Física I - Moodle@FCT

Física I
Trabalho Experimental no 5
(Demonstração)
Momento de Inércia
e
Conservação do Momento Angular
Física I – Semestre ímpar 2009/2010
Trabalho no 5
Momento de Inércia e Conservação do Momento Angular
A preparação do trabalho requer a leitura do manual para os trabalhos práticos, A
medida em Física e a leitura deste guião, ambos disponíveis em formato “pdf” na
página da disciplina http://moodle.fct.unl.pt. Para uma melhor compreensão do
trabalho experimental, as questões colocadas na secção de análise de dados
assinaladas com  devem ser preparadas antes da aula prática.
1. Objectivos
Os objectivos do trabalho são:
•
Determinar experimentalmente os momentos de inércia de um disco e de um anel
metálico,
•
Verificar o princípio da conservação do momento angular quando o anel cai sobre o
disco em rotação.
2. Introdução
O movimento de rotação de um objecto (inicialmente em repouso) em torno de um determinado
eixo ocorre quando uma força é aplicada num ponto do objecto, de tal forma que o momento da

força em relação ao eixo de rotação é não nulo. Se uma força F for aplicada num ponto P de um
corpo, o momento dessa força calculado relativamente a um ponto O é dado pelo produto vectorial
  
τ = r×F
(1)

onde r é o vector posicional do ponto P relativamente ao ponto O.


A existência de momento 1, τ , origina por sua vez uma variação do momento angular, L do
objecto:

dL
τ =
dt

(2)


sendo L o momento angular e τ o momento resultante das forças externas aplicadas ao objecto
(soma dos vectores momentos devidos a cada uma das forças aplicadas ao corpo) ambos calculados
em relação ao mesmo ponto. Esta equação rege a dinâmica do movimento de rotação de um objecto
em torno de um eixo, podendo ser considerada como a segunda lei de Newton para o movimento de
rotação. De facto salienta-se a semelhança desta equação com a segunda lei de Newton para o
1
Por uma questão de simplicidade passaremos a chamar momento ao momento de uma força. O termo torque também
é usado (português do Brasil) para designar esta grandeza vectorial.
2/19

movimento de translação, que estabelece que uma força, F , origina uma variação de momento

linear, p , de tal forma que
 dp
F=
dt
(3)
Da equação (2) pode concluir-se que se o momento das forças externas aplicadas for nulo, o

momento angular mantém-se constante (
k)
 
 
(4)
τ =0⇒ L=k
Para um sólido rígido em rotação em torno de um dos eixos principais de inércia (eixo que passa
pelo centro de massa do corpo), o vector momento angular segundo esse mesmo eixo pode
escrever-se


L = I ⋅ω
(5)


Note-se que, comparando a expressão (5) para o momento angular com p = mv para o momento
linear, concluímos que o momento de inércia, I , assume no movimento de rotação um papel
semelhante ao da massa no movimento de translação: I representa a maior ou menor facilidade em
pôr um objecto em rotação. O momento de inércia de um corpo relativamente a um eixo depende da
forma como a massa do corpo está distribuída em torno do eixo.
Nos casos em que há conservação do momento angular, das equações (4) e (5) pode deduzir-se
que

