Helder Vilarinho Teste 1-A - Departamento de Matemática

Cálculo I
06 de Novembro de 2013
Docente: Helder Vilarinho
Universidade da Beira Interior
Departamento de Matemática
Bioquímica, Optometria e Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
1h30
Teste 1-A
ln 3 − x2
.
1. Considere a função f (x) =
x
(a) Indique em extensão o domínio D da função f .
(b) Diga, justificando, se o conjunto D é aberto e indique o conjunto derivado D′ .
Se não resolveu a questão anterior considere D =] − 3, 3[∪]3, 9[∪{10}.
2. Considere a função
 4
 x ln(x), x > 0
f (x) =
0,
x=0 .
 2
x sin( x1 ), x < 0
(a) Mostre que f (x) é contínua em R.
(b) Determine a primeira derivada de f (x), explicitando os valores onde é diferenciável.
3. Sejam f (x) = 1 + x4 + e−x e g(x) uma função diferenciável em R tal que g′ (2) = −3 e g(2) = 5.
(a) Mostre que (g ◦ f )′ (0) = 3.
(b) Determine uma equação da recta tangente ao gráfico de g ◦ f no ponto de abcissa x = 0.
2
4. Determine lim (sin(x))x .
x→0+
5. Diga, justificando, quantos zeros tem a função f (x) = arctg(x) + πx no intervalo [-1,1].
6. Considere um modelo em que uma partícula sobe verticalmente durante 10 segundos. Em cada
instante x ∈ [0, 10],
em segundos, a sua altura s(x) em metros em relação ao solo é dada por
x
s(x) = x2 arcsin 10
.
(a) Determine a rapidez da partícula cinco segundos depois da subida se iniciar.
(b) Determine a rapidez média durante os dez segundos da subida e diga, justificando, se há algum
instante em que o valor da rapidez (instantânea) é igual ao valor da rapidez média nesse intervalo
de tempo.
Questão
Cotação
1
3
2
5
3
3
4
3
5
3
6
3
Regras de derivação:
(u ± v)′ = u′ ± v ′
′
′ v + uv ′
(uv)
= uu′ v−uv
′
u ′
= v2
v
(un )′ = nun−1 · u′
(eu ) ′ = u′ eu
′
(ln u) ′ = uu
(sin u) ′ = u′ cos u
(cos u) ′ = −u′ sin u
′
(tg u) ′ = cosu2 (u)
′
(cotg u) ′ = − sinu2 u
′
√u
1−u2
u′
′
(arccos u) = − √1−u
2
u′
′
(arctg u) = 1+u2
u′
(arccotg u) ′ = − 1+u
2
(arcsin u) ′ =
Derivada da função composta: Sejam f e g funções diferenciáveis em a. Então (g◦f )′ (a) = g′ (f (a))f ′ (a).
Teoremas de Rolle e de Lagrange. Seja f contínua em [a, b] (com a < b) e diferenciável em ]a, b[. Então,
i) Se f (a) = f (b), então existe pelo menos um c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = 0. [T. de Rolle]
(a)
ii) Existe pelo menos um ponto c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = f (b)−f
. [T. de Lagrange]
b−a
Cálculo I
06 de Novembro de 2013
Docente: Helder Vilarinho
Universidade da Beira Interior
Departamento de Matemática
Bioquímica, Optometria e Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
1h30
Teste 1-B
1. Considere a função f (x) =
√
3 − x2
.
x
(a) Indique em extensão o domínio D da função f .
(b) Diga, justificando, se o conjunto D é aberto e indique o conjunto derivado D′ .
Se não resolveu a questão anterior considere D =] − 3, 3[∪]3, 9[∪{10}.
2. Considere a função
 3
 x sin( x1 ), x < 0
f (x) =
0,
x=0 .
 2
x ln x,
x>0
(a) Mostre que f (x) é contínua em R.
(b) Determine a primeira derivada de f (x), explicitando os valores onde é diferenciável.
3. Sejam f (x) = 1 + x4 + e−2x e g(x) uma função diferenciável em R tal que g′ (2) = −3 e g(2) = −5.
(a) Mostre que (g ◦ f )′ (0) = 6.
