- ICEB-UFOP

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
CURSO DE ESTATÍSTICA
PATRÍCIA DE SOUSA
MODELOS DE TESTES DE VIDA ACELERADO:
DESCRIÇÃO E APLICAÇÃO
OURO PRETO
MARÇO DE 2013
i
PATRÍCIA DE SOUSA
MODELOS DE TESTES DE VIDA ACELERADO:
DESCRIÇÃO E APLICAÇÃO
Monografia apresentada ao Departamento de
Estatística da Universidade Federal de Ouro
Preto, como requisito parcial à obtenção do grau
de Bacharel em Estatística.
Orientador: Prof. Dr. Fernando Luiz Pereira de
Oliveira
OURO PRETO
MARÇO DE 2013
ii
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a Deus, pela proteção em todos os momentos da minha vida. Ao meu
noivo, Archange Michael, o grande amor da minha vida, por me encorajar a conquistar os
meus sonhos. E a minha família, que sempre me apoiou em todos os momentos difíceis.
iii
AGRADECIMENTO
A Deus, por iluminar os meus pensamentos, guiar os meus caminhos e ser a força que me faz
acreditar que tudo é possível;
Ao meu pai, pelo apoio, incentivo e oportunidade de alcançar esse objetivo;
A minha mãe, pela presença e conforto quando eu precisava encontrar um lugar de morar
para dar continuidade aos meus os estudos;
A minha irmã, pelo incentivo, força, ajuda financeira e os puxões de orelha que me ajudaram
a crescer;
Ao meu noivo, por acreditar, incentivar, compreender e dizer a todo o momento que sou
capaz. Por transformar momentos de angústia em alivio, de tristeza em alegria;
Ao professor Fernando, pelas horas de dedicação, comprometimento e ensinamentos, por
acreditar e tornar possível esse trabalho;
A professora Cláudia, o professor Flávio e o professor Tiago Martins, pelo incentivo nos
momentos mais difíceis do curso;
Ao professor Ricardo, que me ensinou a rejeitar a “hipótese do mau”;
A professora Thais, o professor Anderson, o professor Spencer, o professor Thiago Rezende
pelas caronas aos finais de semana;
A todos os professores do Departamento de Estatística da UFOP, pelo conhecimento,
paciência, dedicação e principalmente a amizade;
Ao Ronaldo, pela presença nos trabalhos em grupo, pela tapioca que não trouxe, pelo
exemplo de que com dedicação e disciplina é possível vencer; e pelas caronas no início do
curso.
A Bárbara, pela amizade, carinho e força. Por me ouvir e aconselhar nos momentos de
precisão;
A Tassia, pela amizade e por ser um exemplo de dedicação e perseverança;
A Luiza e a Priscila, pela amizade, carinho e força quando tive que deixar minha cidade para
estudar;
Ao João Bosco, pela força e pela compreensão de que às vezes era necessário deixar as
funções do estágio para estudar;
Ao Frank e a Cezane, pela amizade e pelos programas estatísticos instalados em meu
computador;
iv
A Jaqueline, pelos conselhos, presença e amizade;
A Marta e a Marineuza, por me incentivar e dizer o quanto estudar é importante;
Ao Ivan e a Fernanda, pelo carinho e presença;
Ao Gilberto, Paulo, Hemerson e Ari, pela força e amizade;
Enfim, a todos que fazem parte da minha vida e torcem pelo meu sucesso, o meu
“MUITO OBRIGADA”!
v
“O sucesso nasce do querer, da determinação e
persistência em se chegar a um objetivo. Mesmo não
atingindo o alvo, quem busca e vence obstáculos, no
mínimo fará coisas admiráveis."
José de Alencar
vi
RESUMO
As indústrias de fabricação, durante os últimos vintes anos, passaram por uma revolução na
utilização de métodos estatísticos para a confiabilidade e qualidade do produto. Para obter
informação sobre essa confiabilidade de forma mais rápida, são aplicados nos ensaios os
testes de vida acelerado. Nesses testes, o material em estudo é submetido a um nível de
estresse (ou aceleração) maior do que o usual, podendo ser temperatura, pressão, etc... Assim,
os resultados são rapidamente obtidos para prever a vida desses produtos em condições de
uso. O principal objetivo dessa pesquisa foi explorar a parte teórica, computacional e a
aplicação de uma técnica que não foi abordada no curso de graduação. Neste trabalho,
aplicamos esse teste em uma amostra de 80 isolantes utilizados em motores elétricos
submetidos em quatros níveis de temperatura elevadas. Ao analisar os dados, percebemos que
esse aumento na temperatura acarretava uma tendência decrescente no tempo vida. Assim,
após ajustar os modelos estatísticos apropriados, os resultados obtidos foram utilizados para
predizer o tempo médio de vida, o tempo mediano, os percentis e o prazo de garantia do
produto.
Palavra-chave: Análise de sobrevivência ou confiabilidade, teste de vida acelerado, variável
de estresse, relação de Arrhenius, modelo de regressão estresse-reposta, modelos de
probabilidade, extrapolação dos resultados.
vii
ABSTRACT
Over the past twenty years the manufacturing industries, experienced a revolution in the use
of statistical methods for reliability and product quality. For fast information on the reliability,
accelerated life tests are applied. In these tests, the material in question is subjected to a stress
level (or acceleration) higher than usual which can be the temperature, the pressure, and so
on... Thus, the results are used to predict the life of such products in normal use conditions.
