Análise da estabilidade de poços - SICBOLSAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CENTRO DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CENTRO DE TECNOLOGIA
ANÁLISE DA ESTABILIDADE DE POÇOS VERTICAIS
DE PETRÓLEO ATRAVÉS DO MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS
Aluno: Victor Costa Pontes
Orientadores: Francisco Patrick Araujo Almeida
iv
Dedico este trabalho à minha família pelo apoio e
dedicação que me deram e aos amigos conquistados ao
longo deste percurso.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente aos meus pais, Iran e Pollenya, por todo o apoio,
dedicação e conselhos que possibilitaram este momento.
Ao meu irmão, Bruno, pelo apoio e auxílio tanto no desenvolvimento deste
trabalho, quanto nos momentos compartilhados.
Ao professor Francisco Patrick pela paciência e por acreditar na minha
capacidade de desenvolver este trabalho.
À todos os professores e amigos que contribuíram para o desenvolvimento
deste trabalho.
Ao apoio financeiro da Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e
Biocombustíveis – ANP –, da Financiadora de Estudos e Projetos – FINEP – e do
Ministério da Ciência e Tecnologia – MCT – por meio do Programa de Recursos
Humanos da ANP para o setor de Petróleo e Gás – PRH-ANP/MCT.
Victor Costa Pontes
vi
RESUMO
PONTES, V. C. Análise da estabilidade de poços verticais de petróleo através do
método dos elementos finitos. 2014. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em
Engenharia Civil) – Universidade Federal de Alagoas, Maceió.
Este trabalho tem como objetivo a avaliação da estabilidade de poços verticais
de petróleo após a perfuração e aplicação do revestimento. A relevância desse estudo
surgiu da necessidade de prevenir e minimizar as instabilidades estruturais em poços
verticais de petróleo, com o intuito de evitar custos adicionais, visto que a perfuração
é o processo onde estão inseridos os maiores custos. Afim de prevenir as
instabilidades estruturais, desenvolveu-se um programa, através do software
MATLAB, baseado no método dos elementos finitos para o cálculo de deformações
em materiais elásticos, que faz a comparação das deformações reais (através do
estado de tensão em que a rocha está submetida) e das deformações máximas a
partir de seções transversais ao longo do poço. Essas são calculadas a partir de um
estado de tensão fictício que leva em consideração a envoltória de resistência da
rocha e o estado de tensão real. Utilizou-se primeiramente benchmarks, que
apresentam resultados coerentes e satisfatórios. Com o programa apresentando bons
resultados analisou-se seções que apresentam a convergência da curva da
deformação real com a curva da deformação máxima. Outro fator observado é que
através das curvas de deformações, existe uma faixa segura de deformação, onde
rochas com propriedades viscosas teriam um limite de deformação até o suposto
colapso.
Palavras-chave: Método dos elementos finitos, estabilidade, poço vertical
vii
ABSTRACT
PONTES, V. C. Stability analysis of vertical oil wells through the finite element method.
2014. Undergraduate Project (Degree in Civil Engineering) – Universidade Federal de
Alagoas, Maceió.
This study aims to assess the stability of vertical oil wells after drilling and
coating application. The relevance of this study stemmed from the need to prevent and
minimize the structural instabilities in vertical oil wells, in order to avoid additional costs,
since the drilling is the process where the highest costs are included. In order to
prevent structural instability, a program developed by MATLAB software, based on the
finite element method for the calculation of deformations in elastic materials, which
makes the comparison of actual deformations (through the stress state in the rock is
submitted) and the maximum deformation from cross-sections along the well. These
are calculated from a fictional state of tension that takes into account the envelope of
rock strengths and the actual state of tension. First we used benchmarks that show
consistent and satisfactory results. With the program with satisfactory results was
analyzed sections that present the convergence of the actual deformation curve with
the curve of maximum deformation. Another observation is that through the curves of
deformation, there is a safe range of deformation, where rocks with viscous properties
have a limit of deformation to the supposed collapse.
Keywords: Finite element method, stability, vertical oil well.
viii
Sumário
1
INTRODUÇÃO....................................................................................... 14
2
REFERENCIAL TEÓRICO .................................................................... 18
2.1
Mecânica das Rochas ..................................................................... 18
2.1.1 Ensaio uniaxial e triaxial ............................................................. 19
2.1.2 Ensaio brasileiro ......................................................................... 20
3
2.2
Teoria das Estruturas ...................................................................... 21
2.3
Método dos Elementos Finitos ........................................................ 23
METODOLOGIA .................................................................................... 26
3.1
Entrada de Dados ........................................................................... 27
3.2
Cálculo das Tensões ....................................................................... 27
3.3
Cálculo das Deformações ............................................................... 30
3.3.1 Matriz de rigidez ......................................................................... 30
3.3.2 Resolução do sistema de equações........................................... 34
4
3.4
Comparação das deformações ....................................................... 35
3.5
Impressão dos Resultados .............................................................. 36
RESULTADOS E DISCUSSÕES........................................................... 37
4.1
Benchmarks .................................................................................... 37
4.2
Análise de uma Seção .................................................................... 44
4.2.1 Determinação das tensões ......................................................... 45
4.2.2 Deformações .............................................................................. 47
4.3
Análise de Múltiplas Seções ........................................................... 50
4.4
Deformação Viscosa ....................................................................... 53
4.5
Análise do Método em Diferentes Raios. ........................................ 54
5
CONCLUSÃO ........................................................................................ 55
6
REFERÊNCIAS ..................................................................................... 56
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Estado tridimensional de tensão .............................................................. 18
Figura 2 – Determinação da envoltória de resistência .............................................. 19
Figura 3 – Demonstração do ensaio brasileiro .......................................................... 20
