Progressão Geométrica

1. (Fgv) Calcule as seguintes somas
2. (Puc-rio) João tem três filhas. A filha mais velha
tem oito anos a mais que a do meio que por sua
vez tem sete anos mais que a caçula. João
observou que as idades delas formam uma
progressão geométrica. Quais são as idades delas?
Nas 20 primeiras vezes, ela perdeu. Na 21 vez, ela
ganhou. Comparando-se a quantia total T por ela
desembolsada e a quantia Q recebida na 21
jogada, tem-se que Q é igual a
a) T/2 b) T c) 2T d) T-1 e) T+1
5. (Fatec) Se, em uma progressão geométrica, x é
o primeiro termo, y é o termo de ordem 2n+1, e z é
o termo de ordem 3n+1, então é verdade que
a) z¤ = yx£
b) x¤ = yz£
c) x¤ = zy£
d) y¤ = xz£
e) y¤ = zx£
6. (Fgv) Na equação
3. (Cesgranrio) O número de assinantes de um
jornal de grande circulação no estado aumentou,
nos quatro primeiros meses do ano, em progressão
geométrica, segundo os dados de uma pesquisa
constantes na tabela a seguir.
o 10 membro é a soma dos termos de uma
progressão geométrica infinita. A soma das raízes
da equação é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Em relação ao mês de fevereiro, o número de
assinantes desse jornal no mês de abril teve um
aumento de:
a) 1600 b) 1510 c) 1155 d) 1150 e) 1050
7. (Fgv) A figura indica infinitos triângulos isósceles,
cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...
4. (Fatec) Num certo jogo de azar, apostando-se
uma quantia X, tem-se uma das duas
possibilidades seguintes:
1 ) perde-se a quantia X apostada;
2 ) recebe-se a quantia 2X.
Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira:
na primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda
vez, apostou 2 centavos, na terceira vez, apostou 4
centavos e assim por diante, apostando em cada
vez o dobro do que havia apostado na vez anterior.
Sabendo que a soma da área dos infinitos
triângulos hachurados na figura é igual a 51, podese afirmar que a área do retângulo de lados h e d é
igual a
a) 68. b) 102. c) 136. d) 153. e) 192.
8. (Fgv) Um círculo é inscrito em um quadrado de
lado m. Em seguida, um novo quadrado é inscrito
nesse círculo, e um novo círculo é inscrito nesse
quadrado, e assim sucessivamente. A soma das
áreas dos infinitos círculos descritos nesse
processo é igual a
a) ™m£/2. b) 3™m£/8. c) ™m£/3.
d) ™m£/4. e) ™m£/8.
9. (Fuvest) Uma progressão
12. (Pucrs) A imagem da função f : N ë R é a
Progressão Geométrica (1; 4; 16; 64; ....). Os
pontos do gráfico de f podem pertencer à curva
geométrica tem
primeiro termo igual a 1 e razão igual a
2 . Se o
produto dos termos dessa progressão é 2¤ª, então o
número de termos é igual a:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
10. (Mackenzie) Numa progressão geométrica de
termos positivos, cada termo é igual à soma dos
dois termos seguintes. Então a razão da
progressão vale:
a)
5
b) -1 +
5
c) (1 +
5 )/2
d)
e) (
13. (Pucsp) Sabe-se que a seqüência (1/3, a, 27),
na qual a>0, é uma progressão geométrica e a
seqüência (x, y, z), na qual x+y+z=15, é uma
progressão aritmética. Se as duas progressões têm
razões iguais, então:
a) x = - 4. b) y = 6. c) z = 12. d) x = 2y. e) y = 3x.
14. (Uece) Se n é um número inteiro positivo, o
produto de todos os números positivos da forma
5 /2
5 - 1)/2
11. (Puc-rio) Um senhor tem a anos de idade, seu
filho tem f anos de idade e seu neto, n. Sobre estes
valores, podemos afirmar:
a) É impossível que a, f e n estejam em progressão
aritmética.
b) É impossível que a, f e n estejam em progressão
geométrica.
c) É impossível que a, f e n estejam
simultaneamente em progressão aritmética e
geométrica.
d) É possível que a, f e n estejam simultaneamente
em progressão aritmética e geométrica.
e) É possível que a, f e n estejam em progressão
aritmética, mas é impossível que estejam em
progressão geométrica.
