Folha 4

Mecânica Clássica
(Licenciaturas em Física Ed., Química Ed.)
Folha de problemas 4
Movimentos de corpos sob acção de forças centrais
1 - Uma partícula de massa m move-se ao longo do eixo dos xx’, sujeita à acção de uma
a
força F ( x ) = −kx + 3 , onde a e k são constantes positivas.
x
x2
a
a) Calcule a energia potencial Ep (x) da qual a força deriva. R: Ep (x)= k
+ 2
2 2x
b) Determine as posições de equilíbrio. Estas posições são de equilíbrio estável ou
1/4
a
instável? Justifique. x = ±  ; estável.
k 
c) Calcule as posições dos 2 pontos de retorno correspondentes a um dado valor de
E ± E m − ka
energia, Em . R: x = ± m
k
2
2 – Calcule o valor da aceleração da gravidade:
a) na Terra, ao nível do mar; R: 9,8 ms -2
b) na Terra, no cimo da Serra da Estrela; R: 8,9 ms-2
c) em Marte. R: 3,7 ms-2
MTerra = 5,97×1024 kg; RTerra= 6,38×106 m; MMarte= 6,42×1023 kg; RMarte=3,40×106 m;
G=6,67×10-11 Nm2 kg-2
3 – Considere um lançamento na vertical (movimento unidimensional) de um objecto de
massa m. Admita que a força de resistência do ar é desprezável e que a Terra é um
referencial de inércia.
GMT
a) Mostre como varia a aceleração da gravidade com a altitude. R: g = −
( RT + h ) 2
b) Escreva a equação que permite determinar a velocidade em função da altitude e
2
mostre que a altura máxima que o objecto atinge é h = v 0 2g se h<<RT , onde v0 é a
0
velocidade inicial do objecto, g0 é a aceleração da gravidade à superfície da Terra e RT é
GMT h
o raio da Terra. R: v = v 02 − 2
RT ( h + RT )
c) Desenhe o gráfico da energia potencial Ep(y) e discuta qualitativamente o tipo de
movimento para as situações Em <0, Em =0 e Em >0. Determine a velocidade de escape, v e.
2GM T
R: v e =
RT
4 – Uma partícula de massa m está sujeita à acção de um campo de forças ao qual está
associada a energia potencial E p ( x ) = ax 2 − bx 3 , onde a e b são constantes positivas e
a>b. Desenhar o gráfico da energia potencial e discutir o movimento da partícula para
diferentes valores da energia mecânica, salientando em cada caso as possíveis restrições
ao movimento.
5 – Os asteróides têm uma densidade típica de cerca de 2500 kg/m3 e raios desde cerca
de 470 km até menos de 1 km. Assumindo que um asteróide tem uma distribuição
uniforme de massa, estime o raio do maior asteróide do qual pode “escapar”
simplesmente com um salto. R: r = 3,75 × 10 3 hmáx
Nota: pode estimar a sua velocidade de salto através da máxima altura (hmáx )que
consegue saltar na Terra.
6 – Obtenha a velocidade de escape de um asteróide de 300 km de diâmetro e com uma
densidade de 2500 kg/m3 . R:1,26×105 m/s.
7 – Uma experiência é realizada no espaço sideral com 2 esferas uniformes, A e B,
ambas com raio igual a 1 m, com massas iguais a 25 kg e 100 kg, respectivamente. As
esferas são libertadas do repouso quando os seus centros se encontram afastados de
40 m. Elas são aceleradas uma de encontro à outra devido à sua mútua atracção
gravítica.
a) Obtenha a massa reduzida deste sistema e a posição do seu centro de massa,
relativamente à posição inicial da esfera A, no instante inicial. R: µ=20 kg; RCM=32 m.
b) Qual a energia do sistema no instante inicial? R: Em =-4,17×10-9 J
c) Obtenha a velocidade relativa das esferas no instante em que os seus centros se
encontram a uma distância de 20 m. R: v= 2×10-5 m/s
d) Calcule a velocidade de cada esfera nesse mesmo instante, relativamente ao
referencial do centro de massa. R: v A=1,6×10-5 m/s, v B=-0,4×10-5 m/s
e) Qual a posição do centro da esfera A, relativamente à sua posição inicial, quando as
duas esferas colidem? R: 30,4 m.
8 – a) Provar que dada a equação da órbita, r = r(θ), de uma partícula de massa m e
conhecidos os valores do momento angular, L, e energia mecânica, Em , é possível obter
uma expressão para a energia potencial.
b) Exemplificar para o caso em que a partícula se move numa órbita espiral, dada
por r = aθ 2 , onde a é uma constante.
2