Figura 4 – Prolongamento da envoltória ................................................................... 21
Figura 5 – Barragem - Exemplo de estrutura em estado plano de deformação ........ 24
Figura 6 – Viga parede – Exemplo de estrutura em estado plano de tensão ............ 25
Figura 7 – Organograma do programa ...................................................................... 27
Figura 8 – Determinação do estado de tensão máximo ............................................ 28
Figura 9 – Transformação da tensão em forças nodais ............................................ 29
Figura 10 – Matriz de rigidez do elemento CST ........................................................ 32
Figura 11 – Elemento isoparamétrico de 4 nós da família Serendipity ...................... 33
Figura 12 – Mapeamento do elemento ...................................................................... 34
Figura 13 – Resultados das forças e deformações ................................................... 36
Figura 14 – Chapa tracionada ................................................................................... 37
Figura 15 – Resultados obtidos pelo programa ......................................................... 38
Figura 16 – Representação e resultados do problema obtidos por Zienkiewicz ....... 39
Figura 17 – Malha utilizada para comparação dos resultados .................................. 40
Figura 18 – Resultado obtido pela utilização dos elementos finitos .......................... 41
Figura 19 – Resultado obtido com a introdução dos elementos infinitos ................... 42
Figura 20 – Sobreposição dos resultados ................................................................. 43
Figura 21 – Perfil do poço – Cotas em metro ............................................................ 44
Figura 22 – Círculo de Mohr ...................................................................................... 46
Figura 23 – Determinação do estado de tensão máximo .......................................... 46
Figura 24 – Discretização da malha .......................................................................... 47
Figura 25 – Discretização com o incremento do revestimento .................................. 48
Figura 26 – Impressão dos resultados ...................................................................... 49
Figura 27 – Entrada e saída de dados para múltiplas seções ................................... 50
Figura 28 – Representação dos estados de tensões presentes e máximos ............. 51
Figura 29 – Representação gráfica das deformações de cada seção ....................... 52
Figura 30 – Deformação máxima viscosa ao longo da profundidade ........................ 53
x
Figura 31 – Discretização da malha para os raios de 4 e 6 polegadas respectivamente
.................................................................................................................................. 54
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Propriedades da rocha ............................................................................ 44
Tabela 2 – Propriedades da seção transversal, do fluido de perfuração e da água .. 45
Tabela 3 – Tensões nas seções................................................................................ 50
Tabela 4 – Deformações das seções ........................................................................ 51
xii
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ANP
Agência Nacional de Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis
PRH
Programa de Recursos Humanos
∅
Ângulo de atrito
S0
Coesão
T0
Tensão determinada pelo ensaio brasileiro
τ
Tensão cisalhante
s
Tensão normal
s’
Tensão efetiva normal
s1 s3
Tensões principais
MEF
Método dos Elementos Finitos
Ѳ
Ângulo de rotação dos sistemas de coordenadas
ρ
Densidade
g
Aceleração da gravidade
γ
Peso específico
CST
Constant Strain Triangle (Triângulo com deformação constante)
PTV
Princípio dos Trabalhos Virtuais
UFAL Universidade Federal de Alagoas
Π
Energia potencial total
U
Energia de deformação total
xiii
Wp
Trabalho potencial das forças externas
d
Deslocamentos
T
Trabalho da forças externas/internas
δ
Operador diferencial
u
Deformação na direção x
v
Deformação na direção y
a
Coeficientes a serem determinados
x,y
Variáveis
xi
Abcissas dos nós
yi
Ordenadas dos nós
A
Área do elemento
ξ
Função de forma
k
Matriz de rigidez
D
Matriz constitutiva
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
14
1 INTRODUÇÃO
A indústria do petróleo mobiliza grandes somas de recursos econômicos para
sustentar as operações de exploração e produção de óleo e gás. Deter reservas de
óleo e gás e dominar as tecnologias para obtê-las é fator essencial para o
desenvolvimento da nação e para o mundo.
O caminho do petróleo, desde a pesquisa para sua descoberta até sua
chegada a uma refinaria passa por diversas etapas sendo uma das principais, e que
tem um custo mais dispendioso, a de perfuração de poços.
São comuns, em uma operação de perfuração, dois modos de ruptura ou falha
que podem ocorrer nas paredes do poço: falha por cisalhamento (decorrentes de
esforços compressivos) e falha por tração (decorrentes de esforços distensivos). São
os problemas relacionados a esses modos de ruptura que deixam a operação
dispendiosa (Rocha e Azevedo, 2007).
A ocorrência de instabilidade de poços se dá devido a diversos mecanismos,
sendo o mais significativo deles a relação entre o estado de tensões no poço e a
resistência da rocha. Esse fato torna a avalição da estabilidade de um poço um
problema clássico de mecânica das rochas, uma vez que é necessária a previsão da
resposta das rochas a um determinado carregamento mecânico.
Desta forma, a análise da mecânica das rochas é fundamental para operações
de perfurações estáveis. Como parte dessa análise, é necessário o conhecimento dos
esforços a que estão submetidas as formações e a determinação dos parâmetros
relacionados à resistência da rocha, para que possam ser estudadas as situações
onde ocorrerá colapso ou fratura da formação.
Os avanços tecnológicos na área da computação têm permitido o uso de
modelos cada vez mais complexos e refinados os quais possibilitam simulações cada
vez mais realistas, culminando na otimização dos projetos e redução dos custos
(Azevedo, 2011).
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
15
As simulações descritas são realizadas através do método dos elementos
finitos (MEF) que surgiu com o intuito de resolver problemas de teoria da elasticidade,
superando os métodos dos resíduos ponderados. Este método é baseado na divisão
do domínio de integração, contínuo, em um número finito de sub-regiões denominados
elementos finitos (ASSAN, 2003).
A ideia básica do MEF para a estrutura consiste em usar funções
aproximadoras descritas em subdomínios ou elementos finitos, para descrever os
campos de deslocamentos da estrutura. A melhora da solução deve ser obtida com o
uso de mais subdomínios ou elementos e não apenas o uso de polinômios de mais
alto grau. Para sistematizar as operações matemáticas do problema, as funções
aproximadoras devem ser descritas em cada subdomínio por funções de interpolação
previamente definidas (VAZ, 2011).
A motivação para realização deste trabalho partiu da preocupação em reduzir
os altos custos na área de produção de óleo e gás.
