Arquivo 7

Prof. Dr. Joaquín Ariel Morón Villarreyes
Universidade Federal do Rio Grande, RS - FURG
([email protected])
Associação Brasileira de Engenharia Química
Filiada à Confederação Interamericana de Engenharia Química
Programação 1º dia
Manhã:
22/08/2016
8h15 às 8h30 – Entrega de Material
8h30 às 10h00 –
10h00 às 10h20 – Coffee-Break
10h20 às 11h20 –
11h20 às 12h00 –
12h00 às 13h30 - Almoço
Tarde:
13h30 às 14h40
14h40 às 15h00 –
15h00 às 15h20 – Coffee Break
15h45 às 17h10 –
17h10 às 18h30 –
Programação 2º dia
Manhã:
23/08/2016
8h30 às 10h00 –
10h00 às 10h20 - Coffee Break
10h20 às 11h20 –
11h20 às 12h00 –
12h00 às 13h30 - Almoço
Tarde:
13h30 às 14h40 –
14h40 às 15h00 –
15h00 às 15h20 – Coffee Break
15h20 às 17h10 –
17h10 às 18h30 –
Teoria da Escala e Scale-up em Engenharia Química
São Paulo 22 e 23 de Agosto de 2016
Prof. Dr. Joaquín Ariel Morón Villarreyes ([email protected]) – Universidade Federal do Rio Grande, RS - FURG
Associação Brasileira de Engenharia Química
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CONTEÚDO E ATIVIDADES
Módulo Tópico
Atividade
22/08/2016
I
1.- DIMENSÕES FUNDAMENTAIS
Manhã 2.- UNIDADES
3.- CONVERSÃO DE UNIDADES DE NÚMEROS E DE EQUAÇÕES.
4.- GRUPOS E EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS
II
Tarde
1.01, 1.03 a,c
2.01, 2.02, 2.03
3.01 a,b,j,m
4.01, 4.02, 4.03
5.- ANÁLISE DIMENSIONAL - OBTENÇÃO DE GRUPOS E EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS.
Na Natureza e nas Ciências
5.02, 5.08, 5.38
Na indústria Química
5.39, 5.40, 5.41
23/08/2016
III
6.- TEORIA DA SEMELHANÇA E LEIS DE ESCALA.
Manhã
7. SEMELHANÇA DE MODELOS
Semelhança dinâmica (um número adimensional).
Semelhança dinâmica completa (dois números adimensionais).
IV
Tarde
8.- SCALE-UP EM REATORES E PROCESSOS QUÍMICOS.
Modelos com semelhança dinâmica completa (um número adimensional).
Modelos com semelhança dinâmica completa (dois números adimensionais).
6.01, 6.02, 6.03
(6.04, 6.05, 6.06)
7.01, 7.02, 7.04, 7.14
7.19, 7.20, 7.22, 7.25
8.01, 8.02, 8.03, 8.04
8.04, 8.05
Teoria da Escala e Scale-up em Engenharia Química
São Paulo 22 e 23 de Agosto de 2016
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1.- DIMENSÕES FUNDAMENTAIS
1.1. Segundo o Sistema Internacional de Unidades (SI), alguns grupos de unidades base possuem
nomes especiais. Por exemplo, a pressão tem o grupo de unidades base N/m2 conhecida como Pascal
(Pa) que é uma unidade derivada. Considerando as 7 unidades SI de base: metro (m), quilograma (kg),
segundo (s), ampere (A), kelvin (K), mol (mol) e a candela (cd), pesquise e encontre o nome dado aos
seguintes grupos de unidades:
a) A·s,
b) N·m,
c) J/s,
d) W/A,
e) C/V,
f) V/A,
g) A/V,
h) V·s,
i) Wb/m2,
j) Wb/A,
k) lm/m2.
1.2. Em quais áreas do conhecimento são utilizadas as unidades derivadas Sievert, Gray, Becquerel,
Siemens e Dalton? Expresse estas grandezas em unidades de base SI.
1.3. Na tabela abaixo, a aceleração da gravidade g tem L e T como dimensões fundamentais e LM0T-2
como equação dimensional. O grupo de unidades m/s2 não tem nome próprio.
a) Preencher a tabela indicando as unidades e escrevendo a equação dimensional das
grandezas seguintes:
Grandeza
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
aceleração da gravidade,
velocidade do som,
densidade,
Unidades
SI
m/s2
Nome
do grupo
-
Equação
Dimensional
LM0T-2
Newton (N)
Pascal (Pa)
massa molar,
flux molar,
flux mássico,
energia, trabalho, calor
viscosidade dinâmica,
viscosidade cinemática,
potência,
L-2M1T-1
Hertz (Hz)
Becquerel (Bq)
capacidade calorífica,
capacidade elétrica
condutividade térmica,
expansão térmica de líquidos,
condutância elétrica
corrente elétrica,
carga elétrica,
densidade de fluxo magnético,
luminância.
L−2M−1T4A2
L0M0T0-1
L0M0T0cd-2
b) Completar esta tabela com as grandezas mencionadas nos itens 1.1 e 1.2.
c) Escrever a equação dimensional das constantes de Planck, de Faraday, dos gases ideais,
cinética de uma reação de ordem 0,
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2.- UNIDADES
2.1. Se a reação elementar AP é de segunda ordem, sua velocidade se calcula integrando a lei
cinética seguinte:

d[ A ]
 k [ A ]2
dt
que fornece a solução:
[A] 
1
1
 kt
[ A ]0
[A] é a concentração molar do reagente A no tempo t e [A]o é a concentração no início da reação. Quais
as unidades SI ao constante cinética k nessa reação?
2.2. Certas reações elementares do tipo XY apresentam ordem fracionária 5/2, sua velocidade
calcula-se integrando a lei cinética:

d[ X ]
 k[ X ]5 / 2
dt
que permite calcular o tempo necessário para consumir a metade do reagente pela expressão:
t1 / 2 
2( 2 2  1)
3k [ X ]30
[X] é a concentração molar do reagente X no tempo t, [X]o é a concentração no início da reação e t1/2 o
tempo de meia vida. Quais as unidades no sistema inglês da constante cinética k nessa reação?
2.3. O fluxo mássico (lb/min) através de um bico injetor sônico depende da pressão (PSIA) e da
temperatura (R) do gás. Para uma dada temperatura,
  0.0549
m
P
T
Quais as unidades da constante 0.0549?
2.4. A equação dos gases ideais
PV  nRT
e a dos gases reais
2 

 P  n a V  nb  nRT

V 2 

contêm o produto PV (atm·L) e a constante R=0.08205 atm·L/mol K. Demonstre que PV é uma energia.
Pois R pode também ser expressa como R=1.987 cal/mol K ou 8.314 J/mol K.
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3.- CONVERSÃO DE UNIDADES DE NÚMEROS E DE EQUAÇÕES.
3.1. Conversão de unidades de grandezas físicas:
a) 1000 kg/m3 em lb/ft3
b) 2 L/s para ft3/dia
c) 6.0 BTU/hºFft2 para W/m2K.
d) 0.04 g/min in2 em lb/h ft2
e) Quantos metros há em uma milha?
f) Quantos galões/min correspondem a 1.0 m3/s
g) Se 10 J/s=10 W. Qual é este valor em lbfft/h e em hp?
h) A velocidade do som é aproximadamente 1100 ft/s, converta para mi/h, m/s e km/h.
i) Converter a vazão de 4.56 cm3/min em plg3/dia, L/h e m3/s.
j) A quanto equivale em J/s, W e kcal/h um fluxo de calor de 1000 BTU/h?
k) A pressão atmosférica é 1.013105N/m2(ou 0.1013 MPa). A quantas lbf/in2 (ou PSI) isto
equivale?
l) As unidades da condutividade térmica (k) no sistema anglo-americano de engenharia são
BTU/hft2(ºF/ft) determinar o fator que converte estas unidades em kJ/dia m2(ºC/cm).
m) A capacidade calorífica da água é 1.0 cal/gºC. Transformar em unidades inglesas BTU/lbºF.
3.2. Conversão de unidades de equações:
1. As perdas de calor de uma tubulação para o ar se calculam com o coeficiente externo de
transmissão de calor por convecção (h, BTU/hft2ºF) dado pela equação:
h  0.026
G 0.6
d 0.4
d (ft) é o diâmetro externo da tubulação e G (lb/hft2) é o flux mássico do ar em torno da tubulação.
Transformar h em:
a) cal/min cm2 ºC (d em [cm] e G [g/min cm2])
b) W/m2K (d em [m] e G [kg/s m2])
2. A transmissão de calor de gases contidos numa tubulação se calcula com o coeficiente
interno de convecção (h, BTU/hft2ºF) dado pela equação:
h = 16.6
Cp ∙ G0.8
d0.2
onde d (plg) é o diâmetro interno da tubulação, Cp (BTU/lbºF) o calor específico do gás e G (lb/s ft 2) é
o flux mássico do gás dentro do duto. Quais são as unidades de h em:
a) cal/min cm2 ºC (d em [cm] e G [g/min cm2])?
b) W/m2K (d em [m] e G [kg/s m2])?
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4.- GRUPOS E EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS.
4.1. O número de Prandtl (Pr) relaciona as difusividades de quantidade de movimento e térmica em
um fluido. Nos gases ambas as difusividades são muito próximas. Nos metais fundidos, condutores do
calor, a difusividade térmica supera à da convecção e nos óleos lubrificantes, isolante térmicos, o
momentum se difunde mais efetivamente que o calor. Alguns valores são mostrados a seguir:
Pr 
Pr
Pr<1
Fluido
Metais líquidos ou fundidos
Pr1
Gases
Pr>1
Líquidos diversos
Pr>100
Pr∞
Líquidos viscosos
Sólidos reodos
μCp
k
Mercúrio
Gases nobres e suas misturas com o hidrogênio
Ar e outros gases
Fluido refrigerante R-12
Água a 20ºC
Óleo de motor
Manto terrestre, rheid
Exemplo
0.015
0.16-0.7
0.7-0.8
4.0-5.0
7.0
100.0-40.000
1025
Se : viscosidade dinâmica, Cp: capacidade calorífica, k: condutividade térmica do fluido prove que
este grupo de propriedades não tem unidades.
4.2. Conferir a adimensionalidade dos seguintes números
a) Lorentz (Lo) relaciona as condutividades elétrica e térmica nos metais:
Lo 
κ ( V ) 2
k ( T)
b) Biot elétrico (Bielétrico) é análogo ao número de Biot térmico e se define como:
Bi elétrico 
L
aRκ
Onde, : condutância elétrica (S/m), k: condutividade térmica (W/mK), V: diferença de potencial
elétrico (V), T: diferença de temperatura (K), R: resistência elétrica (), L: comprimento
característico (m), a: área (m2).
4.3. A magnetohidrodinâmica estuda o fluxo de fluidos condutores da eletricidade como plasmas e
gases ionizados. Conferir a adimensionalidade dos números mais comuns na MHD:
Reynolds
1
magnético
Re magnético 
2 Hartmann
κ
Har  BL
μ
3 Stuart
Stu 
vL
 1 


