Apresentação do PowerPoint

4.° BIMESTRE - 2016
EDUARDO PAES
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
REGINA HELENA DINIZ BOMENY
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
JUREMA HOLPERIN
SUBSECRETARIA DE ENSINO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS
COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO
MARIA DE FÁTIMA CUNHA
COORDENADORIA TÉCNICA
SÍLVIA MARIA SOARES COUTO
ORGANIZAÇÃO
CLAYTON BOTAS NOGUEIRA
MARCELO FERREIRA MARTINS SALVADOR
ELABORAÇÃO
CLAUDIA ROSANIA NUNES DOS SANTOS VASCONCELLOS
MOVIMENTOS MATEMÁTICOS
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA
GIBRAN CASTRO DA SILVA
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISÃO
FÁBIO DA SILVA
JULIA LYS DE LISBOA
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR
DESIGN GRÁFICO
EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA.
IMPRESSÃO
Contatos CED:
[email protected] - [email protected]
Telefones: 2976-2301 / 2976-2302
O “Movimento Matemático” é uma contribuição da Professora Regente
Claudia Rosania Nunes dos Santos Vasconcellos, da Escola Municipal
08.33.016 Mário Casasanta.
Objetivo: facilitar o entendimento de determinado conceito.
Acesso: para ter acesso às páginas em que se encontra
o Movimento Matemático, será necessário estar logado na sua conta
do rioeduca.net
FORMAS DE APRESENTAÇÃO DO MOVIMENTO MATEMÁTICO
I – On line
• Para o caderno do aluno, acessar o Portal Rioeduca (www.rioeduca.net),
Recursos Pedagógicos, Material 3º ou 4º bimestres/ 2016.
• Para o caderno do Professor, acessar a intranet (http://sme) – Material
Pedagógico 2016 – 3º ou 4º bimestres – Matemática.
• Ao apresentar o caderno no Datashow ou, apenas, no computador, ao
clicar no Movimento Matemático, você deverá ser encaminhado à
apresentação. Em seguida, clicando em qualquer parte da
apresentação, ocorrerá (por meio de sucessivos cliques) o movimento na
imagem.
II – Off line
Basta baixar o arquivo do caderno. Ao acessar a página, clique
no Movimento Matemático. Você deverá ser redirecionado à página de
download. Após baixar e abri-la, clique, sucessivamente, permitindo,
assim, a apresentação do Movimento Matemático.
Para criar sua conta rioeduca.net, entre em contato com o Help Desk, através
do telefone 4501-4018.
Página 3
4.° BIMESTRE - 2016
1) Indicando os segmentos na circunferência, complete com diâmetro,
raio ou corda:
________________
170°
b)
𝑧
c)
________________
2) Identifique, no arco de circunferência, o ângulo inscrito e o
ângulo central:
F
H
𝐹𝑂� 𝐺:_____________
� 𝐺:_____________
𝐹𝐻
33°
________________
𝑐
4) Escreva a expressão algébrica que representa a área dos
retângulos apresentados abaixo:
a)
b)
O
G
3) Em cada um dos casos citados abaixo, encontre os ângulos
representados pelas incógnitas:
3𝑧
𝑥
2𝑥
3𝑧
5) Desenvolva os quadrados da soma:
a)
24°
𝑥
a) 𝑥 + 3
2
=
b) 3𝑥 + 4𝑦
2
=
Página 4
4.° BIMESTRE - 2016
6) Resolva os quadrados da diferença das expressões:
a) 7 − 𝑧
2
=
b) (4𝑦 − 5)2 =
7) Resolva os produtos:
a) 2𝑥 − 5 2𝑥 + 5 =
b) 𝑦 + 10 𝑦 − 10 =
8) Em cada um dos casos, apresentados abaixo, escreva a
multiplicação como um produto notável e desenvolva. Leia o exemplo:
a) 97 ⋅ 103 =
𝟏𝟏𝟏 − 𝟑 𝟏𝟏𝟏 + 𝟑
c) 492 =
a) 3𝑎 + 3𝑏𝑏
Fator comum: __________
b) 4𝑥𝑥 + 12𝑦
Fatoração: __________
Fatoração: _________
d) 202 ⋅ 198 =
Fator comum: __________
10) Complete com o fator que deve ser colocado em evidência em
cada um dos casos. Em seguida, realize a fatoração por agrupamento:
a) 12𝑥 − 4𝑦 + 3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦
b) 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏
11) Fatore os polinômios:
a) 25 − 𝑏 2 =
𝟏𝟏 𝟎𝟎𝟎 − 𝟗 = 𝟗 𝟗𝟗𝟗
b) 3022 =
9) Complete os espaços e realize a fatoração do fator comum em
evidência:
b) 𝑥 4 − 16𝑦 2 =
12) Escreva a forma fatorada dos trinômios quadrados perfeitos:
a) 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
b) 𝑏2 − 8𝑏 + 16
______________________________
c) 𝑚2 + 12𝑚 + 36
______________________________
______________________________
Página 5
4.° BIMESTRE - 2016
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1.º GRAU
1) Uma lata de leite de 1 kg e três latas de café de x kg cada possuem,
Vamos relembrar a resolução
de uma equação de 1.º grau?
juntas, a mesma massa de duas latas de leite de 5 kg cada e três latas
de café de 1 kg cada. Qual é a massa de cada lata de café?
1 kg
1 kg 1 kg
x
Multirio
Pedro e Natan resolveram fazer uma brincadeira. Os dois
x
x
1 kg
5 kg
5 kg
escolheram, juntos, um mesmo número. Pedro triplicou esse
número e somou com 15. Natan somou o dobro desse número com
20. Sabendo que o resultado dos dois foi igual, qual é o número
desconhecido?
Vamos chamar esse número desconhecido de x.
2) O perímetro de um retângulo é 68 cm. Sabendo que o comprimento
Pedro
triplo desse número mais 15
________________
possui 6 cm mais que a largura, determine quanto mede cada lado
Natan
dobro desse número mais 20
________________
deste retângulo.
x
Logo,
3x + 15 = 2x + 20
3x – 2x = 20 – 15
x=5
O número que ambos escolheram foi ____________.
x+6
Página 6
4.° BIMESTRE - 2016
3) O perímetro de um triângulo isósceles é 53 cm.
O
comprimento do lado diferente é menor 1 cm do que o
5) Leia as distâncias entre as cidades A, B e C.
B
A
C
comprimento dos outros dois lados. Quais as medidas dos lados
x
do triângulo?
x
x
2x +10
Se a distância entre as cidades A e C é de 250 km, qual é a
distância entre as cidades A e B?
x -1
4) A soma de três números inteiros consecutivos é 66.
6) Três amigas concluíram que a soma das suas idades era 46
Determine-os.
anos. Bia é mais velha do que Isabel três anos e Joana tem mais
Número inteiro consecutivo é o
sucessor na ordem crescente.
Consecutivo de 2 é 3.
Consecutivo de 5 é 6.
