Lista 8 de Probabilidade 1

Probabilidade II
Lista 8 - Vetores Aleatórios
Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente. Dena as v.a's X : número
de caras nos dois lançamentos e Y : função indicadora de faces iguais nos dois lançamentos. Construa a
distribuição conjunta do vetor (X, Y ) e determine as marginais. As v.a's são independentes? Resposta:
A distribuição conjunta é:
Exercício 1.
0
1
2 P (Y = y)
0 1/2 0
1/2
1/4 0 1/4
1/2
P (X = x) 1/4 1/2 1/4
1
Y \X
0
1
Como P (X = 0, Y = 0) = 0 6= 1/8 = 1/4·1/2 = P (X = 0)·P (Y = 0), as variáveis não são independentes.
Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 3. Duas retiradas são feitas sem reposição. Dena as
variáveis X e Y como, respectivamente, o menor e o maior valor observado. Obtenha a distribuição conjunta
dessas variáveis e verique se são independentes. Repita o problema considerando retiradas com reposição e
considere X = Y se sair o mesmo número nas duas retiradas. Respostas:
Para o caso de retiradas sem reposição, a distribuição conjunta é:
Exercício 2.
1
2 P (Y = y)
2
2/6 0
2/6
3
2/6 2/6
4/6
P (X = x) 4/6 2/6
1
Y \X
Como P (X = 2, Y = 2) = 0 6= 4/36 = 2/6 · 2/6 = P (X = 2) · P (Y = 2), as variáveis não são
independentes.
Para o caso de retiradas com reposição, a distribuição conjunta é:
1
2
3 P (Y = y)
1/9 0
0
1/9
2/9 1/9 0
3/9
2/9 2/9 1/9
5/9
P (X = x) 5/9 3/9 1/9
1
Y \X
1
2
3
Como P (X = 1, Y = 1) = 1/9 6= 5/81 = 5/9 · 1/9 = P (X = 1) · P (Y = 1), as variáveis não são
independentes.
Sejam X e Y duas variáveis independentes com distribuição Geométrica de parâmetro p.
p
Determine P (X = Y ). Resposta: 2−p
.
Exercício 3.
Exercício 4.
A função de probabilidade conjunta do vetor (X, Y ), para 0 < p < 1/2, é dada por
(
p, x = ±1, y = 0
p(x, y) =
1 − 2p, x = 0, y = 1
Verique que E(XY ) = E(X)E(Y ), mas X e Y não são independentes. Resposta: Temos E(X) = 0,
E(Y ) = 1 − 2p e E(XY ) = 0; logo, E(XY ) = E(X)E(Y ). Porém, P (X = 0, Y = 0) = 0 6= 2p(1 − 2p) =
P (Y = 0) · P (X = 0); logo, as variáveis não são independentes.
Uma urna contém três bolas numeradas 1, 2 e 3. Duas bolas são retiradas sucessivamente
da urna, ao acaso e sem reposição. Seja X o número da primeira bola tirada e Y o número da segunda
bola tirada. Construa a distribuição conjunta do vetor (X, Y ). Calcule P (X < Y ). Repita o problema
considerando retiradas com reposição. Respostas:
Para o caso de retiradas sem reposição, a distribuição conjunta é:
Exercício 5.
1
1
2
3 P (Y = y)
0 1/6 1/6
2/6
1/6 0 1/6
2/6
1/6 1/6 0
2/6
P (X = x) 2/6 2/6 2/6
1
Y \X
1
2
3
Temos P (X < Y ) = 1/2.
Para o caso de retiradas com reposição, a distribuição conjunta é:
1
1
1/9
2
1/9
3
1/9
P (X = x) 3/9
Y \X
2
1/9
1/9
1/9
3/9
3 P (Y = y)
1/9
3/9
1/9
3/9
1/9
3/9
3/9
1
Temos P (X < Y ) = 1/3.
Duas linhas de produção fabricam um certo tipo de peça. Suponha que a capacidade (em
qualquer dia) seja de 5 peças na linha I e de 3 peças na linha II. Admita que o número de peças realmente
produzidas em qualquer linha seja uma v.a., cuja distribuição conjunta é dada por
Exercício 6.
Y \X
0
1
2
3
0
0
0,01
0,01
0,01
1
0,01
0,02
0,03
0,02
2
0,03
0,04
0,05
0,04
3
0,05
0,05
0,05
0,06
4
0,07
0,06
0,05
0,06
5
0,09
0,08
0,06
0,05
As v.a's X e Y são independentes? Calcule a probabilidade de que a linha I produza mais peças do que
a linha II. Respostas: como P (X = 0, Y = 0) = 0 6= (0, 03) · (0, 25) = P (X = 0) · P (Y = 0), as variáveis não
são independentes. Além disso, P (X > Y ) = 0, 75.
Exercício 7.
1
2
A densidade conjunta do vetor aleatório (X, Y ) é dada por f (x, y) = IA (x, y), onde
A = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
a) Obtenha as marginais e verique se X e Y são independentes. Respostas: as marginais são fX (x) =
1
2
2 I[−1,1] (x) e fY (y) = 1I[0,1] (y). Como fX (x) · fY (y) = f (x, y), ∀(x, y) ∈ R , segue que as v.a's são
independentes.
b) Obtenha a densidade condicional de Y dado que X > 0. Resposta: pela independência, segue que
fY |X (y|x) = fY (y); logo, fY |X (y|x > 0) = fY (y).
c) Determine a função de distribuição conjunta entre X e Y . Resposta: note que


