Prof. Carlos André

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS
PÚBLICOS E EXAMES
VESTIBULARES
250 QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS
(TRT / CESPE – Unb / Basa / Receita Federal / Correios / Banco do Brasil / Sefaz-RO)
(Cesgranrio / UFRJ / UNIR)
200 PROBLEMAS PROPOSTOS COM GABARITO
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SUMÁRIO
Pág.
1. Conjuntos dos Números Naturais (N) ........................................................................ 07
Da reta numérica natural..................................................................................................... 08
Operações com números naturais........................................................................................ 09
Da adição de números naturais............................................................................................09
Da subtração de números naturais....................................................................................... 10
Expressões numéricas simples.............................................................................................11
Da multiplicação de números naturais................................................................................ 11
Da divisão de números naturais...........................................................................................13
Expressões numéricas..........................................................................................................13
Potenciação com números naturais......................................................................................14
Expressões numéricas..........................................................................................................15
Números inteiros................................................................................................................. 16
Números inteiros positivos e negativos............................................................................... 16
Representação geométrica dos números inteiros.................................................................17
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro................................................................ 18
Números inteiros opostos ou simétricos..............................................................................19
Comparação de números inteiros........................................................................................ 19
Determinação de um subconjunto de Z............................................................................... 20
Soma de dois números inteiros de mesmo sinal.................................................................. 20
Soma de dois números inteiros de sinais diferentes............................................................ 21
Soma de dois números inteiros onde um deles é zero......................................................... 21
Soma de dois números opostos ou simétricos..................................................................... 22
Soma de três ou mais números inteiros............................................................................... 22
Subtração de números inteiros.............................................................................................22
Adição algébrica.................................................................................................................. 22
Eliminação de parênteses.................................................................................................... 23
Multiplicação de números inteiros...................................................................................... 23
Quando os dois fatores têm sinais iguais.............................................................................23
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Quando os fatores têm sinais diferentes.............................................................................. 24
Produto de três ou mais números inteiros............................................................................24
Divisão de números inteiros................................................................................................ 25
Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal........................................................... 25
Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes.........................................................25
Potenciação de números inteiros......................................................................................... 25
Quando o expoente é um número par..................................................................................25
Quando o expoente é um número ímpar..............................................................................25
Potência de expoente 1 (um)............................................................................................... 26
Potência de expoente 0 (zero)..............................................................................................26
Produto de potência de mesma base....................................................................................26
Quociente de potência de mesma base................................................................................ 26
Potência de potência............................................................................................................ 27
Potência de um produto ou de um quociente.......................................................................27
2. Números Primos............................................................................................................ 28
Números primos.................................................................................................................. 28
Números compostos.............................................................................................................28
Conclusões...........................................................................................................................28
Reconhecimento de um número primo................................................................................29
Decomposição de um número em fatores primos................................................................29
Procedimentos..................................................................................................................... 30
Problemas Propostos......................................................................................................... 30
Gabarito..............................................................................................................................31
3. Máximo Divisor Comum E Mínimo Múltiplo Comum..........................................32
Máximo divisor comum (M.D.C.)......................................................................................32
Técnicas para o cálculo do M.D.C...................................................................................... 32
Técnica de decomposição em fatores primos................................................................... 32
Problemas Propostos......................................................................................................... 33
Gabarito..............................................................................................................................33
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Mínimo múltiplo comum (M.M.C.)................................................................................... 33
Técnicas para o cálculo do M.M.C .................................................................................. 33
Propriedades........................................................................................................................ 35
Relação entre o M.M.C e o M.D.C dos mesmos números............................................. 35
Problemas Propostos......................................................................................................... 36
Gabarito..............................................................................................................................36
4. Números Racionais........................................................................................................37
A reta numérica decimal......................................................................................................38
Adição de números racionais – adição algébrica................................................................ 38
As frações têm o mesmo denominador............................................................................... 39
Multiplicação de números racionais.................................................................................... 39
Fatores comuns no numerador e no denominador..............................................................40
Fatores no numerador e no denominador (simplificados)................................................... 40
Divisão de números racionais..............................................................................................40
Potenciação de números racionais.......................................................................................40
Equivalência de frações....................................................................................................... 41
Correspondência de fração decimal com número decimal..................................................42
5. Porcentagem...................................................................................................................43
Razão centesimal
..........................................................................................................43
Porcentagem........................................................................................................................ 43
Problemas Propostos......................................................................................................... 43
Gabarito..............................................................................................................................44
Problemas de porcentagem..................................................................................................45
Problemas Propostos......................................................................................................... 45
Gabarito..............................................................................................................................46
Problemas Propostos......................................................................................................... 48
Gabarito..............................................................................................................................48
Problemas Propostos......................................................................................................... 49
Gabarito..............................................................................................................................52
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6.
Regra De Três............................................................................................................ 53
Regra de três simples...........................................................................................................53
Modo prático de resolver a regra de três direta................................................................... 54
Regra de três inversa........................................................................................................... 55
Modo prático de resolver a regra de três inversa.................................................................56
Problemas resolvidos...........................................................................................................56
7.
Juros Simples.............................................................................................................. 59
Taxas....................................................................................................................................61
Taxa unitária e taxa percentual............................................................................................61
Taxas proporcionais e equivalentes .................................................................................. 62
Duas providências importantes............................................................................................62
Problemas Propostos......................................................................................................... 63
Gabarito..............................................................................................................................64
8.
Área de Figuras Planas.............................................................................................. 65
Problemas Propostos com Gabarito.................................................................................68
Das medidas de volume.......................................................................................................69
Da transformação de unidades.............................................................................................69
Problemas Propostos......................................................................................................... 70
Gabarito..............................................................................................................................70
Cálculo do volume de um sólido......................................................................................... 71
9.
Sistema Legal de Medidas...................................................................................... 72
Das medidas de comprimento...........................................................................................72
Leitura e transformações das unidades de comprimento.....................................................73
Problemas Propostos......................................................................................................... 74
Gabarito..............................................................................................................................74
Medida do perímetro de um polígono................................................................................. 75
Das medidas de capacidade................................................................................................ 76
Transformação de unidades................................................................................................. 77
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Problemas Propostos......................................................................................................... 78
Gabarito..............................................................................................................................78
10. Das Medidas de Massa................................................................................................ 78
Transformação de unidades................................................................................................. 79
Das medidas de tempo.........................................................................................................79
Unidades maiores que o segundo........................................................................................ 79
Das medidas de superfície
..............................................................................................81
Da transformação de unidades.............................................................................................82
Da transformação das unidades agrárias............................................................................. 82
Problemas Propostos......................................................................................................... 83
Gabarito..............................................................................................................................83
Questões dos Últimos Concursos Públicos......................................................................84
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1.CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
Como já vimos em estudo realizado em curso de primeiro grau, para o estudo da
Matemática, fazemos uso de alguns conjuntos numéricos, entre eles, destacamos o "conjunto dos
números naturais". Começando pelo "zero" e acrescentando sempre uma unidade, teremos os
chamados números naturais e seu conjunto é indicado por:
lN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21, ...}
Convém notar que quando excluímos o "Zero" deste conjunto, temos o conjunto dos
números naturais não nulos, que é indicado por:
lN* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 21, ...}
Se considerarmos a sucessão dos números naturais, veremos que: o "zero" é o menor dos
números naturais e todo número natural tem um sucessivo ou sucessor.
Exemplos: 1 é o sucessivo de 0
2 é o sucessivo de 1
3 é o sucessivo de 2
.
.
.
.
.
.
n + 1 é o sucessivo de n
Sendo assim, como conseqüência de que todo número natural tem um sucessivo, "não
existe um último número natural". Dizemos, então, que tanto o conjunto lN como o conjunto
lN* "são infinitos". Todo número natural, com exceção do "zero" tem um antecessor.
Exemplos: 0 é o antecessor de 1
1 é o antecessor de 2
n - 1 é o antecessor de n
Dois ou mais números que se seguem na secessão dos números naturais são
denominados "consecutivos".
Exemplos: 21 e 22 são números naturais consecutivos.
76, 77 e 78 são números naturais consecutivos.
Observe as seguintes notações:
1º) Quando queremos especificar que a letra n representa um número natural,
escrevemos n є IN;
2º) Quando escrevemos n є IN e n < 5, queremos dizer que n representa um número
natural menor que 5, ou seja, n pode ser 0, ou 1, ou 2, ou 3, ou 4;
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3º) Quando escrevemos n є IN e 2 < n < 6, queremos dizer que n representa um
número natural que está compreendido entre 2 e 6, ou seja, n pode ser 3, 4 ou 5. Sejam, então,
os seguintes conjuntos (que são subconjuntos de lN):
A = { n є IN / n < 5} (Lê-se: n pertence a IN tal que n é menor que 5)
Escrevendo os elementos desse conjunto, um a um, temos:
A = { 0, 1, 2, 3, 4 }
B = { n є IN / 2 < n
<
6} (Lê-se: n pertence a IN tal que n está contido entre dois e seis)
Escrevendo, um a um, os elementos desse conjunto, temos:
B = { 3, 4, 5}
DA RETA NUMÉRICA NATURAL
Consideremos o conjunto dos números naturais IN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....} e façamos
corresponder ao número 0 (zero) o ponto origem ( O ), ao número 1 o ponto A, ao número
2 o ponto B, e assim sucessivamente:
O
A
B
C
D
E
r
0
1
2
3
4
5
Assim, estabelecemos uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números
naturais IN = { 0, 1, 2, 3, 4, ....} e o conjunto P = { O, A, B, C, ....} dos pontos assinalados na
reta r.
Dizemos que: O conjunto P dos pontos assinalados sobre a reta r constitui uma
representação geométrica do conjunto IN e cada ponto assinalado sobre a reta é denominado
imagem geométrica do número correspondente.
Desta forma: o ponto O é a imagem geométrica do número 0
o ponto A é a imagem geométrica do número 1
o ponto B é a imagem geométrica do número 2
o ponto C é a imagem geométrica do número 3
o ponto D é a imagem geométrica do número 4
o ponto E é a imagem geométrica do número 5
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Obs: O conjunto P é denominado reta numérica natural.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
O objetivo desta unidade é rever e aprofundar o estudo das operações fundamentais com
números naturais, já que adicionar, subtrair, multiplicar e dividir são fatos constantes em nossos
afazeres diários.
DA ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Adição consiste na operação que faz corresponder a um par ordenado de números dados
um único número, que é a soma do primeiro com o segundo. Sendo assim, atente-se para as
seguintes propriedades:
Propriedade do Fechamento:
Observe: 8 + 6 = 14, Então 8 є IN, 6 є IN, (8 + 6 ) є IN
Logo: a soma de dois números naturais é sempre um número natural.
Propriedade Comutativa:
Observe: a soma dos números 7 e 5, nessa ordem, é 12, ou seja, 7 + 5 = 12. Trocando a
ordem dos números, obtemos o mesmo resultado: 5 + 7 = 12.
Daí:
7 + 5 = 12
5 + 7 = 12
Então: 7 + 5 = 5 + 7
Logo: a ordem das parcelas não altera a soma.
Propriedade do Elemento Neutro:
Observe as adições:
0+2=2
2+0=2
Então: 0 + 2 = 2 + 0
Verifica-se que, adicionando o número 0 (zero) a um número natural, o resultado é sempre o
próprio número natural, ou seja, o 0 (zero) não influi ao resultado da adição. Então: o número
zero é chamado de elemento neutro da adição.
Propriedade Associativa:
Observe: (6 + 4) + 8 = 10 + 8 = 18
6 + (4 + 8) = 6 + 12 = 18
Então: (6 + 4) + 8 = 6 + 4 + 8
Logo: a adição de três parcelas pode ser feita, associando-se as duas primeiras ou as
duas últimas parcelas, indiferentemente.
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Propriedade do Cancelamento:
Exemplos: Se a + 10 = b + 10, então a = b
Se x + 4 = 5 + 4, então x = 5
Propriedade Aditiva:
Exemplos: Se a = b, então: a + 10 = b + 10
Se a = 10 e b = 5, então: a + b = 10 + 5
Soma de Três ou Mais Números:
A soma de três ou mais números naturais é o número que se obtém, adicionando-se o
terceiro à soma do primeiro com o segundo; e assim por diante.
Exemplo: 36 + 12 + 54 = 48 + 54 = 102
DA SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Observe a seguintes operação:
171.000 – 57.000 = 114.000
ou




171.000
- 57.000
________
114.000
A operação que realizamos denomina-se subtração.
O número 171.000 denomina-se minuendo.
O número 57.000 denomina-se subtraendo.
O número 114.000 denomina-se diferença.
Relação Fundamental da Subtração:
Minuendo – Subtraendo = diferença.
Subtraendo + diferença = minuendo.
Subtraendo
171.000 – 57.000 = 114.000
Diferença
Minuendo
Observe:
7 – 4 = 3 pois 4 + 3 = 7; logo: 3 é a diferença entre 7 e 4.
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32 – 20 = 12 pois 20 + 12 = 32; logo: 12 é a diferença entre 32 e 20.
15 – 15 = 0 pois 15 + 0 = 15; logo: zero é a diferença entre 15 e 15.
6 – 9 = ? neste caso, a diferença entre 6 e 9 é impossível de calcular, pois não há número
natural que adicionado a 9 dê 6.
Logo: a diferença entre dois números naturais só existe quando o primeiro é maior
ou igual ao segundo.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS SIMPLES
1º exemplo: Calcular o valor da expressão numérica: 10 – 6 + 4 – 7
10 – 6 + 4 – 7 = 4 + 4 – 7 = 8 – 7 = 1
Observe: neste caso, por convenção, realizamos as operações obedecendo à ordem
em que elas aparecem na expressão.
2º exemplo: Calcular o valor da expressão numérica 20 – (15 – 10 + 6)
20 – ( 15 – 10 + 6 ) = 20 – ( 5 + 6 ) = 20 – 11 = 9
DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Quanto à multiplicação podemos afirmar que:
 Produto é uma soma de parcelas iguais.
 Multiplicar é adicionar parcelas iguais.
Fator
Parcelas Iguais
Então: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 x 2 = 10
Na multiplicação, devemos observar que:
 Multiplicando qualquer número por 1 dá o próprio número.
Exemplo: 1 x 6 = 6
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Produto
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 Multiplicando qualquer número por 0 (zero) dá zero.
Exemplo: 0 x 6 = 0
Propriedade de Fechamento:
Observe: 5 x 2 = 10
Se 5 є IN e 2 є IN, então ( 5 x 2 ) є IN.
Logo: o produto de dois números naturais é sempre um número natural.
Propriedade Comutativa:
Observe: 5 x 2 = 10
2 x 5 = 10
Então: 5 x 2 = 2 x 5
Logo: a ordem dos fatores não altera o produto.
Propriedade do Elemento Neutro:
Observe: 8 x 1 = 1 x 8
Logo: multiplicando-se o número 1 por um número natural, em qualquer ordem, o
resultado é sempre o próprio número natural. O número 1 é chamado elemento
neutro de multiplicação.
Propriedade Associativa:
Observe os seguintes cálculos:
( 5 x 2 ) x 3 = 10 x 3 = 30
5
x ( 2 x 3 ) = 5 x 6 = 30
Então: ( 5 x 2 ) x 3 = 5 x ( 2 x 3 )
Logo: numa multiplicação de três fatores, podem-se associar os dois primeiros ou os
dois últimos, indiferentemente.
Propriedade Distributiva Em Relação Á Adição ou À Subtração:
Observe os seguintes cálculos:
5 x (6 + 2) = (5 x 6) + (5 x 2)
4
x (7–3) = (4 x 7) - ( 4 x 3)
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Logo: o produto de um número por uma soma (ou diferença) pode ser obtido
multiplicando-se o número por cada um dos termos da soma (ou diferença) e
adicionando-se (ou subtraindo os produtos parciais).
DA DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Observe abaixo, o cálculo a seguir:
23
5
3
4
Então, temos:
 o primeiro número dado (23) denomina-se dividendo.
 o segundo número dado (5) denomina-se divisor.
 O resultado da divisão (4) denomina-se quociente.
 o que sobra (3) denomina-se resto.
Observações:
O dividendo = divisor x quociente + resto
0 não existe.
5 : 0 não existe.
8 : 3 não pertence ao conjunto dos números naturais.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Observe os exemplos:
1º) Calcular o valor da expressão: 20 + 6 : 2
20 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23
2º) Calcular o valor da expressão: 40 : 10 x 5
40 : 10 x 5 = 4 x 5 = 20
3º) Calcular o valor da expressão: 12 : 6 + 3 x 8
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12 : 6 + 3 x 8 = 2 + 24 = 26
Regras: devemos efetuar, em primeiro lugar, as divisões ou as multiplicações,
obedecendo à ordem em que aparecem, em seguida, as adições ou as subtrações,
obedecendo também à ordem em que aparecem. Caso haja parênteses, calcular,
inicialmente, o valor da expressão situada no interior dos parênteses.
Exemplo: 40 : ( 16 - 3 x 4 ) = 40 : ( 16 – 12 ) = 40 : 4 = 10
Note: em se tratando de parênteses, primeiro efetuamos as divisões e as multiplicações,
para depois efetuarmos as subtrações e as adições.
POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS
Já dissemos anteriormente que multiplicar é somar parcelas iguais. Veja:
3
+ 3 + 3 + 3 + 3 = 5 x 3 = 15
Cinco parcelas
Agora, você deverá considerar o seguinte produto de fatores iguais:
3
x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
Cinco fatores
Observe que: a operação realizada denomina-se “potenciação”, sendo que o produto:
3 x 3 x 3 x 3 x 3 pode ser indicado por 3 5 e o seu resultado: 243 chama-se “quinta
potência de três”. Dessa forma, temos: 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243.
O fator que se repete denomina-se “base” da potência (no caso, o número 3). O número
que indica quantas vezes o fator se repete denomina-se “expoente” (no caso, o número 5).
35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3
Então: 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
expoente
fatores
base
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Observação: A expressão 35 lê-se : três elevado à quinta potência.
a e n (com n > 1 ), a expressão an é igual ao
produto de n fatores iguais ao número a. Quando o expoente é 2, lê-se quadrado.
Logo: dados dois números naturais,
Exemplo: 62 lê-se: seis elevado ao quadrado ou quadrado de seis. Quando o expoente é
3, lê-se : “cubo”. Exemplo: 23 lê-se: dois elevado ao cubo ou cubo de dois.
Observações importantes:
 Toda potência de expoente 1 é igual à base: 51 = 5.
 Toda potência de expoente 0 é igual a 1: 50 = 1.
 Toda potência de base 0 é igual a 0 : 04 = 0 x 0 x 0 x 0 = 0.
 Toda potência de base 1 é igual a 1 : 14 = 1 x 1 x 1 x 1 = 1.
 Toda potência de 10 é igual ao algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem
as unidades do expoente: 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
1ª) Calcular o valor da expressão : 33 + 1 = 27 + 1 = 28
2ª) Calcular o valor da expressão numérica: 20 – 42 : 2 = 20 – 16 : 2 = 20 – 8 = 12.
3ª) Calcular o valor da expressão numérica: 34 : 9 x 23 = 81 : 9 x 8 = 9 x 8 = 72.
Não esqueça: efetuamos, em 1º lugar, as potenciações, em 2º lugar, as divisões ou
multiplicações, na ordem em que aparecem, em 3º lugar as adições ou subtrações, na
ordem em que aparecem.
Caso, haja parênteses, calculamos inicialmente o valor da expressão situada no seu
interior:
25 + (42 + 23 x 3 ) =
25 + (16 + 8 x 3 ) =
25 + (16 + 24 ) =
32 + 40 = 72.
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NÚMEROS INTEIROS
O conjunto dos números inteiros nada mais é do que uma ampliação do conjunto dos números
naturais. Sendo assim, atente-se para as seguintes subtrações:
5–8
12 – 20
0–3
Você observou que não pôde efetuar as subtrações, porque nelas, o minuendo é menor que o
<
subtraendo. Então a operação a – b, quando a
b, é impossível de ser efetuada no conjunto
dos números naturais IN. Para que esse tipo de operação seja sempre possível, foi necessária a
ampliação do conjunto IN, com a criação de uma nova categoria de números denominada de
“números inteiros positivos e negativos”.
NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS E NEGATIVOS
A fim de se obter um conjunto em que a operação subtração entre seus elementos seja sempre
possível, foi necessário ampliar o conceito de número. Com esse objetivo criou-se para cada
número natural n (com n diferente de zero) um número + n (lê-se mais n) e um número – n (lêse: menos n). Veja:
Exemplos:
 Para o número 1 criou-se: (+ 1) e (– 1)
 Para o número 2 criou-se: (+ 2) e (– 2)
 Para o número 3 criou-se: (+ 3) e (– 3)
 Para o número 9 criou-se: (+ 9) e (– 9)
Os números + 1, + 2, + 3 e + 9 são denominados “números inteiros positivos” e os números – 1,
– 2, – 3 e – 9 são denominados “números inteiros negativos”.
Então, podemos afirmar: o conjunto constituído pelos números inteiros positivos, pelo número
zero e pelos números inteiros negativos e denominado “conjunto dos números inteiros”, que é
representado pela letra Z, e escrito:
Z = { ... , –5, – 4 , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 , 4 , 5, ...}
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Observando o diagrama acima, podemos afirmar que:
IN ⊂ Z, então: IN é subconjunto de Z.
Além do conjunto IN, podemos identificar outros subconjuntos de Z:
- Conjunto dos números inteiros diferentes de zero : Z*
 Z* = { ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
- Conjunto dos números inteiros não negativos = Z +
 Z + = { 0, 1, 2, 3, 4, ....}
- Conjunto dos números inteiros não positivos = Z –
 Z – { 0, – 1, –2 , –3, – 4, ...}
- Conjunto dos números inteiros positivos = Z* +
 Z* + = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS INTEIROS
Tomamos uma reta r e sobre ela, tomamos um ponto O que vai dividi-la em duas semi-retas. A
seguir, procedemos da seguinte forma:
- à direita do ponto O, com certa unidade de medida assinalamos pontos consecutivos e, para
cada ponto, fazemos corresponder um número inteiro positivo.
- À esquerda do ponto O, com a mesma unidade, assinalamos pontos consecutivos e, para cada
ponto, fazemos corresponder um número inteiro negativo.
- Ao ponto O, denominado “origem” , fazemos corresponder o número “zero”. Veja:
E’
D’
C’
B’
A’
O
A
B
C
D
E
r
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
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4
5
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Assim, estabelecemos uma correspondência biunívoca, isto é, a cada número positivo
corresponde um número negativo, entre um subconjunto de pontos da reta r e o conjunto Z. O
conjunto dos pontos assinalados sobre a reta r constitui a representação geométrica do conjunto
Z. O conjunto dos pontos assinalados sobre a reta r constitui a representação geométrica do
conjunto Z, e cada um dos pontos da reta é a “imagem” de um número inteiro.
Assim: o ponto A é a imagem geométrica do número + 1.
o ponto E’ é a imagem geométrica do número – 5.
O número inteiro é denominado “abscissa” do ponto correspondente.
Assim: o número + 2 é a abscissa do ponto B’.
o número – 3 é a abscissa do ponto C’.
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO
Como já vimos, para cada número natural (n diferente de zero) foi criado um número + n e um
número – n.
+4
+20
4
20
–4
– 20
O número natural denomina-se módulo ou valor absoluto do número inteiro:
 O módulo do número + 5 é 5. Indica-se :
/+5/=5
 O módulo do número –5 é 5. Indica-se: / –5
/=5
 O módulo de zero é zero mesmo. Indica-se: / 0 / = 0
 O módulo do número + 10 é 10. Indica-se :
/ + 10 / = 10
 O módulo do número – 10 é 10. Indica-se: / –10
/ = 10
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NÚMEROS INTEIROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Observe novamente a reta numérica:
B
S
–5
A
0
5
 A distância do ponto A ao ponto S é igual à distância do ponto B ao ponto S.
 Os números que expressam as posições dos pontos A e B têm módulos iguais, isto é,




/
+ 5 / = / –5 / = 5.
Os números que expressam as posições dos pontos A e B têm sinais diferentes.
Os pontos A e B são simétricos em relação ao ponto S.
Dois números opostos têm sinais diferentes e o mesmo módulo.
O oposto de zero é zero.
Daí: dois números inteiros são opostos ou simétricos quando têm módulos iguais e sinais
diferentes.
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Para tanto, vamos considerar também a reta numérica:
B
–5
S
–4
–3
–2
–1
0
A
1
2
3
4
5
 Assim, podemos concluir que:

