Exercícios - Ada e Babbage

FAPAN
Faculdade do Pantanal
Curso :
sistema de informação - 1º semestre
Ano Letivo: 2011 / 1
Profº:
esp. Gledson Nilton Emiliano
e-mail:
[email protected]
MATEMÁTICA INTRODUTÓRIA.
(parte i )
A Matemática, olhada corretamente, possui não apenas verdade, mas
surpresa beleza – uma beleza fria e austera, como a de uma escultura ...
sublimamente pura e capaz de perfeição severa, tal como somente a arte de
maior qualidade pode apresentar.
Bertrand Russel.
( In: O gene da Matemática, p.162)
CONJUNTOS NUMÉRICOS
A Matemática se originou de convívios sociais, das trocas, das contagens, do
comércio, tendo em vista o caráter prático, utilitário e empírico.
As primeiras noções relativas ao conceito de número, nos remetem aos
primórdios da raça humana. Embora não seja possível precisar em que época, teriam
surgido os primeiros números, podemos observar alguns indícios históricos que nos
levam as idéias sensatas a respeito.
Encontros arqueológicos em cavernas revelaram para a humanidade marcações
em rochas, ossos, argilas e em pedaços de madeiras, causando um entendimento de
como poderia ter ocorrido as primeiras contagens. Estima-se que tenha ocorrido há 300
000 anos.
Os números devem ter surgidos da necessidade do ser humano fiscalizar os
próprios bens, para sua própria sobrevivência o homem efetuava marcações, como por
exemplo, riscos nas paredes das cavernas, o que poderiam representar a quantidade de
animais abatidos em certa caçada.
O mundo atualmente necessita deste tipo de registro gerado pelo homem, seria
muito difícil imaginar nossa realidade sem a existência dos números. Como faríamos
as operações e registros financeiros? Como comparar medidas? Como fazer
localizações? Como seria nosso dinheiro? Sem os números, qualquer registro
numérico teria de ser feito através de uma linguagem escrita, acarretando maiores
dificuldades.
Os conjuntos numéricos foram criados durante a história da humanidade, para
suprir as nossas necessidades de contar, registrar, calcular, etc.
Os conjuntos que iremos estudar são os conjuntos dos números naturais (lN),
inteiros (Z), racionais (Q), irracionais (I) e reais (lR). Começaremos pelos mais
simples de se entender:
1
Números Naturais (N): foram os primeiros números que surgiram.
Possivelmente para o homem efetuar comparações entre o número de elementos de
diferentes conjuntos.
O conjunto dos números naturais é representado por:
lN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, ...}
Representação em uma reta numérica:
IN
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 ...
Subconjuntos importantes dos naturais:
lN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} (* asterisco significa a exclusão do zero).
lNp = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 2n, ...}
com n Є lN , representa o conjunto dos
números pares.
lNi = {1, 3, 5, 7, 9, 11,13, ..., 2n+1, ....} com n Є lN, representa o conjunto dos
números ímpares.
P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... } conjunto dos números primos.
- Qual é o número do seu calçado?
- Qual é o número do seu telefone?
- Quantas pessoas trabalham com você?
- Quantas unidades do produto foram vendidas neste mês?
- Quantas pessoas passaram hoje pela sua empresa?
Para responder tais perguntas você utilizará apenas números naturais.
Números Inteiros (Z): criado principalmente para as relações financeiras.
O conjunto dos números inteiros é representado por:
Z = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, números negativos, nulo e positivos.
Representação em uma reta numérica:
Z
... - 6
-5 - 4 - 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 ...
Subconjuntos de Z:
- o conjunto dos números naturais é um subconjunto dos inteiros, todo número natural
também é um número inteiro.
- Z* = { ..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} = Z – {0}
- Z+ = IN = {0, +1, +2, +3, +4, ...} inteiros não-negativos
- Z- = { ...,-4, -3, -2, -1, 0} inteiros não-positivos.
Há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de -3 é o +3, bem como o
oposto de +5 é o -5. Sabendo que 6 + (-6) = -6 + 6 = 0.
2
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro: é a distância da origem ao
ponto que representa o número. Assim representamos o módulo de -2 por | -2 | = 2 e
módulo de 2 por |2|=2.
