MECÂNICA CLÁSSICA

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MECÂNICA CLÁSSICA
AULA No 9
Colchetes de Poisson – Simetrias – Espaço de Fases – Transformações Canônicas
(Hamiltoniano)
O Espaço de Fases tem uma “estrutura” associada a si. Espaços possuem “estruturas”, que se referem
aos objetos “invariantes” em relação às transformações que podem ser feitas.
Por exemplo, os “espaços métricos” são caracterizados por uma “métrica” (Espaços de Riemann),
definindo a distância entre pontos vizinhos e, com isso, estabelecendo a estrutura do espaço.
O “espaço de Poisson” é diferente do “espaço métrico”, tendo um caráter mais abstrato, com estrutura
diferente, dada pelo espaço de fases e suas propriedades em relação às transformações de suas coordenadas:
q ' s e p ' s . Neste sentido, poderíamos perguntar quais as transformações que podem ser feitas, envolvendo
q ' s e p ' s , cujo resultado não altera a estrutura básica da Mecânica Clássica. Este tipo de questão era a
“especialidade” dos pensadores franceses e se mostrou muito importante para o desenvolvimento da Física.
Foi nesta linha de pensamento que eles descobriram a “estrutura” da Mecânica Clássica, que é a formulação
mais abstrata da Mecânica Clássica, tendo como base os “COLCHETES DE POISSON”.
Os colchetes de Poisson servem para descrever o “fluxo” no espaço de fases. Um tipo de fluxo no
espaço de fases é o movimento dos pontos neste espaço ao longo tempo, descrevendo como os pontos se
comportam ao longo do tempo sob a influência de um determinado Hamiltoniano.
Já vimos as simetrias básicas da Mecânica em relação às translações e rotações. Vejamos agora a
relação delas com os “fluxos” no “espaço de fases”. Concentremo-nos inicialmente no fluxo realizado no
espaço de “coordenadas”. Neste sentido, nós podemos imaginar a translação e a rotação como um
“fluxo” de pontos de uma posição para outra, através de uma infinidade de pequenos deslocamentos. Estes
deslocamentos podem não ter nada a ver com o movimento atual do sistema ao longo do tempo, eles
simplesmente descrevem o que aquela translação ou deslocamento fazem com o sistema, através dos
sucessivos deslocamentos.
Além dessas transformações de coordenadas, podemos ter uma muito mais rica variedade de
transformações ou fluxos no “espaço de fases”, que não se refere apenas às coordenadas de posição, mas ao
conjunto de q ' s e p ' s no espaço de fases.
Estas transformações ou fluxos no espaço de fases são descritos pelo método dos “Colchetes de
Poisson”.
Vamos rever as propriedades dos “Colchetes de Poisson”, porém de uma forma mais abstrata, sem nos
preocuparmos com suas definições detalhadas, observando-as apenas como um conjunto de “postulados” ou
de “axiomas”:
1)  A, B   B, A  (ANTISIMETRIA)
2)  A   B, C    A, C   B, C  (LINEARIDADE)
3)  A B, C  AB, C  B  A, C  (PRODUTO)


4) qi , p j   ij
OBS : A forma na qual está escrita esta terceira propriedade, apesar de indiferente em relação à posição dos
colchetes de Poisson, que admitem a comutação, será significativa na Mecânica Quântica”, que não admite a
comutação.
Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford
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A partir destas relações, é possível deduzir todas as demais propriedades dos colchetes de Poisson.
F  q  , G  q   0 
F  p  , G  p   0
F  q  , p  dF
dq
q, F  p   dF
dp

 (Desenvolvimento em série de Taylor, Linearidade, Produto)




Com isso, podemos dizer que temos uma “álgebra” para os colchetes de Poisson, a qual caracteriza a
relação entre q ' s e p ' s no espaço de fases.
Vamos adicionar mais um postulado (já visto por nós) aos outros postulados:
dA
  A, H 
dt
Por exemplo, para a partícula simples, temos:
p2
H
, portanto:
2m
 p 2
 p, H   p   p,
 2 m

