Determinaç˜ao de Correntes em Circuitos Elétricos Usando

ISSN 1984-8218
Determinação de Correntes em Circuitos Elétricos Usando
Decomposição de Cholesky e Pseudo-inversão
José V. da C. Sousa
Cristiane Bender ∗
Ana C. M. R. Boso
Pedro F. S. Othechar
∗
Clóvis A. Niiyama∗
Vanessa A. B. Pirani
Faculdade de Ciências e Tecnologia, FCT, UNESP,
19060-900 Presidente Prudente, SP
E-mail: [email protected], claudia− [email protected], [email protected],
cris− [email protected], [email protected], [email protected].
RESUMO
O presente trabalho expõe a resolução dos sistemas lineares resultantes das leis de Kirchhoff,
para determinação das correntes elétricas em laços do circuito. Analisamos particularmente o
problema quando a matriz associada ao sistema é simétrica, usando a decomposição de Cholesky
caso essa matriz seja definida positiva e a pseudo-inversão quando o determinante da matriz é
zero.
Existe o seguinte problema na análise de circuitos elétricos: “dadas a resistência e a voltagem aplicada em cada elemento do circuito, encontrar a corrente elétrica em cada um desses
elementos”[2].
Qualquer problema de rede pode ser resolvido de uma forma sistemática por meio de duas
regras conhecidas como leis de Kirchhoff, que servem para ditar o comportamento das grandezas
em uma rede composta por diferentes laços e nós. Estas são as leis de Kirchhoff:
1. A soma algébrica das correntes (ij ) que fluem para um nó é nula, isto é,
X
ij
X
Vj
= 0,
(1)
2. A soma algébrica da diferença de voltagem (Vj ) em torno de qualquer malha da rede é
nula, isto é,
= 0,
(2)
Aplicando as leis acima obtemos um sistema linear que pode ser resolvido utilizando a
Decomposição de Cholesky e/ou o Método da Pseudo-inversão. A estratégia do Método de
Cholesky baseia-se no seguinte teorema.
Teorema 1: Se A é simétrica, positiva definida, então A pode ser decomposta unicamente
no produto GGt , onde G é uma matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos.
Podemos aplicar a decomposição GGt para obtermos a solução de sistemas lineares. Porém,
há casos onde tal método não pode ser empregado, como quando a matriz associada ao sistema
possui determinante nulo. Nesse caso podemos utilizar o método da pseudo-inversão.
De acordo com [4], se A é uma matriz m×n com colunas linearmente independentes, designa−1 t
se por matriz pseudo-inversa de A a matriz n × m: A+ = At A
A.
A matriz pseudo-inversa de qualquer matriz A, mesmo não sendo At A invertı́vel, pode ser
calculada a partir da decomposição em valores singulares, A+ = V Σ+ U t , onde Σ+ é a matriz
Σ+ =
∗
D−1 0
0
0
bolsista de Mestrado da CAPES
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ISSN 1984-8218
e D é a matriz dos valores singulares de A.
Diante do exposto, considere o seguinte circuito, com resistências e baterias conforme mostra
a figura abaixo.
Figura 1: Circuito elétrico
Aplicando as leis de Kirchhoff (1) e (2) sobre cada um dos laços do circuito, obtemos, para
as correntes i1 , i2 , i3 , o seguinte sistema linear:

 (R1 + R2 + R4 )i1 − R2 i2 − R3 i3
−R2 i1 + (R5 + R2 + R3 )i2 − R5 i3

−R4 i1 − R5 i2 + (R4 + R5 + R6 )i3
= V1
= 0 ,
= V2
onde Ri (i = 1, · · · , 6) representa a resistência do circuito.
Tomando Ri = 1, (i = 1, · · · , 5) e R6 = 3, obtemos uma matriz simétrica, definida positiva, onde
podemos aplicar a decomposição de Cholesky para resolver o sistema. Tomando V1 = 10 e V2 = 4 e
utilizando o código implementado em M AT LAB, obtemos o seguinte vetor solução:
4.875 2.375 2.250 .
It =
Mas se considerarmos R3 = 10 e R5 = 46/17, a matriz do sistema linear possui determinante nulo,
não sendo possı́vel aplicar o método de Cholesky nem alguns outros métodos tradicionais. Nesse caso
será aplicado o método da pseudo-inversão. Utilizando o código implementado no M AT LAB, obtemos
a seguinte solução aproximada:
0.213 −0.221 −0.642 .
It =
O uso da pseudo-inversão é importante para obtermos alguma solução, uma vez que necessitamos
resolver um problema prático.
Esse estudo pode ainda ser estendido para o caso de um sistema elétrico de potência (SEP), onde se
deseja determinar a corrente, dadas as impedâncias e as tensões nas barras do SEP, que é equivalente aos
nós de circuitos como o que estudamos.
Palavras-chave: Decomposição de Cholesky, Pseudo-inversão, Correntes elétricas.
Referências
[1] N.B. Franco, Cálculo Numérico. Pearson Prentice Hall. São Paulo, 2006.
[2] J.R. Reitz, J.F. Milford, R.W. Christy, Fundamentos da Teoria Eletromagnética. Elsevier. Rio de
Janeiro, 1982.
[3] F.J.V.
Zuben,
R.R.F.
Attux.
Notas
de
Aula,
disponı́veis
em:
ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/ia353− 1s07//topico3− 07.pdf. Acesso em 14
de novembro de 2011.
[4] I. Matos, J. Amaral. Notas de Aula, disponı́veis em: http://www.deetc.isel.ipl.pt/paginaspessoais/isabelteixeira/doc/pla34.pdf. Acesso em 14 de novembro de 2011.
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