Z
... - 6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 ...
Conjunto dos números Racionais (Q):
A representação desse conjunto é feito através de uma propriedade comum à todos seus
elementos.
Q = { x | x = a/b, com a Є Z, b Є Z e b≠ 0}
O conjunto Q é representado por todo número que pode ser escrito através de um
quociente entre dois inteiros, com denominador diferente de zero, mais conhecido por
nós como fração.
Números racionais:
- todos os naturais e inteiros;
- toda fração,
- todo número decimal exato;
- todo número decimal infinito periódico (dízima periódica).
Obs. :
Entre dois inteiros nem sempre existe outro inteiro, mas entre dois números
racionais quaisquer, sempre existe outro racional.
Os números racionais não são o suficiente para preencher totalmente uma reta.
Exemplos de números racionais:
Determinação da fração geratriz de um número decimal: (transformar para forma
fracionária)
Dados:
a) 0,75=................
b) 1,25=............... c) 3,143=................
3
d) 0,222...=.............. e) 0,414141....=................
f) 0,17878...=.....................
O conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos racionais, então temos
a seguinte relação de inclusão entre os conjuntos até agora estudados:
Desenho com diagrama:
Q
Z
IN
PORCENTAGEM :
Porcentagem é uma razão centesimal, ou seja, uma razão cujo o denominador é
igual a 100. É representada pelo símbolo % que é lido “por cento”.
Observe algumas formas equivalentes de representarmos uma porcentagem:



Forma de taxa percentual:
35%
Forma de fração centesimal: 35/100
Forma decimal :
0,35
Na matemática financeira utilizamos constantemente este tipo de número:
À taxa percentual “p%” associamos a razão p/100 e assim para calcular p% de
uma quantidade qualquer é multiplicá-la por aquela razão.
23% =
45% =
3% =
100% =
200% =
0,3%
4
Exemplos:
a) Calcular 15% de 120.
b) Um artigo com preço R$ 120,00 tem seu valor reajustado para R$ 150,00. Qual
foi o percentual de aumento?
c) Um artigo de preço R$ 150,00 teve uma redução em seu preço passado a valer
R$ 120,00. Qual o percentual relativo a essa redução?
d) Uma dívida no valor de R$ 250,00 tem desconto de 4% se paga com antecipação
de pelo menos 15 dia. Sendo paga 20 dias antes do vencimento, terá, valor, em
reais de:
a) R$ 246,00 b) R$ 244,00 c) R$ 240,00
d) R$ 236,00
Problemas envolvendo porcentagem:
01-Por quanto devo multiplicar um valor C para atualizá-lo após:
a) um aumento de 35%
b) um aumento de 20%
c) um desconto de 20%
d) um desconto de 3%
02 - O governo brasileiro, em abril de 2006, aprovou o aumento do valor do salário
mínimo, que passava de R$ 300,00 para 350,00. Qual foi o percentual de aumento?
03 - Em uma sala em que 75% dos alunos são rapazes, estudam apenas sete moças.
Quantos alunos tem a classe?
04 - A produção de uma indústria de roupas passou , em um ano, de 60 mil para 78 mil
peças.
a) Qual foi o aumento percentual de produção?
b) Se esse percentual de aumento se repetir para o ano seguinte, qual será a previsão da
produção?
05 – Em uma loja o preço de uma calça foi reajustado de R$ 90,00 para R$ 112,50.
Determine a taxa percentual de aumento do produto.
06 – Em uma loja o preço de uma camisa foi aumentado em 20%. Percebendo que as
vendas sofreram uma grande queda, o gerente resolveu fazer uma promoção de 20%. O
preço final da camisa (após a promoção) é menor, maior ou igual ao preço original
(antes do aumento)? E qual será o preço da camisa na promoção?