 μ oκ 
B 2 κL Har 2

ρv
Re
Relaciona a difusividade de quantidade de movimento com a difusividade
magnética em fluidos condutores da eletricidade.
Caracteriza o efeito de um campo magnético sobre fluidos viscosos condutores.
Valores pequenos de Har indicam movimento do fluido através do campo
magnético. Altos valores indicam o domínio das forças viscosas e adesão do fluido
nas superfícies.
Relaciona as forças eletromagnéticas com as forças inerciais no regime turbulento
de fluidos condutores.
Onde, v: velocidade linear do fluido (m/s), L: comprimento característico (m), o: permeabilidade
magnética no vácuo (Tm/A), : condutância elétrica (S/m), B: indução magnética (T), : viscosidade
dinâmica (Pas), : densidade do fluido (kg/m3).
4.4. Nas equações seguintes:
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a)  hd   C vρd 
 k 
c)
n
 μCp 


μ

  k 
 vρd 
 k Ld 


  C
 D 
 μ 
n
m
 μ 


 ρD 
m
b)
 ρgd o2   d  n

  C 
 σ   d o 


d)
m
2 3
 hd   gβTρ L   μCp 


   C
  k 
 k  
μ2

n
h: coeficiente de transferência de calor; kL: coeficiente de transferência de massa; d, L: uma dimensão
característica do sistema estudado; k: condutividade térmica do fluido; v: velocidade; g: aceleração da
gravidade; : densidade; : expansão térmica; : viscosidade dinâmica; : tensão superficial; 𝓓:
difusividade; Cp: capacidade calorífica; T: temperatura; C, n, m: constantes experimentais.
a) Verificar quais são adimensionais. Utilize qualquer sistema de unidades.
b) Identificar os grupos que aparecem nestas equações.
4.5. A velocidade de aquecimento da parede cilíndrica interna de uma tubulação transportando ar em
regime laminar se calcula com a equação Q=h ΔT e o coeficiente h, de convecção interna, se determina
com a equação adimensional:
1/ 3
L
Nu  1.86 Re  
d
3
1/ 3
3
 μ 

Pr 

 μw 
Re<2400
onde Q é o flux térmico; ΔT a diferença de temperaturas entre a superfície interna e a do ar.
 e W são as viscosidades no centro e na parede do duto. L e d são o comprimento e o diâmetro do
duto. Arbitrando L e d, determine a velocidade de aquecimento (flux térmico) em W/m2, se a vazão de
ar no duto é de:
a) v=1 m/s.
b) v=10 m/s.
c) Qual a razão dos coeficientes convectivos e ambas as situações?
Dados Propriedades do ar a 298K:
=1.18210-3 g/cm3
k=0.026 W/mK.
=0.02 cP,
ΔT=10 K
Cp=7.124 cal/molºC
Velocidade média do vento na região: 20 km/h
4.6. O calor perdido pela superfície de um tanque esférico com um gás industrial se calcula
com a equação Q=hΔT, onde Q é o flux térmico; ΔT a diferença de temperatura entre a
superfície esférica e a do ar. O coeficiente h é determinado com a equação adimensional
3
Nu  2  (0.4 Re  0.06 Re 2 ) Pr0.4
3.5  Re  8  10 4

