1 CAPITULO 4 FUNÇÕES Conceito de Função: 1)GUELLI

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CAPITULO 4 FUNÇÕES
Conceito de Função:
1)GUELLI ( ), considera os conjuntos A={0,1,2,3} e B={­1,0,1,2,3,4,9} e a seguintes
relações binarias de A em B:
a) R={ (x,y) Є AxB | y=x+2} não é funçao
b) R={ (x,y) Є AxB | y 2=x 2 }
c) R={ (x,y) Є AxB | y=x}
d) R={ (x,y) Є AxB | y=(x­1)²}
verifique qual das relações são funções?
SCILAB
­>x=0:3
x =
0. 1. 2. 3. ­­>y=x+2
y =
2. 3. 4. 5. ­­>plot(x,y,'*')
­­>xgrid
Definição:
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de AxB recebe o nome de aplicação de
A em B com imagens em B se, e somente se, para todo x ЄA existe um y ЄB tal que (x,y) Є
f.
Notação de função:
f : x ­­­>f(x) que se lê:
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" f aplicada a x produz f(x)" ou " a função f definida por y=f(x)"
Domínio : conjunto de partida
Imagem : é subconjunto do contradomínio Exemplos a) A B
b)
D=[­2;1] Im=[0;+inf[
EXERCICIOS
2) Se f(x) = − x é uma função definida para todo x≥0, real , pede­se :
a) f(1) b)f(4) c) f(0) d)f(­9) e) f   2
3)Seja a função f , de Z em Z, definida por f  x=x 2 −3x2 , calcular:
a) f(0) b)f(1) c)f(2) d) f(­1) e) f(­2)f(3) 4) T4 Sejam A={­1,1,3,5} e B = {0,1,2,3,4,5,6}. A função f, de A em B, é definida por
f(x)=x+1.
a) qual é a imagem de 3 pela aplicação f?
b)qual é o valor de f em ­1?
c) qual é a imagem da função f?
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5)T4 Dar o dominio das seguintes funções:
a) T4f(x) =2x­7 b) g  x=
c)h(x)= 1
* fazer no scilab
x −3
1
*condição é que o denominador seja diferente de zero.
x −1
2
resposta: x≠1 e x≠−1 d)i(x)=
1
dominio: todos os numeros reais
x 2
2
e) f  x= 2x−5 solução: 2x­5>0 então x>5/2
f) T4 g  x=
 2x−5
x−4
g) T4 f  x=
1
2

2
 x x −3
6) T4Construir o grafico cartesiano de cada uma das seguintes funções de R x R:
a) f(x)=x­10 b) f  x=
3x12
c) f  x=−x 2 2x8 d)g(x)=­x² +6x
2
e) h(x)=x²­9
7) IEZZI (1981), a relação f de A em B em R, com A={x ∈R /−1≤x≤3} , verifique se é
função.
É uma função
8) A relação f de A em B dada por A={x ∈R /−2≤x≤2} , verifique se é função.
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Não é uma função
9) AUTOR ( )Faça uma função que recebe por parâmetro os lados de um retângulo que
calcula e retorna a sua área.
Solução : comprimento : a largura : b A(a,b)=a*b
10)T4 AUTOR ( ),escreva a função que define a nota de um aluno que retorne ao seu
conceito, conforme a tabela abaixo:
Nota Conceito de 0,0 a 4,9 D de 5,0 a 6,9 C de 7,0 a 8,9 B de 9,0 a 10,0 A 11) AUTOR ( ), escreva as funções que recebe o parâmetro, a altura (alt) e retorna o peso
ideal. a) Para homens , calcular o peso ideal usando a formula : peso ideal =72,7* alt­58.
b) Para mulheres, calcular o peso ideal usando a formula :
peso ideal =62,1x alt­44,7.
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12) T4 Faça uma função que receba um valor inteiro e positivo e calcula o seu fatorial. 13)T4 Uma célula esférica de raio r tem um volume V =
4πr 3
e uma superfície S=4πr 2 .
3
Expresse V em função de S.
14) T4Uma certa locadora de automóveis cobra $ 35 por dia mais $0,55 por km rodado.