The main objective of this study was to explore the theoretical, computational and application
of a technique that was not addressed in the undergraduate course. In this study, we applied
this test to a sample of 80 insulators used in electric motors subjected to four levels of
temperature. By analyzing the data, we find that this increase in the temperature entailed a
downward trend in life time. So, after setting the appropriate statistical models, the results
were used to predict the average life time, the median, the percentiles and the warranty period
for the product.
Keyword: Survival analysis and reliability, accelerated life test, variable stress, Arrhenius
relationship, regression model stress-response, probability models, extrapolation of the
results.
viii
RÉSUMÉ
Au cours des vingt dernières années, les industries de fabrication, ont connu une révolution
dans l'utilisation de méthodes statistiques pour la fiabilité et la qualité du produit. Pour plus
d'informations sur la fiabilité de maniere rapide, sont appliqués des testes : les testes de vie
accélérée. Dans ces testes, le matériel en question est soumis à un niveau de stresse (ou
accélération) élévé que d’habitude tout en sachant que ce stresse peut être la température, la
pression, etc... Ainsi, les résultats sont utilisés pour prevoir la durée de vie de ces produits
dans des conditions normales. L'objectif principal de cette recherche était d'étudier la partie
théorique, computationelle et l’ applicationt d'une technique qui n'a pas été abordée au cours
du cycle de graduation. Dans cet article, nous appliquons ce teste sur un échantillon de 80
isolants utilisés dans les moteurs électriques soumis à quatre niveaux de température. En
analysant le comportement des données, nous constatons que cette augmentation de
température a entraîné une tendance descrecente à la durée de vie. Donc après avoir ajusté les
modèles statistiques appropriés, les résultats ont été utilisés pour prédire la durée de vie
moyenne, la médiane, les percentiles et la période de garantie du produit.
Mot-clé : Analyse de survie ou fiabilité, teste de vie accéleré, variable stresse, relação de
Arrhenius, modèle de régression stresse-réponse, modèles de probabilité, extrapolation des
resultats.
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Ilustração dos tipos de censura à direita .................................................................. 15
Figura 2 – Função de Confiabilidade para dois produtos. ........................................................ 16
Figura 3 – Função Taxa de Falha ............................................................................................. 17
Figura 4 – Funções Densidade de Probabilidade de Falha e Função Acumulada de Falha ..... 18
Figura 5– Modelos de Probabilidade Exponencial, Weibull e Log-normal ............................. 18
Figura 6 – Função de Distribuição dos tempos de falha para diferentes níveis de estresse ..... 20
Figura 7 – Formas de Aplicação de cargas de Estresse ............................................................ 22
Figura 8 – Tempo de Falha em função do estresse .................................................................. 23
Figura 9 – Relação do tempo de falha e a temperatura usando a Relação de Arrhenius .......... 24
Figura 10 – Gráfico linearizado da função de confiabilidade pelos modelos exponencial,
weibull, log-normal. ................................................................................................................. 42
Figura 11 – Gráfico da confiabilidade estimada por Kaplan-Meier versus a confiabilidade
estimada pelos modelos exponencial, weibull, log-normal. ..................................................... 42
Figura 12 – Função de Confiabilidade do estimador de Kaplan-Meier, do modelo
Exponencial, Weibull e Log-normal. ....................................................................................... 43
Figura 13 – Gráfico Tempo de Falha do Isolamento vs Temperatura (estresse)...................... 44
Figura 14 – Função da Confiabilidade Estimada (KM) para cada Nível de Temperatura ....... 47
Figura 15 – Gráficos dos Resíduos de Cox-Snell para o modelo Exponencial, Weibull e Lognormal ....................................................................................................................................... 50
Figura 16 – Gráficos dos Resíduos Padronizados para o modelo Exponencial, Weibull e Lognormal ....................................................................................................................................... 51
Figura 17 – Gráfico de Probabilidade para cada nível da variável aceleração com base no
modelo ajustado ........................................................................................................................ 51
x
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Exemplo: Estimador de Máxima Verossimilhança para a Distribuição
Exponencial .............................................................................................................................. 32
Quadro 2 – Descrição do exemplo 6.2 (Colosimo e Freitas, 1997, pág.182) ........................... 34
Quadro 3 – Ajuste do Modelo de Regressão Exponencial com Relação de Arrhenius............ 48
Quadro 4 – Ajuste do Modelo de Regressão Weibull com Relação de Arrhenius ................... 48
Quadro 5 – Ajuste do Modelo de Regressão Log-normal com Relação de Arrhenius ............ 49
Quadro 6 – Estatística de Anderson-Darling para adequação do ajuste ................................... 52
Quadro 7 – Percentis estimado pelo modelo Ahrrenius-Weibull quando o Isolante é submetido
a 80℃ ........................................................................................................................................ 52
Quadro 8 – Percentis estimado pelo modelo Ahrrenius-Weibull quando o Isolamento é
submetido a 100℃ .................................................................................................................... 54
Quadro 9 – Pencentis estimado pelo Modelo Arrhenius-Log-normal quando o Isolamento é
submetido a 80℃ ...................................................................................................................... 55
Quadro 10 – Percentis estimado pelo modelo Arrhenius-Log-normal quando o Isolamento é
submetido a 100℃ .................................................................................................................... 56
Quadro 11 – Comparação das estatísticas estimadas pelos dois modelos quando o produto é
submetido a 80℃ ...................................................................................................................... 58
Quadro 12 – Comparação das estatísticas estimadas pelos dois modelos quando o produto é
submetido a 100℃ .................................................................................................................... 58
Quadro 13 – Pseudocódigo para dados de vida acelerado........................................................ 59
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Exemplos de Materiais; Medidas de Desempenho e Variáveis de Estresse. ............ 21
Tabela 2: Exemplos de Produtos; Medidas de Desempenho e Variáveis de Estresse. ............. 21
Tabela 3 – Tempo de Falha (em horas) para o isolante de motores elétricos para cada
temperatura e a censura ............................................................................................................ 41
Tabela 4 – Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos à temperatura
de 110℃. ................................................................................................................................... 45
Tabela 5 – Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos a temperatura
de 130℃. ................................................................................................................................... 45
Tabela 6 – Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos à temperatura
de 150℃. ................................................................................................................................... 46
Tabela 7 – Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos a temperatura
de 170℃. ................................................................................................................................... 46
xii
SUMÁRIO
1.
INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 13
2.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................... 15
2.1.
2.1.1.
Função de Confiabilidade e Função Taxa de Falha............................................ 16
2.1.2.
Estimação da Função de Confiabilidade e Taxa de Risco .................................. 18
2.2.
3.
4.
Análise de Sobrevivência ou Confiabilidade ......................................................... 15
Testes Acelerados ..................................................................................................... 19
2.2.1.
Testes de Vida Acelerado ................................................................................... 20
2.2.2.
Modelos para os Testes de Vida Acelerado ....................................................... 23
2.2.3.
Modelos de Regressão Estresse-Resposta .......................................................... 28
2.2.4.
Método de Estimação dos Parâmetros ................................................................ 30
2.2.5.
Determinação do Modelo Probabilístico Adequado ........................................... 33
2.2.6.
Aplicação dos Testes de Vida Acelerado ........................................................... 34
MATERIAIS E MÉTODOS........................................................................................... 40
3.1.
Materiais ................................................................................................................... 40
3.2.
Métodos ..................................................................................................................... 40
RESULTADOS ................................................................................................................ 41
4.1.
Análise dos Dados na Ausência da Variável Temperatura .................................. 41
4.2.
Análise dos Dados na Presença da Variável Temperatura .................................. 44
4.2.1.
Análise Descritiva dos Dados ............................................................................. 44
4.2.2.
Ajuste dos Modelos de Regressão Estresse-Resposta ........................................ 47
4.2.3.
Verificação da Adequação do Modelo usando os Resíduos ............................... 50
4.2.4.
Extrapolação dos Resultados para as Condições de Uso .................................... 52
4.2.5.
Pseudocódigos para Dados de Vida Acelerado .................................................. 59
5.
CONCLUSÕES ............................................................................................................... 60
6.
REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 61
ANEXO .................................................................................................................................... 64
Anexo A – Tabela da Função Gama.................................................................................. 64
13
1.
INTRODUÇÃO
Diante da forte concorrência no mercado, os fabricantes enfrentam forte pressão para
desenvolver novos artifícios que auxiliem numa produção em tempo recorde, sem deixar de se
preocupar com a qualidade e confiabilidade de seus produtos.
Na tecnologia de produção industrial, os motores elétricos exercem um papel
importante. Também, em nosso dia-a-dia sempre utilizamos equipamentos que possui um
motor elétrico, como, por exemplo, o liquidificador, o ventilador, a batedeira, a furadeira,
dentre outros. As indústrias utilizam amplamente o motor elétrico em sua fabricação. De fato,
temos o Parque Gerador do Brasil que é responsável pelo consumo de um terço da energia
ofertada pelo país (Garcia, 2003).
Em um motor elétrico o material isolante é o que determina o tempo de trabalho do
produto. Quanto mais potente seja esse material mais confiável é o motor e maior a sua
durabilidade. No entanto, vêm as dúvidas do fabricante: qual é o tempo de falha desse
material? Até que ponto esse material é considerado robusto? Qual tempo de garantia deve
ter esse material de forma a não dar prejuízo? Como o tempo que leva esse tipo de material a
falhar pode durar anos e isso propicia a perda de informação a respeito do produto e de
dinheiro, um experimento desse porte pode tonar-se inviável.
Entretanto, sabe-se que esse material é afetado principalmente pela temperatura, e
que em condições normais de uso, a elevação dessa temperatura em até 10℃ restringe a vida
útil desse isolante pela metade, provocando uma deterioração gradual. Então, esse material
passa por um processo de ressecamento e perde seu poder de vida produzindo um curto
circuito.
Pensando na confiabilidade do material, umas das preocupações desse presente
trabalho foi encontrar um modelo estatístico que, ao englobar a variável temperatura, consiga
determinar o tempo de falha desse material isolante em condições de uso, e assim, responder
as dúvidas do fabricante, além de minimizar o tempo e os gastos com esse experimento.
Portanto, nesse estudo foi utilizado o Teste de Vida Acelerado, uma vez que esse
teste possui modelos de regressão estresse-resposta que nos permitiu estudar os tempos de
falha de uma amostra de 80 isolantes submetidos em quatro níveis de altas temperaturas,
conhecido como variável de estresse. Essa variável acelerou o tempo de falha do produto e às
estimativas obtidas foram extrapoladas para as condições normais de uso.