No surgimento da indústria do petróleo, no final do século XIX, o refino era
para a obtenção de querosene de iluminação que representava a etapa onde estava
a maior rentabilidade.
Durante o desenvolvimento da indústria do petróleo no século XX foram sendo
descobertas novas reservas que garantiam a manutenção do preço da matéria-prima
de uma indústria milionária. Porém com o passar dos anos essas reservas foram
sendo descobertas cada vez mais afastadas dos maiores mercados consumidores,
apresentando uma concentração muito elevada na região do Oriente Médio,
principalmente em países como Arábia Saudita e Iraque.
Crises como a de 1973 e a de 1978 resultaram em um aumento no valor do
petróleo, levando a rentabilidade da indústria do refino para a produção, pois com o
aumento da matéria-prima as empresas de refino foram obrigadas a reduzir sua
margem de lucro para manutenção de suas vendas. Essa transferência da
lucratividade gerou um importante fator para a indústria moderna. O desenvolvimento
da produção de petróleo se tornou um fator estratégico no mundo, campos de
produção “off-shore” se tornaram economicamente viáveis devido ao alto custo do
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
16
petróleo e países onde não se produzia petróleo passaram a investir no
desenvolvimento tecnológico dessa etapa da cadeia.
Com o passar dos anos a indústria precisou tornar cada vez mais rentável o
processo de extração do petróleo, levando a necessidade de reduzir custos na
perfuração de poços e aumentar a qualidade da análise das informações obtidas
antes, durante e após a perfuração.
A instabilidade dos poços gera um aumento de custos adicionais na
perfuração, podendo chegar ao seu abandono devido a prisão de coluna de
perfuração. Entre os custos da instabilidade estão a necessidade de limpeza do poço,
de injeção de mais fluido de perfuração devido à perda e a prisão da mesma, que em
determinados níveis pode ser tratada permitindo que se continue a perfuração.
Contudo, mesmo que continue a perfuração os problemas já causaram um atraso que
pode representar perdas que comprometem a rentabilidade do poço (Tisser, 2004).
Trabalhos que seguem a mesma linha de pensamento, como o de Tisser
(2004) que apresentou, através de modelos volumétricos, os dois modelos de ruptura
associados a uma superfície elíptica que limita o estado de tensão hidrostático
admissível.
De forma a encontrar resultados analíticos sobre a densidade do fluido de
perfuração, Rodrigues (2007) propôs uma solução de engenharia baseada no método
de equilíbrio limite para auxiliar no problema de instabilidade de poços de petróleo em
rochas fraturadas. As soluções analíticas são propostas para se determinar a faixa de
valores da massa específica do fluido de perfuração (janela operacional).
Azevedo (2011) apresentou outra forma de avaliar a estabilidade da formação
analisando
o
comportamento
das
rochas
quando
submetidas
a
esforços
característicos da fase de perfuração, como subsídio a realização de perfurações
estáveis.
De forma a prevenir e minimizar as instabilidades estruturais dos poços são
utilizados métodos que definem limites seguros para a operação. Este trabalho visa a
análise de um poço vertical de petróleo pelo MEF, através de um programa
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
17
desenvolvido na plataforma MATLAB a partir de uma proposta desenvolvida durante
o período de iniciação científica patrocinada pela Agência Nacional do Petróleo, Gás
Natural e Biocombustíveis (ANP) através do Programa de Recursos Humanos (PRH).
As principais contribuições deste trabalho são: Apresentar uma proposta de
um modelo de análise de poços verticais para posteriormente ser utilizado para
análises de rochas com propriedades viscosas através das deformações que
apresentam sob o estado de tensão em que está submetida; desenvolver um
programa capaz de calcular as deformações a partir do estado de tensão da rocha;
avaliar a partir do modelo proposto a estabilidade das seções estudadas.
O modelo possui diversas limitações devido principalmente aos modelos de
cálculo utilizados, como por exemplo a análise de apenas o comportamento elástico
linear dos materiais, não levar em consideração os efeitos térmicos e químicos, não
poder utilizar seções próximas a mudanças de diâmetros, só utilizar seções propícias
à ruptura por cisalhamento.
A metodologia empregada é baseada em um modelo proposto que visa a
comparação de deformações através do estado de tensão em que a rocha está
submetida e pelo estado de tensão máximo definido ao longo deste trabalho. As
deformações são calculadas a partir do MEF.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
18
2 REFERENCIAL TEÓRICO
A base teórica para o desenvolvimento deste trabalho é fundamentada a partir
do estudo da mecânica da rocha (estudo do comportamento da formação após a
perfuração), da teoria das estruturas (conceitos relacionados aos trabalhos virtuais) e
do MEF (determinação das deformações nas seções ao longo do poço).
2.1 Mecânica das Rochas
Durante a perfuração de um poço, a rocha da formação é exposta a cargas
externas, devido à retirada de fragmentos de rochas, que alteram o estado de tensão
original existente no subsolo, podendo levar a graves problemas, tais como o
desmoronamento total das paredes do poço. Quando a rocha é exposta a esse
carregamento externo, forças internas são induzidas. Estas, por sua vez, afetam tanto
o comportamento do corpo quanto a sua deformação (Rocha e Azevedo, 2007).
Para se ter uma descrição completa do estado de tensão em um ponto é
necessário
identificar
as
tensões
relacionadas
a
três
planos
orientados
ortogonalmente. A figura 1 representa o estado tridimensional de tensões.
Figura 1 – Estado tridimensional de tensão
Fonte: Rocha e Azevedo
O círculo de Mohr representa graficamente a transformação do tensor de
tensão, facilitando a identificação das tensões principais e a tensão cisalhante
máxima. A construção do círculo de Mohr pode ser feita facilmente quando conhecidas
as tensões principais (onde as tensões cisalhantes nestes pontos são iguais a zero).
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
19
O centro do círculo neste caso é a média aritmética das tensões principais e o raio é
igual a metade da diferença das mesmas.
Para a determinação da tensão de ruptura da rocha são realizados ensaios,
como por exemplo ensaio uniaxial, ensaio triaxial e ensaio brasileiro. Estes ensaios
propiciam informações sobre a resistência da rocha.