5
07 –(ANTT) Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a
vendo do produto caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um desconto sobre o
novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior do aumento. Nesse caso o
comerciante deve anunciar um desconto de aproximadamente: a) 19% b)23%
c)25% d) 28%
e)30%
08- O preço de uma certa mercadoria tem reajuste em um bimestre de 38%. Se no
primeiro mês o aumento foi de 20%, qual foi o aumento no 2º mês?
a) 15% b) 16% c) 17%
d) 18%
09 – Um investimento foi realizado em um período com inflação de 30% gerando uma
taxa de rendimento de 56%. Qual a taxa de rendimento desse investimento descontada a
inflação?
a) 26% b)22% c)20%
d) 18%
10- O preço de fábrica de uma mercadoria é de R$ 3,50, mas, ao comprá-la na fábrica ,
o revendedor deve pagar ainda um imposto no valor de 10% desse preço. Quando a
mercadoria é comprada no varejo por um consumidor, seu preço final é acrescido de
20%. Calcular seu preço no varejo e a taxa total de acréscimo sobre o preço, da fábrica,
que pagará o consumidor.
Agora um outro conjunto:
Conjunto dos números Irracionais ( I ):
Como vimos no conjunto dos racionais, há números decimais que podem ser
escritos na forma fracionária com numerador inteiro e denominador inteiro ( diferente
de zero) – são os números racionais. Mas há também números decimais que não
admitem essa representação; são os decimais infinitos
não-periódicos. Esses
números são chamados números irracionais:
Pela grande diversidade de números irracionais, vamos citar apenas alguns exemplos:
√2 = 1,4142135 ….
2,71828183 …
√3 = 1,7320508 … ..
𝜋 = 3,1415926 …. 𝑒 =
Todos os números que têm sua representação decimal infinita e aperiódica.
As reticências ao final de cada número indicam que as casas decimais seguem
indefinidamente, mas sem repetição na seqüência de algarismos.
O número e (Euler) é a base do sistema de logaritmos naturais ( ou
neperianos), e está relacionado a uma série de fenômenos. Inclusive será utilizado no
futuro nas relações da matemática financeira.
6
Conjunto dos números Reais (lR)
Da reunião do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números
irracionais ( I ) obtemos o conjunto dos números reais. Então temos :
lR = Q U I = { x/ x Є Q ou x Є I}
Os números reais esgotam todos os pontos de uma reta, ou seja, a cada ponto da reta
corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde
um único ponto da reta
Observe alguns números reais colocados na reta real:
IR
O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui:
IR
Q
Z
I
IN
São números reais: * os números naturais, *os números inteiros, * os números
racionais e os
*números irracionais.
INTERVALOS REAIS:
Certos subconjuntos de lR, determinados por desigualdades, têm grande
importância na Matemática: são os intervalos. Assim, dados dois números reais a e b,
com a < b, tem-se:
7
Observações:
1ª) - ∞ e +∞ não são números reais, apenas fazem parte das notações de intervalos
ilimitados.
2ª) Qualquer intervalo de extremos a e b, com a ≠ b, contém números racionais e
irracionais.
Exercícios:
01) Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos:
a) {x Є R/ -1≤ x≤ 3} b) ] ∞ , 2] c) {x Є R/ x <-4} d) ) {x Є R/ 2 ≤x <7}
[0, 6]
e)
8
02) Escreva os intervalos representados graficamente:
03) A variável x descreve o lucro que uma companhia espera obter durante o atual
ano fiscal. 0 planejamento dos negócios requer um lucro de pelo menos 5
milhões de dólares. Descreva este aspecto do planejamento dos negócios na
linguagem de intervalos.
OPERAÇÕES COM INTERVALOS
Como intervalos são subconjuntos de lR, sendo assim é possível efetuarmos
operações de: intersecção, união, diferença e complementar.
Observe os exemplos:
Dados : A = {x Є R/ -1≤ x≤ 3}
a) A U B
b) A ∩ B
e B = [0,5], determinar os seguintes conjuntos:
c) A – B
d) B – A
9
Exercícios:
01) Dados os conjuntos a seguir, determine o que se pede:
A = [2,4] e B = [3,6] : A∩ B ,
A UB,
A – B e B – A.
02) Dados A = [-5,2], B = [-6,6] e C = ]-∞, 2 ], calcule:
a) A ∩ C
b) AU B
c) AU BU C
d) A∩ B ∩C
A
B
C
A∩C
AUB
AUBUC
10
EQUAÇÕES : Equilíbrio, igualdades, incógnitas.