Expresse o custo da locação.
15) O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de lazer para
motoristas á beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular , com uma área
de 5000 m2, e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Expresse o
comprimento da cerca, em metros, em função do comprimento do lado que dá para a rodovia.
R: f(x)=x + 1000/x
16) IEZZI (1981), qual é a notação das seguintes funções de R em R?
a) f associa cada numero real ao seu oposto.
R: f(x)=­x
b) h associa cada numero real ao seu cubo.
c) g associa cada numero real ao seu quadrado menos 1.
d) k associa cada numero real ao seu numero 2.
17) T4Seja f a função de Z em Z definida por f(x)=3x­2 calcular:
a) f(2) b)f(­3) c) f(0) d) f(3/2) 18)T4 Seja f a função de R em R assim definida:
f  x=
1 se x∈ Q
x1 se x ∉Q
a) f(3) b)f(­3/7) c  f   3−1  d  f  2  e f  0, 75 
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19) T4 Seja a função f de R em R definida por f  x =
2x−3
. Qual é o elemento do
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dominio que tem ­3/4 como imagem? R:­3/8
20)T4 Quais são os valores do domínio da função real definida por f  x =x 2−5x9 que
produzem imagem igual a 3? R:2 ou 3
21) Dê o domínio e a imagem das funções:
a)
3
0
4
-1
1
2
0
Dominio:{3;0;4} Imagem: {­1;1;0}
b) y=2x Dominio : Reais Imagem: Reais
c)y=1/x Dominio: x≠0 Imagem : x≠0
d) y= x Dominio: x≥0
e) y =3 x Dominio:: Reais
22)T4 Estabelecer o dominio e a imagem das funções abaixo:
a)
b)
0
1
2
-1
0
1
-1
1
2
0
-2
-1
0
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23) T4Na função determinar o dominio e a imagem:
a)
Fonte:
http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap61.html
24)HOFFMANN ( 2002, p.13), faça o gráfico da função
2x se 0≤x1
f  x=2 /x se 1≤x4
3 se x ≥4
a) determinar o dominio e a imagem
APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA GNUMERIC E SCILAB
•
* use gnumeric – grafico XY
•
faça um vetor coluna de mesmo tamanho e mesmos valores
•
pule uma linha
•
em seguida calcule y para função separado
•
grafico XY
•
usando o Scilab
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•
calcule cada plot separado
•
sempre cuidando o tamanho de cada vetor
•
x=0:1
•
y=2*x
•
plot(x,y)
•
x1=1;4
•
y1=2*x1^(­1)
•
x2=4:6 vetor mesmo tamanho
•
y2=[3 3 3] vetor mesmo tamanho
25) T4 HOFFMANN (2002, p.17) Faça o grafico da duas funções f(x)=3x+ 2 e g(x) =x^2
26) T4 Dar o domínio e a imagem das funções:
a) y=3x+2 b h  x =
x−1
1
1
c  y=
d  y=
2
x2
x −4
 x1
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FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA
I. FUNÇÃO COMPOSTA
Para IEZZI (1981), seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B seja g uma função
de B em um conjunto C; chama­se função composta de g e f a função h de A em C definida
por h(x)=g(f(x)) para todo x em A. Indica­se esta aplicação h por go f ( le­se : g composta
com f ou g circulo ou bola f); então : (gof)(x)=g(f(x)) para todo x em A.
EXERCICIOS
28) IEZZI (1981), sejam os conjuntos A= {­1,0,1,2}B={0,1,2,3,4} e C={1,3,5,7,9} e as
funções:
f, de A em B, definida por f(x) =x^2
g, de B em C, definida por g(x)=2x+1 , obter a lei de formação gof ( g composta com f).
resposta: g(f(x)) =2x^2+1
29)AUTOR ( ),determine a função composta a) f(g(x)) b) g(f(u)), para f(u)=u 2+3u+1 e
g(x)=x+1.
