gabarito - Walter Tadeu

VESTIBULAR: 2016
PROFESSOR: WALTER TADEU
MATEMÁTICA II
GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA – QUESTÕES – GABARITO
1. Considerando a circunferência C de equação (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5, avalie as seguintes afirmativas:
1. O ponto P(4,2) pertence a C.
3. A reta y 
2. O raio de C é 5.
4
x passa pelo centro de C.
3
Assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
e)
Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
Solução. Analisando as afirmativas, temos:
Afirmativa 1. Verdadeira: 4  3  2  4   1   2  1  4  5 .
2
2
Afirmativa 2. Falsa:  x  3   y  4  
2
2
2
 5
2
 raio  5 .
x  32   y  42  
Afirmativa 3. Verdadeira:
2
5

2
 centro  3, 4
.
3, 4  reta : 4  4 .(3)
3
2. A distância entre duas circunferências C1 e C2 é definida como a menor distância entre os pontos de C 1 e
os pontos de C2, isto é, se X é um ponto em C1, Y é um ponto em C2 e d(X,Y) é a distância entre X e Y, então
a distância entre C1 e C2 é o menor valor que d(X,Y) pode assumir. Assim, a distância entre as
circunferências x2 + y2 – 4y + 3 = 0 e x2 + y2 – 4x + 3 = 0 é:
a) 3( 3  1)u.c.
b) 2( 3  1)u.c.
c) 2( 2  1)u.c.
d) 3( 2  1)u.c.
Solução. Encontrando centro e raio das circunferências, temos:
i) x 2  y 2  4 y  3  0  x 2  y 2  4 y  4  4  3  0  x 2   y  2  1
2
raio  1

centro  0, 2
.
ii ) x 2  y 2  4 x  3  0  x 2  4 x  4  4  y 2  3  0  ( x  2) 2  y 2  1
raio  1

centro  2, 0
A distância entre os centros é: d (centro 1, centro 2) 
(0  2) 2  (2  0) 2  4  4  8  2 2 .
A menor distância será a diferença entre os centros e a soma dos raios:


d (C1 , C 2 )  2 2  (1  1)  2 2  2  2. 2  1 .
3. Sabe-se que M, ponto médio do segmento AB, é centro de uma circunferência que passa pela origem
(0,0). Sendo A(–1,4) e B(5,2), conclui-se que o raio dessa circunferência é igual a:
a) 4 5
b) 3 5
c) 3 2
d) 17
e) 13
Solução. Se a circunferência passa pela origem o raio será a distância do centro ao ponto (0,0).
 1 5 4  2 
Centro : M ( A, B)  
,
  2, 3
2 
 2
.
Raio  (2  0) 2  (3  0) 2  4  9  13
4. Considere o triângulo de vértices A(1,4), B(0,2) e C(6,2) e a circunferência de centro em C e cujo raio é a
metade do lado BC. A equação da reta que passa por A e pelo ponto da circunferência que tem a maior
ordenada é:
a) y = x + 4.
b) y = 0,2x + 3,8.
c) y = 2x + 4.
d) y = x + 3,8.
e) y = 0,2x + 4.
Solução. Calculando o raio e os elementos da circunferência, temos:
BC  (6  0) 2  (2  2) 2  36  6

i) 
AB 6
  3  R2  9
Raio 
2
2

.
ii ) Centro : (6,2)  ( x  6) 2  ( y  2) 2  9
iii ) Ponto ( Maior ordenada ) : 6, 2  3  P6, 5
Encontrando a equação da reta, vem:
54 1
1

m  6  1  5  y  5 x  n
r  AP  : 

(1, 4)  r : 4  1 .(1)  n  n  19 .

5
5
1
19
r: y  x
ou r : y  0,2 x  3,8
5
5
5. O comprimento da corda determinada pela reta x – y = 2 sobre a circunferência cujo centro é (2,3) e o raio
mede 3 cm é igual a:
a) 4 2 cm
b) 5 3 cm
c) 4 cm
d) 3 2 cm
Solução. Encontrando os pontos de interseção, temos:
Circunferência : ( x  2) 2  ( y  3) 2  9
i) 
reta : x  y  2  x  y  2
ii ) ( y  2  2) 2  ( y  3) 2  9  y 2  y 2  6 y  9  9 
y  0
 2 y 2  6 y  0  2 y ( y  3)  0   1
 y2  3
 P  (0  2, 0)  (2, 0)
iii ) Corda : 
Q  (3  2, 3)  (5, 3)
.
Comprimento : (5  2) 2  (3  0) 2  9  9  18  3 2
6. São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação
expressa por (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a
distância de P a Q é:
a) 15
b) 17
c) 18
d) 19
e)
20
Solução. A circunferência possui centro O(1, 2) e raio 1. O ponto Q,
pertence à circunferência, pois a reta que o determina é tangente. Então
PQ e QO são perpendiculares. Isto é, OPQ é um triângulo retângulo, reto
em Q, com hipotenusa OP e catetos PQ e OQ.
i ) OP  (3  1) 2  (6  2) 2  4  16  20
ii ) OQ  raio  1
   OQ   PQ
iii ) OP
2
2
2
 
