Um Estudo Teórico para Generalização do Método de

Mecânica das Rochas para Recursos Naturais e Infraestrutura
SBMR 2014 – Conferência Especializada ISRM 09-13 Setembro 2014
© CBMR/ABMS e ISRM, 2014
Um Estudo Teórico para Generalização do Método de Coates a
3D e sua Aplicação em Otimização da Recuperação na Lavra por
Câmaras e Pilares
Henrique Hermano de Oliveira Lara
Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, Brasil, [email protected]
Rodrigo Peluci de Figueiredo
Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, Brasil, [email protected]
RESUMO: Ainda hoje, a maneira mais comumente utilizada para se calcular a tensão média atuante
em pilares é por meio da Teoria da Área Tributária (TAT), sabidamente conservadora. Apresentarse-á neste artigo uma solução analítica alternativa, para determinação dessa tensão de maneira mais
realista. Trata-se de uma generalização do método de Coates (1965) para três dimensões. Tal
método leva em consideração vários fatores não contemplados pela TAT: as dimensões finitas do
painel de lavra; a deformabilidade elástica dos pilares e encaixantes e, finalmente, as tensões in situ.
Tais fatores tornam a análise da tensão atuante nos pilares mais acurada, permitindo, assim,
dimensioná-los mais corretamente e, consequentemente, praticar recuperações maiores. Aliada a
essa generalização, é utilizada uma nova metodologia de dimensionamento, na qual um problema
de Programação Matemática Não-linear é formulado com o objetivo de maximizar a recuperação,
levando em consideração, ao mesmo tempo, restrições geomecânicas, de segurança e requisitos
tecnológicos/operacionais. Pôde-se concluir que a generalização do Método de Coates para três
dimensões, associada a essa nova metodologia, permite dimensionar arranjos de lavra com
recuperações que superam bastante as obtidas pela metodologia convencional, utilizando a TAT.
PALAVRAS-CHAVE: Câmaras e Pilares, Teoria da Área Tributária, Método de Coates,
Otimização de Recuperação na Lavra, Programação Matemática Não-linear.
1
INTRODUÇÃO
Ainda hoje, dimensionam-se vãos e pilares em
minas subterrâneas, por tentativa e erro,
definindo-se um arranjo no qual a estabilidade
dos pilares seja garantida por um fator de
segurança (FS) previamente arbitrado. Para um
dado arranjo, calculam-se as tensões médias
atuantes nos pilares, pela Teoria da Área
Tributária (TAT), e a resistência dos mesmos
por alguma fórmula empírica existente (Brady e
Brown, 2004). Caso o FS seja satisfeito, a
recuperação obtida é uma mera decorrência do
arranjo geométrico resultante, não sendo
geralmente a máxima possível (Figueiredo e
Curi, 2004).
Uma metodologia de dimensionamento
alternativa, na qual a recuperação é a funçãoobjetivo de um problema de programação
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matemática não-linear, que foi originalmente
proposta por Figueiredo e Curi (2004), é
adotada neste trabalho. As restrições à
maximização da recuperação são geomecânicas
(manutenção da estabilidade de pilares e vãos) e
condicionantes tecnológicos/operacionais.
No cálculo dos pilares, a TAT não leva em
conta características como a dimensão do painel
de lavra, posição dos pilares, deformabilidade
elástica de pilares e encaixantes e as tensões in
situ, resultando, por isso mesmo, sempre
conservadora (Jaeger e Cook, 1979). Neste
trabalho é proposta uma nova solução analítica
aproximada para determinação da tensão nos
pilares (Figueiredo, 2013), que contempla tais
fatores. Baseia-se numa generalização do
método de Coates (1965) para três dimensões,
que, ao considerá-los, permite uma análise bem
mais acurada da tensão atuante nos pilares. Isso,
invariavelmente, resulta em dimensionar
arranjos de lavra com maiores recuperações.