5

2
 –1
> 1, pois 5 está a direita de + 1 na reta numérica.
> 3, pois 2 está a direita de – 3 na reta numérica.
> – 4, pois – 1 está a direita de – 4 na reta numérica.
Assim: dados dois números inteiros, o maior é aquele que estiver mais à direita na reta numérica.
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DETERMINAÇÃO DE UM SUBCONJUNTO DE Z
Vamos escrever o conjunto do números inteiros maiores que – 3:
 Pela nomeação dos elementos: { – 2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
 Simbolicamente: {
 Então: {
x ∈ Z / x > – 3}
x ∈ Z / x > – 3}= { – 2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Vamos escrever o conjunto do números inteiros menores ou iguais a – 5:
 Pela nomeação dos elementos: { – 5 , – 6, – 7, – 8, – 9, ...}
 Simbolicamente : {
 Então: {
x ∈ Z / x ≤ – 5}
x ∈ Z / x ≤ – 5} = { – 5 , – 6, – 7, – 8, – 9, ...}
Vamos escrever o conjunto dos números inteiros maiores ou iguais a – 4 e menores que + 2:
 Pela nomeação dos elementos : { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1}
 Simbolicamente : {
 Então: {
x∈Z/–4 ≤ x < 2}
x ∈ Z / – 4 ≤ x < 2 } = { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1}
SOMA DE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE MESMO SINAL
Para somar dois números inteiros de mesmo sinal, é importante ter conhecimento das seguintes
recomendações:
 Quando ambos os números são positivos, a soma é um número positivo.
 Quando ambos os números são negativos, a soma é um número negativo.
 O módulo do resultado é sempre igual à soma dos módulos das parcelas.
Exemplos: ( + 6 ) + ( + 8 ) = + 14
( + 3 ) + ( + 7 ) = + 10
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( –2 ) + (– 4 ) = – 6
( –5 ) + ( – 3 )
= –8
(+2) + (+3) = +5
(–4) + (–2 ) = –8
Regra: a soma de dois números inteiros (diferentes de zero) de mesmo sinal é obtida
conservando-se o sinal comum às parcelas e adicionando-se os módulos.
SOMA DE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS DIFERENTES
Observe que, quando um número é positivo e o outro negativo, o número mais distante da
origem é que determina se a soma é um número positivo ou um número negativo, e que o
módulo do resultado é sempre igual à diferença entre os módulos da parcelas.
Atente-se para as operações seguintes:
( + 18 ) + ( – 8 ) = + 10
( + 15 ) +
(– 10 ) = + 5
( + 11 ) + ( – 14 ) = – 3
( + 9 ) + ( – 19 ) = – 10
(–6) + (+4 ) = –2
(+7) + (–3 )
= +4
Regra: a soma de dois números inteiros (diferentes de zero) de sinais diferentes é obtida dandose o sinal da parcela que tem maior módulo e calculando-se a diferença entre os módulos.
SOMA DE DOIS NÚMEROS INTEIROS ONDE UM DELES É ZERO
Atente-se para as seguintes operações:
(+ 6) + 0 = + 6
(–5)+ 0 = –5
0+(+3)=+3
0 + ( –2 ) = –2
Regra: a soma de dois números inteiros, um dos quais é zero, é igual ao outro número.
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SOMA DE DOIS NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Atente-se para as seguintes operações:
( + 5 ) + ( –5 ) = 0
(+9)+ (–9)= 0
Pelo que se observa, nos cálculos acima, números opostos ou simétricos são números inteiros
que têm o mesmo módulo e sinais diferentes.
Regra: a soma de dois números inteiros opostos ou simétricos é igual a zero.
SOMA DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS
Atente-se para os seguintes cálculos:
( + 9 ) + ( – 7 ) + ( + 5 ) + ( – 10 ) =
( + 14 ) + ( – 17 ) = – 3
Pelo que se observa, a soma de três ou mais números inteiros resume-se na soma de dois
números inteiros (diferentes de zero), onde o resultado é obtido somando-se o total das parcerias
positivas com o total das parcelas negativas.
Regra: obtemos a soma calculando:
•
•
•
A soma de todas as parcelas positivas;
A soma de todas as parcelas negativas;
A soma dos resultados obtidos.
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o minuendo ao oposto do subtraendo,
isto é, obtemos o mesmo resultado. Sendo assim, observe os seguintes cálculos:
(+7)– (+5)=(+7)+(–5)= + 2
(+3)– (–2)=(+3)+(+2)= +5
Regra: Para se determinar a diferença entre dois números inteiros, basta calcular a soma do
minuendo com o oposto do subtraendo.
ADIÇÃO ALGÉBRICA
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A adição e a subtração no conjunto Z podem ser considerados como uma única operação
denominada adição algébrica, cujo resultado chama-se “soma algébrica”. Observe os seguintes
cálculos:
a) ( + 7 ) + ( – 5 ) = + 7 – 5 = + 2
b) ( – 2 ) – ( + 3 ) = ( – 2 ) + ( – 3 ) = 2 – 3 = – 5
c) ( + 3 ) + ( 10 ) – ( + 8 ) = ( + 3 ) + ( + 10 ) + ( – 8 ) = + 3 + 10 – 8 = + 5
ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES
Atente-se para os cálculos da seguinte soma algébrica:
– 5 + ( 2 – 8 + 6 ) = – 5 + 2 – 8 + 6 = – 13 + 8 = – 5
Regra: numa soma algébrica, os parênteses, que contém uma soma de números inteiros e que são
precedidos pelo sinal ( + ), podem ser eliminados juntamente com o sinal ( + ) que os precede,
escrevendo-se os números contidos no seu interior, cada qual com o próprio sinal.
Seja a soma algébrica: 3 – ( – 2 + 10 – 7 ) =
3 + 2 – 10 + 7 =
+ 12 – 10 = + 2
Regra: numa soma algébrica, os parênteses que contém uma soma de números inteiros e que são
precedidos pelo sinal ( – ) , podem ser eliminados juntamente com o sinal ( – ) que os
precede, escrevendo-se os números contidos no seu interior, com sinais trocados.
Observação: Quando existem colchetes e chaves, valem as mesmas regras práticas de
eliminação. Note que, quando um desses sinais de associação contém outro, a eliminação se faz
a partir do mais interno.
Exemplo: 20 – [ – 3 + ( – 5 + 18 + 6 ) – 1 ] =
20 – [ – 3 – 5 + 18 + 6 ] =
eliminando os parênteses
20 + 3 + 5 – 18 – 6 + 1 =
eliminando os colchetes
+ 29 – 24 = + 5
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Na multiplicação de dois números inteiros, devemos ficar atentos para os seguintes casos:
QUANDO OS DOIS FATORES TÊM SINAIS IGUAIS :
1º Exemplo: ( + 5 ) . ( + 3 ) =
5 x 3 = 15 ou + 15
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2º Exemplo: ( – 5 ) . ( – 3 ) =
5 x 3 = 15 ou + 15
Calcula-se o produto dos módulos dos fatores.
Logo: ( + 5 ) . ( + 3 ) = + 15
( – 5 ) . ( – 3 ) = + 15
Regra: para determinar o produto de dois números inteiros (diferentes de zero), com fatores de
sinais iguais, calcula-se o produto dos módulos dos fatores, dando-lhe sinal positivo.
QUANDO OS FATORES TÊM SINAIS DIFERENTES
1º Exemplo: ( + 5 ) . ( – 3 ) = 5 . ( – 3 ) = ( – 3 ) + ( – 3 ) + ( – 3 ) + ( – 3 ) + ( – 3 ) = – 15
o módulo de + 5 = 5
produto é uma soma de parcelas iguais
2º Exemplo: ( – 5 ) . ( + 3 ) = ( – 5 ) . 3 = ( – 5 ) + ( – 5 ) +
( – 5 ) = – 15
Logo: ( + 5 ) . ( – 3 ) = – 15
( – 5 ) . ( + 3 ) = – 15
Regra: para determinar o produto de dois números inteiros (diferentes de zero), com fatores de
sinais diferentes, calcula-se o produto dos módulos dos fatores, dando-lhe sinal negativo.
PRODUTO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS
( + 6 ) . ( – 2 ) . ( – 3 ) . ( + 5 ) = ( – 12 ) . ( – 3 ) . ( + 5 ) = ( + 36 ) . ( + 5 ) = + 180
Regra: para se obter o produto de três ou mais fatores, multiplica-se o primeiro pelo segundo, o
resultado obtido, pelo terceiro, e assim por diante.
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DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Quanto à divisão de números inteiros, convocamos a atenção do estudante para os seguintes
casos:
QUANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR TÊM O MESMO SINAL
1º Exemplo: ( + 18 ) : ( + 6 ) = + 3
2º Exemplo: ( – 18 ) : ( – 6 ) = + 3
Regra: o quociente de dois números inteiros de sinais iguais, com o segundo diferente de zero, é
obtido dividindo-se o módulo do dividendo pelo módulo do divisor e dando ao quociente o sinal
positivo.
QUANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR TÊM SINAIS DIFERENTES
1º Exemplo: ( + 18 ) : ( – 6 ) = – 3
2º Exemplo: ( – 18 ) : ( + 6 ) = – 3
Regra: o quociente de dois números inteiros de sinais diferentes, com o segundo diferente de
zero, é obtido dividindo-se o módulo do dividendo pelo módulo do divisor e dando ao quociente
o sinal negativo.
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Vamos estudar as regras para as potências de números inteiros com base diferente de zero.
Atente-se para os seguintes casos:
QUANDO O EXPOENTE É UM NÚMERO PAR
( + 2 )2 = ( + 2 ) x ( + 2 ) = + 4
a potência é um número positivo.
( – 2 )2 = ( – 2 ) x ( – 2 ) = + 4
a potência é um número positivo.
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( + 2 )4 = + 16
a potência é um número positivo.
( – 2 )4 = + 16
a potência é um número positivo.
Regra: quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo.
QUANDO O EXPOENTE É UM NÚMERO ÍMPAR
( + 2 )3 = ( + 2 ) x ( + 2 ) x ( + 2 ) = + 8
leva o mesmo sinal da base.
( – 2 )3 = ( – 2 ) x ( – 2 ) x ( – 2 ) = – 8
leva o mesmo sinal da base.
( + 2 )5 = + 32
leva o mesmo sinal da base.
( – 2 )5 = – 32
leva o mesmo sinal da base.
Regra: quando o expoente é ímpar, a potência tem sempre o mesmo sinal da base.
POTÊNCIA DE EXPOENTE 1 (UM)
( + 3 )1 = + 3
( – 3 )1 = – 3
Regra: a potência com expoente 1 (um) é igual ao próprio número da base.
POTÊNCIA DE EXPOENTE 0 (ZERO)
( + 2 )0 = + 1
( – 2 )0 = + 1
Regra: toda potência com expoente zero é igual a + 1
Observações:
( – 2 )2 é diferente de – 22 , pois ( – 2 )2 = + 4 e – 22 = – 4.
( – 2 )2 representa o quadrado do número – 2.
– 22 representa menos o quadrado do número 2.
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PRODUTO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE
1º Exemplo: ( + 5 )3 x ( + 5 )6 = ( + 5 )3+6 = ( + 5 )9
2º Exemplo: ( – 2 )4 x ( – 2 ) x ( – 2 )5 = ( – 2 )4 +1+5 = ( – 2 )10
Regra: num produto de potências de mesma base, somam-se os expoentes e conserva-se a base.
QUOCIENTE DE POTÊNCIA DE MESMA BASE
1º Exemplo: ( – 6 )5 : ( + 6 )2 = ( + 6 )5 – 2
= ( + 6 )3
2º Exemplo: ( – 10 )8 : ( – 10 )3 = ( – 10 )8 – 3 =
( – 10 )5
Regra: num quociente de potências de mesma base, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.
POTÊNCIA DE POTÊNCIA
1º Exemplo: [ ( + 10 )2 ]5 = ( + 10 )2 x5 = ( + 10 )10
2 º Exemplo: [ ( – 8 )3 ]2 = ( – 8 )3x2 = ( – 8 )6
Regra: num produto de potência de potência de mesma base, conserva-se a base e multiplica-se
os expoentes.
POTÊNCIA DE UM PRODUTO OU DE UM QUOCIENTE
[ ( + 6 ) x ( – 5 ) ] 2 = ( + 6 ) 2 x ( – 5 )2
[ ( – 10 ) : ( + 2 )]3 = ( – 10 )3 : ( + 2 )3
Regra: para se obter a potência de um produto ou de um quociente, eleva-se cada termo do
produto ou do quociente a este expoente.
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2. NÚMEROS PRIMOS
NÚMEROS PRIMOS
Os números que admitem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números
primos.
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
2 é um número primo, pois D2 =
3 é um número primo, pois D3 =
5 é um número primo, pois D5 =
7 é um número primo, pois D7 =
11 é um número primo, pois D11 =
{ 1,
{ 1,
{ 1,
{ 1,
{ 1,
2}
3}
5}
7}
11 }
O conjunto dos números primos é infinito.
P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
NÚMEROS COMPOSTOS
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplos:
a) 4 é um número composto, pois
b) 6 é um número composto, pois
c) 8 é um número composto, pois
d) 9 é um número composto, pois
D4 = { 1, 2, 4 }
D6 = { 1, 2, 3, 6 }
D8 = { 1, 2, 4, 8 }
D9 = { 1, 3, 9 }
CONCLUSÕES
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•
•
O número 2 é o único número par que é primo.
O número 1 não é primo nem composto (tem apenas 1 divisor)
N ú m e ros N atu ra is
N ú m eros P rim os
1
N ú m e ros C om p os to s
RECONHECIMENTO DE UM NÚMERO PRIMO
Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos
números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,.. até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso
acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo.
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS (FATORAÇÃO)
Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos. Ou melhor, um
número pode ser fatorado.
Exemplo:
Vamos decompor o número 140 em fatores primos.
140
140
140
=
=
=
COMPOSTO
2 x 70
2 x 2 x 35
2 x 2 x 5 x 7
FATORES PRIMOS
Na prática você fará assim:
140
2
70
2
35
5
7
7
1
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2 x 2 x 5 x 7 = 22 x 5 x 7
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PROCEDIMENTOS
•
•
•
•
Escrevemos o número dado à esquerda de uma barra vertical.
Dividimos o número (140) pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2.
Voltamos a dividir o quociente, que é 70, pelo número primo possível.
Aqui novamente é o 2.
O processo é repetido, até que o quociente seja 1.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1)
•
•
•
Dadas as afirmações:
O número 1 é primo.
O número 0 é primo.
O número 1 é composto.
Temos:
a) só uma verdadeira.
b) só duas verdadeiras.
c) todas verdadeiras.
d) todas falsas.
2)
a)
b)
c)
d)
Um número primo tem:
só dois divisores.
nenhum divisor.
apenas um divisor.
mais do que dois divisores.
3) Dos conjuntos abaixo, o único que possui como elementos somente números primos é:
a) { 13, 17, 27 }
b) { 13, 17, 19 }
c){ 19, 21, 23 }
d) { 21, 23, 29 }
4) O conjunto dos divisores de 30 que são primos é:
a) { 1, 2, 3 }
b) { 1, 2, 5 }
c) { 2, 3, 5 }
d) { 1, 3, 5 }
5) Se A é o conjunto dos divisores de 15 e se B é o conjunto dos números primos menores do
que 15, então A ∩ B é o conjunto:
a) { 3, 5 }
b) { 2, 5 }
c) { 3, 5, 15 }
d) { 2, 3, 5, 15 }
6) Qual o número representado como um produto de fatores primos ?
a) 2 x 5 x 10
b) 2 x 3 x 7
c) 2 x 52 x 72
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d) 22 x 52 x 72
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7) A Fatoração completa de 4. 900 é:
a) 22 x 52 x 7
b) 22 x 5 x 72
c) 2 x 52 x 72
d) 22 x 52 x 72
8) O produto de 2 x 3 x 72 é a fatoração completa de:
a) 84
b) 184
c) 194
d) 294
9) O algarismo que deve ser colocado à direita de 12 para se obter um número primo é:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
c) 153
d) 163
c) 362
d) 201
10) Qual dos números abaixo é primo ?
a) 123
b) 143
11) Qual dos números abaixo é primo ?
a) 121
b) 401
12) Das seqüências a seguir, aquela que não contém números primos é:
a) 13, 427, 1029
b) 189, 300, 529
c) 2, 111, 169
d) 11, 429, 729
GABARITO
1 – D / 2 – A / 3 – B / 4 – C / 5 – A / 6 – B / 7 – D / 8 – D / 9 – D / 10 – D / 11 – B / 12 - B
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3. MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Consideremos os conjuntos dos divisores dos números 20 e 30.
D (20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
D (30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }
Observe :
a) D (20) ∩ D (30) = { 1, 2, 5, 10 }
b) Os divisores comuns de 20 e 30 são : 1, 2, 5, 10.
c) O maior divisor comum de 20 e 30 é 10.
Então, o número 10 é denominado máximo divisor comum de 20 e 30, o qual representamos por:
M.D.C. (20, 30) = 10
Daí podemos dizer : dados dois ou mais números, não simultaneamente nulos, denomina-se
máximo divisor comum (m.d.c.) desses números o maior dos seus divisores comuns.
TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DO M.D.C.
Vamos determinar o m.d.c. dos números 24 e 60.
Pela teoria dos conjuntos, já sabemos que:
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
D(60) ∩ D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12 } = divisores comuns de 24 e 60 ⇔ m.d.c. (24, 60) = 12
TÉCNICA DE DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
1º) Decompõe-se cada número em seus fatores primos.
2º) Calcula-se o produto dos fatores comuns, cada um deles com o menor expoente. O produto
assim obtido será o m.d.c. procurado.
EXEMPLO:
60
30
15
5
1
2
2
3
5
24
12
6
3
1
2
2
2
3
60 = 22 x 3 x 5
24 = 23 x 3
Então, o M.D.C. de (60 e 24) = 22 x 3 = 4 x 3 = 12.
Regra : O M.D.C. de dois ou mais números é igual ao resultado
do produto dos fatores comuns de menor expoente.
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
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PROBLEMAS PROPOSTOS
Aplicando a decomposição em fatores primos, determine:
a) o m.d.c. de (24 e 30)
b) o m.d.c. de (24 e 40)
c) o m.d.c de (60 e 100)
d) o m.d.c. de (48 e 80)
e) o m.d.c de (72, 63 e 54).
GABARITO  a = 6, b = 8, c = 20, d = 16, e = 9
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
Vamos considerar os conjuntos múltiplos de 4 e 6 :
M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,40.....}
M(6) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ....}
Agora, observe:
a) M(4) ∩ M(6) = { 0, 12, 24, 36,... }
b) Os múltiplos comuns de 4 e 6 são : 0, 12, 24, 36,.....
c) O menor múltiplo comum de 4 e 6, diferente de zero é 12.
Sendo assim, o número 12 é denominado mínimo múltiplo comum de 4 e 6, que representamos
por: m.m.c. (4, 6) = 12.
Daí podemos dizer: dados dois ou mais números diferentes de zero, denomina-se mínimo
múltiplo comum (m.m.c) desses números o menor de seus múltiplos comuns, diferente de zero.
TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DO M.M.C.:
Vamos determinar o M.M.C de 60 e 24. Pela teoria dos conjuntos, já sabemos que:
M(60) = { 0, 60, 120, 180, 240, 300, ...}
M(24) = { 0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...}
M(60) ∩ M(24) = { 0, 120, ... }
Então: M.M.C. de { 60 e 24 } = 120.
Porém, podemos determinar o M.M.C de dois ou mais números diferentes de zero de uma
maneira mais simples, por meio de decomposição em fatores primos.
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Regra: decompõe-se cada número em seus fatores primos. Calcula-se o produto dos fatores
comuns e não comuns, cada um deles elevado ao maior expoente. O produto assim obtido será o
M.M.C. procurado.
Exemplo: Calcular o M.M.C de (60 e 24).
60
2
30
2
15
3
5
5
24
2
12
2
6
2
3
3
1
1
Então: 60 = 22 x 3 x 5 e 24 = 23 x 3. Logo, o M.M.C de (60 e 24) = 23 x 3 x 5 = 120.
De maneira mais prática, as decomposições podem ser realizadas ao mesmo tempo, pois desta
forma já se obtém os fatores comuns e os fatores não comuns com o maior expoente:
Vamos calcular o M.M.C. de ( 8 e 10 ).
8, 10
2
4, 5
2
2, 5
2
1, 5
5
Então: o M.M.C de ( 8 e 10 ) = 23
x 5 = 8 x 5 = 40
1, 1
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PROPRIEDADES
1ª) Calculamos o M.M.C de ( 4, 6 e 12 ). Observa-se que 12 é múltiplo de
4, 6, 12
2
2, 3, 6
2
1, 3, 3
3
Propriedade: dados dois ou mais números diferentes de zero,
se um deles for múltiplo de todos os outros, então esse
número será o M.M.C. dos números dados.
1, 1, 1
2ª) Calculamos o M.M.C de ( 4 e 9 ). Observa-se que 4 e 9 são números primos entre si.
4, 9
2
2, 9
2
1, 9
3
1, 3
3
O M.M.C. de ( 4 e 9 ) = 22 x 32 = 4 x 9 = 36.
Propriedade: dados dois ou mais números que são primos
entre si, o M.M.C. entre eles será o produto dos números
dados.
RELAÇÃO ENTRE O M.M.C E O M.D.C DOS MESMOS NÚMEROS
Vamos trabalhar com os números 60 e 24 dos quais já sabemos que:
•
•
M.M.C. de (60 e 24) = 120 e
M.M.C de (60 e 24) = 12
Então:
a ) o produto dos números dados : 60 x 24 = 1.440
b) M.D.C. de ( 60 e 24 ) x M.M.C. de ( 60 e 24 ) = 12 x 120 = 1.440
Propriedade: o produto de dois números, diferentes de zero, é igual ao produto do M.D.C. pelo
M.M.C. dos mesmos números.
PROBLEMAS PROPOSTOS
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1) Aplicando a decomposição em fatores primos, calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
M.M.C. de (120 e 50)
M.M.C. de (12 e 16)
M.M.C. de (6 e 9)
M.M.C. de (14 e 35)
M.M.C. de (16 e 20)
M.M.C. de (12, 20 e 24)
M.M.C de (10, 20 e 40)
M.M.C. de (21, 28 e 42)
M.M.C. de ((50, 80 e 100).
2) Aplicando a decomposição simultânea em fatores primos, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
M.M.C. de (6 e 10)
M.M.C. de (18 e 12)
M.M.C. de (9 e 30)
M.M.C. de (14, 21 e 35)
M.M.C. de (6, 10 e 12)
M.M.C. de (8, 12 e 16)
M.M.C de (20, 15 e 25)
M.M.C. de (90 e 120)
M.M.C. de (100 e 150)
M.M.C. de (20, 36, 40 e 48)
M.M.C. de (80, 120 e 150)
M.M.C de (10, 14, 28 e 35).
3) Sabe-se que M.M.C de (50 e 60) = 300. Calcule os múltiplos comuns de 60 e 50 menores que
2.000. (Sugestão: você conhece o menor múltiplo comum; para determinar os outros, calcule
os múltiplos desse número).
4) Um conjunto A é formado pelos múltiplos comuns de 10 e 12, menores que 500. Quantos
elementos tem esse conjunto A ?
GABARITO
1) a) 100 b) 48 c) 18 d) 70 e) 80
2) a) 30
l) 140
b) 36
c) 90
d) 210
f) 120 g) 40
e) 60
f) 48
h) 84
g) 150
i) 40
h) 360
i) 300
j) 720
k) 1200
3) 300, 600, 900, 1.500 e 1.800
4) (oito) elementos
4. NÚMEROS RACIONAIS
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Agora, as divisões cujos resultados não são números inteiros e que, portanto, não podem
ser realizadas no conjunto Z e para que a operação a : b (com a e b pertencendo ao conjunto dos
números inteiros e b diferentes de zero), seja sempre possível, será necessária a ampliação do
conjunto Z com a criação de uma nova categoria de números: números racionais positivos e
números racionais negativos – (conjunto Q ). Então, do mesmo modo como vimos no conjunto
Z, para cada número racional foi criado um número + a (lê-se: mais a) e um número – a (lê-se:
menos a):
+2/3
+2
2
2/3
– 2/3
–2
+0,5
+1,66
1,66
0,5
– 0,5
– 1,66
O conjunto constituído pelos números racionais negativos, pelo número zero e pelos números
racionais positivos é denominado “conjunto dos números racionais relativos, representado pela
letra Q, e escrito:
Q = { ...., – 2, ...., – 5/3, ...., – 1,........, 1/2......, 0,......., + 2/3,........, + 1,........, + 2,..........}
Observamos que: IN ⊂ Z e Z ⊂ Q
IN ⊂ Z ⊂ Q
Z
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Além dos conjuntos IN e Z, podemos identificar os seguintes subconjuntos de Q:
Q* =Q–{0}
Q+ = { números racionais não negativos } = { números racionais absolutos }
Q – = { números racionais não positivos }
Q* + = { números racionais positivos } = Q+ – { 0 }
Q* – = { números racionais negativos } = Q – – { 0 }
Observações:
+2 e –2
+ 1/4 e – 1/4/
+ 1,2 e – 1,2
Todos os números acima são números racionais opostos ou simétricos.
A RETA NUMÉRICA DECIMAL
C
A
B
r
–4
– 7/2
–3
–2
–1
– 3/4
+ 1/3
+1 +2
+5/2
+3
+4
Assim: o ponto A é a imagem geométrica do número racional + 1/3.
o número racional – 7/2 é a abscissa do ponto D.
ADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS – ADIÇÃO ALGÉBRICA
1º exemplo : ( + 3/5 ) + ( – 2/3 ) = + 3/5 – 2/3 = (+ 9 – 10) : 15 = – 1 /15
2ª exemplo: – 1/2 – [ 1/4 – ( 1/6 – 1/8 ) – 1/3] =
– 1/2 – [ 1/4 – 1/6 + 1/8 ) – 1/3] =
– 1/2 – 1/4 + 1/6 – 1/8 + 1/3
=
eliminando os parênteses
eliminando os colchetes
– 12 – 6 + 4 – 3 + 8
=
obtendo o mínimo múltiplo comum e realizando os cálculos
24
– 21 + 12
– 9/24 = 3/8 simplificando por 3 (três)
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24
3º exemplo: determine o valor da expressão:
x + y,
para x = – 5/8 e para y = + 1/2
x + y = ( –5/8 ) + ( + 1/2 ) =
(substituindo os valores de x e y)
( –5/8 ) + ( + 1/2 ) = (eliminando os parênteses)
–5/8 + 1/2 = – 5 + 4
= – 1 /8 (obtendo o mínimo múltiplo comum e realizando os cálculos)
8
Regra: quando o sinal imediatamente anterior aos parênteses, colchetes ou chaves é positivo,
conserva-se os sinais do interior dos parênteses, chaves e colchetes; se negativo, troca-se o sinal
do interior deles.
Na adição ou subtração de frações, podem ocorrer os seguintes casos:
AS FRAÇÕES TÊM O MESMO DENOMINADOR
2/6 + 3/6 = 5/6
Desse exemplo, concluímos que:
Regra: a soma de frações que têm denominadores iguais é obtida somando-se os numeradores e
conservando-se o denominador.
5/6 – 3/6 = 2/6
A partir desse exemplo, podemos dizer que:
Regra: a diferença entre frações que têm denominadores iguais é obtida subtraindo-se os
numeradores e conservando-se o denominador.
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
Observe o seguinte exemplo:
2/5 x 3/4 = 6/20
O exemplo nos mostra que:
Regra: o produto de dois números fracionários é obtido pela multiplicação dos numeradores
entre si e dos denominadores entre si.
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Há casos em que a determinação do produto de números fracionários pode ser facilitada:
EXISTEM FATORES COMUNS NO NUMERADOR E NO DENOMINADOR
3/4 x 5/3 = 5/4 (cancela-se o fator 3 do numerador e o fator 3 do denominador)
5/3 x 2/5 x 7/2 = 7/3 (cancela-se os fatores 2 e os fatores 5)
EXISTEM FATORES NO NUMERADOR E NO DENOMINADOR QUE PODEM SER
SIMPLIFICADOS
4/15 x 10/9 = 8/27 (dividem-se os fatores 10 e 15 por 5)
2/9 x 3/15 x 10/2 = 2/9 (dividem-se 10 e 15 por 5, e 3 e 9 por 3 cancelam-se os fatores 2)
DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
Observe o seguinte exemplo:
2/3 : 5/4 = 2/3 x 4/5 = 8/15, o que nos permite concluir a seguinte regra:
Regra: o quociente de um número racional por outro é obtido multiplicando-se o primeiro pelo
inverso do segundo.
Veja mais este exemplo:
Calcular o valor da expressão : 2/15 + 2/3 : 5/9
Solução:
2/15 + 2/3 : 5/9 = 2/15 + 2/3 x 9/5 = 2/15 + 2/3 x 9/5 = 2/15 + 6/5 = 2 + 18
=
15
20/15 = 4/3
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
Vamos calcular a potência: (2/3)4
(2/3)4 = 2/3 x 2/3 x 2/3 x 2/3 = 24 : 34 = 16/81
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4 fatores
Regra: a potência de um número fracionário é obtida elevando-se o numerador e o denominador
ao expoente indicado.
Vamos considerar as seguintes expressões:
( – 1/7)2 = + 1/49
(quando o expoente é par, a potência é sempre positiva).
( + 2/3)4 = + 16/81
(quando o expoente é par, a potência é sempre positiva).
( + 1/5)3 = + 1/125
(quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base).
( – 3/2)5 = – 243/32
( + 3/7)1 = + 3/7
(quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base).
(potência de expoente 1 é igual a base).
( – 5/6)0 = + 1
(potência de expoente zero é igual a + 1).
( + 3/4) – 1 = + 4/3
(a potência de um número racional com expoente – 1 é igual ao inverso
do número dado).
EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES
Observando a figura abaixo, notamos que 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 representam a mesma parte
da unidade tomada.
1/2
Verificamos que existem frações diferentes
que representam a mesma parte do todo. Daí a
definição: duas ou mais frações que
representam a mesma parte do todo são
equivalentes.
2/4
3/6
4/8
5/10
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CORRESPONDÊNCIA DE FRAÇÃO DECIMAL COM NÚMERO DECIMAL E VICE
VERSA
Toda fração com denominador 10, ou 100, ou 1.000, ou .....
decimal.
denomina-se fração
Exemplos: 3/10, 5/100, 8/1000
Para lermos uma fração decimal, lemos, inicialmente, o numerador da fração seguido:
-
da palavra décimo quando o denominador for 10.
da palavra centésimos quando o denominador for 100.
da palavra milésimos quando o denominador for 1000.
2/10 lê-se : três décimos;
3/100 lê-se : três centésimos;
3/1000 lê-se três milésimos.
Representação decimal de cada parte:
1/10 = 0,1 são representações diferentes do mesmo número racional.
1/100 = 0,01 são representações diferentes do mesmo número racional.
1/1000 = 0,001 são representações diferentes do mesmo número racional.
0,1; 0,01; 0,001; 0,3; 0,04 são chamados, simplesmente, números decimais.
São, também, números decimais, por exemplo. 2,5 ; 1,48 ;
1
12,624.
A vírgula separa as unidades inteiras das unidades decimais.
As unidades inteiras formam a parte inteira do número decimal.
As unidades decimais formam a parte decimal do número decimal.
2,
6
2
4
parte decimal
parte inteira
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5. PORCENTAGEM
Freqüentemente, ouvimos frases como estas:
•
•
•
“Sete por cento de desconto.”
“Cinco por cento de comissão”.
“Prejuízo de quinze por cento.”
RAZÃO CENTESIMAL
As razões cujos conseqüentes são iguais a 100 são chamadas razões centesimais.
Exemplos: a) 7/100
b) 5/100
c) 15/100
PORCENTAGEM
Porcentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo % (por cento).
Exemplos:
a) 7/100 = 7% (que se lê: “7 por cento”)
b) 5/100 = 5% (que se lê: “5 por cento”)
c) 15/100 = 15% (que se lê: “15 por cento”)
Essa forma de representação (7%, 5%, 15%, etc.) chama-se taxa percentual.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Escreva as razões na forma de taxa percentual:
a) 1/100
b) 9/100
c) 35/100
d) 100/100
e) 143/100
f) 387/100
e) 89%
f) 130%
e) 9/25
f) 17/10
2) Represente na forma de razões centesimais:
a) 3%
b) 8%
c) 34%
d) 52%
3) Escreva as razões na forma de taxa percentual
Resolvido. 1/2 = 50/100 = 50%
a) 1/4
b) 3/5
c) 7/10
g) 7/2
h) 5/4
i) 3/8
d) 1/50
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GABARITO
1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1%
9%
35%
100%
143%
387%
2)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3/100
8/100
34/100
52/100
89/100
130/100
3)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
25%
60%
70%
2%
36%
170%
350%
125%
37,5%
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PROBLEMAS DE PORCENTAGEM
São resolvidos através de regra de três simples.
EXEMPLO 1
Calcular 20% de R$ 700,00.
100
20
700
x
100/700 = 20/x = 100 . x = 20 . 700
100 x = 14.000
x = 14.000 : 100
x = 140
Resposta : R$ 140,00
Método Prático
Calcular 20% de R$ 700,00.
Solução : 20/100 . 700 = 20 . 700 = 14.000
100
100
= 140
Resposta: R$ 140,00.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Calcule as porcentagens:
a) 8% de R$ 700,00
b) 5% de R$ 4.000,00
c) 12% de R$ 5.000,00
d) 15% de R$ 2.600,00
e) 100% de R$ 4.520,00
f) 125% de R$ 8.000,00
g) 0,4% de R$ 50.000,00
h) 1,2% de R$ 40.000,00
2) Calcule as porcentagens:
a) 3% de 400
b) 18% de 8.600
c) 35% de 42.000
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d) 0,5% de 150.000
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e) 1% de 3.000
f) 120% de 6.200
g) 3,2% de 6.000
h) 12,5% de 18.000
3) Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes.
4) Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é total de
desconto ?
5) Comprei uma bicicleta por R$ 500,00. Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei ?
6) Uma caneta que custava R$ 0,60 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por essa
caneta ?
7) Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 72,00 para lucrar 30% ?
8) Seu pai comprou um rádio por R$ 85,00 e obteve um desconto de 12%. Quanto pagou pelo
rádio ?
9) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 9.500,00. Querendo obter um lucro de 12%,
por que preço deverá vender a mesma ?
10) Ao se pagar com atraso, uma prestação de R$ 1.300,00 sofreu um acréscimo de 4%. Qual o
novo valor dessa prestação
GABARITO
3) 378 rapazes
1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
4) R$ 30,40
R$ 56,00
R$ 200,00
R$ 600,00
R$ 390,00
R$ 4.520,00
R$ 10.000,00
R$ 200,00
R$ 480,00
5) R$ 75,00
6) R$ 0,57
7) R$ 93,60
8) R$ 74,80
2)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
12
1548
14700
750
30
7440
192
2250
9) R$ 10.640,00
10) R$ 1.352,00
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
EXEMPLO 2
Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual foi a taxa de porcentagem dos aprovados ?
Solução:
40
100
36
(Em cada 40 alunos, temos 36 aprovados.)
(Em cada 100 alunos, teremos x aprovados.)
x
Proporção:
40
=
36
40 x = 3600
x = 3600 : 40
x = 90
100
x
Resposta: A aprovação foi de 90%.
EXEMPLO 3
Comprei uma camisa e obtive um desconto de R$ 1,20, que corresponde à taxa de 5%. Qual era o
preço da camisa ?
Solução:
100
5
x
Proporção:
1,20
100
x
=
5
= 5 x = 120
x = 120 : 5
x = 24
1,20
Resposta: A camisa custava R$ 24,00.
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
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PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Numa escola de 40 alunos, 6 foram reprovados. Qual a taxa de porcentagem dos alunos
reprovados ?
2) Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas. Qual a taxa de
porcentagem das frutas estragadas ?
3) Comprei um carro por R$ 23.000,00 e revendi com um lucro de R$ 1.610,00. Qual foi a taxa de
lucro ?
4) Um comerciante recebeu um desconto de R$ 1.312,00 numa compra cujo valor era de
R$82.000,00. Calcule a taxa de desconto.
5) Um produto custa R$ 40,00 e é vendido por R$ 52,00. Qual é a taxa de lucro?
6) Numa turma de 30 operários faltaram 12. Qual a taxa de operários presentes ?
7) As tarifas de ônibus foram majoradas, passando a R$ 1,60 para R$ 2,16. Qual foi a taxa de
aumento ?
8) Oito (8) por cento dos vencimentos de um operário equivalem a R$ 33,60. Calcule o total de
seus vencimentos.
9) Numa classe foram reprovados 15% dos alunos, isto é, 9 alunos. Quantos alunos havia na
classe?
10) Um corretor de imóveis recebeu R$ 1.700,00 correspondentes a 5% de sua comissão. Qual o
valor da venda ?
GABARITO
1) 15%
2) 8%
3) 7%
4) 1,6%
5) 30%
6) 60%
7) 35%
8) R$ 420,00
9) 60 alunos
10) R$ 34.000,00
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PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Calculando 16% de 80, obtemos:
a) 12,8
b) 16
c) 24
e) 96
2) Calculando 7,4% de 6.000, obtemos:
a) 444
b) 454
c) 4440
e) 4540
3) Calculando 160% de 450, obtemos:
a) 72
b) 270
c) 620
e) 720
4) Somando-se 30% de 12 com 0,5% de 60, obtemos:
a) 3,6
b) 3,9
c) 6,6
d) 6,9
c) 20%
d) 100%
5) ( 10% )2 é igual a:
a) 1%
b) 10%
6) Trinta por cento da quarta parte de 6400 é igual a :
a) 480
b) 640
c) 240
d) 160
7) Se 5% de x é igual a 12, então x é igual a:
a) 240
b) 280
c) 200
d) 320
8) O aluguel de um apartamento é de R$ 720,00. Se houver um reajuste de 52% sobre esse valor,
ele será de:
a) R$ 1.084,40
b) R$ 1.094,40
c) R$ 1.095,40
d) R$1.094,50
9) Um salário de R$ 245,00 aumentado em 47% passa a ser de :
a) R$ 330,15
b) R$ 350,35
c) R$ 360,15
d) R$ 380,15
10) Trinta por cento da área de um painel de 20 m 2 é ocupada por ilustrações e 50% das ilustrações
são em azul. Então, a área ocupada pelas ilustrações em azul é igual a:
a) 3 m2
b) 6 m2
c) 9 m2
d) 12 m2
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
11) Uma indústria tem 85% dos seus empregados brasileiros e 60 estrangeiros. Então, o número
total de empregados é :
a) 540
b) 280
c) 320
d) 400
12) Um objeto custa R$ 185,00 a prazo; à vista tem 12% de desconto. O preço desse objeto à vista
é:
a) R$ 152,80
b) R$ 162,80
c) R$ 160,20
d) R$ 170,20
13) O preço de uma lancha de R$ 15.000,00 a ser vendida numa liquidação com 9% de desconto é:
a) R$ 12.650,00
b) R$ 13.650,00
c) R$ 13.350,00
d) R$ 16.350,00
14) A caderneta de poupança, no último ano, rendeu entre juros e correção monetária 21,5%. A
quantia de R$ 15.000,00 rendeu, nesse ano, para o seu depositante:
a) R$ 3.235,00
b) R$ 3.522,00
c) R$ 3.150,00
d) R$ 3.225,00
15) Um molho de pimenta passando 850 g contém 6% desse peso em alho. A quantidade de alho
que esse molho contém é:
a) 50 g
b) 51 g
c) 52 g
d) 53 g
16) Numa prova de 40 questões, quem errou 6 questões acertou:
a) 6%
b) 14%
c) 60%
d) 85%
17) Uma duplicata de R$ 14.400,00 foi paga, antes do vencimento, por R$ 13.824,00. A taxa de
desconto foi de:
a) 3%
b) 4%
c) 5%
d) 6%
18) Um brinquedo custava R$ 70,00 e passou a custar R$ 75,60. O aumento representa:
a) 6% do preço antigo.
b) 7% do preço antigo.
c) 8% do preço antigo.
d) 12% do preço antigo.
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19) Uma verba de R$ 360.000,00 foi assim distribuída: para o setor A 36 mil reais; para o setor B
108 mil reais e para o setor C 216 mil reais. Expressando estas parcelas em percentuais, nesta
ordem, temos:
a) 15%, 25% e 60% b) 10%, 32% e 58% c) 10%, 30% e 60% d) 10%, 28% e 62%
20) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia:
4 x R$ 367, 20
ou
R$ 1.080,00 à vista
Quem comprar a prazo, pagará a mais:
a)
b)
c)
d)
25% do preço à vista.
28% do preço à vista.
32% do preço à vista.
36% do preço à vista.
21) Se o passe de um jogador for vendido por R$ 10.000.000,00 com quanto ficaria o clube,
sabendo-se que o jogador deve receber 15% do valor do seu passe ?
a) R$ 8.500.000,00
b) R$ 1.500.000,00
c) R$ 850.000,00
d) R$ 150.000,00
22) No dia 1º de dezembro um lojista aumenta em 20% o preço de um artigo que custava R$300,00.
Na liquidação após o Natal o mesmo artigo sofre um desconto de 20%. Seu preço na liquidação é:
a) R$ 240,00
b) R$ 250,00
c) R$ 278,00
d) R$ 288,00
23) Numa turma, 80% dos alunos forma aprovados, 15% reprovados e os 6 alunos restantes
desistiram do curso. Na turma havia :
a) 65 alunos
b) 95 alunos
c) 80 alunos
d) 120 alunos
24) Após um aumento de vinte por cento um livro passa a custar R$ 18,00. O preço antes do
aumento era de:
a) R$ 15,00
b) R$ 14,40
c) R$ 14,00
d) R$ 16,00
25) Um trabalhador recebe R$ 2.800,00 de salário bruto do qual é descontado 8% de INSS e 3% de
imposto de renda. O desconto total é de:
a) R$ 84,00
b) R$ 224,00
c) R$ 298,00
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d) R$ 308,00
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26) Seja
x=
a) 0,66
9−
6
+ 25 − 4,8.
5
b) 0,066
Então, o valor de 0,3% de x é:
c) 2,2
d) 6,6
GABARITO
1) A
2) A
3) D
4) B
5) A
6) A
7) A
8) B
9) C
10) A
11) D
12) B
13) B
14) D
15) B
16) D
17) B
18) C
19) C
20) D
21) A
22) D
23) D
24) A
25) D
26) B
6. REGRA DE TRÊS
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Vejamos o seguinte problema: se 4 bolas custam R$ 800,00, quanto custarão 8 bolas ?
As duas grandezas são número de bolas e custo. No problema dado, aumentamos o valor de uma
grandeza (número de bolas) e desejamos saber qual o valor correspondente da outra (custo), na
mesma proporção.
Os problemas dessa natureza são conhecidos pelo nome de regra de três e consistem em
calcular um valor desconhecido ( incógnita ) que designamos por x, através de outros valores
conhecidos, todos eles guardando entre si perfeita proporcionalidade.
Se no problema aparecem somente duas grandezas proporcionais, como no exemplo
apresentado (número de bolas e custo), diz-se que a regra de três é simples. Se, por exemplo,
compreende mais de duas grandezas (número de operários, comprimento de um muro e tempo gasto
para construí-lo), a regra de três é composta.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples pode ser direta ou inversa. Ela é direta, quando as grandezas são
diretamente proporcionais, isto é, variam no mesmo sentido.
A regra de três é inversa quando as grandezas são inversamente proporcionais, isto é,
variam em sentido contrário : enquanto uma aumenta a outra diminui; (por exemplo, número de
operário e tempo para fazer certa obra).
Doravante, apenas para facilitar a compreensão, indicaremos por convenção, se a regra de
três é direta ou inversa através de uma seta colocada ao lado da grandeza. Assim, quando a regra
de três for direta, a seta ficará voltada para baixo ( ↓ ); quando for inversa, a seta ficará voltada
para cima ( ↑ ). Ainda para facilitar a solução dos problemas, por convenção onde estiver a
incógnita ( x ), a seta ficará sempre voltada para baixo.
Tomando-se os dados do problema enunciado, poderemos dispô-los da seguinte forma:
4
8
bolas........................................R$ 800,00
bolas........................................R$ x
OBSERVAÇÃO:
a) na primeira linha horizontal, escrevemos os valores conhecidos (4 bolas e R$ 800,00);
b) na segunda linha horizontal, escrevemos o outro valor conhecido e o valor desconhecido
(incógnita), a saber : 8 bolas e x;
c) os valores respectivos de cada grandeza devem ficar em perfeita correspondência vertical, como
se observa no problema acima: bolas embaixo de bolas e reais embaixo de reais.
d) conforme estabelecido por convenção, marcamos em seguida com seta para baixo a grandeza
onde se encontra a incógnita ( x ). Resta agora apurar se a regra de três é direta ou inversa.
4
bolas.........................................R$ 800,00
8
bolas.........................................R$ x
Analisemos o problema dado. Quando aumentamos o número de bolas, é claro que o preço
que deveremos pagar (custo) será também maior. Assim, se aumentando o valor da grandeza
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número de bolas, o valor correspondente da grandeza custo tende a aumentar, concluímos que
estas duas grandezas são diretamente proporcionais, isto é, variam no mesmo sentido. Logo, a
regra de três é direta. Marquemo-la, pois, com a seta voltada para baixo. Assim,
4
bolas.........................................R$ 800,00
8
bolas.........................................R$ x
Calculemos agora o valor de x. Como já sabemos que a regra de três é direta, podemos
armar a seguinte proporção entre os 3 elementos conhecidos e a incógnita, bastando seguir o sentido
das setas : 4 : 8 :: R$ 800,00 : x
Lê-se: 4 está para 8 assim como 800 está para x. Os números 8 e 800,00 são os meios e 4 e x
são os extremos da proporção. Para calcular o valor de x, estando ele na extremidade da proporção,
multiplicam-se os meios e divide-se o produto pelo outro extremo conhecido; quando o x estiver no
meio da proporção, multiplicam-se os extremos e divide-se o produto pelo meio conhecido. Assim,