0.7  Pr  3.8  10 2
Os coeficientes, expoentes e faixa de aplicação desta equação foram determinados
experimentalmente. Apresenta três invariantes de escala Nu, Re e Pr e independe da escala do
fenômeno estudado. Determinar o flux (W/m2) perdido,
a) por um tanque de diâmetro D=4 m.
b) por um tanque de diâmetro D=16 m.
c) Qual a razão dos flux térmicos entre as duas situações?
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5.- ANÁLISE DIMENSIONAL – OBTENÇÃO DE GRUPOS E EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS.
Segundo o Teorema  de Buckingham, se um fenômeno físico, for descrito coerentemente; suas
dimensões fundamentais (LMT) devem continuar as mesmas em todas as escalas que o fenômeno vier
a ser reproduzido.
Na Natureza e nas Ciências
5.1. Fazer rebotar pedras na água é um entretenimento competitivo milenar, desde
a Grécia antiga até o recorde mundial de 1992 de 38 rebotes. Uma pedra rebotará
mais vezes sem afundar se possuir um formato plano e circular, alta velocidade e
uma rotação que a estabilize. Em experimentos monitorados com vídeo de alta velocidade numa
piscina com máquina lançadora de discos de alumínio observou-se grande número de rebotes de
discos de 5 cm se o lançamento ocorre a 2.5 m/s num ângulo de 20°. Cada contato com a água dura
menos de um centésimo de segundo. Desprezando o atrito com o ar encontre uma equação
adimensional para o número de rebotes (n) em função da massa, diâmetro e espessura do disco (m, d,
), ângulo de lançamento (), rotação (), velocidade inicial (v), aceleração da gravidade (g),
densidade () e tensão superficial da água ().
5.2. Goteiros, pipetas e buretas são usados na dosagem de líquidos e envolvem a formação
de gotas com volume adequado e diâmetro constante (D). Na sua extremidade inferior,
esses tubos, apresentam diâmetros capilares(d). Assim um gotejamento controlado
depende da ação da gravidade (g), densidade () e tensão superficial () do líquido dosado.
Demonstrar que o diâmetro do goteiro pode ser dimensionado com uma equação
adimensional do tipo (d/D)=KBdm. Onde Bd é o número de Bond.
5.3. Uma velha brincadeira de sala de aula consiste em fazer flutuar uma minúscula esfera
de papel comprimido colocada num jato de ar vertical. O jato é gerado assoprando o
extremo tubular da carcaça de uma caneta Bic. Regulando o fôlego a bolinha fica suspensa
equilibrada numa posição estável como se mostra ao lado. A altura (h) em que a esfera se
estabiliza no jato, evidentemente, depende do peso da esfera (w), velocidade do jato (v),
diâmetro da esfera (D), diâmetro do orifício (d), densidade e viscosidade do ar (ρ, μ) e
aceleração da gravidade (g). Demonstre que esta situação obedece a uma equação
adimensional com os seguintes 4 grupos:
h
d q
( ) = kRen Nem Fr p  ( )
d
D
5.4. Na Física se demonstra que uma massa m suspensa por uma corda de comprimento l,
em movimento pendular, apresenta tempo de oscilação (ou período), T que depende
apenas do comprimento da corda, segundo mostra a conhecida equação T  2π l / g .
Aplicando a metodologia e conceitos da Análise Dimensional pode se chegar à mesma
afirmação?
5.5. O número de Morton (Mo) é usado em estudos da dinâmica de bolhas. É uma combinação
adimensional da aceleração da gravidade g, viscosidade μ, densidade ρ, e tensão superficial . Se Mo é
proporcional a g, encontre a forma deste grupo.
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5.6. Uma gota de orvalho sobre uma folha que sofre uma mínima perturbação oscila
entre a forma esférica e elíptica devido à ação da tensão superficial (). Considerando
que a gota de orvalho tem densidade ρ, diâmetro d e sabendo que gotas muito pequenas
não são influenciadas pela aceleração da gravidade, desenvolva equações adimensionais
para a estimativa da frequência (f) e do período (T) dessa oscilação. Pesquise o nome
dos grupos adimensionais obtidos.
5.7. Durante a chuva a queda de uma gota de água envolve transferência de calor (pode resfriar ou
aquecer) e transferência de massa (vai evaporando). Com a equação do flux molar (N=kLΔC) pode-se
acompanhar a diminuição do diâmetro da gota até chegar ao chão. Encontrar uma equação
adimensional para predizer o coeficiente de transferência de massa kL (LM0T-1) sendo que este
depende da viscosidade  (L-1MT-1) e densidade do ar  (L-3MT0), difusividade da água no ar 𝓓
(L2M0T-1), velocidade v (LM0T-1) e diâmetro da gota d (LM0T0).
5.8. O tamanho d das gotas produzidas num spray depende do diâmetro do bico injetor D, velocidade
do jato v e as propriedades do líquido ρ, μ e . Encontre a expressão que adimensionalisa este
fenômeno. Identifique os grupos adimensionais gerados.
5.9. Nos motores de combustão interna do tipo diesel (Compression Ignition)
o combustível, antes de ser queimado, deve ser injetado e convertido em
micro gotículas (atomização). A figura (a) mostra vários padrões de
injeção/atomização e a figura (b) o bico de injeção de um motor real.
Desenvolver uma equação adimensional para determinar a velocidade (v) do
spray do combustível dentro da câmara de combustão considerando que
essa velocidade depende do diâmetro médio das microgotículas (d) e das
propriedades do combustível como densidade (), viscosidade dinâmica ()
e tensão superficial ().
5.10. Uma estrela pode ser considerada como um corpo fluido, de
densidade constante e homogênea e de viscosidade desprezível, que oscila
em relação a um eixo de simetria (alguns modos oscilantes se mostram na figura ao lado). Escreva a equação adimensional deste fenômeno supondo que o modo natural
de oscilação  (L0M0T-1) depende do diâmetro D (LM0T0) da estrela, da densidade ρ (L-3MT0) e da
constante gravitacional G (L3M-1T-2).
5.11. Quando um microrganismo se movimenta em um fluido viscoso, a inércia (densidade do fluido
ρ) exerce uma influencia desprezível sobre a força do arraste sofrida pelo organismo. Os creeping
flows como são conhecidas essas correntes fluidas não permitem estimar a força de arraste com o
grupo CD=F/½ρv2A. Sabendo que tais fluxos dependem da velocidade v, viscosidade μ e do tamanho
do organismo L. Encontre um grupo adimensional que permita estimar a força de arraste sobre um
microrganismo em creeping flows.
5.12. Elabore uma equação para a distância percorrida em queda livre, por um corpo considerando-se
que a distância (L) varia em função do peso (P), da ação da gravidade (g) e do tempo (t). Segundo a
Física qual o valor da constante na equação adimensional obtida?
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5.13. Os conceitos e algoritmos da Teoria da Escala aparecem nas observações alométricas da Biologia
que têm, também, fundamentado a Biônica. A velocidade de voo (v) dos pássaros está associada à
frequência do batimento (f) e ao comprimento da asa (L). Bjerknes correlacionou estas variáveis com
a massa da ave: v=5.1m0.01; L=0.03m0.39; f=48.0/m0.38. Demonstre através de uma equação
adimensional do tipo v=f(f, L) que estas medições são coerentes.
Resp. Sr=k. (onde k=0.282)
5.14. O número de aceleração (Ac), se usa na Teoria dos fluxos compressíveis. É uma combinação
adimensional da aceleração da gravidade g, viscosidade μ, densidade ρ, e módulo de
compressibilidade B. Se Ac é inversamente proporcional à densidade, encontre a forma do grupo.
5.15. O número de Stokes (Sto) se usa nos estudos da dinâmica de partículas. Consiste de uma
combinação adimensional de cinco variáveis: aceleração da gravidade g, viscosidade μ, densidade ρ,
velocidade v, e diâmetro da partícula dp.
a) Se Sto é proporcional a μ e inversamente proporcional a g, encontre a expressão que
representa este grupo.
b) Demonstre que Sto é o quociente de dois números adimensionais muito tradicionais e
largamente usados.
5.16. O período de oscilação T de uma onda superficial em água rasa depende da densidade ρ,
comprimento da onda λ, profundidade h, aceleração da gravidade g, e da tensão superficial .
a) Escreva esta dependência em forma adimensional.
b) Escreva a equação adimensional resultante se  for considerada irrelevante.
g
h
Resp. b) t√λ = f (λ)
5.17. Sabe-se que a velocidade de propagação de uma onda capilar c em águas profundas depende da
densidade ρ, comprimento da onda sonora λ e da tensão superficial .
a) Encontre uma expressão dimensional do tipo c=f(ρ, λ, ) para este fenômeno.
b) Considerando uma densidade e um comprimento de onda especificados, com que velocidade
se propagará uma onda se for dobrada a tensão superficial?
Resp. b) c aumenta 41% (√2).
5.18. A queda de pressão por unidade de comprimento Δp/L em um duto poroso rotatório depende
da altura do duto h, velocidade média v, densidade ρ, viscosidade μ, velocidade da injeção na parede
do duto vw, e a taxa de rotação ω. Encontre a equação adimensional que descreve este fenômeno.
5.19. A vazão volumétrica Q em um pequeno poro de seção triangular (altura b e comprimento L), sob
regime laminar, é uma função da viscosidade, queda de pressão por unidade de comprimento e altura
do triângulo.
a) Encontre o grupo adimensional que representa este fenômeno.
b) Quanto varia Q se a dimensão b do poro for dobrada?
Resp. b) Q aumenta 16 vezes.
5.20. No exercício anterior, como fica o grupo adimensional, se é utilizado um fluido não-newtoniano
dθ n
que obedece a lei: τ = C ( dt ) ?
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5.21. A velocidade angular  de um cata-vento é função da sua altura H, diâmetro D e
número de pás npás. Também depende da densidade do ar ρ, velocidade do vento v, e a
camada limite atmosférica L.
a) Descreva este fenômeno através de uma equação adimensional,
b) Quantos grupos adimensionais são obtidos? Dê o nome a cada um deles.
5.22. A força de sustentação em um míssil é função do seu comprimento L, velocidade v,
diâmetro D, ângulo de disparo (attack angle) , velocidade do som a, densidade ρ e
viscosidade μ do ar. Escreva uma equação adimensional para esta situação. Dê o nome a
cada um dos grupos adimensionais obtidos.
5.23. O período de vibração de uma viga depende de seu comprimento L, momento de inércia de área
I (L4M0T0), módulo de elasticidade E (L-1M0T-2), densidade ρ (L-3MT0) e quociente de Poisson (L0M0T0).
a) Escreva esta relação em forma de uma equação adimensional.
b) Como fica esta equação se se considera o produto EI como uma única variável?
5.24. A frequência natural de vibração ω de uma massa fixa na extremidade de uma haste
metálica depende do tipo de metal, da massa m, do comprimento L e diâmetro d da haste. A
rigidez da haste pode ser considerada como o produto do módulo de Young e o momento
de inércia transversal (EI). Se uma massa de 2 kg fixada a uma haste de aço carbono 1040
de 40 cm e 12 mm de diâmetro
revelam uma frequência de 0.9 Hz, qual esta frequência em uma haste de alumínio 2024?
Dados
Aço:
Alumínio:
6
11
E=2910 PSI (2.0310 Pa)
E=10.6106 PSI (7.401010 Pa)
Momento de inércia transversal de hastes cilíndricas: I=D4/64
Resp. 0.77 Hz
5.25. Encontre a equação adimensional para o centro de deflexão  (L1M0T0) de uma viga apoiada,
simples, de diâmetro D, comprimento L, e módulo de elasticidade E que está submersa num fluxo
transversal de velocidade v, viscosidade μ e densidade ρ. Que combinação adimensional ocorre se se
considera que  é independente de μ, inversamente proporcional a E e que depende somente do
produto (ρv2)?
5.26. Um vertedor é um canal aberto que pode ser calibrado para medir vazões
represando o fluxo com uma obstrução como a mostrada na figura. Encontre a
equação adimensional que determina a vazão volumétrica Q=f(g, b, H). Onde g é a
aceleração da gravidade. H e b são a altura e a largura da barragem instalada.
5.27. Pelos estudos de A. Shields (1936) sobre o transporte de areia por ondas oceânicas se sabe que a
tensão de cisalhamento do fundo , requerida para movimentar as partículas de areia depende da