2
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES
MÉDIAS NO PILAR: ÁREA TRIBUTÁRIA X
MÉTODO DE COATES
2.1
Teoria da Área Tributária (TAT)
Dentre as hipóteses para se determinar a tensão
média em pilares, esta é a mais conservadora e
simplista. Baseia-se em simples considerações
de equilíbrio estático na direção vertical (Brady
e Brown, 2004).
Para se analisar, por meio da TAT, pilares
em carregamento uniaxial, podem-se considerar
as geometrias mostradas na Figura 1.
Imaginando-se que há um elevado número n
de subunidades constituídas por pilares e vãos
adjacentes (Figura 1), ter-se-á que as áreas dos
pilares Ap e totais AT são dadas, para pilares
quadrados, respectivamente, por Ap  n W p  e
2
AT  n W p  Wo  .
2
Analogamente, para pilares retangulares:
Ap  n W p Lp  e AT  n Wo  W p Lo  Lp  .
Da mesma forma, tem-se para rib pillars, que:
Ap  n W p  e AT  n Wo  W p  . De maneira
geral, a recuperação em qualquer caso pode ser
expressa por: R  ( AT  Ap ) / AT  1  Ap / AT .
De acordo com a TAT, a tensão média em
um pilar (  p ) é dada por:
 AT   V


A
p
  1 R
 p   V 
(1)
A expressão acima, onde  V é a tensão
vertical in situ, representa simplesmente o
equilíbrio de forças na direção vertical, no qual
a reação do pilar iguala o peso da coluna de
rocha tributária sobrejacente, e mostra que a
tensão no pilar tende ao infinito quando R se
aproxima de 1 (um).
Portanto, as tensões médias nos pilares
quadrados, retangulares e rib-pillars, indicados
na Figura 1, são dadas, respectivamente, por
(Figueiredo e Curi, 2004):
 p  V
 p  V
 p  V
Figura 1. Arranjo uniforme de pilares: (a) - seção
quadrangular em planta; (b) - seção retangular (c) - ribpillars (Figueiredo e Curi, 2004).
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W
 Wp 
2
o
Wp
W
o
W
2
 W p Lo  Lp 
W p Lp
 Wp 
Wp
o
(2)
(3)
(4)
Jaeger e Cook (1979) demonstraram que
essas tensões médias fornecidas pela TAT
representam um limite superior para as cargas
atuantes nos pilares. Rigorosamente, aplica-se a
um caso hipotético em que as dimensões do
painel de lavra seriam infinitas.
2.2
Método de Coates (1965)
A TAT não leva em consideração propriedades
geométricas como: extensão ou comprimento
(finito) do painel de lavra, a altura dos pilares e
localização dos mesmos dentro do painel.
Características
geomecânicas
como
a
magnitude da tensão horizontal (  H , paralela
ao corpo de minério) e os módulos de
deformabilidade das rochas encaixantes e dos
pilares também são ignoradas (Coates, 1965).
Para incluir o efeito dessas características no
problema, Coates (1965) propôs uma solução
baseada nas deflexões elásticas das escavações
de lavra.
Segundo Coates (1965), a deflexão total nos
pilares resultante da lavra,  p , e o aumento da
tensão
nos
mesmos
são
diretamente
proporcionais. As componentes dessa deflexão
podem ser consideradas como:
(i) a deflexão para dentro (convergência) devido
à escavação completa do painel, isto é,
correspondente a uma recuperação de 100%,
somada à deflexão devida à compressão do
maciço pelas tensões in situ  e (Figura 2);
Ressalta-se que a deflexão supracitada acontece
na vertical, embora seja a "resposta" a uma
extensão horizontal (efeito de Poisson), por
eliminação do confinamento lateral;
(iii) a deflexão reversa (divergência no sentido
contrário à deflexão (i)) das encaixantes, δ’, que
resulta duma tensão média, devida à reação de
todos os pilares, distribuída uniformemente
(Figura 4);
Figura 4. Deflexão reversa (divergência - ') das rochas
encaixantes devida à média da reação nos pilares
(adaptada de Coates, 1965).