na proporção acima, teremos:
x =
8 x 800,00
4
=
6. 400,00
4
=
1.600,00
MODO PRÁTICO DE RESOLVER A REGRA DE TRÊS DIRETA
Um modo prático de resolver a regra de três direta, a ser adotado pelo candidato sempre
que possível, consiste em após armar a regra de três conforme já ensinado, traçar uma diagonal
entre os valores opostos de cada grandeza, como abaixo demonstramos.
4
bolas......................R$ 800,00
8
bolas......................R$ x
Feito isso, calcula-se o valor da incógnita por meio de uma fração que tem para numerador
o produto dos valores conhecidos que estão ligados pela diagonal ( 8 bolas e R$ 800,00 ) e para o
denominador o outro valor conhecido (4 bolas ), que se acha unido à incógnita ( x ) como segue:
4
bolas......................R$ 800,00
8
bolas......................R$ x
x = 8 x 800
= R$ 1.600,00
4
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Chamamos a atenção do candidato agora para o seguinte problema, em que as grandezas não
estão enunciadas na mesma unidade: um carro percorre 120 quilômetros em 2 horas. Quantos
quilômetros percorrerá em 40 minutos ?
No problema aparecem duas grandezas: percurso em quilômetros e tempo em minutos.
Entretanto, a grandeza tempo vem expressa em duas unidades de medida tempo ( hora e minutos ).
Desse modo, antes de armar a regra de três, temos que reduzir a grandeza a uma só unidade. Assim,
duas horas reduzidas a minutos nos dão 120 minutos. Agora sim, podemos armar a regra de três e
resolver o problema.
120 m ......................120 km
x = 40 x 120
40 m.......................... x
= 40 km
120
REGRA DE TRÊS INVERSA
Examinemos o seguinte problema: se 6 homens executam um trabalho em 24 dias, em
quanto tempo 9 homens, nas mesmas condições, o executarão ?
Armando a regra de três dentro do modelo já estabelecido, teremos:
6 homens ......................24 dias
9 homens.......................x dias
Vejamos, em seguida, se a regra de três é direta ou inversa. Assim, se 6 homens levaram 24
dias para fazer determinado trabalho, é lógico que, aumentando número de homens para 9, estes
precisarão de menos tempo para executá-lo. Verificamos, então, que as duas grandezas variam em
sentidos opostos, pois aumenta uma (número de homens ) e a outra (tempo gasto em dias ) diminui.
Logo, a regra de três é inversa, que indicaremos com a seta voltada para cima.
6 homens ......................24 dias
9 homens.......................x dias
Para armar a proporção, basta seguir o mesmo sentido das setas. Assim na grandeza homens
a seta está voltada para cima ( no sentido de 9 para 6 ) na grandeza dias a seta está voltada para
baixo ( no sentido de 24 para x ). Logo:
9 : 6 :: 24 : x
x = 6 x 24
=
16
9
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MODO PRÁTICO DE RESOLVER A REGRA DE TRÊS INVERSA
A regra de três inversa também pode ser resolvida de forma prática, que consiste em, após
armar a regra de três conforme já ensinado, calcular o valor da incógnita através de uma fração que
tem para denominador o valor conhecido que se liga horizontalmente ao x e para numerador o
produto dos demais valores conhecidos. Assim, no caso já apresentado, teríamos :
6 homens ......................24 dias
9 homens.......................x dias
6 x 24
x =
= 16 dias
9
PROBLEMAS RESOLVIDOS
1) Um operário ganha R$ 720,00 por 20 dias de trabalho. Quanto ganharia se tivesse trabalhado 12
dias ?
Solução:
20 dias ......................720
20 : 12 :: 720 : x
12 dias....................... x
12 x 720
x =
= 432,00
20
2) Um operário faz em 3 dias certa tarefa, cujo coeficiente de dificuldade é de 1,2. Quantos dias
levará para fazer outra, se o coeficiente for de 0,8 ?
Solução: Diminuindo a dificuldade, diminui o tempo gasto, logo, regra de três direta.
1,2 ...................... 3 dias
1,2 : 0,8 :: 3 : x
0,8 x
x =
3
=
2 dias
1,2
0,8....................... x dias
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3) A habilidade de dois operários está na razão de 3 para 4. O primeiro fez 6 metros de um muro.
Quantos metros faria o segundo, no mesmo espaço de tempo ?
Solução:
3 ...................... 6 metros
4
3 : 4 :: 6 : x
x
6
=
x
=
8 metros
3
4....................... x metros
4) Se 8 operários construíram um muro em 20 dias, 10 operários em quantos dias o farão ?
Solução: Aumentando o número de operários, diminui o número de dias. Logo, regra de três
inversa.
8 op ...................... 20 dias
10 op ....................... x dias
10 : 8 :: 20 : x
8 x
20
x =
=
16 dias
10
5) Vinte operários fazem 1/3 de uma obra em 12 dias. Quanto tempo será necessário para fazer a
obra toda, se despedirmos 8 operários ?
Solução: 3 x 12 = 36 dias ( fariam a obra toda )
20 operários – 8 operários = 12 operários.
20 op ...................... 36 dias
12 op ....................... x dias
20 x 36
x =
= 60 dias
12
6) Uma roda com 40 dentes engrena com outra de 30 dentes. Sabendo que a primeira deu 450
voltas, calcular o número de voltas da segunda.
Solução:
40 dentes ...................... 450
30 dentes ....................... x
40 x 450
x =
= 600 voltas
30
30 : 40 :: 450 : x
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7) Um fazendeiro tem 25 porcos e alimento suficiente para sustentá-los durante 16 dias. Tendo
recebido mais 15 porcos, durante quantos dias poderá alimentá-los sem diminuir a ração ?
Solução: 25 + 15 = 40 porcos
25 ...................... 16 dias
40 ....................... x dias
25 x 16
x =
= 10 dias
40
40: 25 :: 16 : x
8) Para percorrer a distância entre duas cidades, um avião gasta 3 horas, desenvolvendo 400
km/hora. Se quiser reduzir o tempo gasto para 2/3, qual deverá ser a sua velocidade ?
Solução: 2/3 de 3 horas = 2/3 x 3/1 = 6/3 = 2 horas
400 km/h ...................... 3 horas
x km/h ....................... 2 horas
400 x 3
x =
= 600 km/h
2
x : 400 :: 3 : 2
9) Trinta operários trabalhavam numa obra. Após 25 dias, quando a metade estava pronta, foram
despedidos 20 operários. Em quantos dias os demais terminarão a obra ?
Solução : 30 – 20 = 10 operários ( restante )
30 op ...................... 25 dias
10 op ....................... x dias
30 x 25
x =
= 75 dias
10
10 : 30 :: 25 : x
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7. JUROS SIMPLES
Denomina-se juro a quantia que se recebe como compensação, quando se empresta ou
aplica, por um período determinado, uma certa importância. O dinheiro depositado ou emprestado
chama-se capital. O juro, é portanto, a remuneração do capital.
Para resolver os problemas de juros, pode-se adotar o tradicional processo de fórmulas, cuja
regra básica é a seguinte: o juro é igual ao produto do capital pela taxa anual e pelo tempo,
dividido por 100, a saber:
c.i.t
j =
100
Dessa fórmula geral, são deduzidas todas as demais fórmulas que permitem encontrar os
outros elementos que ali figuram, a saber:
Cálculo da Taxa
j x 100
i=
c.t
Cálculo do Tempo
j x 100
t =
c.t
Cálculo do Capital
j x 100
c =
i.t
No estudo deste ponto, entretanto, ao invés de fórmulas, resolveremos os problemas através
da regra de três simples, eis que o problema nada mais é do que um problema de porcentagem
acrescido de mais um valor : o tempo.
Para facilitar o entendimento deste método, relembramos que, nos problemas de
porcentagem, são 4 os valores que participam, a saber: capital, taxa (parte de 100%), porcentagem
e 100% ( ou 100 partes proporcionais e que corresponde ao capital ).
O capital (que é o todo, a quantia principal) é sempre igual a 100% ( número total de partes
em que este é dividido), enquanto a porcentagem é sempre igual a taxa.
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Logo,
Capital
Porcentagem
= 100%
= taxa ( i% )
As igualdades acima servem de base para armar a regra de três simples, através da qual
solucionamos todos os problemas de porcentagem. Para calcular a porcentagem, basta multiplicar a
taxa ( i%) pelo capital e dividir por 100. Assim, para calcular 5% de 200, faremos:
5
1.000
x 200 = 1.000
: 100 =
10
Se quiséssemos calcular quantos porcentos 10 representa de 200, armaríamos a seguinte
regra de três:
200.......................100%
10.......................x
10 x 100
x
=
=
5%
200
Se aumentarmos a taxa, a porcentagem (resultado) também aumentará. Por exemplo, 20%
de R$ 500,00 são iguais a R$ 100,00, que é a quinta parte do capital considerado (R$ 500,00), isto
porque a taxa de 20% é também igual a quinta parte de 100% (que representa o capital). Do mesmo
modo, 50% de R$ 500,00 são iguais a R$ 250,00 (metade do capital), porque a taxa 50% é a metade
de 100%.
Nos problemas de porcentagem, conforme vimos, a taxa incide diretamente sobre o capital
sem qualquer outra limitação (5% de R$ 200,00 = R$ 10,00). Já nos problemas de juros a taxa está
vinculada ao tempo durante o qual o capital esteve empregado (5%a.a x 1 ano x R$ 200,00 =
R$10,00), tomando-se como base o período de 1 ano (12 meses ou 360 dias).
Convém observar, portanto, que, nos problemas de juros, trabalhando sempre com a taxa ao
ano, se o tempo dado no problema for expresso somente em anos, o capital será igual a 100 (100 x
1 ano); se em meses (ou anos e meses), o capital será igual a 1.200 (100 x 12 meses); se em dias
(ou anos, meses e dias ou meses e dias), o capital será igual a 36.000 (100 x 360 dias).
O juro é o rendimento gerado pelo capital. Assim, se o capital é igual a 100 (tempo em
anos), 1.200 (tempo em meses) ou 36.000 (tempo em dias), concluímos que o juro é igual ao
resultado da multiplicação da taxa (parte dos 100%) pelo tempo (ano, mês ou dia) durante o qual o
capital esteve empregado. Exemplificando:
a) capital = 100 (tempo em anos)
i = 5% a.a.
t = 3 anos
i.t = 5 x 3 = 15 (representativo dos juros)
b) capital = 1.200 (tempo em meses)
i = 3% a.m. ou 3 x 12 = 36 a.a.
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t = 4 meses
i.t = 36 x 4 = 144 (representativo dos juros)
c) capital = 36.000 (tempo em dias)
i = 0,2 a.d. ou 0,2 x 360 = 72% a.a.
t = 20 dias
i.t = 72 x 20 = 1.440 (representativo dos juros)
Obs.: Trabalhando com os valores representativos do capital acima indicados (100, 1.200 ou
3.600), sempre que precisarmos determinar a taxa, o resultado será sempre taxa ao ano
Armando a proporção, encontramos :
Capital = 100, 1.200 ou 36.000
Juro
= taxa x tempo
Com base nas igualdades acima, de onde também são extraídas as fórmulas já conhecidas,
resolveremos qualquer problema de juros simples, através apenas da regra de três simples.
TAXAS
TAXA UNITÁRIA E TAXA PERCENTUAL
Duas são as taxas habitualmente usadas: taxa unitária e taxa percentual.
Taxa Unitária – representa o juro da unidade de capital num determinado período
considerado para unidade de tempo. Exemplo: se o juro do capital R$ 1.000.000,00 em 1 ano é
R$40.000,00, diz-se que a taxa unitária anual é igual a 0,04 (4/100). Taxa normalmente utilizada
nos problemas de juros compostos.
R$ 1.000.000,00 x 0,04 x 1 = R$ 40.000,00
Taxa percentual – representa o juro do capital 100 no período tomado para unidade de
tempo. Exemplo: se o capital R$ 1.000.000,00 rende R$ 40.000,00 em um ano, diz-se que a taxa
anual é igual a 4% (quatro em cada 100).
1.000.000,00....................100
x...............................4
1.000.000 x 4
x
=
= 40.000,00
100
Confrontando os exemplos acima, concluímos que a taxa percentual é igual a 100 vezes a
taxa unitária correspondente.
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TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES
Taxas Proporcionais – são duas ou mais taxas que guardam entre si as mesmas proporções
que os períodos de tempo a que se referem, como segue:
• 6% ao semestre e 12% a.a.
• 6% ao trimestre e 2% ao mês.
No regime de capitalização simples, os juros de um capital à taxa de 6% ao semestre
durante o período de 12 meses são iguais aos juros do mesmo capital à taxa de 12% ao ano
durante 1 ano.
Conclui-se, portanto, que, nesse caso, as taxas proporcionais são também equivalentes.
DUAS PROVIDÊNCIAS IMPORTANTES
Como nem sempre o tempo dado nos problemas refere-se a um período completo ou há
coincidência entre o tempo dado e a taxa aplicada, devemos adotar preliminarmente duas
providências importantes, antes de resolver qualquer problema de juros:
a) verificar se a taxa vem referida ao ano (a.a.), ao mês (a.m.) ou ao dia (a.d.), pois trabalharemos
preferencialmente com a taxa ao ano, para facilitar a solução. Assim, quando a encontrarmos
referida ao mês, devemos imediatamente multiplicá-la por 12 ( 1ano = 12 meses ), a fim de
transformá-la ao ano; se referida ao dia, devemos igualmente multiplicá-la por 360 ( o ano
comercial tem 360 dias ) para transformá-la ao ano. Exemplos:
1/3 % a.m. = 1/3 x 12 = 4 % a.a.
1/40 % a.d. = 1/40 x 360 = 9% a.a.
b) verificar se o tempo dado no problema vem expresso em anos, meses ou dias para determinar
se o capital corresponderá a 100 (tempo em anos), 1.200 (tempo em meses), ou 36.000 (tempo em
dias). Não esquecer também que, se o tempo vier expresso em número complexo (anos, meses e
dias, anos e meses, meses e dias), devemos imediatamente reduzi-lo a incomplexo, como nos
exemplos baixo:
2 a 6 m = 24 + 6 = 30 meses (usaremos o capital = 1.200)
1 a 5 m 10 d = 360 + 150 + 10 = 520 dias (usaremos o capital = 36.000)
5 m 20 d = 150 + 20 = 170 dias (usaremos o capital = 36.000)
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE – As providências preliminares acima devem ser adotadas para
resolver qualquer tipo de problema de juros. Contudo, quando houver coincidência de taxa e
tempo (por exemplo: 5% a.a. em 3 anos, ou 5% a.m. em 8 meses ou 5% a.m. em 1 a 4 m = 16
meses), o problema pode Ter uma solução simplificada, como veremos a seguir: Calcular os juros
produzidos pelo capital de R$ 5.000,00 à taxa de 5% a.a., em 5 anos ?
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i = 5% a.a. (significa que, a cada período de 1 (um) ano, haverá um ganho (juros) de 5% ou o
equivalente a 5/100 ou 1/20 do capital.
t = 5 anos (significa que o capital ficará aplicado durante 5 anos completos).
c = R$ 5.000,00 (capital, quantia principal aplicada e sobre a qual vai incidir a taxa; é
representada por 100).
Solução: (Tempo em anos e a taxa também ao ano)
5% x 5 a.a. = 25% (juros totais)
25 x 5.000,00
25% de R$ 5.000,00 =
= R$ 1.250,00 (juros)
100
Se o mesmo capital fosse aplicado à taxa de ¼% a.m., durante 8 meses, assim calcularíamos os
juros.
Solução: (Tempo em meses e taxa ao mês)
1/4 % x 8 m = 8/4 = 2% (juros totais)
2 x 5.000,00
2% de R$ 5.000,00 =
= R$ 100,00 (juros)
100
PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Qual o juro produzido por R$ 2.000.000,00 em 5 meses à taxa de ½% a.m.?
Dica: Como a taxa vem referida ao mês, devemos de imediato transformá-la ao ano. Assim,
1/2 x 12 = 6% a.a.
2) Calcular os juros de R$ 18.000.000,00 à taxa de 4% a.a., em 1 ano, 2 meses e 20 dias.
Dica: 1 ano + 2 meses + 20 dias = 360 + 60 + 20 = 440 dias
3) Calcular o capital que, em 1 ano 2 meses e 20 dias, à taxa de 1/3% a.m., renda R$ 3.520.000,00
de juros.
Dica: 1 a 2 m 20 d = 440 dias
1/3 x 12 = 4% a.a.
4) A que taxa esteve colocado o capital de R$ 12.000.000,00 para, em 1 ano e 4 meses, render
R$800.000,00 de juros ?
Dica: 1 a 4m = 12 + 4 = 16 meses
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5) A que taxa se deve aplicar certo capital, para, no fim de 5anos, produzir juros iguais a 8/16 de si
mesmo?
Solução:
juros : 8
8 x 100
capital : 16
x =
= 50 (taxa x tempo)
16 (capital)..............100(juros)
16
8 (juros)..................x
50 : 5 = 10 % a.a.
6) Um capital de R$ 20.000.000,00 à taxa de 5% a.a., rendeu R$ 800.000,00 de juros. Qual o
tempo?
7) Durante quanto tempo uma quantia deve ser emprestada a 5% a.a., para que os juros produzidos
sejam iguais a 3/5 do capital ?
8) Um capital está para os seus juros como 8 está para 1. Determine o tempo a que esteve
emprestado, sabendo que a taxa é de 6% a.a.
GABARITO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
R$ 50.000,00 de juros
R$ 880.000,00
R$ 72.000.000,00
80 : 16 = 5 % a.a.
10% a.a.
288 dias = 9 meses + 18 dias
4320 ou 12 anos (4320: 360)
750 dias = 2 anos + 1 mês
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8. ÁREA DE FIGURAS PLANAS
A área de uma região quadrada cujo lado mede ℓ unidades de comprimento é dada por
S = ℓ x ℓ = ℓ2
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
Exemplo: Calculemos a área de uma região quadrada que tem 6 cm de lado.
Obs.: Os lados de uma região quadrada são sempre iguais.
Como a medida do lado = 6 cm
Então, S = ℓ2 = (6 cm)2 = 6 cm x 6 cm = 36 cm2.
A área de uma região retangular de comprimento b e de largura h é dada por:
h
b
S = b x h.
Exemplo: Calculemos a área de uma região retangular que tem 6 cm de base (b) e 2 cm de altura
(h).
S = b x h, substituindo temos S = 6 x 2 = 12 cm2.
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A área de uma região limitada por um paralelogramo é obtida multiplicando-se o seu
comprimento (ou base) pela sua largura (ou altura), isto é, S = b x h.
h
b
Exemplo: Um paralelogramo tem 22 cm de comprimento e 12,5 cm de largura.
Calculemos a área da região limitada por esse paralelogramo.
Já sabemos que a fórmula : S =
b x h, substituindo, temos:
S = 22 cm x 12,5 cm = 275 cm2.
A área de uma região triangular cuja base mede b e cuja altura mede h é dada por:
bx h
S=
ou S = ( b x h ) : 2
2
altura
base
Exemplo: A base de uma região triangular mede 80 cm. A medida da altura corresponde a 3/10 da
medida da base. Qual é a área dessa região ?
Já sabemos que
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bx h
S=
e também, que 3/10 de 80 = 24 cm.
2
Substituindo, temos:
80 cm x 24 cm
S=
1.920 cm
=
=
2
960 cm2
2
A área de uma região circular de raio r é dada por :
S=π x
r2
Exemplo: Quantos m2 de carpete serão usados para forrar um piso circular de 8 m de diâmetro ?
Obs.: o diâmetro = duas vezes o raio.
Já sabemos que
S=π x
r2 e que o
diâmetro
=
4 m e π = 3, 14 .
2
Substituindo, temos : S
= 3, 14 x 42 = 3,14 x 16 = 50, 24 m2.
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PROBLEMAS PROPOSTOS COM GABARITO
A figura abaixo nos mostra a planta de um apartamento. Baseado em seus dados calcule:
a)
quantos m2 de carpete são necessários para cobrir o piso da sala, do corredor, dos dois
dormitórios, da cozinha, da área de serviço e do banheiro.
b)
quantos m2 de carpete são necessários para cobrir o piso da sala, do corredor e dos dois
dormitórios.
c)
quantos m2 de cerâmica são suficientes para cobrir o piso do banheiro, da cozinha e da
área de serviço.
Área de
Serviço
4m
Cozinha
Dormitório
1,50
2,50 m
m
Banheiro
3m
Sala
4,20 m
4m
4m
2,50 m
Dormitório
4,50 m
1,70
m
3m
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Resposta:
Área do Piso da Sala = 18,9 m2
Área do Piso do Corredor = 3,75 m2
Área do Piso 1º Dormitório = 16 m2
Área do Piso2º Dormitório = 13,5 m2
Área da Piso Cozinha = 16 m2
Área do Piso da Área de Serviço = 6,8 m2
Área do Piso do Banheiro = 7,5 m2
a)
82, 45 m2 = 18,9 + 3,75 + 16 + 13,5 + 16 + 6,8 + 7,5 = 82,45 m2
b)
52,15 m2 = 18,9 + 3,75 + 16 + 13,5 = 52,15 m2
c)
30,30 m2 = 7,5 + 16 + 6,8 = 30,30 m2
DAS MEDIDAS DE VOLUME
Temos como unidade fundamental para o cálculo de volumes um cubo, cuja a aresta mede
1 m denominado metro cúbico, que se abrevia m3. Sendo elas :
- o decâmetro cúbico, que se abrevia “dam3 ” e vale 1.000 m3.
- o hectômetro cúbico, que se abrevia “hm3 ” e vale 1.000.000 m3.
- o quilômetro cúbico, que se abrevia “km3 ” e vale 1.000.000.000 m3.
Estas unidades são os múltiplos do metro cúbico.
Estas unidades são os submúltiplos do m3.
O metro cúbico é um cubo de 1 metro de aresta.
1 metro
-
As unidades menores que o m3 são:
o decímetro cúbico, que se abrevia “dm3 ” e vale 0,001 do m3.
o centímetro cúbico, que se abrevia “cm3 ” e vale 0,000001 do m3.
o milímetro cúbico, que se abrevia “mm3 ” e vale 0,000000001 do m3.
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1 metro
1 metro
DA TRANSAFORMAÇÃO DE UNIDADES
Note que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente
inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 1.000 em 1.000.
1º exemplo: Transformar 5 m3 na unidade imediatamente inferior.
5 m3 = ( 5 x 1.000 ) dm3 = 5.000 dm3
Regra : Como estamos tratando de m3 e a unidade de transformação pedida está apenas uma
casa a esquerda da unidade original, basta multiplicar por 1.000 ou simplesmente colocar
três zeros à direita do número dado.
2º exemplo: Transformar 1.200.000 cm3 em m3 .
1.200.0
cm3 = ( 1.200.000 : 1.000.000 ) m3 = 1,2 m3
Regra : Como a unidade de transformação pedida está situada duas casas à esquerda da
unidade original, basta dividir o número dado por 1.000.000 ou simplesmente cortar os zeros
da unidade original.
PROBLEMAS PROPOSTOS
1º grupo : Transformar na unidade imediatamente inferior:
a)
b)
c)
d)
13 m3
1,5 dm3
0,03 cm3
0,12 dam3
2º grupo: Transformar na unidade imediatamente superior:
a)
b)
c)
d)
1.500 cm3
45 m3
150.000 mm3
485.200 dm3
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GABARITO:
1º grupo:
a) 13.000 dm3
b) 1.500 cm3
c) 300 mm3
d) 1.200 m3
2º grupo:
a) 1,5 dm3
b) 0,045 dam3
c) 150 cm3
d) 485,2 m3
CÁLCULO DO VOLUME DE UM SÓLIDO
Regra fundamental: Dado um cubo cuja a aresta mede a unidades de comprimento, o
volume do cubo pode ser calculado por V = a x a x a = a3.
Exemplo: Vamos determinar o volume de um cubo, cuja aresta mede 8 cm. Substituindo,
temos : V = (8 cm )3 = 8 cm x 8 cm x 8 cm = 512 cm3.
A figura abaixo nos mostra um paralelepípedo retangular que tem 8 cm de comprimento, 2
cm de largura e 4 cm de altura. Calcule o volume do paralelepípedo.
4 cm
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8 cm 2 cm
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Regra: Dado um paralelepípedo retangular que tem a unidades de comprimento, b unidades
de largura e c unidades de altura, o volume do paralelepípedo pode ser calculado por:
Então : V = 8 x 2 x 4 = 64 cm3.
9. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
DAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A unidade fundamental e legal para medir comprimentos é o “metro”, usado, na maioria dos
casos, para medir distâncias médias, como por exemplo, as dimensões da nossa casa, do nosso lote
residencial, do nosso quintal, etc. Sua abreviatura é “m”.
Existem também as unidades maiores que o metro, designadas para medir distâncias
maiores ou de grandes comprimentos, como as dimensões de uma fazenda, a distância entre duas
cidades, ou até mesmo, o diâmetro da Terra. Essa unidades são os múltiplos do metro. Sendo elas:
-
o decâmetro, que se abrevia “dam” e vale 10 m.
o hectômetro, que se abrevia “hm” e vale 100 m.
o quilômetro, que se abrevia “km” e vale 1000 m.
Há, ainda, as unidades menores que o metro, para medir pequenas dimensões como: o
comprimento de um prego, a largura da folha de um livro, etc. Essas unidades são os
submúltiplos do metro. Sendo elas:
-
o decímetro, que se abrevia “dm” e vale 0,1 do m.
o centímetro, que se abrevia “cm” e vale 0,01 do m.
o milímetro, que se abrevia “mm” e vale 0,001 do m.
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Múltiplos------------------------------- quilômetro
km
1.000 m
Múltiplos------------------------------- hectômetro
hm
100 m
Múltiplos------------------------------- decâmetro
dam
10 m
m
Unidade Fundamental
1m
metro
Submúltiplos..................................... decímetro
dm
0,1 m
Submúltiplos..................................... centímetro
cm
0,01 m
Submúltiplos...................................... milímetro
mm
0,001 m
Observação: o metro padrão encontra-se assinalado sobre uma barra de metal nobre no
Museu Internacional de Pesos e Medidas, na França. No Brasil, podemos encontrar uma cópia no
Museu Nacional.
Não podemos deixar de notificar que existem outras medidas de comprimento também usadas,
apesar de não pertencerem ao sistema de medidas. Sendo elas:
-
a polegada, que vale aproximadamente 25 milímetros.
a milha, que vale aproximadamente 1.609 metros.
a légua, que vale aproximadamente 5.555 metros.
LEITURA E TRANSFORMAÇÕES DAS UNIDADES DE COMPRIMENTO
1,
4
6
lê-se: 1 vírgula 46 quilômetros ou 1 quilômetro e 46 decâmetros.
x 10
km
x 10
hm
x 10
dam
x 10
m
x 10
dm
dam
x 10
cm
mm
hm
km
Vamos sintetizar o quadro das unidades de comprimento da seguinte forma:
Observando a sintetização acima, vemos que cada unidade de comprimento é 10 vezes maior
que a unidade imediatamente inferior e 10 vezes menor que a unidade imediatamente superior, ou
seja, as sucessivas unidades variam de 10 em 10.
Para exemplos, vamos considerar as seguintes transformações:
1)
Seja transformar 8 m na unidade imediatamente inferior.
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Como a unidade imediatamente inferior do “metro” é o “decímetro” e este está contido 10
vezes no “metro”, então: 8 m = ( 8 x 10 ) dm = 80 dm.
Regra : como “dm” está situado apenas uma casa abaixo do “m”, para transformar , basta
completar com um zero para direita.
2)
Seja transformar 24 mm na unidade imediatamente superior.
Como a unidade imediatamente superior do “mm” é o “centímetro” e este contém 10 vezes o
“mm”, então: 24 mm = ( 24 : 10 ) cm = 2,4 cm.
3)
Regra: transformar unidade “inferior” em outra “superior” significa dividir porque a
unidade menor está contida 10 vezes na maior, bastando, para tanto, contar, da direita para a
esquerda do número dado, uma casa para esquerda.
Seja transformar 3,5 km em m.
Como a unidade do “m” está situada três casas abaixo do “km”, então : 3,5 km = (3,5 x
1000) m = 3.500 m.
Regra: como “m” está localizado três casas abaixo de “km”, basta contar, da esquerda para
direita, três casas a partir da vírgula ou da parte fracionária, e, não da parte inteira, porque
esta marca a unidade antes da transformação.
PROBLEMAS PROPOSTOS
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Expresse:
2,5 km em m
0,4 m em cm
520 m em hm
63 mm em cm
85 cm em m
13,58 km em m
1,65 m em cm
750 m em km
45 mm em m
2,9 hm em m
48.600 m em km
0,225 km em m
8 cm em m
0,362 hm em m.
a)
b)
c)
d)
Respostas:
2.500 m
40 cm
5,20 hm
6,3 cm
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
0,85 m
13.580 m
165 cm
0,750 km
0,045 m
290 m
48,600 km
225 m
0,08 m
36,2 m.
49 m
MEDIDA DO PERÍMETRO DE UM POLÍGONO
Observe a seguinte figura:
110 m
Esta figura representa um campo de futebol que tem a forma retangular e seus lados medem
110 m e 40 m.
Para cercar totalmente o campo de futebol, devemos construir:
110 m + 49 m + 110 m + 49 m = 318 m.
Regra: a medida do perímetro, ou simplesmente perímetro de um polígono, é a soma das
medidas dos lados desse polígono.
Do exemplo do campo de futebol que tem a forma retangular, podemos definir a seguinte
fórmula : P = 2 x b + 2 x h.
Um terreno tem a forma e as medidas da figura abaixo. Para murar o terreno em todo seu
contorno, quantos m de muro devem ser construídos ?
50 m
75
20 m
60 m
m
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20 m
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Observa-se facilmente que, para murar o terreno em todo seu contorno será preciso construir
60 m + 50 m + 40 m + 20 m + 10 m = 200 metros do muro.
DAS MEDIDAS DE CAPACIDADE
A quantidade de líquido existente no interior de um recipiente chama-se capacidade do
recipiente, numa determinada unidade de referência. A unidade fundamental para medir a
quantidade de líquidos que um recipiente pode contar no seu interior é o litro, que se abrevia com
“ℓ” .
Observação: O litro corresponde à capacidade de um cubo cuja aresta mede 1 dm, ou seja,
corresponde ao volume de um decímetro cúbico. Simbolicamente, escreve-se: 1ℓ = 1 dm3.
Para medir grandes quantidades de líquidos, temos as seguintes unidades como múltiplos do
litro:
dal
- o hectolitro, que se abrevia hl
- o quilolitro, que se abrevia kl
- o decalitro, que se abrevia
e vale 10 litros.
e vale 100 litros.
e vale 1000 litros.
Para medir pequenas quantidades de líquidos, temos:
dl
- o centilitro, que se abrevia cl
- o mililitro, que se abrevia ml
- o decilitro, que se abrevia
e vale 0,1 do litro.
e vale 0,01 do litro.
e vale 0,001 do litro.
Estas unidades são os submúltiplos do litro.
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Observe o quadro das unidades de capacidade:
l
Múltiplos------------------------------- quilolitro
k
Múltiplos------------------------------- hectolitro
Unidade Fundamental
l
dal
100 l
l
1l
h
Múltiplos------------------------------- decalitro
1.000 l
10 l
litro
dl
Submúltiplos..................................... decilitro
Submúltiplos..................................... centilitro
cl
Submúltiplos...................................... mililitro
m
l
0,1
0,01 l
0,001
l
l
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
Sintetizando o quadro das unidades de capacidade, temos:
10
kl
10
hl
10
dal
10
l
10
dl
10
cl
ml
Observação : Cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior,
isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10.
1) Vamos expressar 2 litros em mililitro.
2 l = ( 2 x 100 m l ) = 2.000 ml
Regra: Observe que a unidade de transformação pedida é menor que a padrão três casas, por
isso, temos que multiplicar o número dado por mil ou simplesmente acrescentar três zeros para
direita.
2) Já sabemos que 1 dm3 = 1 l , então expresse 250 ml em cm3 .
250 ml = ( 250 : 1000 l ) = 0,25 l = 0,25 dm3
0,25 dm3 = 250 cm3.
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PROBLEMAS PROPOSTOS
Expresse em litros:
a) 2,5 hectolitros
b) 650 centilitros
c) 1.800 mililitros
d) 6 m3
GABARITO:
a) 250 litros
b) 6,50 litros
c) 1,8 litros
d) 6000 litros.
10. DAS MEDIDAS DE MASSA
Quando medimos a massa de um corpo no chão (ao nível do mar) encontramos um número
que é, também, a medida do peso do corpo. Sendo assim, podemos medir a massa de um corpo na
superfície da Terra usando uma balança. Assim, as unidades usadas para medir a massa de um
corpo são as mesmas usadas para medir o peso do corpo.
Observação: A massa de um decímetro cúbico de água a uma temperatura de 4º C constitui a
unidade padrão de massa, chamado quilograma, que se abrevia “kg”.
Contudo, por ser mais prático, usamos como unidade principal o “grama”, que se abrevia
“g” e se constitui numa massa igual à milésima parte do quilograma, isto é:
1 kg = 1.000 g = 0,001 kg.
Existe outras unidades, conforme nos mostra o quadro a seguir
Múltiplos------------------------------- kilograma
kg
1.000 g
Múltiplos------------------------------- hectograma
hg
100 g
Múltiplos------------------------------- decagrama
dag
10 g
g
Unidade Fundamental
1g
metro
Submúltiplos..................................... decigrama
dg
0,1 g
Submúltiplos..................................... centigrama
cg
0,01 g
Submúltiplos...................................... miligrama
mg
0,001 g
Além dessas unidades, existe outras especiais : a tonelada ( t ) = 1.000 kg; o megaton, que
corresponde a 1.000 toneladas; o quilate = 0,2 grama.
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TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES:
Sintetizando o quadro das unidades de massa, temos
kg ____ hg _____ dag _____ g _____ dg _____ cg _____ mg
Observação : Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente
inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10.
1)
Transformar 5 kg em gramas
Logo: 5 kg = ( 5 x 1000 g ) = 5000 g.
Regra: como a unidade pedida na transformação está à direita da unidade padrão três casas,
devemos multiplicar por mil ou simplesmente acrescentar três zeros.
2)
Transformar 130 cg em g.
130 cg = ( 130 : 100 ) = 1,30 g
DAS MEDIDAS DE TEMPO
Como se sabe, o relógio indica segundo, minuto e hora. O segundo é a unidade fundamental
das medidas de tempo. O símbolo do segundo é o ( s ).
UNIDADES MAIORES QUE O SEGUNDO
Minuto ( min ) = 60 segundos
Hora ( h ) = 60 minutos ou 3.600 segundos.
Dia ( d ) = 24 horas.
As medidas de tempo não são decimais. Por isso, não use a vírgula para representá-las.
Exemplos: 6 horas e 30 minutos = 6 h 30 min
4 horas, 35 minutos e 15 segundo = 4 h 35 min 15 s
Observa-se que para reduzir medidas de tempo, multiplicamos ou dividimos por 60.
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Exemplos : Se 1 hora tem 60 minutos, quantas minutos há em 2 horas.
R: 2 horas = 60 x 2 = 120 minutos.
Quantos minutos há em 240 segundos ?
R: 240 : 60 = 4 minutos.
Registramos o tempo não só em horas, minutos e segundos. Existem outras medidas. Vejaas:
Dia = 24 horas
Semana = 7 dias
Quinzena = 15 dias
Mês = 30 ou 31 dias
Bimestre = 2 meses
Trimestre = 3 meses
Semestre = 6 meses
Ano = 12 meses
Biênio = 2 anos
Triênio = 3 anos
Quadriênio = 4anos
Qüinqüênio ou lustro = 5 anos
Decênio ou Década = 10 anos
Meio Século = 50 anos
Século = 100 anos
Milênio = 1.000 anos.
Em matemática, fazemos as operações com o mês comercial de 30 dias e o ano comercial
com 360 dias. Quando o ano tem mais um dia ( fevereiro ) é chamado de ano bissexto ( 366 dias ).
No ano bissexto, o mês de fevereiro tem 29 dias. Os anos são bissextos quando são divisíveis por 4
e dão divisões exatas.
Exemplo: 1992 : 4 = 498 é bissexto.
1982 : 4 = 495, não e bissexto, pois deixa o resto = 2.
Os meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. Os meses de janeiro, março,
maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias e no ano
bissexto, tem 29 dias.
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DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
A unidade fundamental para medir superfície corresponde a uma região quadrada de 1 metro
de lado denominada metro quadrado e que se abrevia com m2. Há também unidades maiores que o
metro quadrado e que são usadas para medir grandes superfícies. Sendo elas:
- o decâmetro quadrado, que se abrevia “dam2” e vale 100 m2.
- o hectômetro quadrado, que se abrevia “hm2” e vale 10.000 m2 .
- o quilômetro quadrado, que se abrevia “dm2” e vale 1.000.000 m2.
Há também unidades menores que o metro quadrado e que são usadas para medir pequenas
superfícies. Sendo elas:
-
o decímetro quadrado, que se abrevia “dm2” e vale 0,01 m2.
o centímetro quadrado, que se abrevia “cm2” e vale 0,0001 m2.
o milímetro quadrado, que se abrevia “mm2” e vale 0,000001 m2.
Desta forma, observe o quadro das unidades para medir superfície :
Múltiplos------- quilômetro quadrado
km2
1.000.000 m2
Múltiplos------- hectômetro quadrado
hm2
100.000 m2
Múltiplos------- decâmetro quadrado
dam2
100 m2
Unidade Fundamental ...........metro quadrado
m2
1 m2
Submúltiplos.... decímetro quadrado
dm2
0,01 m2
Submúltiplos.... centímetro quadrado
cm2
0,0001 m2
Submúltiplos... . milímetro quadrado
mm2
0,000001 m2
É muito importante notar que cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade
imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 100 em 100.
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DA TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES:
1º exemplo: Transformar 2 m2 na unidade imediatamente inferior.
2m2 = ( 2 x 100 ) dm2 = 200 dm2
Regra: Como estamos tratando de metro quadrado e a unidade imediatamente inferior a m2 é
dm2, para transformar, basta completar, para direita, com dois zeros.
2º exemplo : Transformar 1.600 hm2 na unidade imediatamente superior.
1.600 hm2 = ( 1 600 : 100 ) km2 = 16 km2
Regra: o nosso estudo é sobre quadrado, então, como a unidade imediatamente superior a hm2 é o
km2 que está à esquerda apenas uma casa, basta eliminar, da direita para a esquerda, dois
algarismos do número dado.
3º exemplo: Transformar 3,5 hm2 em m2
3,5 hm2 = ( 3,5 x 10.000 ) m2 = 35.000 m2
Regra: Lembre-se de que estamos estudando metro quadrado, então, como a unidade de
transformação m2 está abaixo da unidade original duas casas, basta completar, a partir da parte
fracionária, com dois zeros para cada casa, da esquerda para direita.
DAS MEDIDAS AGRÁRIAS
Para medir grandes porções de terras (como sítios, fazendas), usamos as unidades agrárias.
Sendo elas :
- o centiare, que se abrevia “ca” e vale 1 m2.
- o are, que se abrevia “a” e vale 100 m2 = ao dam2.
- o hectare, que se abrevia “ha” e vale 10.000 m2 = ao hm2
DA TRANSFORMAÇÃO DAS UNIDADES AGRÁRIAS
1º exemplo : Transformar 30.000 m2 em ha.
30.000 m2 = ( 30.000 : 10.000 ) hm2 = 3 hm2 = 3 ha
Regra: Note que o hectare corresponde ao hm2 = 10.000 m2, então, estamos transformando uma
unidade menor em outra maior. Portanto, basta dividirmos o valor da unidade fornecida pelo valor
correspondente da unidade pedida na transformação.
2º exemplo : Transformar 4,2 ha em m2.
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4,2 ha = 4,2 hm2 = ( 4,2 x 10.000 ) m2 = 42.000 m2
Regra: Como estamos transformando uma unidade maior para outra menor, é claro que a primeira
contém várias vezes a segunda, então, basta multiplicarmos a unidade dada pelo valor
correspondente da unidade pedida ( 10.000 = 100 x 100 ) por que a unidade pedida na
transformação está duas unidades à direita da unidade fornecida.
PROBLEMAS PROPOSTOS
Expresse as seguintes unidades nas unidades pedidas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
600 hm2 em km2
3,2 km2 em m2
840.000 m2 em ha
3.650 cm2 em m2
0,036 km2 em dam2
48 ha em km2
13,6 ha em m2
0,063 m2 em cm2
0,0003 km2 em m2
8.510.000 m2 em km2
325.600 m2 em ha
5 ha em km2
GABARITO
a) 6 km2
b) 3.200.000 m2
c) 84 ha
d) 0,365 m2
e) 360 dam2
f) 0,48 km2
g) 136.000 m2
h) 630 cm2
i) 3.000 m2
j) 8,51 km2
l) 32,56 ha
m) 5.000 km2
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Concurso do Basa – 24.10.2004 – Técnico Bancário
(UnB/CESPE/BASA/2004) A respeito de juros simples, julgue os itens seguintes.
1. Para que um capital aplicado a uma determinada taxa trimestral de juros simples triplique de valor em 5 anos, é
necessário que a taxa de juros seja superior a 12%. (Errado)
Solução:
5 anos = 60 meses = 20 trimestres
Logo:
3.C = C . i . 20 
 3C : 1 C = i . 20 
 3 = i . 20 
 i = 3 : 20 
 i = 0,15 a.t. ou i = 5 % a.m.
2. (UnB/CESPE/BASA/2004) Considere que, para uma dívida de R$ 3.200,00 com vencimento em 12 meses,
contados a partir da data de hoje, o credor ofereça ao devedor um desconto de 5% ao mês, caso ele aceite quitar a
dívida antecipadamente. Nessa situação, se o devedor aceitar a proposta e quitar a dívida no dia de hoje, ele pagará
menos de R$ 2.200,00. (Certo)
Solução:
A Juros Compostos, temos:
5% a.m. = 60% a.m.
M = C x ( 1 + i )n 
 3.200 = C x ( 1 + 0,6 )1 
 3.200 = C x (1,6)1 
 C = 3.200 : 1,6 
 C = 2.000 
M=C+J
J=M–C 
 J = 3.200 – 2.000 
 J = 1.200
A Juros Simples, temos:
J = 3200 x 0,6 x 1 = 1920
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(UnB/CESPE/BASA/2004) Uma instituição financeira oferece as opções para investimentos A, B e C, conforme a
tabela abaixo.
investimento
taxa mensal de
imposto de renda sobre
juros (%)
o rendimento mensal (%)
A
1,2
22
B
1,5
24
C
1,6
28
Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem.
3. O investimento B é o que dá melhor retorno ao aplicador. (Errado)
Solução:
A = 100 x 0,012 x 1 = 1,20 
Logo:
 101,20 – 22,264 = 78,936
B = 100 x 0,015 x 1 = 1,50 
Logo:
 101,50 – 24,36 = 77,14 
C = 100 x 0,016 x 1 = 1,60 
Logo:
 101,60 – 28,448 = 73,152.
4. Considere que um investidor aplicou X reais no investimento A e Y reais no C, com o intuito de, ao final de 1
mês, obter o mesmo rendimento líquido. Nessa situação, a relação entre as quantidades X e Y é tal que X/Y = 16/13.
(Certo)
Solução:
16 x 0,012 x 1 = 0,192 x 0,22 = 0,04224.
Logo: 0,192 – 0,04224 = 0,14976
13 x 0,016 x 1 = 0,208 x 0,28 = 0,05824.
Logo: 0,208 – 0,05824 = 0,14976
(UnB/CESPE/BASA/2004) Pedro e Paulo foram admitidos no serviço público após implantação do novo sistema de
aposentadorias, que estabelece que o servidor público não mais se aposentará com a remuneração integral do cargo
que ocupa. Temerosos com o futuro, cada um deles decidiu que iria abrir uma caderneta de poupança e, a cada mês,
sem nenhuma falha, depositaria determinada quantia e só faria algum resgate daqui a exatamente 30 anos, após cada
um deles ter efetuado 360 depósitos. Pedro decidiu depositar parcelas fixas de R$ 100,00 por mês enquanto Paulo
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decidiu que depositaria inicialmente R$ 100,00, mas, a cada mês, corrigiria o valor do depósito pela taxa de inflação
do mês anterior.
Com base nessa situação hipotética e considerando que durante os 30 anos em que Pedro e Paulo farão as suas
reservas a poupança pagará uma taxa de juros compostos de 0,6% ao mês e que a taxa de inflação permanecerá
constante e igual a 0,2% ao mês, julgue os itens subseqüentes.
5. Se Pedro fizer hoje o primeiro depósito de R$ 100,00, então, daqui a 30 anos completos, a
quantia S acumulada na sua caderneta de poupança poderá ser calculada pela fórmula: (Certo)
(1,006 ) 361 − (1,006 )
S = 100 .
0,006
Solução:
(1 + i ) n − (1 + i )
S = C.
i
S = 100 .
(1 + 0,006 ) 361 − (1 + 0,006 )
0,006
(1,006 ) 361 − (1,006 )
S = 100 .
0,006
S = 100 .
8,667044769 − 1,006 )
0,006
S = 100 .
7,661044769
0,006
S = 100 × 1276 ,840795 

S = 127 .684 ,07950795
6. Se Paulo fizer hoje o primeiro depósito de R$ 100,00, então, daqui a 30 anos completos, a quantia S acumulada na
sua caderneta de poupança poderá ser calculada pela fórmula:
S = 100,00 x {1,002359 x 1,006 + 1,002358 x 1,0062 + ... + 1,0022 x 1,006358 + 1,002 x 1,006359 + 1,006360 }  (Certo)
(UnB/CESPE/BASA/2004) No concurso para técnico bancário do BASA, o candidato está sendo submetido a duas
provas objetivas: P1 – Conhecimentos Básicos e P2 – Conhecimentos Específicos, cada uma com 60 itens. Conforme
o edital que regulamenta o concurso, para cada item cuja resposta marcada pelo candidato na Folha de Respostas
não coincida com o gabarito oficial definitivo, será atribuída pontuação igual a -1 e a cada item marcado cuja
resposta coincida com o gabarito oficial definitivo será atribuída pontuação
+ 1. A item com marcação inválida (deixado em branco ou com marcação dupla – C e E – ou
rasurada – ilegível para a leitura óptica) não é atribuída qualquer pontuação. A nota em cada prova é a soma
algébrica das pontuações atribuídas aos itens que a compõem, enquanto a nota final nas provas objetivas (NFPO) é
igual à soma das notas obtidas nas provas P1 e P2. Para não ser eliminado no concurso, o candidato deve atender aos
seguintes critérios: I – obter nota maior ou igual a 12 pontos na prova P1; II – obter nota maior ou igual a 18 pontos
na prova P2; III – obter NFPO maior ou igual a 36 pontos.
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Acerca do sistema de notas explicado acima, julgue os itens seguintes.
7. Se, na prova P1, o candidato marcar todos os itens sem nenhuma marcação inválida, então, para não ser eliminado
pelo critério I, ele poderá errar, no máximo, 20 itens nessa prova.
Solução:
60 questões – 24 erros = 36 acertos.
Logo:
36 acertos – 24 erros = 12 pontos. Portanto, ele poderá errar, no máximo, 24 itens nessa prova.
8. Se, na prova P2, o candidato fizer exatamente 15 marcações inválidas, então, para não ser eliminado pelo critério
II, ele deverá acertar, pelo menos, 32 itens nessa prova. (Certo)
Solução:
60 questões – 15 inválidas = 45 válidas.
Logo:
45 questões válidas – 14 erros = 31 acertos.
Subtraindo, obtemos:
31 – 14 = 17 pontos.
45 questões válidas – 13 erros = 32 acertos.
Logo:
32 – 13 = 19 pontos.
9. Se o candidato, nas duas provas, não fizer nenhuma marcação inválida, ele não será eliminado por nenhum dos
critérios I, II ou III se acertar 75 itens. (Errado).
(UnB/CESPE/BASA/2004) Acerca das progressões aritméticas e geométricas, julgue os itens que se seguem.
10. Considere a seguinte situação hipotética.
Dispostos em linha reta, estão 10 focos de incêndio e uma torneira, onde se encontram um balde e um bombeiro,
que deve apagar os focos de incêndio. Sabe-se ainda que:
- a torneira dista 50 metros do primeiro foco de incêndio e cada foco de incêndio está a 20 metros do seguinte;
- basta um único balde de água para apagar cada foco de incêndio;
- o bombeiro deve encher o balde de água na torneira, caminhar até o primeiro foco de incêndio, apagá-lo, retornar à
torneira para encher novamente o balde com água, caminhar até o segundo foco de incêndio, apagá-lo, voltar à
torneira e assim proceder, até apagar o último foco de incêndio, quando retornará à torneira para deixar o balde.
Nessa situação, ao apagar todos os focos de incêndio e recolocar o balde junto à torneira, o bombeiro terá caminhado
mais de 3 km. (Errado)
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Solução:
an = a1 + (n -1) . r
an = 50 + (10 – 1 ) . 20
an = 230
sn =
( a1 + a n ) × r
2
sn =
(50 + 230) × 20
2
sn =
2800
2
s n = 1400
Como é ida e volta, temos:
2800 metros.
11. Considere que a taxa de crescimento populacional de uma determinada região seja de 10% ao ano. Nessa
situação, para que a população dobre de tamanho em relação ao que é hoje, serão necessários mais de 10 anos.
(Errado)
Solução:
M=C+J
2.C=C +C.i.n
2 . C – 1 . C = C . 0,1 . n
1 . C : C = 0,1 . n
1 : 0,10 = n 
 n = 10 anos
(UnB/CESPE/BASA/2004) A demanda D por um produto que custa p reais é definida como a quantidade do
produto que será vendida quando se praticar o preço p. A oferta O de um produto ao preço de p reais é a quantidade
do produto que o produtor está disposto e apto a vender pelo preço p. O preço de equilíbrio de mercado ocorre
quando a demanda e a oferta coincidem, e a quantidade vendida é chamada de quantidade de equilíbrio. Com base
nesses conceitos, considerando que a demanda por um produto seja dada pela função D(p) = 49 – p 2 e que a oferta
desse produto seja dada pela função
O(p) = 11p – 11, julgue os itens seguintes.
12. Existem valores de p para os quais há mais demanda que oferta. (Certo)
13. O preço de equilíbrio ocorre para algum valor de p tel que 3 < p < 6. (Certo)
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14. Para os valores de p maiores que o preço de equilíbrio, existe menos oferta que demanda. (Errado)
15. A quantidade de equilíbrio é inferior a 30 unidades. (Errado).
Solução:
49 – p2 = 11p – 11 -- p2 + 11p – 60 = 0 
 ∆ = 361
X’ = 4
e X” = - 15 . Logo:
D(p) = 49 – p2  D(p) = 33 e
O(p) = 11p – 11  O(p) = 33.
Concurso do TRT/14ª Região/RO/AC
21.11.2004 – Técnico Judiciário Administrativo.
1. (Trade Census/RJ) Para um show de um grupo de rock no último sábado, foram vendidos 30% dos ingressos para
estudantes a preço reduzido e o restante a preço normal. Devido à chuva forte que caiu no horário do show, 4 em
cada 20 dos estudantes que adquiriram ingressos a preço reduzido não compareceram ao show, pois só foram
registrados 1080 ingressos a esse preço. O total de ingressos vendidos para esse show corresponde a:
a) 4500
b) 5400
c) 6200
d) 9600
e) 13500
Solução:
4 em cada 20 alunos não compareceram ao show, ou seja, 0,2 = 20% não compareceram ao show.
Logo:
1080 ingressos a preços reduzidos ------- 80%
x ingressos a preços reduzidos ------ 100%
80 . x = 1080 . 100  x = 108000 : 80 
 x = 1350 (Total de ingressos a preços reduzidos)
Para determinar, o total de ingressos vendidos, temos:
1350 ---------------------------- 30%
x ---------------------------------100%
30 . x = 1350 . 100  x = 135000 : 30 
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 x = 4500 (total de ingressos vendidos)
2. (Trade Census/RJ) Um casal em férias, planejando uma viagem de carro, estabeleceu que viajaria 350 km por dia
até chegar ao seu destino. No entanto, para fazer a viagem em apenas 5 dias, viajou 350 km no primeiro dia e, a cada
dia seguinte, percorreu a distância percorrida no dia anterior, acrescida de uma quantidade x de quilômetros, até que
no último dia viajaram 590 km. A distância total percorrida pelo casal, nessa viagem, até o seu destino foi de:
a) 1300 km
b) 1650 km
c) 2350 km
d) 2950
e) 6000 km
Comentários: a questão pode ser resolvida pela fórmula do termo geral de uma progressão aritmética ou pela
fórmula da soma de uma P.A. (ambos os casos).
Solução: pela fórmula da soma de uma P.A, temos:
( a1 + a n ) × r
2
(350 + 590) × 5
sn =
2
sn =
(940) × 5
2
4700
sn =
2
sn =
s n = 2350
ou ainda, pela fórmula do termo geral de uma P.A, temos:
a n = a1 + ( n − 1).r
590 = 350 + (5 − 1). r
590 − 350 = 4.r
240 = 4.r
r = 240 : 4
r = 60
Logo:
1º dia ------- 350 km;
2º dia ------- 350 km + 60 km = 410 km;
3º dia ------- 350 km + 60 km + 60 km = 470 km;
4º dia -------350 km + 60 km + 60 km + 60 km = 530 km;
5º dia ------- 590 km.
Somando, temos:
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350 km + 410 km + 470 km + 510 km + 590 km = 2350 km.
3. (Trade Census/RJ) Um escritório de advocacia tinha 60 processos com audiências designadas para um mesmo dia.
Para que todas as audiências pudessem ser cumpridas, a quantidade de processos foi distribuída em partes iguais por
toda a equipe de advogados do setor. No dia anterior às audiências, um dos advogados adoeceu e os processos
foram redistribuídos, de forma que cada advogado recebeu 2 processos a mais que na distribuição anterior. Como os
advogados realizaram todas as audiências previstas, cada advogado foi responsável por:
a) 5 processos
b) 6 processos
c) 8 processos
d) 12 processos
e) 14 processos
Comentários:
questão fácil! a única divisão possível para que ocorra a nova distribuição (2 processos a mais) é:
60 arquivos : 6 advogados = 10 arquivos para cada advogado. Como um dos advogados adoeceu, cada um dos
advogados (restantes) irá receber dois ( 2 ) processos a mais, logo:
1º advogado --- 10 + 2 = 12 processos;
2º advogado --- 10 + 2 = 12 processos;
3º advogado --- 10 + 2 = 12 processos;
4º advogado ----10 + 2 = 12 processos;
5º advogado ----10 + 2 = 12 processos.
Total = 60 processos
4. (Trade Census/RJ) Rodrigo precisou consertar seu computador e contratou um técnico que cobrou R$ 70,00 pela
visita mais R$ 50,00 por hora trabalhada, num total de R$ 220,00. Um
amigo de Rodrigo utilizou os serviços do mesmo técnico, nas mesmas condições, mas gastou o dobro de tempo do
serviço de Rodrigo. O preço total pago pelo serviço, pelo amigo de Rodrigo, foi de:
a) R$ 340,00
b) R$ 370,00
c) R$ 440,00
d) R$ 450,00
e) R$ 460,00
Solução:
Para calcular o total de horas que o técnico trabalhou para Rodrigo, temos:
R$ 220,00 – R$ 70,00 = R$ 150,00
Logo:
R$ 150,00 -------- 3 horas
x Reais --------- 6 horas
3 . x = 150 . 6  x = 900 : 3  x = 300.
Somando-se os R$ 300,00 + R$ 70,00 (visita) = R$ 370,00.
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5. (Trade Census/RJ) Uma empresa paga a seus vendedores 8% de comissão sobre o preço de venda de cada
produto. A empresa que receber por um determinado produto R$ 46,00, descontada a comissão do vendedor. Nesse
caso, o vendedor receberá de comissão pela venda desse produto, o valor de:
a) R$ 3,40
b) R$ 3,68
c) R$ 4,00
d) R$ 4,50
e) R$ 5,75
Solução:
R$ 46,00 ----------- 92%
x ----------------------8%
92 . x = 46 . 8 
 x = 368 : 92  x = 4’
Logo, a comissão paga será de R$ 4,00.
Para determinar o valor da mercadoria vendida, sem a comissão embutida, temos:
R$ 46,00 --------- 92%
x ---------------- 100%
92. x = 46 . 100  x = 4600 : 92  x = 50
6. (Trade Census/RJ) Uma empresa de transporte contratada para levar participantes de um congresso, em noite de
folga, para conhecer uma cidade vizinha, calcula o lucro obtido nessa excursão pela função L (x) = (90 – x) . (x –
20), onde L(x) é o lucro da empresa e x o preço cobrado. O lucro máximo obtido nessa excursão será de:
a) R$ 450,00
b) R$ 550,00
c) R$ 1.100,00
d) R$ 1.225,00
e) R$ 1.800,00
Solução:
L (x) = (90 – x ) . ( x – 20 ) 
 90.x – 1800 – x2 + 20 . x
 – x2 + 110 . x – 1800 = 0 . ( – 1 ) 
 x2 – 110 . x + 1800 = 0 
 ∆ = b2 – 4 a . c  ∆ = (-110)2 – 4 . 1 . (1800)
 ∆ = 12100 – 7200  ∆ = 4900 
 Xv = – ∆ : 4 .a 
 Xv = – ∆ : 4 .a 
 Xv = 4900:4 = 1225.
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7. (Trade Census/RJ) Para alugar um imóvel, um inquilino fez um depósito, como garantia de pagamento, em uma
aplicação a juro composto que rendeu 10% ao ano, durante 5 anos. Após esse tempo, o inquilino comprou seu
próprio imóvel e usou os R$ 5.635,00 que recebeu da aplicação para comprar móveis novos. O juro pago pela
aplicação foi de, aproximadamente:
a) R$ 1.675,00
b) R$ 2.135,00
c) R$ 2.850,00
d) R$ 3.200,00
e) R$ 3.500,00
Solução:
M = C x ( 1 + i )n 
 5635 = C x ( 1+ 0,1)5 
 5635 = C x (1,1)5 
 5635 = C x 1,61 
 C = 5635 : 1,61 
 C = 3500
Logo:
M=C+J 
 J=M–C
 J = 5635 – 3500 
 J = 2135.
8. (Trade Census/RJ) Durante muito tempo, a probabilidade de se chegar aos 100 anos era de 1 em 20.000.000, mas
hoje já se vive muito mais do que nossos avós. Aos 30 anos, o ser humano está no auge das suas funções mentais,
físicas e sexuais, mas as células já começam a envelhecer. A partir dos 40 anos, observa-se que a freqüência
cardíaca, de 80 batimentos por minuto na juventude, tende a diminuir 4 batimentos por década. De acordo com essa
tendência, 68 batimentos por minuto correspondem a uma idade de:
a) 50 anos
b) 60 anos
c) 70 anos
d) 80 anos
e) 90 anos.
Comentários: a questão pode ser resolvida pela fórmula do termo geral de uma progressão aritmética.
Solução:
a n = a1 + ( n − 1).r
a n = 40 + (4 − 1).10
an = 70
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Concurso para Técnico Tributário – Governo do Estado de Rondônia – 18/11/2001
1. (Unb/CESPE) Sem autorização do Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento para transportar boi vivo
para fora do estado, Rondônia continua tendo perdas financeiras. Ao mesmo tempo em que o frigorífico do estado
pagam, em média, R$ 39,50 pela arroba de boi gordo, em São Paulo, esse preço chega a R$ 49,00 e, no Mato
Grosso, a R$ 45,00. Em cada boi gordo de 17 arrobas, a diferença de preço supera R$ 160,00. Enquanto o comum
sempre foi haver uma diferença de preço de 15%, hoje a diferença chega a 24%. Como diariamente são abatidos
aproximadamente 3 mil bois em Rondônia, a diferença de preço corresponde a uma perda diária de mais de 480 mil
reais. “Um prejuízo economicamente exorbitante, tanto para o pecuarista como para Rondônia, pois esse dinheiro
poderia estar circulando dentro do estado”, afirma o empresário do setor Carlos Stecca.
Internet:http://www.folhaderondonia.com.br. Acesso em 06/12/2001 (com adaptações).
Com base no texto acima, julgue os itens a seguir.
I. Com relação ao preço no estado de São Paulo, a arroba do boi gordo no estado do Mato Grosso é 10% mais
barata. (Falso)
Solução:
R$ 45,00 --------100%
R$ 4,00 ---------x%
Logo: x = 8,88%
II. Quando o autor da matéria acima afirma que “a diferença chega a 24%”, está comparando o preço da arroba de
boi gordo no estado de Rondônia com o preço no estado de São Paulo. (Verdadeiro)
Solução:
R$ 39,50 ------ 100%
R$ 9,50 ------- x%
Logo: x ≈ 24,05%
III. Tomando como base o preço de São Paulo, se a arroba de boi gordo no estado de Rondônia fosse 15% mais
barata, como é comum acontecer, a perda diária correspondente a quantidade normalmente abatida nesse estado
seria inferior a 380 mil reais. (Verdadeiro)
Solução:
RO --- R$ 39,00 ------ 24% ---------480.000
SP ---- R$ 49,00 ------ 15% ----------
x
Logo: 39/49 : 24/15 = 480.000 / x 
 x = 352.800.000 : 936 
 R$ 376.923
IV. A afirmação mencionada no final do texto justifica-se uma vez que o prejuízo anual com a diferença de preço da
arroba de boi gordo praticado em Rondônia, comparado com o preço em São Paulo, é de fato exorbitante, superando
a quantia de 150 milhões de reais. (Verdadeiro)
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Solução:
R$ 480.000 : 3000 = R$ 160,00.
Logo:
R$ 480.000 x 360 = R$ 172.800.000,00
A quantidade de itens certos é igual a
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
2. (Unb/CESPE) Um pai dispunha de R$ 800,00. Desse montante, utilizou 35% para pagar uma dívida e repartiu o
restante entre 3 filhos em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabendo que seus filhos têm
3, 8 e 12 anos de idade, conclui-se que o filho mais novo recebeu
a) R$ 360,00
b) R$ 320,00
c) R$ 280,00
d) R$ 120,00
e) R$ 80,00
Solução:
1
1
1
x+ x+
x = 520 
3
8
12
 8.x + 3.x + 2.x = 12480  13.x = 12480 
 x = 12480 : 13  x = 960 (parâmetro)
Logo:
1/3.x = 1/3 . 960 = 320 (mais novo);
1/8.x = 1/8 . 960 = 120 (do meio);
1/12.x = 1/12.960 = 80 (mais velho).
3. (Unb/CESPE) Um investimento de R$ 20.000,00 teve uma parte aplicada à taxa de juros simples de 2% a.m. e
outra parte a juros simples de 3% a.m. Os juros mensais auferidos foram de R$ 480,00. Com base nessas
informações, julgue os itens a seguir.
I. A quantia aplicada a juros de 2 % a.m é superior a R$ 10.000,00 e inferior a R$ 13.000,00.
(Verdadeiro = R$ 12.000,00)
II. A quantia aplicada a juros de 3% a.m. é superior a R$ 7.000,00.
(Verdadeiro = R$ 8.000,00).
III. Os valores em reais dos juros mensais correspondentes às duas partes são iguais.
(Verdadeiro = R$ 240,00).
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Assinale a opção correta.
a) Apenas um item está certo.
b) Apenas os itens I e II estão certos.
c) Apenas os itens I e III estão certos.
d) Apenas os itens II e III estão certos.
e) Todos os itens estão certos.
Justificativa:
J1 = 20.000 . 0,01.x . 0,02 . 1 = 4x
J2 = 20.000 . 0,01.x . 0,03 . 1 = 6x
Logo:
J1 = 20.000 . 0,6 . 0,02 . 1 = 240.
J2 = 20.000 . 0,4 . 0,03 . 1 = 240.
Obs:
40% de R$ 20.000 = R$ 8.000,00
60% de R$ 20.000 = R$ 12.000,00.
4. (Unb/CESPE) Uma microempresa do setor de extração de látex, sediada no estado de Rondônia, renegocia sua
dívida de R$ 7.025,00 com o INSS da seguinte forma: pagará 60% da dívida imediatamente, e o saldo devedor será
quitado em 3 prestações iguais, após 3, 7 e 9 meses do pagamento inicial. Assumindo que o INSS cobre uma taxa
nominal de juros compostos de 12% a.a., com capitalização mensal, e considerando 1,01 – 3 = 0,97; 1,01 – 7 = 0,93 e
1,01 – 9 = 0,91, conclui-se que o valor da prestação será
a) inferior a R$ 800,00.
b) superior a R$ 800,00 e inferior a R$ 850,00.
c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 900,00.
d) superior a R$ 900,00 e inferior a R$ 950,00.
e) superior a R$ 950,00.
Solução:
R$ 7.025,00 ----- 100%
x ------------------ 60%
Logo:
100 . x = 7025 . 60  x = 421500 : 100 
x = R$ 4215,00, ou seja, pagará R$ 4.215,00 à vista.
Portanto, resta pagar R$ 7025,00 – R$ 4215,00 = R$ 2810,00 em 3 parcelas.
Utilizando a fórmula, temos:
N . (1 + 0,1) – 3 + N . (1 + 0,1) – 7 N . (1 + 0,1) – 9 = 2810
N . 0,97 + N . 0,93 + N . 0,91 = 2810
2,81 . N = 2810 - N = 1000.
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5. (Unb/CESPE) Uma nota promissória que vence no final de 1 ano é equivalente, na data de hoje, à soma dos
compromissos representados por 2 títulos, cujos valores nominais são de R$ 1.500,00 e de R$ 1.750,00, com
vencimentos ao final de 2 anos e 3 anos, respectivamente. Em ambos os títulos, é praticada uma taxa de juros
simples de 20% a.a. Adotando-se o desconto comercial simples, o valor nominal da nota promissória é
a) inferior a R$ 2.100,00.
b) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.200,00.
c) superior a R$ 2.200,00 e inferior a R$ 2.300,00.
d) superior a R$ 2.300,00 e inferior a R$ 2.400,00.
e) superior a R$ 2.400,00.
Solução:
Dc1 = N1 . i1 . n1 
 Dc1 = 1500 . 0,2 . 2  Dc1 = 600
Dc2 = N2 . i2 . n2 
 Dc2 = 1750 . 0,2 . 3  Dc2 = 1050
Logo:
Dc = N – A 
 1650 = N – A -- 1650 – 3250 = – A 
 A = 1600.
6. (Unb/CESPE) Um título com valor de face de R$ 1.090,00 deverá ser resgatado 10 meses após a sua emissão,
com juros simples de 2% a.m. sobre o valor inicial. O desconto racional simples que é obtido ao se resgatar esse
título 3 meses antes do vencimento, à taxa corrente de juros simples de 3% a.m. é de
a) R$ 108,00
b) R$ 105,00
c) R$ 90,00
d) R$ 75,00
e) R$ 70,00
Solução:
Dc = 1090 x0,02 x10
Dc = 218
N .i.n
1308 x0,03 x3
Dr =
⇒ Dr =
⇒
1 + i..n
1 + 0,03 x3
1308 x0,09
117,72
⇒ Dr =
⇒ Dr =
⇒
1 + 0,09
1,09
⇒ Dr = 108
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7. (Unb/CESPE) Considerando 1,065 = 1,34, o valor de resgate de uma aplicação de R$ 100.000,00, pelo prazo de
170 dias, a uma taxa de juros compostos de 6% a.m., utilizando-se a convenção linear, é
a) inferior a R$ 135.000,00.
b) superior a R$ 135.000,00 e inferior a R$ 138.000,00.
c) superior a R$ 138.000,00 e inferior a R$ 141.000,00.
d) superior a R$ 141.000,00 e inferior a R$ 145.000,00
e) superior a R$ 145.000,00.
Solução:
1 mês ---------30 dias
x -------------- 170 dias
x = 5,6666 meses - 5 meses e 20 dias.
FV = C x (1 + i)n . (1 + i . n) 
 FV = 100.000 x (1,06)5 x (1 + 0,06 . 2/3) 
 FV = 100.000 x (1,06)5 . ( 1 + 0,04) 
 FV = 100.000 x 1,34 x 1,04 
 FV = 139.360.
8. (Unb/CESPE) Uma empresa foi constituída da seguinte maneira: o fundador iniciou as atividades com um capital
de R$ 120.000,00. Seis meses depois, admitiu um segundo sócio, que participou com um capital de R$ 150.000,00.
Passados outros 6 meses, ingressou um terceiro sócio na empresa com um capital de R$ 100.000,00. Decorridos 4
anos desde a sua fundação, a empresa apresentou um lucro de R$ 78.300,00. Considerando que cada sócio deva
receber uma parcela do lucro proporcional ao capital por ele investido multiplicado pelo seu tempo de permanência
na empresa, conclui-se que a parte do lucro que corresponde ao terceiro sócio será
a) inferior a R$ 17.500,00.
b) superior a R$ 17.500,00 e inferior a R$ 18.500,00.
c) superior a R$ 18.500,00 e inferior a R$ 20.000,00.
d) superior a R$ 20.000,00 e inferior a R$ 21.000,00.
e) superior a R$ 21.000,00
Solução:
120.000.4 x + 150.000.3,5 x + 100.000.3 x = 78300
480.000 x + 525.000 x + 300.000 x = 78300
1.305.000 x = 78300 ⇒ x = 0,06
Logo:
1º  28800
2º  31500
3º  18000 - 100.000 . 3 . 0,06 = 18000
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98
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
9. (Unb/CESPE) Uma pessoa toma emprestado R$ 4.000,00 em um banco e, a cada 3 meses, amortiza a dívida
pagando uma prestação de R$ 500,00, acrescida de juros simples trimestrais de 3%, calculados sobre o saldo
devedor no momento anterior ao pagamento da parcela. Com base nessas informações, julgue os itens abaixo.
I. A dívida será quitada em 2 anos. (verdadeiro)
II. A diferença entre pagamentos consecutivos é constante. (verdadeiro)
III. O valor do terceiro pagamento é de R$ 600,00. (Falso)
IV. O valor total correspondente aos juros pagos é igual a R$ 540,00. (verdadeiro)
A quantidade de itens certos é igual a
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
Solução:
8 trimestres = 24 meses = 2 anos (verdadeiro)
1º trimestre --------- 4000 x 0,03 = R$ 120
2º trimestre --------- 3500 x 0,03 = R$ 105
3º trimestre --------- 3000 x 0,03 = R$ 90
4º trimestre --------- 2500 x 0,03 = R$ 75
5º trimestre --------- 2000 x 0,03 = R$ 60
6º trimestre --------- 1500 x 0,03 = R$ 45
7º trimestre --------- 1000 x 0,03 = R$ 30
8º trimestre ---------- 500 x 0,03 = R$ 15
R$ 540,00
10. (Unb/CESPE) Uma pessoa contraiu um empréstimo à taxa de juros compostos de 8% a.m., para pagar em 6
parcelas mensais e postecipadas de R$ 1.000,00 cada uma. Considerando 1,086 = 1,6, a quantia líquida recebida por
ela no momento do empréstimo foi
a) inferior a R$ 3.000,00.
b) superior a R$ 3.000,00 e inferior a R$ 4.000,00.
c) superior a R$ 4.000,00 e inferior a R$ 5.000,00.
d) superior a R$ 5.000,00 e inferior a R$ 5.500,00.
e) superior a R$ 5.500,
Solução:
(1 + i ) n − 1
(1,6) − 1
⇒ VA = 1000.
⇒
n
0,08.1,6
i.(1 + i )
0,6
⇒ VA = 1000.
⇒ VA = 1000 x 4,6875 ⇒
0,128
⇒ VA = 4687,50
VA = Vn.
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Problemas Resolvidos
1ª) Numa certa cidade, a distribuição dos votos válidos para a prefeitura da cidade, no 1º turno das eleições, está
representada na tabela.
CANDIDATOS
VO
TO
S
ALBERICO
FREDERICO
DEMAIS
CANDIDA
TOS
34%
*
*
6750
43,5%
*
a) Calcule os valores que completam a tabela.
Solução:
Alberico -----------43,5% -----------------13050
Frederico ----------34% --------------------10200
Logo:
43,5% + 34% + x% = 100%  x = 22,5%
(22,5% corresponde a 6750 votos)
Para calcular o total de eleitores, temos:
6750 ------ 22,5%
x
------ 100%
Logo:
x = 30.000 (total de eleitores)
Para calcular o total de votos de Alberico, temos:
30.000 -------- 100%
x ---------------43,5%
x = 13.050 (total de votos de Alberico)
Para calcular o total de votos de Frederico, temos:
30.000 -------- 100%
x ----------------34%
x = 10.200 (Total de votos de Frederico)
b) Qual foi a diferença de votos entre Alberto e Frederico?
Solução:
13.050 – 10.200 = 2850
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
2ª) (Unesp-SP) Suponhamos que, para uma dada eleição, uma cidade tivesse 18.500 eleitores inscritos. Suponhamos
ainda que, para essa eleição, no caso de se verificar um índice de abstenção de 6% entre os homens e de 9% entre as
mulheres, o número de votantes do sexo masculino fosse exatamente igual ao de votante do sexo feminino.
Determine o número de eleitores inscritos de cada sexo.
Solução:
0,06x + 0,09x = 18500 - 0,15x = 18500 
 x = 123.333,33333 (Parâmetro)
Logo:
0,06 . 123.333,333 = 7.400 (homens) e
0,09 . 123.333,333 = 11.100 (mulheres)
Logo:
0,09 x 7400 = 666
0,06 x 11100 = 666
3ª) Qual é o juro simples que um capital de R$ 7.000,00 rende quando aplicado:
a) durante 4 meses, a uma taxa de 2,5% a.m?
Solução:
J = C . i .n  J = 700 . 0,025 .4 
 J = 700
b) durante 1 ano, a uma taxa de 3 % a.m.?
Solução:
J = C.i.n  J = 7000 . 0,03 . . 12 
 J = 2520
4ª) Calcule o capital que se deve empregar à taxa de 6% a.m. , a juros simples, para obter R$ 6.000,00 de juro em 4
meses.
Solução:
J = C.i.n  6.000 = C . 0,06 . 4 
 C = 6.000 : 0,24  C = 25.000
5ª) Em quanto tempo um capital de R$ 80.000,00, aplicado à taxa anual de 11%, produz R$ 4.400,00 de juro?
Solução:
J = C.i.n  4.400 = 80.000 . 0,11 . n  n = 4400 : 8800  n = 0,5 anos = 6 meses
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
6ª) Qual a taxa mensal de juro composto que, aplicada ao capital de R$ 24.000,00, o transforma em um montante de
R$ 36.087,00 em 7 meses?
Solução:
M = C . ( 1 + i )n 
 36087 = 24.000 . ( 1 + i )7 
 1,503625 = ( 1 + i )7 
7
1, 503625
= (1+ i )
1,05999947 = ( 1 + i)  i = 1,05999947 – 1 
 i = 0,05999947 a.m.
7ª) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 a juro composto de 2,2% ao mês.
a) Daqui a quantos meses, aproximadamente, terá um montante de R$ 85.400,00?
Solução:
85400 = 80.000 . ( 1 + 0,022 )n 
 36087 = 24.000 
n
1, 0675 = (1, 022 )
n = 3 meses
b) Após quanto anos terá um montante de R$ 134.868,80?
Solução:
134.868,80 = 80.000 . ( 1 + 0,022 )n 
 134.868,80 : 80.000 = ( 1 + 0,022 )n 
 1,68586 = ( 1 + 0,022 )n 
 n = 24 meses = 2 anos
8ª) Um objeto custa, a vista, R$ 2.000,00. Na compra a prazo, dá-se R$ 700,00 de entrada e mais um pagamento de
R$ 1.800,00 para 60 dias. Qual a taxa de juro composto envolvida nessa operação?
Solução:
1800: 1300 = (1 + 1)2 
 1,384615385 = (1 + 1)2 
 1,176696811 – 1 = i