2.1.1 Ensaio uniaxial e triaxial
Um dos resultados mais importantes obtidos dos testes uniaxiais e triaxiais é
o de propiciar informações sobre a resistência das rochas para o estabelecimento de
um critério de ruptura, isto é, uma equação que represente situações em que um
estado de tensão pode levar à ruptura da rocha.
Um dos critérios de ruptura devido à compressão mais utilizados na indústria
do petróleo é o chamado critério Mohr-Coulomb, o qual tem sido escolhido pela sua
simplicidade. Baseado no círculo de Mohr, utilizando círculos que descrevem estados
de tensão onde a falha da rocha tenha ocorrido. A Figura 2 demonstra como a partir
destes valores é definido o ângulo de atrito (Φ) e a coesão (S0). Os valores de tensão
geralmente utilizados correspondem ao pico de tensão da curva tensão-deformação
(Rocha e Azevedo, 2007).
Figura 2 – Determinação da envoltória de resistência
Fonte: Rocha e Azevedo
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
20
2.1.2 Ensaio brasileiro
Diferente dos ensaios de resistência à compressão, a resistência à tração em
rochas é difícil de ser medida diretamente, pois as rochas apresentam baixos valores
de resistência à tração. Além disso, a maioria das rochas possuem fraturas, e no caso
destas fraturas serem normais a direção da tensão de tração aplicada, a resistência à
tração da rocha pode se aproximar de zero, sendo esta uma hipótese comumente
assumida.
O método mais comum para se estimar a resistência à tração das rochas é o
ensaio brasileiro ou ensaio de compressão diametral. Método indireto, onde se aplica
uma carga de compressão sobre o eixo vertical de uma amostra de rocha de
comprimento geralmente inferior ou igual ao seu diâmetro conforme figura 3. A falha
ocorrerá devido à tensão de tração, no plano que contenha o eixo do cilindro e as
cargas de compressão.
Figura 3 – Demonstração do ensaio brasileiro
Fonte: Rocha e Azevedo
Para o estabelecimento do critério de falha de ruptura por tração será utilizada
a teoria de Mohr-Coulomb. Para tanto, basta prolongar a envoltória de Mohr-Coulomb
para a região de tração até o ponto da tensão determinada pelos ensaios (Rocha e
Azevedo, 2007).
A figura 4 apresenta tanto o critério de ruptura por cisalhamento, quanto o
critério de ruptura por tração, que é representado pelo termo T0.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
21
Figura 4 – Prolongamento da envoltória
Fonte: Rocha e Azevedo
2.2 Teoria das Estruturas
Os conceitos relativos a deslocamentos virtuais e trabalho virtual são
usualmente introduzidos durante o estudo da Mecânica Geral quando são usados
para resolver problemas sobre equilíbrio estático.
A palavra virtual significa que as quantidades são puramente imaginárias e
que não precisam existir no sentido real ou físico. Assim, um deslocamento virtual é
um pequeno deslocamento imaginário, arbitrariamente imposto sobre um sistema
estrutural. Não há necessidade de se tratar de um deslocamento real, como por
exemplo os deslocamentos de flexão causada por cargas atuantes na estrutura. O
trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual é chamado
trabalho virtual.
O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) afirma: A condição necessária e
suficiente para o equilíbrio de um ponto ou sistema de pontos materiais qualquer, é
que a soma dos trabalhos virtuais em qualquer deslocamento virtual compatível com
as ligações do sistema seja nula, ou matematicamente conforme equação 1.
∑ Τvirtual externo =0
(1)
O deslocamento virtual deve ser suposto infinitesimal, de modo a não alterar
a configuração estática e geométrica do sistema das forças que nele agem, não
violando as condições de equilíbrio que tais forças obedecem. O deslocamento virtual
é causado por uma ação externa qualquer, cuja origem não é objeto de discussão,
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
22
sendo completamente independente das forças externas que mantém a estrutura em
equilíbrio.
O PTV aplicado às estruturas isostáticas em equilíbrio resolve o problema
estático através do geométrico. Como o PTV consiste de apenas uma equação, ele
se torna seletivo, ou seja, sua aplicação determina apenas uma incógnita, havendo
necessidade de se repetir o procedimento para cada incógnita procurada. Não
obstante este fato – e inclusive por isto - é muito útil quando se deseja determinar
apenas um esforço, como é o caso de determinação de linhas de influência.
A aplicação do PTV às estruturas isostáticas para a determinação de um
determinado esforço requer que seja aplicado um deslocamento virtual, que só pode
ser realizado se o sistema for móvel, o que é obtido retirando-se o vínculo
correspondente à incógnita e substituindo-o pelo esforço correspondente. Como os
deslocamentos virtuais são supostos infinitesimais, estes deslocamentos seguem as
leis dos pequenos deslocamentos, mais simples que as dos deslocamentos finitos.
No estudo da análise estrutural deve-se estender o Princípio dos Trabalhos
Virtuais para o caso de estruturas deformáveis. Neste caso deve-se levar em
consideração não apenas o trabalho realizado pelas ações externas mas também o
trabalho associado aos esforços internos na deformação dos elementos da estrutura.
Este princípio é extremamente valioso e tem muitas aplicações na análise
estrutural. Durante o desenvolvimento do princípio nota-se que as propriedades do
material não entram em discussão, e consequentemente o PTV aplica-se a todas as
estruturas, independente do material se comportar linearmente ou não.
O PTV enuncia para corpos deformáveis que em uma estrutura deformável
em equilíbrio, a soma dos trabalhos virtuais das ações externas, em um deslocamento
compatível com as ligações, é igual ao trabalho virtual interno, realizado pelos
esforços internos na deformação dos elementos da estrutura, ou matematicamente
explícita conforme equação 2 (Serra).
Τexterno =Τinterno na deformação
(2)
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
23
2.3 Método dos Elementos Finitos
O MEF se baseia no princípio da mínima energia potencial total. A energia
potencial total é definida para sistemas conservativos como a equação 3.