(iv) a deflexão reversa (divergência), n, devida
ao puncionamento dos pilares nas encaixantes,
que se associa a uma concentração local da
tensão média considerada em (iii) (Figura 5).
Figura 5. Deflexão reversa (n) devida ao puncionamento
dos pilares nas rochas encaixantes (adaptada de Coates,
1965).
Figura 2. Deflexão para dentro (convergência - e) devida
à escavação completa do painel (adaptada de Coates,
1965).
(ii) a deflexão, associada a um efeito de
Poisson,  r , que é causada pela eliminação do
confinamento lateral dos pilares (Figura 3).
Considerando-se expressões da Teoria da
Elasticidade em deformação plana (Jaeger e
Cook, 1979), para todas essas componentes da
deflexão total e que cada qual produz
acréscimos correspondentes de tensão nos
pilares, os quais podem ser simplesmente
superpostos, Coates (1965) deduziu uma
expressão para o acréscimo total de tensão,
 p , em rib-pillars (Fig. 1(c)), que pode ser
colocada genericamente como:
 p  (CC ) V
Figura 3. Deflexão devida à eliminação do confinamento
lateral dos pilares (r) - adaptada de Coates (1965).
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(5)
onde  V é novamente a tensão vertical in
situ e CC é uma expressão que depende de
características geométricas e mecânicas do
problema, podendo ser vista no Anexo 1.
A tensão média total no pilar (  p ) é dada,
pois, simplesmente pela soma de  p com  V :
 p   V   p
(6)a
com  V  z , sendo  o peso específico
médio das rochas sobrejacentes e z a
profundidade.
Portanto, tendo em vista a Eq. (5), a tensão
média total no pilar vale, finalmente:
 p   V 1  CC 
(6)b
3 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE
COATES PARA 3D
Como já foi mencionado, as expressões (5) e
(6), deduzidas por Coates (1965), são relativas a
pilares 2D (rib-pillars - Fig. 1(c)), sendo essa a
sua principal limitação para uso prático.
Hoek e Brown (1980) apresentaram um
simples argumento de superposição de efeitos,
totalmente válido para que se obtenha uma
generalização do método de Coates (1965) para
3D. Tal argumento de superposição está
ilustrado na Figura 6. No caso, as tensões
atuantes em dois pilares 2D, perpendiculares
entre si, poderiam ser simplesmente somadas,
considerando-se as respectivas direções, para
que se obtenha a tensão resultante num pilar
3D, quadrangular ou retangular, formado pela
interseção de ambos (Fig. 6).
Figura 6. (a) Distribuição de tensão em um rib pillar
norte-sul, devido à interação dos campos de tensões das
aberturas que o ladeiam; (b) idem a (a) para a direção
leste-oeste; (c) distribuição da tensão em um pilar 3D
quadrangular, ladeado por aberturas norte-sul e lesteoeste, obtida por simples superposição (Hoek e Brown,
1980).
Considerando válido o argumento de
superposição apresentado por Hoek e Brown
(1980) - perceba-se que a solução analítica de
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Coates (1965) é derivada da elasticidade linear
e, portanto, vale o Princípio da Superposição
dos Efeitos (Chou e Pagano, 1992) - Figueiredo
(2013) propôs, com base no mesmo, uma
elegante generalização do método de Coates
(1965) para 3D. Tal generalização permite
determinar as tensões atuantes em pilares
quadrangulares e/ou retangulares como aqueles
mostrados nas Figs. 1(a) e 1(b). Tais tensões
são bem mais acuradas que as fornecidas pela
TAT (item 2.1), permitindo, assim, dimensionar
melhor os pilares e, consequentemente, praticar
recuperações maiores na lavra. Na sequência
será apresentada essa solução generalizada a 3D
para pilares quadrados ou retangulares.
