Equivalência de capitais a juros compostos

Aula 04 – Matemática
Financeira
Equivalência de Capitais a Juros
Compostos
Equivalência de Capitais
• Introdução
– O conceito de equivalência permite
transformar formas de pagamentos (ou
recebimentos) em outras equivalentes e,
consequentemente, efetuar comparações
entre alternativas
Equivalência de Capitais
• Exemplo:
– Um prédio é vendido por $ 5.000.000,00 à
vista ou, então, a prazo, em três parcelas
mensais de $ 1.700.000,00 cada uma sem
entrada. Qual a melhor alternativa para o
comprador se ele pode aplicar seu dinheiro
a juros compostos e à taxa de 2% a.m. e
tem fundos suficientes para pagar à vista?
Equivalência de Capitais
• Equivalência de dois capitais
– Consideremos dois capitais, x e y,
separados por n períodos de tempo.
Dizemos que eles são equivalentes se:
x1  i   y
y
x
n
1  i 
n
Equivalência de Capitais
• Exercício
– A uma taxa de 2% a.m., $ 1.500.000,00,
daqui a três meses, equivalem a quanto
hoje?
Equivalência de Capitais
• Valor atual de um conjunto de capitais
– Consideremos os capitais y0, y1,...,yn.
Chamamos de valor atual desse conjunto, a
uma taxa i, a soma dos valores equivalentes
desses capitais na data inicial
V  y0 
n
V 
j 0
y1
1  i 
1
yj
1  i 
j

y2
1  i 
2

y3
1  i 
3
  
yn
1  i 
n
Equivalência de Capitais
• Exercício
– Uma empresa prevê o pagamento de $
2.000,00 daqui a um mês, $ 3.000,00 daqui
a dois meses e $ 5.000,00 daqui a três
meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros
compostos à taxa de 1,5% a.m., para fazer
frente a essas despesas, sobrando saldo
nulo após o último pagamento?
Equivalência de Capitais
• Exercício
– Uma loja vende um conjunto de sofás por $
500,00 de entrada, mais três prestações
mensais de $ 800,00 cada uma. Se um
comprador consegue aplicar seu dinheiro à
taxa de 1,2% a.m., quanto deverá dispor
hoje para poder efetuar a compra?
Equivalência de Capitais
• Conjunto de Capitais Equivalentes
– Consideremos os conjuntos de capitais
• y0, y1, y2, ... , yn nas datas 0, 1, 2, ... , n
• x0, x1, x2, ... , xm nas datas 0, 1, 2, ... , m
– Dizemos que esses capitais são equivalentes
a, a uma taxa de juros compostos i, se os
seus valores atuais forem iguais
Equivalência de Capitais
• Exercício
– Uma loja vende uma geladeira nas seguintes
condições: entrada de $ 1.000,00 mais uma
parcela de $ 1.200,00, após um mês. Um
cliente propões pagar uma entrada de $
600,00 mais duas prestações mensais e
iguais, vencendo a primeira um mês após a
compra. Se a loja financia a uma taxa de 3%
a.m., qual o valor de cada parcela, de modo
que as duas formas de pagamento sejam
equivalentes?
Equivalência de Capitais
• Análise de Alternativas de Pagamento
pelo Valor Atual
– Se os valores forem calculados em uma
mesma data, podemos comparar os valores
atuais de cada alternativa
– Aquela que produzir o menor valor atual
(menor custo) é a melhor
Equivalência de Capitais
• Exercício
– Uma casa é vendida à vista por $
318.000,00 ou, a prazo, por $ 90.000,00 de
entrada mais três prestações mensais e
iguais de $ 80.000,00 cada uma, vencendo a
primeira um mês após a compra. Qual a
melhor alternativa de pagamento para um
comprador que consegue aplicar seu
dinheiro à taxa de juros compostos de 3%
a.m.?
Equivalência de Capitais
• Análise de Alternativas de Investimento
pelo Valor Atual
– Chamamos de investimento toda aplicação
financeira visando ganhos
– No caso de uma aplicação em capital físico
de uma empresa ou em bens reais, o
investimento pode ou não ser aceitável para
quem está investindo
Equivalência de Capitais
• Análise de Alternativas de Investimento
pelo Valor Atual
– Suponha que o investidor tivesse a
oportunidade de auferir ganhos em outra
aplicação de risco semelhante ao
investimento
– Taxa de Atratividade ou Taxa Requerida de
Retorno
Equivalência de Capitais
• Análise de Alternativas de Investimento pelo Valor
Atual
– No caso de um investimento convencional simples,
calculamos o valor presente das entradas de caixa,
usando a taxa de atratividade, e comparamos com o
investimento inicial I
– Se V > I, aceita-se o investimento
• À diferença (V-I), chamamos Valor Presente
Líquido (VPL)
– Se V < I, não devemos aceitar
Equivalência de Capitais
• Análise de Alternativas de Investimento
pelo Valor Atual
– Quando o investimento é convencional, mas
não simples (várias saídas de caixa), o valor
de I é obtido com o valor atual das saídas
de caixa
– Em uma comparação, escolhe-se a opção que
proporcione o maior valor presente líquido
Equivalência de Capitais
• Exercício
– Um investidor, prevendo a valorização dos imóveis em uma
certa região, resolve investir $ 200.000,00 na compra de um
terreno e construção de um galpão. Ele estima alugar o galpão
por $ 12.000,00 por ano, durante três anos e, em seguida,
vender o imóvel por $ 220.000,00, em conseqüência da
valorização. Considere que todos os valores estejam em
valores reais (sem influência de aumento pela inflação), que
sejam recebidos com certeza, e que a taxa de atratividade
seja de 6% a.a. Verificar se o investidor deve ou não aceitar
o investimento.
Equivalência de Capitais
• Exercício
– Uma empresa deve investir $ 180.000,00
em um projeto de ampliação da capacidade
produtiva para obter benefícios das
entradas de caixa de $ 40.000,00 por ano,
durante os próximos 6 anos. Se a taxa de
atratividade da firma for de 10% a.a., o
projeto deve ou não ser aceito?
Taxa Interna de Retorno
• Consideremos o seguinte problema: dado
um conjunto de capitais y1, y2, ..., yn nas
datas 1, 2, 3, ..., n, respectivamente e um
valor V, calculado a taxa de juros i, que
seja o valor atual do conjunto de capitais
a aquela taxa
• Essa taxa de juros é chamada de Taxa
Interna de Retorno
Taxa Interna de Retorno
• O problema consiste em achar o valor de
i, tal que:
yn
y1
y2
V 

  
0
1
2
n
1  i  1  i 
1  i 
Taxa Interna de Retorno
• Chamando de P(i) o primeiro termo da
equação anterior, queremos, então,
obter o valor de i tal que P(i)=0
• Quando i tende ao infinito, P(i) tende a
ao valor –V
• O ponto em que o gráfico cruza o eixo x
tem abscissa i* e P(i*) = 0, Portanto, i* é
a taxa interna de retorno
Taxa Interna de Retorno
• Exemplo:
– Considere o seguinte conjunto de capitais:
0
15
20
22
1
2
3
– E o valor atual V = 40. Calculemos a taxa
interna de retorno
Taxa Interna de Retorno
• Em projetos de investimento convencionais
simples nos quais é feito um investimento
numa data 0 e as entradas de caixa são E1, E2,
E3,..., Em nas datas 1, 2, 3, ..., n; o
investimento I faz o papel do valor presente e
E1, ..., En o conjunto de capitais. E o valor i é a
taxa de atratividade
En
E1
E2
VPL   I 

  
1
2
n
1  i  1  i 
1  i 
Taxa Interna de Retorno
• Exercício
– Um banco concede um empréstimo de $
970.000,00 a uma empresa para ser pago
em três parcelas mensais de $ 250.000,00,
$ 350.000,00 e $ 450.000,00 dentro de
um, dois e três meses, respectivamente.
Qual a taxa de juros paga pela empresa
neste empréstimo?
Operações com Debêntures
• São títulos emitidos por Sociedades Anônimas
não financeiras, para captar recursos de
financiamento de longo prazo.
• Podem ser conversíveis e não conversíveis
• A remuneração dos não conversíveis é
geralmente feita com o pagamento de juros
periódicos calculados com base no valor de
emissão (principal ou valor de face)
Operações com Debêntures
• Exercício
– Um investidor comprou, pelo valor de face, uma debênture
emitida por $ 1.000,00 com vencimento em dois anos.
Sabendo-se que os juros são pagos semestralmente à taxa de
10% ao semestre, pede-se:
• O valor dos juros semestrais
• O fluxo de caixa do ponto de vista do investidor
• A taxa interna de retorno do investimento
• O preço que deveria ser pago pelo investidor na compra do
título se sua taxa requerida de retorno fosse 12% ao
semestre
Equivalência
• Exercício
– O que é preferível: investir $ 1.000.000,00
hoje e receber $ 1.500.000,00 após dois
anos, ou investir a mesma quantia e receber
$ 500.000,00 em cada um dos próximos
três anos? Suponha que a taxa de
atratividade seja de 20% a.a.
Equivalência
• Exercício
– Um conjunto de sofás é vendido à vista por
$ 1.500,00, ou a prazo, em três prestações
mensais sem entrada, sendo a segunda igual
ao dobro da primeira e a terceira o triplo
da primeira. Obtenha o valor da segunda
prestação, sabendo-se que a loja opera com
uma taxa de juros compostos de 5% a.m.
Equivalência
• Exercício
– Qual a melhor alternativa para o
comprador: pagar $ 1.200.000,00 daqui a
45 dias ou três parcelas de $ 400.000,00
cada uma, em 30, 45 e 60 dias da compra,
se a taxa de juros compostos para aplicação
for de 1,4% a.m.?
Equivalência
• Exercício
– Um terreno é colocado à venda por $
400.000,00 à vista, ou aprazo, com 20% de
entrada mais duas parcelas trimestrais de
$ 164.000,00 cada. Se o comprador aplica
seus recursos à taxa de 2% a.m., qual a sua
melhor alternativa?
Equivalência
• Exercício
– Um projeto exige um investimento inicial de
$ 70.000,00, que proporcionará benefícios
futuros de $ 10.000,00 em cada um dos
próximos dez anos> analise se esse projeto
deve ou não ser aceito, supondo as
seguintes taxas de atratividade: a) 6% a.a.
e b) 9% a.a.