Páginas 26 a 34

Resolução das atividades complementares
Matemática
M9 — Função exponencial
p. 26
1 Escreva na forma 2n:
a) 23 512
b) (23)2 64
Resolução:
2
c) (22)3 64
3
d) 22 256
e) 84 4 096
2
a) 23 5 29 5 512
b) (23)2 5 (23) ? (23) 5 26 5 64
c) (22)3 5 (22) ? (22) ? (22) 5 26 5 64
3
d) 22 5 28 5 256
e) 8 4 5 (23)4 5 212 5 4 096
2 Calcule:
b) 224 2 (23)3 1 30 12
a) 32 2 22 1 (21)3 2 (22)3 12
Resolução:
a) 32 2 22 1 (21)3 2 (22)3 5 9 2 4 1 (21) 2 (28) 5 5 2 1 1 8 5 12
b) 224 2 (23)3 1 30 5 216 2 (227) 1 1 5 12
3 Calcule:
222 1 422 5
a) 21
2 1 421 12
Resolução:
b) (3 ? 2)1 ? (31  21)1 1
5
1 1 1
5
222 1 422
16 5 16 5 5
a) 21
5 4
21
1
3
12
2 14
1 1
2
4
4
b) (3 ? 2)21 ? (321 1 221)21 5 1 ? 1 1 1
6
3
2
(
)
21
()
5 1 ? 5
6
6
21
5 1
5
3
4 Calcule:
2a 3 b4
b) 2 5 2a
3a b 3b
a) (2a) ? (3a) 2 592a
5
9
4
c)
Resolução:
a) (2a)5 ? (3a)4 5 25 ? a5 ? 34 ? a4 5 32 ? 81 ? a9 5 2 592a9
3 4
b) 2a 2b 5 5 2a
3b
3a b
2 3
3 4 6 7
(6a b) 3b4
63a 6b3 3b4
c)
5 2 2 4 3 6 9 5 22 33 a8 b13 5 26 6
2 2
2 3 3
(2ab ) ? (3a b )
2ab 3ab
23a b
ab
5 Escreva na forma de potência de expoente racional:
1
3
b) 5 a 3 a 5
a) 4 a a 4
Resolução:
1
3
b) 5 a 3 5 a 5
3
2
a2 5 a 3
6 Escreva usando radicais:
1
2
a) 9 3 3 9
c) 5 6
3
4
b) 6 4 63
Resolução:
d) 7
1
2
3
5
7
1
a) 9 3 5 3 9
3
b) 6 4 5 4 63
2
c) 5 6 5
6
52 5
3
2
c) 3 a 2 a 3
a) 4 a 5 a 4
c)
(6a 2 b)3 3b4
2
3
(2ab2 ) ? (3a 2 b3 )
5
1
2
d) 7 5 7
212 2 211 2 29
. 1
210 1 29
Resolução:
212 2 211 2 29
29 ? (23 2 22 2 1)
5
5 3 51
3
210 1 29
29 ? (2 1 1)
7 Calcule
6
a b6
2
12
11
2
8 Calcule a 10 2 a 9 . a (a 2 1)
a 11
a 1a
Resolução:
a 12 2 a 11
a 11 ? (a 2 1)
a 2 ? (a 2 1)
5
5
a 11
a 10 1 a 9
a 9 ? (a 1 1)
p. 29
9 Considere uma função exponencial ƒ dada por f(x) 5 (k2 – 4)x. Determine k, de modo que ƒ seja
crescente. k , 2 ou k  2
Resolução:
Se a função é crescente, temos: k2 2 4 . 0 → a função é quadrática
a 5 1 . 0 → a concavidade está voltada para cima
zeros de f: k2 2 4 5 0 → k 5 ±2
Estudando os sinais da função, temos:
�
�
�2
�
2
k , 22 ou k . 2
10 Uma experiência mostrou que a população de um certo microorganismo triplica a cada hora. Sendo
p0 a população inicial, escreva a sentença que fornece a população p em função do tempo t em horas.
Resolução:
A seqüência que indica a população será (p0, 3p0, 9p0, ...) que é dada por p 5 3tp0 ou p 5 (p0) ? 3t.
11 O gráfico ao lado mostra o número n de bactérias em uma certa cultura
em função do tempo. Sabe-se que n é dado por n(t) 5 kat, sendo a e k números
reais, a positivo e diferente de 1.
Obtenha o número de bactérias após 4 horas. 16 000
Resolução:
n(t) 5 k ? at
Pelo gráfico, temos: se t 5 0 → k ? 1 5 103 → k 5 103
se t 5 2 → 103 ? a2 5 4 ? 103 → a 5 2
3
Portanto, n(t) 5 10 ? 2t.
Para t 5 4, temos: n(4) 5 103 ? 24 5 16 000 bactérias.