(b) Determine uma equação da recta tangente ao gráfico de g ◦ f no ponto de abcissa x = 0.
2
4. Determine lim (sin(x))x .
x→0+
5. Diga, justificando, quantos zeros tem a função f (x) = arctg(x) + πx no intervalo [-1,1].
6. Considere um modelo em que uma partícula sobe verticalmente durante 10 segundos. Em cada
instante x ∈ [0, 10],
em segundos, a sua altura s(x) em metros em relação ao solo é dada por
x
.
s(x) = x2 arcsin 10
(a) Determine a rapidez da partícula cinco segundos depois da subida se iniciar.
(b) Determine a rapidez média durante os dez segundos da subida e diga, justificando, se há algum
instante em que o valor da rapidez (instantânea) é igual ao valor da rapidez média nesse intervalo
de tempo.
Questão
Cotação
1
3
2
5
3
3
4
3
5
3
6
3
Regras de derivação:
(u ± v)′ = u′ ± v ′
′
′ v + uv ′
(uv)
= uu′ v−uv
′
u ′
= v2
v
(un )′ = nun−1 · u′
(eu ) ′ = u′ eu
′
(ln u) ′ = uu
(sin u) ′ = u′ cos u
(cos u) ′ = −u′ sin u
′
(tg u) ′ = cosu2 (u)
′
(cotg u) ′ = − sinu2 u
′
√u
1−u2
u′
′
(arccos u) = − √1−u
2
u′
′
(arctg u) = 1+u2
u′
(arccotg u) ′ = − 1+u
2
(arcsin u) ′ =
Derivada da função composta: Sejam f e g funções diferenciáveis em a. Então (g◦f )′ (a) = g′ (f (a))f ′ (a).
Teoremas de Rolle e de Lagrange. Seja f contínua em [a, b] (com a < b) e diferenciável em ]a, b[. Então,
i) Se f (a) = f (b), então existe pelo menos um c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = 0. [T. de Rolle]
(a)
ii) Existe pelo menos um ponto c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = f (b)−f
. [T. de Lagrange]
b−a
Cálculo I
06 de Novembro de 2013
Docente: Helder Vilarinho
Universidade da Beira Interior
Departamento de Matemática
Bioquímica, Optometria e Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
1h30
Teste 1-C
1. Considere a função f (x) =
p
|x − 1| − 3
.
x−5
(a) Indique em extensão o domínio D da função f .
(b) Diga, justificando, se o conjunto D é aberto e indique o conjunto derivado D′ .
Se não resolveu a questão anterior considere D =] − 3, 3[∪]3, 9[∪{10}.
2. Considere a função
 2
x>0
 x ln x,
0,
x=0 .
f (x) =
 3
x sin( x1 ), x < 0
(a) Mostre que f (x) é contínua em R.
(b) Determine a primeira derivada de f (x), explicitando os valores onde é diferenciável.
3. Sejam f (x) = 1 + x2 + e−x e g(x) uma função diferenciável em R tal que g′ (2) = 3 e g(2) = 7.
(a) Mostre que (g ◦ f )′ (0) = −3.
(b) Determine uma equação da recta tangente ao gráfico de g ◦ f no ponto de abcissa x = 0.
4. Determine lim (sin(x))x .
x→0+
5. Diga, justificando, quantos zeros tem a função f (x) = ln(2 − x) − x no intervalo [0,1].
6. Considere um modelo em que uma partícula sobe verticalmente durante 10 segundos. Em cada
instante x ∈ [0, 10],
em segundos, a sua altura s(x) em metros em relação ao solo é dada por
x
s(x) = x2 arcsin 10
.
(a) Determine a rapidez da partícula cinco segundos depois da subida se iniciar.
(b) Determine a rapidez média durante os dez segundos da subida e diga, justificando, se há algum
instante em que o valor da rapidez (instantânea) é igual ao valor da rapidez média nesse intervalo
de tempo.
