼
U
(0,
1)
e
Y
∼
U
(0,
1)
independentes.
Mostre
que
Z
=
−2 ln(X) cos(2πY ) e W =
√
−2 ln(X)sen(2πY ) são N (0, 1) independentes.
......................................................................................................................................../PROB/CP06011A.TEX
20) Sejam X ∼ N (0, 1) e Y ∼ N (0, 1) independentes. Mostre que Z = X + Y e W = X − Y são N (0, 2)
independentes (Método do Jacobiano).
......................................................................................................................................../PROB/CP06012A.TEX
21) Sejam X1 , X2 e X3 v.a. independentes com distribuição N (0, 1) e Y1 = X1 + X2 + X3 , Y2 = X1 − X2
e Y3 = X1 − X3 . Obter a densidade conjunta de (Y1 , Y2 , Y3 ) via Método do Jacobiano.
......................................................................................................................................../PROB/CP06013A.tex
22) Sejam X1 , X2 , . . . , Xn v.a’s independentes. Suponha que Xi ∼ P (λi ), i = 1, 2, . . . , n. Mostre que a
v.a Z = X1 + X2 + · · · + Xn tem distribuição de Poisson com parâmetro λ = λ1 + λ2 + . . . + λn .
......................................................................................................................................../PROB/CP06014A.tex
23) Sejam X1 e X2 v.a.’s independentes, cada uma tendo distribuição exponencial com parâmetros α1 e
α2 , respectivamente.
a) Mostre que a v.a. M = min(X1 , X2 ) tem distribuição exponencial com parâmetro α1 + α2 .
b) Calcule P (X1 ≤ X2 ).
......................................................................................................................................../PROB/CP06015A.tex
24) Sejam X1 , X2 , · · · , Xn v.a.’s independentes, cada uma tendo distribuição exponencial com parâmetros
αi , i = 1, · · · , n.
a) Mostre que a v.a. M = min(X1 , X2 , · · · , Xn ) tem distribuição exponencial com parâmetro α1 +
α2 + · · · + αn .
b) Calcule P (X1 < X2 ).
......................................................................................................................................../PROB/CP06015B.tex
25) Lançam-se dois dados perfeitos. X indica o máximo dos dois resultados e Y a soma dos dois dados.
Encontre a distribuição de probabilidade conjunta de (X, Y ).
......................................................................................................................................../PROB/CP06016.tex
26) Lançam-se dois dados perfeitos. X indica o mı́nimo dos dois resultados e Y a soma dos dois dados.
Encontre a distribuição de probabilidade conjunta de (X, Y ).
......................................................................................................................................../PROB/CP06016b.tex
27) Suponha que a variável aleatória (X, Y ) tenha f.d.p conjunta dada por:
{
2e−(x+2y)
f (x, y) =
0,
a) Calcule P (0 < X < 1,
x > 0, y > 0
c.c.
1 < Y < 2)
b) Desenhe a região B = {X > 2Y } = {(x, y) : x > 2y}
c) Calcule P (X > 2Y )
......................................................................................................................................../PROB/CP06017.tex
28) Considerando a densidade conjunta abaixo, obter as densidades marginais e condicionais.
{
x2 + xy
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
3
f (x, y) =
0,
c.c.
......................................................................................................................................../PROB/CP06018.tex
29) Considerando a densidade conjunta abaixo, obter as densidades marginais de X e Y , e condicionais
de X|(Y = y) e Y |(X = x).
f (x, y) =
1
,
2x
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x.
......................................................................................................................................../PROB/CP06019.tex
30) Considere a f dp a seguir:
{
2e−(x+2y)
f (x, y) =
0,
x > 0, y > 0
c.c.
a) Obtenha a Função de Distribuição Conjunta de (X, Y )
b) Derive-a de forma a obter a densidade novamente.
......................................................................................................................................../PROB/CP06020.tex
31) Sejam X e Y v.a’s independentes, cada uma tendo distribuição Uniforme no intervalo (0, 1). Seja
Z = X + Y . Encontre a f.d.p de Z pelo Método do Jacobiano.
......................................................................................................................................../PROB/CP07001A.tex
32) Sejam X e Y a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos. Suponha-se que sua f.d.p conjunta
seja dada pela função abaixo. Veriﬁque se Xe Y são independentes.
f (x, y) =
1 −(2x+y)
e
2
; x ≥ 0, y ≥ 0.
......................................................................................................................................../PROB/cp07002.tex
33) A tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade conjunta de (X, Y ), referente ao número de peças
produzidas por duas linhas de prodção.
Y\X
0
1
2
3
Total
0
0
0,01
0,01
0,01
0,03
1
0,01
0,02
0,03
0,02
0,08
2
0,03
0,04
0,05
0,04
0,16
3
0,05
0,05
0,05
0,06
0,21
4
0,07
0,06
0,05
0,06
0,24
5
0,09
0,08
0,06
0,05
0,28
Total
0,25
0,26
0,25
0,24
1,00
Encontre a distribuição de probabilidade das seguintes v.a’s:
U = mı́n (X, Y ) = menor no de peças produzidas pelas duas linhas.
V = máx(X, Y ) = maior no de peças produziadas pelas duas linhas.
W = X + Y = no total de peças produzidas pelas duas linhas.
......................................................................................................................................../PROB/cp07003.tex
34) Sejam X e Y v.a.i. com distribuições Bin(n1 , p) e Bin(n2 , p), respectivamente. Determinar a distribuição de Z = X + Y .
......................................................................................................................................../PROB/cp07004.tex
35) Sejam X e Y v.a.i. com distribuições Poisson(λ1 ) e Poisson(λ2 ), respectivamente. Determinar a
distribuição de Z = X + Y .
......................................................................................................................................../PROB/cp07005.tex
36) Sejam X ∼ N (0, 1) e Y ∼ N (0, 1), independentes, qual a distribuição de Z = X + Y ?
......................................................................................................................................../PROB/cp07006.tex
37) Sejam X e Y v.a.i. com distribuições Poisson(λ1 ) e Poisson(λ2 ), respectivamente.
a) Determinar a distribuição de Z = X + Y .
b) Determinar a distribuição condicional de X dado que Z = X + Y = n.
......................................................................................................................................../PROB/cp07007.tex
38) Sejam X ∼ P oisson(λ) e Y |(X = x) ∼ Bin(x, p). Mostre que,
a) A distribuição de Y é P oisson(λp).
b) A distribuição condicional de X|(Y = y) é Poisson(λ(1 − p)).
......................................................................................................................................../PROB/CP07008.tex
39) Sejam X e Y v.a.i. com distribuições Poisson(λ1 ) e Poisson(λ2 ), respectivamente.
a) Mostrar que a distribuição de Z = X + Y é Poisson(λ1 + λ2 ).
1
b) Mostrar que a distribuição de X, dado que X + Y = n é Bin(n, λ1λ+λ
).
2
......................................................................................................................................../PROB/CP08001A.tex
40) Sejam X e Y v.a.i. com distribuições Bin(n1 , p) e Bin(n2 , p), respectivamente.
a) Mostrar que a distribuição de Z = X + Y é Bin(n1 + n2 , p).
b) Mostrar que a distribuição de X, dado que X + Y = m é Hipergeométrica. Ou seja,
(n)( n )
P (X = k|X + Y = m) =
k
m−n
(2n
) .
m
......................................................................................................................................../PROB/CP08002A.tex
41) Demonstre que se ρXY é o coeﬁciente de correlação entre X e Y , então −1 ≤ ρXY ≤ 1.
......................................................................................................................................../PROB/CP09001A.tex
42) Para cada uma das distribuições abaixo, informe: (i) se é discreta ou contı́nua, (ii) valores que ela
assume, (iii) função de probabilidade (fp) ou função densidade de probabilidade.
a) Binomial (n,p)
d) Exponencial(λ)
b) Poisson(λ)
e) Normal(µ, σ 2 )
c) Geométrica(p)
...................................................................................................................................... ../PROB/CP1.tex
43) Uma Empresa produz barras de comprimento especiﬁcado, mas com certa aleatoriedade no comprimento. Admita-se que o comprimento real X (polegada) seja uma variável aleatória uniformemente
distribuı́da sobre [9,12]. Suponha-se que somente interesse saber se um dos três eventos (tipos) seguinte terá ocorrido: A1 = {X < 9, 5}, A2 = {9, 5 ≤ X ≤ 11, 5} e A3 = {X > 11, 5}. Determine
a probabilidade de que entre 10 barras produzidas tenhamos duas do Tipo 1, duas do Tipo 3 e as
demais do Tipo 2.
......................................................................................................................................../PROB/CP10001A.tex
44) Sejam X ∼ N (0, 9) e Y = χ225 v.a’s independentes. Encontre a k tal que a distribuição da v.a
U = k √XY seja t-Student com 25 graus de liberdade.
......................................................................................................................................../PROB/CP10002A.tex
45) Sejam Xk ∼ χ2k , k=1,2,3,4 v.a’s independentes.
a) Obtenha a distribuição da v.a W =
X2 +X3 +X4
9X1
b) Encontre w tal que P [W ≤ w] = 0, 975
......................................................................................................................................../PROB/CP10003A.tex
46) Sejam Xk ∼ χ22k , k=1,2,3,4 v.a’s independentes.
a) Encontre k tal que a distribuição da v.a. W = k
de liberdade.
(
X2 +X3 +X4
X1
)
seja F -Snedecor, e informe o grau
b) Encontre w tal que P [W ≤ w] = 0, 975
......................................................................................................................................../PROB/CP10003B.tex
47) Para os casos abaixo, informe (não precisar fazer as contas) qual a FGM:
(i) Binomial (n, p) (ii) Geométrica(p)
(iii) Poisson(λ)
(iv) Uniforme(a, b) (v) Exponencial(λ) (vi) Normal(µ, σ 2 ).
......................................................................................................................................
../PROB/CP101.tex
48) Calcule a FGM da v.a. X quando a distribuição de X é (i) Poisson(λ) e (ii) Normal(µ, σ 2 ). Use-as
para obter a média e a variância nos dois casos.