Conseguir resolver uma equação matemática é utilizar-se de uma técnica/método que se
apresenta como uma potente ferramenta para resolução de diversos tipos de problemas.
Vejamos então como resolver alguns tipos de equações que serão utilizadas no decorrer
do nosso curso:

Equação de 1º grau:- é toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0,
com a Є IR* e b Є IR.
Exemplos : 2x + 4 = 8
½x–3=4
6.(2x – 1) – (7x + 4) = 2.(3x – 2)
Resolver uma equação é determinar o valor da incógnita que torna a sentença
verdadeira.
Exercícios:
01 – Resolva as seguintes equações em IR :
a) 3x – 5 = 4 .............
b) 8t – 12 = 36 ..........
c) 11y = – 1 + 16y
...........
d) 3(x – 2) – (1 – x) = 13 ...........
d) 2 x 
3 5
1
 x
4 6
2
e)
x2 x5
x3

 2
3
6
2

Equação do 2º grau: é toda equação na forma ax² + bx + c = 0 , com a ≠ 0.
Resolver uma equação do 2º grau é determinar suas raízes, que é dada pela
fórmula resolutiva:
x=
b 
, com Δ = b² – 4.a.c .
2a

Δ
>
0
→...............................................................................................................

Δ
<
0
→...............................................................................................................

Δ
=
0
→...............................................................................................................
11
Equações do 2º grau incompletas (b=0, c=0 ou b=c=0) possuem formas mais rápidas
de se resolver.
Exercícios:
01 - Resolva as seguintes equações:
a) x² +2x – 3 = 0
b) (x + 1)² = 2(x + 1)
c) 5x² + 4x + 1 = 0
d) 8x²
–x=0
02 - Resolva e responda os seguintes problemas:
a) Para produzir uma determinada peça, uma empresa tem um custo fixo de R$ 5,00,
independente do número de peça produzidas, e um custo de R$ 2,00 para cada unidade
produzida . Qual o número de unidades produzidas se o custo total da produção dessas
peças foi de R$ 55,00?
b) Mário foi de táxi de sua casa até a escola onde estuda. Ao entrar no carro observou
que o taxímetro marcava R$ 3,20. Chegando à escola Mário pagou R$ 21,20. Sabendo
que a distância entre sua casa e a escola é de 12 Km, qual o valor do quilômetro rodado?
c) A quantia de R$ 200,00 será repartida entre dois sócios (S1 e S2 ). Sabendo que o
sócio S1 deve receber R$ 40,00 a mais que o outro, quanto deve receber cada um ?
 Equações exponenciais: Equações exponenciais são aquelas em que a
incógnita aparece nos expoentes. Veja alguns exemplos:
x
a)4  32
x
b) 25
x 1
 5
1
c)    81
3
x
d) 2 2 x  2 x  12
Resolver as seguintes equações:
a)
3 x 1  81...................b)2 x
2
3 x  4
 1............c)( 2 ) x  4...........d )5 2 x 
f) 2.3 x2  162............g )3.5 x1  75.........h)5.2 x
2
4
1
1
..........e) 
32
 16 
x2
 8x
 160
12
ESTUDO DE FUNÇÕES: RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS.
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e das ciências
em geral, ele está presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis.
Na analise de fenômenos econômicos, muitas vezes usamos funções
matemáticas para descrevê-los e interpretá-los. Neste sentido as funções matemáticas
são usadas como ferramentas que auxiliam na resolução em problemas ligados à
administração de empresas.
Definição e notação de funções:
Dado dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que
diz como associar cada elemento x Є A a um único elemento y Є B.
Observe as representações:
Resumindo :
 todos os elementos x Є A têm correspondente y Є B;
 a cada elemento de x Є A corresponde um único elemento y Є B.
Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B.
Veja um exemplo:
Abaixo temos uma tabela que nos dá uma distribuição de preços do quilo do contrafilé
no decorrer dos meses do ano de 2003.
Mês (t)
Preço(p
)
Jan. Fev
.
6,7 6,7
0
5
Mar
.
6,80
Abr
.
6,8
8
Mai Jun. Jul.
.
6,95 7,0 7,0
1
8
Ago
.
7,14
Set.
7,2
0
Out
.
7,2
8
Nov
.