3.1
Pilares e Painéis Quadrados/Retangulares
Considere-se uma lavra 1, no sentido leste-oeste
(Fig. 7). Pela Eq. 6(a) a tensão atuante nos ribpillars 2D para tal lavra seria:
 p1   V   p1
(7)
sendo  p   V (CC1) , na qual CC1 é o termo
CC (da Eq. (5)) para as respectivas condições,
dimensões e número de pilares/vãos específicos
da lavra 1, que se está considerando.
1
Figura 7. Rib-pillars de comprimento infinito na direção
leste-oeste (lavra 1): L1 é a largura do painel; Wp1 é a
largura do pilar e Wo1 o vão das aberturas.
Considere-se, agora, uma lavra 2 no sentido
norte-sul (perpendicular à lavra 1 - Figura 8). A
tensão nos rib-pillars será dada por:
 p 2   V   p 2
(8)
com  p   V (CC 2) , na qual CC2 é o valor
de CC para as condições/dimensões e número
de pilares/vãos específicos da lavra 2.
Imaginemos, no entanto, que a lavra 2 fosse
realizada após a lavra 1, gerando pilares 3D
(quadrangulares ou retangulares) conforme se
observa na Figura 9. Note-se que, quando a
lavra 2 vier a ser realizada, já estará atuando
1
sobre os pilares uma tensão  p , decorrente da
lavra 1 que a precedeu. Daí, o incremento de
tensões "acumulado", em razão da superposição
dos efeitos (Chou e Pagano, 1992), será:
2
 p
1 2
que é a expressão final proposta por Figueiredo
(2013) para as tensões nos pilares retangulares
(dimensões W p1  W p2 em planta) ilustrados na
Figura 9.
De posse da solução analítica expressa pela
Eq. (10), foram comparados os seus resultados
com aqueles fornecidos pela TAT, variando-se
alguns parâmetros que figuram nos termos CC.
Observam-se os resultados nas Figuras 10, 11 e
12.
  p (CC 2)  ( V   p )(CC 2) 
1
1
 V (CC 2)   p1 (CC 2)   V (CC 2) 
(9)
 V (CC1)(CC 2)   V (CC 2)(1  CC1)
Figura 9. Arranjo obtido com a realização da lavra 2 após
já ter sido realizada a lavra 1.
Figura 8. Rib pillars de comprimento infinito na direção
norte-sul (lavra 2): L2 é a largura do painel; Wp2 é a
largura do pilar e Wo2 o vão das aberturas.
A tensão final atuante nos pilares 3D da
1 2
lavra mostrada na Figura 9 (  p ) será então
dada por:
 p1 2   p1   p1 2   V   p1   p1 2 
 V   V (CC1)   V (CC 2)   V (CC1)(CC 2)

 p1 2   V (1  CC1  CC 2  CC1CC 2)
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(10)
Figura 10. Variação da tensão no pilar para diferentes
recuperações.
Observa-se nas referidas figuras que, para
uma ampla faixa dos parâmetros envolvidos no
problema, a tensão nos pilares calculada a partir
da generalização do método de Coates para 3D
é sempre menor que aquela calculada a partir da
TAT. Tal resultado é totalmente consistente
com o que seria esperado, em face da natureza
extremamente conservadora dessa última
(Jaeger e Cook, 1979). Adicionalmente, cabe
também mencionar um importante aspecto: o de
que a generalização do método de Coates, aqui
apresentada, constitui, na realidade, um limite
superior para o valor das tensões médias e,
portanto, é a favor da segurança (Figueiredo,
2013).
Figura 11. Variação da tensão no pilar para diferentes
valores da razão entre as tensões principais in situ (K =
tensão horizontal/tensão vertical).
Figura 12. Variação da tensão no pilar para diferentes
valores da razão entre os parâmetros de elasticidade da
rocha encaixante (M) e do pilar (Mp) - ver Anexo 1 para
definição desses parâmetros.
Sendo assim, justifica-se plenamente o seu
uso com o objetivo de dimensionar pilares de
maneira mais acurada, propiciando a obtenção
de recuperações mais elevadas nos projetos de
lavra.