 i = 0,1767.
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Problemas Resolvidos
1. Uma loja vende certa mercadoria por R$ 504,00 à vista ou em 4 parcelas mensais de R$ 144,00. Comprando-se a
prazo se paga a mais uma taxa total de m% sobre o valor à vista. O valor aproximado de m é:
a)
b)
c)
d)
e)
5
9
12
14
16
Solução:
504 ----- 100%
72 ------- x %
Logo:
504 . x = 7200  x = 14,28%
2. Um andarilho resolve fazer uma viagem de 630 km. Se caminhasse a mais 10 km por dia, teria andado 4 dias a
menos para completar a viagem. Sendo x o número de dias gastos para fazer o percurso e y o número de km que
caminhou por dia, podemos afirmar que x + y é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
45
18
53
54
35
Solução:
x . y = 630  x = 630 : y
(x – 4) . (y + 10) = 630
Pelo método da substituição, temos:
x . y + 10 . x – 4 . x – 40 = 630 
630/1 + 630/y – 4y – 40 = 630 
 630 y + 6300 – 4y2 – 40y = 630 y 
 – 4 y2 – 40 y + 6300 = 0 . (–1) 
 4 y2 + 40 y – 6300y = 0  (: 4)
 y2 + 10 y – 1575 = 0 
 ∆ = 6400  y’ = 35 e y’’ = – 45
Logo:
x . y = 630  x . 35 = 630  x = 18
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
3. Numa disputa eleitoral há dois candidatos X e Y. Uma pesquisa indica que o candidato X terá sobre o candidato Y
uma vantagem equivalente a 20% sobre o total de votos válidos. Sabendo que o total de votos não válidos
(abstenção, votos em branco) devem somar 20% do total de 3.000.000 eleitores, se a pesquisa se concretizar, qual o
total de votos do candidato X?
a)
b)
c)
d)
e)
1.870.000
1.630.000
1.270.000
1.560.000
1.440.000
Solução:
3.000.000 x 0,20 = 600.00 (votos não válidos);
3.000.000 – 600.000 = 2.400.000 (votos válidos);
2.400.000 x 0,20 = 480.000 (vantagem do candidato x);
1.920.000 votos : 2 = 960.000 (votos para cada candidato);
Logo:
960.000 + 480.000 = 1.440.000 votos para o candidato x.
4. Dois bebês com idades de 3 e 6 meses pesam, respectivamente, 6 e 18 quilogramas. Pretende-se dividir uma ração
de 640 calorias, diretamente proporcional às suas idades e inversamente proporcional aos seus pesos. Qual dos
seguintes pares de valores de calorias representa esta divisão?
a)
b)
c)
d)
e)
300 e 340
280 e 360
240 e 400
256 e 384
264 e 376
Solução:
3/6 x + 6/8x = 640 
 9x + 6x = 11.520 
 15x = 11520 
 x = 768 (parâmetro)
Logo:
O mais novo  3/6 . 768 = 384
O mais velho  6/18 . 768 = 256
5. Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 3600 m de um certo tecido. Podemos afirmar que,
para fazer 1200 m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão:
a)
b)
c)
d)
e)
90 dias
80 dias
12 dias
36 dias
64 dias
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Solução:
Operários
Dias
12
15
90
x
Horas/Dia
8
6
Metros
3600
1200
Logo:
90 / x = 15/12 x 6/8 x 3600/1200 
 90/x = 324000 : 115200 
 x = 10368000 : 324000 
 x = 32 dias 
Portanto:
32 x 2 ( o dobro de tecido) = 64 dias
6. Uma quantidade de 6.240 litro de água apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à evaporação, esse
índice subiu 18%. A quantidade, em litros, da água evaporada é:
a) 2.000 litros
b) 2.080 litros
c) 2.800 litros
d) 2.010 litros
e) 1.000 litros
Solução:
18 -----100%
12 ---- x%
Logo: 18 x = 1200 - x = 66,67%
Daí, temos:
6240 --- 100%
x ------- 66,67%
Logo:
x = 4160
Daí, temos: 6240 – 4160 = 2080 litros
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7. A tabela abaixo mostra como deveria ser calculado o imposto de renda (pessoa física) de um determinado ano
base.
Base de cálculo
Alíquota
Até R$ 10.800,00
De R$ 10.800,01 a
R$ 21.600,00
Acima de R$
21.600,00
Isento
15%
Parcela a
deduzir
------------R$ 1.620,00
27,5%
R$ 4.320,00
Para calcular o imposto devido, basta aplicar a alíquota sobre o total de rendimento e subtrair o valor da dedução
correspondente.
Se um cidadão, que só deduz o que está indicado na tabela, concluiu que seu imposto devido é de R$ 3.490,00 qual
foi o seu rendimento nesse ano?
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 25.150,00
R$ 34.500,00
R$ 24.800,00
R$ 28.400,00
R$ 22.500,00
Solução:
21600 ------ R$ 5490 (1620 + 4320)
x ----------- R$ 7810 ( 3490 + 4320)
Logo:
5940 x = 168.696.000  x = 28400.
8. O custo para fabricação de x produtos é C(x) = 0,006x2 – 0,6x + 25. Para qual quantidade do produto o custo será
mínimo?
a)
46 b) 47
c) 48
d) 49
e) 50
Solução:
Xv = – b : 2 . a  – ( – 6 ) : 2 (6/1000) 
 0,6 : 12/100  0,6 x 100 : 12 
 600 : 12 = 50
9. Determine o quarto termo de uma P.A. Sabendo que a soma do 3º e 8º termos é igual a 17, e que a soma do 5º e
11º termos é igual a 32:
a) – 5
b)
3
c)
4
d)
5
e) – 3
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Solução:
a3 + a8 = 17
a5 + a11 = 32
a1 + 2r + a1 + 7 r = 17  2a1 + 9 r = 17 (– 1)
a1 + 4r + a1 + 10 r = 32  2a1 + 14 r = 32
– 2a1 + 9 r = 17
2a1 + 14 r = 32
5 r = 15 
 r=3
Logo:
2a1 + 9 r = 17 - 2a1 + 9 . 3 = 17 
 2a1 + 27 = 17  2a1 = 17 – 27 
 2a1 = – 10  a1 = – 5
10. As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em P.A de razão 20. As medidas dos ângulos do
triângulo são:
a)
b)
c)
d)
e)
20, 40 e 60
30, 40 e 60
40, 80 e 120
40, 60 e 80
60, 80 e 120
Solução:
(x – r) + x + (x +r) = 180 
 3x = 180  x = 60.
Logo:
(x – r ) = 40;
(x + r) = 80;
x = 60
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
11. Um técnico judiciário foi incumbido de arquivar os processos de um lote e observou que, em média, gastava 1
minuto e 15 segundos para arquivar 3 processos. Se ele cumpriu essa tarefa trabalhando ininterruptamente por 1
hora, 17 minutos e 30 segundos, o número de processos do lote era
a)
b)
c)
d)
e)
201
192
186
153
126
Solução:
60 segundos + 15 segundos = 75 segundos
75 segundos ---------- 3 processos
4650 segundos ------- x processos
Logo:
75 x = 13950  x = 13950 : 75  x = 186 processos.
12. Dos funcionários de certa empresa, sabe-se que: o número de homens excede o de mulheres em 16 unidades e a
razão entre a terça parte do número de homens e o dobro do número de mulheres, nessa ordem, é 3/16. Nessas
condições, o total de funcionários dessa empresa é:
a) 272
b) 268
c) 256
d) 252
e) 248
Solução:
x ---------------- quantidade de mulheres
x + 16 ---------- quantidade de homens
Logo:
x + 16/3 : 2.x = 3/16 
 x + 16 . 1/2x = 3/16 
 18x = 16x + 256 
 2x = 256 
 x = 128 mulheres
Portanto: 128 + 16 = 144 homens.
128 mulheres + 144 homens = 272
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Prova Resolvida e Comentada/
Concurso da Polícia Militar e Corpo de Bombeiros – RO/2002 – IPAD
1. Numa festa filantrópica, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$ 10,00. Sabendo que o
número de mulheres que foram à festa excede de 5 o número de homens e que ao todo foram arrecadados R$
550,00. Qual o número de mulheres que foram à festa?
a) 30
b) 15
c) 20
d) 35
e) 25
Solução:
x --------------- homens ---------------R$ 15,00
x + 5 --------- mulheres -------------- R$ 10,00
Grandeza Inversamente Proporcional
x + 5 / x = 10 / 15 
 10 . (x + 5) = 15 . x 
 10.x + 50 = 15.x 
 10 x – 15 x = – 50 
 – 5.x = – 50 . ( – 1)  x = 10.
2. Uma tonelada de cana-de-açúcar produz 138 kg de açúcar. Para produzir 161 sacos de 60 kg de açúcar, quantas
toneladas de cana são necessárias?
a) 60
b) 70
c) 65
d) 75
e) 72
Solução:
161 sacos x 60 kg = 9660 kg de açúcar
Cana de Açúcar
Açúcar
1000 kg -------------------------------- 138 kg
x
------------------------------- 9660 kg
Logo:
138x = 9660000 - 70000 kg = 70 toneladas
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
3. A engrenagem de um relógio antigo possui duas rodas dentadas que se encaixam, enquanto uma tem 12 dentes a
outra possui 54. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 16 voltas?
a) 35,5
b) 70
c) 36
d) 35
e) 72
Solução:
voltas
dentes
16 ----------------------------- 54
12 ------------------------------ x
Grandezas Inversamente Proporcionais.
Logo:
12/16 = 54/x  x = 864 : 12  x = 72
4. Um candidato ao vestibular da Universidade Federal de Rondônia em sua redação utilizou 420 palavras
cometendo 21 erros de ortografia. Qual é a taxa percentual de erros da sua redação?
a) 1%
b) 3%
c) 4%
d) 5%
e) 20%
Solução:
420 --------------------- 100%
21 ----------------------- x%
Logo:
420 . x = 2100  x = 5%
5. Em um torneio de futebol uma equipe venceu 3/5 dos jogos que disputou e empatou 1/3. Sabe-se que a equipe
perdeu apenas 2 jogos. Se cada vitória vale 3 pontos e cada empate vale 1 ponto, quantos pontos a equipe acumulou
no torneio?
a) 60 pontos
b) 62 pontos
c) 64 pontos
d) 66 pontos
e) 68 pontos
Solução:
3/5x + 1/3x + 2 = x 
 9x + 5x + 30 = 15x  x = 30 partidas disputadas.
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Logo:
3/5 x 30 = 18 vitórias x 3 = 54 pontos;
1/3 x 30 = 10 empates x 1 = 10 pontos;
Total de pontos acumulados = 64 pontos.
6. Para cobrir o piso de uma cozinha com 5metros de comprimento por 4 metros de largura, o Senhor Pedro deseja
colocar cerâmica de 25 cm x 25 cm. Quantas caixas serão necessárias para cobrir o piso da cozinha, sabendo que
cada caixa tem 20 pedras de cerâmica?
a)
b)
c)
d)
e)
10 caixas
12 caixas
14 caixas
16 caixas
20 caixas
Solução:
5 m x 4 m = 20 m2 (área da cozinha)
25 cm x 25 cm = 625 cm2 (área de cada azulejo)
625 cm2 : 10000 = 0,0625 m2
Logo:
0,0625 x 20 = 1,25 m2 ( área de 20 azulejos = 1 caixa)
Portanto:
20 m2 : 1,25 m2 = 16 caixas
7. O número de decibéis corresponde ao som provocado por tráfego pesado de veículos, e é dado pela fórmula
I = 10 – 16 . 10 n/10 , onde N é o número de decibéis, e I é a potência de um som medida em Watts por centímetro
quadrado. Se a potência do som for estimada em 10 – 8 Watts por centímetro quadrado, qual o número de decibéis?
a) 40
b) 80
c) 120
d) 160
e) 200
Solução:
Estabelecendo uma igualdade entre a fórmula dada e a potência do som, temos:
I = 10 – 16 . 10 n/10 
 10 – 8 = 10 – 16 . 10 n/10 
 10 – 8 : 10 – 16 = 10 n/10 
 108 = 10 n/10 
 n/10 = 8  n = 80
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111
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
8. Considerando log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual é o valor de log 28?
a) 1,447
b) 1,146
c) 1,107
d) 1,690
e) 2,107
Solução:
log 28 = log2 + log2+ log7 
 0,301 + 0,301 + 0,845 = 1,447
9. Suponha que, em órbita, um cometa A atinja o ponto mais próximo da Terra a cada 20 anos. Um cometa B a cada
30 anos e um cometa C a cada 70 anos. Se em 1985, os três estiveram simultaneamente o mais perto possível da
Terra, a próxima ocorrência desse fato se dará em que ano?
a)
b)
c)
d)
e)
2350
2405
2500
2605
2650
Solução:
20, 30, 70
10, 15, 35
5, 15, 35
5, 5, 35
1, 1, 7
1, 1, 1
2
2
3
5
7
2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 420
Logo: 1985 + 420 = 2405
10. Uma caixa d’água que tem 5 metros de comprimento por 1,20 metros de largura e 1,20 metros de altura, está
completamente cheia. Num dia de verão, o nível de água baixou 5 cm, por efeito da evaporação. Quantos metros
cúbicos de água restaram após a evaporação?
a) 7,2 m3
b) 7,5 m3
c) 6,6 m3
d) 6,9 m3
e) 0,3 m3
Solução:
5 cm : 100 = 0,05 metros
5 m x 1,20 m x 1,20 m = 7,2 m3
Logo:
5 m x 1,20 m x 1,15 m = 6,9 m3
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
11. Uma loja vendeu 60 computadores a R$ 1.500,00 cada, durante o mês de novembro. No mês seguinte, a loja
diminuiu 15% do preço de cada computador e por isso houve um aumento de 20% nas vendas. Quanto a loja
recebeu a mais em dezembro, pela venda dos computadores?
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 1.000,00
R$ 1.200,00
R$ 1.300,00
R$ 1.500,00
R$ 1.800,00
Solução:
R$ 1.500,00 x 60 = R$ 90.000,00 (novembro)
R$ 1.500,00 x 0,15 = R$ 225,00
R$ 1500,00 – R$ 225,00 = R$ 1275,00
60 x 0,20 = 12 computadores a mais em dezembro
Logo:
R$ 1275,00 x 72 = R$ 91800,00.
R$ 91.800,00 – R$ 90.000,00 = R$ 1.800,00.
Portanto: recebeu R$ 1.800,00 a mais em dezembro.
12. A altura atingida por uma bola, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h (t) = – 20 t2 + 200 t.
Qual a altura máxima atingida pela bola?
a) 200 m
b) 300 m
c) 400 m
d) 500 m
e) 600 m
Solução:
∆ = b2 – 4. a . c 
 ∆ = (200)2 – 4 . (– 20) . 0 
 ∆ = 40.000
Logo:
t= – ∆/4.a 
 t = 40.000 : 80 
 t = 500 metros (h máxima)
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13. A probabilidade de João ganhar um computador numa rifa de 100 números da qual ele comprou quatro bilhetes
é:
a) 1/25
b) 2/5
c) 1/10
d) 1/30
e) 2/50
Solução:
Probabilidade = 4/100 
 2/5 = 0,4 = 40%
14. Resolva em IR a equação:
1
2
1
a)
b)
c)
d)
e)
2
x
1
x
1
-2
= 0
2
x
1
x
1
-2
1
2
1
(3,0)
(0,3)
(3, -3)
(-3,0)
(3,0)
Solução:
1
2
1
2
x
1
=0
Portanto:
x2 + 1 – 8 + 2x – 2 – 2x = 0 
 x2 – 9 = 0  x = ± 3
15. Felipe tinha R$ 6.000,00. Ele aplicou um terço dessa quantia, durante um ano, a taxa de juro de 12% ao ano. O
restante aplicou, durante um ano, à taxa de 14% ao ano. Qual será o montante que Felipe vai retirar?
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 6.200,00
R$ 6.400,00
R$ 6.600,00
R$ 6.800,00
R$ 6.900,00
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Solução:
1/3 de R$ 6.0000 = R$ 2.000,00
J=C.i.n 
J = 2000 x 0,12 x 1 
J = 240
e
J = C . i .n 
J = 4000 x 0,14 x 1 
J = 560
Logo:
M=C+J 
M = 6000 + 800 
M = 6800
16. Um trabalhador recebe por mês R$ 180,00 mais uma gratificação de R$ 25,00 por cada produto vendido. No
final, de mês recebeu R$ 980,00. O número de produtos vendidos foi:
a) 32
b) 800
c) 42
d) 30
e) 50
Solução:
R$ 980,00 – R$ 180,00 = R$ 800,00
Daí , temos:
1 ---------------- 25
x ---------------- 800
25x = 800 
 x = 800 : 25 
 x = 32
17. O diretor de um presídio que formar uma comissão de 3 presos e dispõe de 10 presos. O número possível de
comissões diferentes que o diretor pode formar é:
a) 30
b) 720
c) 120
d) 1000
e) 604800
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Solução:
Análise Combinatória
n!