L = k ⇒ L = I ⋅ ω = k
(6)
Quando o momento resultante das forças exteriores não for nulo, não haverá conservação de
momento angular. Das equações (2) e (5) pode concluir-se que o corpo adquire uma aceleração
angular dada por
α=
dω τ
=
dt
I
(7)
Cálculos do momento de inércia tendo em conta a distribuição de massa permitem concluir que:
- o momento de inércia de um disco, ID, em torno do eixo principal de inércia indicado na
Figura 1 é dado por:
ID =
1
M D R D2
2
onde MD é a massa do disco e RD o seu raio;
3/19
(8)
- o momento de inércia de um anel, IA, em torno do eixo principal de inércia indicado na figura
2 é dado por:
IA =
1
M A (R12 + R22 )
2
(9)
onde MA é a massa do anel, R1 e R2 são respectivamente os seus raios interno e externo.
R2 R1
Figura 1: disco e eixo de rotação neste trabalho
Figura 2: anel e eixo de rotação n este trabalho
- O momento de inércia do conjunto disco+anel com os dois elementos colocados um sobre o
outro de tal forma que os eixos referidos anteriormente fiquem coincidentes é:
ID +A =
1
1
M D RD2 + M A (R12 + R22 )
2
2
(10)
3. A experiência
Neste trabalho, pretende-se observar a conservação do momento angular numa colisão entre um
anel, inicialmente em repouso, e um disco em rotação em torno de um eixo principal.
Primeiro determinam-se os momentos de inércia do disco e do conjunto disco+anel. Só depois se
analisa o momento angular do sistema nos instantes imediatamente anterior e imediatamente
posterior à queda do anel.
3.1 Material
- Sistema rotacional para determinação do momento de inércia e estudo da conservação do
momento angular:
• Base de apoio com veio e rolamentos
• Disco
• Anel
• Roldana
• Conjunto de massas e respectivo suporte
• Fio
- Sistema de aquisição de dados; Balança; Nível de bolha de ar; craveira e Fita métrica
4/19
3.2 Determinação dos momentos de inércia
A figura 3 esquematiza a configuração experimental a ser utilizada nesta parte do trabalho

T
disco
base
Massa
suspensa

a

mg
Fig. 3: Montagem experimental para a determinação dos momentos de inércia
Para determinar experimentalmente os momentos de inércia, é aplicada a cada um dos sistemas
em estudo (disco ou conjunto disco+anel) uma força cujo momento em relação a um ponto do eixo
do sistema é fácil de determinar usando a equação (1). A força aplicada é devido a uma massa, m,
suspensa de um fio enrolado em torno do eixo (ver figura 3)
τ = rT
(11)
onde r é o raio de enrolamento do fio no veio e T o módulo da tensão do fio. Se se puder desprezar
o atrito cinético no eixo de rotação o momento resultante é dado pela expressão (11).
A massa suspensa ganha uma aceleração, a, que se relaciona com a tensão através da segunda lei
de Newton,
T = m( g − a )
(12)
Esta aceleração relaciona-se ainda com a aceleração angular do sistema em rotação:
α=
a
r
(13)
Substituindo na equação (7) os resultados (13), (11) (válidos se o atrito cinético no eixo de
rotação for desprezável) e (12), obtemos a seguinte relação entre o momento de inércia do sistema
em rotação, a massa suspensa e a sua aceleração linear:
r 2 m( g − a )
I=
a
5/19
(14)
Analisemos de seguida como corrigir o efeito do atrito cinético no eixo de rotação. 2 Se dermos
um impulso ao sistema (sem a massa m suspensa) colocando-o em rotação, ao fim de algum tempo
a sua velocidade angular acabará por se anular devido a este atrito. Nessa situação, a força de atrito

é a única força responsável pela existência de momento, isto é, o momento da força de atrito, τ atrito
, é o momento resultante. Tendo em conta a expressão (7) podemos escrever para a aceleração
angular (que terá um valor negativo):
α atrito =
dω τ atrito
=
dt
I
(15)
Esta aceleração angular é aproximadamente constante e pode ser determinada pelo declive
(negativo) do gráfico de ω(t). A relação entre o momento da força de atrito e a aceleração angular
devida ao atrito é pois
τ atrito = Iα atrito
(16)
Para tomarmos em conta o efeito do atrito cinético no eixo de rotação aquando da suspensão da
massa m deveremos considerar o momento τ atrito no cálculo do momento resultante. Como o