7,36
Dez
.
7,45
A cada mês observamos um preço da carne. Assim podemos dizer que cada preço da
carne, p, está associado a um mês, t, ou seja que o preço depende do mês que
escolhemos.
Podemos montar esta relação utilizando um número para representar cada mês:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Mês (t)
Preço(p) 6,70 6,75 6,80 6,88 6,9 7,0 7,0 7,1 7,2 7,2 7,3 7,4
5
1
8
4
0
8
6
5
Para cada valor da grandeza “t” está associado um único valor de grandeza “p”,
caracterizando p em função de “t”, e que podemos indicar por p = f(t).
13
Existem três modos de descrever uma função.
 O primeiro consiste em fornecer a fórmula para a função juntamente com as
limitações nos valores da variável independente. Temos aqui uma função
especificada desta forma:
𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 (−𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒)
Diz-se que uma função definida em termos de uma fórmula está definida
analiticamente.
 0 segundo método para descrever uma função é através do esboço do seu
gráfico. Uma tal função é dita estar graficamente definida. Por exemplo, o
gráfico da função precedente está esboçado na Figura . Note que, inspecionando
o gráfico podemos, em princípio, saber tudo que pode ser deduzido da definição
analítica.
y
x

O terceiro método para descrever uma função é pelo fornecimento de uma tabela
com os valores da função, como mostrado na Tabela . Uma função descrita deste
modo é dita estar numericamente definida.
x
f(x)
x
f(x)
-8
-1
-3
0,5
-4
-4
-2,5
1
-1
-13
-2
2
1
-19
-1,5
2,5
2
-26
-1
3
2
-34
-0,5
3,5
1
-43
0
4
Jornais e revistas estão cheios de exemplos de tabelas de dados e suas funções correspondentes.
Domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função e o
conjunto B, contradomínio da função. Para Cada x Є A, o elemento y Є B chama-se
imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função f para x ЄA e
representamos por f(x). Assim f(x) = y
No contexto do exemplo anterior onde utilizamos as variáveis mês(t) e preço(p), a
variável “t” é chamada de independente e a variável p é chamada de dependente; o
conjunto formado pelos valores possíveis para a variável independente é o domínio da
função; a imagem da função é o conjunto dos valores da variável dependente que foram
associados à variável independente.
14
Observemos que em funções envolvendo situações práticas, o domínio é constituído de
todos os valores reais de x para os quais tenha significado o cálculo da imagem. Assim
por exemplo caso tenhamos uma função custo C(x)= 400 + 3x, os valores de x não
podem ser negativos (não podemos ter quantidades negativas). Além disso, caso o
produto seja indivisível, por exemplo, quando x é a quantidade de carros, o domínio é
formado por números inteiros não negativos (IN).
Exercícios:
01) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar
a função f: A B que transforma x ЄA em 2x Є B.
02) Uma firma de corretagem mobiliária cobra uma comissão de 6% nas compras de
ouro na faixa de R$50,00 a R$300,00. Para compras excedendo R$ 300,00, a
firma cobra 2% do total da compra mais R$12,00. Denote por “x” o valor do
ouro comprado (em reais) e por f ( x ) a comissão cobrada em função de x.
a) Descreva f ( x )
b) Encontre f(100) e f (500).
02 -Escreva uma fórmula matemática que expresse a lei de cada uma das
funções abaixo:
Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$
20,00 por hora de mão-de-obra. Então o preço y, que se deve pagar pelo conserto de um
televisor é dado em função do número x de horas de trabalho (mão-de-obra).
03 – Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00 mais uma
comissão de 5% sobre as vendas do mês. Em geral, cada duas horas e meia de trabalho,
ele vende o equivalente a R$500,00 .
a) Qual será o salário mensal em função do número x de horas trabalhadas por mês?
b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por mês o que é preferível : um aumento de 20%
no salário fixo ou um aumento de 20% ( de 5% para 6%) na taxa de comissão?
04 – O custo p de produção, em reais, de cada vaso depende da quantidade q de vasos
fabricados, e essa quantidade depende do número n de horas de funcionamento de uma
máquina.
15
500
e
q = 200n
q
a) se essa máquina funcionar por apenas 5 horas, qual será o custo de produção de
cada vaso em reais?