Logo, consecutivo de x é ________.
x+1
Multirio
http://peloscaminhosdaevangelizacao.blogspot.com.br/2
012/02/amar-ao-proximo-elo-entre-as-religioes.html
um ano do que Isabel. Qual a idade da mais nova?
Página 7
4.° BIMESTRE - 2016
PLANO CARTESIANO
Acho que já
estudamos isso!
Mas, é sempre bom relembrar.
Não é mesmo?
Multirio
Multirio
http://www.oralshape.com.br/contato
Existem diversas maneiras de representar uma localização em um
plano. Uma delas é o mapa.
Para localizar uma cidade no mapa, utilizamos as coordenadas
geográficas do lugar. A latitude é a distância, em graus, de qualquer
ponto da Terra em relação à Linha do Equador. Já a longitude é a
distância, em graus, de qualquer ponto da Terra em relação ao
Meridiano de Greenwich.
Na Matemática, utilizamos uma representação semelhante para
localizar os pontos, chamada de Plano Cartesiano. Traçamos duas
retas perpendiculares numeradas, denominadas eixo vertical (eixo das
ordenadas) e eixo horizontal (eixo das abscissas). E o ponto que os
eixos se cruzam é chamado de origem.
𝒚
𝒙
Página 8
4.° BIMESTRE - 2016
Cada ponto do plano cartesiano pode ser representado
como um par ordenado (𝒙, 𝒚), onde as coordenadas indicam o
ponto de encontro entre a abscissa 𝑥 e a ordenada 𝑦. Como
exemplo, vamos marcar, no plano, o ponto 𝐀 𝟑, 𝟏 .
Para isto, traçamos a reta paralela ao eixo vertical e que
passa pelo número 𝟑 no eixo 𝐱 e a reta paralela ao eixo horizontal
e que passa pelo número 𝟏 no eixo 𝒚.
𝒚
Marque os pontos a seguir no plano cartesiano:
A (-2, 4)
B (3, -1)
C (0, 3)
D ( -1, 0)
E ( 1, 2)
F (0, 0)
G (-2, -2)
H (4, 1)
𝒚
𝒙
𝐀
𝒙
C
Utilizando o par ordenado, podemos representar
localização de outros pontos do plano cartesiano. Leia:
C (___,___)
-2 -1
1)
!!!
𝐁
D
B (___,___)
4 3
AGORA,
É COM VOCÊ
2) Indique as coordenadas dos vértices deste retângulo:
𝒚
a
D (___,___)
1 0
𝒙
Página 9
4.° BIMESTRE - 2016
EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS
Complete a tabela, de acordo com a situação apresentada:
canetas
cadernos
reais
custa R$ 10,00. Se, em um dia, foram arrecadados R$ 40,00 com
10
2
40
a venda desses produtos, qual foi a quantidade vendida de cada
5
3
40
produto?
15
1
40
0
4
40
1) Na papelaria, uma caneta custa R$ 2,00 e um caderno
Representamos a quantidade de canetas vendidas por x e a
quantidade de cadernos vendidos por y. Podemos, então,
expressar esta venda, em reais, da seguinte maneira:
Multirio
Então, não podemos achar a
quantidade exata de cada produto?
2x + 10y = 40
Apenas com as informações
fornecidas, não.
O que podemos fazer é,
apenas, levantar hipóteses, ou
seja, possibilidades.
Essa sentença matemática é uma equação com duas
variáveis.
Como descobrir a quantidade
vendida de cada produto?
A equação com duas variáveis possui mais de uma solução.
Vamos a outra situação?
Se a venda for de 10 canetas (10 . 2 = 20 reais), a quantidade de
cadernos vendidos só pode ser 2, para totalizar 40 reais.
Multirio
Continua
Página 10
4.° BIMESTRE - 2016
2) A soma de dois números reais é 6. Quais são estes números?
Podemos associar
ordenado (x, y). Leia:
Pode ser 4 e 2.
Ou pode ser 6 e 0.
Ou também 1,5 e 4,5.
𝐱
A equação que representa esta situação é:
x+y=6
𝐲
uma
das
soluções
a
um
(𝒙, 𝒚)
𝟎
𝟔
2
𝟓
(𝟎, 𝟔)
4
(___,___)
3
3
(___,___)
4
2
(___,___)
𝟏
Multirio
cada
(𝟏, 𝟓)
Por ser uma equação com duas variáveis, sabemos que ela
possui infinitas soluções. Vamos apresentar algumas soluções
para essa equação:
𝐱
0
𝐲
6
𝟏
Os pares ordenados representam
as soluções da equação com
duas variáveis.
𝐱+𝐲= 𝟔
𝟎+𝟔=𝟔
Multirio
𝟏+𝟓=𝟔
2
Podemos, então,
representar estes pares
ordenados no Plano
Cartesiano.
3
2
Multirio
par
Página 11
4.° BIMESTRE - 2016
Podemos associar cada uma das soluções a um par ordenado (x, y):
𝒚
𝐱
0
𝐲
𝟏
2
𝟓
3
3
4
2
6
4
(𝒙, 𝒚)
(𝟎, 𝟔)
(𝟏, 𝟓)
As soluções de uma equação, com duas variáveis, podem ser
representadas em uma reta no plano cartesiano. Veja:
𝒚
(𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟑)
(𝟒, 𝟐)
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
𝒙
Represente, no plano cartesiano, três
possíveis soluções para a equação x - y = 2.
𝒚
𝐱
𝒙
𝐲
(𝒙, 𝒚)
Página 12
4.° BIMESTRE - 2016
SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES
Mas, imagine que haja outra informação:
COM DUAS INCÓGNITAS
Na loja, trabalham 9 pessoas.
O número de mulheres que trabalha em uma loja é o dobro
do número de homens. Quantos homens e quantas mulheres
Escrevendo na linguagem matemática, temos:
x+y=9
trabalham nesta empresa?
número de homens
x
número de mulheres
y
Podemos achar aqui diversas
possibilidades.
Podemos, então, escrever a equação:
Pensando nas duas afirmativas que possuímos, podemos
y = 2x
escrever o seguinte:
Você consegue resolver este problema? Conseguiu
alguma resposta?
O número de mulheres que trabalha em uma empresa é
o dobro do número de homens e, no total, são 9 pessoas.
7 homens e 14 mulheres.
12 homens e 24 mulheres.
25 homens e 50 mulheres.
Temos:
y = 2x
e
x+y=9
À união das duas equações, com duas incógnitas, chamamos
de SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS.
Já vimos que uma equação, com
duas variáveis, possui
infinitas soluções.
E representamos da seguinte maneira:
�
Multirio
𝑦 = 2𝑥
𝑥+𝑦=9
Página 13
4.° BIMESTRE - 2016
y = 2x
𝐱
𝟎
1
𝐲
𝟎
2
x+y=9
(𝒙, 𝒚)
𝐱
(𝟎, 𝟎)
𝟐
(𝟏, 𝟐)
3
(___, ___)
2
4
(___, ___)
3
5
𝐲
𝟕
(𝒙, 𝒚)
As retas formadas por este sistema
são concorrentes, pois possuem
apenas um ponto em comum.
