T02 - Ufba

INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL III (FIS 123)
TURMA: T02
SEMESTRE: 2o /2012
1a PROVA
Gabarito
1. Três partículas carregadas estão dispostas sobre um arco de circunferência
de raio R, como mostra a figura. Os valores das cargas são
e
. Determine:
a. O campo elétrico (módulo, direção e sentido) no centro C do arco
b. Qual seria a força (módulo, direção e sentido) sobre uma carga
colocada no ponto C?
Solução:
a. Considere o sistema de referência mostrado na figura acima. Devido ao fato de
os campos por elas produzidas são divergentes às cargas. Como
serem positivas,
é negativa, ⃗⃗⃗⃗⃗ converge para ela.
Assim:
⃗
(
⃗
⃗)
√
(
⃗
⃗)
⃗
(
⃗
⃗)
√
(
⃗
⃗)
⃗
⃗
⃗
O campo total é a soma vetorial dos três campos, isto é: ⃗
⃗
b. A força sobre a carga
será
( √
⃗
⃗
⃗ . Assim:
)⃗
⃗ . Logo,
( √
)⃗
1
2. Uma casca esférica condutora de raio externo
com carga
e raio interno , carregada
, tem em seu interior uma esfera isolante de raio
uniformemente com carga
carregada
.
a. Determine o campo elétrico para todas as regiões do espaço, isto é, para
,
,
e
)e
b. Determine a densidade superficial de carga nas superfícies interna (
externa (
) do condutor. Utilize a lei de Gauss para justificar este cálculo.
Solução:
Considere uma superfície gaussiana de raio
concêntrica às esferas de
carga. Aplicando a lei de Gauss,
∮⃗
e usando o fato de que o problema tem simetria esférica, obtemos:
( )
a) Região
, de modo que:
Neste caso (veja figura)
- Região
Esta é uma região no interior do condutor que se encontra em equilíbrio eletrostático, ou seja, não
existe corrente elétrica em seu interior. Nestas circunstâncias devemos ter
- Região
, tem-se que
Traçando-se uma superfície gaussiana esférica de raio , onde
.
Usando (1) obtemos:
- Região
Traçando-se uma superfície gaussiana esférica de raio
( )
, obtemos
( )
Por outro lado
(
)(
)
(
)
Usando (1) obtemos:
2
b) A superfície interna do condutor tem carga
( ) e área
( ) Assim, a densidade superficial de carga
nessa superfície é dada por:
( )
( )
( )
( )
( )
A carga na superfície interna do condutor deve ser igual a
( )
, pois a carga da esfera
interna atrai os portadores de carga negativos do condutor para suas proximidades. Como a carga total do
condutor é
a carga na superfície externa será
( )
. Podemos provar estas afirmativas
usando a lei de Gauss:
∮⃗
Considere a superfície gaussiana no interior do condutor (veja figura). Contudo,
no interior do condutor
. Como a carga no interior
, de modo que
( )
da superfície gaussiana é
, logo
( )
o que nos leva a
( )
A carga no condutor é
, que é a soma das cargas distribuídas nas superfícies interna e externa, ou seja
( )
( )
( )
( )
( )
Logo:
( )
3. Duas cargas positivas,
e
, estão dispostas sobre o eixo
, nas posições
e
respectivamente.
a. Calcule o potencial elétrico para um ponto sobre o eixo
, nas regiões
e
b. A partir do resultado anterior, determine o campo elétrico para cada uma destas regiões.
c. Determine o(s) ponto(s) de coordenada
onde o campo se anula. Para este cálculo, utilize
exclusivamente o resultado obtido no item anterior.
d. Suponha que uma carga
seja colocada no(s) ponto(s) obtido no item anterior e que
em um ponto de coordenada
do eixo. Determine a energia potencial U deste sistema.
e. Demonstra-se que a força sobre
pode ser obtida pela relação
⃗
Usando esta expressão e o resultado do item anterior, calcule a força sobre
f. Se
for colocada em
seja colocada
⃗ ).
(
.
, o sistema entra em equilíbrio. Determine o valor de
.
3
Solução:
a) O potencial criado por um conjunto de N cargas puntiformes em um determinado ponto é dado por:
∑
onde
é a distância do ponto à carga
.
Assim, para um ponto na região
, o potencial será:
( )
( )
Para
(
(
)
(
)
)
( )
teremos
( )
( )
b) O campo elétrico é obtido a partir do potencial utilizando-se a expressão:
⃗
⃗
⃗)
(
Como estamos interessados em calcular o campo elétrico sobre o eixo
, teremos:
⃗
, teremos:
Usando a expressão (1) para a região
⃗
(
(
)
⃗
)
(
(
)
)
)
( )
⃗
)
(
(
)
)
( )
, de acordo com (3) o campo elétrico é:
c) Para
⃗
Se ⃗
(
, tem-se que:
Usando a expressão (2) para a região
⃗
(
(
(
)
)
, então
(
)
Extraindo a raiz quadrada desta última equação e lembrando que
(
)
é positivo e menor que , então:
o que nos leva à:
4
- Para a região
, temos
⃗
Se ⃗
(
(
)
)
, então
(
(
)
)
( )
Observe que
, de forma que não existe solução real para a equação (5). Isto
.
significa que o campo não se anula na região
d) Cálculo da energia potencial.
Considere que a carga
seja colocada na posição
. A energia potencial do sistema será:
(
(
e) A força dobre a carga
( )
)
(
)
)
é dada por:
⃗
[
(
( )
(
(
)
)
)]
Logo:
(
f) colocando a carga
em
)
, então:
(
(
)
)
(
( )
)
. Logo:
Se o sistema entra em equilíbrio significa que
(
)
o que resulta em
5