...................................................................................................................................... ../PROB/CP102.tex
49) Prove os seguintes resultados:
(1) Suponha que a v.a. X tenha f gm MX . Seja Y = αX + β. Então, a fgm de Y será dada por
MY (t) = eβt MX (αt)
(2) Suponha que X e Y sejam v.a. Independentes, com fgm dadas por MX e MY , respectivamente.
Se Z = X + Y , mostre que MZ (t) = MX (t)MY (t).
...................................................................................................................................... ../PROB/cp103.tex
50) Prove os seguintes resultados:
(1) Suponha que a v.a. X tenha f gm MX . Seja Y = αX + β. Então, a fgm de Y será dada por
MY (t) = eβt MX (αt)
(2) Suponha que X e Y sejam v.a. Independentes, com fgm dadas por MX e MY , respectivamente.
Se Z = X + Y , mostre que MZ (t) = MX (t)MY (t).
(3) Generalize para uma soma qualquer: sejam Xi v.a. independentes com fgm dadas ∏
por Mi , i =
n
1, · · · , n. Então se Z = X1 + X2 + . . . + Xn , teremos que MZ (t) = M1 (t) × . . . × Mn (t) = i=1 Mi (t).
n
Se, adicionalmente, as Xi são identicamente distribuı́das, teremos que MZ (t) = [M1 (t)] .
...................................................................................................................................... ../PROB/cp103B.tex
51) Prove os seguintes resultados:
......................................................................................................................................
../PROB/cp104.tex
52) No PSS da UFPA a nota em cada disciplina Xi tinha média 500 e desvio padrão 100. Na Fase 1
tı́nhamos n = 11 disciplinas. Supondo que a correlação entre cada par de disciplinas é∑
0,5, obtenha a
n
média e o desvio padrão da Nota Padronhizada Geral (NPG1), dada por N P G1 = n1 i=1 Xi .
......................................................................................................................................
../PROB/CP105.tex
53) Qual o valor máximo da função de probabilidade/densidade nos seguintes casos:
a) Binomial(n, p)
b) N(0,1)
......................................................................................................................................
../PROB/CP106.tex
54) Consideremos que o fato de chover ou não amanhã dependa de se choveu ou não nos últimos três dias
(hoje, ontem e anteontem).
(a) Este sistema pode ser
...................................................................................................................................... ../PROB/CP11.TEX
55) Suponha que a duração da vida de uma peça seja exponencialmente distribuı́da, com média 3. Suponha
que 10 dessas peças sejam instaladas sucessivamente, de modo que a i-ésima peça seja instalada
imediatamente depois que a ordem (i − 1) tenha falhado. Seja Ti a duração até falhar da i-ésima peça,
i = 1, 2, . . . , 10, sempre medida a partir do instante de instalação. Portanto, S10 = T1 + . . . + T10
representa o tempo total de funcionamento das 10 peças. Admitindo que os Ti sejam independentes,
calcule P (S10 ≥ 20).
......................................................................................................................................../PROB/cp11001A.tex
56) Suponha que X e Y são duas v.a.’s tais que ρXY = 1/2, V ar(X) = 1 e V ar(Y ) = 2. Obtenha
V ar(X − 2Y ).
......................................................................................................................................../PROB/CP113.TEX
57) Suponha que Xi , i = 1, 2, · · · , n sejam observações (v.a’s) independentes, cada uma delas tendo
distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0, 05. Faça S = X1 + · · · + Xn . Use n = 30.
a) Empregando o Teorema Central do Limite, calcule P (S ≥ 4).
b) Compare a resposta de (a) com o valor exato dessa probabilidade.
......................................................................................................................................../PROB/CP12001A.tex
58) Um sistema complexo é constituı́do de n componentes que funcionam independentemente. A probabilidade de que qualquer um dos componentes venha a falhar durante o perı́odo de operação é igual
a r. A ﬁm de que o sistema completo funcione, pelo menos 95 dos componentes devem funcionar
perfeitamente. Usando n = 100 e r = 0, 15, calcule a probabilidade de que isso aconteça.
......................................................................................................................................../PROB/CP12002A.tex
59) Suponha que o sistema do Exercı́cio 58 seja constituı́do de n componentes cada um deles tendo uma
conﬁabilidade de 0,85. O sistema funcionará se ao menos 80 por cento dos componentes funcionarem
adequadamente. Determine n de maneira que o sistema tenha uma conﬁabilidade de 0,95.
......................................................................................................................................../PROB/CP12003A.tex
60) Seja X ∼ B(10; 0, 4). Obter P (X ≥ 6) e P (X < 4) utilizando a correção de continuidade.
......................................................................................................................................../PROB/CP12004A.tex
61) Suponha que a proporção de fumantes de uma população seja p, desconhecida. Queremos determinar
p com um erro de, no máximo, 0, 03. Qual deve ser o tamanho da amostra n a ser escolhida com
reposição, se γ = 0, 90?
......................................................................................................................................../PROB/CP12005A.tex
62) Uma caixa contém 3 bolas vermelhas e 2 pretas. Extrai-se uma amostra de duas bolas sem reposição.
Sejam U e V os números de bolas vermelhas e pretas, respectivamente, na amostra. Determine:
a) ρuv
b) E(U |V = 1)
c) V ar(U |V = 1)
......................................................................................................................................../PROB/CP123.TEX
63) Sejam X1 e X2 v.a.’s independentes, cada uma tendo distribuição exponencial com parâmetros α1 e
α2 , respectivamente.
a) Mostre que a v.a. M = min(X1 , X2 ) tem distribuição exponencial com parâmetro α1 + α2 .
b) Calcule P (X1 ≤ X2 ).
...................................................................................................................................... ../PROB/CP13.TEX
64) Suponha que uma caixa contém 3 bolas numeradas de 1 a 3. Seleciona-se, sem reposição, duas bolas
da caixa. Seja X o número da primeira bola e Y o número da segunda bola. Determine:
a) Cov(X, Y )
b) ρxy
c) E(Y |X = 2)
d) V ar(Y |X = 2)
......................................................................................................................................../PROB/CP133.TEX
65) Suponha que X tenha f.d.p. dada por f (x) = 2x,
0 ≤ x ≤ 1.
...................................................................................................................................... ../PROB/CP14.TEX
66) Suponha que X ∼ P oisson(λ). Use a desigualdade de Tchebycheﬀ para veriﬁcar as seguintes desigualdades:
[
]
a) P X ≤ λ2 ≤ λ4
b) P (X ≥ 2λ) ≤ λ1
......................................................................................................................................../PROB/CP143.TEX
67) Suponha que a duração de um certo tipo de lâmpada depois de instalada distribui-se, exponencialmente, com duração média de 10 dias. Quando uma lâmpada queima, instala-se outra do mesmo
tipo em seu lugar. Obtenha a probabilidade de que sejam necessárias mais de 50 lâmpadas durante o
perı́odo de um ano.
...................................................................................................................................... ../PROB/CP15.TEX
68) Um fabricante de parafusos sabe que 5% de sua produção é defeituosa. Ele oferece uma garantia
sobre sua remessa de 10.000 itens, prometendo reembolsar o dinheiro se mais de a parafusos forem
defeituosos. Qual o menor valor que o fabricante pode atribuir a a e ainda continuar seguro de que
não precisa reembolsar o dinheiro em mais de 1% das vezes?
......................................................................................................................................../PROB/CP153.TEX
69) Em um programa de TV o apresentador mostra-lhe três portas iguais. Por trás de uma delas está
um maravilhoso e cintilante carro. Por trás de cada uma das outras está uma cabra. O objectivo
do jogo é que o leitor escolha uma das portas, ganhando o prémio que ela esconde. O apresentador
começa por lhe pedir que escolha uma das três portas. O apresentador (que sabe onde está o carro)
abre uma das duas portas não escolhidas, revelando uma cabra. Em seguida, vira-se para si e dá-lhe
a possibilidade de trocar a sua escolha da porta inicial para a outra porta ainda fechada. O que é que
lhe é mais vantajoso ? Trocar de portas ou manter a escolha inicial ? Ou é indiferente ? Justiﬁque
sua resposta.
...................................................................................................................................... ../PROB/CP1a.tex
70) Sua mãe costuma jogar na Megasena, mas seus recursos só permitem jogar n bilhetes a cada ano. Ela
lhe faz a seguinte pergunta: o que é melhor, jogar n cartões de uma única vez ou fazer uma aposta
por vez até acabar os recursos?
...................................................................................................................................... ../PROB/CP1b.tex
71) Para cada uma das distribuições abaixo, informe: (i) se é discreta ou contı́nua, (ii) valores que ela
assume, (iii) função de probabilidade (fp) ou função densidade de probabilidade.
a) Binomial (n,p)
b) Poisson(λ)
c) Geométrica(p) [num. lanc.]
d) Binomial Negativa
e) Hipergeométrica f) Multinomial
h) Normal(µ, σ 2 )
χ(n), Gamma(α, β), t
g) Exponencial(λ)
......................................................................................................................................
../PROB/CP1c.tex
72) Para cada uma das distribuições abaixo, informe: (i) se é discreta ou contı́nua, (ii) valores que ela
assume, (iii) função de probabilidade (fp) ou função densidade de probabilidade.
a) Binomial (n,p)
b) Poisson(λ)
c) Geométrica(p) [num. lanc.]
d) Binomial Negativa
e) Hipergeométrica
f) Multinomial
g) Exponencial(λ)
h) Normal(µ, σ 2 )
i) Qui-Quadrado (n), j) Gamma(α, β),
k) t − Student (n),
l) F − Snedecor(m, n).
......................................................................................................................................
../PROB/CP1d.tex
73) Para cada uma das distribuições abaixo, informe: (i) se é discreta ou contı́nua, (ii) valores que ela
assume, (iii) função de probabilidade (fp) ou função densidade de probabilidade.
a) Binomial (n,p)
b) Poisson(λ)
c) Geométrica(p) [num. lanc.]
d) Binomial Negativa e) Hipergeométrica f) Multinomial
g) Exponencial(λ)
h) Normal(µ, σ 2 ) .