p ! ( n – p) !
10 !

3 ! ( 10 – 3) !
 720 : 6 = 120
18. Considere as matrizes
A=
2
1
3
-1
1
7
e B=
1 3
0 4
2 2
A soma dos elementos da 2 ª linha A . B é:
a) 28
b) 21
c) 12
d) 26
e) 2
Solução:
a11= 2.1 + 3.0 + 1.2 = 4
a12 = 2.3 + 3.4 + 1.2 = 22
a21 = 1.1 + (-1).0 + 7.2 = 15
a22 = 1.3 + (-1).4 + 7.2 = 13
Logo:
15 + 13 = 28
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Prova Resolvida e Comentada - Empresa de Correios e Telégrafos – Região Noroeste – RO/AC – Cargo:
Técnico Operacional – 2001 - Consultec
1. Uma prateleira está cheia de caixas com embalagens para Sedex, contendo cada caixa lacrada 15 embalagens.
Sabe-se que há 278 embalagens na prateleira e que todas as caixas estão lacradas, exceto uma que foi aberta e da
qual foram retiradas algumas embalagens. Assim sendo, pode-se afirmar que foram retiradas da caixa aberta um
número de embalagens igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
4
6
7
8
19
Solução:
1 caixa lacrada
x caixas
----------------- 15 embalagens
----------------- 285 embalagens
15 x = 285 
 x = 285 : 15 

