Folha 2

Mecânica Clássica
(Licenciaturas em Física Ed., Química Ed.)
Folha de problemas 2
1 - Uma partícula de massa m move-se ao longo do eixo dos xx’, sujeita à acção de uma
a
força F ( x ) = −kx + 3 , onde a e k são constantes positivas.
x
a) Calcule a energia potencial Ep (x) da qual a força deriva.
b) Determine as posições de equilíbrio. Estas posições são de equilíbrio estável ou
instável? Justifique.
c) Calcule as posições dos 2 pontos de retorno correspondentes a um dado valor de
energia, Em .
2 – Calcule o valor da aceleração da gravidade:
a) na Terra, ao nível do mar;
b) na Terra, no cimo da Serra da Estrela;
c) em Marte.
MTerra = 5,97×1024 kg; RTerra= 6,38×106 m; MMarte= 6,42×1023 kg; RMarte=3,40×106 m;
G=6,67×10-11 Nm2 kg-2
3 – Uma experiência é realizada no espaço sideral com 2 esferas uniformes de igual
raio, com massas iguais a 25 kg e 100 kg. As esferas são libertadas do repouso quando
os seus centros se encontram afastados de 40 m. Elas são aceleradas uma de encontro à
outra devido à sua mútua atracção gravítica.
a) Obtenha a massa reduzida deste sistema e a posição do seu centro de massa,
relativamente à posição inicial da esfera de massa 25 kg, no instante inicial.
b) Qual a energia do sistema no instante inicial?
c) Obtenha a velocidade relativa das esferas no instante em que os seus centros se
encontram a uma distância de 20 m.
d) Calcule a velocidade de cada esfera nesse mesmo instante, relativamente ao
referencial do centro de massa.
e) A que distância da posição inicial do centro da esfera de 25 kg é que as duas
colidem?
4 – Obtenha a velocidade de escape de um asteróide de 300 km de diâmetro e com uma
densidade de 2500 kg/m3 .
5 – Os asteróides têm uma densidade típica de cerca de 2500 kg/m3 e raios desde cerca
de 470 km até menos de 1 km. Assumindo que um asteróide tem uma distribuição
uniforme de massa, estime o raio do maior asteróide do qual pode “escapar”
simplesmente com um salto.
Nota: pode estimar a sua velocidade de salto através da máxima altura que consegue
saltar na Terra.
6 – Considere um lançamento na vertical (movimento unidimensional) de um objecto de
massa m. Admita que a força de resistência do ar é desprezável e que a Terra é um
referencial de inércia.
a) Mostre como varia a aceleração da gravidade com a altitude.
b) Escreva a equação que permite determinar a velocidade em função da altitude e
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mostre que a altura máxima que o objecto atinge é h = v 0 2g se h<<RT , onde v0 é a
0
velocidade inicial do objecto, g0 é a aceleração da gravidade à superfície da Terra e RT é
o raio da Terra.
c) Desenhe o gráfico da energia potencial Ep(y) e discuta qualitativamente o tipo de
movimento para as situações Em <0, Em =0 e Em >0. Determine a velocidade de escape, v e.
7 – Considere um satélite artificial de massa m que num determinado instante se
encontra entre a Terra e a Lua. Sendo RT o raio da Terra, RL o raio da Lua e RTL a
distância entre o centro da Lua e o centro da Terra:
a) obtenha a energia potencial gravítica total do sistema satélite-Terra e satélite-Lua
quando o satélite está à distância r do centro da Terra. Considere que o zero da energia
potencial corresponde à situação de os corpos estarem muito afastados uns dos outros.
b) Existe um ponto ao longo da linha que une o centro da Terra com o centro da Lua
onde a força gravítica total é igual a zero. A partir da expressão obtida na alínea
anterior, determine a que distância do centro da Terra se encontra este ponto.
c) Qual a velocidade mínima com que deve ser lançada uma nave da superfície da Terra
para atingir este ponto?
d) Se uma nave fosse lançada da superfície da Terra em direcção à Lua com uma
velocidade de 11,2 km/s, com que velocidade atingiria a superfície da Lua?
8 – O cometa Halley move-se numa órbita elíptica em torno do Sol. No periélio (ponto
mais próximo) este cometa está a 8,75×107 km do Sol e no afélio (ponto mais distante)
está a 5,26×109 km dele.
a) Em que ponto tem o cometa maior velocidade? Obtenha a expressão para a
velocidade, considerando MS e mH as massas do Sol e do cometa Halley,
respectivamente.
b) Obtenha o comprimento do semi-eixo maior, a excentricidade da órbita e o período
da órbita.
9 – Alguns cometas têm o afélio muito afastado do Sol, tipicamente a cerca de
8×1012 km do Sol, tendo por isso um período muito longo. Considere que um destes
cometas de longo período, tem o periélio localizado na Terra.
a) Obtenha o período (em anos) deste cometa.
b) Estime a velocidade deste cometa de longo período no periélio. (Nota: no afélio este
cometa move-se muito lentamente)
c) O núcleo de um cometa pode ter uma massa igual a 1015 kg. Se a Terra fosse atingida
por um cometa com esta massa, estime, fazendo as aproximações que considerar
necessárias, a energia cinética deste cometa imediatamente antes do impacto.
Nota: a energia libertada por uma grande erupção vulcânica é tipicamente da ordem de
6×1018 J. Um impacto do tipo considerado neste problema parece ter ocorrido há cerca
de 65 milhões de anos no Yucatan, estando eventualmente relacionado com o
desaparecimento dos dinossauros e outras espécies extintas da superfície da Terra.
10 – Um meteorito C de massa m descreve uma órbita parabólica, no mesmo plano da
órbita da Terra, situando-se o seu periélio entre o Sol e a Terra. Seja MS a massa do Sol
e R o raio da órbita da Terra que se supõe circular. A velocidade do meteorito no
periélio é dupla da velocidade da Terra.
a) Calcule o momento angular do meteorito em relação ao centro de forças.
b) Obtenha a velocidade do meteorito em qualquer ponto da órbita.
c) Ilustre a sua resposta recorrendo ao gráfico do potencial efectivo, onde deve também
assinalar a distância ao periélio.
d) Verificou-se que o corpo celeste permaneceu no interior da órbita terrestre durante
cerca de 11 semanas. Obtenha a equação (na forma integral) que permitiria comprovar
este resultado.