...................................................................................................................................... ../PROB/CP1e.tex
74) Para cada uma das distribuições abaixo, informe: (i) se é discreta ou contı́nua, (ii) valores que ela
assume, (iii) função de probabilidade (fp) ou função densidade de probabilidade, com seus parâmetros.
a) Binomial
b) Poisson
c) Geométrica
d) Binomial Negativa e) Hipergeométrica f) Exponencial
g) Normal
h) Bernoulli
i) Uniforme.
...................................................................................................................................... ../PROB/CP1F.tex
75) Para cada uma das distribuições abaixo, informe: (i) se é discreta ou contı́nua, (ii) valores que ela
assume, (iii) função de probabilidade (fp) ou função densidade de probabilidade e (iv) E(X) e V ar(X).
a) Binomial (n,p) b) Poisson(λ)
c)Geométrica(p)
d) Uniforme(a, b)
e) Exponencial(λ) f) Normal(µ, σ 2 ) g) Qui-Quadrado (n) h) Gamma(α, β)
...................................................................................................................................... ../PROB/CP1g.tex
76) Seja X uma variável aleatória contı́nua, com

ax



a
f (x) =

−ax + 3a



0
f dp dada por
0 ≤ x ≤ 1,
1 ≤ x ≤ 2,
2 ≤ x ≤ 3,
para quaisquer outros valores.
(i) Determine a constante a; (ii) esboce o gráﬁco da F (Função de Distribuição Acumulada).
...................................................................................................................................... ../PROB/CP2.TEX
77) Prove as Leis de Morgan:
(
(i)
n
∪
i=1
)c
Ai
=
n
∩
i=1
(
Aci
(ii)
n
∩
i=1
)
Aci
=
n
∪
Aci
i=1
......................................................................................................................................
../PROB/CP201.tex
78) Discuta três possı́veis interpretações para o problema a seguir, apresentando suas soluções:
√
“Num cı́rculo unitário, o triângulo equilátero inscrito tem lado igual a 3. Qual é a probabilidade de
uma corda desse cı́rculo, escolhida ao acaso, ter comprimento maior que o lado desse triângulo.”
...................................................................................................................................... ../PROB/CP202.tex
79) São escritas cartas a n destinatários diferentes e há n envelopes com os respectivos endereços. Porém,
as cartas são colocadas ao acaso em cada um desses envelopes.
a) Qual é a probabilidade da k-ésima carta chegar ao destino correto?
b) Qual é a probabilidade de pelo menos uma carta chegar ao destino correto?
c) O que ocorre com a probabilidade em (b) se n → ∞?
...................................................................................................................................... ../PROB/CP203.tex
80) Exames de diagnóstico não são infalı́veis, mas deseja-se que tenham probabilidade pequena de erro.
Um exame detecta uma certa doença, caso ela exista, com probabilidade 0,9; se a doença não existir,
o exame acerta isso com probabilidade de 0,8. Considere que estamos aplicando o teste em uma
população com 10% de incidência dessa doença. Para um indivı́duo escolhido ao acaso, pergunta-se:
a) A probabilidade de ser realmente doente se o exame indicou que era.
b) Se dois indivı́duos forem escolhidos e testados, qual seria a probabilidade de errar um dos diagnósticos?
c) Suponha que o acerto do exame, nas duas soluções possı́veis, tem a mesma probabilidade p. Qual
deveria ser o valor de p para que a probabilidade calculada no item (a) seja de 0,9?
...................................................................................................................................... ../PROB/CP204.tex
81) Um carcereiro informa a três prisioneiros que um deles foi sorteado para ser solto no dia seguinte,
enquanto os outros dois serão executados. O prisioneiro João se aproxima do carcereiro e cochicha no
seu ouvido, solicitando que qual dos outros dois prisioneiros será executado. O prisioneiro argumenta
que isso não altera em nada sua situação, visto que pelo menos um desses prisioneiros será executado.
Entretanto, o carcereiro não atende a seu pedido, acreditando que isso poderia dar a João alterações
nas suas expetativas de ser libertado. Você acha que o carcereiro tem razão:
...................................................................................................................................... ../PROB/CP205.tex
82) Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros segundo um modeo Poisson, com uma
taxa de 3 erros por página.
a) Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos 1 erro em uma página escolhida ao acaso?
b) Se 5 páginas são sorteadas ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de encontrarmos
pelo menos uma página com pelo menos 1 erro por página?
c) Dentro das condições de (b), considere a variável que conta o número de páginas com pelo menos
1 erro. Você identiﬁca o modelo dessa variável?
...................................................................................................................................... ../PROB/CP221.tex
83) Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros segundo um modeo Poisson, com uma
taxa de 3 erros por página.
a) Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos 1 erro em uma página escolhida ao acaso?
b) Se 5 páginas são sorteadas ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de encontrarmos
pelo menos uma página com pelo menos 1 erro por página?
c) Dentro das condições de (b), considere a variável que conta o número de páginas com pelo menos
1 erro. Você identiﬁca o modelo dessa variável?
d) Dentro das condições de (b), considere a variável que conta o número de páginas até encontrarmos
a segunda página com erro. Você identiﬁca o modelo dessa variável?
......................................................................................................................................../PROB/CP221B.tex
84) Supondo que a expectativa de vida, em anos, seja uma v.a. Exp(1/70)
a) Determine, para um indivı́duo escolhido ao acaso, a probabilidade viver pelo menos até os 80 anos;
b) Refaça o item (a), sabendo que o indivı́duo tem mais de 50 anos;
c) Calcule o valor de m tal que P (X > m) = 1/2.
...................................................................................................................................... ../PROB/CP222.tex
85) Suponha que o volume, em litros, de uma garrafa de refrigerantes seja Normal com parâmetros µ = 2
e σ 2 = 0, 0025. Se 3 garrafas forem escolhidas ao acaso, pergunta-se a probabilidade de:
a) Todas as 3 terem pelo menos 1950 ml?
b) Não mais que uma ter conteúdo inferior a 1950 ml?
...................................................................................................................................... ../PROB/CP223.tex
86) Mostre que a taxa de falha t(x) = f (x)/(1 − F (x)), para F (x) < 1, é constante e coincidde com seu
parâmetro. (Isso é usado em análise de conﬁabilidade de sistemas.)
...................................................................................................................................... ../PROB/CP224.tex
87) Determine as condições sobre as constantes c de modo que as expressões abaixo sejam funções de
probabilidade:
a) p(x) = cαx , α ∈ (0, 1) e x = 0, 1, 2, ...
b) p(x) = (c − 1)2x , x = 1, 2, ...
...................................................................................................................................... ../PROB/CP225.tex
88) Qual é o valor de k (inteiro) da v.a. X que tem probabilidade máxima, nos seguintes casos:
(a) Bin(n, p) (b) P oisson(λ)
...................................................................................................................................... ../PROB/CP226.tex
89) Qual é o valor de x que tem probabilidade máxima, nos seguintes casos:
a) Exp(λ)
b) N ormal(µ, σ 2 )
......................................................................................................................................
../PROB/CP227.tex
90) Seja X uma v.a. com Função de Distribuição (FD) F . Determine a FD das v.a.
√
(a) −X, (b) |X|, c) X 2 e d) X
......................................................................................................................................
../PROB/CP228.tex
91) Seja X uma v.a. com Função de Distribuição (FD) FX . Determine a FD das v.a.’s Y deﬁnidas por
√
(a) −X, (b) |X|, (c) X 2 (d) X e (e) ln(1 − X)−1 , quando X ∼ Uc (0, 1)
......................................................................................................................................../PROB/CP228B.tex
92) Considere X1 e X2 independentes com distribuição Exp(α).
a) Mostre que a v.a. S = X1 + X2 tem distribuição Gama(2, α).
b) Obtenha a densidade da v.a. Z = Y /X.
X
c) Qual a distribuição da v.a. Z = X+Y
?
...................................................................................................................................... ../PROB/CP23.TEX
93) Suponha que X e Y são v.a. independentes e com distribuição exponencial de parâmetros λ1 e λ2 ,
respectivamente. Para k > 0, determine P (kX − Y > 0) usando:
a) um método convencional
∫∞
b) por condicionamento, ou seja, P (kX − Y > 0) = 0 P (kX − Y > 0|Y = y)fY (y)dy
...................................................................................................................................... ../PROB/cp231.tex
94) Sendo X ∼ N (µ, σ 2 ), σ 2 > 0, apresente uma função de X que tenha distribuição Qui-quadrado com
1 grau de liberdade, usando: (a) O método direto e (b) o método do Jacobiano.
...................................................................................................................................... ../PROB/cp232.tex
95) Mostre que, sendo X e Y v.a. independentes com distribuição de Poisson de parâmetros λ1 e λ2 ,
respectivamente, temos que
a) A soma X + Y é Poisson.
b) A distribuição condicional de X dado X + Y é binomial.
......................................................................................................................................
../PROB/cp233.tex
96) Mostre que X e Y são v.a. independentes com distribuição Binomial de parâmetros (n1 , p1 ) e (n2 , p2 ),
respectivamente, então:
a) Sob que condições a distribuição da soma Z = X + Y também segue o modelo Binomial? Neste
caso, quais os parâmetros de Z? (Mostre os cálculos!)
b) Veriﬁque que a distribuição condicional de Y dado Z é Hipergeométrica.
......................................................................................................................................
../PROB/cp234.tex
97) Sejam X1 e X2 v.a.’s independentes. Obtenha a distribuição de Z = min(X1 , X2 ).
a) Xi ∼ Exp(λi ), i = 1, 2
b) Xi ∼ Geo(p), i = 1, 2
......................................................................................................................................
../PROB/cp235.tex
98) Considere que as variáveis X e Y ∼ N (0, 1), independentes. Deﬁna as variáveis W = X + Y e
Z =X −Y.
a) Obtenha as densidades conjuntas de Z e W .
b) Z e W são independentes?
......................................................................................................................................
../PROB/cp236.tex
99) Sejam X1 e X2 v.a. independentes com parâmetros (n, λ) e (m, λ), respectivamente. Mostre que
a) W = X1 /(X1 + X2 ) tem distribuição Beta(n, m).
b) T = X1 + X2 tem distribuição Gama(m + n, λ)
c) T e W são independentes.