12 Considere as funções ƒ e g dadas por f(x) 5 223x e g(x) 5 x . Calcule o valor de f(g(21)). 2
3
Resolução:
f(x) 5 223x; g(x) 5 x
3
23 ?
x
f(g(x)) 5 2 3 5 22x
f(g(21)) 5 22(21) 5 2
13 Uma função exponencial ƒ, decrescente, é tal que f(1) 1 f(21) 5 13 . Podemos afirmar que:
6
c) f(1)  2 3
d) f(2) , 1
9
a) f(0) , 1
e) f(2)  2 9
b) f(1) , 1 3
Resolução:
f é decrescente, então: f(x) 5 ax e 0 , a , 1.
Se a 5 1, temos: a 1 1 a 21 5 13 → a 1 1 5 13 → a 2 1 6 5 13a → a 2 2 13a 1 6 5 0
6
a
6
a 5 3 (não convém) ou
x

2 e f(x) 5 2 .
2
.
Logo,
a
5

3
3
a 5 2

3
a) (Falsa); f(0) 5 1.
b) (Falsa); f(1) 5 2 .
3
c) (Falsa); f(1) 5 2 .
3
d) (Falsa); f(2) 5 4 .
9
e) (Verdadeira); f(2) 5 4 .
9
()
p. 31
14 Resolva as equações:
a) 9 x 3 5 1 2 1
4
Resolução:
x
b) 5 ? 25 x 5 5 22
5
1
a) 9 x 3 5 32x ? 3 2 5 1 → 3
{ }
2x 1
1
2
5 30 → 2x 1 1 5 0 → x 5 2 1
2
4
S 5 21
4
x
b) 5 ? 25 x 5 5 → 5 ? 52x 5 5 x 2 1 → 51 1 2x 5 5 x 2 1 → 1 1 2x 5 x 2 1 → x 5 22
5
S 5 {22}
15 Determine o número real x, tal que 5x 1 1 1 5x 1 5x 2 1 5 155. x 5 2
Resolução:
5 x 1 1 1 5 x 1 5 x 2 1 5 155 → 5 x 2 1 ? (50 1 5 1 52) 5 155 → 5 x 2 1 ? 31 5 155 →
x 21
→ 5 x 2 1 5 155 5 5 → 5
5 5 → x 2151 → x 5 2
31
16 Obtenha x, de modo que 22x 1 2 2 3 ? 2x 1 2 5 16. x 5 2
Resolução:
22x 1 2 2 3 ? 2x 1 2 5 16 → 22x ? 22 2 3 ? 2x ? 22 5 16
Fazendo 2x 5 y, temos:
4y 2 2 12y 2 16 5 0 ou y 2 2 3y 2 4 5 0 → (y 2 4) ? (y 1 1) 5 0 → y 5 4 ou y 5 21
Para y 5 4, temos: 2x 5 4 5 22 → x 5 2 e,
para y 5 21, temos 2x 5 21. (impossível)
Portanto, x 5 2.
17 Resolva a equação 72x 5 8 ? 7x 2 7. S 5 {1, 0}
Resolução:
72x 5 8 ? 7x 2 7 → 72x 5 8 ? 7x 2 7
Fazendo 7x 5 y, temos:
y2 2 8y 1 7 5 0 → (y 2 7) ? (y 2 1) 5 0 → y 5 7 ou y 5 1
Para y 5 7, temos: 7x 5 7 → x 5 1 e,
para y 5 1, temos: 7x 5 70 → x 5 0.
 S 5 {0, 1}
2x 1 2y 5 20
18 Determine x e y, de modo que 
2
x1y
5 64
. x 5 2 e y 5 4 ou x 5 4 e y 5 2
Resolução:
 2x 1 2y 5 20
(I)
C.E.  x
y
(II)
 2 ? 2 5 64
De (I), temos: 2x 5 20 2 2y; substituindo em (II), obtemos:
(20 2 2y) ? 2y 5 64 → 22y 2 20 ? 2y 1 64 5 0
Fazendo 2y 5 a:
a 2 2 20 ? a 1 64 5 0 → (a 2 16) ? (a 2 4) 5 0 → a 5 16 ou a 5 4
Se a 5 16 → 2y 5 16 → 2y 5 24 → y 5 4. Daí, 2x 5 20 2 16 → x 5 2 ou
se a 5 4 → 2y 5 4 → 2y 5 22 → y 5 2. Daí, 2x 5 20 2 4 → x 5 4.
Portanto, x 5 2 e y 5 4 ou x 5 4 e y 5 2.
(6)
19 Seja ƒ uma função dada por f(x) 5 53x e k um número real, tal que f(k) 5 27. Determine f k . 3
Resolução:
f(x) 5 53x; f(k) 5 27
f(k) 5 53k 5 33 (i)
( )
3?
f k 55
6
k
6
5
6
53k
( )
Por (i), temos: 53k 5 33 → f k 5
6
6
33 5
3.