gravidade g, diâmetro dP e densidade ρP das partículas,viscosidade μe densidade ρ da água do mar.
Escreva a equação adimensional desta situação.
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5.28. Considere uma ponte sobre um rio
suspensa com pilares da mesma largura da
ponte como mostram as vistas aérea,
frontal e lateral ao lado. A capacidade de
vazão (Q) na estrutura depende da
velocidade do escoamento (v0), altura de
água (h) a montante, do comprimento dos pilares (lp) e da contração gerada entre dois pilares (cc=l´/l). Se as forças
da gravidade são predominantes e as forças relacionadas com os efeitos da viscosidade podem ser
desprezadas, aplicando os conceitos da análise dimensional determine uma equação adimensional
para a predição da vazão entre pilares.
5.29. Uma bóia de mastro de massa m tem um período de oscilação vertical T que depende da
seção transversal A do mastro na superfície da água e do peso específico  da água do mar.
Após adimensionalisar o conjunto de variáveis fornecido, responda como varia o período,
a) ao se dobrar a massa da boia?
b) ao se dobrar a área A?
5.30. Encontre uma equação adimensional para determinar a energia
Ew com que se propaga uma onda de sonar em águas profundas. As
variáveis no diagrama representam : densidade da água do mar; g:
aceleração gravitacional; : comprimento da onda e v: velocidade da
onda na água do mar.
5.31. A diferença de pressão ΔP através de uma explosão (ou onda de choque) depende do raio de
ação r medido desde o foco da explosão, tempo t, velocidade do som no meio a e energia total gerada
na explosão E. Após adimensionalisar a função ΔP=f(r, t, a, E), responda como varia ΔP se o valor de E
for dobrado.
Resp. Mantendo r, t e a constantes e se E for dobrado, ΔP também dobra o seu valor.
5.32. Quando um fluido viscoso é confinado entre dois cilindros concêntricos, o torque por unidade de
comprimento T´ requerido para girar o cilindro interno a uma velocidade angular , é uma função de
, dos raios a e b dos cilindros e da viscosidade μ do fluido.
a) Escreva a função adimensional que existe entre essas variáveis.
b) O que ocorre com o torque T´se ambos os raios são duplicados simultaneamente?
Resp. b) T´ fica 4 vezes maior.
5.33. Quando um fluido encanado é acelerado linearmente partindo do repouso, ele começa no regime
laminar e então sofre transição até turbulência total num tempo ttr que depende da aceleração
aplicada a, diâmetro da tubulação D e viscosidade μ e densidade ρ do fluido. Arranje estas variáveis
numa relação adimensional entre ttr e D.
5.34. A tensão de cisalhamento de parede W para um fluxo dentro de uma fenda anular composta de
um cilindro externo fixo e um interno móvel, depende da viscosidade μ, densidade ρ, velocidade de
rotação , raio externo R e folga da fenda anular Δr. Adimensionalise a função W=f(μ, ρ, , R, Δr).
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5.35. O torque  requerido para girar um viscosímetro do tipo cone-plate depende
do raio R, taxa de rotação , viscosidade do fluido μ e ângulo do cone .
Adimensionalise estas variáveis sabendo que  é proporcional a .
5.36. Certa turbina de fluxo axial fornece um torque  (L2MT-2) que é proporcional ao diâmetro da
turbina D (LM0T0), taxa de rotação  (L0M0T-1), densidade ρ (L-3MT0) e vazão volumétrica Q (L3M0T-1).
Adimensionalise a função Q/=f(D,ρ,) e analise como varia  ao serem dobrados os valores de
a) D
b) 
5.37. O ascenso capilar h de um líquido no esquema mostrado depende da aceleração
da gravidade g, largura do fundo L, dos ângulos  e  e das propriedades do fluido (ρ,
). Encontre uma equação adimensional para a função h=f(g, L, , , ρ, ) e identifique
os grupos adimensionais gerados.
5.38. Numa experiência de levitação magnética um ímã
permanente com densidade de fluxo magnético B, espessura H,
diâmetro D, levita a uma altura h sobre uma placa móvel
condutora não magnética de condutividade elétrica , espessura t
e que se desliza a uma velocidade v. A partir da função
Fz=f(Fx,B,D, H, h, t, , o, v) encontre uma equação adimensional
para predizer
a força Fz de levitação. o é a permeabilidade magnética no vácuo e Fx é a componente da força
magnética paralela ao movimento da placa.
p
q
r
Rpta:  Fz   k Re mmg Stu n  t   H   h 
 Fx 
 D  d   D
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Na indústria Química
5.39. Determinar uma equação adimensional que permita descrever a variação da altura (h)
de um líquido em um tanque que escoa para a atmosfera por um orifício na sua base. As
variáveis que controlam este fenômeno estão mostradas na figura. Onde  é a viscosidade
dinâmica;  a densidade, v a velocidade do líquido e d é diâmetro do orifício inferior.
5.40. Considere a potência P (LMT-3) para agitar um líquido com um mixer. Ela depende das
variáveis seguintes: viscosidade dinâmica  (L-1MT-1) e densidade  (L-3MT0) do líquido,
aceleração da gravidade g (LM0T-2), velocidade de rotação  (L0M0T-1) e diâmetro do agitador
dag (LM0T0), ou seja, P = f(, , g, , dag). Encontrar os grupos adimensionais ou invariantes de
semelhança (´s) que determinam o cálculo da potência para agitar mecanicamente qualquer
líquido.
5.41. Encontrar uma equação adimensional para predizer a qualidade da homogeneização (tempo de
mistura, t) de um soluto em um tanque de base quadrada. Considerar que o tempo de mistura
depende da frequência de rotação (), diâmetro (d) e potência (P) do agitador e da aresta da base do
tanque (L). Também das propriedades do líquido: densidade () e viscosidade dinâmica ().
5.42. Analogamente ao problema anterior, encontrar uma equação adimensional para
predizer a potência (P) cedida por um agitador a um fluido incompressível em um
tanque cilíndrico. Neste caso as variáveis dependentes para esta situação são a ação da
gravidade (g), tempo (t) desde o início da agitação, densidade (), viscosidade dinâmica
(), frequência de rotação () e diâmetros do tanque (D) e do agitador (d). Tal equação
é
válida para qualquer combinação tanque/agitador.
5.43. Mostre que o torque  necessário para fazer girar um disco de diâmetro d à velocidade angular
ω, num fluido de viscosidade μ e densidade ρ está dado pela expressão adimensional:
τ
μ
= f(
)
2
5
ρω d
ρωd2
5.44. A queda de pressão (ΔP) que ocorre no escoamento de líquidos dentro
de uma tubulação depende de propriedades como a densidade (),
viscosidade () e da sua velocidade (v). Também depende das
características geométricas do duto tais como o diâmetro
(D),
comprimento (L) e da rugo sidade da parede interna () (veja esquema). Encontrar uma equação adimensional que descreva esta
situação muito comum na prática industrial.
5.45. Demonstre que a frequência de desprendimento () das linhas de corrente
de um fluxo laminar de velocidade conhecida (v) transversal a um cilindro
horizontal de diâmetro d produz uma equação adimensional do tipo 1=k. Onde
k é uma constante.
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5.46. A espessura δ da camada limite numa placa plana, em um escoamento de fluído incompressível
depende da velocidade U do escoamento livre, da densidade ρ, da viscosidade μ, e da distância x do
borde de ataque da placa. Prove que os grupos 1=(δ/x) e 2=[ρUx/μ] descrevem este fenômeno.
5.47. Durante a agitação mecânica em um tanque se formam vórtices e
correntes definidas dependendo do tipo de agitador. Em agitadores de
pás planas se forma uma vazão horizontal no extremo da pá (a) e uma
vazão vertical embaixo da hélice (b). Encontre uma equação
a)
adimensional para a vazão volumétrica Q sabendo que depende apenas
da dimensão d e da rotação ω do agitador. Nomeie os grupos adimensionais obtidos.
b)
5.48. A transferência de calor convectiva se estuda com o coeficiente de transferência de calor h,
definido pela equação q=hAΔT. Onde A=área (m2) e ΔT=diferença de temperatura (K). A forma
adimensional de h chama-se número de Stanton (St) que é a combinação entre h, calor específico Cp,
densidade ρ e velocidade v do fluido. Encontre a expressão de St sabendo que é proporcional a h.
5.49. O flux térmico q/A (L0MT-30) transferido desde um fluido sob convecção natural (ou
gravitacional) até um corpo depende da diferença de temperaturas ΔT (L0M0T0) entre ambos, do
comprimento do corpo L (LM0T00), gravidade g (LM0T-20) e três propriedades do fluido: viscosidade
cinemática  (L2M0T-10), condutividade térmica k (LMT-3-1), e expansão térmica  (L0M0T0-1).
Adimensionalise a relação considerando o produto (g) como uma única variável.
5.50. A taxa de calor qP que se perde através de uma janela é função da diferença de temperatura ΔT
(interior-exterior), da resistência térmica R (ft2h°F/BTU) e da área a da janela.
a) Encontre uma equação adimensional para a função qP=f(ΔT,a,R).
b) Como se altera qP num dia frio quando ΔT é o dobro dos dias normais.
Resp. b) qP também dobra o seu valor.
5.51. A troca térmica (aquecimento ou resfriamento) entre um fluido em movimento
(líq. ou gás) e a superfície de uma tubulação se determina pelo coeficiente externo de
troca térmica por convecção forçada (h), que depende da velocidade (v) do fluido sobre
o diâmetro (d) do tubo e das propriedades do fluido como a densidade (), viscosidade dinâmica (),
condutividade térmica (k) e calor específico (Cp), ou seja,
h = f(v, d, , , k, Cp)
Encontrar os números adimensionais que descrevem a convecção forçada externa.
5.52. A troca térmica (aquecimento ou resfriamento) entre um fluido estático (líq. ou gás) e
a superfície de uma tubulação se determina pelo coeficiente externo de troca térmica por
convecção natural (h) que depende da diferença de temperaturas (T) entre a superfície da
tubulação e o fluido que envolve o tubo de diâmetro (d). Também depende das proprieda des do fluido: densidade (), viscosidade dinâmica (), condutividade térmica (k), calor específico
(Cp) e do coeficiente de expansão térmica () que, na ausência de correntes externas, faz que o fluido
ascenda se opondo à gravidade (g). Ou seja,
h = f(T, d, , , k, Cp, , g)
Encontrar os grupos adimensionais que descrevem a convecção natural externa.
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5.53. Selecione algumas variáveis independentes (v2, v3, v4, ...) mais relevantes de seu projeto de
mestrado/doutorado e desenvolva uma equação adimensional que permita encontrar a variável
dependente v1, da sua escolha, segundo:
v1 = f(v2,v3,v4, ...)
identifique os grupos adimensionais obtidos. Sugira como devem ser conduzidos os ensaios.
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6.- TEORIA DA SEMELHANÇA E LEIS DE ESCALA.
Na mudança de escala estuda-se a semelhança entre o modelo (m) e o protótipo (p). Os fatores de
escala são expressos por relações constantes chamados também de invariantes de escala. Por
exemplo, o fator de escala geométrico é definido pelo quociente:
λ
Característica do modelo (maquete)
Característica do protótipo
Nos estudos de scale-up além da semelhança geométrica deve haver semelhança,
Estática,
Dinâmica,
Termodinâmica,
Elétrica,
Magnética.
Se a semelhança entre o modelo e o protótipo não for completa são produzidos modelos distorcidos.
Leis de escala
Conhecidas as propriedades que descrevem um fenômeno quanto a suas dimensões e grandezas,
pode-se selecionar a variável predominante que "controla" todo o fenômeno. No escalamento de
fenômenos estáticos a propriedade dominante é o módulo de elasticidade; a viscosidade, na vazão de
um fluido; a condutividade térmica num fenômeno com transferência de calor, etc.
Por exemplo, quando se sabe que a viscosidade cinemática () é a variável dominante. Pode se afirmar
que
m=p
As expressões equivalentes m/p=1 e λ=1 são também amplamente usadas. Como a viscosidade
cinemática tem a equação dimensional =[L2M0T-1] pode se escrever
υm
υp
 l2 
 
 t 
 m lm  lm  t p lm  v m



lp  lp  t m
lp  v p
 l2 
 
 t 
 p
ou
υm l m  v m

υp
lp  v p
lm  v m lp  v p

υm
υp
Expressando a viscosidade cinemática em função da viscosidade dinâmica (=µ/) obtém-se:
v p  ρp  l p
v m  ρm  l m

μm
μp
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Com isto pode se afirmar que um fenômeno, onde a viscosidade é a variável controlante, pode ser
escalado aplicando a lei:
Rem= Rep
que garante a conservação do número de Reynolds no modelo e no protótipo (ou Re=1).
Se em outro fenômeno a aceleração é a variável dominante pode-se escrever a=1 ou:
am=ap
 l 
 
2
am  t 2 m lm  t p


2
ap  l 
lp  t m
 2
 t p
ou
2
am lm  t p

2
ap lp  t m
lp
a p  t p2

lm
2
 am  t m
Multiplicando por l/l em ambos os lados desta equação obtém-se:
2
lm
2
am  lm  t m

l p2
a p  l p  t p2
Agrupando termos e considerando que a aceleração é a da gravidade obtém-se:
2
2
vm
vm

g m  lm g m  lm
Ou seja, nas situações onde a gravidade é a variável que controla o fenômeno o grupo (v 2/g∙l) deve ser
igual tanto no modelo como no protótipo. Significando que deve ser aplicada a lei de escala de Froude.
Frm=Frp
Percebe-se que em geral, conhecidas as variáveis de um fenômeno, pode-se selecionar uma variável
predominante até obter, em geral, uma lei de escalamento particular:
Πm=Πp
6.1. Um fenômeno dependente exclusivamente da gravidade (Lei de Froude) é estudado numa
maquete que utiliza o mesmo fluido no protótipo. Determine as expressões de escala [λG=f(λ)] das
grandezas (G) seguintes:
a) velocidade;
b) tempo;
c) aceleração;
d) caudal;
e) massa;
f) força;
g) energia;
h) potência.
em função do fator de escala geométrico ().
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6.2. Determine as expressões de escala do item 6.1. considerando que na maquete se usa um líquido
diferente ao usado no protótipo.
6.3. Se cada uma das grandezas do item 6.1, na maquete, teve o valor numérico mostrado na tabela,
determinar o mesmo no protótipo para os fatores de escala (λ) indicados.
Grandeza
Modelo
λ=1:2
x*
λ=1:5
X
Protótipo
λ=1:10 x λ=1:100
x
λ=1:1000
x
Velocidade
5 m/s
Tempo
120 s
Aceleração 10 m/s2
Caudal
5 L/min
Massa
40 kg
Força
10 N
Energia
1kJ
Potência
5 kW
* A relação x também é conhecida como Coeficiente de Escala.
O exemplo a seguir ilustra como deve ser conduzida a análise de cada grandeza.
Grandeza
Modelo
Velocidade
5.0 m/s
λ=1:2
7.07 m/s
x
1.4
λ=1:5
11.18 m/s
x
2.2
Protótipo
λ=1:10
x
15.8
3.2
λ=1:100
50
x
10
λ=1:1000
156.3
x
31.3
6.4. Os fenômenos dominados pelas forças viscosas são estudados com a Lei de escala de Reynolds. Se
nos estudos de semelhança hidráulica, nem sempre são usados os mesmos fluidos na maquete e no
protótipo. Determine as expressões de escala λG, em função do fator de escala geométrico, das
grandezas (G) seguintes:
a) velocidade;
b) tempo;
c) aceleração;
d) caudal;
e) massa;
f) força;
g) energia;
h) potência.
6.5. Determine as expressões de escala do item anterior (6.4.) considerando que na maquete se usa o
mesmo líquido que será usado no protótipo.
6.6. Determine a escala das grandezas (λG) abaixo tabeladas em condições de semelhança hidráulica
usando água no modelo e no protótipo;
Grandeza
Modelo
Tempo
Velocidade
Caudal
Força
Energia
Potência
1h
10 m/s
0.01 m3/h
1kN
1kJ
1 kW
λ=1:2
x
λ=1:5
x
Protótipo
λ=1:10 x λ=1:100
x
λ=1:1000
x
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7. SEMELHANÇA DE MODELOS
Semelhança dinâmica (um número adimensional).
7.1. O modelo de um canal aberto de efluentes é testado na escala 1/25. Considerando que para haver
semelhança dinâmica Frm=Frp. Pede-se:
a) Se uma partícula leva 1 minuto para se deslocar entre dois pontos no modelo quanto tempo
levará uma partícula para se deslocar entre dois pontos correspondentes do protótipo?
b) Se a vazão no modelo é de 5.67x10-3 m3/s qual a vazão correspondente no protótipo?
c) Se a velocidade próxima à crista do vertedor modelo é de 0.76 m/s qual será a velocidade
correspondente no protótipo?
Sugestão: Fr=1.
Resp:
a) tp=5 min
b) Qp=17.72 m3/s
c) Vp=3.8 m/s
7.2. Para um modelo 1/10 construído para estudar um escoamento variável determine a escala dos
tempos (λt) e das forças (λF) em condições de semelhança hidráulica usando um óleo 5 vezes mais
viscoso e 80% mais denso que a água. Que tempo e força serão observados no protótipo com tm=90
min e Fm=0.75 kN?
Sugestão: Re=1.
7.3. O modelo de um automóvel, na escala 1:10, será testado num túnel de vento pressurizado. O teste
simulará o movimento do automóvel a 360 km/h, sob pressão atmosférica normal a 25°C. A que
pressão e velocidade deverá o túnel de vento operar a 45°C para simular o escoamento e a
aerodinâmica em torno do automóvel?
Sugestão: Re=1.
Dados: Ar (Gás ideal, R: Constante dos gases; MAr: Massa molecular do ar).
(R/MAr)=287 m2/s2K
μ=1,84x10-5N.s /m2 (25°C)
μ=1,93x10-5N.s/m2 (45°C)
Resp.
a) vm=371,8 Km/h;
b) Pm=10.9x105N/m2.
7.4. Uma plataforma oceânica sujeita a correntes de 1.5 m/s, ondas de 3 m de altura e 12 seg de
período deve ser estudada num modelo 1:15 que usará também água de mar. Pela Lei de escala de
Froude, qual a velocidade da corrente, período e a altura da onda que se espera observar na maquete
a ser instalada?
Sugestão: Fr=1.
Resp:
a) vm=0.387 m/s
b) tm=3.1 s
c) hm=0.2 m
7.5. Efetuaram-se experiências em laboratório para obter as características de resistência de um
navio em relação à onda (depende somente da gravidade) que vai se opor ao seu deslocamento.
Calcule:
a) a que velocidade se deverá fazer o ensaio no modelo à escala geométrica 1/25 para que a
velocidade real correspondente seja de 40 km/h;
b) a resistência para o protótipo se, no modelo reduzido, for medido o valor de 5 N;
c) o período da vaga no protótipo sendo o seu valor de 3s no modelo.
Sugestão: Fr=1.
Resp:
a) vm=2.2 m/s
b) Fp=78.125 kN
c) tp=15 s.
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7.6. O pilar de uma plataforma oceânica deve funcionar em ambientes com correntes marinhas de 150
cm/s e ondas de 3 m com períodos de 12 s. Se um modelo 1:15 é testado num canal de ondas, qual a
velocidade, duração e altura da onda que se esperam no modelo?
Sugestão: Fr=1.
Resp.
vm=39 cm/s,
Tm=3.1 s
hm=20 cm.
7.7. Em pesquisas espaciais estuda-se, na Terra (g=9.81 m/s2), o movimento pendular para aplicações
na Lua (g=1.62 m/s2). Em ensaios com um pêndulo de 1 m e uma massa suspensa de 200 g observa-se
um período de 2.04 s quando o ângulo no pêndulo é 20°. Que período deve ser observado na Lua num
pêndulo similar de 30 cm com uma massa de 100 g e 20°?
Sugestão: Π=1.
Resp: T=2.75 s
7.8. Cavitação é a formação e imediata implosão de bolhas como consequência de rápidas mudanças
da pressão num meio líquido. Um torpedo a 8 m de profundidade cavita a uma velocidade de 21 m/s
quando a pressão atmosférica é de 101 kPa. Considerando que a água do mar está a 20°C e que nessas
condições os efeitos viscosos (Lei de Reynolds) e gravitacionais (Lei de Froude) são irrelevantes e
podem ser ignorados,
a) Determine em que velocidade ocorrerá a cavitação a 20 m de profundidade.
b) A que profundidade deve ser lançado o torpedo a 30 m/s para evitar cavitação?
Sugestão: Ca=1.
Dados: Usar o número de Cavitação: Ca=(pa+ρgh-pv)/ρv2
Água do mar (20°C)
ρ=1025 kg/m3
pv=2337 Pa
Resp.
a) 27.2m/s
b) 26.5 m
7.9. O modelo 1:15 de um paraquedas apresenta um arraste de 450 lbf quando testado a 20 ft/s em
um túnel de água. Se neste caso os efeitos da Lei de Reynolds são desprezíveis estime a velocidade
terminal de uma pessoa que usará o protótipo para um salto desde 5000 ft de altitude. Paraquedas e
paraquedista somam juntos 160 lbf.
Sugestão: Cd=1 ou Ne=1.
Dados:
Água (20°C)
ρ=1.94 kg/m3
Ar (5000 ft)
ρ=0.00205 kg/m3
Resp.
a) vp=27.2 ft/s
7.10. A hidrodinâmica de um vertedouro será testada de acordo com a Lei de Froude usando um
modelo 1:30. O fluxo no modelo apresenta uma velocidade de 0.6 m/s e um caudal de 0.05 m3/s.
a) Qual será a velocidade e o caudal no protótipo?
b) Se a força medida em certo ponto do modelo é 1.5 N, qual é esta força no protótipo?
Sugestão: Fr=1.
Resp.
Fp=40500 N.
7.11. O protótipo de um vertedouro de 10 m foi construído aplicando a Lei de Froude e apresenta uma
velocidade característica de 3 m/s. Com este dado deseja-se estudar os efeitos superficiais sobre um
pequeno modelo. Qual o mínimo fator de escala que garante Wem=100?
Sugestão: We=1.
Resp.
=1:111
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7.12. O período de maré de um estuário (maré semi-diurna lunar) na costa atlântica sul-americana é
de 12h 25m 12s (12.42 h) com correntes de maré de 80 cm/s. Se um estuário é construído numa
escala 1:500 com marés provocadas por uma bomba hidráulica, qual é o período e a velocidade das
marés esperados no modelo?
Sugestão: Fr=1.
Resp.
Tm=33 min, vm=3.6 cm/s
7.13. O reboque de um navio de 35 m projetado para navegar a 21 nôs (11 m/s) é simulado por um
modelo de 1 m em uma piscina. Pela Lei de Froude determine