......................................................................................................................................
../PROB/cp237.tex
100) Determine, usando apenas as deﬁnições das variáveis t e F , quais as distribuições W quando:
a) X ∼ N (0, 16) e Y ∼ χ216 v.a’s independentes, e W =
b) Xk ∼
χ2k , k
= 1, 2, 3, v.a’s independentes, e W =
X
√
Y
.
5X1
X2 +X3
......................................................................................................................................
−λ(x−a)
101) Suponha que X tenha f.d.p. dada por f (x) = λe
a) Obtenha a f.g.m. da v.a. X;
,
../PROB/cp238.tex
x ≥ a.
b) Usando a f.g.m., calcule E(X) e V ar(X).
...................................................................................................................................... ../PROB/CP24.TEX
102) Arredonda-se 20 números para o inteiro mais próximo e soma-se os números resultantes. Suponha que
os erros individuais de arredondamento são independentes e se distribuem uniformemente em (-0,5;
0,5). Determine a probabilidade de que a soma obtida diﬁra da soma dos vinte números originais por
mais de 3.
...................................................................................................................................... ../PROB/CP25.TEX
103) Arredonda-se 20 números para o inteiro mais próximo e soma-se os números resultantes. Suponha que
os erros individuais de arredondamento são independentes e se distribuem uniformemente em (-0,5;
0,5). Determine a probabilidade de que a soma obtida diﬁra da soma dos vinte números originais por
mais de 3.
(2,0 pontos)
......................................................................................................................................../PROB/cp25x.tex
104) Suponha que 5 por cento de todas as peças que saiam de uma linha de fabricação sejam
defeituosas. Se 10 dessas peças forem escolhidas e inspecionadas, qual será a probabilidade
de que no máximo 2 defeituosas sejam encontradas?
......................................................................................................................................../PROB/CP3.TEX
105) Sejam X e Y v.a.’s independentes, ambas com distribuição uniforme no intervalo (0, 1).
Considere as seguintes v.a.’s: W = X + Y e Z = X − Y . Mostre que a v.a. bidimensional
contı́nua (W, Z) é uniformemente distribuı́da sobre o quadrado cujos vértices são (0,0), (1,1),
(2,0) e (1, -1).
......................................................................................................................................../PROB/CP33.TEX
106) Seja X o resultado do lançamento de uma moeda honesta.
......................................................................................................................................../PROB/CP34.TEX
107) Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional com a seguinte f.d.p. conjunta:
f (x, y) = Cx
0 < x < 1, 0 < y < x2
Calcule E(Y |X) e V ar(Y |X).
......................................................................................................................................../PROB/cp35.tex
108) Sabe-se que 80% das peças produzidas por uma indústria passam por três testes de qualidade.
Uma amostra de 200 peças é escolhida ao acaso da linha de produção. Qual é a probabilidade
de que o número de peças na amostra que passam pelos três testes de qualidade esteja
compreendido entre 154 e 170?
(2,0 pontos)
......................................................................................................................................../PROB/cp35x.tex
109) Considere uma variável aleatória X com resultados possı́veis: 0,1,2,... Suponha que P (X =
j) = (1 − a)aj , j=0,1,2,... (a) Para que valores de a o modelo acima faz sentido? O que
representa esse valor? (b) Veriﬁque que essa expressão representa uma legı́tima expressão de
probabilidade. Como ela é conhecida? (c) Mostre que para quaisquer dois inteiros s e t,
P (X > s + t|X > s) = P (X > t)
......................................................................................................................................../PROB/CP4.tex
110) Sejam X e Y v.a.’s independentes, ambas com distribuição uniforme no intervalo (θ− 12 , θ+ 12 ),
com θ ∈ R. Obtenha a densidade da v.a. Z = X − Y e veriﬁque que ela não depende de θ.
......................................................................................................................................../PROB/CP43.TEX
111) Suponha que X tenha f.d.p. dada por f (x) = 12 e−|x| ,
−∞ < x < ∞.
a) Obtenha a f.g.m. da v.a. X;
b) Usando a f.g.m., calcule E(X) e V ar(X).
......................................................................................................................................../PROB/CP44.TEX
112) Um dado é lançado 2.500 vezes. Determine a probabilidade aproximada de que a soma dos
pontos obtidos seja menor que 8.850.
......................................................................................................................................../PROB/CP45.TEX
113) Um dado é lançado 2.500 vezes. Determine a probabilidade aproximada de que a soma dos
pontos obtidos seja menor que 8.850.
(2,0 pontos)
......................................................................................................................................../PROB/cp45x.tex
114) Considere uma variável aleatória X com resultados possı́veis: 0,1,2,... Suponha que P (X =
j) = (1 − α2 )α2j , j=0,1,2,... (a) Para que valores de α o modelo acima faz sentido? O que
representa esse valor? (b) Veriﬁque que essa expressão representa uma legı́tima expressão de
probabilidade. Como ela é conhecida? (c) Mostre que para quaisquer dois inteiros s e t,
P (X > s + t|X > s) = P (X > t)
......................................................................................................................................../PROB/CP4b.tex
115) Calcule a Esperança e a Variância da variável aleatória X nos seguintes casos:
(a) X ∼ Binomial(n, p); (b) Uniforme contı́nua (a, b); (c) Geométrica (p)
......................................................................................................................................../PROB/CP5.TEX
116) Admita que X e Y representem a duração da vida de duas lâmpadas fabricadas por processos
diferentes. Suponha-se que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com fdp dadas
por f (x) = e−x I(0,∞) (x) e g(y) = 2e−2y I(0,∞) (y). Obtenha a fdp da variável aleatória X − Y ,
......................................................................................................................................../PROB/CP501.tex
117) Sejam X e Y v.a. independentes com distribuição Exponencial de parâmetro comum λ.
Obtenha a função de probabilidade de Z = X + Y .
......................................................................................................................................../PROB/CP502.tex
118) Sejam X e Y v.a. independentes com distribuição Geométrica de parâmetro comum p.
Obtenha a função de probabilidade de Z = X − Y .
......................................................................................................................................../PROB/CP503.tex
119) Sejam X e Y v.a. independentes com distribuição Exponencial de parâmetro comum λ.
Obtenha a função de probabilidade de Z = 2X + Y .
......................................................................................................................................../PROB/cp504.tex
120) Sejam X e Y v.a.’s independentes com as seguinte f.d.p.’s:
g(x) =
8
,
x3
x>2
e
h(y) = 2y,
0 < y < 1.
a) Obtenha a f.d.p. da v.a Z = XY .
b) Obtenha a E(Z).
......................................................................................................................................../PROB/CP53.TEX
121) Seja X uma v.a. com distribuição geométrica de parâmetro p, ou seja, com f.p. dada por
P (X = k) = p(1 − p)k−1 ,
k = 1, 2, ......
a) Obtenha a f.g.m. da v.a. X;
b) Usando a f.g.m., calcule E(X) e V ar(X).
......................................................................................................................................../PROB/CP54.TEX
122) Sendo X ∼ t21 , obtenha:
a) P (X ≤ 1, 71)
b) P (X > 0, 68)
c) P (X > −1, 32)
d) P (1, 32 < X < 2, 49)
e) P (−0, 68 ≤ X ≤ 1, 32)
......................................................................................................................................../PROB/cp55.tex
123) Suponha que a duração, em horas, de uma lâmpada especial tenha distribuição exponencial
de parâmetro 1/3. Se uma amostra de 36 lâmpadas é observada, qual é a probabilidade de
que a média amostral seja inferior a duas horas?
(2,0 pontos)
......................................................................................................................................../PROB/cp55x.tex
124) Seja X ∼ t25 , calcule:
(a) P (X ≤ 1, 7081), (b) P (X > 0, 6844) (c) P (X > −1, 3163)
(d) P (1, 3163 < X < 2, 4851) (e) P (−0, 6844 ≤ X ≤ 1, 3163)
......................................................................................................................................../PROB/cp56.tex
125) Seja X ∼ t25 , encontre o valor de “a”tal que
(a) P (X ≤ a) = 0, 975, (b) P (X > a) = 0, 10, (c) P (|X| ≤ a) = 0, 90, P [−a ≤ x ≤ a] = 0, 90
......................................................................................................................................../PROB/cp57.tex
126) Seja X ∼ P oisson(λ). Use a desigualdade de Tchebyshev para obter:
)
(
(a) P X ≤ λ2 ≤ λ4
(b) P (X ≥ 2λ) ≤
1
λ
......................................................................................................................................../PROB/cp58.tex
127) Considere um sequência de n experimentos de Bernoulli com probabilidade de sucesso p
de ocorrer um evento A e fA = nA /n a proporcão amostral de ocorrência de A. Use a
desugualdade de Tchebyshev para justiﬁcar que
P [ |fA − p | ≥ ε ] ≤
p (1−p)
nε2
......................................................................................................................................../PROB/cp59.tex
128) Uma certa liga é formada pela reunião da mistura em fusão de dois metais. A liga resultante contém uma certa percentagem de chumbo X , que pode ser considerada uma variável
aleatória. Suponha que X tenha a seguinte fdp:
3
f (x) = 10−5 x(100 − x),
5
0 ≤ x ≤ 100.
Suponha que P , o lucro lı́quido obtido pela venda dessa liga (por libra), seja a seguinte função
da percentagem de chumbo contida: P = C1 + C2 X. Calcule o lucro esperado (por libra).
......................................................................................................................................../PROB/CP6.tex
129) Sejam X e Y v.a.’s independentes, ambas com distribuição N (0, 1). Considere as seguintes
v.a.’s: W = X + Y e Z = X − Y . Determine a distribuição de W e Z e veriﬁque que ela são
independentes.
......................................................................................................................................../PROB/cp60.tex
130) Seja X ∼ χ220 , obtenha o valor de “a”tal que:
a) P (X ≤ a) = 0, 10
b) P (X > a) = 0, 95
c) P (X ≤ a) = 0, 99
d) P (X ≥ a) = 0, 025
......................................................................................................................................../PROB/cp62.tex
2 e
131) Suponha que X e Y sejam v.a.’s tais que E(X) = µX , E(Y ) = µY , V ar(X) = σX
V ar(Y ) = σY2 . Seja Z = X/Y , obtenha aproximaçôes para E(Z) e V ar(Z).
......................................................................................................................................../PROB/CP63.TEX
132) Sejam Xi ∼ χ2ni , i = 1, · · · , k, v.a.’s independentes. Usando a f.g.m., obtenha a distribuição
da v.a. S = X1 + X2 + · · · + Xk .
......................................................................................................................................../PROB/CP64.TEX
133) O Ministério da saúde deseja estimar a proporção de vı́timas de uma certa moléstia no
paı́s. Determine o menor tamanho de amostra necessário para que a estimativa diﬁra da
verdadeira proporção por menos de 1% com probabilidade de 0,95 quando sabe-se que a
verdadeira proporção de vı́timas dessa moléstia no paı́s é inferior a 0,10.
......................................................................................................................................../PROB/CP65.TEX
134) Suponha que X tenha distribuição Normal(2;0,16). Empregando a Tabela da distribuição
Normal, calcule as probabilidades:
(a) P (X > 2) (b) P (X < −1) (c) P (1, 8 ≤ X ≤ 2, 1)
......................................................................................................................................../PROB/CP7.tex
135) Seja X ∼ χ223 , calcule:
a) P (X ≤ 11, 689)
b) P (X ≤ 38, 076)
C) P (X > 18, 137)
......................................................................................................................................../PROB/cp72.tex
136) Sejam X e Y v.a.’s independentes, ambas com distribuição uniforme no intervalo (1, 2). Seja
Z = X/Y .
a) Obtenha aproximações para E(Z) e V ar(Z).
b) Obtenha a f.d.p. de Z e, em seguida, os valores exatos para E(Z) e V ar(Z). Compare
com os resultados obtidos em a).
......................................................................................................................................../PROB/CP73.TEX
137) Sejam Xi ∼ Exp(α), i = 1, · · · , r, v.a.’s independentes. Usando a f.g.m., mostre que
a) S ∼ Gama(r, α), com S = X1 + X2 + · · · + Xr ;
b) W ∼ χ22r , com W = 2αS.
......................................................................................................................................../PROB/CP74.TEX
138) Se 65% da população em uma comunidade é favorável à proposta de aumento nas mensalidades escolares, dê uma aproximação para a probabilidade de que uma amostra aleatória de
100 pessoas desta comunidade irá conter:
a) pelo menos 50 pessoas favoráveis à proposta;
b) no máximo 75 pessoas favoráveis à proposta.
......................................................................................................................................../PROB/CP75.TEX
139) Se 65% da população em uma comunidade é favorável à proposta de aumento nas mensalidades escolares, dê uma aproximação para a probabilidade de que uma amostra aleatória de
100 pessoas desta comunidade irá conter:
a) pelo menos 50 pessoas favoráveis à proposta;
(1,0 ponto)
b) no máximo 75 pessoas favoráveis à proposta.
(1,0 ponto)
......................................................................................................................................../PROB/cp75x.tex
140) Suponha que a duração da vida de dois componentes eletrônicos, D1 e D2 tenham distribuições N (40, 36) e N (45, 9), respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver de ser usado
por um perı́odo de 45 horas, qual dos dispositivos deverá ser preferido? E se fosse 48 horas?
......................................................................................................................................../PROB/CP8.tex
141) Suponha que a v.a. bidimensional contı́nua (X, Y ) seja uniformemente distribuı́da sobre a
região R = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}. Calcule ρxy .
......................................................................................................................................../PROB/CP83.TEX
142) Suponha que (X, Y )
......................................................................................................................................../PROB/cp83b.tex
143) Alguns resistores, Ri , i = 1, 2, · · · , n, são montados em série em um circuito. Suponha que
a resistência de cada um seja normalmente distribuı́da, com E(Ri ) = 10 ohms e V ar(Ri ) =
0, 16.
a) Se n = 5, qual a probabilidade de que a resistência do circuito exceda 49 ohms ?
b) Que valor deverá ter n, para que se tenha probabilidade igual a 0,5 de que a resistência
total exceda 100 ohms?
......................................................................................................................................../PROB/CP84.TEX
144) Sejam X1 , X2 , · · · v.a.’s independentes e identicamente distribuı́das (i.i.d.) U (0, 1), e seja
P
Yn = max{X1 , · · · , Xn }, para n = 1, 2, · · · . Prove que Yn → 1.
......................................................................................................................................../PROB/CP85.TEX
145) Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes. Sejam X o no de caras obtidas nos dois primeiros
lançamentos e Y o no de caras obtidas no último lançamento. Obtenha:
a) A distribuição Conjunta de (X,Y).
b) As distribuições marginais de X e Y .
c) X e Y são independentes?
......................................................................................................................................../PROB/CP9.teX
146) Suponha que (X, Y ) tenha a seguinte distribuição conjunta:
X
Y
-1
0
1
Total
-1
0
1
Total
1/8
1/8
1/8
3/8
1/8
0
1/8
2/8
1/8
1/8
1/8
3/8
3/8
2/8
3/8
1,0
a) Mostre que E(XY ) = E(X)E(Y ) e, consequentemente, ρxy = 0.
b) Mostre que X e Y não são independentes.
......................................................................................................................................../PROB/CP93.TEX
147) Suponha que a duração da vida de uma peça seja exponencialmente distribuı́da com parâmetro
0,5. Suponha que 10 dessas peças sejam instaladas sucessivamente, de modo que a i-ésima
peça seja instalada imediatamente após a peça de ordem (i − 1) ter falhado. Seja Ti a
duração até falhar da i-ésima peça, i = 1, 2, · · · , 10. Portanto, S = T1 + · · · + T10 representa o
tempo total de funcionamento das 10 peças. Admitindo que os Ti são independentes, calcule
P (S ≥ 15, 5).
......................................................................................................................................../PROB/CP94.TEX
148) Elabore uma macro para acumular (somar) n observações de uma X ∼ U (5, 15) e depois
apresentar na tela o valor médio. Use n = 10000.
......................................................................................................................................../PROB/HTmacro01.tex
149) Sejam X1 , X2 , X3 variáveis aleatórias independentes, todas com média 100 e variância 100.
Obtenha o valor esperado e a variância de Z = (X1 − 2X2 + X3 )/4.
......................................................................................................................................../PROB/IBGE2010Q29.tex
150) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes, correspondendo às medições realizadas
por dois diferentes operadores. Essas variáveis aleatórias possuem a mesma média , mas as
2 e σ 2 , respectivamente. Deseja-se calcular uma média ponderada
variâncias são diferentes, σX
Y
dessas duas medições, ou seja, Z = kX + (1 − k)Y . Qual o valor de k que torna mı́nima a
variância de Z?
......................................................................................................................................../PROB/IBGE2010Q34.tex
151) Sejam A1 , A2 , · · · , An e B1 , B
∩2n, · · · , Bn eventos′ em (Ω, F, P). Para j = 1, · · · , n, suponha
∪n
que
∩nBj seja independente de i=1 Ai , e que os Bj s sejam disjuntos 2 a 2. Mostre que j=1 Bj
e i=1 Ai são independentes.
......................................................................................................................................../PROB/MN01024.tex
152) Se X ∼ B(n, p), qual é o modelo de Y = n − X?
......................................................................................................................................../PROB/MN02003.tex
153) Sendo X uma variável aleatória com distribuição FX , determine a função de dstribuição de
Y = −X e W = |X|.
......................................................................................................................................../PROB/MN02011.tex
154) Numa certa região a probabilidade de chuva é α ∈ ( 12 , 1). Um morador da região, acostumado
com as variações muito frequentes do clima, aﬁrma que acerta mais que os meteorologistas.
Ele costuma jogar sua moeda, que indica chuva com probabilidade β ∈ (0, 1). Suponha que
são feitas, de forma independente, previsões em três dias.
a) Discuta o comportamento probabilı́stico do número de acertos do morador
b) Supondo α conhecido, qual deve ser β de modo que a probabilidade de três acertos seja
máxima?
c) Um novato na região diz que, pra maximizar o acerto, é melhor dizer que chove todo dia.
O que você acha?
......................................................................................................................................../PROB/MN02037.tex
155) Se X ∼ Gama(α, 1) e Y ∼ P oison(λ, mostre que P (X > λ) = P (Y < α).
......................................................................................................................................../PROB/MN02038.tex
156) Sendo X ∼ B(n, p), qual é o valor k (k inteiro entre 0 e n), que tem probabilidade máxima?
......................................................................................................................................../PROB/MN02041.tex
157) Sendo X e Y independentes com X ∼ N (0, 1) e Y igual a 1 ou -1, com mesma probabilidade.
Para Z = XY , calcule o coeﬁciente de correlação entre X e Z. As variáveis X e Z são
independentes?
......................................................................................................................................../PROB/MN05025.tex
158) Seja X1 , X2 , · · · uma sequencia de variáveis independentes e identicamente distribuı́das. Seja
N uma outra variável, assumindo valores
não negativos, e independente das Xi′ s.
∑inteiros
N
Determine a média e a variância de Y = i=1 Xi .
......................................................................................................................................../PROB/MN05026.tex
159) Para X ∼ N (0, 1) e Y ∼ N (0, 2), independentes.
a) Determine a função geradora de momentos de X 2 + Y 2 e, a partir daı́, sua média.
b) Calcule a função geradora de momentos conjunta de X 2 e Y 2 e, a partir daı́, a média de
X 2.
......................................................................................................................................../PROB/MN05043.tex
160) Seja X uma v.a. tal que
{
n
E(X ) =
n!
(n/2)! ,
se n par
0,
caso contrário.
Determine a fgm de X e identiﬁque sua distribuição.
......................................................................................................................................../PROB/MN05051.tex
161) Seja {Xn , n ≥ 1} uma sequencia de variáveis aleatórias i.i.d.,
seguindo o modelo Uniforme
1 ∑n
Contı́nuo em (0,1). Calcule o limite em probabilidade de n k=1 (− log Xk ).