0

 p
 p
p
 p 2 
 p 2 
q   q,
, q 
 p, q  p  , q  
  
 2 m  2 m
2m  m
 2 m 
Vemos então que, sem aplicar as equações de Hamilton, podemos derivá-las através da álgebra dos
colchetes de Poisson.
Vejamos agora aquela maior variedade de transformações. Estas fórmulas básicas dos “colchetes de
Poisson” são válidas para todos os sistemas físicos conhecidos (Relatividade Geral, Teoria do Campo
Quântico, Sistemas Clássicos, Eletromagnetismo, etc.).
Simetrias, como já vimos, são transformações de um sistema que não modificam sua dinâmica.
As simetrias vistas até agora envolvem mudanças nas variáveis q ' s , como por exemplo na translação e na
rotação do sistema. Vejamos se há e quais são as simetrias que envolvem as variáveis q ' s e p ' s e que
preservam a estrutura da Mecânica Clássica, ou seja, que não modificam as propriedades básicas dos
colchetes de Poisson.
Suponhamos, por exemplo, um sistema com apenas um q e um p , e façamos uma transformação tal
que os novos Q e P sejam dados por: P  2 p e Q  2 q .
A pergunta é se esta transformação preserva a estrutura de Poisson. A resposta é “NÃO”! pois não
obedece à quarta propriedade: P, Q  4  1 .
Porém, se fizermos neste caso P 
p
2
e Q  2 q então: P, Q  1 , conservando-se esta propriedade,
assim como as demais.
É interessante notar que esta última transformação (admissível) realiza uma “contração” em p e uma
“expansão” (proporcional) em q .
Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford
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Vejamos outro exemplo:
P  p cos   q sen  
 "Rotação"
Q   p sen   q cos  
P, P  Q, Q  0
P, P  Q, Q  0
Q, P   p sen   q cos  , p cos   q sen     p, q sen 2   q, p cos 2   1
Portanto a rotação preserva a estrutura dos colchetes de Poisson.
Todas as transformações que preservam a estrutura dos “colchetes de Poisson” são chamadas de
“TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS”.
Se nós podemos construir uma transformação a partir de uma composição de transformações
infinitesimais (aproximáveis em valores de primeira ordem), de modo que:
Qi  qi   qi ( p, q)
Pi  pi   pi ( p, q)
Então resulta que:
Qi , Pi   qi , pi    qi , pi   qi ,  pi 
OBS : O termo  qi ,  pi  é um infinitésimo ao quadrado e, portanto, é desprezível.
As condições para que a transformação seja “Canônica” é dada por: Qi , Pi   qi , pi  .
Para que tenhamos isso, é necessário então que:  qi , pi    qi ,  pi  .
Vamos expressar  qi da seguinte forma:
 qi   qi , G  q, p 
 pi    pi , G  q, p 
G  "Gerador de transformação Canônica"
As quantias  qi e  pi representam um “fluxo” infinitesimal no “espaço de fases”, e este fluxo é
caracterizado por aquilo que chamamos de “GERADORES”.
“Geradores”, portanto, são funções de q e um p que caracterizam como os fluxos se desenvolvem no
espaço de fases.

 qi   qi , G  q, p 
Há um teorema segundo o qual, todas as vezes que: 
, então a transformação é

p


p
,
G
q
,
p





i
 i
“canônica”, de modo que Qi , Pi   qi , pi  . Vamos provar este teorema:
 qi  
G
G
;  pi  
pi
qi



   qi , pi     pi , qi 
 G

 2G 
 pi , qi    , qi   
pi qi 
 qi

dq
Se sabemos que q  q, H  , então
 q, H   dq  dt q, H 
dt
 G

 2G
, pi   
qi pi
 pi

 qi , pi   
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Sendo assim, se considerarmos dt como o equivalente de  , teremos  q   q, H  .
Vemos assim que o Hamiltoniano faz o mesmo papel do Gerador Canônico!
Portanto a transformação de coordenadas q ' s e p ' s que é gerada pelo “fluxo” atual do sistema é ela
própria um caso especial de uma “Transformação Canônica”.
Por outro lado, todas as transformações canônicas podem ser obtidas através de um gerador (inclusive
o próprio Hamiltoniano).
Se as transformações que são admissíveis (aquelas que preservam a estrutura da Mecânica) são
canônicas, qual é então a subclasse delas que, para um determinado Hamiltoniano, podem ser classificadas
como “simetrias”?
OBS : “Simetrias” são Transformações Canônicas que “não” alteram o Hamiltoniano, sendo esta uma ideia
mais generalizada do que a simetria das transformações que não modificam o “Lagrangeano”.
Portanto simetrias são transformações canônicas no espaço de fases que não modificam a energia do
sistema mecânico.
Visualizando este conceito geometricamente no espaço de fases, temos:
p
Se supusermos que os fluxos de “G” e de
H
“H” são tais que o fluxo ao longo “G” se dá
H
mantendo um valor constante de “H” (valor
H
constante de energia), então “G” é um gerador de
transformação canônica “simétrica” ou “G” é uma
H “simetria”.
Portanto “G” é uma simetria, se o fluxo
G G
criado por ele não modifica a energia.
q
A condição para isso é simples. Vamos
G
considerar
uma função “A”:
G
A
 A G A G 
A
A
q   p   

   A    A, G
q
p
 q p p q 
Esta é justamente a expressão que usamos para obter a derivada no tempo no caso de “G” ser o próprio
Hamiltoniano: dA  dt  A, H 
A mudança de uma função arbitrária ao longo de qualquer fluxo é proporcional ao produto de Poisson
desta função pelo gerador do fluxo.
Então, para que a energia não se altere ao longo do fluxo, o produto de Poisson entre “H” e “G” deve
d
ser nulo H , G  0 . Isto implica também que G, H   0 , o que significa que
G0 .
dt
A elevada abstração desta forma de expressão para a Mecânica assume grande importância e tem
aplicação real na Mecânica Quântica.
Vamos ver um simples exemplo, observando o movimento de uma partícula livre, com massa unitária
( m  1)
2
px 2 p y
H

(Hamiltoniano)
2
2
Momento Angular: G  x p y  y px
2
2

p y 2 
px 2  
 px 
 p y 
G
,
H

x
p
,

y
p
,

p
x
,

p
y
,
   y
  x



y
x
2  
2 
2 
2 






 G, H   p y p x  p y px  0
Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford
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Assim, a anulação do produto de Poisson G, H  implica que o momento angular é conservado, mas
também implica que, se tivéssemos um Hamiltoniano dado pela expressão x p y  y px , então a quantidade
2
px 2 p y
também seria conservada neste novo sistema, o que ressalta a simetria do sistema.

2
2
Neste caso, teríamos: H  x p y  y px , portanto:
x   x, H    y 
 (movimento circular)
y   y, H   x 
2
px 2 p y
Neste movimento, a quantia
seria conservada.

2
2
Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford