Relações Material Propriedade

- UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA
PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Relações Material Propriedade
Lei de Hooke Generalizada
Supor que o material está sujeito a um estado triaxial de tensões num ponto.
σ x ,σ y e σ z ⇒ ε x , ε y e ε z
As tensões são relacionadas às deformações
1- Relação de Poisson ε lat = −νε long
2- Lei de Hooke aplicada na direção uniaxial ε =
σ
E
3- Princípio da superposição
Figura 1. Aplicação das tensões, superposição.
Deformação normal do elemento na direção x, provocada pela aplicação separada de
cada tensão normal, Figura 1.
1- Aplicação de σ x
ε 'x =
2- Aplicação de σ y
σx
(1)
E
ε 'x' = −ν
σy
E
(2)
1
3- Aplicação de σ z
ε 'x'' = −ν
σz
(3)
E
Forma geral da Lei de Hooke
A superposição das deformações normais fornecem as seguintes equações:
[
(
)]
1
σ x −ν σ y + σ z
E
1
ε y = σ y − ν (σ x + σ z )
E
1
ε z = σ z −ν σ x + σ y
E
εx =
[
[
]
(
(4)
)]
Suposições
1- Material Linear e elástico
2- Pequenas deformações
3- Material isotrópico, o elemento permanecerá um bloco retangular quando
submetido a tensões normais.
Lei de Hooke para Tensão de Cisalhamento
Se aplicarmos uma tensão de cisalhamento ao elemento, observações experimentais
indicam que o material se deformará devido somente a uma deformação por
cisalhamento.
γ xy =
1
1
1
τ xy , γ yz = τ yz , γ xz = τ xz
G
G
G
(5)
Figura 2- Aplicação da tensão de cisalhamento
2
Relação entre E, ν e G
G=
E
2(1 + ν )
(6)
Dilatação e Módulo de compressibilidade
Quando um material é submetido à tensão normal, o seu volume muda. Considere o
elemento da Figura 3.
Figura 3.a. Elemento original. Figura3.b. Elemento após a aplicação da tensão.
Figura3.
A mudança volume é dada por:
δV = (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z )dxdydz − dxdydz
(7)
Desprezando o produto das deformações, uma vez que são muito pequenos.
δV = (ε x + ε y + ε z )dxdydz
(8)
A mudança de volume por unidade de volume (Deformação volumétrica ou
dilatação e)
δV
=εx +εy +εz
(9)
e=
dV
As deformações por cisalhamento não mudam o volume do elemento,mas apenas
seu formato retangular.
Usando a lei de hooke generalizada definida pelas equações (4), poderemos escrever
a dilatação em termos da tensão aplicada.
e=
1 − 2ν
σx +σ y +σz
E
(
)
(10)
Elemento de volume do material submetido à pressão uniforme p
A pressão do corpo é a mesma em todas as direções. Não há tensões de
cisalhamento uma vez que a resistência de um liquido é nula.
3
Figura 4.
Dessa forma
p
E
=−
e
3(1 − 2ν )
(11)
O termo da direita da Eq. (11) é chamado de módulo de elasticidade do volume ou
módulo de compressibilidade. Ele tem as mesmas unidades de tensão e será
simbolizado pela letra k, isto é:
k=
E
3(1 − 2ν )
(12)
Exercício.
1. A barra de cobre da Figura 5 está submetida a um carregamento uniforme ao
longo de suas bordas como mostrado. Se ela tiver comprimento a=300 mm,
largura b=50 mm e espessura t= 20 mm antes de a carga ser aplicada, determinar
seus novos comprimento, largura e espessura após o carregamento. Adotar Ecu=
120 GPa, ν cu = 0 ,34 .
Figura 5.
Resposta: a’ =302,4 mm, b’ = 49,68 mm, t’ = 19,98 mm
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Referências Bibliográficas:
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books,
1995.
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e
Científicos, 2000.
Observações:
1- O presente texto é baseado nas referências citadas.
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.
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