......................................................................................................................................../PROB/MN06028.tex
162) Sejam Xn , n ≥ 1 variáveis aleatórias i.i.d com média µ e variância σ 2 , ambas ﬁnitas. Com o
uso do Teorema Central do Limite, determine o tamanho da amostra n para que P (|X n −µ| ≤
σ
10 ) ≃ 0, 95.
......................................................................................................................................../PROB/MN06038.tex
163) Seja {Xn , n ≥ 1} uma sequencia de variáveis aleatórias i.i.d. com média 0 e variância 2.
Obtenha o limite em distribuição de
a)
√
n(X1 +X2 +···+Xn )
X12 +X22 +···+Xn2
2 +···+Xn
b) √X1 +X
2
2
2
X1 +X2 +···+Xn
......................................................................................................................................../PROB/MN06055.tex
164) Sejam Xn e Ym variáveis aleatórias independentes com distribuição Poisson de parâmetros
m e n, respectivamente. Mostre que
(Xn − n) − (Ym − m) d
√
−→ N (0, 1)para m e n → ∞.
Xn + Ym
......................................................................................................................................../PROB/MN06065.tex
165) O tempo em minutos, X, para a digitação de um texto, é considerado uma variável aleatória
contı́nua com função densidade de probabilidade dada pela função abaixo. Obtenha o valor
esperado de X.

1

4,
f (z) = 18 ,


0,
se 0 ≤ x < 2
se 2 ≤ x ≤ 6
caso contrário.
......................................................................................................................................../PROB/MPU2007Q40.tex
166) A tabela abaixo apresenta a distribuição conjunta das freqüências relativas a X e Y , onde:
X: preço, em reais, do produto X.
Y : preço em reais, do produto Y .
Y
X
1
2
3
2
3
4
0.2
0
0.3
0.1
0.1
0
0.1
0.1
0.1
Para fabricação de uma peça Z são utilizadas os produtos X e Y e está sendo analisada a
viabilidade econômica desta peça. Se Z utiliza 3 unidades de X, e 5 unidades de Y , qual é o
custo médio de Z?
......................................................................................................................................../PROB/MPU2007Q47.tex
167) A tabela abaixo apresenta a distribuição conjunta das freqüências relativas a X e Y , onde:
X: preço, em reais, do produto X.
Y : preço em reais, do produto Y .
Y
X
1
2
3
2
3
4
0.2
0
0.2
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
Para fabricação de uma peça Z são utilizadas os produtos X e Y e está sendo analisada a
viabilidade econômica desta peça. Se Z utiliza 3 unidades de X, e 5 unidades de Y , qual é o
custo médio de Z?
......................................................................................................................................../PROB/MPU2007Q47b.tex
168) (Modelo de Ehrenfest) Consideremos duas urnas A e B com um total de 2N bolas numeradas de 1 a 2N . A cada etapa, sorteamos um número aleatório entre 1, 2, · · · , 2N e a bola
com o número sorteado é transferida para a outra urna. Sejam X0 o número de bolas na
urna A no inı́cio e Xn o número de bolas na urna A após a n-ésima etapa. {Xn }n≥0 é uma
CM? Se for, descreva sua matriz de probabilidades de transição.
......................................................................................................................................../PROB/PE1.TEX
169) Uma partı́cula nos pontos 0, 1, 2, 3 e 4 de um cı́rculo inicia seu movimento no estado 0. Em
cada etapa ela tem probabilidade p de se mover para o seu vizinho da direita (sentido horário)
e 1 − p para a esquerda. Seja {Xn }n≥0 a posição da cadei na n-ésima etapa
(a) {Xn }n≥0 é uma CM? Explique com detalhes.
(b) Se for, determine a matriz de probabilidades de transição.
......................................................................................................................................../PROB/PE10.TEX
170) Mostre que a distribuição exponencial tem a propriedade de falta de memória, ou seja,
P (X > s + t|X > s) = P (X > t)
......................................................................................................................................../PROB/PE101.TEX
171) Para uma série de ensaios dependentes, a probabilidade de sucesso em qualquer ensaio é
pk = (k + 1)/(k + 2), onde k é o número de sucessos nos dois últimos ensaios. Calcule
lim P (Sucesso no n-ésimo ensaio).
n→∞
......................................................................................................................................../PROB/PE102.TEX
172) Suponha que 6 bolas são colocadas em duas urnas A e B e que 3 dessas bolas são vermelhas
e o restante pretas. Inicialmente, 3 bolas são colocada na urna A e 3 na B ao acaso. A
cada etapa uma bola é retirada aleatoriamente de cada urna e colocada na oposta. Seja Xn
o número de bolas pretas na urna A após a n-ésima etapa. {Xn }n≥0 é uma CM? Se for,
determine a matriz de probabilidades de transição.
......................................................................................................................................../PROB/PE11.TEX
173) [Modelo de Fila] Clientes utilizam um serviço com dois servidores (guichês). Em cada um
dos guichês, independente dos outros e das possı́veis chegadas, um usuário tem probabilidade
p0 de ser atendido durante um intervalo de tempo unitário e, se isso acontece o usuário
seguinte começa a ser atendido no inı́cio do próximo intervalo de tempo. Suponha que
um cliente chega ao sistema (ﬁla) com probabilidade p1 , ou não chega ninguém, durante o
intervalo de tempo unitário. Seja
X0 : número de clientes na ﬁla no instante inicial
Xn : número de clientes na ﬁla no instante n ≥ 1
Este problema pode ser formulado em termos de uma Cadeia de Markov? Por quê? Em caso
positivo, indique quais são os estados e qual a matriz de probabilidades de transição P .
......................................................................................................................................../PROB/PE12.TEX
174) Uma cadeia de Markov {Xn }n≥0 com E = {0, 1, 2}, π (0) = ( 13 , 13 , 31 ) e cujas linhas da matriz
de transição são dadas por ( 12 , 12 , 0), (0, 13 , 32 ) e (1, 0, 0)
a) Determine P (X2 = 0, X1 = 1, X0 = 2)
b) Determine P (X2 = 1, X1 = 0, X0 = 1)
c) Determine P (X2 = 1, X0 = 1|X1 = 0)
......................................................................................................................................../PROB/PE13.TEX
175) [Previsio do tempo] Suponha que o fato de chover ou não amanhã dependa apenas de se
choveu ou não nos últimos dois dias (hoje e ontem). Se choveu nos últimos dois dias (estado
0), então choverá amanhã com probabilidade 0,7; se choveu hoje mas não ontem (estado
1), então choverá amanhã com probabilidade 0,5; se choveu ontem mas não hoje (estado 2),
então choverá amanhã com probabilidade 0,4; se não choveu nos últimos dois dias (estado
3), então choverá amanhã com probabilidade 0,2. Seja Xn a condição do tempo no dia n.
(a) {Xn }n≥0 é uma CM? Explique com detalhes. (b) Se for, qual a matriz de transição de
probabilidade desta cadeia?
......................................................................................................................................../PROB/PE14.TEX
176) Consideremos que o fato de chover ou não amanhã dependa apenas de se choveu ou não nos
últimos três dias (hoje, ontem e anteontem). (a) Este sistema pode ser analisado através de
uma CM? (b) Quais e quantos são os estados desta cadeia? (c) Suponha agora que se choveu
nos últimos 3 dias, então choverá amanhã com probabilidade 0,8; se não choveu nos últimos
3 dias, então choverá amanhã com probabilidade 0,2; em qualquer outro caso o tempo será
igual ao de hoje com probabilidade 0,6. Qual a matriz de transição?
......................................................................................................................................../PROB/PE15.TEX
177) [Equilı́brio de Hardy-Weinberg] Considere uma população de individuos onde cada um
deles tem um particular par de genes e cada gen é classiﬁcado como sendo do tipo A ou
do tipo a. Vamos assumir que as porcentagens de individuos que tem os pares de genes
AA, aa ou Aa (= aA) são, respectivamente, P0 , q0 e r0 (com P0 + q0 + r0 = 1). Quando
dois individuos se ”casam´´, cada um deles contribui com um de seus genes, escolhido ao
acaso, para formar o seu descendente. Vamos assumir que os casamentos ocorrem ao acaso e
que cada individuo pode casar com qualquer outro individuo. Determine as porcentagens de
individuos na próxima geração cujos genes são AA, aa e Aa, chamando estas porcentagens de
p, q e r, respectivamente. Qual a matriz de transição. (Sugestâo: condicione sobre os genes
dos genitores (pais))
......................................................................................................................................../PROB/PE16.TEX
178) Consideremos o Passeio Casual nos inteiros, com X0 a posição da partı́cula no instante inicial
e Xn a posição da partı́cula no instante n. Calcule a probabilidade de transição de n passos
quando a partı́cula parte do estado i, ou seja, calcule P (Xn = j|X0 = i).
......................................................................................................................................../PROB/PE17.TEX
179) Considere uma cadeia cuja matriz de Markov com 3 estados cujas linhas da matriz de transição
são (1/4,3/4,0), (1/3,1/3,1/3) e (0,1/4,3/4). Calcule (a) P (X0 = 0, X1 = 1, X2 = 1), (b)
P (X1 = 1, X2 = 1|X0 = 0), (c) π 1 , (d) P (2) (e)π 2 .
......................................................................................................................................../PROB/PE18.TEX
180) Consideremos uma cadeia de Markov com 2 estados cuja matriz de transição é
(
)
p
1−p
P =
1−p
p
Mostre por indução matemática que a matriz de transição em n passos é dada por
)
(1 1
+ 2 (2p − 1)n 12 − 21 (2p − 1)n
(n)
2
P
= 1 1
n 1 + 1 (2p − 1)n
2 − 2 (2p − 1)
2
2
......................................................................................................................................../PROB/PE19.TEX
181) Classiﬁque os estados da cadeia dada pela matriz


4/12 4/12 1/12 1/12 1/12 1/12
 0
1/2 1/2
0
0
0 


 0
1/3 2/3
0
0
0 

P =
 0
0
0
1/3 2/3
0 


 0
0
0
1/2 1/2
0 
1/12 1/12 1/12 4/12 4/12 1/12
......................................................................................................................................../PROB/PE2.TEX
182) Uma matriz de probabilidade
de transição é dita duplamente estocástica de a soma em cada
∑
coluna é 1, ou seja, i=1 Pij = 1, ∀j. Se tal cadeia é irredutı́vel e aperiódica e consiste de
M + 1 estados: 0, 1, · · · , M , mostre que as probabilidades limites são dadas por
πj =
1
,
M +1
j = 0, 1, · · · , M.