L2  1  dr 
L2  4a 
R: a) E p ( r ) = Em −
+
1
;
b)
E
(
r
)
=
E
−




 + 1
p
m
2mr 2  r 2  dθ 
2mr 2  r


9 - Uma partícula de massa m e momento angular de módulo L move-se sob acção de
um campo de forças centrais, descrevendo a órbita r = a
, onde a é uma
(θ + 1)2
constante.
a) Deduzir a expressão geral que permite obter a energia potencial a partir da equação
2

L2  1  dr 
da órbita. R: E p ( r ) = Em −
+
1



;
2mr 2  r 2  dθ 

b) Obter a expressão da energia potencial para a órbita dada, considerando Ep (∞)=0, e
indicar qual a energia mecânica da partícula neste caso.
L2  4r 
R: E p ( r ) = Em −
+ 1 ; Em =0.
2mr 2  a

c) Para o ponto da órbita que corresponde a θ=0, obter as componentes radial e
dr − 2L
dθ
L
transversa da velocidade da partícula. R: v r =
=
; vθ = r
=
dt
ma
dt ma
10 - O cometa Halley move-se numa órbita elíptica em torno do Sol. No periélio (ponto
mais próximo) este cometa está a 8,75×107 km do Sol e no afélio (ponto mais distante)
está a 5,26×109 km dele.
a) Em que ponto tem o cometa maior ve locidade? Obtenha a expressão para a
velocidade, considerando MS e mH as massas do Sol e do cometa Halley,
respectivamente.
b) Obtenha o comprimento do semi-eixo maior, a excentricidade da órbita e o período
da órbita.
2
GM s m H
R: a) no periélio (ponto mais próximo do centro de forças); v =
( Em +
;
m
r
b) a= 2,67×109 km; ε=0,968; T=75 anos;
11 – A observação de um cometa revelou que a excentricidade da sua órbita é igual a
0,998 e o seu periélio fica a uma distância de 0,23 UA. Admitindo que a massa do Sol é
muito superior à do cometa, e utilizando, se necessário, as seguintes relações:
2E L
α
L2
= (1 + ε cos θ ) ,
α=
,
ε = 1+ m 2 ,
r
mK
mK
onde θ é o ângulo entre o semieixo maior e o vector posicional do cometa, m é a massa
do cometa; K=GMsm
2
a) Faça um esboço do gráfico da energia potencial efectiva do campo gravitacional e
discuta as características da órbita descrita pelo cometa.
b) Calcule o afélio da órbita deste cometa. R: 229,77 UA
c) Obtenha a expressão da velocidade do cometa em qualquer ponto da órbita.
 ε −1 1 
R: v (r ) = 2GM s 
+ 
r
 2p
12 – Alguns cometas têm o afélio muito afastado do Sol, tipicamente a cerca de
8×1012 km do Sol, tendo por isso um período muito longo. Considere que um destes
cometas de longo período, tem o periélio localizado na Terra.
a) Obtenha o período (em anos) deste cometa. R: T≈4,37×106 anos.
b) Estime a velocidade deste cometa de longo período no periélio. (Nota: no afélio este
cometa move-se muito lentamente) R: v p = 4,22×104 m/s
c) O núcleo de um cometa pode ter uma massa igual a 1015 kg. Se a Terra fosse atingida
por um cometa com esta massa, estime, fazendo as aproximações que considerar
necessárias, a energia cinética deste cometa imediatamente antes do impacto.
R: Ec=8,9×1023 J
Nota: a energia libertada por uma grande erupção vulcânica é tipicamente da ordem de
6×1018 J. Um impacto do tipo considerado neste problema parece ter ocorrido há cerca
de 65 milhões de anos no Yucatan, estando eventualmente relacionado com o
desaparecimento dos dinossauros e outras espécies extintas da superfície da Terra.
13 – Um cometa foi observado pelos chineses em Abril do ano 574 e novamente em
Maio de 1994. Admitindo que o tempo entre as observações corresponde ao período do
movimento do cometa em torno do Sol e que a excentricidade da sua órbita é igual a
0,11,
a) Obtenha o comprimento do semieixo maior da órbita deste cometa. R: a=1,83×1013 m
b) Qual a energia mecânica total do cometa, admitindo que a massa do cometa é igual a
GM s m  ε + 1 
1014 kg? R: Em =
− 1 = −3,64 × 10 20 J

