INTRODUÇÃO AO CÁLCULO I – FUNÇÕES Conjuntos Funções

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO I – FUNÇÕES
Conjuntos
Conjunto dos números naturais (N):
N = {0, 1, 2, 3, ... } e N* = {1, 2, 3, ... }
Conjunto dos números inteiros (Z):
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } e Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
Conjunto dos números racionais (Q):
Q={
}
Conjunto dos números irracionais (R - Q) ou (I):
Os números irracionais são dízimas não periódicas como, por exemplo, √ =1,4142136...;
√ = 1,495348...;
= 3,141592...; e = 2,718281...; 1,010010001...
Conjunto dos números reais (R):
O conjunto dos números reais é formado por todos os números decimais, sejam eles decimais exatos,
dízimas periódicas ou dízimas não periódicas, isto é, os números reais são formados pelos racionais e pelos
irracionais.
Funções
Uma função real é um objeto matemático que, a cada número x de um subconjunto A dos números reais,
associa um único número f (x) de um subconjunto B dos números reais.
Notação
a) f: A → B (lê-se: f de A em B)
x → y = f (x) (lê-se: definida pela lei y = f (x))
Exemplos:
Temos então que (1) e (5) não são funções e (2), (3) e (4) são funções.
Domínio, contradomínio e imagem de uma função
O conjunto A é chamado de domínio da função f ; o conjunto dos números reais contido em B que
estão associados por f é chamado o conjunto imagem (ou simplesmente, a imagem) de f ; e o conjunto B é
chamado de contradomínio da função.
Domínio ⇒ É o conjunto A. (D(f))
Contradomínio ⇒ É o conjunto B. ( ⊂ D(f)).
Imagem ⇒ É o subconjunto de B, formado por todos os segundos elementos dos pares ordenados
(x,y) pertencentes a f. Im(f) ⊂ CD(f)
Exemplo: Dados os conjuntos A = {–3, –1, 0, 2} e B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} e a função f : A → B definida por f (x)
= x + 2, determine a imagem de f.
Função Crescente
Uma função f é crescente se ∀ a, b
Dom(f ), a < b, então f (a) < f (b).
Função Decrescente
Uma função f é decrescente se ∀ a, b
Dom(f ), a < b, então f (a) > f (b).
Função Afim
Chama-se função afim a toda função f : R → R definida por f (x) = ax + b, em que a e b são números reais.
O gráfico da função f (x) = ax + b é uma reta.
As funções podem ser classificadas também como:
Função linear f(x) = ax sendo b = 0,
ex.: f(x) = 4x
Função constante f(x) = b sendo a = 0,
ex.: f(x) = 3
O coeficiente angular, numa função afim, é o único fator que determina o seu crescimento ou
decrescimento.
 Uma função será crescente quando a>0
 Uma função será decrescente quando a<0
Exemplo:
f(x) = 2x+1
a=2
crescente
f(x) = -3x+2
a = -3
decrescente
2
Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 3
x
-2
-1
0
1
2
F(x)
F(x) = 2(-2) - 3 = -4 -3 = -7
F(x) = 2(-1) – 3 = -2 -3 = - 5
F(x) = 2(0) – 3 = 0 – 3 = - 3
F(x) = 2(1) – 3 = 2 – 3 = - 1
F(x) = 2(2) – 3 = 4 -3 = 1
1
-4
-2
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
2
4
Função Quadrática
Chamamos função quadrática à relação definida por f (x) = ax2 + bx + c sendo a, b e c, constantes reais,
com a 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2
O coeficiente de x tem uma interpretação um tanto mais significativa. Compare os gráficos das duas
2
2
funções e f (x) = x e g(x) = −x .
2
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax + bx + c, notaremos sempre que:


se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo
2
Exemplo:Vamos construir o gráfico da função y = x + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida,
ligamos os pontos assim obtidos.
x
y
-3
6
-2
2
-1
0
0
0
1
2
2
6
2
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax + bx + c, a 0, os números reais x tais
que f(x) = 0.
2
2
Então as raízes da função f(x) = ax + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax + bx + c = 0, as
quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Sendo os vértices: Xv = -b/2a e Yv = -∆/4a
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando
, chamado discriminante, a saber:

quando
é positivo, há duas raízes reais e distintas;


quando
quando
é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
é negativo, não há raiz real.
Exemplos: Esboce o gráfico das funções reais regidas pelas seguintes leis matemáticas:
Noção de Função – Exercícios
1) Dados os conjuntos A {-1, 0, 1, 2} e B {2, 3, 4, 5, 6} e uma função f: A B, definida por f(x) = x + 4 então
o conjunto imagem dessa função é:
a) Im = {2, 3, 4, 5, 6}
b) Im = {2, 4, 5, 6}
c) Im = {3, 4, 5, 6}
d) Im = {2, 3, 5, 6}
2) Os sapatos são medidos por números: 35, 36 e 37 para a maioria das mulheres e 38, 40 e 41 para a
maioria dos homens. O número y do sapato depende do comprimento x (em cm) do pé, e a fórmula para
calcular y é:
. Com base nessa relação, responda:
a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24,8 cm?
b) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 20 cm?
c) Quanto mede o comprimento de um pé que calça 42?
3) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, a bandeirada, e outra depende da
distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86 então a
fórmula matemática que define essa função é:
a) f(x) = 3,44 + 0,86x
b) f(x) = 0,86x
c) f(x) = 3,44
d) f(x) = 3,44 - 0,86x
e) f(x) = 3,44 + x
4) Relembrando os conceitos de domínio e imagem de função e considerando o diagrama abaixo, que
representa uma função de A em B, podemos afirmar que o domínio da função é igual a:
a) {1, 3, 5}
b) {0, 4, 5}
c) {3, 5, 7}
d) {1, 0, 4}
5) O gráfico a seguir representa a posição de um carro em movimento numa estrada.
Determine a posição do carro no instante 7h.
a) 90 km
b) 105 km
c) 110 km
d) 120 km
6) Dada a função f: RR definida por f (x) = -3x + 1, determine f (-2):
a) f (-2) = 3
b) f (-2) = 4
c) f (-2) = 6
d) f (-2) = 7
7) Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
8) Sendo
, calcule f(-1), f(0), f(1), f(2)e f(3) e esboçe o gráfico:
9) Sendo
, calcule f(0)- f(-1)+f(2):
2
10) Dado que, f(x) = x + x – 2 obtenha:
a) f(1) + f (2) =
b) f(3) =
c) x, tal que f(x) = 0
11) Dada a função f(x) = 7x + 2, determine:
a) f(-1). f(3) =
b) f(2) / f(0) =
c) x para que f(x) = 9
d) x para que f(x) = 72
12) Obtenha o valor da constante k em f(x) = 2x + k, dado que f(-1) = 5.