A Lei de Gauss

Aula 3: A Lei de Gauss
Curso de Física Geral F-328
2º semestre, 2013
F328 – 2S20123
1
Fluxo de um campo vetorial
Definição:
ds
 
φ = ∫ v (r ) ⋅ nˆ dA
A

dA
φ=
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
v
dV
ds
; dV = A ds →φ = A = A v ⊥
dt
dt
t̂
n̂

v

dA= nˆ dA
v⊥
v //
n̂
S
 
v (r )

v

A
 
φ = A.v = An̂.(v ⊥ n̂ + v // t̂) = Av ⊥
2
Fluxo de um campo vetorial
O fluxo do campo elétrico
Qual é o fluxo do campo elétrico
de uma dada distribuição de cargas
através de uma superfície fechada?
 
φ = ∫ E ( r )⋅nˆ dA
S

E
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superfície
gaussiana
esférica

E

E

E
 
 
dφ = E ( r ) ⋅ nˆdA > 0
dφ = E ( r ) ⋅ nˆdA < 0
 
dφ = E ( r ) ⋅ nˆdA = 0
3
Fluxo de um campo vetorial
Superfície cilíndrica cujo eixo coincide com a direção
de um campo elétrico uniforme

dA

dA

E

E
superfície
gaussiana

E

dA
φ = φ1 + φ2 + φ3 = − EA + 0 + EA = 0
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Fluxo de um campo vetorial
Ângulo sólido e lei de Gauss
 
E (r )
dA cos θ
θ

dA
r
q
dΩ

E
dA cos θ
dΩ =
r2
dA cos θ = r 2 dΩ
 

dφ = E ( r ) ⋅ nˆdA = E ( r ) dA cos θ
 2
dφ = E (r ) r dΩ

ΔA
4π
q
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q r 2 dΩ q
φ = ∫ dφ = ∫
=
2
4πε0 r
ε0
0
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A Lei de Gauss
Esta lei relaciona os valores do campo elétrico em pontos de uma
superfície (gaussiana) com a carga total dentro da superfície:
 
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
S
ε0
S1
S4
S3
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S2
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A Lei de Gauss: Ilustrações
q\
q
Uma carga puntiforme fora de uma
superfície fechada. O número de linhas
de força que entram na superfície é
igual ao número de linhas que saem
dela. O fluxo total é nulo.
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Superfícies fechadas de vários
formatos envolvendo uma carga q.
O fluxo através de todas as
superfícies é o mesmo.
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Cálculo de campo elétrico
A lei de Gauss é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo
elétrico criado por uma distribuição de cargas depende da simetria
desta distribuição.
Carga puntiforme (simetria esférica)
 
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
S
Nos pontos de S:
Então:
superfície
gaussiana S
ε0

E paralelo a nˆ

E = uniforme

dA
q

E
 
q ∴
2
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA = E ( r ) 4π r =
S
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
1 q
E=
rˆ
2
4πε 0 r
ε0
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Cálculo de campo elétrico: Condutores
O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio
eletrostático é sempre nulo. Assim sendo, a lei de Gauss nos permite
demonstrar que todo o excesso de carga no condutor deverá migrar
para a sua superfície.
 
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
ε0
S
condutor
φ=
qint
ε0
=0
superfície
gaussiana
  
E ( r )=0
  
E ( r )=0
superfície
gaussiana
condutor
No caso de haver uma cavidade no condutor, a lei de Gauss nos
diz que o excesso de carga se situa na superfície externa do condutor.
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9
Cálculo de campo elétrico
Simetria plana: camada condutora
 
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
ε0
S
ε 0 EA = σA

E
A
 σ
E = nˆ
ε0
O campo deve ser sempre perpendicular à superfície do
condutor carregado, em equilíbrio eletrostático. Por quê?
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Cálculo de campo elétrico
Simetria plana: placa não condutora

E

E
gaussiana
cilíndrica
 
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
S
2ε 0 EA = σA
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ε0
σ
E=
2ε 0
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Cálculo de campo elétrico
Carga induzida em uma camada condutora neutra
Determinar as cargas induzidas nas superfícies interna e externa
da camada.
 
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
−q
ε0
S
Para uma gaussiana no interior da camada:
 
− q qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
+
=0
ε0
S
qint = +q
e
ε0
Superfície
gaussiana
qext = − q
Note que σ int não é uniforme. E σ ext ?
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Cálculo de campo elétrico
Simetria cilíndrica: fio infinito uniformemente carregado
 
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
superfície
Superfície
gaussiana S
gausseana
λ
ε0
S
Nos pontos de S:

E paralelo a nˆ
E = constante

ddAA
h

λh
φ = E ( r )2π rh =
ε0
 
E (r ) =
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λ
rˆ
2π ε 0 r

EE

E
S
vista de topo
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Cálculo de campo elétrico
Duas placas condutoras
Densidades superficiais de carga σ 1 e − σ 1
⎧σ 1 à direita da placa
⎪⎪ ε
0
E1 = ⎨
⎪− σ 1 à esquerda da placa
⎪⎩ ε 0
⎧− σ 1 à direita da placa
⎪⎪ ε
0
E2 = ⎨
⎪σ 1 à esquerda da placa
⎪⎩ ε 0
Aproximando as placas:
⎧ 2σ 1
entre as placas
⎪
Etotal = E1 + E 2 = ⎨ ε 0
⎪0 fora das placas
⎩
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Cálculo de campo elétrico
Duas placas não condutoras
Densidades superficiais de carga σ (+ ) e − σ (− )
⎧σ ( + )
⎪ 2ε à direita da placa
⎪ 0
E( + ) = ⎨
⎪− σ ( + ) à esquerda da placa
⎪⎩ 2ε 0
E( − )
⎧ σ (−)
⎪− 2ε à direita da placa
⎪
0
=⎨
⎪σ ( − ) à esquerda da placa
⎪⎩ 2ε 0
σ (+) − σ (−)
σ (−) − σ (+)
σ (+) + σ (−)
ER =
; EL =
; EB =
2ε 0
2ε 0
2ε 0
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Cálculo de campo elétrico
Simetria esférica: esfera condutora carregada (ou casca
esférica carregada)
 
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
S
ε0
S2
S1
⎧ Q
, se r > R
⎪
2
E ( r ) = ⎨ 4πε0 r
⎪0, se r < R
⎩
Estas expressões para E(r) significam o que se
entende pelo teorema das camadas.
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Cálculo de campo elétrico
Simetria esférica: esfera não condutora
uniformemente carregada
 
qint
φ = ∫ E ( r )⋅nˆdA =
S
ε0
gaussiana
esférica
gaussiana
esférica
⎧ Q
⎪⎪ 4πε r 2 , se r > R
0
E (r) = ⎨
Qr
, se r < R
⎪
3
⎪⎩ 4πε0 R
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Lista de exercícios do Capítulo 23
Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328-Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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