R: x2+5x +5
30)T4 Determine a função composta f(g(x)):
a) f(u)=u2+4 , g(x)=x­1
b)f(u)=(2u+10)2 g(x)=x­5
31) T4 Um estudo de eficiência no turno da manhã, um operário que chega no trabalho às 8
horas terá montado f(x)=­x3+6x2 +15x aparelhos de tv x horas depois.
a) quantos aparelhos um operário já montou , em média , ás 10 horas da manhã? [10h: x=2]
R:46
b) quantos aparelhos um operário monta, em média entre 9 e 10 horas da manhã?R:26
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aplicação da função composta
32) T4 Os ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração média de monóxido de
carbono no ar durante o dia será c(p)=0,5p+1 partes por milhão quando sua população for de
p mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de t anos
será de p(t)=10+0,1t2 mil habitantes.
a) determine a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o dia em função do
tempo. R:6+0,05t2
b)daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 partes
por milhão? R: c(p(t))=6,8 R :4
II. FUNÇÃO SOBREJETORA
Segundo IEZZI (1980), uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todo y
pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que f(x)=y.
Notação:
f:A ­­­­>B f é uma sobrejetora <==>Im(f)=B
GERSTING (2004), para mostrar que um função é sobrejetora pegue um elemento arbitrario
no contradominio e mostre que ele tem uma imagem inversa no dominio.
33)EXEMPLO:A função f de A={­1,0,1,2} em B={0,1,4} definida pela lei de formação f(x)
=x², verifique se é sobrejetora.
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III. FUNÇÃO INJETORA
Em GERSTING (2004) , existe uma unica imagem para cada elemento do dominio.
Definição:
Uma função f:S ­­­> T é dita injetora ( ou injetiva ou um para um) se nenhum elemento de T é
imagem, sob f, de dois elementos distintos em S.
34)EXEMPLO: A função g : R ­­­>R definida por g(x)=x³.
35) IEZZI (1981),a função f de A ={0,1,2,3} em B={1,3,5,7,9} definida pela lei
f(x)=2x+1 é injetora?
IV.FUNÇÃO BIJETORA
Em IEZZI (1981), uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e
injetora.
36)EXEMPLO: A função f de A={0,1,2,3} e B={1,2,3,4} definida por f(x)=x+1 é bijetora?
EXERCICIOS
37) Indique qual da funções abaixo é injetora, sobrejetora ou bijetora? IEZZI A.313 p.191A 0 ­1
1 0
2 2
3 3
4
resposta: injetora
38)T4 Nas funções seguintes classifique em :
I) injetora II) sobrejetora III)bijetora
IV) não é sobrejetora e nem injetora
a) f:R ­­­>R tal que f(x)=2x+1
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b) g:R­­­>R tal que g(x)=1­x²
c)h:R­­­>R+ tal que h(x)=|x­1|
d)m:R­­>R tal que m(x)=3x+2
V. FUNÇÃO INVERSA
Segundo IEZZI (1981), dados os conjuntos A={1,2,3,4} e B={3,5,7,9} considerar a função f
de A em B definida por f(x)=2x­1.
Obter um função inversa, ou seja f: B ­­>A.
Definição: se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B
em A que denominamos função inversa de f e indica­se por f ­1 .
solução : seja a função y=2x+2 , substituir y por x e x por y, então tem­se : x=2y+1 ,
−1
isolando y : y =
x−1
2
EXERCICIOS
39) T4 Para cada função determinar a sua inversa e verificar se é bijetora.
a) f:R­­­> tal que f(x)=2x­5
b) g:R ­{4} ­­>R­{1} tal que g x = x1/ x−4
c) h:R­­­>R tal que h(x)=x5
40) T4 Nas funções de R em R , obter a lei de formação que define a função inversa.
a)g(x)=2x+3 b) g(x)=(4x­1)/3 c)h(x)=x3+2 d)p(x)=­(x­1)3+2 e)q(x)=(x+2)⅓ f) r(x)=(x­1)⅓ g)
s(x)=(1­x2)⅓
REFERENCIAS
IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matematica Elementar. SP.
Editora Atual.5.ed.1981.
GERSTING, J. L. Fundamentos Matematicos para a Ciencia da Computação. RJ. Editora
LTC.5.ed.2004.
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