é
a) 5 b) 25 c) 1/5 d) 1/25
15. (Uel) Na figura abaixo, a aresta do cubo maior
mede a, e os outros cubos foram construídos de
modo que a medida da respectiva aresta seja a
metade da aresta do cubo anterior. Imaginando que
a construção continue indefinidamente, a soma dos
volumes de todos os cubos será:
a) 0 b) a¤/2 c) 7a¤/8 d) 8a¤/7 e) 2a¤
18. (Ufpb) Cecília jogou na loteria esportiva durante
cinco semanas consecutivas, de tal forma que, a
partir da segunda semana, o valor apostado era o
dobro do valor da semana anterior. Se o total
apostado, nas cinco semanas, foi R$ 2.325,00, o
valor pago por Cecília, no jogo da primeira semana,
foi:
a) R$ 75,00 b) R$ 85,00 c) R$ 100,00
d) R$ 95,00 e) R$ 77,00
16. (Ufes) Para que a soma dos n primeiros termos
da Progressão Geométrica 3,6,12,24,... seja um
número compreendido entre 50.000 e 100.000,
devemos tornar n igual a
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
17. (Ufes) Na figura a seguir, o triângulo ABC é
equilátero de lado igual a 1.
19. (Ufpel) Uma determinada planta aquática se
reproduz intensamente. O número de indivíduos,
em condições estáveis, é multiplicado por 3 a cada
dia. Se, nas condições normais, iniciando com uma
dessas plantas, são necessários 60 dias para
preencher a superfície de um lago, iniciando com 3
das referidas plantas, a mesma superfície será
preenchida no tempo de
a)31 dias. b)20 dias. c)57 dias. d)59 dias.e) 30 dias.
20. (Ufrrj) A seqüência (x, 6, y, z, 162) é uma
Progressão Geométrica. É correto afirmar que o
produto de x por z vale
a) 36. b) 72. c) 108. d) 144. e) 180.
Considere o retângulo com dois vértices sobre a
base BC e cujos outros dois vértices, B e C são os
pontos
médios
dos
lados
AB
e
AC,
respectivamente. No triângulo ABC, considere o
retângulo com dois vértices sobre a base BC e
cujos outros dois vértices, B‚ e C‚ são os pontos
médios dos lados AB e AC, respectivamente.
Continuando este processo indefinidamente,
obtém-se uma seqüência de retângulos. A soma
das áreas totais de todos os retângulos assim
obtidos é igual a
a)
3 /24
b)
3 /12
c)
3 /8
d)
3 /6
e)
3 /3
21. (Ufsc) Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2,
2x+1) é uma P.A. e que a seqüência (4y, 2y-1, y+1)
é uma P.G., determine a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A P.A. é crescente.
02. O valor de y é 1/8.
04. A soma dos termos da P.A. é zero.
08. -3/2 é a razão da P.G.
16. O valor de x é 2.
22. (Ufsm) Numa plantação de eucaliptos, as
árvores são atacadas por uma praga, semana após
semana. De acordo com observações feitas, uma
árvore adoeceu na primeira semana; outras duas,
na segunda semana; mais quatro, na terceira
semana e, assim por diante, até que, na décima
semana, praticamente toda a plantação ficou
doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o
número total de árvores dessa plantação é
a) menor que 824.
b) igual a 1030.
c) maior que 1502.
d) igual a 1024.
e) igual a 1320.
23. (Ufv) Se a soma dos n primeiros termos de uma
progressão geométrica (P. G.) é dada por SŠ=1(1/2¾), onde nµ1, então o nono termo desta P.G. é:
a) 2−© b) 2−¢¡ c) 2−ª d) 2© e) 2ª
24. (Unb) Conta uma lenda que o rei de certo país
ficou tão impressionado ao conhecer o jogo de
xadrez que quis recompensar seu inventor, dandolhe qualquer coisa que ele pedisse. O inventor,
então, disse ao rei: "Dê-me simplesmente 1 grão de
trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela
segunda casa, 4 grãos pela terceira, 8 grãos pela
quarta e assim sucessivamente, até a 64.ò casa do
tabuleiro". O rei considerou o pedido bastante
simples e ordenou que fosse cumprido. Supondo
que um grão de trigo tem massa igual a 0,05 g e
que a produção mundial de trigo em 1997 foi de
560 milhões de toneladas, julgue os itens abaixo.