14
Esses modelos de regressão, além de aceitar dados censurados (informações
incompletas), são mesclados em dois componentes: o componente determinístico que é
responsável por estudar a influência da variável de estresse no experimento e o componente
probabilístico que é responsável por explicar a variabilidade dos tempos de falha em um
mesmo nível de estresse.
As análises foram realizadas pelos programas estatísticos R (pacote Survival), o
Minitab (pacote Accelerated Life Testing) e o Excel.
Essa pesquisa teve como principal objetivo estudar uma técnica que não foi abordada
no curso de graduação. Ela está organizada em quatro capítulos e um texto de conclusão final,
em que são exploradas a parte teórica, computacional e aplicação. No capítulo 2,
apresentamos uma revisão de literatura sobre Análise de Sobrevivência ou Confiabilidade,
que é uma disciplina dentro da ciência estatística, abordando principalmente o tema de Testes
de Vida Acelerado, que é o enfoque da presente pesquisa. No capítulo 3, expusemos a
metodologia desta pesquisa, que foi realizada com um conjunto de dados extraídos do
software Minitab 16. Esses dados referem-se ao tempo de falha de um isolante utilizado em
motores elétricos. No capítulo 4, apresentamos as análises e os resultados da pesquisa através
de gráficos, tabelas e quadros. Finalmente, nas Conclusões Finais, retomamos, brevemente,
os principais resultados das análises e fazemos uma reflexão sobre o trabalho desenvolvido.
15
2.
2.1.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Análise de Sobrevivência ou Confiabilidade
A análise de sobrevivência é um conjunto de técnicas estatísticas que estuda o
tempo até a ocorrência de um evento de interesse, tendo como principal característica a
presença de censura (KLEINBAUM e KLEIN, 2005). Esse tempo é denominado tempo de
falha, que é composto pelo tempo inicial do estudo, a escala de medida, que é na maioria das
vezes o tempo real, e a falha (evento de interesse) (CÉSAR, 2005).
As censuras são observações incompletas da resposta, e são usadas em um estudo
de sobrevivência por fornecer informações sobre o tempo de vida dos indivíduos ou produtos.
Sua eliminação podem originar conclusões viesadas (COLOSIMO e GIOLO, 2006). Existem
três formas de censura: censura à direita, censura à esquerda e censura intervalar (BASTOS e
ROCHA, 2006).
Nesse estudo, usaremos a censura à direita, em que alguns eventos de interesse
ocorrem após o término do experimento. Na figura 1, temos três estruturas diferenciadas
sobre essa censura, a Censuras do tipo I, que ocorrem em estudos que, ao serem finalizados,
alguns indivíduos ou produtos não exibiram o evento de interesse, Censuras do tipo II, que
ocorrem em estudos que são finalizados após a ocorrência do evento de interesse em um
número determinado de indivíduos ou produtos, e Censuras Aleatórias, que ocorrem quando
um indivíduo ou produto é retirado do estudo sem ter sucedido o evento de interesse.
Figura 1 - Ilustração dos tipos de censura à direita
Legenda:
representa falha e
representa censura
Fonte: Colosimo e Giolo, 2006
16
As técnicas de sobrevivência estão relacionadas à pesquisa em epidemiologia
(BOTELHO, et.al. 2009) e em clínica médica (XAVIER, et.al. 2005), mas quando abordadas
em engenharia (DIAS, LEITE, 1998), indústria, economia e sociologia (MONTE e PENIDO, 2008.)
recebem o nome de Confiabilidade.
2.1.1. Função de Confiabilidade e Função Taxa de Falha
Em um sentido mais amplo, confiabilidade está associada à operação bem sucedida
de um produto na ausência de falhas, ou seja, é a probabilidade de um produto realizar seu
papel de maneira satisfatória por um período de tempo estabelecido (ABREU, 2011).
Matematicamente, definimos na equação (1), a confiabilidade, em que
confiabilidade em termos probabilísticos,
é a função de
é o tempo total de funcionamento do produto e é
o tempo inicial em que o produto passou a funcionar.
=
≥
(1)
A figura 2 exemplifica a forma de duas funções de confiabilidade. Através dessa
figura podemos extrair várias informações, como por exemplo, a durabilidade e o percentual
de produtos que estão em operação até um determinado tempo.
Suponha, que estas duas curvas representam as funções de confiabilidade de dois
produtos de marcas distintas que desenvolvem a mesma função. O produto do grupo 1 é
superior ao 2 com relação a durabilidade, pois o tempo mediano é de 20 anos para que 50%
do primeiro grupo falhem, enquanto que, o tempo de falha para o segundo grupo é de 10 anos.
Cerca de 90% dos produtos do grupo 1 ainda estarão em operação com 10 anos de uso, ao
passo que, para o grupo 2 apenas 50% (COLOSIMO e FREITAS, 1997).
Figura 2 – Função de Confiabilidade para dois produtos.
Fonte: Colosimo, Freitas (1997)
17
equação (2), que é a probabilidade do produto falhar em um intervalo de tempo [ , + ∆ .