(𝟐, 𝟕)
(___, ___)
(___, ___)
(___, ___)
𝒚
Multirio
O ponto em comum representa a solução do sistema. Neste
caso, o ponto comum é formado pelo par ordenado (3, 6).
�
𝑦 = 2𝑥
𝑥+𝑦=9
x=3ey=6
Substituindo os valores x = 3 e y = 6, observamos que as
/
/
equações tornam-se duas sentenças verdadeiras.
�
𝟔 = 2 .𝟑
𝟑+𝟔 =9
A solução de um sistema de duas
equações com duas incógnitas é todo
par ordenado formado pelos números
que servem como solução de ambas
as equações.
𝒙
Multirio
Página 14
4.° BIMESTRE - 2016
RESOLUÇÃO ALGÉBRICA DE SISTEMAS
Como vimos, a solução de um sistema de
duas equações com duas incógnitas é todo
par ordenado formado pelos números
que servem como solução
de ambas as equações.
Multirio
Mas como procurar esse
par, sem que seja por
tentativas?
�
�
𝒚 = 2𝒙
𝒙+𝒚= 𝟗
Como y é igual a 2x, podemos substituir, na
2.ª equação, y por 2x.
𝑦 = 2𝑥
𝑥 + 2𝑥 = 9
Formamos, então, uma equação com apenas
uma incógnita.
y = 2x
y=2.3
y=6
Substituindo o valor achado para x, na
primeira equação, encontramos o valor de y.
x=3ey=6
O par ordenado (3, 6) é a solução do
sistema.
2x + x = 9
3x = 9
x=3
Resolvemos, agora, a segunda equação.
Para evitar possíveis equívocos, é importante substituir os
valores encontrados no sistema inicial:
Existem alguns métodos que nos facilitam descobrir estes
valores. Observe:
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
�
𝑦 = 2𝑥
𝑥+𝑦 =9
�
6 = 2 .3
3+6= 9
Podemos observar que, ao substituir estes valores, as
Vamos, então, resolver o problema anterior a partir do
equações formaram uma sentença verdadeira.
método da substituição:
�
𝑦 = 2𝑥
𝑥+𝑦 =9
Resposta: 3 homens e 6 mulheres
Página 15
4.° BIMESTRE - 2016
AGORA,
É COM VOCÊ
Outro exemplo:
3x − 2y = 6
�
x+y=7
3x − 2𝐲 = 6
�
𝐲=𝟕 −𝐱
1) Resolva os seguintes sistemas:
3𝑥 − 2𝑦 = 6
�
𝑥+𝑦=7
Neste caso, escolhemos uma equação,
deixando apenas uma incógnita em um
dos membros.
Escolhemos a segunda.
3x – 2.(7 – x) = 6
Vamos substituir o y na 1.ª equação.
3x – 14 + 2x = 6
5x = 6 + 14
5x = 20
20
x= 5 =4
Agora, basta resolver esta equação com
apenas uma incógnita.
y=7–4
y=3
Já conhecido o valor de x, devemos
substituí-lo, em qualquer das equações,
para achar o valor de y.
x=4ey=3
O par ordenado (4,3) é a solução do
sistema.
a) �
2𝑥 + 𝑦 = 7
𝑥+𝑦 =4
2𝑚 + 𝑛 = 11
b) �
𝑚+𝑛 =5
c) �
5x − 2y = 7
x − 3y = 4
a + 3b = 10
d) �
2a = 10 − 2b
Verificando a solução, teremos:
�
3𝑥 − 2𝑦 = 6
𝑥+𝑦 =7
3. 𝟒 − 2. 𝟑 = 6
�
𝟒+𝟑=7
S é chamado de conjunto solução de um sistema.
S = {(4,3)}
e) �
4x − y = 1
2x + y = 5
!!!
Página 16
4.° BIMESTRE - 2016
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
2) Ao retirar um dinheiro no caixa eletrônico, só havia notas de 20
reais e 50 reais. Retirei 270 reais e havia 9 notas. Qual é a
quantidade de notas de 20 reais? E de 50 reais?
MÉTODO DA ADIÇÃO
Observemos o seguinte exemplo:
�
+
3) Em uma festa escolar, havia 220 alunos. Sabendo que o número
de meninos era o triplo do número de meninas, mais 20, determine
o número de meninos nesta festa:
4) No estacionamento, havia 120 veículos entre carros e motos.
Sem contar os estepes, o número de pneus era de 350. Determine
a quantidade de cada veículo que estava neste estacionamento:
4x − y = 1
�
2x + y = 5
4x − y = 1
2x + y = 5
Observe que a incógnita y
coeficientes simétricos (1 e -1).
possui
4x − y = 1
2x + y = 5
6x
=6
Em seguida, somamos as duas equações.
Observe que uma das incógnitas será
cancelada.
6x = 6
6
x=6=1
Basta resolver a equação que resultou
desta soma.
2x + y = 5
2.1 + y = 5
Após a descoberta do valor de x,
devemos substituí-lo em qualquer uma
das equações. Utilizemos a 2.ª equação.
2+y=5
y=5–2
y=3
Para descobrir o valor de y, basta resolver
a equação com apenas uma incógnita.
x=1ey=3
O par ordenado (1, 3) é a solução do
sistema.
�
Verificando a solução, teremos:
�
4𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 + 𝑦 = 5
Portanto:
4. 𝟏 − 𝟑 = 1
�
𝟐. 𝟏 + 𝟑 = 5
S = {(1,3)}
Página 17
4.° BIMESTRE - 2016
Vamos observar outro exemplo?
�
Multirio
3x + 2y = 7
4x + y = 11
3x + 2y = 7
�
4x + y = 11 . (−𝟐)
Para utilizar o MÉTODO DA ADIÇÃO,
devemos, ao somar as equações, eliminar
uma das incógnitas. Neste caso, para
eliminar a incógnita y, devemos multiplicar
toda a 2.ª equação por -2.
3x + 2y = 7
−8𝑥 − 2𝑦 = −22
Observe que, agora, podemos somar as
duas equações e eliminar a incógnita y.
�
3x + 2y = 7
Em seguida, somamos as duas equações.
Observe que uma das incógnitas será
cancelada.
-5x = - 15
5x = 15
15
x= 5 =3
Basta, agora, resolver a equação com
apenas uma incógnita.
+ �−8x − 2y = −22
- 5x = - 15
4 . 3 + y = 11
12 + y = 11
y = 11 – 12
y = -1
Após a descoberta do valor de x, devemos
substituí-lo em qualquer uma das equações.
Aqui, utilizamos a 2.ª equação.
x = 3 e y = -1
O par ordenado (3, -1) é a solução do
sistema.