momento devido à tensão tem a mesma direcção de τ atrito a expressão (11) corrigida tendo em
conta o efeito do atrito é:
τ = rT + Iα atrito
(17)
A expressão (14) dará então lugar a
r 2 m( g − a )
I=
a − rα atrito
(18)
3.3 Verificação da conservação do momento angular
Na figura seguinte esquematiza-se a montagem experimental para a verificação da conservação
do momento angular.
2
Note-se que o eixo do sistema é a linha central do eixo de rotação.
6/19
Figura 4: Esquema da montagem experimental utilizada para a verificação da conservação do momento angular.
Sendo nulo o momento das forças externas verifica-se a conservação do momento angular e, da
equação 5, resulta que
I D ω i = I D + Aω f
(19)
Nestas condições a velocidade angular final, ω f , dever-se-á relacionar com a velocidade
angular inicial através de:
ωf =
ID
ID+ A
ωi
(20)
Um outro parâmetro que importa aqui considerar, é a fracção de energia cinética de rotação
perdida na colisão. A energia cinética de rotação de um objecto de momento de inércia I em
rotação com velocidade angular ω é
EK =
1 2
Iω
2
(21)
Assim sendo, a fracção de energia cinética perdida na colisão será dada por
E kf − E ki
E ki
I
= 1 − D+ A
ID
7/19
ωf

 ωi



2
(22)
4. Actividade experimental
Destaque a folha de registos que se encontra no fim deste guião
4.1 Determinação dos momentos de inércia
Medições das dimensões necessárias para os cálculos dos momentos de inércia.
4.1.1 – Usando a balança determine as massa do disco e do anel e registe os valores obtidos na
tabela I.
4.1.2 - Meça o diâmetro do disco e os diâmetros interno e externo do anel e registe os seus valores
na tabela II.
Preparação da determinação experimental dos momentos de inércia com o sistema rotacional.
4.1.3 - Monte o sistema que inclui a roldana e uma célula fotoeléctrica na base como se mostra na
figura 3. Ligue a célula fotoeléctrica ao computador através da entrada 1 da interface 500.
4.1.4 - Com uma craveira meça o diâmetro da zona cilíndrica no eixo da base em torno do qual vai
enrolar um fio que irá passar pela roldana. Anote o valor na tabela III. Enrole um fio em torno dessa
zona.
4.1.5 - Faça passar o fio pela roldana e suspenda na sua extremidade livre um suporte onde vai
colocar as massas a suspender. A análise de resultados processa-se durante a queda destas massas
suspensas.
4.1.6 - Encaixe o disco na base deixando o friso onde irá encaixar o anel virado para cima.
4.1.7 - Execute o programa “DataStudio” e seleccione a opção “Create Experiment”.
No menu “Sensors” procure o ícone “Smart Pulley” (roldana) e faça duplo clique sobre esse ícone.
O símbolo deste sensor deverá aparecer no ecrã, na janela “Experiment Setup”, ligado a uma
representação do sistema de aquisição de dados. Faça um duplo clique com o rato sobre o símbolo
e, na nova janela que apareceu, seleccione o campo “measurement”. Na “measurement list”
seleccione “Linear Velocity, ch1 (m.s-1)”. Na secção “Display” (à esquerda no ecrã) escolha a
opção “Graph”. Para monitorizar o gráfico e os valores de velocidade basta seleccionar a opção
“Start” na barra de comando superior e para parar a monitorização seleccione “Stop”.
Determinação da aceleração do disco para determinação experimental do momento de inércia
do disco com o sistema rotacional
4.1.8 – Coloque uma massa suspensa de cerca de 50 g no suporte e anote o seu valor na tabela III.
Monitorize o gráfico v(t) da velocidade durante a queda.
4.1.9 – Use a ferramenta de regressão linear para obter o declive da recta v(t), isto é, o valor da
aceleração a . Anote o valor na tabela III. Imprima o gráfico para anexar ao trabalho
8/19
Determinação da aceleração do disco+anel para determinação experimental do momento de
inércia do disco+anel com o sistema rotacional
4.1.10 – Coloque o anel em cima do disco.
4.1.11 – Repita o procedimento de 4.1.8 até 4.1.9 e anote os valore na tabela III.
Preparação para a determinação do efeito do atrito no eixo.
4.1.12 – Retire o sistema que inclui a roldana e substitua-o pelo que contém apenas a foto célula
como se mostra na figura 4. Tenha em atenção que o disco com ranhuras ligado à base deve passar
no meio da barreira óptica do fotodetector. Ligue a foto célula ao computador através da entrada 1
da interface 500.
4.1.13 – Volte ao menu “measurement list” e seleccione “Angular Velocity, ch1 (rad.s-1)”. Na
secção “Display” escolha as opções “Graph”.
4.1.14 – Manualmente coloque o sistema em rotação e escolha a opção “Start” na barra de comando
superior. A velocidade angular do disco em rotação deverá aparecer no gráfico do ecrã. Uma vez
confirmado que os valores estão a ser lidos correctamente pelo computador faça “Stop” para parar a
aquisição dos dados.
Determinação do efeito do atrito no eixo para o sistema com o conjunto anel+disco
4.1.15 – Manualmente, coloque o sistema com o anel e o disco em rotação e proceda como
anteriormente para obter o gráfico da velocidade angular em função do tempo, ω(t).
4.1.16 – Use a ferramenta de regressão linear para obter o declive da recta ω(t), isto é, o valor da
aceleração angular α atrito . Anote o valor na tabela III. Imprima o gráfico para anexar ao
trabalho
Determinação do efeito do atrito no eixo para o sistema só com o disco
4.1.17 – Retire o anel de cima do disco.
4.1.18 – Repita o procedimento de 4.1.15 até 4.1.16 e anote os valores na tabela III.
4.2 Verificação da conservação do momento angular
4.2.1 – Manualmente, coloque o disco em rotação e obtenha o gráfico ω(t). Segure o anel 5 a 10
mm acima do disco. Observe os resultados no ecrã do computador. Após a aquisição de alguns
pontos experimentais deixe cair o anel sobre o disco (o anel deve encaixar na ranhura do disco).
Após a colisão do anel com disco, deixe registar os valores da velocidade angular durante mais
algum tempo.
4.2.2 – Observe atentamente a região do gráfico onde a velocidade angular apresenta uma variação
brusca. Registe, na tabela IV, os valores das velocidades angulares antes da colisão e depois da
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colisão (pode usar uma ferramenta
que indica as coordenadas de um ponto seleccionado ou
aceder à tabela com os dados experimentais adquiridos, seleccionando a opção “Table” no menu
“Display”).
4.2.3 – Repita os dois passos anteriores mais 2 vezes. Imprima o gráfico correspondente ao último
dos ensaios.