0, x < −1
FX (x) = 21 (x + 1), −1 ≤ x ≤ 1


1, x > 1
e


0, y < 0
FY (y) = y, 0 ≤ y ≤ 1


1, y > 1.
Como X e Y são independentes, segue que
2


0, x < −1 ou y < 0
F (x, y) = FX (x) · FY (y) = 12 (x + 1)y, −1 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1


1, x ≥ 1 ou y ≥ 1
d) Calcule P (X + Y < 1/3) e P ( X
Y < 1). Respostas:
Z
1 Z −2/3
P (X + Y < 1/3) =
−1
0
e
P
Exercício 8.
X
<1
Y
1
dxdy +
2
0
Z
Z
= P (X < Y ) =
−1
0
1
Z
1 Z 1/3−y
0
−2/3
1
dydx +
2
Z
1
dxdy = 5/12
2
1Z y
0
0
1
dxdy = 3/4.
2
1
π
A densidade conjunta do vetor aleatório (X, Y ) é dada por f (x, y) = IA (x, y), onde
A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}.
√
a) Obtenha as marginais e verique se X e Y são independentes. Respostas: fX (x) = π2 1 − x2 I[−1,1] (x)
p
e fY (y) = π2 1 − y 2 I[−1,1] (y). Como fX (x) · fY (y) 6= f (x, y), concluímos que X e Y não são independentes.
b) Calcule E(X). Resposta:
Z
1
−1
2 p
2
x 1 − x2 dx =
.
π
3π
c) Determine a densidade condicional de X dado que Y = 1/2. Resposta: como fX|Y (x|y) = √ 1
segue que fX|Y (x|1/2) =
2
√
3
√
√
3 I[− 3/2, 3/2] (x).
d) Calcule P (X 2 + Y 2 ≤ 1/2). Resposta:
Exercício 9.
I √1−y2 ,√1−y2 ]
1−y 2 [−
Z
1
−1
Z √1−y2
−
√
1−y 2
1
1
dxdy = .
π
4
A função de distribuição conjunta do vetor aleatório (X, Y ) é dada por


0, x < 0 ou y < 0 ou x ≥ y



 2x2 y2 −x4 , 0 ≤ x < y, 0 ≤ y < 2
16
F (x, y) = 8x2 −x
4


16 , 0 ≤ x < 2, y ≥ 2


1, x ≥ 2, y ≥ 2, x < y
a) Obtenha a densidade conjunta entre X e Y . Resposta: f (x, y) =
b) Obtenha as marginais de X e Y . Respostas: fX (x) = x =
xy
2 I[0,y) (x)I[0,2) (y).
x3
4 I[0,2] (x)
e fY (y) =
y3
4 I[0,2] (y).
c) Obtenha as funções de distribuição marginais de X e Y . Respostas: as funções de distribuição marginais
são:


0, x < 0
2
4
FX (x) = x2 − x16 , 0 ≤ x < 2


1, x ≥ 2
e


0,4 y < 0
FY (y) = y16 , 0 ≤ y < 2


1, y ≥ 2.
3
Exercício 10.
Para quais valores de α, a função abaixo é uma densidade?
f (x, y) = [1 − α(1 − 2x)(1 − 2y)]I(0,1) (x)I(0,1) (y).
Resposta: devemos ter
Z
1Z 1
[1 − α(1 − 2x)(1 − 2y)]dxdy = 1.
0
0
Daí segue que α = 0.
Exercício 11.
A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é dada por
f (x, y) = k[1 + xy(x2 − y 2 )]I(−1,1) (x)I(−1,1) (y).
Calcule P (X > 0|Y > 0).
A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é dada por f (x, y) = kI(0,y) (x)I(0,1) (y). Obtenha
as marginais. Calcule P (X < 1/2, Y > 1/3). Respostas: as marginais são: fX (x) = 2(1 − x)I[0,1] (x) e
fY (y) = 2yI[0,1] (y). Assim,
Exercício 12.
Z
1
Z
1/3
P (X < 1/2, Y > 1/3) =
Z
1/2 Z 1
2dxdy +
1/3
2dydx = 21/36.
0
1/3
x
A densidade do vetor (X, Y ) é dada por f (x, y) = e−(x+y) I(0,∞) (x)I(0,∞) (y). Determine a
função de distribuição conjunta entre as v.a's X e Y e calcule P (X ≤ 2, Y ≤ 1) usando esta função.
Exercício 13.
A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é f (x, y) = 21 xyI(0,2) (x)I(0,x) (y). Obtenha as marginais
e verique se as v.a's são independentes. Calcule P (1 < X < 2, 1 < Y < 2). Respostas: as marginais são:
3
3
fX (x) = x4 I(0,2) (x) e fY (y) = (y − y4 )I(0,2) (y). Como fX (x) · fY (y) 6= f (x, y), segue que X e Y não são
independentes. Agora,
Exercício 14.
2Z 2
Z
P (1 < X < 2, 1 < Y < 2) =
1
y
1
9
xydxdy = .
2
16
A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é f (x, y) = 8xyI{0<x<y<1} (x, y). Obtenha as marginais
e calcule P (X > 1/2|Y < 3/4). Resposta: as marginais são: fX (x) = 4x(1 − x2 )I(0,1) (x) e fY (y) =
4y 3 I(0,1) (y). Agora,
Exercício 15.
Z
3/4 Z y
8xydxdy
1/2
P (X > 1/2|Y < 3/4) =
Z
1/2
3/4
4y 3 dy
=
25
.
81
0
A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é f (x, y) = 18 (6 − x − y)I(0,2) (x)I(2,4) (y). Obtenha
as marginais. Obtenha as densidades condicionais de X dado Y e de Y dado X . Calcule P (Y − X < 1).
Resposta: as marginais são: fX (x) = 81 (6 − 2x)I(0,2) (x) e fY (y) = 18 (10 − 2y)I(2,4) (y). As densidades
6−x−y
condicionais são: fX|Y (x|y) = 6−x−y
10−2y I(0,2) (x)I(2,4) (y) e fY |X (y|x) = 6−2x I(0,2) (x)I(2,4) (y). Finalmente,
Exercício 16.
Z
3Z 2
P (Y − X < 1) =
2
Exercício 17.
y−1
1
1
(6 − x − y)dxdy = .
8
8
O vetor (X, Y, Z) tem densidade conjunta dada por
f (x, y, z) =
1
[4(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) + 7], x, y, z ∈ [0, 1].
16
4
O que pode ser dito da independência de X , Y e Z ? Calcule P (X ≤ 1/2, Y > 1/3). Respostas: as
marginais são fX (x) = 41 (2x + 3)I[0,1] (x), fY (y) = 14 (2y + 3)I[0,1] (y) e fZ (z) = 14 (2z + 3)I[0,1] (z). Como
f (x, y, z) 6= fX (x) · fY (y) · fZ (z), as v.a's não são independentes. Agora,
1Z 1
Z
1/2
Z
P (X ≤ 1/2, Y > 1/3) =
0
Exercício 18.
1/3
0
13
1
[4(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) + 7]dxdydz = .
16
48
A função de distribuição conjunta do vetor (X, Y ) é dada por


0, x < 0 ou y < 0



1 2
2


 6 (x y + xy ), 0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 1
F (x, y) = 16 (x2 + x), 0 ≤ x < 2, y ≥ 1


1
2



3 (2y + y ), x ≥ 2, 0 ≤ y < 1


1, x ≥ 2, y ≥ 1
determine o valor esperado de X + Y − 2XY . Resposta: derivando F (x, y) em relação à x e depois
em relação à y , encontramos a densidade do vetor: f (x, y) = x+y
3 I[0,2) (x)I[0,1) (y). Logo, as marginais são
1
1
5
fX (x) = 3 (x + 1/2)I[0,2) (x) e fY (y) = 3 (2 + 2y)I[0,1) (y). Dessa forma, E(X) = 11
9 e E(Y ) = 9 . Agora, seja
W = XY . Precisamos da distribuição de W :
Z
1Z w
P (W ≤ w) = P (XY ≤ w) =
0
0
x+y
dxdy +
3
Z
2 Z w/x
w
0
x+y
w2
dydx = w −
.
3
4
Portanto,