20 Resolva a equação 32x 1 3 2 32x 1 2 1 2 ? 32x 5 22x 1 5 2 22x 1 1. 1
2
Resolução:
32x 1 3 2 32x 1 2 1 2 ? 32x 5 22x 1 5 2 22x 1 1
32x ? 33 2 32x ? 32 1 2 ? 32x 5 22x ? 25 2 22x ? 2
32x ? (33 2 32 1 2) 5 22x ? (25 2 2)
32x ? 20 5 22x ? 30
( 32 )
2x
5 3 → 2x 5 1 → x 5 1
2
2
1
S5
2
{}
p. 34
21 Resolva as inequações:
a) 65x 2 3 , 62x 1 9 S 5 {x  V | x , 4}
b)
Resolução:
a) 65x − 3 , 62x 1 9 → base . 1
5x 2 3 , 2x 1 9 → 3x , 12 → x , 4
S 5 {x ∈ Vx , 4}
b)
271 x4
1
9
3x
m 1
3
3 (x 4)
( )
1
27
1
3
x14
2 (3 x)
3x 12 6 2x m 5x 6 m x 6
5
6
S x ; �| x 5
[
]
()
 1
9
32x
[
S x ; �| x v 6
5
m 0 base 1
]
22 Resolva:
a) 83x 1 2 2 162x 1 9 , 0 S 5 {x  V | x , 30}
( 254 )
b) 5 ?
x13
Resolução:
a)83x 1 2 2 162x 1 9 < 0
(23)3x 1 2 < (24)2x 1 9 → 29x 1 6 < 28x 1 36 → base . 1
9x 1 6 < 8x 1 36 → x < 30
S 5 {x ∈ Vx < 30}
[
 8 S x ; �| x 3
25
2
]
x3
b) 5 4
8
25
25
2 (x 3)
5 2
2 2
5
5
m 52 2
2x 6
2x 6 3 m 2x 3 m x 3
2
3
S x ; �| x 2
[
2
5
3
m 0 base 1
]
23 Obtenha x, de modo que 2x 1 3 1 2x 1 1 1 3  323. S 5 {x  V | x . 5}
Resolução:
2x 1 3 1 2x 1 1 1 3 . 323
26 ? 5
2x 1 3 1 2x 1 1 . 320 → 2x ? (23 1 2) . 26 ? 5 → 2x .
→ 2x . 25 → base . 1 → x . 5
2?5
S 5 {x ∈ Vx . 5}
24 Resolva: 32x 1 2 2 32x 1 1 1 32x  63. S 5 {x  V | x . 1}
Resolução:
32x 1 2 2 32x 1 1 1 32x . 63
32x ? (32 2 3 1 1) . 63 → 32x . 32 → base . 1
2x . 2 → x . 1
S 5 {x ∈ Vx . 1}
25 Resolva a inequação 3 ? (32x 1 3) > 28 ? 3x. S 5 {x  V | x < 1 ou x > 2}
Resolução:
3 ? (32x 1 3) > 28 ? 3x
32x 1 1 1 9 > 28 ? 3x → 32x ? 3 2 28 ? 3x 1 9 > 0
Fazendo a 5 3x:
3 ? a2 2 28a 1 9 > 0
zeros de f: 3 ? a 2 2 28a 1 9 5 0 → a 5
Estudando os sinais da função, temos:
�
28  28 2 2 108
→ a 5 9 e a 5 1
6
3
�
1
3
�
9
a 1 ou a 9, então: 3 x 1 m 3 x 31 m x 1 ou 3 x 9 m 3 x 32 m x 2
3
3
; S {x ; � | x 1 ou x 2}
26 Resolva a inequação 2 ? 32x > 3x 1 1. S 5 {x  V | x < 0}
Resolução:
2 ? 3−x > 3x 1 1 → 3x . 0; portanto:
2 ? 3x ? 3−x > 3x ? 3x 1 3x → 2 > 32x 1 3x → 32x 1 3x 2 2 < 0
Fazendo 3x 5 a:
a2 1 a 2 2 < 0
21  1 1 8
zeros de f: a 2 1 a 2 2 5 0 → a 5
→ a 5 1 e a 5 22
2
Estudando a variação de sinais, temos:
�
�
�2
�
1
22 < a < 1 → 22 < 3x < 30 → 3x . 22 (sempre verdadeiro)
3x < 30 → x < 0
Portanto, x < 0.
S 5 {x ∈ Vx < 0}
27 Resolva a inequação 4x 2 10 ? 2x 1 16 > 0. S 5 {x  V | x < 1 ou x > 3}
Resolução:
4x 2 10 ? 2x 1 16 > 0
22x 2 10 ? 2x 1 16 > 0
Fazendo 2x 5 a:
a2 2 10a 1 16 > 0
zeros de f: a 2 2 10a 1 16 5 0 → (a 2 8) ? (a 2 2) 5 0 → a 5 8 e a 5 2
Estudando a variação de sinais, temos:
�
�
2
�
8
a < 2 ou a > 8; então, temos: 2x < 2 → x < 1 ou 2x > 23
Portanto, x > 3.
S 5 {x ∈ Vx < 1 ou x > 3}