a) A velocidade do reboque
b) O valor numérico do fator de escala das forças de arraste F.
c) O valor numérico do fator de escala da potência P.
Sugestão: Fr=1.
Resp.
c) P=1:254000
7.14. O modelo 1:40 de uma hélice de propulsão de um navio é testada num tanque de provas a 1200
rpm apresentando uma potencia de 1.4 lbf·ft/s. De acordo com a Lei de Froude qual será a velocidade
de rotação e a potência no protótipo sob condições de semelhança dinâmica?
Sugestão: Fr(ag)=1.
Resp.
p=190 rpm,
Pp=1030 hp
Semelhança dinâmica completa (dois números adimensionais).
7.15. Uma esfera de 8 cm de diâmetro apresenta um arraste de 5N em um ensaio realizado em água
fluindo a 2m/s a 20°C. Qual deve ser a velocidade do vento (ar, gás ideal) e a força de arraste em um
balão de 1.5 m de diâmetro ancorado no nível do mar (P=1 atm) para haver semelhança dinâmica?
Sugestão: Re=1 e Ne=1 (ou Cd=1).
7.16. Um estudante precisa medir o arraste de um protótipo (Lei de Newton) de tamanho Lp que se
move a uma velocidade vp em ar ao nível do mar (Lei de Reynolds). Para isto ele constrói um modelo
de tamanho Lm de tal forma que a relação Lm/Lp é igual a uma constante k. Ele mede então o arraste no
modelo sob condições de semelhança dinâmica também no nível do mar e afirma que,
desconsiderando efeitos compressíveis, o arraste no protótipo será idêntico ao do modelo. Explique e
justifique se este resultado é correto.
Sugestão: Re=1 e Ne=1 (ou Cd=1).
7.17. Um navio de 180 m de comprimento deverá ser operado à velocidade de 40 km/h, em água
salgada (γ=10105.5 N/m3 e μ=1.199x10-3 N.s/m2). Se um modelo de 3 m de comprimento deve ser
testado em laboratório,
a) Qual deve ser a viscosidade cinemática (ν) do fluido a ser usado no teste para que as Leis de
escala de Re e de Fr sejam satisfeitas?
b) Se existir um fluido com tal viscosidade, a que velocidade deverá ser testadoo modelo para
que haja semelhança?
Sugestão: Re=1 e Fr=1.
Resp:
a) νm=2.5x10–9m2/s;
b) vm=1.434 m/s
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7.18. O protótipo de um navio de 400 ft tem uma superfície molhada de 30000 ft2. Um modelo a escala
1/80 deste navio é testado em uma piscina experimental seguindo a Lei de Froude nas velocidades
1.3, 2.0, e 2.7 nôs (1nô= 1.689 ft/s). Se nessas velocidades foram medidas forças de arraste de 0.11,
0.24, e 0.41 lbf, respectivamente;
a) Quais serão as velocidades no protótipo?
b) Com os dados fornecidos obtenha as constantes da função Ne=aReb,
c)Quais as forças de arraste estimadas nessas velocidades?
Sugestão: Re=1 e Ne=1 (ou Cd=1).
Resp: a) 19.6, 30.2, 40.8 ft/s
b) a=0.00805, b=0.205
c) 14600, 31800, 54600 lbf
7.19. Um copépode é um crustáceo aquático de aproximadamente 1 mm de diâmetro.
Numa pesquisa de Aquicultura, deseja-se medir a força de arraste que sofre este
organismo quando se movimenta livremente em água doce. Se em um modelo 100 vezes
maior que simulava as condições do habitat desses crustáceos usou-se glicerina e foi
observada uma velocidade de 30 cm/s e um arrasto de 1.3 N estime a velocidade e a
força de arraste real dos copépodes em águas a 15°C.
Sugestão: Re=1 e Ne=1 (ou Cd=1).
Dados:
- Glicerina:
μ=1.5 kg/ms
ρ=1263 kg/m3
- Água:
μ=0.001 kg/ms
ρ=998 kg/m3
- Devem ser satisfeitas as Leis de escala de Newton (Nem=Nep) e de Reynolds (Rem=Rep)
simultaneamente.
Resp.
a) vp=2.3 cm/s;
b) Fp=7.31x10–7 N.
7.20. Calcule a potência, em hp, requerida (ForçaVelocidade) para arrastar uma rede de
pesca de 300 ft2 (27.9 m2) a uma velocidade de 3 nôs (1.54 m/s) em água de mar a 20°C
(=1025 kg/m3, μ=0.0010 kg/m∙s). A rede é confeccionada com cordas de 1 mm de
diâmetro e amarradas em quadrados de 22 cm2. O plano da rede é perpendicular ao
plano da direção do arraste.
Sugestão: Re=1 e Ne=1 (ou Cd=1).
Dados:
- Na Lei de Reynolds Re=ρvd/μ considere d como o diâmetro das cordas.
v2
- No grupo adimensional de arraste CD = F/ρA( 2 ), a área transversal A corresponde a
área sombreada mostrada no detalhe ao lado.
- Considere um coeficiente adimensional de arraste CD1.0 que é um valor típico para fluxo
transversal em torno de corpos cilíndricos.
- Levar em conta que existem 5000 desses fios, de 2 cm, em cada metro quadrado de rede.
- 1 hp=745.7 W
Resp.
7.0 hp.
7.21. O protótipo de uma bomba centrífuga tem um impelidor de 2ft de diâmetro e está projetado
para bombear 12 ft3/s de água a 750 rpm. Uma bomba modelo de 1ft de diâmetro é testada em ar a
20°C e a 1800 rpm. Por Análise Dimensional, para este estudo, obteve-se:
m
P
Q n ρD2
( 3 5) = k ( 3) (
)
ρ D
ωD
μ
Porém constatou-se que os efeitos viscosos podem ser ignorados (m0).
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a) Para haver semelhança qual deve ser a vazão volumétrica em ft3/s no modelo?
b) Se a bomba modelo requer 0.082 hp para funcionar, qual a potencia requerida pelo
protótipo?
Sugestão: Fl=1 e Po=1.
Resp.
a) 3.6 ft3/s
b) 157 hp.
7.22. A potência P gerada por certo tipo de cata-vento depende do seu diâmetro D,
densidade do ar ρ, velocidade do vento v, frequência de rotação , e número de pás
npás.
a) Escreva um modelo desta relação em forma adimensional.
b) Se o modelo de um cata-vento de 50 cm de diâmetro opera no nível do mar. Com ventos de
40m/s, gira a 4800 rpm e fornece 2.7 kW. Qual será a potência desenvolvida por um protótipo
geométrica e dinamicamente semelhante de 5 m de diâmetro que operará em ventos de 12 m/s numa
cidade a 2000 m sobre o nível do mar?
c) Qual é a velocidade de rotação mais adequada ao protótipo?
Sugestão: Sr=1 e Po=1.
Dados: ρ=1.2255 kg/m3 (no nível do mar)
ρ=1.0067 kg/m3 (a 2000 m de altitude)
P
ωD
Resp:
a) (ρv3 D2) = f ( v , npás )
b) 6 kW
c) 144 rpm
7.23. Em Aerodinâmica o efeito conhecido como pitching moment é o torque sofrido no centro
aerodinâmico de um aerofólio de um avião. O modelo 1:10 de uma asa supersônica testada a 700 m/s
em ar a 20°C e 1 atm apresenta um torque de =0.25kN·m. Qual será o torque na asa protótipo sendo
que deverá voar satisfazendo a Lei de Mach (Mam=Map) a 8000 m de altitude onde os efeitos da Lei de
Reynolds podem ser ignorados.
Sugestão: Re=1 e Ma=1.
Dados: Equação adimensional que descreve esta situação Ne=k·Man·Rem onde Ne=/ρv2L3
Resp.
=88 kN·m
7.24. O modelo 1:12 de um avião será testado em um túnel pressurizado a 20ºC. Se o protótipo voará
a uma altitude de 10 km a 240 m/s qual deve ser a pressão (em atm) no túnel de ensaios para que as
leis de escala de Mach e de Reynolds sejam satisfeitas?
Sugestão: Re=1 e Ma=1.
Dados: Ar
- No nível do mar (288 K): =1.2250 kg/m3
=1.80×10-5 kg/m·s
- A 1000 m de altitude:
=0.4125 kg/m3
=1.47×10-5 kg/m·s
Resp.
Pm=4.42 atm.
7.25. Para o projeto de um avião de 55 ft que deve voar a 680 m/s a 8000 m de altitude estuda-se um
modelo 1:30 em um túnel de vento pressurizado com hélio a 20°C. Que pressão deverá ser usada nos
ensaios?
Sugestão: Re=1 e Ma=1.
Dados:
- Ar a 8000 m de altitude: =1.53×10-5 kg/m·s vsom=308 m/s =0.525kg/m3
- He a 20°C:
=1.97×10-5 kg/m·s vsom=1005 m/s (R/MHe)=2077 J/kg K
Resp.
PHe=37.3 atm.
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8.- SCALE-UP EM REATORES QUÍMICOS.
Modelos com semelhança dinâmica completa (um número adimensional).
A figura mostra o corte esquemático de um reator genérico para reações químicas ou bioquímicas com
seus componentes respectivos. A geometria de cada tipo de agitador interfere no tempo de mistura, na
transferência de calor e na potência fornecida ao reator.
AMotor do agitador
BRedutor de velocidade
CEntrada de ar
DSaída de ar
EVálvula para bypass de ar
FVedação do eixo de agitação
GVisor de vidro com luz
HLimpador de visor
IEntrada de reagente c/ tampa de vidro
JEixo do agitador
Kpá para quebra de espumas
LSaída de água de resfriamento
MDefletor de fluxo
NSerpentina de resfriamento
OEntrada de água de resfriamento
PAgitador
QAerador
RSuporte de eixo de agitação
SSaída de produtos
TVálvula para amostragem
Agitadores tipo turbina Smith, Rushton,
He3 de fluxo axial e A320 de fluxo axial
Como se observa, a extrapolação de escala seja no sentido da majoração (scale-up) ou no sentido da
redução (scale-down) é um problema técnico complexo devido à diversidade de parâmetros
envolvidos que impedem soluções generalizadas. A geometria e as características específicas dos
reatores interferem diretamente nas variáveis de processo estudadas e consequentemente as leis de
escala podem ficar mais complexas.
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A seguir se mostram algumas equações adimensionais usadas para o cálculo de algumas variáveis de
processo como o tempo de homogeneização, transferência de calor, potencia de agitação e aeração em
reatores químicos ou bioquímicos.
- Tempo de mistura
Reator cilíndrico convencional
d
Bl  5.8  Po1 / 3   
D
Reator de base quadrada
d
Bl  6.0  Po1 / 3   
L
2.0
2.0
- Troca térmica
Através das paredes de reatores com serpentina
submersa e baffles.
 d ag
Nu  0.87  Re0ag.62  Pr 0.33 
 D
  μ 