x = 19 caixas
Logo:
1 caixa --------------------------- 15 embalagens
18 caixas ---------------------------- x embalagens
Temos:
x = 15 . 18  x = 270 embalagens 
 x = 270 + 8 = 278 embalagens.
Neste caso, 1 caixa = 15 embalagens, portanto sete (7) embalagens foram retiradas.
2. Os funcionários de determinado setor de uma empresa participaram de um treinamento de 2 dias e, para realizá-lo,
eles foram divididos em grupos de 12 pessoas, no primeiro dia, e de 15, no segundo dia. Com base nessa
informação, pode-se afirmar que o número mínimo de funcionários que esse setor pode ter é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
60
120
180
240
360
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Solução:
m.m.c.
12, 15
6, 15
3, 15
1, 5
1, 1
2
2
3
5
2 x 2 x 3 x 5 = 60
3. Do total de pessoas presentes na fila de determinada agências dos Correios, 1/5 vai apenas fazer pagamento e 1/3
do restante, além de fazer algum pagamento, vai também enviar correspondências. Nessas condições, a fração do
número de pessoas dessa fila que farão pagamento corresponde a:
a)
b)
c)
d)
e)
1/15
7/15
8/15
2/5
3/5
Solução:
1/5 + 1/3 = 8/15  Fração correspondentes as pessoas não vão fazer pagamento.
Veja:
1/5 de 15 = 3 pessoas vão fazer apenas pagamento
1/3 de 12 = 4 pessoas vão fazer pagamento e enviar algum tipo de correspondência.
Logo:
7/15  é a fração correspondente das pessoas que farão pagamento.
4. Uma carretilha plástica com 30 metros de fita adesiva é vendida por R$ 8,00. Se 50 metros dessa fita, sem a
carretilha, custa R$ 7,50, o preço que está sendo cobrado apenas pela carretilha é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 4,50
R$ 4,20
R$ 3,70
R$ 3,50
R$ 2,80
Solução:
Sabendo-se que 30 m de fita adesiva com carretilha custa R$ 8,00.
Então 30 m de fita adesiva sem carretilha custa?
Sem carretilha
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
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30 m ----- R$ x
50 m ----- R$ 7,5
Logo: 50 x = 30 . 7,5  x = 225 : 50  x = 4,50
Subtraindo, temos:
R$ 8,00 – R$ 4,50 = R$ 3,50 ( preço da carretilha )
5. Em um armário, existem 30 pacotes de folhas de papel de ofício, num total de 10750 folhas. Sabendo-se que
existem x pacotes de 500 folhas e y pacotes de 250 folhas, pode-se afirmar que x.y é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
125
180
200
216
221
Solução:
x + y = 30
500x + 250y = 10750
500 . (30 – y) + 250y = 10750 
 15000 – 500y + 250y = 10750 
 – 250y = 10750 – 15000 
 – 250y = – 4250 . (– 1) 
 y = 4250 : 250  y = 17
Subtraindo, temos:
x = 30 – 17 = 13
Logo:
x . y = 13 x 17 = 221
6. Dois irmãos têm, cada um deles, uma coleção de selos. Se o mais velho der ao mais novo a mesma quantidade de
selos que o mais novo possui, cada um ficará com 120 selos. Sendo assim, o produto do número de selos que cada
um dos irmãos possuía inicialmente é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
4800
7200
10800
21600
32400
Solução:
(x – y) + 2y = 240
(x – y) = 120  x = 120 + y
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Logo:
x = 180 e y = 60
7. Em um dia, três carteiros distribuíram, juntos, um total de 2760 correspondências. Atuando em áreas diferentes, o
primeiro distribuiu 1/3 da quantidade distribuída pelo segundo e este, 5 vezes a quantidade distribuída pelo terceiro.
Nessas condições, o número de correspondências entregues pelo carteiro que distribuiu a menor quantidade de
correspondências é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
60
120
360
600
800
Solução:
1º carteiro  1/3 . 5x
------ 600
2º carteiro  5x -------------- 1800
3º carteiro  x --------------- 360
Logo:
1/3 . 5x + 5x + x = 2760 
 23x = 8280 
 x = 8280 : 23 
 x = 360
8. Em determinado, mês uma empresa comprou cartuchos para os seus escritórios, gastando um total de R$
1.800,00. No mês seguinte, tendo conseguido um abatimento de 10% no preço do cartucho, com a mesma quantia,
comprou 4 cartuchos a mais que no mês anterior. Com base nessa informação, pode-se concluir que, se tivesse
comprado 100 cartuchos, no primeiro mês, teria gasto:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 3.600,00
R$ 4.000,00
R$ 4.500,00
R$ 5.000,00
R$ 5.800,00
Solução:
R$ 1800,00 ---------------------------- x
R$ 1620,00 ----------------------------- x + 4
Grandeza Inversamente Proporcional
Resolvendo, temos:
1800x = 1620 . ( x + 4 ) 
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 1800x = 1620x + 6480 
 1800x – 1620x = 6480  180x = 6480  x = 36 cartuchos
Logo:
R$ 1800,00 ------------------------- 36 cartuchos
R$ x --------------------------------- 100 cartuchos
36x = 180.000  x = 180.000 : 36  x = 5000 Reais
9. Um grupo de funcionários planejou organizar 60 arquivos em um dia, dividindo a tarefa igualmente entre os seus
componentes. Tendo faltado, no dia planejado, 2 funcionários, cada um dos que compareceram teve que organizar
mais 5 arquivos do que o previsto inicialmente. Portanto, a razão entre o número de funcionários que, de fato,
realizaram a tarefa e o número total de funcionários do grupo é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
3/4
2/3
1/2
1/3
1/4
Solução:
60 : 4 = 15 funcionários
60 : 6 = 10 arquivos por funcionário
Como faltaram dois funcionários ao serviço, então, cada um dos que compareceram ao serviço vão receber 5
arquivos a mais, portanto:
10 + 5 = 15
10 + 5 = 15
10 + 5 = 15
10 + 5 = 15
60 arquivos
10. Uma folha de papel tem 75 g/m2. Sabendo-se que suas dimensões são de 11 polegadas por 9 polegadas e que
uma polegada equivale, aproximadamente, a 2,54 cm , pode-se afirmar que o peso, em gramas, de 100 folhas de
papel é, aproximadamente, igual a
a)
b)
c)
d)
e)
385,4
425,0
479,0
525,2
570,1
Solução:
11 polegadas x 2,54 = 27,94 cm
9 polegadas x 2,54 = 22,86 cm
Logo:
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27,94 cm x 22,86 cm = 638,708 cm2 = 0,06387084 m2.
Daí, temos:
0,06387084 x 100 folhas = 6,.387084  6,387084 x 75 g/m2 = 479,0313 gramas
11. Em um mapa, duas cidades distam, em linha reta, 0,50 cm. A escala desse mapa é de 16 km para cada 2,5 cm.
Nessas condições, a distância real entre as duas cidades, em linha reta, corresponde a
a)
b)
c)
d)
e)
3,2 . 105 m
3,2 . 10 km
3,2 . 106 cm
8 . 104 cm
8 .108 mm
Solução:
0,50 m = 5 x 10 – 1 m
16 km = 16.000 m = 1,6 x 10 – 4 m
2,5 cm = 0,025 m = 2,5 x 10 – 2
Pela fórmula da escala, temos:
Escala = comprimento no desenho : comprimento real
Escala = 0,025/16000 = 0,5/x  0,025 . x = 8000  x = 8000 : 0,025 = 320.000 metros  3,2 x 105 m
12. No dia 1° de fevereiro de 2001, um turista chegou ao Brasil com 1500 dólares americanos e 800 marcos
alemães. Trocou, em reais 4/5 dos dólares e ¾ dos marcos que possuía. Sabendo-se que, nesse dia, um dólar
americano estava cotado a R$ 1,930, e um marco alemão, a R$ 0,920, a quantia, em real, que o turista obteve com a
troca foi igual a
a)
b)
c)
d)
e)
2068,00
2600,00
2668,00
2868,00
2880,00
Solução:
1500 . 4/5 = 6000 : 5 = US$ 1.200,00
800 . 3/4 = 2400 : 4 = RFA 600,00
Logo:
US$ 1,00 ----------------------- R$ 1,930
US$ 1200 -----------------------R$ x
x = R$ 2.316,00
RFA 1,00 ----------------------- R$ 0,920
RFA 60,00 ---------------------- R$ x
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
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x = R$ 512,00
Somando os valores, temos:
R$ 2316,00 + R$ 512,00 = R$ 2868,00
13. Para fazer a entrega de uma encomenda, um motoboy gasta diariamente 45 minutos. Para que ele faça essa
entrega gastando 2/3 desse tempo, a sua velocidade média deverá aumentar em
a)
b)
c)
d)
e)
66%
50%
33%
25%
20%
Solução:
2/3 de 45 minutos = 30 minutos
Logo:
1 h ------------ 60 minutos
x (h) --------- 45 minutos
x = 0,75 horas
0,75 : 0,5 = 1,5 – 1 = 0,5 x 100 = 50%
14. Para separar diariamente as correspondências de uma agência dos Correios por região de determinado município,
4 funcionários levam 3 horas. Se mais um funcionário ajudar na tarefa, o tempo gasto para realizá-la diminuirá em
a)
b)
c)
d)
e)
10%
20%
25%
33%
40%
Solução:
4
5
funcionários -------------- 3 horas
funcionários --------------- x horas
Grandeza Inversamente Proporcional
4/5 = x/3 - 5x = 12  x = 2,4 horas
Logo:
3h – 2,4h = 0,6 horas
3h ---- 100%
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
0,6h ---- x%
x = 20%
15. Em uma empresa com 80 funcionários, durante o mês de janeiro de 2001, que teve 22 dias úteis de trabalho,
foram gastos 10 botijões de 20 litros de água mineral. No mês de fevereiro desse mesmo ano, além de 1/4 dos
funcionários estar de férias, houve apenas 16 dias úteis de trabalho. Nessas condições, considerando-se que os
funcionários bebem, em média, mensalmente, a mesma quantidade de água, no mês de fevereiro, a quantidade, em
litros, de água mineral consumida foi aproximadamente igual a
a)
b)
c)
d)
e)
80
97
109
116
150
Solução:
200 litros
x
22 dias
16 dias
80 funcionários
60 funcionários
Grandeza Diretamente Proporcional
200/x = 22/16 x 80/60 
 1760x = 192000 
 x = 109,090909
16. Um consumidor foi a uma loja com a quantia exata para comprar um celular que estava em promoção, de acordo
com o folheto de um jornal. Ao chegar lá, verificou que o produto tinha saído da promoção e custava 30% a mais do
que o valor anunciado e que ele precisava de mais R$ 180,00 para efetivar a compra. Nessas condições, pode-se
concluir que, ao colocar o produto em promoção, a loja estava dando um desconto de aproximadamente
a)
b)
c)
d)
e)
30%
27,03%
25,02%
23,07%
21%
Solução:
x
---------- 100%
180 --------- 30%
x = 600
Logo:
600 ---------- (100 – x)
180 ----------- x
x = 23,07692308%
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124
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
17. Em determinado ano, as tarifas postais sofreram dois reajustes: um de 5% e outro de 8%. Portanto, o percentual
de reajuste das tarifas, nesse ano, correspondeu a
a)
b)
c)
d)
e)
13,50%
13,40%
13,13%
13,04%
13,00%
Solução:
[(1,05 x 1,080) – 1 ]  1,134 – 1  0,134  13,4%
18. Um investidor aplica, a juros simples, 60% de um determinado capital à taxa de 8% a.a e o restante à taxa de
10% a.a,. obtendo, no final de um ano, um ganho de R$ 880,00. Se esse mesmo capital for todo aplicado à taxa de
9% a.a., o montante do investidor, no final de um ano, será igual a
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 10680,00
R$ 10800,00
R$ 10880,00
R$ 10900,00
R$ 10990,00
Solução:
J1 = C x 0,6 x 0,08
J2 = C x 0,4 x 0,1
Logo:
C x 0,6 x 0,08 + C x 0,4 x 0,1 = 880  C = 880 : 0,088  C = 10.000
Calculando os juros, temos:
J = C . i . n  J = 10.000 x 0,09 x 1  J = 9000  M = C + J  M = 10.000 + 900  M = 10.900
19. Se um capital aplicado a juros simples, a determinada taxa mensal, dobra de valor em 20 meses, o tempo
necessário, em meses, para que esse capital, aplicado à mesma taxa, seja triplicado, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
45
40
35
30
25
Solução:
M = C + J  2.C = C + C.i.n  2.C = C + C. 20 . i  2.C – C = C . 20 . i  1.C = C . 20 . i  i = 1/20 
 i = 0,05  i = 5%
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125
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
M = C = J  3.C = C + C.i.n  3.C – C = C.i.n  2.C = C . i. n  2 = 0,05.n  n = 2 : 0,05 = 40 meses
20. O quadro apresenta a evolução do número de favelas, entre os anos de 1991 e 2000, nos cinco municípios
brasileiros com o maior número de favelas, de acordo com dados do IBGE.
1º
2º
3º
4º
5]
São Paulo
Rio de Janeiro
Fortaleza
Guarulhos
Curitiba
Em 2000 em
números absolutos
612
513
157
136
122
Aumento desde
1991 (%)
4,6
11
1,9
112,5
40
Com base nesses dados, pode-se concluir que a diferença entre o número de favelas no Rio de Janeiro e o número de
favelas em Curitiba, em 1991, era aproximadamente igual a
a) 120
b) 270
c) 375
d) 390
e) 400
Solução:
Para o Rio de Janeiro, temos:
x . 1,11 = 513  x = 462,1621622
Para Curitiba, temos:
x . 1,40 = 122  x = 87,1428574
Logo:
462,1621622 – 87,1428574 = 375,0193048
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126
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Prova Resolvida e Comentada – TRT/RJ
1. Considerando-se o raio da Terra com medida 6.106 m, um satélite que descreve uma órbita circular 400 km acima
da superfície terrestre, ao completar uma volta, tem que percorrer uma distância de (considere π = 3,14):
a)
b)
c)
d)
e)
31,14. x 104 m;
20,129 x 106 m;
62,8 x 106 m;
40,192 x 106 m;
14,4 x 106 m.
Solução:
6 x 106 m
4 x 106 m
Raio
R = 6.000.000 m
H = 400 km = 400.000 m
Distância = 6.000.000 + 400.000  D = 6.400.000 m
Logo: C = 2 . π . R  C = 2 x 3,14 x 6.400.000  C = 40.192.000 m  C = 40,192 x 106 m
2. Um advogado que trabalha como consultor de uma empresa especializada em direito societário decidiu aprimorar
seus conhecimentos, fazendo um curso de doutorado no exterior. Antes de partir, vendeu seu carro e aplicou o valor
recebido a juros compostos de 20% ao ano, durante 24 meses, findo os quais recebeu um montante de R$ 36.000,00.
O carro foi vendido por um valor equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 25.000,00
R$ 6.000,00
R$ 21.000,00
R$ 32.000,00
R$ 18.000,00
Solução:
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
M = C x ( 1 + i )n  36.000 = C x ( 1+ 0,2)1  36.000 = C x (1,1)2  36.000 = C x 1,44  C = 36.000 : 1,44 
 C = 25.000
3. Em uma pesquisa feita por um professor em uma faculdade, com 245 alunos do último período de direito,
observou-se que: 120 alunos querem atuar na área cível; 150 na área criminal; 80 na área trabalhista; 60 nas áreas
cível e criminal; 50 nas áreas criminal e trabalhista; 30 nas áreas trabalhista e cível; e 20 nas três áreas. O número de
alunos entrevistados que não querem atuar em nenhuma dessas três áreas é de:
a)
b)
c)
d)
e)
135;
295;
15;
10;
45.
Solução:
245 – 50 – 60 – 20 – 40 – 30 – 10 – 20 = 15
Diagrama de Venn
120 – 70 60 150 – 90
50
40
60
10 2030
30
50
80 – 60
20
245
4. Uma loja vendia, em promoção, DVD a R$ 25,00 e CD a R$ 20,00. Quando terminou a promoção, os preços do
DVD e do CD sofreram reajustes de 40% e 5%, respectivamente. Um consumidor que desejava comprar 4 discos de
DVD e 2 discos de CD, mas que não aproveitou a promoção, terá que pagar a mais:
a)
b)
c)
d)
e)
40%
25%
22,5%
30%
20,5%
Solução:
DVD  R$ 25 x 4 = R$ 100,00
CD  R$ 20 x 2 = R$ 40,00
Total = R$ 100,00 + R$ 40,00 = R$ 140,00
Com o aumento, temos:
DVD  R$ 25,00 x 0,4 = R$ 10,00  R$ 25,00 + R$ 10,00 = R$ 35,00
CD  R$ 20,00 x 0,05 = R$ 1,00  R$ 20,00 + R$ 1,00 = R$ 21,00
Logo:
R$ 35,00 x 4 = R$ 140,00
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
R$ 21,00 x 2 = R$ 42,00
Total = R$ 140,00 + R$ 42,00 = R$ 182,00
Fazendo a regra de três simples, temos:
R$ 140,00 ---- 100%
R$ 42,00 ------ x%
140x = 4200  x = 4200 : 140  x = 30%
5. Um menino constrói uma pipa utilizando uma vareta de 40 cm e outra de 55 cm, que são sobrepostas de forma
perpendicular, como mostra a figura. A quantidade mínima de papel necessária para “cobrir” tal armação é de:
20 cm
20 cm
20 cm
35 cm
a)
b)
c)
d)
e)
9,5 m2;
0,22 m2;
1,1 m2;
2,2 m2;
0,11 m2.
Solução:
Para determinar a área dos dois triângulos maiores, temos:
A = Base : Altura  A = 20 x 35 : 2 
 A = 700 : 2  A = 350 cm2 (área de cada triângulo maior).
Logo:
350 cm2 x 2 = 700 cm2 (área dos dois triângulos maiores).
Para determinar a área dos dois triângulos menores, temos:
A = Base : Altura  A = 20 x 20 : 2 
 A = 400 : 2  A = 200 cm2 (área de cada triângulo menor).
Logo:
200 cm2 x 2 = 400 cm2 (área dos dois triângulos menores).
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Somando as duas áreas, temos:
700 cm2 + 400 cm2 = 1100 cm2 = 0,11 m2
6. Em uma repartição, 8 funcionários conseguem despachar 120 processos em 6 dias. Como receberam 225
processos para despachar, acompanhados de pedido de urgência, 2 funcionários de outro setor vieram ajudar os já
existentes. Supondo-se que todos mantenham o mesmo ritmo de trabalho, o tempo necessário para eles despacharem
esses processos será de:
a)
b)
c)
d)
e)
10 dias;
9 dias;
11 dias;
12 dias;
13 dias.
Solução:
Funcionários
Processos
Dias
8
120
6
10
225
x
Grandeza Inversamente Proporcional
10/8 x 120/225 = 6/x 
 1200/1800 = 6/x  1200x = 10800 
 x = 10800: 1200  x = 9 dias.
Prova Resolvida e Comentada – TRE/SC
1. Considere dois números pares consecutivos. Sabendo que a metade do primeiro, somado com a terça parte do
segundo é 14, é CORRETO afirmar que esses números são:
a)
b)
c)
d)
6e8
10 e 12
16 e 18
14 e 16
Solução:
x/2 + x/2/3 = 14 
 3x + 2x + 4 = 84 
 5x = 84 – 4 
 5x = 80 
 x = 80 : 5  x = 16
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Logo.... x + 2 = 18
2. Das igualdades abaixo, assinale a CORRETA:
a) ( ) 1/5 – 7/4 + 2,52 = 1 – 1/4
b) ( ) 0,23 – 1,475 + 1,39 = 0,29
c) ( ) – 3/4 + 0,25 – 1/6 = 2/3
d) ( x ) 2/5 – 3,7 + 1/2 = – 2/5+ 0,6 – 3
Solução:
a)
1/5 – 7/4 + 2,52 = 0,97 = 194/200
1/1 – 1/40 = 0,975 = 195/100
Logo :
0,97 ≠ 0,975 (sentença falsa)
b)
0,23 – 1,475 + 1,39 = 0,145 = 0,145
Logo:
0,145 ≠ 0,29 (sentença falsa)
c)
– 3/4 + 0,25 – 1/6 = – 2/3 = – 0,67
Logo:
– 2/3 ≠ 2/3 (sentença falsa)
d)
2/5 – 3,7 + 1/2 = – 28/10
– 2/5+ 0,6 – 3 = – 28/10
Logo:
– 28/10 = – 28/10 (sentença verdadeira)
3. Dados os conjuntos A = {x є N / x = 3n; n є N} e B = {x є N / x = 30/n; n є N*}, assinale a alternativa
CORRETA:
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
a) A ∩ B = {3,6,15,30}
b) A ∪ B = A
c)
A – B = {1,2,5,10}
d) B ⊂ A
Solução:
Para o conjunto A temos x = 3n, logo:
x = 3n
x = 3.1
x = 3.2
x = 3.3
x = 3.4
x = 3.5
x = 3.6
x = 3.7
x = 3.8
x = 3.9
x = 3.10
Valores de y
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
Para o conjunto B temos x = 30/n, logo:
x = 3n
x = 30 : 1
x = 30 : 2
x = 30 : 3
x = 30 : 4
x = 30 : 5
x = 30 : 6
x = 30 : 7
x = 30 : 8
x = 30 : 9
x = 30 : 10
Valores de y
30
15
10
7,5
6
5
4,28
3,75
3,333
3
Logo:
A ∩ B = {3,6,15,30}
4. Sejam os conjuntos A = {x є N / x é divisor de 1290}e B = {x є N / x é divisor de 714}. Considerando que o
NÚMERO PRIMO é todo número natural que possui exatamente dois divisores, então é CORRETO afirmar que a
soma dos números primos que pertencem ao conjunto A ∪ B é:
a)
b)
c)
d)
77
82
78
60
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Solução:
1290
645
215
43
1
2
3
5
43
714
357
119
17
1
2
3
7
17
Logo:
2 + 3 + 5 + 43 + 7 + 17 = 77
5. Em uma eleição havia três candidatos: A, B e C. Os candidatos A e C tiveram respectivamente 1/4 e 2/5 do total
dos votos, enquanto os votos brancos e nulos juntos totalizaram 3/10. Assinale a alternativa CORRETA:
a)
b)
c)
d)
O candidato B teve 20% do total dos votos.
O candidato C foi o primeiro colocado na eleição.
O candidato A teve mais votos que o total de nulos e brancos.
O candidato B foi o segundo colocado na eleição.
Solução:
Candidato A  1/4 do total = 25%
Candidato C  2/5 do total = 40%
Brancos e Nulos  3/10 do total = 30%
Candidato C  5%
Logo:
O candidato C foi o primeiro colocado na eleição.
6. Três trabalhadores foram admitidos em uma repartição pública, em cargos deferentes, no ano de 1992, e terão
direito à licença-prêmio, respectivamente, a cada 24, 32 e 36 meses trabalhados. Assinale, abaixo, o ano em que os 3
trabalhadores poderão gozar da licença-prêmio, simultaneamente.
a)
b)
c)
d)
2048
2024
2016
1994
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Solução:
24,32,36
12,16,18
6,8,9
3,4,9
3,2,9
3,1,9
1,1,3
1,1,1
2
2
2
2
2
3
3
288
Logo:
288 : 12 = 24 anos
Somando:
1992 + 24 = 2016
7. Em uma loja de departamento era possível adquirir uma geladeira por R$ 1.325,00 em três vezes ou com 8% de
desconto à vista. Considerando que o cliente optou pela compra à vista, assinale o valor pago por ele.
a)
b)
c)
d)
R$ 1.159,00
R$ 1.060,00
R$ 1.289,00
R$ 1.219,00
Solução:
R$ 1.325,00 x 0,08 = R$ 106,00
Logo:
R$ 1.325,00 – R$ R$ 106,00 = R$ 1.219,00
8. Em uma operação especial, 50 juizes devem dar seus pareceres sobre 900 processos em 18 dias. Antes do início
dos trabalhos, chegam mais 10 juizes, trazendo outros 600 processos pressupondo que todos trabalhem no mesmo
ritmo imposto anteriormente, é CORRETO afirmar que os 60 juizes poderão terminar a operação em:
a)
b)
c)
d)
22 dias
21 dias
24 dias
25 dias
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Solução:
Juizes
50
60
Processos
900
1500
Dias
18
x
Grandeza Inversamente Proporcional
18/x = 900/1500 x 60/50 
 18/x = 54/75 
 54x = 1350 
 x = 1350 : 54 
 x = 25 dias
9. Um empresário fez um empréstimo de R$ 25.000,00 em um banco, devendo saldá-lo em 4 prestações mensais,
fixas, de R$ 7.400,00. Das alternativas abaixo, assinale aquela que corresponde à taxa de juros (simples) cobrada
pelo banco.
a)
b)
c)
d)
4,6%
18,4%
2,4%
7,4%
Solução:
C = R$ 25.000,00
P = R$ 7.400,00 x 4 = R$ 29.600,00
Logo:
R$ 29.600,00 – R$ 25.000,00 = R$ 4.600,00
R$ 4.600,00 : 4 = R$ 1150.
Daí, temos:
J = C.i.n  4600 = 25000 . i. 4 
 4600 : 25000 = i.4 
 0,184 = i.4 
 0,184 : 4 = i 
 i = 0,046 a.m.
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
10. Na divisão da herança do avô, um terreno de 11600 m 2 foi repartido entre 3 netos de 12, 10 e 7 anos. A cada um
coube uma parte diretamente proporcional a sua idade. Então, é CORRETO afirmar que ao neto mais velho coube:
a)
b)
c)
d)
950 m2
4800 m2
3833 m2
4000 m2
Solução:
12x + 10x + 7x = 11600 
 29 x = 11600 
 x = 11600 : 29 
 x = 400 (parâmetro)
Logo:
12 x 400 = 4800 m2 (mais velho)
10 x 400 = 400 m2 (do meio)
6 x 400 = 2800 m2 (mais novo)
11. Uma empresa produz um único de lâmpada e para produzir cada unidade, gasta R$ 4,80. Ela tem um gasto fixo
de R$ 3.040,00 independentemente da quantidade produzida. Sabendo que cada lâmpada será comercializada a R$
8,00, é correto afirmar que o número mínimo de unidades a ser produzido para que a empresa tenha algum lucro é
de:
a)
b)
c)
d)
951 unidades
950 unidades
380 unidades
800 unidades
Solução:
Lucro = Preço de venda – Preço de custo 
 Lucro = R$ 8,00 – R$ 4,80 = R$ 3,20 
Logo, para se obter algum lucro é preciso cobrir o custo fixo de R$ 3.040,00:
R$ 3.040,00 : 3,20 = 950 unidades, ou seja, para pagar o custo fixo é necessário produzir 950 lâmpadas. Para se
obter algum lucro é necessário produzir uma unidade a mais, no caso 951 unidades. Veja:
951unidades x 3,20 = R$ 3.043,20
12. Tendo como universo o conjunto dos números racionais, assinale a alternativa INCORRETA:
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
a)
b)
c)
d)
A equação x2 + 2x + 3 = 0 não tem solução.
A equação x2 + 2x – 8 = 0 tem {– 4, 2) como conjunto solução.
A equação 2x2 – 3x + 1 = 0 tem x = 1 como única solução.
A equação x2 – 6x + 9 tem única solução.
Solução:
a)
∆ = b2 – 4 . a . c  ∆ = (2)2 – 4 . 1 . 3 
 ∆ = – 8 ∉ IR  não tem solução.
b)
∆ = b2 – 4 . a . c  ∆ = (2)2 – 4 . 1 . (– 8) 
 ∆ = 4 + 32  ∆ = 36  x = {2, – 4}
c)
∆ = b2 – 4 . a . c  ∆ = (– 3)2 – 4 . 2 . 1 
 ∆ = 9 – 8  ∆ = 1  x = {1, 1/2}
d)
∆ = b2 – 4 . a . c  ∆ = (– 6)2 – 4 . 2 . 9 
 ∆ = 36 – 36  ∆ = 0  x = {3, 3}
13. Em uma prova de triatlon um atleta nadou por 32 minutos, pedalou por 1 hora e 21 minutos e correu por 2 horas
e 19 minutos. Então, é CORRETO afirmar que o atleta completou a prova em:
a)
b)
c)
d)
3 horas e 12 minutos;
4 horas e 12 minutos;
372 minutos;
13120 segundos.
Solução:
1 h + 21 min
2 h + 19 min
31 min
3 h 72 min  4 h 12 min
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
14. Em um terreno retangular, medindo 27 metros de comprimento e 12 metros de largura, deseja-se criar um
estacionamento. Para isso precisa-se construir duas guaritas quadradas, respectivamente com 2 e 3 metros de lado,
posicionadas conforme a figura (a área reservada para estacionar os carros esta representada pela parte sombreada da
figura). Assinale a alternativa CORRETA:
27 m
12m
2
3
A área e o perímetro da parte sombreada, sã
a) A área e o perímetro da parte sombreada são, respectivamente, 337 m2 e 78 m.
b) O perímetro da parte sombreada é 73 m.
c) A área da parte sombreada é 324 m2.
d) A área e o perímetro da parte sombreada são, respectivamente, 311 m2 e 88m.
Solução:
27 m
12m
2
3
A área e o perímetro da parte sombreada, são respectivamente:
A = lado x lado = 2 x 2 = 4 m2
A = lado x lado = 3 x 3 = 9 m2
Logo:
A = 13 m2
A área do retângulo é dada por :
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138
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A = base x altura  A = 27 x 12 = 324 m2
Logo a área sombreada é dada por:
324 m2 – 13 m2 = 311 m2
Para calcular o perímetro, temos:
27 m + 12m + (27 m – 5 m) + 12 m =
27 m + 12 m + 22 m + 12 m = 73 m
Prova de Concurso Público – Resolvida e Comentada – Fundação Euclides da Cunha (UFF)
1. A força gravitacional da Lua sobre a Terra provoca a elevação e o abaixamento da superfície dos oceanos, marés
e lagos. Esses movimentos periódicos ocorrem em intervalos regulares de 6 horas e 12 minutos e são chamados de
marés. Embora muito maior que a Lua, o Sol tem menor efeito sobre as marés, porque a distância da Terra ao Sol é
muito grande. Existem marés altas, marés baixas, marés grandes e marés mortas. Durante 9 marés, haverá um
intervalo de:
a)
b)
c)
d)
e)
54 horas e 8 minutos;
55 horas e 8 minutos;
54 horas e 48 minutos;
55 horas e 48 minutos;
49 horas e 36 minutos.
Solução:
6 horas x 60 = 360 min + 12 min = 372 min 
 372 min x 9 marés = 3.348 minutos 
Logo:
3.348 : 60 = 55,8 h 
 0,8 x 60 = 48 minutos
Somando, temos:
55 h 48 min
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2. Um jovem que trabalha com artes gráficas decidiu comprar um computador, para que pudesse desenvolver melhor
suas atividades. Ao decidir pela configuração que precisava, constatou que seriam necessários R$ 2.490,00 para
adquirir o seu computador à vista. Como isso estava totalmente fora do seu orçamento, resolveu negociar a compra
do equipamento a prazo, o que só foi possível mediante acréscimo de juros simples de 30% ao ano, aplicado ao
valor à vista por 8 meses. O pagamento foi feito em 8 prestações mensais iguais, cada uma no valor de:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 373,50;
R$ 498,00;
R$ 2.988,00;
R$ 1.992,00;
R$ 348,60.
Solução:
Obs: i = 30 : 12 = 2,5% a . m.
J = C.i.n  J = 2490 x 0,025 x 8 
 J = 498
Logo:
R$ 2.490,00 + R$ 498,00 = R$ 2.988,00
Dividindo, temos:
R$ 2.988,00 : 8 = R$ 373,50
3. O estádio de futebol de uma cidade, depois de passar por obras durante 2 anos, será reinaugurado com um grande
jogo de início de campeonato regional, entre o time local e o time vencedor do campeonato anterior. Reformaram o
campo, os vestiários, os banheiros e ampliaram a capacidade de receber torcedores . Num jogo com lotação máxima,
o estádio pode receber 5/6 do total de torcedores em arquibancadas, 1/10 em cadeiras estofadas, e os 1000
torcedores restantes em camarotes. A lotação máxima de torcedores desse estádio é de:
a) 20.000
b) 30.000
c)
7.500
d) 10.000
e) 15.000
Solução:
x  número total de torcedores
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5/6x + 1/10x + 1000 = x 
 25x + 3x + 30.000 = 30x 
 28x – 30x = 30.000 – 30.000 
 – 2x = – 30.000 . (– 1) 
 x = 30.000 : 2  x = 15.000
4. Um cidadão pagou R$ 200,00 por 500 kwh consumidos num determinado mês. Se no mês seguinte a tarifa
aumentar 15% e o consumo baixar 15%, esse cidadão pagará pelos kwh consumidos:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 200,00;
R$ 195,50;
R$ 264,50;
R$ 170,00;
R$ 361,25.
Solução:
R$ 200,00 ---------------------- 500kwh
(R$ 200,00 x 1,15) ------------ (500 kwh x 0,85)
R$ 200,00 ----------------------- 500 kwh
R$ 230,00 ------------------------425 kwh
Logo:
R$ 230,00 ----------------------- 425 kwh
R$ x ------------------------------- 500 kwh
Grandeza Inversamente Proprcional:
230 / x = 500/425  x = 97750 : 500  x = 195,50
5. A borda de uma piscina retangular tem perímetro de 26 metros. Sabendo-se que para calcular a medida do menor
lado desse retângulo, acrescenta-se 1 metro à metade da medida do maior lado, pode-se afirmar que essa piscina tem
espelho d’água de:
a) 8 m2
b) 155 m2
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c) 40 m2
d) 43 m2
e) 36 m2
Solução:
x
x/2 + 1
x/2 + 1
x
X/2 + 1 + x/2 + 1 + x + x = 26 
 x + 2 + x + 2 + 2x + 2x = 52 
 6x + 4 = 52 
 6x = 52 – 4 
 6x = 48 
 x = 48 : 6 
 x = 8 metros
Logo:
x = 8 metros ( maior lado)
x/2+ 1 = 8/2 + 1 = 5 metros (menor lado)
Área do Retângulo = Base x Altura 
 Área do Retângulo = 8 m x 5 m 
 Área do Retângulo = 40 m2
6. Uma empresa de ônibus dispõe de uma frota de 58 ônibus para atender à população de duas cidades vizinhas, A e
B. Para circular pela cidade A, os moradores contam com 40 desses ônibus; no entanto, se quiserem ir de uma
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cidade para outra, contam com 12 ônibus que circulam nas cidades A e B. A quantidade de ônibus que essa empresa
oferece aos moradores da cidade B é de:
a)
b)
c)
d)
e)
28;
6;
18;
26;
30.
Solução:
n (A∪B) = n (A) + n (B) – n (A∩B) 
 58 = 40 + n (B) – 12 
 58 – 40 + 12 = n (B) 
 n (B) = 30
7. Um produto apresenta em sua embalagem um código com 10 barras verticais, separadas por espaços em branco
de 1,2 mm de largura, na ordem da figura abaixo. O código apresenta cinco barras com 1,6 mm de largura; três com
0,6 mm de largura e duas com 0,25 mm de largura. A largura total desse código em cm é de:
a)
b)
c)
d)
e)
2,11;
2,23;
1,39;
1,84;
2,56.
Solução:
1,2 mm x 9 = 10,8 mm
1,6 mm x 5 = 8 mm
0,6 mm x 3 = 1,8 mm
0,25 mm x 2 = 0,50 mm
Somando, temos:
10,8 mm + 8 mm + 1,8 mm + 0,50 mm =
21,1 mm = 2,11 cm
8. uma maratona, com percurso de 45 km, foi vencida por um jovem que cruzou alinha de chegada 2 horas e 15
minutos após a largada. Esse jovem, mantendo a mesma velocidade média, faria em 3 horas um percurso de:
a) 55 km;
b) 62 km;
c) 90 km;
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d) 60 km;
e) 70 km.
Solução:
Vm  velocidade média
∆s  45 km
∆t  2,25 h = 2 h + 15 min
Daí, temos:
Vm = ∆s : ∆t 
 Vm = 45 : 2,25 
 Vm = 20 km/h
Adotando o tempo de 3 horas, temos:
∆s = Vm x ∆t 
 ∆s = 20 km/h x 3 h 
 ∆s = 60 km
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Prova Resolvida e Comentada – Concurso Público Para o Cargo de Policial Rodoviário Federal – 11/1998
1. Uma caixa de fósforos tem 1 cm de altura e o comprimento tem 2 cm mais que a largura. Se o volume da caixa é
de 24 cm3, o comprimento da caixa, em metros, é:
a)
b)
c)
d)
e)
0,04
0,05
0,06
0,10
0,12
Solução:
x  largura
1 cm
x
x + 2 cm
x . (x + 2) = 24 
 x2 + 2x – 24 = 0 
 ∆ = b2 – 4.a.c. 
 ∆ = (– 2)2 – 4 . 1 . (– 24) 
 ∆ = 4 + 96  ∆ = 100 
 x’ = 4 e x” = – 6
Logo:
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Altura = 1 cm = 0,01 m
Largura = 4 cm = 0,04 m
Comprimento = 6 cm = 0,06 cm
2. Uma pesquisa realizada na Grâ-Bretanha mostrou que no primeiro semestre deste ano 295 doentes cardíacos
precisaram de transplantes, mas aó 131 conseguiram doadores. O percentual aproximado de doentes que não
conseguiram transplante é:
a)
b)
c)
d)
e)
31%
36%
44%
56%
64%
Solução:
Subtraindo:
295 – 131 = 164 não conseguiram transplante
296 ------- 100%
164 ------- x %
Logo:
295x = 16400 
 x = 16400 : 295 
 x = 55,59322034 = 56%
3. A distância entre duas cidades A e B é de 265 quilômetros e o único posto de gasolina entre elas encontra-se a 3/5
desta distância, partindo de A. O total de quilômetros a serem percorridos da cidade B até este posto é de:
a)
b)
c)
d)
e)
57
0106
110
159
212
Solução:
∆s = 265 km
Logo:
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3/5 de 265 = 795 : 5 = 159 km (partindo de A)
2/5 de 265 = 530 : 5 = 106 km (partindo de B)
4. Sabendo-se que:
16x + 1/5 + 1/25 + 1/125 + ...... = 67/12, o valor de x é:
a)
b)
c)
d)
e)
3/16
1/3
33/56
55/16
33/8
Solução:
a1 = 16x
q = 1/5
Fórmula de uma Progressão Aritmética Infinita:
Sn = a1 : 1 – q 
 80/12 = 16x : 4/5 
 16x . 12 = 80 . 4/5 
 192x = 320 : 5 
 192x = 64 
 x = 64 : 192  x = 1/3
5. Os vértices do triângulo PRF da figura abaixo representam, respectivamente, uma
relojoaria e uma farmácia, estando as distâncias representadas em metro:
papelaria, uma
R
8m
3m
60º
P
F
A distância entre a papelaria e a farmácia, em km, é:
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a)
b)
c)
d)
e)
0,0007
0,007
0,07
0,7
7,0
Solução:
x2 = 82 + 32 – 2 . 3 . 8 . cos 60º 
 x2 = 64 + 9 – 48 . cos 60º 
 x2 = 64 + 9 – 48 . cos 60º 
 x2 = 64 + 9 – 48 . 1/2 
 x2 = 64 + 9 – 24 
 x2 = 49 
 x2 = √49 
 x=±7 
 7 : 100 = 0,07 km
6. Duas grandezas a e b forma divididas, respectivamente, em partes diretamente proporcionais a 3 e 4 na razão 1,2.
O valor de 3a + 2b é:
a)
b)
c)
d)
e)
6,0
8,2
8,4
14,4
20,4
Solução:
a/3 = 12/10  10a = 36  a = 3,6
b/4 = 12/10  10b = 48  b = 4,8
Logo:
3a + 2b  3 x 3,6 + 2 x 4,8 
 10,8 + 9,60  20,4
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7. As idades de Bruno, Magno e André estão, nesta ordem, em progressão aritmética. Sabendo-se que Bruno tem 19
anos e André 53 anos, a idade de Magno é:
a)
b)
c)
d)
e)
24
27
30
33
36
Solução:
Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética:
an = a1 + (n – 1) . r 
 53 = 19 + (3 – 1) . r 
 53 = 19 + 2r 
 53 – 19 = 2r 
 34 = 2r 
 r = 34 : 2 = 17
Logo:
Bruno  19 anos;
Magno  36 anos;
André  53 anos
8. Para chegar ao trabalho, José gasta 2h 30 min, dirigindo à velocidade média de 75 km/h. Se aumentar a
velocidade para 90 km/h, o tempo gasto, em minutos, para José fazer o mesmo percurso é:
a)
b)
c)
d)
e)
50
75
90
125
180
Solução:
Vm  75 km/h
∆t  2 h 30 min = 2,5 h
∆s  ?
Logo:
∆s = Vm x ∆t  ∆s = 75 x 2,5 
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 ∆s = 187,5 km
Daí, temos:
∆t = ∆s : Vm  ∆t = 187,5 : 90 
 ∆t = 2,083 horas (x 60)  ∆t = 125 min
9. Num determinado Estado, quando um veículo é rebocado por estacionar em local proibido, o motorista paga uma
taxa fixa de R$ 76,88 e mais R$ 1,25 por hora de permanência no estacionamento da polícia. Se o valor pago foi de
R$ 101,88 o total de horas que o veículo ficou estacionado na polícia corresponde a:
a)
b)
c)
d)
e)
20
21
22
23
24
Solução:
Taxa Fixa  R$ 76,88
1 hora  R$ 1,25
Subtraindo, temos:
R$ 101,88 – R$ 76,88 = R$ R$ 25,00
Logo:
R$ 25,00 : R$ 1,25 = 20 horas
10. Um triângulo tem 0,675 m2 de área e sua altura corresponde a 3/5 da base. A altura do triângulo, em decímetros,
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0,9
1,5
9,0
15,0
24,0
Solução:
Área do Triângulo = Base x Altura
2
0,675 x 2 = 3/5x . x 
 1,35 = 3/5 . x2 
 x2 = 1,35 : 3/5 
 x2 = 2,25  x = ± 1,5
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Logo:
Altura  3/5x  3/5 . 1,5 = 0,9 m = 9,0 dm
Base  1,5 m
Prova Resolvida e Comentada – TRT – 17ª Região – Cargo de Técnico Judiciário
1. Um técnico judiciário foi incumbido de arquivar os processos de um lote e observou que, em média, gastava 1
minuto e 15 segundos para arquivar 3 processos. Se ele cumpriu essa tarefa trabalhando ininterruptamente por 1
hora, 17 minutos e 30 segundos, o número de processos do lote era
a)
b)
c)
d)
e)
201
192
186
153
126
Solução:
60 s + 15 s = 75 s
Logo:
75 s ---------- 3 processos
4650 s ------- x processos
Grandeza Diretamente Proporcional
75x = 4650 . 3 
 75x = 13950  x = 13950 : 75 
 x = 186
2. Dos funcionários de certa empresa, sabe-se que:
-
o número de homens excede o de mulheres em 16 unidades;
-
a razão entre a terça parte do número de homens e o dobro do número de mulheres, nessa ordem, é 3/16.
Nessas condições, o total de funcionários dessa empresa é
a)
b)
c)
d)
e)
272
268
256
252
248
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Solução:
x  mulheres
x + 16  homens
Logo:
x + 16/3 : 2x = 3/16 
 x + 16/3 . 1/2x = 3/16 
 x + 16/6x = 3/16 
 18x = 16x + 256 
 18x – 16x = 256 
 2x = 256  x = 256 : 2 
 x = 128 (mulheres) 
 128 + 16 = 144 (homens) 
 128 + 144 = 272 funcionários
3. Certo dia, dois técnicos judiciários protocolaram todos os documentos de um lote. Eles dividiram o total de
documentos entre si na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na Repartição: 6 anos e 14 anos. Se o
que trabalha há 6 anos protocolou 42 documentos, o total existente inicialmente no lote era
a)
b)
c)
d)
e)
140
96
82
78
60
Solução:
6 ------- 42
14 ------- x
Grandeza Inversamente Proporcional
6/14 = x/42  14x = 252  x = 252 : 14 
 x = 18
Somando, temos: 42 + 18 = 60
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4. Todas as páginas de um texto foram digitadas por dois técnicos judiciários. Se, trabalhando ininterruptamente, um
deles levou 2 horas e 30 minutos para digitar 2/3 do total das páginas, em quanto tempo o outro deve ter digitado as
páginas restantes, se a sua capacidade operacional é 80% da capacidade do primeiro?
a)
b)
c)
d)
e)
1 hora, 48 minutos e 45 segundos.
1 hora, 45 minutos e 30 segundos.
1 hora, 35 minutos e 15 segundos.
1 hora, 33 minutos e 45 segundos.
1 hora, 23 minutos e 30 segundos.
Solução:
x  folhas
2/3 . x -------- 2,5 h
1/3 . x -------- x (h)
Resolvendo, temos:
1/3 . x . 2,5 = 2/3 . x . x 
 2,5 : 3 = 2/3 . x 
 6x = 7,5 
 x = 7,5 : 6 
 x = 1,25
Logo:
1,25 h ------ 80%
x (h) ----- 100%
80x = 125  x = 125 : 80 
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x = 1,5625 h 
 x = 1 h + 33 min + 45 s
5. Atualmente, José gasta 17% do seu salário no pagamento da prestação de um carro. Se a prestação for reajustada
em 2% e o seu salário em 36%, então, após os reajustes, a porcentagem do salário que ele gastará para pagar a
prestação será
a)
b)
c)
d)
e)
12,75%
12,5%
12,25%
11,75%
11,5%
Solução:
A prestação + reajuste é dada por:
x . 0,17 + x . 0,17 . 0,02 
 0,17 . x + 0,0034 . x 
 0,1734 . x
Logo:
1,36 . x -------------- 100%
0,1734 . x ------------ x %
1,36 . x . x = 17,34 . x 
 x = 17,34 : 1,36 
 x = 12,75%
6. Uma dívida, contraída a juros compostos e a uma taxa fixa, aumenta em 21% de seu valor, num período de 2
meses. A taxa mensal de juros dessa dívida é
a)
b)
c)
d)
e)
11%
10%
9%
8,75%
8,25%
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Solução:
M = C x ( 1 + i )n 
 1,21 . x = x . ( 1+ i)2 
 1,21 = 12 + 2 . 1 . i + i2 
 1,21 – 1 = 2 . i + i2 
 0,21 =  2 . i + i2 
 i2 + 2i – 0,21 
 ∆ = b2 – 4.a.c. 
 ∆ = (2)2 – 4 . 1 . (– 0,21) 
 ∆ = 4 + 0,84 
 ∆ = 4,84 
 x’ = 0,1 e x” = – 2,1
Logo:
0,1 x 100 = 10%
7. Todos os domingos, Murilo almoça em um certo restaurante. Saulo almoça no mesmo lugar a cada 15 dias. Se no
dia 07 de março de 2004, um domingo, os dois almoçaram nesse restaurante, em qual das seguintes datas almoçarão
juntos novamente?
a)
b)
c)
d)
e)
23/06/2004
22/06/2004
21/06/2004
20/06/2004
19/06/2004
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155
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Solução:
Murilo e Saulo  7 de março de 2004
15,7
5,7
1,7
1,1
3
5
7
105
Logo:
março
31
24
abril
30
30
maio
31
31
junho
30
20
8. O gráfico seguinte permite o cálculo do número de pessoas atendidas a cada hora, ao longo das 8 horas do
expediente de uma Repartição Pública.
48
36
24
12
0
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
De acordo com o gráfico, estima-se que na 6ª hora do expediente o número de pessoas atendidas seja
a)
b)
c)
d)
e)
40
38
36
32
30
Solução:
Basta observar o gráfico.
Na 6ª hora temos 36 pessoas atendidas.
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
9. Todos os 840 litros do interior de um tanque devem ser colocados, em quantidades iguais, em alguns recipientes.
Sabe-se que, se forem usados X recipientes, cada um deles receberá Y litros de água; entretanto, se forem usados X
– 6 recipientes, cada um deles ficará com Y + 16 litros. Nessas condições, o valor de X é
a)
b)
c)
d)
e)
78
56
48
36
21
Solução:
x . y = 840
(x – 6) . (y + 16) = 840
Isolando x, temos:
x = 840 : y 
 (840/y – 6) . ( y + 16) = 840 
 – 6y2 – 96y + 13440 =0 . (– 1) 
 6y2 + 96y – 13440 = 0 ( : 6 ) 
 y2 + 16y – 2240 = 0
 ∆ = b2 – 4.a.c. 
 ∆ = (16)2 – 4 . 6 . (– 2240) 
 ∆ = 256 + 8960 
 ∆ = 9216 
 y’ = 40 e y” = – 56
Logo:
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x . y = 840 
 x . 40 = 840

 x = 840 : 40  x = 21
10. No almoxarifado de certa empresa há 16 prateleiras, todas ocupadas com dois tipos de
impressos, A e B, que totalizam 2.610 unidades. Se algumas das prateleiras contém, cada uma, 150 unidades de
impressos, unicamente do tipo A, e cada uma das restantes contém 180 impressos, somente do tipo B, a diferença
positiva entre os números de impressos de cada tipo é
a)
b)
c)
d)
e)
120
90
85
80
65
Solução:
A + B = 16
150.A + 180.B = 2610
150 . (16 – B) + 180.B = 2610 
 2400 – 150.B + 180.B = 2610 
 2400 + 30.B = 2610 
 30.B = 210 
 B = 210 : 30 
B=7
Logo:
A + B = 16 
 A + 7 = 16 
 A = 16 – 7 
 A=9
Resolvendo, temos:
150 x 9 = 1350
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180 x 7 = 1260
Subtraindo:
1350 – 1260 = 90
Prova Resolvida e Comentada – Técnico de Finanças e Controle – 1995 – ESAF
1. Cinco números estão em progressão geométrica. Sabendo-se que o primeiro é igual a e o último a 32, o valor do
quarto número é:
a)
b)
c)
d)
e)
30
28
24
17
16
Solução:
an = a1 . qn – 1 
 32 = 2 . q5 – 1 
 32 : 2 = q4 
 16 = q4 
 24 = q4 
q=2
Logo:
(2, 4, 8, 16)
2. Em um campeonato de padel participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas
maneiras diferentes poderemos ter a classificação para os três primeiros lugares?
a)
b)
c)
d)
e)
240
270
420
720
740
Solução:
1º Lugar
2º Lugar
3º Lugar
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10
9
8
Logo:
10 x 9 x 8 = 720
3. A medida do lado AC do triângulo cujos vértices são os pontos A (– a , 0); B (a,0) e
a)
b)
c)
d)
e)
C (0,a) é:
a √2
a
(a √2) : 2
2.a
2 √2 a
Solução:
dac =
( ya − yc) 2 + ( xa − xc) 2
dac =
(0 − a ) 2 + (− a − 0) 2
dac =
a2 + a2
dac =
2a 2
dac = a
2
4. Um ônibus, viajando com uma determinada velocidade média, completou um percurso de 480 km em x horas.
Caso essa velocidade fosse aumentada em 20 km/h, a viagem poderia ter durado duas horas a menos. Quantos
minutos durou a viagem?
a)
b)
c)
d)
e)
360
390
420
480
510
Solução:
x . y = 480
(x – 2) . (y + 20) = 480
Isolando x, temos:
x = 480 : y 
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Logo:
 480y + 9600y – 2y – 40y = 480y 
– 2y2 – 40y + 9600 =0 . (– 1) 
 y2 + 20y –4800 = 0 
 ∆ = b2 – 4.a.c. 
 ∆ = (20)2 – 4 . 1 . (– 4800) 
 ∆ = 256 + 8960 
 ∆ = 19600  140
 y’ = 240: 4 = 60 e y” = – 320 : 4 = – 80
Logo:
x . y = 480 
 x . 60 = 480

 x = 480 : 60 
 x = 8 horas  8 x 60 = 480 minutos
5. Em 1994, uma indústria fabricou 3.000 produtos. A cada ano, porém, acrescenta duzentas e cinqüenta unidades à
sua produção. Se esse ritmo de crescimento for mantido, a produção da indústria num ano t qualquer será:
a)
b)
c)
d)
e)
250t
3000t
3000 + 250t
3000 – 250t
3000 + 250
Solução:
3000 + 250.t
6. A cada ano, o valor de um carro diminui em 20% em relação ao ano anterior. Sendo V o seu valor atual, qual a
função que expressa o valor do carro daqui a dois anos?
a) 0,8 – 2 . V
b) 0,28 . V
c) 0,8 2 . V
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d) (1 – 0,2) . V 2
e) V– 2
Solução:
0,8 2 . V
7. No mês de janeiro de determinado ano, uma categoria profissional tem direito a um aumento salarial de 75%.
Como a categoria já havia recebido uma antecipação de 25% em novembro, qual deve ser a porcentagem de
acréscimo adicional do salário para compensar a antecipação recebida?
a)
b)
c)
d)
e)
30%
40%
55%
65%
75%
Solução:
1,25 ---------------------100%
0,5 ----------------------- x%
Logo:
1,25x = 50 
 x = 50 : 1,25 
 x = 40%
8. O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos de coordenadas (0,m) e (m,0), sendo m ≠ 0 vale:
a)
b)
c)
d)
e)
–1
0
1
1/m
m
Solução:
m = y2 – y1 : x2 – x1 
m=0–m:m–0

m=–1
9. Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa?
a) 120
b) 210
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c) 720
d) 4.050
e) 5.040
Solução:
Análise Combinatória
n!

p ! ( n – p) !
10 !

4 ! ( 10 – 4) !
10 !

4! 6!
10 x 9 x 8 x 7 x 6 !

4!6!
10 x 9 x 8 x 7 x 6 !