Π(d)=U(d)+Wp (d)
(3)
onde:
Π
– Energia potencial total;
U
– Energia de deformação total;
Wp
– Trabalho potencial das forças externas;
d
– Deslocamentos.
O princípio da mínima energia potencial total enuncia que os deslocamentos
de uma estrutura em equilíbrio estável tornam mínima a energia potencial total da
estrutura, ou seja, uma estrutura que está em equilíbrio estável se deformou de modo
a gastar o mínimo de energia potencial total. Matematicamente, a condição de
primeira ordem de mínimo de uma função é dada pela equação 4 (Vaz, 2011).
δΠ(d)⁄δd =0
(4)
onde:
δ
– Operador diferencial.
Após definir as equações de equilíbrio é necessário definir as equações
constitutivas que serão definidas através da geometria da estrutura e do carregamento
em que ela está submetida.
Os dois tipos de estruturas planas estudadas são as estruturas que estão em
estado plano de deformação e as que estão em estado plano de tensão.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
24
Problemas que envolvem corpos longos cuja geometria e estado de
carregamento não mudam muito ao longo de seu eixo longitudinal estão sob o estado
plano de deformação (Assan, 2003). O estado plano de deformação apresenta
deformações impedidas ao longo do eixo longitudinal. A figura 5 mostra uma barragem
que é um exemplo desse estado de carregamento.
Figura 5 – Barragem - Exemplo de estrutura em estado plano de deformação
Fonte: Elaborado pelo autor
Ao contrário do estado plano de deformação, o estado plano de tensão ocorre
em sólidos cuja dimensão na direção perpendicular ao plano principal do sólido é
muito pequena em relação às outras dimensões (Assan, 2003). O estado plano de
tensão é caracterizado por apresentar tensão normal ao plano principal igual a zero.
A figura 6 mostra uma viga parede que é um exemplo desse estado de carregamento.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
25
Figura 6 – Viga parede – Exemplo de estrutura em estado plano de tensão
Fonte: Elaborado pelo autor
Neste trabalho foi considerado apenas o estado plano de deformação, o
estado plano de tensões foi utilizado apenas para a comparação dos resultados do
programa.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
26
3 METODOLOGIA
Para a realização da análise, primeiramente é proposto um método de
avaliação que é definido a partir da comparação entre deformações máximas, que a
rocha pode suportar, e deformações reais a partir do estado de tensão em que a rocha
está submetida.
As deformações são calculadas a partir de um programa desenvolvido através
do software MATLAB (escolhido por ser o software estudado na graduação do curso
de engenharia civil da Universidade Federal de Alagoas - UFAL). Para facilitar o seu
desenvolvimento o programa é dividido em duas partes. A primeira parte diz respeito
aos cálculos referentes às tensões provenientes do peso do maciço rochoso, da
pressão de poros e da pressão exercida pelo fluido de perfuração. A segunda parte é
definida pelos cálculos da deformação, ou seja, pela aplicação do MEF.
A figura 7 representa um organograma do processo de cálculo do programa.
O programa é composto estruturalmente:

Principal: Entrada de dados; cálculo das tensões; compatibilizações
das tensões; aplicação do MEF; comparação dos resultados;
impressão dos resultados;

Secundária: Malha, propriedades e seções (entrada de dados);
pressão de poros, tensão total, tensão efetiva e tensão do fluido
(cálculo das tensões); matriz de rigidez, condições de contorno e
sistema de equações (aplicação do MEF).

Terciária: Elementos e condições de contorno (malha – entrada de
dados).
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
27
Figura 7 – Organograma do programa
Fonte: Elaborado pelo autor
3.1 Entrada de Dados
A entrada de dados é parte fundamental do programa. É neste ponto que são
definidas a malha, as condições de contorno, as propriedades da rocha e as seções.
A entrada de dados é feita através de arquivos de texto e pela interface do
MATLAB. Os arquivos de texto referem-se aos dados necessários para o cálculo das
tensões e do método dos elementos finitos. Os dados inseridos pela interface são a
quantidade de seções e a profundidades de cada seção.
3.2 Cálculo das Tensões
As tensões exercidas pelo peso da coluna de água (pressão de poros), pelo
peso do maciço rochoso (pressão total) e pelo peso da coluna do fluido de perfuração
(pressão do fluido) são calculadas a partir da equação 5.
σ= ∑ni=1 ρi *g*hi = ∑ni=1 γi *hi
onde:
(5)
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
28
ρ
– Densidade;
g
– Aceleração da gravidade
h
– Profundidade;
γ
– Peso específico;
n
– Número de camadas, no caso da água e do fluido de perfuração n=1.
As tensões efetivas (tensão total e do fluido) são calculadas pela diferença
entre a tensão e a pressão de poros.
Para o cálculo, as tensões principais para definir o círculo de Mohr real são a
tensão efetiva total e a tensão efetiva do fluido.
Para determinar o estado de tensão máximo, primeiramente, é definido o
critério de segurança que é desenvolvido de forma a levar em consideração a
envoltória de resistência e o estado de tensão da rocha. A figura 8 mostra como é
calculado o estado de tensão máximo: a) Estado de tensão em que a rocha está
submetida; b) Criação do círculo de Mohr fictício; c) Criação do estado de tensão
máximo; d) Estado de tensão máximo.
Figura 8 – Determinação do estado de tensão máximo
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
29
Fonte: Elaborado pelo autor
Determinado o estado de tensão real e o estado de tensão máximo é feita a
compatibilização das tensões principais com os nós da malha. A figura 9 mostra
graficamente como as tensões em uma seção de espessura unitária são
transformadas em forças nodais: a) Tensões aplicadas na seção; b) Forças aplicadas
nos nós.
Figura 9 – Transformação da tensão em forças nodais
Fonte: Elaborado pelo autor
Em consequência das etapas anteriores é criado o vetor de forças nodais.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
30
3.3 Cálculo das Deformações
Definido o vetor forças nodais, é iniciado o processo de cálculo das
deformações pelo programa desenvolvido.