rp  2

c) Obtenha a expressão do módulo da velocidade da partícula em qualquer ponto da
2
GM s m
órbita. R: v (r ) =
(E m +
)
m
r
Nota: Se necessário utilize as relações do problema 12.
14 – Um meteorito C de massa m descreve uma
órbita parabólica, no mesmo plano da órbita da
Terra, situando-se o seu periélio entre o Sol e a
Terra. Seja MS a massa do Sol e R o raio da órbita
da Terra que se supõe circular. A velocidade do
meteorito no periélio é dupla da velocidade da
Terra.
a) Calcule o momento angular do meteorito em
relação ao centro de forças.
R: L = m GM s R
b) Obtenha a velocidade do meteorito em
GM s
qualquer ponto da órbita. R: v (r ) = 2
r
c) Ilustre a sua resposta recorrendo ao gráfico do potencial efectivo, onde deve também
assinalar a distância ao periélio.
d) Verificou-se que o corpo celeste permaneceu no interior da órbita terrestre durante
cerca de 11 semanas. Obtenha a equação (na forma integral) que permitiria comprovar
rp
este resultado. R: T = 2 ∫
rT
dr
2  GM s m
L2 

−

m r
2mr 2 
15 – Um pequeno satélite de massa m=106 kg descreve uma órbita circular em torno da
Terra sendo a sua distância à superfície da Terra igual a 300 km e o seu momento
angular relativamente ao centro de forças igual a 3×1016 Kg m2 s-1 .
a) Determine a energia mecânica e a velocidade escalar do satélite em qualquer ponto
da órbita. R: Em =-5×1013 J; v=4,5×103 m/s
b) Represente graficamente a energia mecânica e energia potencial eficaz para esta
órbita, indicando a posição do raio da órbita.
c) Num dado instante, a direcção da velocidade do satélite é alterada, passando aquele a
descrever uma órbita elíptica com a mesma energia mecânica total, mas com o
módulo do momento angular reduzido para metade do seu valor inicial. Obtenha a
expressão da energia potencial eficaz em qualquer ponto da órbita e represente
graficamente a energia potencial eficaz e a energia mecânica total, identificando os
( L / 2) 2 GMm
pontos de retorno desta nova órbita. R: E efp = 0 2 −
2mr
r
d) Calcular, para esta nova órbita, as distâncias ao centro da Terra do perigeu (ponto
mais próximo) e apogeu (ponto mais distante). R: ra = 7,73×106 m; rp =2,98×105 m
Nota: MTerra =6,02×1024 kg; RTerra =6,38×106 m; G=6,67×10-11Nm2 kg-2
16 – Considere uma nave numa órbita elíptica em torno da Terra. A sua distância à
superfície da Terra no perigeu e apogeu é igual a 500 km e 5500 km, respectivamente.
a) Qual o período da órbita em anos? R: T=2h 30m
v
b) Obtenha a razão entre a velocidade da nave no perigeu e apogeu. R: p v = 1,73
a
3
-1
c) Obtenha o valor da velocidade da nave no perigeu. R: v p =8,56×10 ms
d) Pretende-se que a nave escape da influência da Terra no perigeu.
i) Qual o acréscimo mínimo necessário na velocidade escalar da nave para que
este efeito seja conseguido neste ponto? R: 2,2 ×103 ms-1
ii) Sabendo que a velocidade de ejecção dos materiais de combustão é igual a
3
3×10 m/s relativamente à nave durante a aceleração, obtenha a razão entre a massa
inicial e a massa final do foguetão, durante o processo de aceleração que origina esse
escape da nave. R: M i M = 2,08
f
Nota: RT= 6,38×106 m; MT= 5,97×1024 kg; C =
4π 2
; G= 6,67×10-11 m3 kg-1 s-2
GM