Universidade de S˜ao Paulo Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos
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Universidade de São Paulo Instituto de Fı́sica de São Carlos Fı́sica I Nome: Lista 3: resolver até 8.4.2013 Matricula: 84 20 - Um corpo de massa m encontra-se sobre um ângulo θ e massa M, conforme mostra a Fig atrito entre o bloco triangular e o chão, e o atri Questão 31: Plano inclinado com atrito dois blocos é µ. Pergunta-se: a) qual a força ho que pode ser aplicada ao bloco m tal que ele n Um corpo de massa m encontra-se sobre um bloco triangular de ângulo θ e massa M , conforme mostra na figura. Não existe cunha? b) qual é o valor da normal nesta situaçã atrito entre o bloco triangular e o chão, e o atrito estático entre F os dois blocos e µ. Pergunta-se: m a. Qual a forca horizontal máxima F que pode ser aplicada M ao bloco m tal que ele não deslize sobre a cunha? θ b. Qual e o valor da normal nesta situação? Fig. 4.48 Questão 32: Polia sem fricção Uma corda de comprimento L e densidade linear de massa λ passa por uma polia sem atrito. Ela é solta do repouso, estando um comprimento x pendente de um lado e L − x do outro. a. Determine a aceleração como função de x. b. Para que situação a aceleração é nula? Questão 33: Meio viscoso Um√corpo com velocidade inicial v0 penetra num meio que produz uma força viscosa F = −b v. Determine a máxima distância que o corpo penetra neste meio. Questão 34: Vôo livre com fricção Um corpo de massa m começa cair no tempo t = 0 no ponto z = 0 com a velocidade inicial ~v = v0 êz no campo homogêneo de gravitação terrestre (o eixo z seja dirigido para baixo). O seu movimento na atmosfera é sujeito a fricção de Newton (força da fricção F~R = −αv~v , estamos agora considerando só o movimento em direção do eixo z). a. Qual é a equação de movimento do corpo? b. Como deve ser escolhido v0 para obter um movimento com velocidade v constante? c. A velocidade inicial v0 seja zero. Calcule a relação entre a distância de queda z e a S. C. Ziliodas Bagnato e, para isso, velocidade alcançada. (Ajuda: Utilize o método da separação R ex V. S.variáveis escreve a equação de movimento na forma dz = f (v)dv. Vale: a2 −x2 dx = −0.5 ln(a2 − x2 ).) d. Após qual distância de queda o corpo alcance 50% da velocidade máxima? M Questão 35: Pára-quedista com resistência Um pára-quedista sai do seu avião em 2000 m. Infelizmente, seu pára-queda falha. Supõe que a resistência do ar pode ser descrito por atrito de Stokes com o coeficiente de atrito k = 0.05 s−1 . a. Calcule a velocidade máxima do pára-quedista. b. Qual seria do tempo total do vôo T do pára-quedista se a fricção fosse desprezı́vel? c. Qual é a distância entre o pára-quedista e o terreno no tempo T no caso que a fricção não seja desprezı́vel. Questão 36: Atrito de Stokes Em meios viscosos (fluidos, gases) age sobre um corpo em movimento uma força dependente da velocidade oposta ao movimento FR . Para fluxos laminares vale, FR = Cv com uma constante C, que tem no caso de uma esfera do raio r o valor C = 6πηr, onde η é a viscosidade do meio. a. O imperador Carlos Magno (ano 742-814) está chateado, porque o duque saxão Widukind não se deixa subjugar. Fora da frustração, ele lança sua esfera dourada, sı́mbolo do seu reino (raio r = 8 cm, densidade ρ = 3.19 g/cm3 ) dentro de Reno. Estabelece a equação de movimento para a esfera na água e resolvê-a com os valores iniciais x(t = 0) = 0 m, v(t = 0) = 0 m/s. Com que velocidade a esfera dourada desce para o fundo? Despreze a flutuabilidade. A viscosidade da água é ηH2 O = 1.7 · 10−3 Ns/m2 . b. Carlos tivesse lançado a esfera à partir da rocha da Lorelei (altura 125 m acima do Reno), quão grande seria a diferença de velocidade devido ao atrito se Stokes no momento do impacto na superfı́cie de Reno comparado com o caso sem atrito? Resolve a equação de movimento da esfera com a viscosidade do ar ηar = 1.7 · 10−5 Ns/m2 . Questão 37: Atrito de Newton Um carro esporte sente uma resistência do ar da forma FR = −b·v 2 assim como uma força de atrito de rolamento independente da velocidade Frol . Derive uma equação para a potência necessária para manter uma alta velocidade v. Assume valores realistas para as constantes e a potência do carro esportivo e calcule a velocidade máxima resultante possı́vel. Justifique a sua escolha dos valores! Questão 38: Transformação de Galilei Um trem anda com a velocidade constante v0 . Dentro do trem, a partir de um altura h0 uma bola da massa m está soltada. a. Calcule a trajetória da bola como vista por um observador viajando no trem. b. Calcule a trajetória da bola como vista por um observador exterior fora do trem. c. Agora, o trem seja desacelerado uniformemente a partir do momento quando a bola está