3.3.1 Matriz de rigidez
Primeiramente é calculado a matriz de rigidez de cada elemento, conforme
apresentado nas seções 3.3.1.1 e 3.3.1.2.
3.3.1.1 Elemento CST
Este elemento tem como funções interpoladoras para os deslocamentos
polinômios do primeiro grau, conforme equações 6 e 7.
u(x,y)=a1 +a2 x+a3 y
(6)
v(x,y)=a4 +a5 x+a6 y
(7)
onde:
u
– Deformação na direção x;
v
– Deformação na direção y;
a
– Coeficientes a serem determinados;
x,y
– Variáveis.
As funções de forma para este elemento são calculadas conforme equação 8.
ξi =1/2A [xj yk -xk yj +x (yj -yk ) +y(xk -xj )] ;i,j,k=1,2,3
onde:
xi
– Abcissas dos nós;
yi
– Ordenadas dos nós;
A
– Área do elemento;
ξ
– Função de forma.
(8)
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
31
A matriz de rigidez é determinada através da equação 9.
k = ∫ Bt DB dv
b1
B=1/2A [ 0
a1
0
a1
b1
1-υ
D= (1+υ)(1-2v) [ υ
0
E
(9)
b2
0
a2
υ
1-υ
0
0
a2
b2
b3
0
a3
0
a3 ]
b3
0
0 ], para o estado plano de deformação
1-2υ
(10)
(11)
2
ai =xk -xj
(12)
bi =yj -yk
(13)
onde:
k – Matriz de rigidez.
Estruturas em estado plano de deformação adota-se a espessura igual a uma
unidade de comprimento.
A matriz de rigidez para o elemento CST com a forma generalizada da matriz
dos coeficientes elásticos fica conforme figura 10 (Assan, 2003).
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
32
Figura 10 – Matriz de rigidez do elemento CST
Fonte: Assan (2003)
3.3.1.2 Elemento Serendipity
Um elemento finito é dito isoparamétrico quando as mesmas funções de
interpolação são usadas para interpolar não apenas grandezas cinemáticas
(deslocamentos), como é usual nos elementos convencionais, mas também
grandezas geométricas (no caso, coordenadas). A família desses elementos é
denominada de família Serendipity, uma referência ao conto infantil persa “Os três
príncipes de Serendip”. Esta história conta as aventuras de três príncipes do Ceilão,
atual Sri Lanka, que viviam fazendo descobertas inesperadas, cujos resultados eles
não estavam procurando realmente. Graças à sua capacidade de observação e
sagacidade, descobriram “acidentalmente” a solução para diversos dilemas
impensados. Essa característica tornava-os especiais e importantes, não apenas por
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
33
terem um dom especial, mas por terem a mente aberta para as múltiplas
possibilidades (Vaz, 2011).
Para facilitar o cálculo são feitas parametrizações conforme figura 11.
Figura 11 – Elemento isoparamétrico de 4 nós da família Serendipity
Fonte: Vaz (2011)
Desta forma as funções interpoladoras paramétricas, estão conforme as
equações 14 e 15.
u(ξ,η)=a1 +a2 ξ+a3 η+a4 ξη
(14)
v(ξ,η)=a5 +a6 ξ+a7 η+a8 ξη
(15)
As considerações feitas por Zienkiewicz, Taylor e Zhu (2005), definem um
“polo”, onde os nós que irão para o infinito estão contidos nas retas que passam pelo
polo e pelo nó do elemento que compõe a malha, os nós que irão para o infinito
possuem deslocamentos prescritos e iguais a zero.
As funções de forma para este elemento foram calculadas por Zienkiewicz,
Taylor e Zhu (2005), conforme equações 16 e 17.
𝜉
𝜉
𝜉
𝜉
x=𝑁1 (𝜂) [(− 1−𝜉 𝑥𝑐 ) + (1 + 1−𝜉) 𝑥𝑞 ] + 𝑁0 (𝜂) [(− 1−𝜉 𝑥𝑐1 ) + (1 + 1−𝜉) 𝑥𝑞1 ] (16)
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
34
1
1
𝑁1 (𝜂) = 2 (1 + 𝜂); 𝑁0 (𝜂) = 2 (1 − 𝜂)
(17)
A figura 12 demonstra onde estão localizados os pontos “q” e “c”.
Figura 12 – Mapeamento do elemento
Fonte: Zienkiewicz, Taylor e Zhu (2005)
A matriz de rigidez é calculada conforme equação 9.
A matriz deste tipo de elemento não possui uma configuração definida como
a do elemento CST, pois são feitas integrações ao longo de um domínio infinito, a
posição do polo e da parametrização utilizada influenciam na determinação da matriz
de rigidez.
3.3.2 Resolução do sistema de equações
Com a matriz de rigidez da estrutura e o vetor de forças nodais definidos, o
próximo passo é a aplicação das condições de contorno. Matematicamente são
substituídos os valores desconhecidos do vetor de forças nodais (reações) pelos
valores conhecidos dos deslocamentos nodais (deslocamentos prescritos), a
substituição implica na mudança da matriz de rigidez.
Para facilitar o entendimento, as equações 18, 19 e 20 exemplificam este
processo.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
35
x=a*u+b*v
{
y=c*u+d*v
(18)
Matricialmente:
1
[
0
x
0
a
] * {y} = [
1
c
1
[
0
x
-b
a
]*{ }=[
v
-d
c
u
b
]*{ }
v
d
u
0
] * {y}
-1
(19)
(20)
onde:
a,b,c,d - Valores conhecido da matriz;
u,y
- Incógnitas;
x,v
- Valores conhecidos.
No software MATLAB existe uma função que calcula a matriz inversa. O
sistema de equações é resolvido pelo produto da inversa da matriz de rigidez pelo
vetor de forças nodais conforme equação 21.
U=K-1 *F
(21)
3.4 Comparação das deformações
Com a resolução dos sistema de equações, são obtidos os valores das
deformações de cada nó e as reações. A deformação nodal é calculada pela equação
22.