Verificando a solução, teremos:
�
3𝑥 + 2𝑦 = 7
4𝑥 + 𝑦 = 11
�
�
3. 𝟑 + 2. (−𝟏) = 7
4. 𝟑 + (−𝟏) = 11
3. 𝟑 + 2. −𝟏 = 7
4. 𝟑 + −𝟏 = 11
S = {(3, -1)}
AGORA,
É COM VOCÊ
1) Resolva os seguintes sistemas:
a) �
𝑥 + 3𝑦 = 7
𝑥 − 3𝑦 = −5
2𝑚 + 𝑛 = 11
b) �
𝑚+𝑛 =5
c) �
2𝑥 − 𝑦 = 5
3𝑥 − 2𝑦 = 0
9–2=7
12 – 1 = 11
!!!
Página 18
4.° BIMESTRE - 2016
2) Um pai possui o triplo da idade do filho. A soma da idade do pai
Utilize o método que preferir!
com o dobro da idade do filho é 50 anos Que idade cada um
possui?
2𝑥 + 𝑦 = 4
d) �
3𝑥 − 2𝑦 = 6
Multirio
3) A diferença entre dois números é 8. A soma do maior com o
triplo do menor é 20. Quais são os números?
5x + y = 8
e) �
x − 4y = −11
4) Observe a figura:
𝑥 + 7𝑦 = 7
f) �
𝑥 − 3𝑦 = −3
y
3 cm
3 cm
x
Sabendo que o perímetro do trapézio é 31 cm e x – y = 5, determine
𝑎+𝑏 =2
g) �
−𝑎 − 2𝑏 = 3
as medidas das bases deste trapézio:
Página 19
4.° BIMESTRE - 2016
ANÁLISE DE GRÁFICOS DE SISTEMAS
𝑥+𝑦 =7
a) �
𝑥−𝑦 =3
𝐱
𝟓
4
𝐲
(𝒙, 𝒚)
3
(𝟒, 3)
𝟐
𝐱
(𝟓, 2)
𝟓
4
𝐲
(𝒙, 𝒚)
1
(𝟒, 1)
𝟐
𝑥+𝑦 =5
b) �
2𝑥 + 2𝑦 = 8
1
2
3
𝒚
𝒙
As retas são concorrentes. Logo, possuem um ponto em
comum.
Neste caso, dizemos que o sistema é possível e
determinado.
É um sistema possível, por possuir solução, e determinado,
por ter uma única solução.
𝐱
𝟎
(𝟓, 2)
𝒚
x+y=5
𝐲
𝟓
4
(𝒙, 𝒚)
(𝟎, 𝟓)
(𝟏, 𝟒)
(___, ___)
(___, ___)
2x + 2y = 8
𝐱
0
1
2
3
𝐲
4
(𝒙, 𝒚)
(0,4)
(___, ___)
(___, ___)
(___, ___)
𝒙
As retas são paralelas. Logo, não
possuem ponto de interseção entre elas.
Este sistema não possui solução, ou
seja, ele é impossível.
Multirio
Página 20
4.° BIMESTRE - 2016
𝑥+𝑦 =4
c) �
2𝑥 + 2𝑦 = 8
x+y=4
𝐱
𝟎
1
2
3
𝒚
𝐲
𝟒
3
(𝒙, 𝒚)
(𝟎, 𝟒)
(𝟏, 𝟑)
(___, ___)
(___, ___)
AGORA,
É COM VOCÊ
2x + 2y = 8
𝐱
0
1
2
3
𝐲
4
(𝒙, 𝒚)
1)
(0,4)
(___, ___)
𝒙
As retas são coincidentes. Logo, possuem infinitos pontos
comuns entre elas.
Neste caso, dizemos que o sistema é indeterminado.
Através do plano cartesiano, resolva
os sistemas apresentados a seguir:
(___, ___)
(___, ___)
!!!
𝒚
𝑥+𝑦 =6
a) �
2𝑥 + 2𝑦 = 4
Multirio
𝒙 𝒚
(𝒙, 𝒚)
𝒙 𝒚
(𝒙, 𝒚)
𝒙
Podemos concluir que as retas são _____________________.
A solução deste sistema é ________________.
Trata-se, portanto, de um sistema _______________________.
Página 21
4.° BIMESTRE - 2016
Vamos agora resolver algebricamente?
2𝑎 − 𝑏 = 9
d) �
𝑎 − 3𝑏 = 2
Multirio
2) Resolva os sistemas.
𝑥−𝑦=4
a) �
𝑥 + 𝑦 = 10
b) �
2𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥+𝑦=2
𝑥+𝑦 =5
c) �
−2𝑥 + 𝑦 = −1
3𝑚 + 𝑛 = 8
e) �
𝑚 − 3𝑛 = 6
3) A diferença de dois números é 23. Sabendo que a soma entre
eles é 151, determine estes dois números:
Página 22
4.° BIMESTRE - 2016
6) Um número é o triplo do outro e a diferença entre eles é 8.
4) Na papelaria do bairro, Amanda comprou três canetas e dois
Determine a soma destes números.
lápis por R$ 12,00. Laura comprou uma caneta e um lápis, iguais
aos de Amanda, e pagou R$ 4,50. Qual o valor de cada caneta e
de cada lápis?
7) A soma do dobro de um número com o outro é 5 e a diferença
entre estes números é 1. Resolva, graficamente, esta situação.
5) No sítio do meu irmão Sérgio, há galinhas e coelhos num total
𝒚
de 55 cabeças e 140 pés. Determine a quantidade de galinhas e
de coelhos neste sítio.
𝒙
𝐱
𝐲
(𝒙, 𝒚)
𝐱
𝐲
(𝒙, 𝒚)
Página 23
4.° BIMESTRE - 2016
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Postit_large.jpg
POLÍGONOS
ÂNGULOS INTERNOS E ÂNGULOS EXTERNOS
Antes de falarmos sobre as propriedades de ângulos de
polígonos convexos, vamos relembrar o que são ângulos
internos e externos.
Ângulo externo é o
ângulo formado, fora do
polígono por um lado e
o prolongamento de um
lado adjacente a este.
Ângulo interno é a
abertura formada
dentro do polígono por
dois lados consecutivos.
O ângulo externo e o ângulo interno, a partir de um mesmo
vértice, são adjacentes e suplementares. Observe os
exemplos abaixo:
Ângulo interno
Ângulo externo
Ângulo interno
Ângulo externo
Agora, vamos encontrar a soma dos ângulos internos é de
um polígono convexo qualquer. Antes, vamos observar qual é a
soma dos ângulos internos do triângulo:
𝒂𝒊
𝒂𝒊
𝒂𝒊
O
triângulo
possui três ângulos
internos representados
por 𝒂𝒊 , conforme figura
ao lado.
Se juntarmos os três
ângulos do triângulo em um
mesmo ponto, teremos um
ângulo raso: 𝟏𝟏𝟏°.
A soma dos ângulos internos
de um triângulo é 180°.
Glossário
• Ângulos adjacentes - possuem um lado em comum, mas
as regiões determinadas não possuem pontos em comum.
• Ângulos suplementares - dois ângulos que, somados, são
iguais a 180º.
• Polígono convexo – é aquele em que o segmento de reta,
formado por dois pontos internos ao polígono, está
totalmente contido na sua região poligonal.