2
.
 20  1  PQ 
 PQ  19
OBS: Repare que partindo de P(3, 6) há duas tangentes à circunferência.
Mas os comprimentos PQ e PQ’ são congruentes.
7. No plano cartesiano, há duas retas paralelas à reta de equação 3x + 4 y + 60 = 0 e que tangenciam a
circunferência x2 + y2 = 4. Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenada:
a) 2,9
b) 2,8
c) 2,7
d) 2,6
e) 2,5
Solução. Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. Logo, uma reta paralela à reta de
equação 3x + 4y + 60 = 0 pode ser expressa por 3x + 4y + c = 0. A circunferência C possui centro (0,0)
e raio 2. A distância do centro à reta tangente será igual ao raio. Utilizando a fórmula da distância de
ponto á reta, temos:
i ) C : x 2  y 2  4  Centro  (0,0); raio  2
c
 5  2  c  10


.
25 5  ou
c
  2  c  10
5
3 x  4 y  10  0
3.(0)  4 y  10  0  4 y  10  y  2,5


iii ) r : ou
 r  Eixo Y : ou
3 x  4 y  10  0
3.(0)  4 y  10  04 y  10  y  2,5



3.(0)  4.(0)  c

reta : 3x  4 y  c  0
d ( P , r ) 
ii ) 

32  4 2
 P(0,0)
d ( P , r )  2

c
c
8. No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o
ponto (1,2). Nessas condições, o raio de C vale:
a) 5
b) 2 5
c) 5
d) 3 5
e) 10
Solução. O centro da circunferência pode ser expresso por O(5, a) devido à
tangência informada. Os pontos (5, 0) e (1, 2) pertencem à circunferência.
Temos:
C : ( x  5) 2  ( y  a) 2  R 2
2
2
2
2
2


(5  5)  (0  a)  R  a  R

.
(5, 0)  C
2
2
2
2
2

(1, 2)  C
(1  5)  (2  a)  R  20  4a  a  R

 20  4a  0  a  5
O centro, portanto, é O(5,5). Como ela tangencia o eixo X, o raio será 5.
9. A equação da circunferência tangente à reta x + y – 8 = 0 e com centro no ponto (2,1) é:
a) x2 + y2 – 4x – 2y + 7,5 = 0.
b) x2 + y2 – 2x – 4y – 7,5 = 0.
c) x2 + y2 + 4x – 2y – 7,5 = 0.
d) x2 + y2 – 4x – 2y – 7,5 = 0.
Solução. O raio da circunferencia será a distancia entre o centro da circunferencia e a reta tangente.
(2)  (1)  8
5
reta : x  y  8  0
5
5. 2
i) 
 Raio  d ( P, r ) 



2
2
2
2
2
 P(2,1)
1 1
2
Centro  (2, 1)
 5. 2 
25

2
2


ii ) Circunferência : 
 x 2  4x  4  y 2  2 y  1 
.
5. 2  x  2   y  1  

2
2
raio




2

 x 2  y 2  4 x  2 y  5  12,5  0  x 2  y 2  4 x  2 y  7,5  0
10. Seja r a reta que passa pelo ponto (–4, 4) e intercepta o eixo das abscissas em x = 4, e seja  a
circunferência de centro C(–3, 1) e raio 5 u.c. Nessas condições, é correto afirmar:
a)  intercepta o eixo das ordenadas.
b) r passa pelo centro de .
c)  e tangente ao eixo das abscissas.
d) r é secante a .
e) r é tangente a .
Solução. A equação da circunferência é (x + 3)2 + (y – 1)2 = 5. A reta passa por (– 4, 4) e (4, 0).
40
4
1
1

m
   y xn

1

44
8
2
2
 r : y  x  2 . Analisando as opções, temos:

1
2
(4, 0)  r  0   .(4)  n  n  2

2

a) Falsa. O raio é menor do que 3, que é a distância horizontal do centro ao eixo Y.
b) Falsa. O centro não pertence à reta: x  3  y  
1
3
7
(.  3)  2   2   1 .
2
2
2
c) Falsa. Se a circunferência fosse tangente, o módulo da ordenada do centro seria igual ao raio.
reta : x  2 y  4  0
d) Falsa. A reta é tangente:
d ( P, r ) 
(3)  2(1)  4
12  2 2