0, w < 0
2
FW (w) = w − w4 , 0 ≤ w < 2


1, w ≥ 2;
logo, fW (w) = (1 −
E(X) + E(Y ) − 2E(XY
Exercício 19.
w
2 )I[0,2) (w).
) = 49 .
Finalmente, E(XY ) = E(W ) =
2
3
e então E(X + Y − 2XY ) =
Considere um experimento com m possíveis resultados, cada um com probabilidade pi ≥ 0,
i = 1, 2, . . . , m e
m
X
pi = 1. Esse experimento é repetido n vezes de forma independente e observamos as
i=1
X1 , X2 , . . . , Xn ,
v.a's
que correspondem ao número de ocorrências de cada um dos possíveis resultados dessas
repetições. O vetor aleatório (X1 , X2 , . . . , Xn ) segue o modelo multinomial com função de probabilidade
conjunta dada por
P (X1 = k1 , . . . , Xn = kn ) =
com
n
X
i=1
pi = 1 e
n
X
n!
pk1 · · · pknn ,
k1 ! · · · kn ! 1
ki = n, ki ∈ N, 0 ≤ ki ≤ n.
i=1
a) Para 10 lançamentos independentes de um dado honesto, calcule a probabilidade de sair 2 faces 1, 5
faces 4 e 3 faces 6. Resposta: fazendo Xi = número de vezes que ocorre a face i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6,
então
P (X1 = 2, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 5, X5 = 0, X6 = 3) =
10!
2!5!3!
1
6
10
∼
= 0, 00004.
b) Para 20 lançamentos independentes de uma moeda honesta, calcule a probabilidade de sair 9 caras e 11
coroas. Resposta: fazendo X1 = número de vezes que ocorre cara e X2 = número de vezes que ocorre coroa,
então
20!
P (X1 = 9, X2 = 11) =
9!11!
5
1
2
20
∼
= 0, 16.
Exercício 20.
A função de densidade conjunta do vetor (X, Y ) é dada por
f (x, y) = e−(x+y) I[0,∞) (x)I[0,∞) (y).
Determine a densidade da v.a. W = 2X + Y . Resposta: temos:
Z
z
z−y
2
Z
P (2X + Y ≤ z) =
0
e−(x+y) dxdy = 1 + e−z − 2e−z/2 .
0
Logo, FZ (z) = (1 + e−z − 2e−z/2 )I[0,∞) (z). Derivando, obtemos fZ (z) = (e−z/2 − e−z )I[0,∞) (z).
Sejam X e Y v.a's independentes com mesma distribuição exponencial de parâmetro λ.
Mostre que a v.a. W = X + Y tem distribuição Gama com parâmetros α = 2 e β = λ. Resposta: temos:
Exercício 21.
Z
w
w−x
Z
λ2 e−λ(x+y) dydx = 1 − e−λw − λe−λw .
P (X + Y ≤ w) =
0
0
Logo, FW (w) = (1 − e−λw − λe−λw )I[0,∞) (w). Derivando, obtemos fW (w) = (λ2 we−λw )I[0,∞) (w). Portanto, W ∼ Gama(2, λ).
Exercício 22.
A densidade conjunta do vetor (X, Y ) é dada por
1
f (x, y) = (x + y)I(0,2] (x)I(0,1] (y).
3
Obtenha a densidade da v.a. W = X + Y . Resposta: temos 5 casos a considerar:
• 0 < w ≤ 1:
w
Z
Z
w−y
P (W ≤ w) =
0
0
1
w3
(x + y)dxdy =
.
3
9
• 1 < w ≤ 2:
1 Z w−y
Z
P (W ≤ w) =
0
1−y
1
1
(x + y)dxdy = (w2 − 1).
3
6
• 2 < w ≤ 3:
Z
w−1 Z 1
P (W ≤ w) =
1
2−x
1
(x + y)dydx +
3
Z
2
w−1
Z
w−x
2−x
1
−w3 w2 10
(x + y)dydx =
+
− .
3
9
2
9
• w < 0: P (W ≤ w) = 0.
• w > 3: P (W ≤ w) = 0.
Logo,


0, w < 0



w3


 9 , 0≤w<1
FW (w) = 16 (w2 − 1), 1 ≤ w < 2


−w3
w2
10



9 + 2 − 9 , 2≤w <3


1, w ≥ 3
Derivando FW (w), obtemos
fW (w) =
 2
w


3 , 0≤w <1


w, 1 ≤ w < 2
3
w(3−w)

, 2≤w<3

3


0, c.c.
6
Sejam X e Y v.a's independentes com mesma distribuição U [0, 1]. Determine a distribuição
da v.a. W = X/Y .
Exercício 23.
Suponhamos que temos um circuito no qual tanto a corrente I , como a resistência R sejam
v.a's contínuas independentes com as seguintes densidades:
Exercício 24.
fI (i) = 2iI[0,1] (i) e fR (r) =
r2
I (r).
9 [0,3]
Determine a densidade da v.a. E = IR (tensão no circuito). Resposta: fW (w) =
1
I
(w).
2w2 (1,∞)
1
2 I(0,1] (w)
+
O vetor (X, Y ) tem densidade conjunta dada por f (x, y) = 4xyI[0,1] (x)I[0,1] (y). Encontre a
densidade da v.a. W = XY . Resposta: fW (w) = −4w ln(w)I(0,1) (w).
Exercício 25.
7