Página 24
4.° BIMESTRE - 2016
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO
Já vimos que o triângulo possui a soma dos seus ângulos
internos igual a 180° . Agora, vamos calcular a soma dos
ângulos internos de outros polígonos, dividindo estes em
triângulos. Observe os exemplos:
Vamos dividir o quadrilátero
em triângulos.
Multirio
Podemos dividir em 2 triângulos!
Logo, temos 180° vezes 2.
Multirio
A soma dos ângulos internos do
quadrilátero é 180° ⋅ 2 = 𝟑𝟑𝟑𝟑.
Vamos fazer o
pentágono ao lado?
mesmo
com
o
Um pentágono pode ser dividido em 3
triângulos. Assim, verificamos que a
soma será igual a 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝟑.
A soma dos ângulos
internos do
pentágono é
180° ⋅ 3 = 𝟓𝟓𝟓𝟓.
1) A partir de um vértice, construa
segmentos, dividindo o hexágono em
triângulos. Em seguida, informe a soma
dos ângulos internos deste polígono.
Multirio
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
Página 25
4.° BIMESTRE - 2016
2) Observando o modelo, complete a tabela.
Polígono
Agora, responda às seguintes perguntas:
Nome do
Polígono
Número
de
Lados
Número de
Triângulos
Triângulo
3
1
Quadrilátero
4
Pentágono
5
Soma
dos
Ângulos
180°
2
Hexágono
a) O que você observou sobre o número de lados do polígono e o
número de triângulos que se pode dividir este polígono?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
b) Se um polígono tem 10 lados, quantos triângulos poderemos
formar?
_________________________________________________________
c) Assim, qual a soma dos ângulos internos desse polígono que possui
10 lados?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Um polígono com 𝒏 lados, pode ser
dividido em (𝒏 − 𝟐) triângulos.
A soma dos ângulos internos de
um polígono com 𝒏 lados é
180° ⋅ (𝒏 − 𝟐), isto é,
𝑆𝑖 = 180° ⋅ (𝒏 − 2)
Heptágono
3) Leia a tabela da atividade anterior. Aproveite a nomenclatura dos
polígonos e peça ao seu Professor de Língua Portuguesa para
conversar com você e seus colegas sobre a contribuição de gregos e
latinos na formação de nossas palavras.
Multirio
4) Sem desenhar, encontre a soma dos ângulos internos de um
polígono com 13 lados.
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4.° BIMESTRE - 2016
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO
Assim como fizemos no caso dos ângulos internos de um
polígono convexo, para descobrir a soma dos ângulos externos, vamos
juntar todos esses ângulos em um único vértice. Observe o
procedimento, com o triângulo abaixo:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Postit_large.jpg
Neste triângulo,
desenhamos os três
ângulos externos.
𝒂𝒆
https://pixabay.com/pt/tesoura-tesouras-corte-ferramenta-24188/
𝒂𝒆
𝒂𝒆
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Transferidor.PNG
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
Juntando os 3 ângulos,
formamos uma
circunferência completa!
Multirio
Em seguida, cortamos e
separamos os ângulos
externos.
Multirio
Este tipo de transferidor, assim como
uma circunferência completa,
representa um ângulo de uma volta,
isto é, um ângulo de 𝟑𝟑𝟑𝟑.
Assim, a soma dos ângulos externos de um triângulo é igual
a 𝟑𝟑𝟑°. Na próxima página, vamos conhecer este procedimento para
outros polígonos.
Página 27
4.° BIMESTRE - 2016
𝒂𝒆
Ao lado, temos alguns polígonos convexos com seus ângulos
externos desenhados. Recorte e cole seus ângulos, juntando os seus
vértices, em um mesmo ponto, como no exemplo:
Primeiro, cortamos os
ângulos do polígono!
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
Corte esses
polígonos para a
atividade ao lado!
Multirio
Em seguida, unimos todos os ângulos em um
mesmo ponto e colamos no quadro:
https://pixabay.com/pt/tesoura-tesouras-corte-ferramenta-24188/
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
Corte um polígono de
cada vez, para não
misturar seus ângulos!
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Transferidor.PNG
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
Página 28
4.° BIMESTRE - 2016
De acordo com o desenvolvimento da página 26 e a atividade da
página anterior, responda às perguntas:
2) Compare as figuras com o transferidor ao
lado. Você notou alguma semelhança?
______________________________________
______________________________________
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/com
mons/f/f1/Transferidor.PNG
1) Após juntar todos os ângulos externos de cada um dos polígonos,
qual a figura que foi formada em cada um deles?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
3) Assim, o que podemos afirmar sobre a soma dos ângulos externos
de qualquer polígono?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Se precisar, peça ajuda a
seu Professor(a)!
4) Complete o quadro com a conclusão da atividade:
Multirio
A soma dos ângulos externos de
qualquer polígono convexo é
sempre igual a ______.
𝑆𝑒 =______
Página 29
4.° BIMESTRE - 2016
ÂNGULOS EXTERNOS DE POLÍGONOS REGULARES
Vamos repetir o procedimento para este pentágono regular:
Os polígonos regulares possuem todos os lados congruentes e,
também, todos os ângulos internos com a mesma medida. Mas o que
podemos dizer sobre os ângulos externos?
Já vimos que um ângulo interno e um
ângulo externo, em um mesmo vértice,
são suplementares!
𝒂𝒆
Formam 𝟏𝟏𝟏𝟏
Multirio
Em cada vértice, temos um ângulo interno congruente.
Logo, sabemos que todos os ângulos externos também terão a
mesma medida.
Os ângulos externos de polígonos
regulares são congruentes.
Se todos os ângulos externos
possuem a mesma medida e a soma
deles é igual a 360° , então, basta
dividirmos pela quantidade de lados
para sabermos quanto mede cada
ângulo.
Observe o cálculo para o triângulo
equilátero:
360°
𝑎𝑒 =
= 120°
3
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
𝒂𝒆
O pentágono possui 5 ângulos
externos congruentes e a soma
deles é 𝑆𝑒 = 360° . Assim, basta
dividirmos 360 pela quantidade de
ângulos:
𝑎𝑒 =
360°
......
= ...........
Para o exemplo a seguir, vamos efetuar a operação inversa.
Observe:
Um polígono regular possui o ângulo externo
medindo 45°. Que polígono é esse?
Como a soma dos ângulos externos de um polígono regular é
sempre igual a 360° , basta descobrir quantos ângulos de 𝟒𝟒°
cabem em 𝟑𝟑𝟑°:
𝑎𝑒 = 45°
𝑎𝑒 =
360°
𝒏
Onde 𝒏 é a quantidade de lados do polígono. Assim:
𝒏=
360°
......
= ...........
O polígono é o ____________________.
Página 30
4.° BIMESTRE - 2016
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
As atividades a seguir estão relacionadas
à soma dos ângulos internos e externos de
polígonos convexos.
3) Este polígono é um eneágono regular. Encontre a soma dos
ângulos internos de um eneágono.