Através da função de confiabilidade, podemos definir a função taxa de falha,
A função taxa de falha ℎ
ℎ
−
∆
=
+∆
(2)
é a inversa da função de confiabilidade. Ela é importante
para definir a distribuição do tempo de vida do produto, pois descreve a maneira em que a
tempo ∆ bem pequeno.
taxa instantânea de falha muda com o decorrer do tempo, ao considerarmos o intervalo de
A figura 3 mostra três funções de taxa de falha. A função crescente indica que a taxa
de falha do produto aumenta com o decorrer do tempo, caracterizando o envelhecimento dos
produtos. A função constante indica uma taxa de falha que não se altera com o passar do
tempo. E a função decrescente, a menos comum, mostra uma taxa de falha que diminui com o
passar do tempo (COLOSIMO e FREITA, 1997).
crescente
constante
decrescente
Figura 3 – Função Taxa de Falha
Fonte: Colosimo e Freitas (1997)
Segundo Vieira (2006), as outras funções básicas de confiabilidade são: Função
Densidade de Probabilidade de Falha
, e a Função Acumulada de Falha
representadas na figura 4.
<
= lim
∆ →
=
< +∆
∆
≤
(3)
(4)
,
18
Figura 4 – Funções Densidade de Probabilidade de Falha e Função Acumulada de Falha
Fonte: Dillenburg (2005)
2.1.2. Estimação da Função de Confiabilidade e Taxa de Risco
Para estimar a função de confiabilidade e taxa de risco podemos usar as técnicas: não
paramétricas, que na presença de censura utilizam o estimador de Kaplan-Meier e Tabela de
Vida para estimar a função de confiabilidade e Nelson-Aalen para estimar a taxa de risco
(COLOSIMO e FREITAS, 1997, pág.79; RAMIRES, 2010, pág.22); e as técnicas
paramétricas, que são os Modelos de Probabilidade. Embora, exista uma série de modelos
probabilísticos, os mais usados por sua comprovada adequação a várias situações práticas são
os modelos: exponencial, weibull e log-normal, ilustradas na figura 5.
Figura 5– Modelos de Probabilidade Exponencial, Weibull e Log-normal
Fonte: Colosimo, Giolo (2006)
19
Outro método de estimação da Função de Confiabilidade e Taxa de Falha são os
modelos de regressão paramétricos, conhecidos como modelos de Tempo de Vida Acelerados,
que serão detalhados a seguir.
2.2.
Testes Acelerados
Na área industrial, com o aumento da competitividade entre as empresas e indústrias
dos mais variados segmentos, e, no intuito de, adquirir um perfil de destaque no mercado, a
maior preocupação tem sido em desenvolver produtos em tempo reduzido, atendendo aos
requisitos de qualidade e confiabilidade (THEIJE et al., 1998). Em busca desse diferencial, se
faz necessário um estudo que leve em conta o tempo médio de vida útil desses produtos.
Para estimar esse tempo de vida, muitos experimentos precisam ser realizados. No
entanto, muitos produtos possuem alta confiabilidade, demandando longos períodos de
operação até que ocorra uma falha em testes usuais de confiabilidade. Sendo assim, existe a
necessidade de se estudar esse tipo de produtos em um tempo menor, já que a ciência e a
tecnologia estão evoluindo muito rapidamente. Então, para minimizar o tempo e os gastos
com estes experimentos podem-se realizar testes acelerados, de modo que as informações
desejadas sejam obtidas mais rapidamente.
Um teste acelerado consiste em uma variedade de métodos para reduzir a vida de
produtos e provocar a degradação de sua performance o mais rápido possível (NELSON,
1990). Segundo Pizzolato (2002), para que isto ocorra, através de alguma variável de
aceleração, deve-se elevar o nível de estresse do produto, fazendo com que esse trabalhe mais
do que em condições normais de uso. O tipo de variável de aceleração deve ser determinado
de acordo com o material em estudo.
Segundo Vassilioi e Metas (2002), as cargas de estresse utilizadas são associadas ao
tempo de vida através de modelos matemáticos de regressão estresse/resposta. A figura 6
mostra as características da função de distribuição dos tempos de falha para a condição
normal de uso e para o teste acelerado.
20
Figura 6 – Função de Distribuição dos tempos de falha para diferentes níveis de estresse
Fonte: Vassiliou & Mettas, 2002.
Segundo Colosimo e Freitas (1997), os testes acelerados podem ser divididos em
dois grupos: testes de degradação acelerada (ADT’s) em que a resposta de interesse é alguma
medida da performance do produto obtida ao longo do tempo (NELSON, 1990, Cap.11;
PIZZOLATO, 2002, Pág.36; POHL et al. 1998), e testes de vida acelerados (ALT’s) em que a
resposta de interesse é o tempo até a ocorrência da falha.
2.2.1. Testes de Vida Acelerado
Nesses testes os produtos são submetidos a uma taxa elevada de estresse e através de
um modelo de regressão estatístico-físico extrapolamos as estimativas obtidas para as
condições normais de uso.
2.2.1.1. Formas de Aceleração dos Testes de Vida Acelerado
Os testes são acelerados quando submetidos a níveis elevados de estresse. E a forma
de aceleração é determinada de acordo com dois tipos de variáveis de estresse:
• Aceleração por alta taxa de uso: uma forma de acelerar a vida dos produtos é
submetê-lo a uma taxa de uso mais elevada do que o normal. Segundo Nelson (1990), existe
duas maneiras: utilização do produto em alta velocidade ou de forma contínua.
• Aceleração por altos níveis de estresse: com o objetivo de diminuir o tempo de
vida ou aumentar a degradação do desempenho do produto, submete-o a altos níveis das
variáveis de estresse.