ε = √u2x +u2y
(22)
Com os valores de todas as deformações nodais, escolhesse a maior
deformação para representar a seção de interesse. E finalmente são comparadas as
deformações calculadas pelo estado de tensão real com o estado de tensão máximo,
conforme equação 23.
εMÁX ≥ ε
(23)
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
36
3.5 Impressão dos Resultados
Os resultados são impressos em arquivos de texto conforme figura 13.
Figura 13 – Resultados das forças e deformações
Fonte: Elaborado pelo autor
E o resultado, se haverá colapso da seção, é impresso na interface do
MATLAB. Se houver mais de uma seção são impressos a comparação das
deformações e plotado um gráfico deformação X profundidade.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
37
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Para a utilização do programa, primeiramente são utilizados benchmarks para
comparar os resultados e determinar se os mesmos estão coerentes e satisfatórios.
4.1 Benchmarks
Benchmark é o termo utilizado na computação, visando a avalição da
performance de um programa de computador, normalmente executando uma série de
testes padrões.
Para o primeiro exemplo foi utilizada uma chapa tracionada conforme figura
14.
Figura 14 – Chapa tracionada
Fonte: Elaborado pelo autor
Para comparar os resultados, utilizou-se o software Abaqus. O Abaqus é um
pacote de software comercial para análise através de elementos finitos desenvolvido
pela HKS Inc. de Rhode Island, E.U.A. e agora comercializado sob a SIMULIA marca
da Dassault Systemes S.A.
A comparação dos resultados do programa com os do software Abaqus
apresentou erro de cerca de 0,25%. A figura 15 apresenta os resultados obtidos para
os quatro nós mostrados na figura 14.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
38
Figura 15 – Resultados obtidos pelo programa
Fonte: Elaborado pelo autor
De acordo com este resultado o programa apresenta resultados coerentes e
satisfatórios.
Para um segundo exemplo foi utilizado o problema apresentado por
Zienkiewicz, Taylor e Zhu (2005), figura 16.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
39
Figura 16 – Representação e resultados do problema obtidos por Zienkiewicz, Taylor e Zhu
Fonte: Zienkiewicz, Taylor e Zhu
O problema apresenta um solo sendo comprimido por uma força pontual de
intensidade igual a 1, o solo possui módulo de elasticidade e Poisson iguais a,
respectivamente, 1 e 0,1.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
40
A malha utilizada foi composta por 16 elementos triangulares conforme figura
17.
Figura 17 – Malha utilizada para comparação dos resultados
Fonte: Elaborado pelo autor
Os resultados obtidos pelo programa estão apresentados na figura 18.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
41
Figura 18 – Resultado obtido pela utilização dos elementos finitos
Fonte: Elaborado pelo autor
Os resultados obtidos pela combinação dos 16 elementos finitos e 4 infinitos
estão presentes na figura 19.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
42
Figura 19 – Resultado obtido com a introdução dos elementos infinitos
Fonte: Elaborado pelo autor
A figura 20 sobrepõe as curvas encontradas.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
43
Figura 20 – Sobreposição dos resultados
Fonte: Elaborado pelo autor
Pela análise dos gráficos, figura 20, tanto os resultados obtidos pelo programa
quanto os da literatura, observa-se que a introdução dos elementos infinitos melhora
consideravelmente os resultados apresentados.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
44
4.2 Análise de uma Seção
A figura 21 apresenta um poço vertical com lâmina de água igual à 1500m e
a profundidade da seção de interesse igual a 1600m.
Figura 21 – Perfil do poço – Cotas em metro
Fonte: Elaborado pelo autor
As propriedades da rocha estão presentes na tabela 1.
Tabela 1 – Propriedades da rocha
Densidade média Coesão
Ângulo
(g/cm³)
(psi)
atrito
2,52
480
28°
de Poisson Módulo
de
elasticidade (GPa)
0,2
20
As propriedades da seção transversal, do fluido de perfuração e da água estão
presentes na tabela 2.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
45
Tabela 2 – Propriedades da seção transversal, do fluido de perfuração e da água
Raio (pol) Densidade do fluido (lb/gal) Peso específico da água (kN/m³)
8,5
9,5
9,79
4.2.1 Determinação das tensões
A pressão de poros, tensão total e a pressão exercida pelo fluido de
perfuração estão presentes na equações 24, 25 e 26.
σPoros =γÁgua *hÁgua =9,79*(1500*1600)=30350,24 kN/m²
(24)
σTotal =ρRocha *g*hRocha =2,52*9,81*1600=39553,92 kN/m²
(25)
σFluido =ρFluido *c*g*hFluido =9,5*0,12*9,81*(1500*1600)=34668,54 kN/m²
(26)
As tensões efetivas estão presentes nas equações 27 e 28.
σ'Total =σTotal -σPoros =9203,68 kN/m²
(27)
σ'Fluido =σFluido -σPoros =4318,30 kN/m²
(28)
As tensões efetivas são as tensões principais para a determinação do círculo
de Mohr. A figura 22 representa o círculo de Mohr desse estado de tensão e a
envoltória de resistência.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
46
Figura 22 – Círculo de Mohr
Fonte: Elaborado pelo autor
O estado de tensão máximo está representado na figura 23 e a equação 29
representa a tensão principal máxima.
Figura 23 – Determinação do estado de tensão máximo
Fonte: Elaborado pelo autor
σ'Máx =12857,18 kN/m²
(29)
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
47
4.2.2 Deformações
Após determinar as tensões, para o cálculo das deformações primeiramente
criasse a malha. A criação da malha pode ser feita de duas formas: manualmente –
pela criação dos arquivos para a entrada de dados, ou a partir de um programa
secundário. Este programa cria a malha a partir do raio interno, raio externo, divisão
da malha radialmente e angularmente.
A figura 24 representa a malha utilizada composta por 40 elementos
triangulares e 5 elementos quadrangulares (infinitos). Os elementos quadrangulares
não estão representados na figura.