Apenas a título ilustrativo apresenta-se aqui,
uma única validação da Eq (10), dentre as
várias que foram realizadas por Lara (2013) e
Figueiredo (2013). Trata-se de uma comparação
entre os resultados da solução analítica e de
análises numéricas obtidos pelo Método das
Descontinuidades de Deslocamentos (Crouch e
Starfield, 1983) - utilizando o software
EXAMINE-Tab da RocScience. A Fig. 13
apresenta os resultados numéricos para uma
dada situação, cujos dados de entrada estão
mostrados na tela do software. Salienta-se,
apenas, que o módulo de elasticidade do pilar é
a metade do módulo da rocha encaixante e H =
3V (isto é, K = 3 - Fig. 11). Percebe-se que os
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valores
máximos
de
tensão
obtidos
numericamente ficam numa isofaixa de 26 a 28
MPa, enquanto a solução analítica fornece uma
tensão média de 28.30 MPa, só ligeiramente a
favor da segurança. Vale ressaltar que a TAT
fornece um valor de 46.94 MPa para tal tensão
(excepcionalmente conservador). É oportuno
ainda mencionar que situações como a
apresentada, com painéis finitos (pequeno
número de pilares/vãos), são justamente aquelas
onde a TAT leva a maiores erros.
4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO
DE COATES GENERALIZADO PARA 3D
Tratou-se o dimensionamento de uma lavra por
câmaras e pilares como sendo um problema de
otimização, via programação matemática nãolinear, implementando-se o método de Coates
3D para o cálculo da tensão nos pilares.
Em tal abordagem, o dimensionamento é
formulado como um problema padrão de
Programação Matemática, no qual o objetivo é
maximizar a recuperação, buscando, todavia,
satisfazer às restrições impostas à mesma por
questões
operacionais,
tecnológicas
e
geomecânicas. Tal formulação garante que a
recuperação alcançada seja sempre a máxima
possível diante das restrições existentes
(Figueiredo e Curi, 2004).
Figura 13. Análise numérica para pilares quadrangulares
num painel finito: tensão máxima entre 26 e 28 MPa,
representada pela isofaixa de cor vermelha. A tensão
fornecida pela generalização do método de Coates para
3D é de 28.30 MPa (contra 46.94 MPa pela TAT).
Lara (2013) estudou alguns casos de minas
reais. Dentre esses, analisou uma mina de
manganês onde atualmente se está reavaliando
o arranjo de lavra. Os dados de entrada foram:
propriedades mecânicas do corpo de minério e
de suas rochas encaixantes e a geometria de
lavra. Foram realizadas comparações entre a
recuperação praticada (real) e a que seria
atingida com o redimensionamento pelo método
de Coates generalizado para 3D, considerando
diferentes números de pilares. Dessa forma,
pôde-se observar qual seria o ganho de
recuperação ao longo do desenvolvimento da
lavra. Percebe-se na Tabela 1 e na Figura 14 o
ganho de recuperação que seria possível com a
utilização da metodologia de dimensionamento
aqui adotada.
Tabela 1. Ganho de recuperação com a utilização do
método de Coates generalizado para 3D, associado à
metodologia de dimensionamento otimizado via
programação não-linear para uma mina de manganês.
Mina de Manganês
n
n
n
n
n
10
25
50
100
200
Resultados Obtidos
Recuperação Praticada 46,5% 44,9% 44,3% 44,4% 43,9%
Recuperação Otimizada 74,0% 72,0% 71,0% 71,0% 71,0%
Ganho de Recuperação 27,5% 27,1% 26,7% 26,6% 27,1%
Variável
Número de Pilares
Figura 14. Ganho de recuperação com a utilização do
método de Coates generalizado para 3D, associado à
metodologia de dimensionamento otimizado via
programação não-linear para uma mina de manganês.
