Sistemas_Lineares_

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
CURSO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR I
PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO
ALUNO: ________________________________________________________
SISTEMAS LINEARES:
 EQUAÇÃO LINEAR:
Chamamos de equação linear, nas incógnitas x1 , x2 , x3 , ... , x n , toda equação do tipo:
a1x1  a 2 x2  a3 x3  ...  a n x n  b .
Onde x1 , x2 , x3 , ... , x n são variáveis ou incógnitas; Os números a1 , a 2 , a3 , ..., a n todos números reais (para
nós, pois podem ser complexos), são chamados coeficientes das variáveis e b é o termo independente da
equação.
Exemplos:
a) 3 x1  2 x2  5 x3  4
b) 2 x1  x2  0
c) 0 x1  0 x2  0 x3  5
Observe que o item c temos uma equação impossível e no item b, temos uma equação homogênea ( o
termo independente é igual a zero).
Os exemplos abaixo não são equações lineares:
a) 3 x12  2 x 2  5 x3  4
b) 2 x1.x 2  x3  4
c) x1  x 2  x3  5
 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR:
Dizemos que a seqüência ordenada de números reais
1,  2 ,  3 ,..., n  é
uma solução da equação
linear a1x1  a 2 x2  a3 x3  ...  a n x n  b se a11  a 2  2  a3  3  ...  a n  n  b for uma sentença verdadeira.
Exemplo:
A seqüência (3, 0, –1, 4) é solução da equação 3 x1  2 x2  x3  2 x 4  2 , pois:
3 x 3 + 2 x 0 – (– 1) – 2 x 4 = 2.
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 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES OU SISTEMA LINEAR:
Chama-se Sistema Linear a qualquer conjunto de m equações lineares com n incógnitas, do tipo:
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1

a 21 x1  a 22 x 2    a 2n x n  b2






a m1 x1  a m 2 x 2    a m n x n  bm
OBS.: Se todos os termos independentes forem nulos, o sistema é chamado sistema linear homogêneo.
Dizemos que a seqüência ordenada de números reais
1,  2 ,  3 ,..., n  é uma solução do sistema se
satisfaz simultaneamente essas m equações.
Quanto ao número de soluções o sistema pode ser:
DETERMINADO (uma só solução)
COMPATÍVEL (tem solução)
INDETERMINADO (infinitas soluções)
INCOMPATÍVEL (não tem solução)
 SISTEMAS EQUIVALENTES:
Dois sistemas lineares são equivalentes se e só se, toda a solução de qualquer um deles é também
solução do outro.
Um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando nele se efetuam
apenas as operações elementares.
- Permutação de 2 equações.
- Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo (n  0)
- Substituição de uma equação por outra que é igual à sua soma com outra equação já multiplicada por
um escalar não nulo.
São equivalentes os sistemas
2 x  3 y  18



3 x  4 y  25
e
 4 x  6 y  36

, pois possuem a mesma solução


3 x  4 y  25
x = 3 e y = 4.
 SISTEMAS ESCALONADOS:
Dado um sistema linear S onde em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo, diremos
que S está na forma escalonada, se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo,
aumenta de equação para equação.
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Ex:
x  y  3z  1

yz4
a) 


2z  5

x  4 y  z  5
b) 

2y  z  0

 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA NA FORMA ESCALONADA:
1º) O número de equações é igual ao número de incógnitas:
Nesse caso é só ir descobrindo o valor de cada variável, equação por equação.
Ex.:
 x  2 y  z  3t  6

y  3 z  t  5


5 z  7t  21


2t  6

Logo,
Se 2t  6  t  3;
Se 5 z  7t  21 e t  3  z  0,
Se y  3 z  t  5, z  0 e t  3  y  2,
Se x  2 y  z  3t  6, y  2, z  0 e t  3  x  1
Portanto a solução é a seqüência (1, –2, 0, 3).
2º) O número de equações é menor que o número de incógnitas:
Se após estar escalonado, o número de equações é menor que o número de incógnitas, temos um
sistema indeterminado, ou seja, ele tem um número infinito de soluções.
Para resolvermos tal sistema devemos “transpor” todas as variáveis livres para o 2º membro. O novo
sistema obtido pode ser visto como sendo um sistema contendo apenas as variáveis do primeiro membro das
equações.
Ex.:

x  y  z  4
Variável livre: z.


 y z2
Logo, temos:
 x  y  4  z
; Considerando z  ,   R , encontramos: y  2   e x  6 .

 y  2  z
Então todas as soluções são do tipo 6, 2  ,  .
Portanto: S  6, 2  ,   /   R.
Para cada valor atribuído a  temos uma solução para o sistema.
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 ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA:
Escalonar um sistema linear significa transformá-lo em outro sistema linear equivalente, na forma
escalonada.
Para escalonarmos um sistema, temos que:
1º) Colocamos como sendo a 1ª equação, uma equação em que o coeficiente da primeira variável seja
diferente de zero.
2º) Anulamos o coeficiente da 1ª variável de todas as equações, menos da 1ª equação, substituindo a
i-ésima equação pela soma da mesma com a 1ª equação multiplicada por um número conveniente.
3º) Abandonamos a 1ª equação e aplicamos o 1º e 2º passos nas equações restantes, até o sistema ficar
escalonado.
Ex.:
x  2 y  z  9
x  2 y  z  9
x  2 y  z  9
x  2 y  z  9  x  1




y  z 5

y  z  5  y  3.
2 x  y  z  3    3 y  3 z  15  




3 x  y  2 z  4   7 y  5 z  31   7 y  5 z  31 
2z  4  z  2
Então a solução é a seqüência (1, 3, 2).
Logo: S = {(1, 3, 2)} .
EXERCÍCIOS:
1) Verifique se a seqüência (1, 1, –1, –1) é solução da equação 5.x1  10.x2  x3  2.x 4  0 :
2) Encontre uma solução para a equação linear 2 x  y  z  0, diferente da solução 0,0,0 :
3) Verificar se a seqüência (1, 0, –2, 1) é uma solução do sistema:
5 x1  3 x2  2 x3  4 x 4  5


2 x1  4 x2  3 x3  5 x 4  5


 x1  2 x2  5 x3  3 x 4  12
4) Um sistema pode ser escrito na forma matricial, por exemplo, o sistema
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1

a 21 x1  a 22 x 2    a 2n x n  b2
pode ser escrito na forma






a m1 x1  a m 2 x 2    a m n x n  bm
 a11 a12
a
 21 a 22
 


a m1 a m2
... a1n   x1   b1 
... a 2n   x2  b2 
.



    
    
... a m n   x n  bn 
x  2 y  z  9

Então, escreva o sistema 2 x  y  z  3 na forma matricial:

3 x  y  2 z  4
4
5) Resolva os sistemas abaixo:
x  y  z  0

a)  x  y  2 z  1

 x  2 y  z  4
2 x  y  z  0

b)  4 x  2 y  2 z  1

 x  2 y  z  4
 x1  2 x2  x3  x4  3 x5  6

2 x1  x2  2 x3  2 x4  x5  14

c)  x1  3 x2  x3
 2 x5  6

3 x1  2 x2  2 x3  3 x4  5

 x1  x2  x3  x4  x5  4
5