Essas dependências são descritas pelas funções : p  3 
b) Expresse p em função de n, isto é , obtenha uma equação sob a forma p = f(n).
c) Expresse n em função de p, isto é, obtenha uma equação sobre a forma n = g(p).
INTERCEPTOS
São os pontos de intersecção do gráfico de um a função com os eixos. Os pontos
de intersecção com o eixo x têm coordenadas do tipo (x,0) e são chamados de xinterceptos, representam as raízes da função. Os pontos de intersecção com o eixo y
têm coordenadas do tipo (0, y) e são chamados de y-interceptos.
Exemplo: Vamos obter os pontos de intersecção do gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = 30 + 40x
b) g(x) = x2 + 2x
c) h(x) = (x2 – 1)(x – 2)
Função Crescente e Decrescente
Dizemos que uma função f é crescente em um intervalo [a, b] se à medida que
“aumenta o valor de x”, dentro do intervalo, “as imagens correspondentes também
aumentam”. Ou seja:
16

𝑥1 > 𝑥2 → 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )
Graficamente temos:
Funções crescentes:
ou se 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ).
y
y
f(x2)
f(x2)
f(x1)
f(x1)
𝑥1
𝑥2
𝑥
𝑜
𝑥1
𝑥2
𝑥
Analogamente, dizemos que uma função f é decrescente num intervalo [a,b] se
à medida que se aumente o valor de x, dentro do intervalo, as imagens correspondentes
vão diminuindo. Ou seja:
𝑥1 > 𝑥2 → 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )
ou se 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )
y.
y
𝑥1
𝑥2
𝑥
𝑜
𝑥1
𝑥2
Caso a função tenha a mesma imagem em todos os pontos do intervalo [a,b], dizemos
que a função é constante naquele intervalo.
y
f(x1) = f(x2)
𝑥1
𝑥2
𝑥
17
𝑥
Exercícios:
Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente.
-7
-2
1
-4
6
7
Estude o sinal das seguintes funções representadas graficamente:
VALOR MÁXIMO E VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO:
Seja uma função definida num domínio D. Dizemos que xo é um ponto de
máximo relativo se as imagens de todos os valores de x pertencentes ao domínio,
situados num intervalo centrado em xo, forem menores ou iguais á imagem de xo. A
imagem f(xo) é chamado de valor máximo de f.
Analogamente dizemos que xo é um ponto de mínimo relativo se as imagens de
todos os valores de x pertencentes ao domínio situados num intervalo centrado em xo
forem maiores ou iguais á imagem de xo . A imagem de f(xo) é chamado de valor
mínimo de f.
18
Assim, por exemplo, na função definida no intervalo [a,b] e representado no
gráfico abaixo, teremos:
Máx. relativo
Máx. relativo
Mín. relativo
Mín. relativo
Seja f(x) uma função contínua em [a, b]. Os pontos de máximo e mínimo
absoluto de f(x) ocorrem em um ponto de máximo relativo e mínimo relativo, ou em
uma das extremidades do intervalo [a, b], como podemos ver no gráfico abaixo:
Máx.
absoluto
y
Mín. absoluto
a
b
x
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EXERCÍCIOS:
01- Determine os pontos de máximo e mínimo relativos e máximo e mínimo
absolutos:
-7
-2
1
-4
6
7
02 – Uma calculadora é vendida por R$ 200,00 a unidade.
a) Sendo x a quantidade vendida, qual será a fórmula matemática que representa a receita de
vendas?
b) Determine o domínio e o conjunto imagem desta função.
02 – Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade
vendida.
a) Obtenha a função receita R(x) e calcule os valores de R(40), R(50) e R(100).
b) Qual a quantidade que vede ser vendida para dar uma receita igual a R$
700,00?
03 – O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x)
= 100+2x.
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades?
b) Qual o custa de fabricação da 10ª unidade, já tendo sido fabricados nove
unidades?
04 – Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de produção
dividido pela quantidade produzida. Indicando o custo médio correspondente a x
unidades produzidas por Cme(x), teremos : Cme(x) = C(x)/x
O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 500 + 4x.
a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades?
b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades?
c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?
20