4 CONCLUSÕES
Observou-se que as tensões médias em pilares
calculadas a partir do método de Coates (1965)
generalizado para 3D são menores e bem mais
realistas que as fornecidas pela Teoria da Área
Tributária (TAT) - vide validação apresentada
na Fig. 13.
A generalização do método de Coates para
3D, proposta por Figueiredo (2013), é uma
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solução analítica bastante simples, que pode ser
facilmente aplicada nas análises preliminares
em projetos de lavra subterrânea por câmaras e
pilares (por exemplo, implementada em
planilhas eletrônicas). A sua incorporação a
uma metodologia de dimensionamento ótimo,
via programação matemática não-linear,
permite maximizar a recuperação, de forma
bastante eficaz, e ainda garantir que não sejam
superadas as resistências dos pilares, o que, por
sua vez, contribui para a segurança das
operações de produção (Lara, 2013).
Sendo assim, foi possível estabelecer um
método racional para se determinarem tensões
mais realistas em pilares e associá-lo a uma
metodologia de dimensionamento eficaz e
rigorosa, o que permite elaborar projetos com
recuperação maximizada e ainda manter fatores
de segurança aceitáveis.
REFERÊNCIAS
Brady B. e Brown, E. (2004) Rock Mechanics for
Underground Mining. 3rd ed., Dordrecht, Kluwer,
628 p.
Chou, P. C. e N. J. Pagano (1992) Elasticity - Tensor,
Dyadic and Engineering Approaches. New York,
Dover, 290 p.
Coates, D. F. (1965) A new hypothesis for the
determination of pillar loads. PhD Thesis in Mining
Engng., McGill University, 287 p.
Crouch, S. L. e A. M. Starfield (1983). Boundary
Element Methods in Solid Mechanics. London,
George Allen & Unwin, 322 p.
Figueiredo, R. P. de (2013). Comunicação Pessoal. Ouro
Preto (MG), 6 p.
Figueiredo, R. P. e Curi, A. (2004). Dimensionamento
ótimo de painéis, câmaras e pilares com
programação não-linear. Anais do I SIAEM (I
Simpósio Ibero Americano de Engenharia de Minas),
São Paulo, pp 565-573.
Hoek, E. e Brown, E. T. (1980) Underground
Excavations in Rock. . London, IMM, 527p.
Jaeger, J. C. e N. G. W. Cook (1979) Fundamentals of
Rock Mechanics. 3rd ed., London: Chapman-Hall,
593 p.
Lara, H. H. O. (2013) Otimização de recuperação na
lavra por câmaras e pilares, via programação nãolinear, aplicando o método de Coates generalizado
para 3D. Monografia de Graduação em Engenharia
de Minas, Universidade Federal de Ouro Preto, 42p.
ANEXO 1:
A expressão de CC que comparece nas eqs. (5),
(6), (9) e (10) é dada por (Coates, 1965):
CC 
2 R  Kh(1   )   p KNh
,
Nh  2(1  R )(1  1 / n )  2 Rb(1   ) / 
onde,
N
Wp

H
M
; h
; b
; K H ;
L
L
V
Mp
M
E
;
(1   2 )
p 
p
,
(1   p )
Mp 
Ep
(1   p )
2
;


(1   )
;
com,
Ep = Módulo de Elasticidade dos pilares;
p = Coeficiente de Poisson dos pilares;
E = Módulo de Elasticidade das encaixantes;
 = Coeficiente de Poisson das encaixantes;
H = espessura do minério (= altura dos pilares,
Fig. A1);
L = largura total do painel de lavra (Fig. A1);
Wp = largura dos pilares (Fig. A1);
n = número total de pilares no painel (Fig. A1);
R  1  Ap / AT  1  nW p / ( n  1)Wo  nW p  é a
recuperação na lavra, que é uma função das
dimensões dos vãos e pilares (Fig. A1);
Wo = largura dos vãos (Fig. A1).
Figura A1. Seção transversal esquemática de um painel
de lavra com largura finita L e n (= 2) pilares (Wo e Wp
são as larguras dos vãos e pilares, respectivamente).
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