21
Segundo Colosimo e Freitas (1997), as variáveis de estresse mais comuns são: o uso, a
temperatura, tensão elétrico, vibração mecânica, compatibilidade eletromagnética, entre
outras. As tabelas (1) e (2) exemplificam essas variáveis de estresse para alguns tipos de
materiais e produtos.
Tabela 1: Exemplos de Materiais; Medidas de Desempenho e Variáveis de Estresse.
Tipo
Materiais
Medida de Desempenho
Variável de Estresse
1. metais
trinca; corrosão; oxidação
temperatura; umidade; sal
2. dielétricos e
isolamentos
tempo até a falha;
alongamento
temperatura; tensão elétrica;
vibração
3. alimentos e
drogas
tempo de estocagem; pH;
reações químicas específicas
temperatura; umidade;
radiação solar
4.plásticos
propriedades mecânicas;
firmeza de cor
temperatura; vibração;
choque
Fonte: Colosimo e Freitas (1997)
Tabela 2: Exemplos de Produtos; Medidas de Desempenho e Variáveis de Estresse.
Tipo
1. semicondutores
e componentes
microeletrônicos
Produtos
Medida de Desempenho
Variável de Estresse
tempo até a falha e
características de operação
temperatura; corrente;
tensão elétrica; umidade; pressão
2. capacitores
tempo até a falha
temperatura; tensão elétrica;
vibração
3. resistores
tempo até a falha
temperatura; tensão elétrica;
vibração
4. contatos elétricos
corrosão; tempo até a falha
temperatura; umidade;
corrente
5. lâmpadas
tempo até a falha; eficiência;
luminosidade
tensão elétrica; temperatura; choque (elétrico
ou mecânico)
Fonte: Colosimo e Freitas (1997)
2.2.1.2. Formas de Aplicação do Nível de Estresse
Para realizar um teste acelerado, é necessário primeiramente elaborar um projeto.
Segundo Tang et al. (2002), esse projeto deve ser construído e concretizado com a finalidade
de se obter as melhores estimativas dos tempos de falha dos produtos. Devemos definir o
tipo de censura, o tamanho da amostra e o nível de estresse que será aplicado, que
normalmente satisfaz aos limites de especificação do projeto elaborado, mas localiza-se fora
dos limites de especificação indicados pelo fabricante (RELIASOFT CORPORATION,
2001), e garante que o tempo de vida normal do produto seja reproduzido o mais fiel possível
22
a partir dos ensaios. De acordo com Colosimo e Freitas (1997) existem algumas formas de
aplicação do nível de estresse, representados na figura 7: constante, escada, progressiva,
cíclica e aleatória.
• Constante: o nível de estresse é fixo. A vantagem está na simplicidade da
realização do teste, possibilitando o ajuste de modelos simples para análise dos resultados.
• Escada: o nível de estresse é elevado de um valor ao outro até se obter uma falha
do produto. A principal vantagem é a rapidez na qual essa falha acontece e a desvantagem
está no fato de que a falha dos produtos em condições normais de uso seja diferente por serem
submetidos a níveis de estresse constantes.
• Progressivo: o nível de estresse cresce de forma progressiva e possui a mesma
vantagem e desvantagem da forma “escada”.
• Cíclica: o nível de estresse oscila em níveis altos e baixos
• Aleatória: o nível de estresse altera de forma aleatória.
(b) Escada
(a) Constante
(c) Progressivo
(d) Cíclico
(e) Aleatório
Figura 7 – Formas de Aplicação de cargas de Estresse
Fonte: Vieira, 2006.
“Quando o modo de falha e o efeito de aceleração da variável de estresse são
bem entendidos, e quando se deseja fazer estimativas para um ambiente cujo
estresse é aproximadamente constante, utilizar testes com outra forma de
aplicação
de
estresse
que
não
a
constante
significa
complicar
desnecessariamente a situação” (COLOSIMO e FREITAS, p.159, 1997).
23
2.2.2. Modelos para os Testes de Vida Acelerado
O modelo de um teste acelerado é composto de um componente determinístico e de
um componente probabilístico. A parte determinística é composta por duas relações: Relação
de Arrhenius e Relação de Potência Inversa (PAPA, 2007). A parte probabilística é
determinada pelas distribuições de probabilidade: Exponencial, Weibull, Log-normal.
(COLOSIMO e FREITAS, 1997).
Segundo Colosimo e Freitas (1997) o modelo mais simples utilizado para os testes
acelerados tem a forma de um modelo de regressão que é linear no logaritmo dos tempos de
falha
=
= ′!,
, matematicamente, expresso na equação (5). Sua principal característica é que os
tempos de falha,
, tem distribuição normal com parâmetro de locação,
parâmetro de escala, " > 0, que é determinado pela parte probabilística, e o erro aleatório %,
dependente da variável de estresse x que é determinado pela relação estresse-resposta, o
independente de
e .
=
= ′! + "%
(5)
De acordo com Colosimo e Freitas (1997) esse modelo é capaz de explicar a
variabilidade dos tempos de falha para vários níveis de estresse e através dele conseguimos
estimar os parâmetros associados às relações estresse-resposta (!′&) e extrapolar os resultados
para as condições normais de uso. É recomendado que as curvas de sobrevivência para cada
nível de estresse sejam construídas em um mesmo gráfico para facilitar a comparação entre
elas. Essa situação é ilustrada através da figura 8. Note que, é possível comparar a
variabilidade no tempo de falha para cada nível de estresse, por exemplo, do percentil 10%.
