Instituto de Física -UFRJ 1o Q 2o Q 3o Q 4o Q Nota AP3 Fisica IA – 1o Semestre de 2009 05 de Julho de 2009 Lembre-se de que todas as respostas devem ser justificadas 1- (2,5 pontos) Considere duas rampas inclinadas, perpendiculares entre si, e que formam com o solo um triângulo retângulo, como ilustra a figura abaixo. Dois blocos idênticos de massa m estão, inicialmente em repouso nos pontos mais altos de cada rampa. A rampa menos inclinada, a da direita na figura, forma um ângulo θ com a horizontal e, nela o atrito é desprezível. Em contrapartida, o coeficiente de atrito cinético entre a rampa da esquerda e o bloco que desliza sobre ela é µc. Verifica-se então, que os blocos deslizam sobre as rampas. a- (1,5 ponto) Supondo que ambos os blocos iniciem seus movimentos de descida no mesmo instante e que atinjam o solo simultaneamente, determine o coeficiente de atrito µc. Expresse sua resposta em termos de θ. b- (1,0 ponto) Interprete o resultado do item anterior para θ = π/4. Resolução: a- Do lado direito: Não há força de atrito, logo a aceleração do corpo é gsenθ. Considerando como L o comprimento da rampa da direita e t o tempo de queda, temos: L =gsenθt2/2 (1); Do lado esquerdo: Deste lado há força de atrito contrária ao movimento, então a aceleração é a=gcosθ-µcgsenθ. Considerando l como o comprimento da rampa do lado esquerdo e t o tempo de queda (igual ao tempo de queda da direita), temos : l = (gcosθ-µcgsenθ)t2/2 (2). Da figura temos que Ltgθ =ltg(π/2-θ) (3) Igualando os tempos de queda e utilizando (3): L/senθ = l/(cosθ-µcsenθ) [tg(π/2-θ)/tgθ]×[1/senθ] = 1/(cosθ-µcsenθ) Isolando µc: µc = [cosθ/senθ]-[tgθ/tg(π/2-θ)]= (cosθ/senθ)-(senθ/cosθ)2 b – se θ=π/4, então senθ=cosθ e µc é nulo. Ou seja, eles chegam simultaneamente ao solo somente se não houver atrito. 2- (2,5 pontos) Uma caixa de 1,5 kg está inicialmente em repouso em um superfície horizontal quando em t = 0 uma força horizontal F = (1,8t) x (com t em segundos e F e Newtons) é aplicada na caixa. A aceleração da caixa em função do tempo é expressa como : a = 0 para 0 ≤ t ≤ 2,8 s e a = (1,2 t – 2,4) x m/s2 para t > 2,8 s. a- (1,25) Qual o coeficiente de atrito estático entre a caixa e a superfície ? b- (1,25) Qual o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície ? Resolução: a- F-Fat = ma 1,8t-Fat = ma Entre 0 ≤ t ≤ 2,8 s, a aceleração é nula, logo Fat =F. A força de atrito estática máxima é µeN = µemg = 1,8 ×(2,8) =5,04 N µe = 5,04/(1,5×10)= 5,04/15 = 0,336 b- Para t >2,8 s: 1,8t- Fat = 1,5×(1,2t-2,4) =1,8t-3,6 Fat =3,6 N =µcmg = 15µc µc = 3,6/15 = 0,24 3- (2,5 pontos) Uma pedra é arremessada até um muro de altura h com velocidade inicial de 42,0 m/s fazendo um ângulo θo = 60,0 o com a horizontal, conforme mostra a figura. A pedra atinge o ponto A, 5,5 s após o lançamento . Dados: sen 60o = 31/2/2 e cos 60o = ½ . a- (0,9 ponto) Encontre a altura h do muro; b- (0,8 ponto) A velocidade da pedra no logo antes do impacto em A; c- (0,8 ponto) A altura máxima H alcançada pela pedra. Resolução: 4- a- Movimento na vertical : y = vosenθt-gt2/2 Quando y = h→ h=vosenθt-gt2/2 = 48,8 m b- A componente horizontal da velocidade: vx = vocosθ A componente vertical da velocidade: vy=vosenθ -gt vx = 42×1/2 = 21 m/s vy = 36,37-10×5,5 = 36,4-55 = -18,6 m/s logo v = (21 x -18,6 y) m/s c- A altura máxima acontece quando vy = 0 0 = vosenθ -gt t = vosenθ/g substituindo na equação do item a: H = vo2sen2θ/2g = 70,9 m (2,5 pontos) Uma partícula descreve um movimento circular uniforme. No instante t1 = 2,0 s, a velocidade da partícula é v1 = (3,0 x + 4,0 y) m/s, medida em um sistema de coordenadas xy. No instante t2 = 5,0 s, a velocidade da partícula é v2 = (-3,0 x – 4,0 y) m/s. Calcule: a- (1,5 ponto) A aceleração centrípeta da partícula; b- (1,0 ponto) A aceleração média entre os instantes t1 e t2; Resolução: a- O módulo da velocidade é v = (32 + 42)1/2 = 5 m/s O comprimento do arco percorrido pela partícula entre os dois instantes foi: ∆S = v∆t = 5×3 = 15 m A relação entre o comprimento do arco e a variação angular : ∆S = R∆θ v1.v2 =v1v2cos∆θ Como v1 = -v2 →∆θ = π rad R =15m/3,14 = 4,77 m ac = v2/R = 25,0/4,77 m/s2 = 5,24 m/s2 b- a = ∆v/∆t = (v2 – v1)/(t2-t1)= (-3,0-3,0)x + (-4,0-4,0)y/(3,0) m/s2 = (-2x-8/3y) m/s2