Dica: apenas veriﬁque a condição necessária.
......................................................................................................................................../PROB/PE20.TEX
183) Seja Yn o resultado
......................................................................................................................................../PROB/PE21.TEX
184) Consideremos que o fato de chover, ou não, hoje depende apenas do fato de ter chovido, ou
não, ontem. Suponhamos que se choveu ontem, choverá hoje com probabilidade α; se não
choveu ontem, choverá hoje com probabilidade β. Este problema pode ser formulado em termos de uma Cadeia de Markov? Por quê? Em caso positivo, qual a matriz de probabilidades
de transição P .
......................................................................................................................................../PROB/PE3.TEX
185) Considere a matriz P dada abaixo, que é uma matriz de transição em um passo. Calcule a
matriz de probabilidades de transição em 4 (quatro) passos.
(
)
0.7 0.3
P =
0.4 0.6
......................................................................................................................................../PROB/PE4.TEX
186) Consideremos o passeio aleatório em Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2} com pi,i+1 = p e pi,i−1 =
1 − p = q, ∀i ∈ Z. Como todos os estados se comunicam, então ou são todos recorrentes ou
todos transitórios. Prove que se p = 12 todos os estados serão recorrentes e se p ̸= 12 todos
serão transitórios.
(2n) n
n
Obs. Notemos que basta veriﬁcar se o estado 0 é recorrente. Temos que p2n
00 = n p (1 − p)
√
1
e n! ≃ nn+ 2 e−n 2π (conhecida como aproximação de Stirling). Use que
∑
• se n≥1 p2n
00 = ∞ então 0 é recorrente
∑
• se n≥1 p2n
00 < ∞ então 0 é transitório
......................................................................................................................................../PROB/PE5.TEX
187) Considere uma agência dos correios com dois guichês. Quando o cliente C chega à agência,
ele percebe que já estão sendo atendidos os clientes A e B e ele será atendido tão logo algum
guichê desocupe. Se o tempo gasto por cada guichê é exponencialmente distribuı́do com taxa
λ, qual é a probabilidade que o cliente C seja o último a sair da agência?
......................................................................................................................................../PROB/PE50.TEX
188) Considere um processo de ramiﬁcação tendo X0 = 1 e µ > 1. Prove que π0 é a menor solução
positiva da Equação ????.
∑
j
Dica: Seja π uma solução qualquer de π = ∞
j=0 π Pj . Mostre por indução matemática que
π ≥ P {Xn = 0} para todo n e faça n → ∞. Por indução, argumente que P {Xn = 0} =
∑
∞
j
j=0 P {Xn−1 = 0} pj .
......................................................................................................................................../PROB/PE51.TEX
189) Para um processo de ramiﬁcação, calcule π0 quando
(a) P0 = 14 ,
P2 = 34 ,
(b) P0 = 14 ,
P1 = 12 ,
(c) P0 = 16 ,
P1 =
1
2
P2 = 14 ,
P2 = 31 ,
......................................................................................................................................../PROB/PE52.TEX
190) Prove o Teorema 3.1 do livro texto.
......................................................................................................................................../PROB/PE53.TEX
191) Consideremos um processo estocástico com matriz de transição∑
dada abaixo. Determine a
distribuição estacionária π = (π0 , π1 ) que satisfaz π = πP com 1i=0 πi = 1.
(
P =
α
1−α
1−β
β
)
......................................................................................................................................../PROB/PE6.TEX
192) Considere dois processos de Poisson independentes {N1 (t), t ≥ 0} e {N2 (t), t ≥ 0}. Determine
a probabilidade que hajam duas ocorrências do processo N1 (t) antes que ocorra uma do
processo N2 (t).
......................................................................................................................................../PROB/PE61.TEX
193) Sejam {Ni (t), t ≥ 0} dois processos de Poisson independentes, com taxas λi , i = 1, 2. Mostre
que {N (t), t ≥ 0}, com N (t) = N1 (t) + N2 (t), é um processo de Poisson com taxa λ1 + λ2 .
......................................................................................................................................../PROB/PE62.TEX
194) No exercı́cio anterior, qual é a probabilidade de que a primeira ocorrência do processo combinado N (t) seja oriunda de N1 (t)?
......................................................................................................................................../PROB/PE63.TEX
195) Para um processo de Poisson, mostre que para s < t,
( )( ) (
n
s k
s )n−k
P {N (s) = k|N (t) = n} =
1−
,
k
t
t
k = 0, 1, · · · , n.
......................................................................................................................................../PROB/PE64.TEX
196) Suponha que os eventos de um processo de poisson com taxa λ possam
∑k ser classiﬁcados
independentemente em k tipos com probabilidades p1 , p2 , · · · , pk , com i=1 pi = 1. Denote
por Ni (t) o número de eventos do tipo i, i = 1, · · · , k. O que podemos dizer sobre os processos
Ni (t)? Faça os cálculos necessários.
......................................................................................................................................../PROB/PE65.TEX
197) Um processo estocástico {Xi (t), t ≥ 0} é denominado de Processo de Poisson Composto se ele
∑N (t)
pode ser escrito como X(t) = i=1 Yi , t ≥ 0, onde {N (t), t ≥ 0} é um processo de Poisson
e {Yn , n ≥ 0} é uma famı́lia de v.a.i.i.d., independentes de {N (t), t ≥ 0}.
a) O processo de Poisson usual pode ser considerado um caso particular deste processo? Em
que caso?
b) Dê um exemplo prático deste processo.
......................................................................................................................................../PROB/PE66.TEX
198) Para o processo da questão anterior:
a) Determine sua média e sua variância.
b) Suponha que famı́lias migrem para uma determinada região segundo um processo de
Poisson com taxa λ = 2 por semana. Se o número de pessoas em cada famı́lia é independente
e pode assumir os valores 1, 2, 3 e 4 com probalidades 16 , 26 , 62 , 16 , respectivamente, qual o valor
esperado e a variância do número de indivı́duos migrando para essa área durante um perı́odo
de 5 semanas.
......................................................................................................................................../PROB/PE67.TEX
199) Considere uma agência de correios com dois guichês. As pessoas A, B e C entram simultaneamente na agência; A e B vão diretamente para os guichês e C ﬁca esperado até que um
deles termine. Qual a probabilidade que A permaneça em atendimento após os dois outros
saı́rem quando:
a) o tempo de atendimento de cada guichê é exatamente 10 minutos (não aleatório)?
b) o tempo de serviço é i minutos com probabilidade 13 i = 1, 2, 3.
c) o tempo de serviço é exponencial com média 1/µ.
......................................................................................................................................../PROB/PE69.TEX
200) Seja {Xn }n≥1 a cadeia de Ehrenfest e suponha que X0 tenha distribuição Binomial(d, 1/2).
Encontre a distribuição de X1 .
......................................................................................................................................../PROB/PE7.TEX
201) (Modelo de Estoques) Consideremos que as demandas D de um certo produto A em uma
determinada loja são v.a.i.i.d. com distribuição P oisson(λ). Designemos por Xi , i ≥ 1, os
nı́veis de estoque ao ﬁnal do i-ésimo dia e por S a capacidade do estoque. A reposição do
estoque é feita da seguinte forma: se no ﬁnal do dia i o nı́vel de estoque Xi é menor que s,
então são ordenadas S − Xi peças para reposição, de modo que no dia seguinte o estoque
inicial será S; se tivermos s ≤ Xi ≤ S, então não é feita nenhuma reposição de estoque.
Temos, portanto,
{
Xi+1 = Xi − Di+1
Xi+1 = S − Di+1
;
;
s ≤ Xi ≤ S
Xi < s
Seja X0 o nı́vel de estoque no primeiro dia de atividade da loja. {Xn }n≥0 é uma CM? Se for,
determine sua matriz de probabilidades de transição.
Obs: Estoques negativos no ﬁnal de uma dia serão interpretados como peças que seriam
vendidas caso houvessem peças suﬁcientes no estoque.
......................................................................................................................................../PROB/PE8.TEX
202) Considere o passeio casual de uma partı́cula nos inteiros E = {−N, −N + 1, · · · , N − 1, N },
N ≥ 1, com probabilidades de transição dadas por
p−N,−N +1 = 1 = pN,N −1
e pi,j =
1
2
se
j ∈ {i − 1, i + 1}, i ∈ {−N + 1, · · · , N − 1}.
Determine a medida de probabilidade invariante da cadeia para N = 2.
......................................................................................................................................../PROB/PE9.TEX
203) As probabilidades de que dois eventos independentes ocorram são p1 e p2 , respctivamente.
Qual a probabilidade:
a) de que nenhum desses eventos ocorra?
b) de que pelo menos um desses eventos ocorra?
......................................................................................................................................../PROB/PM05019.tex
204) Para estudar o comportamento do mercado automobilı́stico, as marcas foram divididas em
três categorias: marca F , marca W , e as demais marcas reunidas como a marca X.
......................................................................................................................................../PROB/PM05039.tex
205) A empresa M & B tem 15.800 empregados, classiﬁcados de acordo com a tabela abaixo.
Idade Sexo
< 25 anos (A)
25-40 anos (B)
> 40 anos (C)
Total
Homens (H)
2.000
4.500
1800
8.300
Mulheres (M)
800
2.500
4.200
7.500
Total
2.800
7.000
6.000
15.800
Se um empregado é selecionado ao acaso, calcular a probabilidade de ele ser:
a) um empregado com 40 anos de idade ou menos;
b) um empregado com 40 anos de idade ou menos, e mulher;
c) um empregado com mais de 40 anos de idade, e que seja homem;
d) uma mulher, dado que é um empregado com menos de 25 anos.