Figura 8 – Tempo de Falha em função do estresse
Fonte: Colossimo e Freitas (1997)
24
2.2.2.1.
Componente Determinístico: Relação Estresse-Resposta
• Relação de Arrhenius
A relação Arrhenius é usada quando a temperatura é a variável de estresse do teste
acelerado (VASSILIOU e METAS, 2002). Como a relação de Arrhenius é caracterizada por
representa o logaritmo do tempo de falha, ' = ℃ + 273,16 é
uma curva (PAPA, 2007), para facilitar os cálculos, a forma linear dessa relação é definida
a variável de estresse (temperatura), - é uma constante que é característica do mecanismo de
pela equação (6), onde
falha do produto e das condições de teste, . é a energia de ativação medida em elétron-volts,
/ é a constante de Boltzmann: 8,6171 × 1023 /, e demonstrada pela figura 9.
ln
= ln - + 67
5
(6)
Segundo Colosimo e Hudson (2002), quando os valores da energia de ativação e da
constante A são conhecidos, o tempo médio de vida dependeria apenas do valor da
temperatura, figura 9. Como esses valores nem sempre são conhecidos, serão necessário
estimá-los.
Figura 9 – Relação do tempo de falha e a temperatura usando a Relação de Arrhenius
Fonte: Colosimo, Hudson (2002)
Através da equação (6) obtemos o Fator de Aceleração de Arrhenius (FA), equação
estresse, onde ' representa o nível de temperatura em condições normais de estresse e '8
(7), que relaciona o tempo de vida entre um nível elevado de estresse e o nível normal de
representa o nível de temperatura em condições elevado de estresse.
25
Seja a relação de Arrhenius (equação 6) na forma não linearizada,
Então o fator de aceleração de Arrhenius é dado por:
-=
=>
=?
=
D
<
EF>
D
@ABC;
<
EF?
@ABC;
= -9 : ; <.
= 9 : G ; − <H
5
8
6 7>
8
7?
5
67
(7)
• Relação de Potência Inversa
A relação Potência-Inversa é usada para qualquer tipo de variável estresse em um
teste acelerado. Segundo Colossimo e Freitas (1997) temos como algumas aplicações às
lâmpadas incandescentes, fadigas de metais, isolantes e dielétricos. Considerando que a
ln
é o logaritmo do tempo de falha, - e I são parâmetros característicos do produto e J a
variável estresse seja positiva, essa relação assume a forma linearizada na equação (8), onde
variável de estresse.
=
- + I[−
J ]
nível de estresse inicial J e o tempo de falha
(8)
no nível de estresse de interesse J8,
A partir da equação (8), obtemos o Fator de Aceleração entre o tempo de falha
representada na equação (9).
Seja a relação de Potência Inversa (equação 8) na forma não linearizada,
Então o fator de aceleração de Potência Inversa é dado por:
-== =
=>
?
N
O> M
N
O? M
= ;L? <
L
>
P
no
= LM.
@
(9)
• Relação Geral Estresse-Resposta Linearizada
ln
= ! + !8
(10)
Ao relacionar a equação (6) com a equação (10), temos a relação de Arrhenius, pois
! = ln - , !8 = 6 e = ' 28 , onde ' = 273,16 + ℃
5
é a variável de estresse
26
Inversa, pois ! = ln - , !8 = I e = −
J , onde J é uma variável de estresse
temperatura. E ao relacionar a equação (8) com a equação (10) temos a relação de Potência
qualquer (PINTO, 2004).
2.2.2.2.
Componente Probabilística: Modelos de Probabilidade
Nos testes de vida acelerado, as distribuições mais utilizadas para estimação dos
parâmetros são: Exponencial, Weibull e Log-Normal (ver pág. 18).
A Distribuição Exponencial que é empregada em componentes eletrônicos (BRITO e
SOUZA, 2010), apresenta ao longo do tempo a taxa de falha constante. Na distribuição
Weibull, o parâmetro determina o tipo de taxa de falha que será apresentado: constante,
crescente ou decrescente. Na confiabilidade essa distribuição é empregada em ensaios de
resistência à fadiga e em equipamentos eletrônicos (NASCIMENTO et al. 2000), e é
considerada a distribuição mais importante. A distribuição Log-normal apresenta melhor os
tempos de vida de objetos semicondutores e é adequada para as estruturas de falha por fadiga
em materiais.
, Função de Confiabilidade
A seguir, temos a Função Densidade
Função Taxa de Falha (ℎ
, Tempo Médio de Vida (MTTF) e os Percentis 100p%
as três distribuições citada acima:
•
,
C
para
Distribuição Exponencial
= R 9 : G− ;R<H , ≥ 0
8
= 9 : G− ;R<H
.
ℎ
=T
JWX
=
1
S
=
(11)
(12)
(13)
,UV
= SY
=S
(14)
(15)
27
C
S=
onde
,UV = −Sln 1 − :
:9 Z9 [ 63% ≥ 0 é o parâmetro de escala
•
Distribuição Weibull
= ;R^<
]
JWX
.