(1) O número de grãos de trigo devido ao inventor
apenas pela 11.ò casa do tabuleiro é menor que
1.000.
(2) Até a 30.ò casa, seriam devidas ao inventor mais
de 50 toneladas de grãos.
(3) A quantidade de trigo devida apenas pela 31.ò
casa corresponde à quantidade recebida até a 30.ò
casa acrescida de um grão.
(4) Seriam necessárias mais de 1.000 vezes a
produção mundial de trigo de 1997 para
recompensar o inventor.
25. (Unb) Considere a seguinte seqüência de
resistores de 1 ², em que se acrescenta em cada
passo , alternadamente, um resistor em série e
outro em paralelo com o conjunto de resistores do
passo anterior.
Sabendo que, se dois resistores de S² e T² estão
em série, a resistência equivalente é igual à soma
(S+T)² e que, caso estejam em paralelo, a
resistência
equivalente,
R,
é
dada
por
1/R=(1/S)+(1/T), e considerando R(n) a resistência
equivalente total obtida no n-ésimo passo da
seqüência acima descrita, julgue os itens que se
seguem.
(1) O 7° passo da seqüência dará origem a uma
associação de resistores equivalente à mostrada
acima.
(2) R(6) = (13/8) ²
(3) Se R(2j) = a‚Œ/b‚Œ, em que j, a‚Œ e b‚Œ são números
naturais, com jµ1, então a‚Œø=a‚Œ e a‚Œ=a‚Œ÷+b‚Œ÷,
para todo jµ1.
(4) Se a seqüência fosse constituída somente por
resistores em série, iniciando com um resistor de
1² e, em cada passo, incluindo-se um resistor de
resistência igual ao dobro do último resistor
acrescentado, então a resistência total obtida no
100° passo seria igual a (2¢¡¡-1)².
26. (Unesp) A seqüência de números reais a, b, c, d
forma, nessa ordem, uma progressão aritmética
cuja soma dos termos é 110; a seqüência de
números reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma
progressão geométrica de razão 2. A soma d+f é
igual a:
a) 96. b) 102. c) 120. d) 132. e) 142.
27. (Unirio) O número que deve ser subtraído de 1,
de 11/8 e de 31/16 para que os resultados formem
uma P.G., nesta mesma ordem, é:
a) 2 b) 1/2
c) 1/4 d) 1/8 e) 1/16
28. (Unirio) Num vídeo-game, um ponto luminoso
se encontra em A sobre um segmento åæ de
medida 12. Ao iniciar-se o jogo, o ponto luminoso
se desloca para B e retorna, perfazendo na volta
uma distância igual à metade do caminho anterior,
até um ponto C. Depois, retorna de C, no sentido
do ponto B, percorrendo a metade do último
percurso,
até
um
ponto
D
e,
assim,
sucessivamente. Repetindo tal procedimento
infinitas vezes, o ponto luminoso tende para um
ponto cuja distância de A é igual a:
a) 7,4 b) 7,6 c) 7,8 d) 8 e) 9
29. (Unirio) Há exatamente um ano, José iniciou
uma criação de coelhos e, durante este período, o
número de coelhos duplicou a cada 3 meses. Hoje,
preocupado com a falta de espaço para os coelhos,
José vai vender parte dessa criação, de modo que
apenas a quantidade inicial fique com ele. Se N³
denota a quantidade inicial de coelhos, então a
quantidade a ser vendida é
a) 15 N³ b) 13 N³ c) 12 N³ d) 8 N³ e) 7 N³
30. (Unitau) A soma dos termos da seqüência
(1/2;1/3;2/9;4/27;...) é:
a) 15 × 10−¢.
b) -3 × 10−¢.
c) 15 × 10−£.
d) 5 × 10−¢.
e) 3/5.
GABARITO
1. a) 440
b) 10
2. 49, 56 e 64 anos
3. [C]
4. [E]
5. [D]
6. [A]
7. [C]
8. [A]
9. [B]
10. [E]
11. [C]
12. [A]
13. [A]
14. [A]
15. [D]
16. [B]
17. [D]
18. [A]
19. [D]
20. [C]
21. 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31
22. [B]
23. [C]
24. F V V V
25. F V V V
26. [D]
27. [C]
28. [D]
29. [A]
30. [A]