Questão
Cotação
1
3
2
5
3
3
4
3
5
3
6
3
Regras de derivação:
(u ± v)′ = u′ ± v ′
′
′ v + uv ′
(uv)
= uu′ v−uv
′
u ′
= v2
v
(un )′ = nun−1 · u′
(eu ) ′ = u′ eu
′
(ln u) ′ = uu
(sin u) ′ = u′ cos u
(cos u) ′ = −u′ sin u
′
(tg u) ′ = cosu2 (u)
′
(cotg u) ′ = − sinu2 u
′
√u
1−u2
u′
′
(arccos u) = − √1−u
2
u′
′
(arctg u) = 1+u2
u′
(arccotg u) ′ = − 1+u
2
(arcsin u) ′ =
Derivada da função composta: Sejam f e g funções diferenciáveis em a. Então (g◦f )′ (a) = g′ (f (a))f ′ (a).
Teoremas de Rolle e de Lagrange. Seja f contínua em [a, b] (com a < b) e diferenciável em ]a, b[. Então,
i) Se f (a) = f (b), então existe pelo menos um c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = 0. [T. de Rolle]
(a)
ii) Existe pelo menos um ponto c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = f (b)−f
. [T. de Lagrange]
b−a
Cálculo I
06 de Novembro de 2013
Docente: Helder Vilarinho
Universidade da Beira Interior
Departamento de Matemática
Bioquímica, Optometria e Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
1h30
Teste 1-D
1. Considere a função f (x) =
ln (|x − 1| − 3)
.
x−5
(a) Indique em extensão o domínio D da função f .
(b) Diga, justificando, se o conjunto D é aberto e indique o conjunto derivado D′ .
Se não resolveu a questão anterior considere D = [−5, 5[∪]5, 9] ∪ {10}.
2. Considere a função
 2
x>0
 x ln x2 ,
f (x) =
0,
x=0 .
 2
x sin( x1 ), x < 0
(a) Mostre que f (x) é contínua em R.
(b) Determine a primeira derivada de f (x), explicitando os valores onde é diferenciável.
3. Sejam f (x) = 1 + x4 + e−2x e g(x) uma função diferenciável em R tal que g′ (2) = 4 e g(2) = −2.
(a) Mostre que (g ◦ f )′ (0) = −8.
(b) Determine uma equação da recta tangente ao gráfico de g ◦ f no ponto de abcissa x = 0.
2
4. Determine lim (sin(x))x .
x→0+
5. Diga, justificando, quantos zeros tem a função f (x) = xex+1 − e2 + 1 no intervalo [-1,1].
6. Considere um modelo em que uma partícula sobe verticalmente durante 10 segundos. Em cada
instante x ∈ [0, 10],
em segundos, a sua altura s(x) em metros em relação ao solo é dada por
x
s(x) = x2 arcsin 10
.
(a) Determine a rapidez da partícula cinco segundos depois da subida se iniciar.
(b) Determine a rapidez média durante os dez segundos da subida e diga, justificando, se há algum
instante em que o valor da rapidez (instantânea) é igual ao valor da rapidez média nesse intervalo
de tempo.
Questão
Cotação
1
3
2
5
3
3
4
3
5
3
6
3
Regras de derivação:
(u ± v)′ = u′ ± v ′
′
′ v + uv ′
(uv)
= uu′ v−uv
′
u ′
= v2
v
(un )′ = nun−1 · u′
(eu ) ′ = u′ eu
′
(ln u) ′ = uu
(sin u) ′ = u′ cos u
(cos u) ′ = −u′ sin u
′
(tg u) ′ = cosu2 (u)
′
(cotg u) ′ = − sinu2 u
′
√u
1−u2
u′
′
(arccos u) = − √1−u
2
u′
′
(arctg u) = 1+u2
u′
(arccotg u) ′ = − 1+u
2
(arcsin u) ′ =
Derivada da função composta: Sejam f e g funções diferenciáveis em a. Então (g◦f )′ (a) = g′ (f (a))f ′ (a).
Teoremas de Rolle e de Lagrange. Seja f contínua em [a, b] (com a < b) e diferenciável em ]a, b[. Então,
i) Se f (a) = f (b), então existe pelo menos um c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = 0. [T. de Rolle]
(a)
ii) Existe pelo menos um ponto c ∈]a, b[ tal que f ′ (c) = f (b)−f
. [T. de Lagrange]
b−a