5
5

5
5
.
5. 5
 5
5

11. (PUC) A reta de equação y = 2x - 4 intersecta os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são
os extremos de um diâmetro da circunferência  . A equação correspondente a  é:
a) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0
b) x2 + y2 - 2x + 4y = 0
d) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
e) x2 + y2 + 6x + 3y - 4 = 0
c) 2x2 + 4y2 + 2x + 4y + 5 = 0
Solução. Encontrando as interseções, temos:
 x  0  y  4  A  (0,  4)
i ) reta : y  2 x  4  
 y  0  x  2  B  (2, 0)
0 2 40
ii ) Centro : M ( A, B)  
,
  1,  2
2 
 2
iii ) Raio :
(0  2) 2  (4  0) 2
d ( A, B)


2
2
iv ) Circunferência : ( x  1) 2  ( y  2) 2 
 5
.
4  16
20 2 5


 5
2
2
2
2
 x 2  2x  1  y 2  4 y  4  5  x 2  y 2  2x  4 y  0
12. (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x 2 + y2 = 10y. Se A é o ponto (3,1),
então B é o ponto:
a) (-3, 9)
b) (3, 9)
c) (0, 10)
d) (-3, 1)
e) (1, 3)
Solução. O centro da circunferência é o ponto médio do diâmetro. Considerando B = (x, y), vem:
i) Circunferência : x 2  y 2  10 y  0  x 2  y 2  10 y  25  25  0  x 2  ( y  5) 2  25
3  x
.
 2  0  x  3
Centro  0, 5
 3  x 1 y 
ii ) 

,
 B  (3, 9)
  0, 5  
2 
Centro  M ( A, B)  2
1  y  5  y  10  1  9
 2
13. (UEL) Seja P um ponto do eixo das ordenadas pertencente à reta de equação 2x – 3y – 6 = 0. A equação
da circunferência de centro em P e tangente ao eixo das abcissas é:
a) x2 + y2 = 4
b) x2 + y2 + 4x = 0
c) x2 + y2 +4y = 0
d) x2 + y2 – 4x = 0
e) x2 + y2 – 4y = 0
Solução. Se o ponto P pertence ao eixo das ordenadas, então possui abscissa nula. Com x = 0, temos
que – 3y = 6 => y = – 2. Logo, P = (0, – 2). Como a circunferência de centro no ponto P é tangente ao
eixo das abscissas, o raio vale o módulo da ordenada do centro. Logo r = 2.
A equação será: x2 + (y + 2) 2 = 4 => x2 + y2 + 4y + 4 = 4 => x2 + y2 + 4y = 0.
14. (CESGRANRIO) As circunferências x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e x2 + y2 – 16x – 12y=0 são:
a) exteriores.
b) secantes.
c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas.
Solução. Encontrando as coordenadas dos centros e a distância entre eles, temos:
 x 2  y 2  8 x  6 y  0  x 2  8 x  16  y 2  6 y  9  9  16  0  ( x  4) 2  ( y  3) 2  25
i)  2
 x  y 2  16 x  12 y  0  x 2  16 x  64  y 2  12 y  36  64  36  0  ( x  8) 2  ( y  6) 2  100 .
ii ) d  4,3; (8, 6) 
 4  82  (3  6) 2
 144  81  225  15
Os raios são 5 e 10. Como a soma dos raios é 15, as circunferências são tangentes exteriores.
15. (UFRS) O comprimento da corda que a reta r definida pela equação 2x - y = 0 determina no círculo
centro no ponto C(2,0) e raio r = 2 é:
a) 0
b) 2
c) 5
d)
10 / 5
e)
 de
4 5 /5
Solução. Encontrando os pontos de interseção, temos:
Circunferência : ( x  2) 2  y 2  4
i) 
 ( x  2) 2  ( 2 x ) 2  4  x 2  4 x  4  4 x 2  4  5 x 2  4 x  0 
reta
:
2
x

y

0

y

2
x

 x1  0

.
 x.5 x  4   0  
4
x

2

5

 P  (0, 2.(0))  (0, 0)
2
2
16 64
80 4 5

4

8

iii ) Corda : 



 4  4    4 8   Comprimento :   0     0  
25 25
25
5
5

5

Q   5 , 2. 5     5 , 5 
  



16. (PUC) A área da região assinalada na figura é 4  . A equação da circunferência de centro em P é, então:
a) x2 + y2 - 8x - 6y - 7 = 0
b) x2 + y2 - 8x - 6y + 17 = 0
c) x2 + y2 - 8x - 6y + 21 = 0
d) x2 + y2 - 8x - 6y + 13 - 8
2=0
e) x2 + y2 - 6x - 8y + 13 - 8
2=0
Solução. Como a área da figura hachurada vale 4π,
temos:
 .r 2  4  r 2  4  r  2 .
Observando a figura, temos que o raio da circunferência
de centro em P vale R = (2 + d), onde d = diagonal do
quadrado de lado 2.
i) d  2 2  R  2  2 2

Temos: ii ) C : ( x  4)  ( y  3)  2  2 2
2
2

2
 x 2  8 x  16  y 2  6 y  9  4  8 2  8  .
 x 2  y 2  8 x  6 y  25  12  8 2  0  x 2  y 2  8 x  6 y  13  8 2  0