soltada. Calcule a trajetória da bola como vista por um observador a. viajando no trem e d. fora do trem. Questão 39: Resfriamento óptico Átomos de um gás (rubı́dio-87) são bombeados por um feixe laser. Cada fóton transfere o momento ∆p = h/λ, onde λ = 780 nm é o comprimento de onda da luz. A taxa de espalhamento seja Γ = 3.8 · 107 s−1 . Qual é a aceleração? Questão 40: Conservação de energia na queda livre Considere a queda livre de uma massa m desde a altura h. a. Escreve a energia cinética e a energia pot6encial da massa como funções de z(t) respectivamente ż(t). b. Calcule z(t) por integração da lei de conservação de energia para as condições iniciais ż(t = 0) = 0. Para isso, derive de ż(t) uma equação da forma ż = f (z) e integra essa equação após separação das variáveis. Questão 41: Looping Um corpo começa com a velocidade v0 = 0 do ponto A e desliza sem atrito numa declive (vide figura). No ponto B a declive se transforma em um cı́rculo de raio R. a. Qual é a velocidade nos pontos B e C do circulo? b. Qual é a razão R/h máxima para evitar que o corpo cai no ponto B? c. Qual é a velocidade mı́nima no ponto B para evitar que o corpo cai? y h A B C R x Questão 42: Energia potencial Um corpo é acelerado uniformemente a partir do repouso até atingir a velocidade vf no tempo tf . Mostre que a potência instantânea fornecida ao corpo é: P (t) = mvf2 t . t2f Questão 43: Potencial de Lennard-Jones Considere o potencial de Lennard-Jones comumente utilizado como sendo a energia de interação entre dois átomos constituindo uma molécula: r 6 r0 12 0 U (r) = C . −2 r r a. b. c. d. Faça um gráfico de U (r) contra r, Mostre que o mı́nimo de energia (posição de equilı́brio) ocorre em r0 , Ache a força entre os átomos como função de r e Qual é a energia necessária para separar os átomos que constituem a molécula? 90 104 energia Trabalho e energi Trabalho e P a coordenada natural é o ângulo θ. Vemos que: FS = mg cosθ e d Questão 44: Corpo deslizando de umproblema, cilindro com atrito m = - Rdθ, já que s e θ aumentam em sentidos opostos. 4m Assim, m R Um corpo vinculado a mover-se com atrito sobre um cilindro y M k de raio R é solto de um ângulo h mθ0 com velocidade nula. B Mg cosθ a. Qual é o máximo coeficiente de atrito estático µe permitido 30 o S para o corpo poder deslizar? θ x R Fig. é5.16 Fig. 5.17 b. Uma vez que o corpo começa deslizar, o atrito dominado pelo coeficiente de atrito10dinâmico µ . Qual é o trabalho - Um bloco ddesliza com velocidade v0 sobre um plano horizontal sem atrito. realizado até o corpo chegar na posição horizontal (θ = 0◦ )? Subitamente ele encontra uma rampa com ângulo de inclinação θ e c. Qual é a velocidade final? Fig. 5.4 - Corpo vinculado mover-seHsobre um cilindro sem atrito. coeficiente de atrito dinâmico µ. Qual altura amáxima o bloco sobe na rampa? θ W = − ∫ mg cos θ Rdθ = − mgR (sen θ − sen θ 0 ) 11 - Um uma corpo de massa M é preso porθ0uma corda de comprimento L e pode Questão 45: Corpos subindo ladeira rodar em torno do ponto O, como indicado na Fig. 5.19. Qual é a mínima 2 W = ∆K ⇒ mgR (sen θ 0 − sen θ ) = 1 mv Dois corpos andando com mesma velocidade v sobre um plano horizontal estão distanciados 2 velocidade que o corpo pode ter ao passar pelo plano horizontal de forma de d. Após subirem uma ladeira h, movimento qual será circular? a distância entre eles? quede elealtura fique em ⇒ v(θ ) = 2gR sen θ 0 − sen θ d´ ( ) 5.2 Potênci L M O h um agente externo Quando r realiza trabalho sobre um corpo, podemo v d definir potência como sendo a taxa temporal de energia que ele é capaz d r r fornecer ao corpo. Assim, no caso de uma força constante, dW = F.d s r r rr Fig. Fig. 5.19 P = 5.18 dW / dt = F. d s = F.v . A unidade de potência é energia/temp dt 12 - Um corpo colocado exatamente na) vertical de uma superfície cilíndrica [P] = J / s ≈ Watt (W . sem atrito, começa a deslizar com velocidade v0, conforme mostra a Fig. 5.20. (a) Encontre sua velocidade em função do ângulo θ. 5.3 (b) Encontre a potencia Energia força normal como função do ângulo θ. (c) Determine o ângulo θ para o Nem sempre o trabalho realizado sobre um corpo por um agen qual corpo se desprende do cilindro. externo é convertido totalmente em energia cinética. Muitas vezes o trabalh dá origem a um outro de energia, chamada energia potencia 13 - Um corpo de massa m é preso a uma molatipo vertical, de constante de mola energia cinética, com k, como mostraAnalogamente a Fig. 5.21. O àcorpo é solto a partirum do corpo repouso, daenergia posição potencial tem y=0, sendo que nesta situação a mola não está distendida. a) Escreva a S. C.como Zilio efunção V. S. Bagnato Mecânica, calor e onda energia potencial de y (tome o zero de energia potencial S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas
