Questão Valor Grau Revisão 1a Questão 3,5 2a Questão 3,5 3a

PUC-RIO – CB-CTC
G1 DE MECÂNICA NEWTONIANA B – 26.03.2012
Nome :_____________________________________________________________
Assinatura: _________________________________________________________
Matrícula:_____________________________________Turma:_______________
NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS
E CÁLCULOS EXPLÍCITOS.
Não é permitido destacar folhas deste caderno de respostas.
A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta.
É permitido o uso de calculadoras científicas simples. Não é permitido o uso de
calculadoras gráficas ou celulares.
Questão
Valor
1a Questão
3,5
2a Questão
3,5
3a Questão
3,0
Total
10,0
Constantes físicas : g = 9.80 m/s2
Grau
Revisão
1a Questão: (3,5)
O comandante da nave espacial USS Enterprise (nave A), Jean-Luc Picard, observa, na tela de
seu computador de bordo, um objeto não identificado (O) em movimento. O aparelho, capaz
de fornecer uma previsão da função horária do vetor posição do objeto, acusa o seguinte
resultado:
!!,! ! = 12,0×10! − 1,5×10! ! − 8,0×10! ! ! ! + 1,0×10! − 6,0×10! ! ! ! [!", ℎ]
a) [1,0] Calcule os vetores velocidade e aceleração do objeto previstos pelo computador
de bordo da nave USS Enterprise.
O comandante de uma outra espaçonave da federação (nave B) observa o mesmo objeto, e
seu computador de bordo acusa a seguinte função horária do vetor posição
!!,! ! = −8,0×10! − 8,0×10! ! ! !
+ 6,0×10! − 1,5×10! ! − 6,0×10! ! ! ! [!", ℎ]
b) [1,5] Calcule as funções horárias dos vetores posição, velocidade e aceleração desta
segunda nave (B) medidas
pelo computador de bordo da Enterprise (A),
respectivamente !!,! (!), !!,! (!), !!,! (!).
c) [1,0] Suponha que, do interior de sua nave, Jean-Luc não observa nenhuma “força
misteriosa” atuando sobre a Enterprise (além daquela criada para simular o campo
gravitacional da Terra, que não possui nenhuma relação com o movimento da nave em
si). Comparando os resultados dos itens acima, explique, baseando-se nas leis de
Newton, se é possível afirmar que a nave B se movimenta enquanto a nave A
permanece em repouso ou se, ao contrário, a nave A se movimenta enquanto a B se
mantém em repouso. Justifique cuidadosamente.
2a Questão: (3,5)
Um bloco de massa m1 se encontra em
uma mesa horizontal, sendo µ1 o
coeficiente de atrito estático entre suas
superfícies. Sobre o bloco 1, está o bloco
de massa m2, mantido em posição fixa
por um fio ideal (fio 2); µ2 é o
coeficiente de atrito estático entre as
superfícies dos blocos 1 e 2. Um terceiro
bloco, de massa m3, está localizado em
um plano inclinado de um ângulo θ com a
horizontal, estando ligado ao bloco 1 pelo fio 1 (ideal) e através de uma polia (também ideal),
conforme mostra a figura. Não há atrito entre o bloco 3 e o plano inclinado.
Observa-se que o conjunto, nestas condições, se mantém em repouso.
a) [1,0] Represente os diagramas do corpo livre para os três blocos, explicitando todas as
forças que atuam neles.
b) [1,0] Escreva as equações resultantes das 2a e 3a Leis de Newton para os três corpos.
(Escolha sistemas de coordenadas adequados para cada corpo, explicitando-os em seu
desenvolvimento).
c) [0,5] Encontre a relação que há entre o módulo da tensão no fio 2 e o módulo da força
de atrito entre o bloco 1 e a mesa, em termos dos dados fornecidos.
d) [1,0] Qual é o valor mínimo que m3 deveria ter para colocar o sistema em
movimento? 3a Questão: (3.0)
Um automóvel descreve uma curva com inclinação θ = 60o (veja figura). O coeficiente de
atrito estático é µe = 0,25 e o raio da trajetória circular é R = 190 m. Nestas condições, o
automóvel pode se manter na curva sempre que sua velocidade escalar esteja dentro de certos
valores mínimo e máximo, como deve ser discutido abaixo.
r
car
o
(b) vista lateral da curva
Considere a situação em que o carro descreve a curva com a máxima velocidade possível sem
deslizar.
a) [1,0] Usando o esquema da vista lateral mostrado na Fig.(b) acima, represente o
diagrama de corpo livre do automóvel, explicitando todas forças que agem sobre ele
nesta condição. Estabeleça um sistema de coordenadas (indique-o claramente na
resposta) e escreva as equações de Newton que descrevem o movimento.
Suponha agora que o carro esteja descrevendo a curva com a velocidade mínima possível
sem deslizar.
b) [1,0] Novamente faça o diagrama de corpo livre para indicar todas forças que agem
no carro nesta condição e escreva as equações de Newton para seu movimento.
c) [1,0] Determine o valor desta velocidade mínima, com a qual o carro pode fazer a
curva sem deslizar.
GABARITO – G1 FIS1026 – 2012.1
1a Questão:
a) Derivando a equação para a posição em relação ao tempo, obtem-se a velocidade e
derivando novamente obtem-se a aceleração:



d 
vO , A (t ) = rO , A (t ) = − 1,5 × 10 4 − 1,6 × 10 4 t i + − 1,2 × 10 4 t j [km, h]
dt



d 
aO , A (t ) = vO , A (t ) = −1,6 × 10 4 i − 1,2 × 10 4 j [km, h]
dt
(
) (
)
b) Relacionamos os referenciais das duas naves da seguinte maneira:
O
Pela soma vetorial temos, então,






rO , A = rB , A + rO , B ⇒ rB , A = rO , A − rO , B
B
A
!
!
!
rB,A = (12, 0 !10 2 "1, 5 !10 4 t " 8, 0 !10 3 t 2 ) i + (1, 0 !10 3 " 6, 0 !10 3 t 2 ) j
!
!
" ("8, 0 !10 2 " 8, 0 !10 3 t 2 ) i " ( 6, 0 !10 3 "1, 5 !10 4 t " 6, 0 !10 3 t 2 ) j [km, h]



rB, A = 2,0 × 10 3 − 1,5 × 10 4 t i + 4,0 × 10 3 + 1,5 × 10 4 t j [km, h].
(
) (
)
Para encontrarmos a velocidade da nave B relativa à nave A, basta derivarmos o vetor posição
!
!
!
d !
de B em reação a A: vB,A = rB,A = !1, 5 "10 4 i +1, 5 "10 4 i [km, h] . Para calcularmos a
dt
aceleração da nave B relativa à nave A, basta derivarmos o vetor velocidade de B em relação



d 
a A: a B , A = v B , A = 0,0 i + 0,0 j . Percebemos, assim, que se A se encontra em um
dt
referencial inercial, B também se encontra em um referencial inercial.
c) Como não há nenhuma “força misteriosa“, podemos deduzir que Jean-Luc está em um
referencial inercial. A aceleração da segunda nave em relação à de Jean-Luc é nula. Portanto,
ou ela está em movimento retilíneo uniforme em relação à primeira nave, ou está em repouso,
i.e., também em um referencial inercial. A primeira lei de Newton afirma que, na ausência de
forças, todos os corpos permanecem em repouso ou em movimento retilíneo uniforme sendo,
portanto, impossível discernir fisicamente entre esses referenciais. Assim, não é possível
distinguir se uma nave está parada em relação à outra ou vice-versa, uma vez que todos os
referenciais inerciais são fisicamente equivalentes ao referencial em repouso.
2a Questão a) ,
b) Os eixos coordenados estão explicitados no item (a). Para o corpo 1: ΣFx1 = T1 – fat1 – fat2 = m1. ax1 = 0 (1) ΣFy1 = Fn1 – P1 – F12 = m1. ay1 = 0 (2) Para o corpo 2: ΣFx2 = fat2 – T2 = m2. ax2 = 0 (3) ΣFy2 = F12 – P2 = m2. ay2 = 0 (4) (5) ΣFy1 = Fn3 – P3y = m3. ay3 = 0 (6) Para o corpo 3: ΣFx3 = P3x – T’1 = m3. ax3 = 0 c) Utilizando a equação (3), obtemos: T2 = fat2 → T2 = µ2.m2.g Substituindo o resulta acima na equação (1), obtemos: (e usando T1 = T’1 ) T1 – fat1 – fat2 = 0 → T1 = fat1 + fat2 → T1 = fat1 + T2 → fat1 = T1 -­‐ T2 Ou, utilizando ainda a equação (5): P3.senθ – T1 = 0
→ T1 = P3.senθ = m3.g.senθ
Obtemos: fat1 = m3.g.senθ - µ2.m2.g
d) A partir das equações (2) e (4), a forças normais que atuam nos blocos 1 e 2 serão:
Fn1 = P1 +F12 = P1 + P2 = (m1 + m2).g Fn2 = F12 = P2 = m2.g Na iminência do movimento do movimento, a força de atrito é máxima e ainda ax1 = ax3 = 0.
Então:
fat1 = µ1.Fn1 → fat1 = µ1.(m1 + m2).g fat2 = µ2.Fn2 → fat2 = µ2.Fn2 = µ2.m2.g A partir das equações (1) e (5), obtemos o menor valor de m3 para iniciar o movimento do sistema: T1 – fat1 – fat2 = 0 P3.senθ – T1 = 0 + P3.senθ – fat1 – fat2 = 0 → m3.g.senθ = fat1 + fat2 → m3.g.senθ = µ1.(m1 + m2).g + µ2.m2.g (÷g) → m3.senθ = µ1.(m1 + m2) + µ2.m2
→ m3 = [µ1.(m1 + m2) + µ2.m2].cossecθ
3a Questão:
a)
y
N
eixo x
Nsen! + fat cos! =
mv 2
r
x
fat = µe N
fat
eixo y
N cos! ! fat sen! ! mg = 0
mg
y
b)
eixo x
x
N
fat
2
mv
Nsen! ! fat cos! =
(1)
r
eixo y
N cos! + fat sen! ! mg = 0 (2)
fat = µe N (3)
c) substituindo (3) em (2) determina-se N
mg
N=
(4)
(cos θ + µ e senθ )
Substituindo (4) em (1) determina-se v
gr
[senθ − µ e cosθ ] =
v=
(cos θ + µ e senθ )
v = 44 m/s
mg
(9,8)(190)
[(0,87) − (0,25)(0,5)]
0,5 + (0,25)(0,87)