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FÍSICA I
Análise de dados
Trabalho no 5
Momento de Inércia e Conservação do Momento Angular
Turma ______
Grupo ________
Data ____ / ____ / ____
Nome __________________________________________________ no_______ Curso _________
Nome __________________________________________________ no_______ Curso _________
Quando terminar a análise dos resultados, junte estas últimas folhas com a
folha de registo que destacou antes de realizar a experiência e os gráficos que
imprimiram. Entregue o conjunto ao docente das aulas práticas.
5. Análise de resultados
5.1 - Calcule os momentos de inércia do disco e do conjunto disco+anel a partir dos dados
registados nas tabelas I e II e as respectivas incertezas propagadas.
5.1.1 - Momento de inércia do disco calculado a partir das suas dimensões:
 Expressões:
ID =
(%δ(ID)) =
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Cálculos:
I D = ______________ ± ___________ _________
5.1.2 - Momento de inércia do conjunto disco+anel calculado a partir das suas dimensões:
Use o resultado que obteve em 5.1.1. e as informações que se seguem:
∂I A
1
= ( R12 + R22 )
∂M A 2
;
∂I A
= M A R1
∂R1
 Expressões:
ID +A = ID +
δ( ID+A) = δ(ID) +
12/19
;
∂I A
= M A R2
∂R2
Cálculos:
I D + A = ______________ ± ___________ _________
5.2 - Tome para g o valor 9,8 m/s2. A partir dos dados da tabela III obtenha:
5.2.1 – Estime os momentos de inércia do disco e do conjunto disco+anel determinados a partir
dos resultados obtidos com o sistema rotacional, desprezando o efeito do atrito cinético no eixo
(não estime incertezas):
 Expressões (indique o significado de cada símbolo, e.g. g é o módulo da aceleração da
gravidade):
I D , sem atrito =
I D + A,sem atrito =
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Cálculos:
I D , sem atrito = ___________ _________
I D + A,sem atrito = ___________ _________
5.2.2 - Momentos de inércia do disco e do conjunto disco+anel determinados a partir dos
resultados obtidos com o sistema rotacional, considerando o efeito do atrito cinético no eixo
(não estime incertezas):
 Expressões (indique o significado de cada símbolo, e.g. g é o módulo da aceleração da
gravidade):
I D , atrito =
I D + A,atrito =
Cálculos:
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I D , atrito = ___________ _________
I D + A,atrito = ___________ _________
5.3 – Com os valores obtidos em 5.2, estime o erro relativo que se comete ao desprezar o efeito do
atrito.
5.4 - Compare e comente os resultados obtidos em 5.1 e em 5.2.2.
5.5 – Use os momentos de inércia obtidos em 5.1 para calcular os momentos angulares e
respectivas incertezas (considere Qua. a incerteza relativa da velocidade angular é de (δ(%ω)) =
5%), antes e depois das colisões para os 3 ensaios.
 Expressões usadas para determinar os momentos angulares e as respectivas incertezas:
L=
(δ(% L)) =
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Cálculos:
Momento Angular
Medição nº
antes da colisão
Li /________
δ( Li ) /_______
Momento
Angular
depois da colisão
Lf /________
1
2
3
Pode concluir que houve conservação de momento angular?
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δ( L f ) /________
 5.6 - Porque não lhe foi pedido que calculasse os valores médios para o conjunto dos vários
ensaios?
 5.7 - À partida existem forças externas aplicadas a este sistema, nomeadamente o peso do
disco e do anel. Em sua opinião estas forças poderão alterar a condição de conservação de momento
angular?
 5.8 - Escolha os resultados correspondentes a 1 dos ensaios e estime a fracção de energia
cinética perdida na colisão (Não estime incertezas). Comente.
E kf − E ki
E ki
=
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FÍSICA I
Folha de Registos
Trabalho no 5
Momento de Inércia e Conservação do Momento Angular
Turma ______
Grupo ________
Data ____ / ____ / ____
Nome __________________________________________________ no_______ Curso _________
Nome __________________________________________________ no_______ Curso _________
6. Registos
Determinação dos momentos de inércia
Medições efectuadas em 4.1.1.
Tabela I – Valores de massa do anel e do disco.
Massa do disco
MD = _______ ± ______ _______
Massa do anel
MA = _______ ± ______ _______
Medições efectuadas em 4.1.2.
Tabela II – Valores das dimensões do anel e do disco.
Diâmetro do disco
DD = _______ ± ______ _______
Diâmetro interno do anel
D1 = _______ ± ______ _______
Diâmetro externo do anel
D2 = _______ ± ______ _______
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Tabela III – Dados para a determinação dos momentos de inércia usando o sistema rotacional
Disco
Anel + Disco
Diâmetro (d = 2r ) do
cilindro de enrolamento
(4.1.4)
d /mm
δ(d) = _________mm
Massa suspensa (4.1.8)
m/g
δ(m) = _________ g
Declive do gráfico v(t)
(4.1.9)
a/_________
Declive do gráfico ω(t)
(4.1.16)
αatrito /_________
Verificação da conservação do momento angular
Medições efectuadas em 4.2.
Tabela IV- Valores iniciais e finais para a velocidade angular.
Medição nº
Velocidade angular antes da colisão
ωi / rad s-1
Velocidade angular depois da
colisão
ωf /________
1
2
3
19/19