Figura 24 – Discretização da malha
Fonte: Elaborado pelo autor
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
48
Com a malha definida e todos os parâmetros conhecidos o programa calcula
as deformações nodais. Para o estado de tensão que a rocha está submetida a
deformação que representa esta seção é igual a:
ε=1,6667
(30)
O cálculo também foi realizado com a introdução de um revestimento de 1
polegada com módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson iguais respectivamente
a 30 GPa e 0,2. A figura 25 representa a discretização desta nova configuração. Os
elementos quadrangulares não estão representados na figura.
Figura 25 – Discretização com o incremento do revestimento
Fonte: Elaborado pelo autor
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
49
A deformação calculada para esta configuração é igual a:
εRev =1,4404
(31)
Observa-se que o incremento do revestimento diminui consideravelmente as
deformações, considerando a proporção entre a espessura do revestimento e do
maciço.
A deformação máxima que esta seção pode suportar a partir do estado de
tensão máximo é igual a:
εMáx =2,3234
(32)
De posse das deformações, o programa faz a comparação dos resultados e
exibe os resultados conforme figura 26.
Figura 26 – Impressão dos resultados
Fonte: Elaborado pelo autor
Os resultados obtidos acima comprovam a coerência com o problema
proposto.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
50
4.3 Análise de Múltiplas Seções
Para a análise de múltiplas seções o programa recebe a quantidade de seções
e a profundidade pela interface do MATLAB. A figura 27 mostra como é feita a
introdução dos parâmetros.
Figura 27 – Entrada e saída de dados para múltiplas seções
Fonte: Elaborado pelo autor
A tabela 3 apresenta os valores das tensões para cada seção.
Tabela 3 – Tensões nas seções
Profundidade
(m)
1600
1700
1800
Tensão
total
(kN/m²)
39553,92
42026,04
44498,16
Pressão
de poros
(kN/m²)
Tensão do Tensão
Fluido
Efetiva da
(kN/m²)
Rocha
(kN/m²)
30350,24
34668,54
9203,68
31329,28
35786,88
10696,76
32308,32
36905,22
12189,84
Tensão
Efetiva do
Fluido
(kN/m²)
4318,3
4457,6
4596,9
A figura 28 apresenta os estados de tensões reais e os estados de tensões
máximos para estas seções.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
51
Figura 28 – Representação dos estados de tensões presentes e máximos
Fonte: Elaborado pelo autor
A malha utilizada para as três seções é igual à utilizada para a análise de uma
seção.
As deformações encontradas estão presentes na tabela 4.
Tabela 4 – Deformações das seções
Seção
Deformação presente Deformação máxima
1600m 1,6667
2,3234
1700m 1,7121
2,3402
1800m 1,7625
2,3611
A figura 29 apresenta um gráfico com as deformações presentes e máximas
das seções. Esta função só está habilitada para o cálculo de múltiplas seções.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
52
Figura 29 – Representação gráfica das deformações de cada seção
Fonte: Elaborado pelo autor
Pelo gráfico (figura 29), nota-se uma leve convergência entre a curva da
deformação real e a curva da deformação máxima, o que era esperado, pelo fato da
tensão real crescer mais rapidamente que a tensão máxima e as deformações
causadas serem diretamente proporcionais às tensões.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
53
4.4 Deformação Viscosa
Analisando as curvas do gráfico (figura 29), observa-se uma faixa entre as
curvas onde não ocorreria a ruptura da rocha. Essa faixa representa a diferença entre
as deformações reais e máximas. Essa diferença é o quanto a rocha pode fluir antes
de supostamente romper. A figura 30 apresenta a variação da deformação viscosa
máxima que a rocha pode suportar.
Figura 30 – Deformação máxima viscosa ao longo da profundidade
Fonte: Elaborado pelo autor
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
54
4.5 Análise do Método em Diferentes Raios.
Para a avaliação do método proposto são utilizados além do raio já descrito
(8,5 polegadas), utilizou-se também os raios de 4 e 6 polegadas. O estado de tensão
máximo utilizado é o mesmo que o utilizado para a seção de 1600m. A figura 30
representa a malha utilizada para essas novas configurações. Os elementos
quadrangulares não estão representados na figura.
Figura 31 – Discretização da malha para os raios de 4 e 6 polegadas respectivamente
Fonte: Elaborado pelo autor
As deformações máximas encontradas para esses diâmetros são igual a:
ε8 =2,2755
(33)
ε12 =2,2901
(34)
ε17 =2,3234
(35)
Desta forma observa-se que, para pequenos diâmetros, a variação da
deformação máxima é mínima.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
55
5 CONCLUSÃO
Pelos resultados obtidos pelos benchmarks observou-se que os resultados do
programa são satisfatórios e coerentes com os problemas propostos, o resultado
obtido com a introdução dos elementos infinitos também melhora consideravelmente
os resultados com um aumento imperceptível do custo computacional.
O programa foi desenvolvido para facilitar o cálculo e a visualização dos
resultados em poços verticais, por isso foram implementadas funções auxiliares, como
por exemplo a criação da malha e exibição de gráficos correspondentes às
deformações.
As malhas utilizadas, compostas por poucos elementos, podem apresentar
erros significantes, contudo os resultados não apresentaram erros que comprometam
a análise das seções.
A utilização dos revestimentos nas paredes do poço diminui as deformações
reais apresentadas considerando a proporção entre a espessura do revestimento e a
espessura do maciço rochoso.
Percebe-se que, para pequenos diâmetros, a mudança do raio do poço tem
pouca influência na deformação máxima calculada, o que era esperado para uma
seção com o mesmo estado de tensão e com os mesmo parâmetros de resistência.
O estudo do método para avaliar o comportamento viscoso da rocha ainda
carece de mais análises, principalmente pela dificuldade de encontrar dados
concretos sobre rochas com essa propriedade.
Análise da Estabilidade de Poços Verticais de Petróleo Através do Método dos Elementos Finitos
56
6 REFERÊNCIAS
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TISSER, A. D., 2004. Um Modelo Constitutivo para Análise de Estabilidade de
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ZIENKIEWICZ, O. C., TAYLOR R. L., ZHU J. Z., 2005. The Finite Element Method
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