4!6!
10 x 9 x 8 x 7

4!
10 x 9 x 8 x 7

24
5040

24
 210
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
10. Considere um círculo com 1,1 cm de diâmetro e um quadrado com 1 cm de lado. A área do círculo
a)
b)
c)
d)
e)
é mais do que o dobro do quadrado
é π vezes a diagonal do quadrado
é o dobro do quadrado
é igual a do quadrado
é menor do que a do quadrado
Solução:
Raio = Diâmetro : 2 
 Raio = 1,1 : 2 
 Raio = 0,55 cm
Para calcular as áreas, temos:
Área do círculo  A = π . r2
Área do quadrado  l x l = l2
Logo:
Área do círculo = 3,14 x 0,552 
 A○ = 3,14 x 0,3025 
 A○ = 0,94985 cm2
Área do quadrado = l x l 
 A□ = 1 x 1 
 A□ = 1 cm2
Podemos, concluir que:
A○ < A□
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
11. Num sorteio, concorreram 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. A
probabilidade de o número sorteado ser 25 é:
a)
b)
c)
d)
e)
15%
5%
10%
30%
20%
Solução:
10 --- 100%
1 -------- x %
Logo:
10x = 100 
 x = 100 : 10 
 x = 10%
12. Dadas as matrizes
A=
1
0
2
1
,
2
B=
e
1
a
X=
b
,
assinale os valores de a e b, de modo que AX = B
a)
b)
c)
d)
e)
a=0; b=1
a=1; b=0
a=0;b=0
a=1;b=1
a=0;b=–1
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Solução:
A.X=B
1
0
2
1
x
a
b
=
2
1
Montando o sistema linear, temos:
1.a + 2.b = 2
a.0 + 1.b = 1 . ( – 2)
1.a + 2.b = 2
0 – 2.b = – 2
1.a + 2.b = 2
0 – 2.b = – 2
Logo:
1. a = 0 
a=0
Portanto:
1.0 + 2.b = 2 
 b = 2: 2 
b=1
13. Um casal pretende ter quatro (4) filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é:
a)
b)
c)
d)
e)
3/8
1/2
6/8
8/6
8/3
Solução:
U = {H, M}  n (U) = 2
n = 4 crianças
A = ser menina = P = 1/2
 = ser menino  1 – P = 1/2
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K = 2 vezes menina
Pk (A) =
n
k
. Pk . ( 1 – P )n – k 
P2 (A) =
4
2
. (1/2)2 . ( 1/2)4 – 2 
P2 (A) =
4
2
. (1/4) . ( 1/4) 
P2 (A) =
6 . 1/16 
 P2 (A) =
6 : 16 
 P2 (A) = 3/8
Prova Resolvida e Comentada – Técnico de Finanças e Controle – 1996
1. Todo número par pode ser genericamente representado pela forma geral 2n, onde n é um número inteiro maior do
que zero. Assim, a soma dos quadrados de dois números pares consecutivos cujo produto é 80 é dada por:
a)
b)
c)
d)
e)
18
64
104
164
324
Solução:
1º número par  x
2ª número par  x + 2
Logo:
x . ( x + 2) = 80 
 x2 + 2x – 80 = 0 
 ∆ = 22 – 4 . 1 . (– 80) 
 ∆ = 4 + 320 
 ∆ = 324  18
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 x’ = 16 : 2 = 8 e x” = – 20 : 2 = – 10
Daí, temos:
(8)2 + (10)2 
 64 + 100 = 164
2. Uma viúva recebeu um terço da herança de seu marido, e cada um de seus três filhos recebeu um terço do
restante. Sabendo-se que a soma da parte da viúva com a de um de seus filhos foi igual a R$ 45.000,00, o montante
total da herança foi de
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 50.625,00
R$ 67.500,00
R$ 81.000,00
R$ 90.000,00
R$ 101.250,00
Solução:
x + y = 45000
Daí, temos:
x + 3y = 3x – 45000 
 – 2x + 3y – 45000 = 0 
 – 2 . (45000 – y) + 3y – 45000 
 – 90000 + 2y + 3y – 45000 = 0
 5y – 135000 = 0 
 y = 135000 : 5 
 y = 27000
Substituindo na 1ª equação, temos:
x + y = 45000 
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 x + 27000 = 45000 
 x = 18000
Para determinar o montante , temos:
R$ 27.000,00 + 3 . R$ 18.000,00 = R$ 81.000,00
3. Se x = 0,7867; y = √0,7867, e z = (0,7867)2 então
a)
b)
c)
d)
e)
x<y<z
x<z<y
y<x<z
y<z<x
z<x<y
Solução:
x = 0,7867
0,7867 = 0,886961104
y=
z = (0,7867)2 = 0,61889689
Logo:
z<x<y
ou
0,62 < 0,79 < 0,89
4. Em uma maratona, um dos participantes desiste ao completar 2/5 do percurso total da prova. No entanto, se
tivesse corrido mais 40 km, teria cumprido a metade do percurso total. Assim, o percurso total da prova era de:
a)
b)
c)
d)
e)
400 km
500 km
600 km
700 km
800 km
Solução:
x  percurso total
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2/5 . x + 40 = x/2 
 4x + 400 =5x 
 x = 400 km
5. Maria tem 8 reais a mais do que Bruno, mas 15 reais a menos do que Júlia. Se Maria tem x reais, então a soma
dos reais de Júlia e de Bruno é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
2x – 23
2x – 15
2x – 7
2x + 7
2x + 23
Solução:
Júlia  R$ 30,00  2x
Bruno  R$ 7,00  R$ 7,00
Maria  R$ 15,00  x
Logo:
2x + 7 indica a soma dos Reais de Júlia e de Bruno.
6. Em um edifício de apartamentos, exatamente 1/3 dos apartamentos são de três dormitórios, e exatamente 1/7 dos
apartamentos de três dormitórios são apartamentos de frente. Um valor possível para o número total de apartamentos
do edifício é
a)
b)
c)
d)
e)
42
50
51
56
57
Solução:
3/3 + 7/7 = 42/21
7. Uma chamada telefônica de Santo André para São Paulo custa R$ 0,50 o primeiro minuto e R$ 0,35 o minuto
adicional. Com esta tarifa, a diferença entre o custo total de três chamadas de 5 minutos e o custo de uma chamada
de 15 minutos é
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
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a)
b)
c)
d)
e)
R$ 0,00
R$ 0,15
R$ 0,30
R$ 0,45
R$ 1,00
Solução:
1 minuto ----------------- R$ 0,50
4 minutos x R$ 0,35 = R$ 1,40
Somando, temos:
R$ 0,50 + R$ 1,40 = R$ 1,90
Logo:
R$ 1,90 x 3 chamadas = R$ 5,70
Para os 15 minutos, temos:
1 minuto -----------------R$ 0,50
14 minutos x R$ 0,35 = R$ 4,90
Somando, temos:
R$ 0,50 + R$ 4,90 = R$ 5,40
Logo, a diferença será de:
R$ 5,70 – R$ 5,40 = R$ 0,30
8. Em uma agência dos Correios há apenas selos de R$ 0,15 e de R$ 0,25. Uma pessoa compra 75 selos
correspondentes a um total de R$ 14,25. Quantos selos de R$ 0,25 a pessoa comprou?
a)
b)
c)
d)
e)
15
20
25
30
45
Solução:
x + y = 75  x = 75 – y
0,15x + 0,25y = 14,25
Substituindo, temos:
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
0,15 . (75 – y) + 0,25y = 14,25 
 11,25 – 0,15y + 0,25y = 14,25 
 0,1y = 3 
y = 30
Problemas Resolvidos e Comentados
1. Conta-se que, certa vez, um bêbado entrou em uma igreja e prometeu contribuir com R$ 18,00 para os pobres se
Santo Antônio duplicasse o dinheiro que ele tinha no bolso. O milagre aconteceu e o bêbado colocou R$ 18,00 na
caixa de esmolas. E gostou tanto que prometeu dar mais R$ 18,00 se o santo, outra vez, multiplicasse por dois (2) o
dinheiro que tinha no bolso. Novamente, o milagre aconteceu, mas quando o bêbado colocou os R$ 18,00 na caixa
de esmolas, percebeu que ficara sem dinheiro algum. Com quanto dinheiro o bêbado entrou na igreja?
Sugestão: chame de x o dinheiro que o bêbado tinha no início.
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 8,50
R$ 9,00
R$ 10,00
R$ 12,00
R$ 13,50
Solução:
x  2x  2x – 18  2 . (2x – 18) – 18 
 4x – 36 – 18  4x – 54  x = 54 : 4 
 x = 13,50
2. Roberto, Sérgio, Carlos, Joselias e Auro estão trabalhando em um projeto, onde cada um exerce uma função
diferente: um economista, um é estatístico, um é administrador, um é advogado, um é contador.
- Roberto, Carlos e o estatístico não são paulistas.
- No fim de semana, o contador joga futebol com Auro.
- Roberto, Carlos e Joselias vivem criticando o Advogado.
- O administrador gosta de trabalhar com Carlos, Joselias e Sérgio, mas não gosta de trabalhar com o contador.
Pode-se afirmar que Sérgio é:
a)
b)
c)
d)
e)
Economista
Estatístico
Administrador
Advogado
Contador
Solução:
S é r g io
J o s e lia s
C a r lo s
A u ro
E c o n o m is t a
E c o n o m is t a
E c o n o m is t a
E c o n o m is ta
E s ta tí s tic o
E s t a t í s t ic o
E s t a t í s t ic o
E s ta tí s tic o
A d m in is t r a d o r
A d m in is t r a d o r
A d m in is t r a d o r
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o
A d v o g a d o
A d v o g a d o
C o n ta d o r
C o n ta d o r
C o n ta d o r
A d m i n i s172
tra d o r
A d vo g a d o
C o n ta d o r
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
R o b e rto
E c o n o m is t a
E s t a t í s tic o
A d m in is t r a d o r
A d v o g a d o
C o n ta d o r
3. Um auxiliar Judiciário, querendo se organizar, precisa agrupar uma série de processos que estão em seu gabinete.
Percebe que se montar grupos de 2 processos, fica um (1) sobrando. Caso agrupe de 3 3m 3 processos, sobram 2.
Caso agrupe de 4 em 4 processos, sobram 3. Caso agrupe de 5 em 5 processos, sobram 4. Caso agrupe de 6 em 6
processos, sobram 5. Caso agrupe de 7 em 7 processos, sobram 6. Caso agrupe de 8 em 8 processos, sobram 7. E
finalmente se agrupar de 9 em 9 processos, sobram 8 processos. Sabendo que são menos de 2600 processos, quantos
processos o Auxiliar Judiciário possui?
a)
b)
c)
d)
e)
2519
2520
2521
2529
2530
Solução:
Seja x o número de processos procurados.
Vamos acrescentar 1 ao número x.
Vemos agora que x + 1 é divisível por (resto zero), e evidentemente que também será divisível por 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
(resto zero). Por esse raciocínio x + 1 será o M.M.C.
(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2520
Logo:
x + 1 = 2520 
 x = 2520 – 1  x = 2519
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173
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Prova Resolvida e Comentada – Prefeitura Municipal de Manaus – Assistente de Administração – Fundação
Cesgranrio - 2004
1. Há dez anos, a razão entre as idades de Maria e Rita era 4/3. Daqui a dois anos, será 10/9. O número de anos
correspondente à soma das duas idades é:
a)
b)
c)
d)
e)
26
28
34
36
38
Solução:
x − 10 4
=
y − 10 3
e
x + 2 10
=
y− 2 9
Isolando x na 1ª equação, temos:
3x – 30 = 4y – 40 
 3x = 4y – 40 + 30 
 3x = 4y – 10 
→ x=
4 y − 10
3
Isolando x na 2ª equação, temos:
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
9x + 18 = 10y + 20 
9x = 10y + 20 – 18 
9x = 10y + 2 
→ x=
10 y + 2
9
Igualando as duas equações, temos:
4 y − 10 10 y + 2
=
→
3
9
→ 36 y − 90 = 30 y + 6 →
→ 36 y − 30 y = 6 + 90 →
→ 6 y = 96 →
 y = 16
Logo:
x = 18
Somando, temos:
x + y  16 + 18 = 34
2. Em uma corda de 700 cm de comprimento foram feitos dois cortes. Sabe-se que os comprimentos dos três
pedaços em que ela ficou dividida estão em P.G. (progressão geométrica) e que o menor ficou com 100 cm. O
comprimento do maior pedaço, em metros, é:
a) 4,0
b) 3,5
c) 3,2
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
d) 3,0
e) 2,8
Solução:
700 cm = 7 metros
100 cm = 1 metro
Sn =
a1 ⋅ q n − 1

q− 1

Sn =
1 ⋅ 23 − 1

2− 1

Sn =
1⋅ 8 − 1

1

S n = 7 e a razão é 2.
Logo:
a3 = 1m
a2 = 1 x 2 = 2 metros
a1 = 2 x 2 = 4 metros
3. Na primeira parte de um jogo de perguntas e respostas, a equipe A acertou a resposta de 80% das 160 perguntas
dessa parte. Se, na Segunda parte, acertar todas as respostas, a porcentagem de acertos da referida equipe chegará a
90% do total de perguntas do jogo. Quantas perguntas há na segunda parte do jogo?
a)
b)
c)
d)
e)
200
180
170
160
140
Solução:
160 x 0,80 = 128 acertos na primeira parte.
Logo:
Se acertar 160 perguntas na segunda parte, temos: 128 + 160 = 288.
320 --- 100%
288 ---- x%
320x = 28800 
 x = 28800 : 320 
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
 x = 90%
4. As idades de quatro irmãos somam 74 anos e formam uma P.A. (progressão aritmética). Se o mais novo, Antônio,
tem 9 anos menos que o mais velho, Pedro, quantos anos tem Pedro?
a)
b)
c)
d)
e)
26
25
24
23
21
Solução:
A única idade possível para Pedro é aquela em que a soma das quatro idades seja igual a 74 anos, desta forma a
idade de Pedro é 23 anos.
Como a razão é 9, temos a seguinte seqüência:
(14, 17, 20, 23)
5. Se multiplicarmos um número N por 3/4 e dividirmos o resultado por 3/5, podemos afirmar que N foi:
a)
b)
c)
d)
e)
multiplicado por 9/20
multiplicado por 5/4
dividido por 9/20
dividido por 5/4
dividido por 4/3
Solução:
Suponha que o número N seja 1, temos:
1 x 3/4 =3/4
Dividindo o resultado por 3/5, temos:
3/4 : 3/5 = 5/4
6. Quatro retângulos de áreas iguais circundam um quadrado, como mostra a figura abaixo. Se cada retângulo tem
40 cm de perímetro, qual a área do quadrado ABCD, em centímetros quadrados?
a)
b)
c)
d)
e)
280
380
400
410
420
A
B
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
C
D
Para a determinar as áreas dos retângulos, temos:
Área do Retângulo = Base x Altura
Área do Retângulo = 18 x 2 = 36 cm2
Como são quatro retângulos, temos:
36 cm2 x 4 = 144 cm2
Para determinar a área do quadrado, temos:
Área do Quadrado = Lado x Lado
Área do Quadrado = 16 x 16 = 256 cm2
Logo:
256 cm2 + 144 cm2 = 400 cm2
7. Para visitar uma exposição, um grupo de 44 pessoas pagou R$ 350,00. Como os ingressos custavam R$ 10,00
para adultos e R$ 5,00 para crianças de até 12 anos, quantos eram os adultos?
a)
b)
c)
d)
e)
16
18
20
24
26
Solução:
x  quantidade de adultos
y  quantidade de crianças
x + y = 44
10x + 5y = 350
x + y = 44 . (– 5)
10x + 5y = 350
– 5x – 5y = – 220
10x + 5y = 350
5x = 130  x = 26
Logo:
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
y = 18
8. Um escriturário recebeu R$600,00 de salário, num determinado mês. No mês seguinte, seu salário foi reajustado
em 20%, mas como houve desconto de x% relativo a faltas, ele recebeu R$ 648,00. Então, o valor de x é:
a) 8
b) 8,5
c) 10
d) 10,5
e) 12
Solução:
R$ 600,00 x 0,20 = R$ 120,00
Somando, temos:
R$ 600,00 + R$ 120,00 = R$ 720,00
Daí, temos:
R$ 720,00 – R$ 648,00 = R$ 72,00
Logo:
R$ 720,00 ------- 100%
R$ 72,00 -------- x%
720x = 7200 
 x = 7200 : 720 
 x = 10%
9. Se as frações representadas pelos pontos R e P forem multiplicadas, o ponto sobre a reta numérica da figura que
representará o produto será:
M
N
0
a)
b)
c)
d)
e)
T
PRS
1
2
N
M
P
S
T
Solução:
R = 0,6 e S = 0,8
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Logo:
0,6 x 0,8 = 0,48 = N
10. Foram colocados 52 sacos de areia em um pequeno caminhão que pode carregar, no máximo, 560 tijolos ou 70
sacos de areia. Quantos tijolos o caminhão ainda pode carregar?
a)
b)
c)
d)
e)
160
154
150
148
144
Solução:
70 – 52 = 18 sacos de areia
560 tijolos ----------- 70 sacos de areia
x tijolos -------------- 18 sacos de areia
Logo:
70x = 10080  x = 10080 : 70 
 x = 144
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Prova Resolvida e Comentada
Banco do Brasil/1999 – CESPE/Unb
MATEMÁTICA
IPCA e INPC têm nova fórmula
A partir de agosto deste ano, a apuração do Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) e do Índice
Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) tem novas estruturas e ponderação. Com base na Pesquisa de Orçamento
Familiar (POF) de 1996, a equipe do departamento de índices do IBGE repassou os hábitos de consumo e
estabeleceu nova relação entre a quantidade, o preço e a participação de cada um dos produtos que compõem a lista
de itens pesquisados no orçamento das famílias brasileiras.
Veja, nos gráficos abaixo, a evolução da participação percentual de cada item na apuração do IPCA.
ATÉ JULHO DE 1999
A rt igo s de
Residên cia
8 ,3 4 %
Saúde e
Cuidado s
P esso ais
8 ,8 0 %
Educação
3,86%
Co m un icação
1 ,0 8 %
A lim en t ação
e bebidas
2 7 ,7 2 %
Despesas
Pessoais
9,80%
Habitação
10,29%
Vestuário
13,24%
T ran sp o rt e
1 6,87 %
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
A PARTIR DE AGOSTO DE 1999
Artigos de
Residência
Saúde e
Educação
4,84%
Comunicação
2,10%
6,78%
Cuidados
Pessoais
10,46%
Alimentação e
Despesas
bebidas
Pessoais
24,12%
10,64%
Vestuário
Habitação
6,54%
Transporte
19,10%
15,39%
Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem, relativos ao cálculo do IPCA.
I – A partir de agosto, o item “Saúde e cuidados especiais” passou a ter maior participação do que tinha até julho de
1999. Certo
Justificativa: Agosto (10,46%) e Julho (8,80%)
II – A partir de agosto, o item “Vestuário” passou a ter menos da metade da participação que tinha até julho de 1999.
Certo
Justificativa:
Julho de 1999 (13,24%) : 2 = 6,62% (Menos da Metade) e Agosto de 1999 (6,54%).
III – Até julho, a participação atribuída ao conjunto de itens “Transporte”, “Alimentação e bebidas”, “Comunicação”
e “Educação” era maior que a participação atribuída a esse mesmo conjunto a partir de agosto de 1999. Errado
Justificativa:
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Julho
(16,87% + 27,72% + 1,08% + 3,86%) = 49,53%
Agosto
(19,10% + 24,15% + 2,10% + 4,84%) = 50,19%
Logo:
Agosto > Julho (Errado)
IV – A partir de agosto, a participação do item “Comunicação” aumentou mais de 90% com relação à que tinha até
julho de 1999. Certo
Justificativa:
Julho ------------ 1,08%
Agosto --------- 2,10%
Subtraindo, temos:
2,10 – 1,08 = 1,02
Daí, temos:
1,08 ---------- 100%
1,02 ----------- x%
Logo:
1,08x = 102 
 x = 102 : 1,08 
 x = 94,44% (Certo)
A quantidade de itens certos é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
2
3
4
2. Para fazer uma viagem ao exterior, um turista dispõe de R$ 5.000,00 para comprar dólares. Parte dessa quantia
será usada na compra de dólares em espécie, a um custo de R$ 2,00 por dólar, e a outra parte, na compra de cheques
de viagem, a um custo de R$ 1,95 por dólar. Sabendo que, em dinheiro em espécie e cheques de viagem , esse turista
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
obterá um total de 2.550 dólares ao realizar a transação de compra, a quantia de dólares em espécie que ele receberá
será igual a
a)
b)
c)
d)
e)
500.
550.
600.
650.
700.
Solução:
x + y = 2550
2x + 1,95y = 5000
Pelo método da adição, temos:
x + y = 2550 . (– 2)
2x + 1,95y = 5000
– 2x – 2y = – 5100
2x + 1,95y = 5000
– 0,05y = – 100 . (– 1) 
 y = 100 : 0,05 
 y = 2000
Logo:
x + y = 2550 
 x + 2000 = 2550 
 x = 2550 – 2000 
 x = 550
3. O preço de venda P de uma unidade de certa mercadoria é função da quantidade Q de unidades produzidas dessa
mercadoria. O gráfico de P em função de Q é dado por segmentos de reta, como ilustra a figura ao abaixo.
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COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Com base nas informações apresentadas, julgue os itens seguintes.
I – Para até 2.000 unidades produzidas, o preço unitário de venda diminui se a quantidade de unidades aumenta.
(Certo)
Justificativa:
Supondo que:
Po = 1,5
2/3 . Po = 1
1/2 . Po = 0,75
Temos:
2000 x 0,75 = 1500 (Certo)
II – O preço de venda de uma unidade é o mesmo quando são produzidas 1.500 ou 2.500 unidades da mercadoria.
(Falso)
Justificativa:
2000 ---------------------- 1500
1500 ----------------------- x
2000x = 2.250.000 
 x = 1125 ( 1500 : 1125 = R$ 1,33 )
2500 ----------------------- R$ 0,75
O preço de 2500 unidades é menor que o preço de 1125 unidades.
Obs: Devemos observar o gráfico dado.
III – O ganho obtido com a produção e venda de 2000 unidades da mercadoria é o dobro do ganho obtido com a
produção e venda de 500 unidades. (Certo)
Justificativa:
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
L = 2000 x 0,75 = 1500 (dobro)
L = 500 x 1,50 = 750
IV – Se forem produzidas 1.400 unidades da mercadoria, o preço unitário de venda será igual a 60% de Po. (Certo)
Justificativa:
1400 x 0,9 = 1260
Logo:
0,9 : 1,5 = 0,6 
 0,6 x 100 = 60%
A quantidade de itens certos é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
2
3
4
4. A companhia de televisão por satélite Sky encerrou o segundo trimestre deste ano com mais 750 mil assinantes na
América Latina, o que significa um crescimento de 8% em relação aos três primeiros meses de 1999. No Brasil, o
número de assinaturas só cresceu 5%, devido a uma retração provocada pela alta de 15% no preço da assinatura.
Jornal do Brasil, 10/8/99 (com adaptação)
De acordo com o texto acima, o número de assinantes da Sky na América Latina no final do primeiro trimestre de
1999 era
a)
b)
c)
d)
e)
inferior a 9 milhões.
superior a 9 milhões e inferior a 10 milhões.
superior a 10 milhões e inferior a 11 milhões.
Superior a 11 milhões e inferior a 12 milhões.
Superior a 12 milhões.
Solução:
R$ 750.000,00 --------------------- 8%
x -------------------------------- 100%
8x = 750.000.000 
 x = 9.375.000
5. Com base nas informações contidas na questão anterior e considerando que:
ganho real (GR) = valor total (em reais) ganho de fato pela companhia Sky com as novas assinaturas no Brasil e
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ganho provável (GP) = valor total (em reais) que teria sido ganho pela companhia Sky com as novas assinaturas no
Brasil se o preço da assinatura tivesse sido mantido o percentual de crescimento do número de assinaturas no Brasil
fosse o mesmo registrado para a América Latina, é correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
e)
GP ≤ 0,5 GR.
0,5 GR < GP ≤ GR.
GR < GP ≤ 1,1 GR.
1,1 GR < GP ≤ 1,2 GR
GP > 1,2 GR.
Solução:
Supondo que a assinatura da Sky seja de R$ 300,00, temos:
R$ 300,00 x 0,15 = R$ 45,00  M = 345,00
Supondo que são 100 assinantes, temos:
100 x 0,05 = 5 assinantes
100 x 0,08 = 8 assinantes
Logo:
R$ 345,00 x 5 = R$ 1725,00  GR
R$ 300,00 x 8 = R$ 2400,00  GP
Daí, temos:
a) GP ≤ 0,5 GR.
2400 ≤ 0,5 . 1725 
 2400 ≤ 862,5 (Falso)
b) 0,5 GR < GP ≤ GR 
 0,5 . 1725 < 2400 ≤ 1725 
 862,5 < 2400 ≤ 1725 (Falso)
c) GR < GP ≤ 1,1 GR 
 1725 < 2400 ≤ 1,1 . 1725 
 1725 < 2400 ≤ 1897,5 (Falso)
d) 1,1 GR < GP ≤ 1,2 GR 
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 1,1 GR < GP ≤ 1,2 GR 
 1,1 . 1725 < 2400 ≤ 1,2 . 1725 
 1897,5 < 2400 ≤ 2070  (Falso)
e) GP > 1,2 GR 
 GP > 1,2 GR 
 2400 > 1,2 . 1725 
 2400 > 2070 (Certo)
6. O valor de um aluguel era de R$ 400,00 no dia 1º de julho de 1999 e foi reajustado para R$ 410,00 no dia 1º
de agosto de 1999. Considerando que a inflação registrada no mês de julho foi de 1%, é correto afirmar que a taxa
real de juros utilizada no reajuste do valor desse aluguel foi
a)
b)
c)
d)
e)
inferior a 1,5%.
igual a 1,5%.
superior a 1,5% e inferior a 2,0%.
igual a 2,0%.
superior a 2,0%.
Solução:
400 --------- 1%
410 --------- x%
Logo:
400x = 410 
 x = 1,025%
7. Na tabela abaixo, que apresenta três opções de um plano de previdência privada com investimentos mensais
iguais por um período de 10 anos, a uma mesma taxa de juros, capitalizados mensalmente, o valor de X será
Valor (em Reais)
Investido Mensalmente
A receber após 10 anos
200,00
500,00
1.000,00
41.856,00
104.640,00
X
a) inferior a R$ 200.000,00.
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b) superior a R$ 200.000,00 e inferior a R$ 205.000,00.
c) superior a R$ 205.000,00 e inferior a R$ 210.000,00.
d) superior a R$ 210.000,00 e inferior a R$ 215.000,00.
e) superior a R$ 215.000,00.
Solução:
J= C.i.n 
 148,8 = 200 . i . 1 
 i = 148,8 : 200 
 i = 0,744
Observação:
R$ 41.856,00 : 10 = R$ 4.185,60 (por ano)
R$ 4.185,60 : 12 = R$ 348,80
Logo:
R$ 348,8 – R$ 200,00 = R$ 148,80
M = C . ( 1 + 1)n 
 M = 1000 . ( 1 + 0,744 . 1 ) 
 M = 1000 x 1,744 
 M = 1744
Como são 10 anos, temos:
R$ 1744 x 12 meses = R$ 20.928,00.
Daí, temos:
R$ 20.928,00 x 10 anos = R$ 209.280,00
8. Carlos comprou um computador a prazo, em cinco parcelas iguais e sucessivas, cada uma delas de valor X, a
serem pagas de 30 em 30 dias, vencendo a primeira 30 dias após a compra. No dia subseqüente ao fechamento do
negócio. Carlos decidiu renegociar a dívida, propondo saldá-la com um único pagamento (Y) no dia do vencimento
da terceira parcela do plano original. Se a taxa de juros envolvida nessa negociação for de 8% para cada período de
30 dias, para que as duas propostas de pagamento do computador sejam equivalentes, o quociente Y/X deverá ser
igual a
(1,08) 5 − 1
a)
0,08 ⋅ (1,08) 2
(Correta)
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
8 ⋅ (1,08) 2
b)
(1,08) 5 − 1
1 − (1,08) − 5 − 1
c)
0,08 ⋅ (1,08) 2
d)
[(1,08) 5 − 1] ⋅ 0,08
(1,08) 2
e)
(0,08) 3 [1 − (1,08) − 2
1,08
9. Na tabela abaixo, que apresenta algumas células sem valores numéricos, os dados referem-se a um empréstimo
bancário de R$ 10.000,00, entregues no ato e sem prazo de carência, à taxa de juros de 12%ao ano, para pagamento
em 6 meses pela tabela Price.
Meses
0
1
2
3
4
5
6
Saldo Devedor
10.000,00
8.374,52
Amortização
0
Juros
0
5.074,64
3.399,91
1.658,15
1.674,73
83,75
67,33
50,75
Prestação
0
0
Com relação a essa situação, julgue os itens, a seguir.
I – O valor da quinta prestação será superior a R$ 170,00. (Certo)
II – Imediatamente após ser paga a segunda prestação, o saldo devedor será inferior a R$ 7.000,00. (Certo)
III – O valor correspondente ao juros pagos na sexta prestação será inferior R$ 20,00. (Certo)
Assinale a opção correta.
a) Apenas o item I está certo.
b) Apenas o item II está certo.
c) Apenas os itens I e III estão certos.
d) Apenas os itens II e III estão certos.
e) Todos os itens estão certos.
Solução:
Meses
0
1
2
3
4
5
6
Saldo
Devedor
10.000,00
8.374,52
6.732,79
5.074,64
3.399,91
1.708,42
0
Amortização
Juros
Prestação
0
1625,48
1641,73
1.658,15
1.674,73
1.691,49
1708,40
0
100
83,75
67,33
50,75
34,00
17,08
0
1725,48
1725,48
1725,48
1725,48
1725,48
1725,48
Sabemos que 12% ao ano = 1% ao mês.
Para calcular o valor da 1ª amortização, temos que subtrair
os seguintes valores:
R$ 10.000,00 – R$ 8.374,52 = R$ 1.625,48
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS PÚBLICOS E EXAMES VESTIBULARES
COMENTÁRIOS E SOLUÇÃO - PROFESSOR CARLOS ANDRÉ
Para calcular os juros do 1º mês, temos:
R$ 10.000,00 x 0,01 = R$ 100,00
Para calcular o valor das prestações mensais e iguais, temos:
R$ 1.625,48 + R$ 100,00 = R$ 1725,48
Para calcular os juros do 2º mês, temos:
R$ 8.374,52 x 0,01 = R$ 83,75
Para calcular o valor da 2ª amortização, temos que subtrair os seguintes valores:
R$ 1.725,48 – R$ 83,75 = R$ 1641,73
Para calcular o saldo devedor do 2º mês, temos que subtrair os seguintes valores:
R$ 8.374,52 – R$ 141,73 = R$ 6.732,79
Para calcular os juros do 5º mês, temos:
R$ 3.999,91 x 0,01 = R$ 33,99
Para calcular o valor da 5ª amortização, temos que subtrair os seguintes valores:
R$ 1.725,48 – R$ 33,99 = R$ 1691,49
Para calcular o saldo devedor 5º mês, temos que subtrair os seguintes valores:
R$ 3.399,91 – R$ 1691,49 = R$ 1.708,42
Para calcular os juros do 6º mês, temos:
R$ 1708,42 x 0,01 = R$ 17,08
Para calcular o valor da 6ª amortização, temos que subtrair os seguintes valores:
R$ 1.725,48 – R$ 17,08 = R$ 1.708,40
Logo:
O saldo devedor do 6º mês será zerado.
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