 μ 
  W
0.14
Através das paredes de reatores encamisados e com
baffles.
 d ag
Nu  0.36  Re0ag.67  Pr 0.33 
 D
  μ 


 μ 
  W
0.14
- Potência de agitação
Reator convencional.
1  c 
Po  85.0  Reag
 
D
0.31
 H
 
D
p
1
Po  66.0  Reag
 n fitas   
d
Reator com agitador de fita helicoidal.
Reator com serpentina helicoidal e agitador de
parafuso.
0.48
0.73
c
 
d
0.60
w
 
d
0.50
h
 
d
1
Po  318.0  Reag
 [3.774  exp( 0.00836 Reag )] 
 (1  354.8Wi 3.72 )  (1  0.811Wi 0.249 )
- Difusão de gases
Eficiência na aeração em um fermentador ou a
difusão de um gás reagente em um reator de síntese.
0.367
Sh  0.368  Re1ag.38  Sc 0.5  Frag
 Po0.75 
 We 
 Sr 0.167  

 Re 
0.5
d
 
D
0.25
Diferentes critérios podem ser adotados, com base em abordagens empíricas, mantendo como
denominador comum a semelhança geométrica. Os principais critérios são:
- Igual número de Reynolds de agitação (Reagm=Reagp)
- Tempos de mistura constantes (tm=tp)
- Igual tensão de cisalhamento (m=p)
- Igualdade na aeração ou difusão de gases (KLam=KLap)
- Igual taxa de dissipação de energia específica (Pom=Pop)
- Combinação destes ou outros critérios;
Contudo a manutenção da semelhança geométrica entre as escalas das grandezas envolvidas,
geralmente, tem como consequência a dessemelhança cinemática nas escalas das outras grandezas.
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8.1. Aplicando as leis de escala de:
a) Reynolds (Reagm=Reagp)
b) Froude (Fragm=Fragp)
c) Potência (Pom=Pop)
e considerando o mesmo sistema reacional na maquete e no protótipo (m=p) determine a velocidade
de rotação de um agitador em função do fator de escala geométrico λ=f(λ) abaixo tabelado. É
coerente a variação deste parâmetro com o aumento da escala?
Velocidade de agitação no modelo 150 rpm
Lei de escala
λ=1:2
x*
Velocidade de agitação no protótipo
λ=1:5 x λ=1:10 x λ=1:512 x
λ=1:1000
x
Re
Fr
Po
* x: Coeficiente geométrico de escala.
8.2. No scale-up de reatores é conveniente usar o fator de escala volumétrico  (Vm/Vp) em lugar do
fator de escala geométrico λ (Lm/Lp). Usando o critério da Potência obtenha correlações do tipo
λG=f() para
a) Diâmetro do reator
b) Altura do reator c) Diâmetro do agitador
d) Potência
e) Reag
f) Frag
g) Preencha a tabela.
Grandeza
Modelo
=1:512
Protótipo
y =1:1000
y
Diâmetro do reator
50 cm
Altura do reator
75 cm
Diâmetro do agitador 15 cm
* y: Coeficiente volumétrico de escala.
8.3. A potência requerida para a agitação mecânica em reatores depende sensivelmente do tipo de
agitador, presença de baffles e detalhes de instalação como a distância das pás do agitador até as
paredes do recipiente, proximidade do agitador em relação ao fundo do reator, nível do líquido, etc.
Além de levar em conta todas essas considerações observa-se também que a escala da potência é
expressa como  P     constatando-se que esta crescerá dramaticamente por depender de um
produto contendo expoentes grandes. Nestas situações para determinar parâmetros de escala e custos
de projeto a tecnologia atual mantém, no modelo e no protótipo, a mesma potência por unidade de
volume P/V (J/sL, W/m3, etc) amenizando assim o veloz aumento na escala da potência (ou
5 3
 P  5 / 3 3 ). Aplicando o critério P/V preencher a tabela abaixo.
Grandeza
Modelo
Diâmetro do reator
Altura do reator
Diâm.do agitador
Potência
Potência (P/V)
Reag
Frag
50 cm
75 cm
15 cm
=1:2
y
=1:5
y
Protótipo
=1:8 y =1:512
y
8
8
8
512
1
8
0.5
=1:1000
y
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Modelos com semelhança dinâmica completa (dois números adimensionais).
8.4. O calor perdido pelas paredes de um reator é o flux térmico das superfícies
cilíndricas q=hΔT. Onde h é o coeficiente convectivo e ΔT é a diferença entre as
temperaturas na parede externa e a do ar. Para escalar as perdas térmicas em reatores
agitados se usa a expressão  h     . Deduza esta expressão partindo dos grupos
adimensionais adequados.
1/ 3
8.5. Uma reação de isomerização, endotérmica, homogênea e de primeira ordem:
CP
ΔHR=+35 Kcal/mol
é processada em um reator contínuo de laboratório de 390.62 mL. O reagente C
com uma concentração [C]1=1.0 M entra e sai do reator com a mesma vazão
Q1=Q2=0.5O L/min. O reator maquete sem agitação possui camisa de aquecimento
e tem as dimensões H=10.15 cm, D=7.0 cm, d=0.5 cm. A cinética da isomerização
vem sendo estudada com a seguinte equação adimensional:
DaI = c ∙ Ten ∙ Dy m
a) Obtenha esta equação considerando as mesmas variáveis do sistema, ou seja:
vR=f(v, [C], L, ΔHR, q, , Cp, ΔTR)
Comente as semelhanças e diferenças encontradas.
Se se deseja continuar os estudos numa planta piloto com um reator de 200 litros, pede-se:
b) A velocidade linear e vazão volumétrica na saída do reator protótipo
c) O aquecimento (kW) que deverá ser fornecido ao reator piloto.
d) Qual a vazão volumétrica a de fluido térmico (água) a 45°C que deve circular na camisa do
reator a fim de manter a temperatura da reação?
e) Se as vazões de entrada e saída do reator são as mesmas, verifique no modelo e no protótipo,
a possibilidade de ocorrência de wash out ou arraste de reagente C não reagido.
Dados:
- Constante cinética da reação de isomerização a 45°C, k=1.5 min-1;
- Massa molecular de C ou P, M=350 g/mol;
- Densidade da massa reacional =1.01 g/cm3.
- Temperatura ambiente, 15°C
Resp. a) vp=3.4 m/s, Qp=256 L/min,
b) (qA)p=32.9 W,
c) ap=0.94 L/h
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Anexos
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SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Unidades básicas
kelvin (K), second (s),
metre (m), kilogram (kg),
candela (cd), mole (mol),
ampere (A)
Unidades SI definições e relações
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Unidades derivadas com nomes especiais
Name
Symbol
Expressed in
terms of
other SI units
Quantity
Expressed in
terms of
SI base units
becquerel
Bq
radioactivity (decays per unit time)
s−1
celsius
°C
temperature relative to 273.15 K
K
coulomb
C
electric charge or quantity of electricity
s·A
farad
F
electric capacitance
C/V
kg−1·m−2·s4·A2
gray
Gy
absorbed dose (of ionizing radiation)
J/kg
m2·s−2
henry
H
inductance
Wb/A
kg·m2·s−2·A−2
hertz
Hz
frequency
joule
J
katal
kat
catalytic activity
lumen
lm
luminous flux
s−1
energy, work, heat
N·m
kg·m2·s−2
mol·s−1
lux
lx
illuminance
newton
N
force, weight
ohm
Ω
electric resistance, impedance, reactance
pascal
Pa
pressure, stress
radian
rad
angle
cd·sr
cd
lm/m2
m−2·cd
kg·m·s−2
V/A
kg·m2·s−3·A−2
N/m2
kg·m−1·s−2
m·m−1
siemens
S
electrical conductance
A/V
kg−1·m−2·s3·A2
sievert
Sv
equivalent dose (of ionizing radiation)
J/kg
m2·s−2
steradian
sr
solid angle
tesla
T
magnetic flux density
volt
V
voltage (electrical potential difference), electromotive force
watt
W
weber
Wb
m2·m−2
Wb/m2
kg·s−2·A−1
W/A
kg·m2·s−3·A−1
power, radiant flux
J/s
kg·m2·s−3
magnetic flux
V·s
kg·m2·s−2·A−1
Outras unidades aceitas
astronomical unit, dalton,
day, decibel, degree of arc,
electronvolt, hectare, hour,
litre, minute, minute of arc,
neper, second of arc, tonne,
atomic units, natural units
Teoria da Escala e Scale-up em Engenharia Química
São Paulo 22 e 23 de Agosto de 2016
Prof. Dr. Joaquín Ariel Morón Villarreyes ([email protected]) – Universidade Federal do Rio Grande, RS - FURG
Associação Brasileira de Engenharia Química
Filiada à Confederação Interamericana de Engenharia Química
Unidades SI para eletromagnetismo
Name
Symbol
ampere
A
ampere per metre
coulomb
C
coulomb per square metre
farad
F
farad per metre
henry
H
henry per metre
ohm
ohm metre
siemens per metre
Expressed in
terms of
SI base units
I
W/V = C/s
A
Magnetic field strength
H
A/m
A·m−1
Electric charge
Q
A·s
Electric displacement field
D
C/m2
Capacitance
C
C/V
kg−1·m−2·A2·s4
Permittivity
ε
F/m
kg−1·m−3·A2·s4
Inductance
L, M
H = Wb/A
= V·s/A
kg·m2·s−2·A−2
μ
H/m
kg·m·s−2·A−2
R; Z; X
V/A
kg·m2·s−3·A−2
ρ
Ω·m
kg·m3·s−3·A−2
Conductance; Admittance;
Susceptance
G; Y; B
Ω−1
kg−1·m−2·s3·A2
Conductivity
κ, γ, σ
S/m
kg−1·m−3·s3·A2
B
Wb/m2
kg·s−2·A−1 = N·A−1·m−1
U, ΔV, Δφ; E
J/C
kg·m2·s−3·A−1
Electric resistance;
Impedance; Reactance
Resistivity
S
Expressed in
terms of
other SI units
Electric current
Permeability
Ω
siemens
Quantity
tesla
T
Magnetic flux density,
Magnetic induction
volt
V
Potential difference;
Electromotive force
A·s·m−2
volt metre
Electric flux
ΦE
V·m
kg·m3·s−3·A−1
volt per metre
Electric field strength
E
V/m = N/C
kg·m·A−1·s−3
watt
W
Electric power
P
V·A
kg·m2·s−3
weber
Wb
Magnetic flux
Φ, ΦM, ΦB
Wb = V·s
kg·m2·s−2·A−1
-
Electric susceptibility
χe
-
-
-
Magnetic susceptibility
χ
-
-
Relação entre as unidades elétricas
Energia, Calor, Trabalho
Mecânico
Energia=Força·Distância
E=F·h
=kgf·m=kg.(m/s2)
=Newton·m
=Joule
Potência=Energia/tempo
P=(F·d)/t
= Joule/s
=Watt
Lei de Ohm
Elétrico
Energia=Carga·Potencial
E=q·V
=Colulomb·Volt
Potência=Energia/tempo
P=(q/t)·V
=Ampere·Volt
=Watt
I=V/R=
Ampere=Volt/Ohm
ou
I=(1/R)·V =G·V
Ampere=Siemens·Ohm
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Unidades SI para medida da luz
Expressed in Expressed in
terms of
terms of
other SI units SI base units
Name
Symbol
Quantity
lumen
lm
luminous flux
lux
lx
radian
illuminance
rad
steradian
sr
cd·sr
cd
lm/m2
m−2·cd
angle
m·m−1
solid angle
m2·m−2
Intensidade luminosa: A candela (cd) [L0M0T0cd] é a medida da percepção da potência emitida por uma fonte luminosa em
uma dada direção.
Fluxo luminoso: O lúmen (lm) [L0M0T0cd] é o fluxo luminoso dentro de um cone de 1 esferorradiano, emitido por um ponto
luminoso com intensidade de 1 candela em todas as direções. 1 lm = cdsr.
Iluminamento ou iluminância: O lux (lx) [L-2M0T0cd] é a unidade SI de medida de iluminamento, que mede a incidência
perpendicular de 1 lúmen em uma superfície de 1 metro quadrado. 1 lx=1 lm/m².
Luminância: O nit [L-2M0T0cd] é uma medida da quantidade de luz emitida por uma superfície de 1 metro quadrado ou
luminância. 1 nit=1 cd/m².
Espaços dimensionais e o fator gravitacional gc
O fator gc=9.81 kgm/kgfs2 (4.17108 lbft/lbfh2) permite a redução de uma base de dimensões LMTF para outro espaço
dimensional reduzido LMT onde a força não está definida como ocorre no sistema SI.
m kg s kgf
L M T
9.81 kgm/kgfs2
m kg s
gc [ML/FT2]
L M T
4.17108 lbft/lbfh2
ft lb h
F
ft lb h lbf
Multiplicando este fator nas grandezas que contêm força, como trabalho, energia ou calor
(forçadistância), pressão (força/área), potência (energia/tempo) e muitas outras ficam expressas
apenas em LMT. Por exemplo, a pressão ficaria expressa em kg/ms2 e a potência em kgm2/s3.
Pressão =
Potência =
Força
Área
=
kgf
kgm
kg
g c 
=
2
2
m
kgfs
ms 2
Energia ForçaDistância kgfm
kgm kgm2
=
=