1) No polígono, apresentado abaixo, identifique quais são os
ângulos internos e quais são os ângulos externos.
___________
___________
___________
___________
___________
2) Responda de acordo com este polígono:
a) Escreva a expressão que
representa a soma dos ângulos
internos deste quadrilátero.
𝟑𝟑 − 𝟏𝟏
𝟓𝟓
𝟐𝟐 + 𝟏𝟏
___________________________
___________________________
𝟐𝟐 − 𝟓
b) Qual a soma dos ângulos
internos de um quadrilátero?
___________________________
c) A partir de uma equação, encontre o valor da incógnita 𝑥 :
___________________________________________________
___________________________________________________
4) Observe o polígono regular, apresentado a seguir, e complete as
afirmativas a respeito dos ângulos externos desse polígono:
a) O polígono possui _____lados e
____vértices.
b) Assim, também possui _____
ângulos externos.
c) Como o polígono é regular
todos os ângulos externos, são
_______________.
d) A soma dos ângulos externos,
nesse polígono, é ________.
e) Finalmente, a medida de um ângulo externo desse polígono é,
aproximadamente, ______________.
5) Qual a medida do ângulo interno do
octógono regular?
Página 31
4.° BIMESTRE - 2016
PROPRIEDADE DO ÂNGULO EXTERNO DE TRIÂNGULOS
Para chegar a uma propriedade muito importante em
relação aos ângulos de triângulos, vamos reler dois resultados
que já estudamos:
A soma dos ângulos internos
de um triângulo é 𝟏𝟏𝟏𝟏.
Somam 𝟏𝟏𝟏𝟏
O ângulo externo e o ângulo
interno, em um mesmo vértice,
são suplementares.
Somam 𝟏𝟏𝟏𝟏
Assim, como ambas as somas têm resultados iguais,
sabemos que os ângulos vermelho 𝜶 e azul 𝜷 podem ser
usados para completar o ângulo externo. Observe:
𝜶
𝜷
𝜶+𝜷
Como exemplo, vamos encontrar a medida do ângulo
externo 𝛾 marcado no triângulo abaixo:
𝟕𝟕𝟕
𝟑𝟑𝟑
𝜸 = 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝜸
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
𝟒𝟒°
Encontre o valor das incógnitas em cada caso:
𝒙 = _______ + ________
𝒙 = _________
𝟖𝟖𝟖
𝒙
______ = 𝒚 + ________
_________________
O ângulo externo de um triângulo é
igual à soma dos ângulos internos
nos outros vértices.
𝜸 = 𝟕𝟕𝟕 + 𝟑𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏
_________________
_________________
𝟓𝟓𝟓
𝒚
Página 32
4.° BIMESTRE - 2016
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
4) Marque a opção que representa a medida do ângulo externo:
1) Encontre o valor do ângulo externo:
(A)
𝟒𝟎𝟎
𝟖𝟖𝟖
(B)
21°.
45°.
𝟒𝟒𝟒
(C) 66°.
(D) 111°.
2) Encontre o valor da incógnita em cada um dos casos:
𝒃
𝟔𝟔𝟔
𝒂
𝟏𝟏𝟏𝟏
3) Encontre uma equação para o problema e, em seguida, encontre
o valor da incógnita 𝑥 :
𝟖𝟖𝟖
ELEMENTOS BÁSICOS DO TRIÂNGULO
Observe os elementos do triângulo ABC:
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟔𝟔𝟔
𝟑𝟑
𝟔𝟔𝟔
𝒙
O triângulo ABC possui
vértices 𝐀, 𝐁 e 𝐂.
Ligando os vértices,
obteremos os três lados:
𝐀𝐀, 𝐁𝐂 e 𝐂𝐀.
Além disso, temos três
� 𝐂, 𝐀𝐂�𝐁 e
ângulos: 𝐁𝐀
� 𝐀.
𝐂𝐁
Continua
Página 33
4.° BIMESTRE - 2016
Complete o quadro com os elementos do triângulo representado
abaixo:
SEGMENTOS E PONTOS NOTÁVEIS EM TRIÂNGULOS
MEDIANA
Mediana é um segmento de reta que possui uma extremidade em
um vértice do triângulo e a outra no ponto médio do lado oposto a
este vértice.
Observe: meio – médio – mediana
MEDIANA
O triângulo DEF possui três vértices:____, ____ e ____.
Seus três lados são :______, ______ e ______.
Além disso, possui três ângulos:_______, _______ e _______.
Agora, vamos observar outros elementos dos triângulos, como os
segmentos que podemos ver no triângulo GHI:
𝐈𝐈 Altura
� Mediana
𝐈𝐈
� Bissetriz
𝐈𝐈
O segmento 𝐂𝐂 é a mediana relativa ao lado 𝐀𝐀 pois o ponto F é
o ponto médio desse lado.
A seguir, vamos ver o que devemos realizar para encontrar o
ponto médio do lado de um triângulo qualquer. Mas, antes, vamos
observar que um mesmo triângulo possui 3 medianas.
Continua
Página 34
4.° BIMESTRE - 2016
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Righello.jpg
Podemos também encontrar os pontos médios dos
lados 𝐀𝐀 e 𝐁𝐂 e, ligando os pontos médios aos vértices
opostos, formamos outras duas medianas. Veja:
O segmento 𝐄𝐄
é a
mediana relativa ao lado 𝐀𝐀.
Finalmente, podemos traçar as medianas em um mesmo
desenho, observando que as três se encontram em um único ponto.
Esse ponto chamamos de BARICENTRO.
BARICENTRO
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Triangle30-60.jpg
Um triângulo possui 3 medianas e o ponto
de encontro delas é o baricentro.
O segmento 𝐀𝐀 é a
mediana relativa ao lado 𝐂𝐂.
Agora, vamos observar como podemos encontrar a mediana,
utilizando uma régua.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Postit_large.jpg
Já vimos que o segmento 𝐂𝐂 é
a mediana relativa ao lado 𝐀𝐀.
Para encontrar o ponto
médio do lado 𝐀𝐀 , começamos
medindo seu comprimento.
Por exemplo, o segmento
𝐀𝐀 possui 6 cm de comprimento.
Continua
Página 35
4.° BIMESTRE - 2016
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Righello.jpg
Como o lado 𝐀𝐀 possui
6 cm, o seu ponto médio 𝐅
vai estar a 3 cm dos vértices,
na metade deste lado.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Triangle30-60.jpg
Em seguida, ligamos 𝐅
ao vértice 𝐂 para desenhar a
mediana 𝐅𝐅.
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
No triângulo, apresentado abaixo,
desenhe as medianas relativas a cada
um dos lados. Em seguida, marque o
baricentro do triângulo.
BISSETRIZ
Bissetriz é o nome dado ao segmento que divide um
ângulo em dois ângulos congruentes e encontra o lado
oposto a este ângulo.
Ângulos congruentes possuem
medidas iguais. Então, a bissetriz
divide o ângulo ao meio.
Multirio
N
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Postit_large.jpg
� 𝐂 pois
O segmento 𝐁𝐁 é a bissetriz do ângulo 𝐀𝐁
divide este ângulo ao meio e têm sua extremidade no
lado 𝐀𝐀.
Como um triângulo possui 3 ângulos, cada um destes
define uma bissetriz. Assim, todo triângulo possui 3
bissetrizes. Vamos observá-las a seguir.
P
O
Continua
Página 36
4.° BIMESTRE - 2016
O segmento 𝐁𝐁 é a
� 𝐂.
bissetriz do ângulo 𝐀𝐁
INCENTRO
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Rapporteur_180deg.svg
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Postit_large.jpg
Se traçarmos as três bissetrizes de um triângulo, em um
mesmo esquema, podemos observar que elas se encontram
em um único ponto, chamado de INCENTRO. Observe:
O segmento 𝐀𝐀 é a
� 𝐁.
bissetriz do ângulo 𝐂𝐀
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Transferidor.PNG
O segmento 𝐂𝐂 é a
bissetriz do ângulo 𝐁𝐂�𝐀.
Um triângulo possui 3 bissetrizes e o ponto
de encontro delas é o incentro.
Os transferidores são instrumentos que servem para medir
ou reproduzir ângulos em um desenho. Nós os usaremos para
medir e dividir um ângulo ao meio, para desenhar sua bissetriz.
Abaixo, vemos alguns tipos diferentes de transferidores:
Página 37
4.° BIMESTRE - 2016
Como exemplo, vamos desenhar a bissetriz do
ângulo 𝐁𝐂�𝐀 no triângulo apresentado abaixo:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Postit_large.jpg
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Rapporteur_180deg.svg
Neste
triângulo,
use
seu
transferidor para desenhar todas as
bissetrizes. Em seguida, marque o
incentro do triângulo.
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
Usamos o transferidor para medir o ângulo:
O ângulo 𝐁𝐂�𝐀
mede 60°. Assim, a
bissetriz vai dividir
este ângulo em dois
outros de 30°.
Finalmente, medindo o ângulo de 30°, traçamos um
segmento de reta até o lado 𝐀𝐀, formando, assim, a
bissetriz do ângulo 𝐁𝐂�𝐀.
ALTURA
Altura é o segmento de reta que liga, perpendicularmente, um
vértice ao seu lado oposto, formando ângulos de 90°.
O segmento 𝐁𝐁 é a altura do
triângulo relativa ao lado 𝐀𝐀 pois os
segmentos 𝐁𝐁 e 𝐀𝐀 são perpendiculares.
Página 38
4.° BIMESTRE - 2016
Todo triângulo possui 3 alturas. Cada uma, relativa a um
de seus lados. Observe:
O ponto de encontro das três alturas de um triângulo é
chamado de ORTOCENTRO. Observe:
O segmento 𝐁𝐁 é a
altura do triângulo relativa ao
lado 𝐀𝐀.
ORTOCENTRO
Em triângulos obtusângulos, algumas das alturas do
triângulo não podem ser traçadas dentro da figura. Nestes casos,
as alturas formarão ângulo reto com um prolongamento do lado
oposto ao vértice.
O segmento 𝐂𝐂 é a
altura do triângulo relativa ao
lado 𝐁𝐁.
Triângulos obtusângulos são
aqueles que possuem um ângulo
obtuso, isto é, maior que 90°.
O segmento 𝐀𝐀 é a
altura do triângulo relativa ao
lado 𝐁𝐁.
Multirio
O segmento 𝐀𝐀 é a altura do
triângulo relativa ao lado 𝐁𝐁, pois
encontra seu prolongamento 𝐁𝐃
perpendicularmente.
Prolongamento
Página 39
4.° BIMESTRE - 2016
O triângulo obtusângulo, também, possui 3 alturas e podemos
desenhar seu ortocentro, que está localizado do lado de fora do
triângulo no encontro dos prolongamentos das alturas. Observe:
A seguir, construa as alturas do
triângulo apresentado abaixo, desenhando
segmentos perpendiculares a partir dos
vértices do triângulo. Em seguida, marque
o ortocentro do triângulo.
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Triangle30-60.jpg
Altura
Altura
E
Para construir as alturas, fazendo ângulos de 90°, você
pode usar um esquadro ou também o transferidor.
Altura
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Postit_large.jpg
Se precisar, peça ajuda ao
seu Professor!
ORTOCENTRO
Agora, vamos ver como podemos desenhá-lo?
Multirio
Página 40
4.° BIMESTRE - 2016
AGORA,
É COM VOCÊ
!!!
1. Nestes triângulos, indique quais dos
segmentos indicados são altura, bissetriz
ou mediana:
2. Complete as afirmativas:
a)
b)
c)
d)
e)
O segmento que divide o lado oposto na metade é chamado
de _________________.
Uma bissetriz é um segmento que divide o _____________
em duas partes iguais.
O _____________ é o ponto em que as três bissetrizes do
triângulo se encontram.
O encontro das três medianas de um triângulo é o
__________________.
O encontro das três alturas de um triângulo é o
_________________.
3. Indique quais são os segmentos apresentados abaixo:
𝐴𝐴:_______________
𝐶𝐶:_______________
Altura:______________
Bissetriz:____________
Mediana:____________
𝐺𝐺:_______________
𝐸𝐸:_______________
Página 41
4.° BIMESTRE - 2016
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
B
Dois triângulos são chamados de congruentes quando possuem
Caso LLL
Lado, lado, lado.
E
seus três lados, respectivamente, congruentes e seus três ângulos,
respectivamente,
congruentes.
Basta
comparar
alguns
desses
elementos específicos (lados ou ângulos) para descobrir se dois
triângulos são congruentes.
C
F
A D
Se os 3 lados são, respectivamente, congruentes, os triângulos
são congruentes.
Estes triângulos são
congruentes!
𝑨𝑨 ≡ 𝑫𝑫
𝑩𝑩 ≡ 𝑬𝑬
𝑨𝑨 ≡ 𝑫𝑫
Multirio
∆𝑨𝑨𝑨 ≡ ∆𝑫𝑫𝑫
Caso LAL
Lado, ângulo, lado.
Os triângulos são congruentes quando dois de seus lados e o
ângulo formado entre esses lados são congruentes.
Ângulos congruentes são aqueles que possuem as mesmas
propriedades e as mesmas medidas.
A seguir, veremos os casos de congruências de triângulos, isto é,
quais os elementos que precisamos observar para que dois triângulos
sejam congruentes.
𝑨𝑨 ≡ 𝑫𝑫
� 𝑪 ≡ 𝑫𝑬
�𝑭
𝑨𝑩
𝑩𝑩 ≡ 𝑬𝑬
D
A
∆𝑨𝑨𝑨 ≡ ∆𝑫𝑫𝑫
E
B
F
C
Página 42
4.° BIMESTRE - 2016
AGORA,
É COM VOCÊ
Caso ALA
Ângulo, lado, ângulo
Observando as marcações de congruências de lados e ângulos
dos triângulos, identifique o tipo de congruência de triângulos em
cada um dos casos.
Estes triângulos são congruentes porque
possuem dois ângulos e o lado,
entre eles, congruentes.
B E
C
D
A
___________
F
B
Multirio
� 𝑪 ≡ 𝑫𝑬
�𝑭
𝑨𝑩
𝑨𝑨 ≡ 𝑫𝑫
� 𝑪 ≡ 𝑬𝑫
�𝑭
𝐁𝑨
∆𝑨𝑨𝑨 ≡ ∆𝑫𝑫𝑫
A
!!!
F
F
C E
I
D
H
___________
G
Caso LAAo
M
K
J
Lado, ângulo adjacente, ângulo oposto
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um
ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado congruentes,
respectivamente.
A
B D
___________
E
L
Q
𝑨𝑨 ≡ 𝑫𝑫
� 𝑪 ≡ 𝑫𝑬
�𝑭
𝑨𝑩
� 𝑨 ≡ 𝑬𝑭
�𝑫
𝐁𝑪
O
T
N
_____________
∆𝑨𝑨𝑨 ≅ ∆𝑫𝑫𝑫
C
F
U
P
R S
Página 43
4.° BIMESTRE - 2016
2) Observe o gráfico que expressa a quantidade de alunos presentes
em uma turma com 60 alunos.
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
ALUNOS PRESENTES
OBMEP – NÍVEL 2
1) Para testar a qualidade de um combustível, composto
apenas de gasolina e álcool, uma empresa recolheu oito
amostras em vários postos de gasolina. Para cada amostra, foi
determinado o percentual de álcool e o resultado está mostrado
60
50
40
30
20
10
0
no gráfico. Em quantas dessas amostras o percentual de álcool
é maior que o percentual de gasolina?
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
a) Qual foi o dia da semana em que houve mais alunos presentes?
_________________________________________________________
b) Existiram dois ou mais dias da semana em que houve a mesma
quantidade de alunos presentes?
_________________________________________________________
c) Em que dia da semana houve mais alunos faltosos?
_________________________________________________________
d) Quais os dias da semana em que houve menos de quarenta alunos
presentes?
_________________________________________________________
Página 44
4.° BIMESTRE - 2016
3) (Adaptado ENEM - 2005) Em uma área, observa-se o seguinte
4) (Adaptado ENEM - 2011) Uma rede de supermercados realizou uma
regime pluviométrico:
pesquisa para saber em que horário as pessoas mais gostavam de ir
ao supermercado. Foram entrevistadas 2 000 pessoas e o resultado
PRECIPITAÇÃO (mm)
está representado no gráfico:
MESES DO ANO
Os anfíbios são seres que podem ocupar tanto ambientes aquáticos
quanto terrestres. Entretanto, há espécies de anfíbios que passam todo
o tempo na terra ou, então, na água. Apesar disso, a maioria das
espécies terrestres depende de água para se reproduzir e o faz quando
a água existe em abundância.
De acordo com o gráfico, o período de meses do ano em que,
nessa área, os anfíbios terrestres poderiam se reproduzir mais
De acordo com o gráfico, em que horário a maioria das pessoas
entrevistadas prefere ir ao supermercado?
eficientemente, seria de:
(A) setembro a dezembro.
(A) 8 h às 12 h.
(B) novembro a fevereiro.
(B) 12 h às 16 h.
(C) janeiro a abril.
(C) 16 h às 20 h.
(D) março a julho.
(D) 20 h às 23 h.
(E) maio a agosto.
(E) 23 h às 24 h.
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4.° BIMESTRE - 2016
3) Ana Clara comprou 2 blusas e 1 calça, pagando R$ 55,00.
Daniela comprou 1 blusa e 2 calças pagando R$ 65,00. Cada blusa
1) Duda pensou em dois números cuja soma entre eles é 10 e
custou, em reais,
a diferença entre o dobro de um deles e o outro número é 11.
Quais os números pensados por Duda?
(A) 15.
x reais
(B) 18.
(A) 1 e 9.
(C) 20.
(B) 2 e 8.
(D) 25.
y reais
(C) 3 e 7.
(D) 4 e 6.
OBMEP – NÍVEL 2
4) O Professor Pedro colocou, no quadro, o seguinte sistema:
2) (OBMEP- Adaptada) Nas duas balanças, há sacos de areia
�
de mesma massa, além de tijolos idênticos.
𝟑𝟑 + 𝒚 = 𝟏𝟏
𝒙 − 𝒚 = −𝟑
A soma de x + y será
A massa do tijolo, em kg, é
(A) 3.
(A) 2.
(B) 5.
(B) 3.
(C) 7.
(C) 4.
(D) 8.
(D) 5.
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4.° BIMESTRE - 2016
5) A solução do sistema �
(A) maiores que 7.
2𝑥 + 3𝑦 = 26
são números
5𝑥 − 𝑦 = 14
7) Podemos dizer que os segmentos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 do triângulo 𝐴𝐴𝐴
são, respectivamente,
(B) consecutivos.
(C) negativos.
(D) pares.
6) Leia este plano cartesiano:
𝒚
30°
30°
3 cm
(A) bissetriz e mediana.
3 cm
(B) altura e mediana.
(C) bissetriz e altura.
(D) mediana e altura.
𝒙
Agora, responda:
Qual dos sistemas pode representar este gráfico?
(A) �
(B) �
2𝑥 + 3𝑦 = 6
𝑥−𝑦 =1
𝑥 + 3𝑦 = 6
𝑥−𝑦 =2
(C) �
(D) �
3𝑥 − 𝑦 = 7
𝑥 + 𝑦 = 14
3𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑦 = 8
8) Um polígono regular, que possui 12 lados, se chama
dodecágono. Podemos afirmar que a medida de cada um dos
ângulos externos desse dodecágono é
(A) 10°.
(B) 15°.
(C) 30°.
(D) 60°.
Dodecágono
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4.° BIMESTRE - 2016
9) Abaixo, apresentamos um octógono, dividido em triângulos,
para calcular a soma dos seus ângulos internos.
Qual a soma dos ângulos internos de um octógono?
11) Sabendo que 𝛼 é um ângulo externo deste triângulo, podemos
afirmar que a sua medida é
(A)
(B)
(A)
(B)
24°.
67°.
𝟔𝟔𝟔
(C) 100°.
720°.
(D) 110°.
900°.
(C) 1 080°.
(D) 1 260°.
𝜶
𝟒𝟒𝟒
12) No triângulo ABC, o ponto P é o ponto de encontro entre as
três alturas do triângulo. Esse ponto é chamado de
(A) vértice.
10) Encontre o valor de 𝑥 no pentágono:
(A) 30°.
(B) 45°.
(C) 60°.
(D) 90°.
𝒙
𝟐𝟐
(B) incentro.
(C) baricentro.
(D) ortocentro.
13) Observando as marcações de congruências de lados e
ângulos dos triângulos ABC e DEF, marque a opção que
representa o tipo de congruência existente entre eles.
3𝒙
D
A
(A) LLL
(B) ALA
(C) LAL
(D) LAAo
C
B
F
E