......................................................................................................................................../PROB/PM05040.tex
206) Prove que, se A e B são independentes, também o serão Ac e B c , A e B c , e Ac e B.
......................................................................................................................................../PROB/PM05046.tex
207) Na ﬁgura abaixo temos um sistema chamado ponte, com 5 relés, onde cada um funcionará
com probabilidade p, independente dos demais. Calcule a conﬁabilidade dessa ponte, ou seja,
a probabilidade de a energia atravessar a ponte da esquerda para a direita.
......................................................................................................................................../PROB/PM05048.tex
208) Sejam A, B e C eventos independentes.
a) Prove que A é independente de B ∩ C
b) Prove que C é independente de A ∪ B
......................................................................................................................................../PROB/PM05055.tex
209) Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson,
com média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que em um
minuto se tenha:
a) dez ou mais chamadas;
b) menos que nove chamadas;
c) entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.
......................................................................................................................................../PROB/PM06022.tex
210) Examinaram-se 2.000 ninhadas de cinco porcos cada uma, segundo o número de machos. Os
dados estão representados na tabela abaixo.
No de Machos
0
1
2
3
4
5
No de Ninhadas
20
360
700
680
200
40
a) Calcule a proporção média de machos.
b) Calcule, para cada valor de X, o número de ninhadas que você deve esperar se X ∼
Binomial(5, p), onde p é a proporção média de machos calculada em (a).
......................................................................................................................................../PROB/PM06025.tex
211) Suponha que X seja uma v.a. discreta, com f.p. p(x) = 2−x , x = 1, 2, · · · . Calcule:
(a) P (Xserpar),
(b) P (X ≤ 3),
(c) P (X ≥ 10),
......................................................................................................................................../PROB/PM06044.tex
212) Nas situações abaixo, descreva como chegar às distribuições solicitadas (indicadas, e quais as
suposições necessárias (se houver).
i) X1 , X2 , · · · , Xn vaiid ∼ N (µ, σ 2 ) =⇒ χ2 (n)
ii) Z ∼ N (µ, σ 2 ) e Y ∼ χ2 (n) =⇒ t(n)
iii) X ∼ χ2 (n) e Y ∼ χ2 (m) =⇒ F (m, n)
iv) X ∼ Γ(n, λ1 ) e Y ∼ Γ(m, λ2 ) =⇒ Beta(m, n)
2 ) e Y ∼ N (µ , σ 2 ) =⇒ Cauchy(0, 1)
v) X ∼ N (µX , σX
Y
Y
......................................................................................................................................../PROB/Prob1.tex
213) Certo supermercado tem duas entradas, A e B. Fregueses entram pela entrada A conforme
um processo de poisson de taxa média 15 fregueses por minuto. Pela entrada B, entram
fregueses conforme um outro processo de Poisson, independente do primeiro, com taxa média
de 10 por minuto.
......................................................................................................................................../PROB/Prob10.tex
2 ) e Y , i = 1, · · · , m, vaiid ∼
214) Considere duas amostras: Xi , i = 1, · · · , n, vaiid ∼ N (µX , σX
i
2
2
N (µY , σY ), Xi ⊥Yi , ∀(i, j). Sejam X k e Sk a média e a variância amostral em uma amostra
de tamanho k. Indique como a partir delas podemos chegar às distribuições χ2 , t e F e os
parâmetros dessas distribuições.
......................................................................................................................................../PROB/Prob2.tex
215) Seja X ∼ Γ(n, λ). Determine a distribuição de Y = 2λX.
......................................................................................................................................../PROB/Prob3.tex
216) Indique (justiﬁque) qual a relação entre as variáveis:
i) t(m) e F (n, m)
ii) U (0, 1) e Beta(α, β)
iii) t(n) e Cauchy(0,1).
......................................................................................................................................../PROB/Prob4.tex
217) Sejam as v.a. X1 , · · · , Xn independentes e exponenciais com parâmetros α1 , · · · , αn , respectivamente.
i) Mostre que a distribuição de Y = min1≤i≤n Xi é exponencial. Qual o parâmetro?
ii) Prove que para k = 1, · · · , n, P (Xk = min1≤i≤n Xk ) =
αk
α1 +···+αn
(Sugestão: Xk e mini̸=k Xi são independentes e, pelo item (i), exponenciais. Considere o
evento [Xk < mini̸=k Xi ])
......................................................................................................................................../PROB/Prob5.tex
√
√
218) Sejam X e Y vaiid ∼ N (0, 1). Mostre que U = (X + Y )/ 2 e U = (X − Y )/ 2 também são
independentes N (0, 1)
......................................................................................................................................../PROB/Prob6.tex
219) Sejam X e Y vaiid ∼ N (0, 1). Provar que U = X + Y e V = X − Y são independentes e
achar suas distribuições.
......................................................................................................................................../PROB/Prob6b.tex
220) [Aproximação Poisson para a Binomial] Consideremos n ensaios de Bernoulli com probabilidade de sucesso pn = λ/n em cada prova e Sn o número de sucessos nos n ensaios. Prove
que
( )
λk
n
lim
(pn )k (1 − pn )n−k = e−λ
n→∞ k
k!
......................................................................................................................................../PROB/Prob7.tex
221) Sejam X1 , · · · , Xn v.a. com distribuição Poisson com parâmetros λ1 , · · · , λn , respectivamente.
i) Mostre que X1 + X2 ∼ P oisson(λ1 + λ2 )
ii) Use indução para mostrar que X1 + · · · + Xn ∼ P oisson(λ1 + · · · + λn )
......................................................................................................................................../PROB/Prob8.tex
222) Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional com a seguinte distribuição conjunta:
X
Y
-2
-1
0
Total
-1
1
2
Total
0,2
0,2
0,1
0,5
0,1
0,1
0
0,2
0
0,1
0,2
0,3
0,3
0,4
0,3
1,0
a) Obtenha a distribuição condicional de X, dado Y = −1;
b) Obtenha a distribuição da v.a. Z = X(Y + 1).
......................................................................................................................................../PROB/ques1.tex
223) Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional com distribuição conjunta dada na tabela abaixo. Obtenha o coeﬁciente de correlação entre X e Y .
X
Y
1
2
3
Total
-1
0
1
Total
0,3
0,1
0,1
0,5
0,1
0
0,1
0,2
0,1
0,2
0
0,3
0,5
0,3
0,2
1,0
......................................................................................................................................../PROB/ques12.tex
224) Uma urna contém duas bolas numeradas, 1 e 2. Uma bola é retirada ao acaso da urna.
Em seguida, uma moeda honesta é lançada tantas vezes quanto o número mostrado na bola
selecionada. Sejam X o no de caras obtido e Y o no da bola selecionada.
a) Obtenha a distribuição conjunta de (X, Y );
b) Calcule a P (X ≤ 1, Y > 1);
c) Calcule a P (X ≤ 1|Y = 1);
......................................................................................................................................../PROB/ques2.tex
225) Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional com a seguinte f.d.p. conjunta:
f (x, y) = e−2(x+y)
x > 0, y > 0
Obtenha a f.d.p. da v.a. Z = X+Y
4 .
......................................................................................................................................../PROB/ques22.tex
226) Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional com a seguinte f.d.p. conjunta:
f (x, y) = k(x + y)
0 < x < 1, 0 < y < 2
a) Que valor deve ter a constante k?
b) Calcule a P (0 < X ≤ 1/2 | 0 ≤ Y < 1);
......................................................................................................................................../PROB/ques3.tex
227) Sejam Xi ∼ N (k, k 2 ), para k = 1, 2, v.a.’s independentes. Calcule as seguintes probabilidades:
a) P (W > 1, 323), com W = (X1 − 1)2 .
(X2 −2)
2
b) P (V ≤ 39, 9), com V = 4(X
2 . [Obs. Lembre que F (1, n) = 1/F (n, 1) e F (1, n) = tn ]
1 −1)
......................................................................................................................................../PROB/ques32.tex
2
228) Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional com a seguinte f.d.p. conjunta:
f (x, y) = 2
0 < x < y, 0 < y < 1
a) Obtenha a f.d.p. condicional de X, dado Y = y;
b) Obtenha a f.d.p. condicional de Y , dado X = x.
......................................................................................................................................../PROB/ques4.tex
229) Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional com a seguinte f.d.p. conjunta:
f (x, y) = 3x
0 < x < 1, 0 < y < x
Calcule E(Y |X) e V ar(Y |X).
......................................................................................................................................../PROB/ques42.tex
230) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas sucessivamente,
sem reposição. Obtenha a distribuição da diferença entre os dois números observados.
......................................................................................................................................../PROB/ques5.tex
231) Determine a distribuição da Variável X + Y quando X e Y são v.a. independentes tais que
(i) X ∼ Bin(n1 , p) e Y ∼ Bin(n2 , p), (ii) X ∼ P oisson(λ1 ) e Y ∼ P oisson(λ2 ).
......................................................................................................................................../PROB/ques7.tex
232) Determine a distribuição da Variável Z = min(X, Y ) quando X e Y são v.a. independentes,
ambas com distribuição Geométrica de parâmetro p.
......................................................................................................................................../PROB/ques8.tex
233) Determine a distribuição da Variável X + Y quando X e Y são v.a. independentes tais que
(i) X ∼ Bin(n1 , p) e Y ∼ Bin(n2 , p), (ii) X ∼ P oisson(λ1 ) e Y ∼ P oisson(λ2 ).
......................................................................................................................................../PROB/quest7.tex
234) Determine a distribuição da Variável Z = min(X, Y ) quando X e Y são v.a. independentes,
ambas com distribuição Geométrica de parâmetro p.
......................................................................................................................................../PROB/quest8.tex
235) Uma variável aleatória X segue uma distribuição uniforme no intervalo [0,1]. A distribuição
condicional Y |(X = x) segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 5 e p = x.
Obtenha o valor esperado e a variância de Y .
......................................................................................................................................../PROB/TSE2007Q36.tex