g c 
=
Tempo
Tempo
s
kgfs 2
s3
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DEFINIÇÃO DE ALGUNS GRUPOS ADIMENSIONAIS DA TECNOLOGIA QUÍMICA
nº
Nome
Grupo Adimensional
1
Agitação
Fc =
Fax
ρω2 d4ag
2
Arquimedes
Aq =
gρ(ρo − ρ)L3
∆ρ
= Ga ∙ ( )
μ2
ρ
3
Arrhenius
Ar =
E
RT
4
Atomização
3 We
ρ
ρL
3 μv
At = √ ( ) = √
∙( )
σ ρG
Re ρG
5
Biot
Bi =
6
Blake
Bk =
ρv
μ(1 − ε)s
7
Bodenstein
Bt =
vL
= Re ∙ Sc
𝔇
8
Boltzmann
Bo =
ρvCp
σo T 3
9
Bombeamento
Fl =
Q
ωd3ag
gL2 ρ gL2 (ρL − ρG ) We
=
=
σ
σ
Fr
Bd =
11 Bouguer
Bu = aL
12 Brinkman
Br =
v2 μ
Jk(TW − To )
13 Capilar
Ca =
μv
σ
14 Cauchy
Cy =
ρv 2
K
15 Cavitação
Cv =
(P − Pvap )
ρv 2 /2
CD =
FD /A
ρv 2 /2
16
Coeficiente de
arraste
17 Colburn
μ −0.14
jH = St ∙ Pr 2/3 ∙ ( )
μw
18 Contato
Ko =
19 Damköhler I
Da I =
(vR )1
= k1 t[C]a+b+ ⋯ −1
vR
vR L
v[C]
Correlaciona o impulso axial com as forças inerciais
rotatórias dentro de tanques agitados.
Relaciona o produto das forças de inércia e
flutuabilidade com as forças viscosas. Aplica-se em
sedimentação.
Relaciona a energia de ativação de uma reação
química com a energia interna do sistema.
Caracteriza a atomização de um combustível através
das propriedades mais relevantes envolvidas nesse
fenômeno.
Relaciona transmissão de calor por convecção e
condução. Indica o mecanismo controlante. h é dado.
Relaciona as forças inerciais com as viscosas em
leitos de sólidos.
Relaciona a transferência de massa por momentum e
difusão. Equivale ao número de Peclet de
transferência de massa.
Relaciona transmissão de calor por convecção e
radiação. Indica o mecanismo controlante. o é a
constante de Stefan.
Mede a vazão volumétrica (ou bombeamen-to) desde
as pás de um agitador até o meio fluido. Conhecido
como Flow number.
hL
k
10 Bond
Definição
Relaciona as forças gravitacionais com as forças da
superfície dos líquidos.
Relaciona densidade óptica com trans-missão de
radiação em um meio dado.
Relaciona a condução térmica até um fluido em
movimento com o calor devido a forças viscosas.
Usado em extrusão. J=W/Q é o equivalente térmico
de Joule.
Relaciona forças viscosas e superficiais em
escoamentos sem superfícies limitantes (sprays) e
bifásicos.
Relaciona forças inerciais e de compressibilidade.
Aplica-se a fluxos compressíveis e transientes
hidráulicos.
Relaciona o excesso de pressão além da pressão de
vapor com a energia cinética. Usa-se no estudo da
cavitação.
Relaciona as forças de arraste com a energia cinética
defluxos ao redor de objetos submersos. Aplica-se na
Sedimentação
Usa-se no estabelecimento das analogias de
transferência de calor, massa e momentum.
É a razão entre a velocidade da reação direta em
relação à global (aA+bB⇌ pP+qQ).
Em reações irreversíveis Ko=DaI
Razão entre as velocidades de reação e a linear na
saída em reatores contínuos.
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20 Damköhler II
Da II =
vR L2
𝔇[C]
Relação entre a quantidade de matéria gerada por
reação química e a transportada por mecanismos de
difusão.
21 Damköhler III
Da III =
vR ∆HR L
= Da I ∙ Dy
ρvCp ΔT
É a razão entre o calor gerado por reação química e o
calor retirado pela vazão.
22 Damköhler IV
Da IV =
vR ∆HR L2
= Da III ∙ Pe
kΔT
É a razão entre o calor gerado por reação química e o
calor transferido por condução.
23 D´yakonov
Dy =
24 Dean
d 1/2
Dn = Re ∙ ( )
dc
25 Deborah
De = ωt relax
26 Equilíbrio
Eq =
27 Euler
Eu =
[C]∆HR
ρCp ΔT
(vR )2 k 2 [P]p [Q]q ⋯
=
(vR )1 k1 [A]a [B]b ⋯
Estabelece a proporcionalidade entre os gradientes
de temperatura e concentração gerados por uma
reação química.
Relaciona forças inerciais e centrífugas de
escoamentos em serpentinas e dutos helicoidais.
Em fluidos viscoelásticos agitados, define o tempo de
relaxação que é o período necessário para o fluido
transformar a energia elástica reversível em calor de
atrito.
É a constante de equilíbrio da reação reversível
aA+bB⇌ pP+qQ com as constante cinéticas k1 e
k 2.
É a relação entre a queda de pressão por atrito e a
energia cinética de escoamentos em dutos.
É a relação entre o esforço de cisalhamento nas
paredes de um duto com a energia cinética.
É a relação entre o esforço de cisalhamento nas
paredes de um duto com a energia cinética.
28
Fator de atrito
(Darcy)
Fator de atrito
29
(Fanning)
∆P
ρv 2
∆P
d
fD =
( ) = 4f
2
(ρv /2) L
∆P d
f=
( )
2ρv 2 L
30 Fourier
Fo =
kt
ρCp L2
Adimensionaliza o tempo em sistemas em condução
transiente.
31 Froude
Fr =
v2
v
=
gL √gL
Relaciona forças inerciais e forças peso
(gravitacionais) no escoamento de fluidos com uma
superfície livre (canais).
Froude
32
(densométrico)
Fr´ =
v2
v
=
(ρ − ρ)
(ρ − ρ)
gL d
√gL d
ρ
ρ
Relaciona forças inerciais e gravitacionais durante o
escoamento de um fluido.
33
Froude
(agitação)
Frag =
ω2 dag
g
Relaciona forças inerciais e gravitacionais em um
fluido em agitação mecânica.
34 Galileu
Ga =
gρ2 L3 Re2
=
μ2
Fr
Relaciona forças de gravidade, inércia e atrito no
fluxo de um fluido.
35 Graetz
Gz =
ρvd2 Cp
d
= Pe ∙ ( )
kL
L
Caracteriza a condução radial de calor em tubulações
com fluidos em regime laminar.
36 Grashoff
Gr =
gρ2 L3 β∆T
μ2
Relaciona forças de flutuação e gravitacionais de um
fluido isotérmico em convecção natural.
37 Hatta 1°
Ha =
√k𝔇
kLa
Relaciona a difusão de reagentes com a velocidade da
reação de primeira ordem.
38 Hatta 2°
Ha =
√k[C]𝔇
kLa
Relaciona a difusão de reagentes com a velocidade da
reação de segunda ordem.
39 Hedstrom
He =
d2 ρτo
μ2o
Determina a transição laminar – turbulência e o
começo do escoamento em fluidos de Bingham.
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40 Hidrodinâmico
Hy =
v
vR LΔv
41 Hodgson
Hd =
Vω ∆P
( )
Q P
42 Jacob
Ja =
43 Karman
Ka =
Relaciona a vazão da mistura reacional ao reator com
a variação do volume molar devido à reação química.
(Hydrodynamic- Acceleration number).
No escoamento pulsante de gases, relaciona a
constante de tempo do sistema com o período de
pulsação.
Cp ∆T ρL
( )
∆Hvap ρV
Relaciona os calores de superaquecimento e de
vaporização em processos de ebulição.
45 Knudsen
Kn =
L´ Ma π Cp
√
=
L
Re 2 Cv
Quantifica a influência da queda de pressão nos
escoamentos independendo da velocidade.
Relaciona radiação e condução de calor. Considera o
coeficiente de atenuação do meio.
Razão do comprimento do caminho livre médio
molecular com uma dimensão característica. Usado
na rarefação de fluxos gasosos.
46 Kutateladze
Ku =
∆Hvap 1 ρL
= ∙( )
Cp ∆T Ja ρV
Descreve a transmissão de calor através de um filme
de fluido em ebulição.
47 Laplace
La =
d∆P
= Eu ∙ We
σ
Relaciona as forças de pressão com as forças
superficiais de gotas e bolhas.
48 Lewis
Le =
α k/ρCp Sc
=
=
𝔇
𝔇
Pr
Relaciona a difusividade térmica com a difusividade
de massa.
49 Lyaschenko
Ly =
3
vsed
ρ2
Re3
=
g(ρp − ρ)μ
Ar
Descreve a velocidade de sedimentação de partículas
em um meio líquido.
50 Mach
Ma =
51 Mistura
Bl = ωt
52 Morton
Mo =
√2ρLd3 ∆P
= 2Re√f = Re√fD
μ
σo T 3
Ki =
ka
44 Kirpichev
gμ4
ρσ3
F
E
P
Ne = 2 2 = 2 3 = 3 2
ρv L
ρv L
ρv L
hL
Nu =
k
53 Newton
54 Nusselt
55 Ohnesorge
Oh =
56
Peclet
(calor)
Pe =
57
Peclet
(massa)
Pe =
58 Pipeline
59 Potência
60 Prandtl
v
vs
μ
√ρσL
=
√We
Re
vL
vL
=
= Re ∙ Pr
α
k/ρCp
vL
= Re ∙ Sc
𝔇
𝑎v
Pn =
2gH
P
Po =
3
5
ρω 𝑑𝑎𝑔
Pr =
μCp
ν
ν
=
=
α k/ρCp
k
Relaciona a velocidade de um fluido com a do som em
fluxos compressíveis. Ma2 é a relação entre a energia
cinética e térmica.
Relaciona a frequência de agitação com o tempo de
mistura (blending time) de fluidos newtonianos.
Relaciona as forças gravitacionais com as superficiais
nos estudos de dinâmica de bolhas.
Este número de semelhança relaciona as forças
inerciais entre um modelo e o protótipo.
Caracteriza a intensidade da transmissão de calor
numa interface fluido-sólido. h é incógnita.
Relaciona as forças viscosas com a média geométrica
das forças superficiais e inerciais de líquidos
atomizados e sprays.
Relaciona a quantidade de calor transferido por
convecção e condução em um fluido.
Relaciona a transferência de massa por momentum e
por difusão. Conhecido também como número de
Bodestein Bt.
Relaciona a queda de pressão por golpe de aríete com
press estática. a é a veloc. da onda de choque.
Relaciona forças de arraste de hélices submersas com
forças inerciais. Usa-se em agitadores mecânicos.
Caracteriza a natureza de um fluido. Relaciona as
difusividades de quantidade de movimento e térmica
de um fluido.
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61 Radiação
Rd =
∆HR [C]v
σo εT 4
É a razão entre o calor gerado por reação química e o
calor transferido por radiação.
62 Rayleigh
Ra =
gρ2 L3 βCp ∆T
= Gr ∙ Pr
μk
É o número adimensional da transferência de calor
por convecção natural.
63 Reynolds
Re =
vL vLρ
=
ν
μ
Relaciona as forças inerciais e viscosas de um
escoamento. Caracteriza o regime hidrodinâmico de
um fluido em movimento.
64
Reynolds
(agitação)
Reag =
ρωd2ag
= Re ∙ Sr
μ
Relaciona as forças inerciais e viscosas de um fluido
durante a agitação mecânica.
65 Richardson
Ri =
gH gβ∆TL
Gr
=
= 2
2
2
v
v
Re
Relaciona a energia potencial e cinética . Em dinâmica
de fluidos da Aviação (turbulência) e Oceanografia
(mecânica de colunas de água e estratificação).
66 Rossby
Ro =
v
ωc d
Relaciona a aceleração inercial de um corpo e a de
Coriólis originada pela rotação do planeta. Chama-se
também número de Kibel.
67 Schmidt
Sc =
ν
μ
=
𝔇 ρ𝔇
Análogo a Pr. Relaciona a difusividade de quantidade
de movimento com a de massa.
68 Sherwood
Sh =
kLa
𝔇
É o equivalente ao número de Nusselt, porém com
transferência de massa.
69
Stanton
(calor)
St =
h
Nu
Nu
=
=
ρvCp Pe Re ∙ Pr
Relaciona a troca total de calor (turbulenta e
molecular) com a transferência turbulenta de
quantidade de movimento.
70
Stanton
(massa)
St =
k L a Sh
Sh
=
=
v
Pe Re ∙ Sc
Relaciona a transferência de massa com a
transferência de quantidade de movimento.
71 Stark
Sk =
σo T 3 L
k
Relaciona radiação/condução na superfície de
sólidos. Análogo a Bi.
72 Stokes
Sto =
73 Strouhal
Sr =
ωL
v
Em fenômenos periódicos relaciona a frequência de
um dado evento com a inércia.
74 Térmico
Te =
∆HR [C]v
q
Grupo geral que relaciona o calor de uma reação com
o flux térmico de uma superfície.
75 Truesdell
Tr =
2μω
P
Usado nos estudos da vibração molecular em gases.
76 Weber
We =
ρv 2 L
σ
77 Weissenberg
Wi =
τN 2gt relax
=
τ
v
dp
ρvd d
( ) = Rep ∙ ( )
μ L
L
Caracteriza regimes de sedimentação de partículas
em líquidos.
Relaciona as forças inerciais e as da tensão superficial
dos líquidos. Usa-se no estudo da formação de gotas e
bolhas.
Estuda o comportamento viscoelástico de fluidos naonewtonianos. Divide a tensão normal com a tensão de
cisalhamento.
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