S=
,UV
]28
9 :_− ⁄S ] a,
≥0
]
ℎ
(17)
= 9 : b− ;R< c
(18)
= ;R<;R<
(19)
]28
]
= SΓ ;1 + ] <
= T
8
(20)
8 Y
= S Y bΓ ;1 + ] < − Γ ;1 + ] < c
Y
C
onde
(16)
= −S[ln 1 − : ]8⁄e
(21)
(22)
:9XZ9 [ 63% ≥ 0 é o parâmetro de escala
f ≥ 0 é o parâmetro de forma
•
Distribuição Log-normal
=
8
√Yh
9 : G−
i
[jk
= Φ Go
2l]m
Yim
2 jk
i
H, ≥ 0
pl
qH
(23)
(24)
28
.
JWX
ℎ
=T
=
= 9 :; +
(25)
im
<
Y
(26)
= 9 :r2 + " Y s exprσY s − 1
C
= 9 :wzy σ + μ {
(27)
(28)
onde
" desvio padrão
é a média do logaritmo do tempo de falha
2.2.3. Modelos de Regressão Estresse-Resposta
Quando a parte determinística assume as relações de Arrhenius ou Potência Inversa e
a parte probabilística do modelo assume as distribuições Exponenciais, Weibull, Log-normal,
têm-se os seguintes Modelos de Regressão Estresse-Resposta: Arrhenius-Exponencial;
Potência Inversa-Exponencial; Arrhenius-Weibull; Potência Inversa-Weibull; Arrhenius-Lognormal e Potência Inversa-Log-normal.
2.2.3.1. Modelo Arrhenius-Exponencial e Potência Inversa-Exponencial
Esse modelo é a combinação da relação de Arrhenius ou Potência Inversa com a
distribuição de probabilidade Exponencial, e possui as seguintes hipóteses (COLOSIMO e
FREITAS, 1997):
•
Em cada nível de estresse, o tempo de falha segue a distribuição Exponencial.
•
É o modelo mais simples que envolve apenas uma covariável.
Por meio das hipóteses acima temos a função de confiabilidade para , condicional a
uma determinada temperatura
= 7 ou variável de estresse qualquer,
8
representada pela equação (29), em que S = exp ! + !8
.
= −
J ,
29
;
= 9 : G− ;
<H
ABCr}> p}? Bs
(29)
2.2.3.2. Modelo Arrhenius-Weibull e Potência Inversa-Weibull
Esse modelo é a combinação da relação de Arrhenius com a distribuição de
probabilidade de Weibull, e possui as seguintes hipóteses (COLOSIMO e FREITAS, 1997):
•
Em cada nível de estresse, o tempo de falha segue a distribuição de Weibull e o
logaritmo desse tempo tem distribuição do valor extremo, ou seja, Y=
com parâmetro de locação ln[S
•
] e escala " = ], em que S = exp ′! .
8
tem distribuição
O parâmetro de escala é igual para todos os níveis de estresse.
Por meio das hipóteses acima temos a função de confiabilidade para , condicional a
= 7 ou variável de estresse qualquer, x = −ln V , definido
8
uma determinada temperatura
pela equação (30),
?
•
;
2.2.3.3.
= 9 : •− ;ABCrB€}s< ‚
(30)
Modelo Arrhenius-Log-normal e Potência Inversa- Log- normal
Esse modelo é a combinação da relação de Arrhenius e Potência Inversa com a
distribuição de probabilidade de Log-normal, e possui as seguintes hipóteses (COLOSIMO E
FREITAS, 1997):
•
= ! + !8 e variância " Y e
Em cada nível de estresse, o tempo de falha segue a distribuição log-normal e o
logaritmo desse tempo tem distribuição normal com média
desvio padrão constante.
A função de sobrevivência para condicional a uma determinada temperatura
ou variável de estresse qualquer
demonstrada pela equação (31).
;
=7
8
= −ln J , formulada através das hipóteses acima é
= Φ G− o
jk
2l B
i
qH
(31)
30
“Quando
= , sendo τ a temperatura absoluta, temos o modelo de
8
7
= − J , sendo V uma variável de estresse qualquer, temos o
Arrhenius-Exponencial ou Arrhenius-Weibull ou Arrhenius-Log-Normal. E
quando
modelo de Potência Inversa-Expoencial ou Potência Inversa-Weibull ou
Potência Inversa-Log-Normal” (COLOSIMO e FREITAS, p.188, 1997).
2.2.4. Método de Estimação dos Parâmetros
No teste acelerado, a parte determinística do modelo de regressão estresse-resposta
analisa as alterações no comportamento da falha do produto em função dos diferentes níveis
de estresse e a parte probabilística modela a variabilidade no tempo de falha através das
distribuições de probabilidades.
Segundo Colosimo e Giolo (2006), as distribuições de probabilidade são compostas
por uma quantidade desconhecida, os parâmetros, que, baseado nos tempos de falha
acelerado, devem ser estimados pelo método de Máxima Verossimilhança, pois na presença
de censura o método de Mínimos Quadrados (GUJARATI, 2006), torna-se inadequado
(NELSON, 1990).
verossimilhança estimará o vetor de parâmetros „ = !′&; " .
No modelo de regressão estresse-resposta, equação (5), o método de máxima
2.2.4.1. Método de Máxima Verossimilhança
O método de máxima verossimilhança consiste em maximizar a função de
verossimilhança, equação (32). É constituída pela função densidade
e suas observações
são não censuradas. A grande importância desse método está nas propriedades dos
estimadores, que são consistentes, eficientes e apresentam normalidade assintótica
(GUIMARÃES, 2002, Pág. 32). Além disso, permite construir intervalos de confiança para os
valores de interesse.
… „ = ∏ˆ‡‰8
‡; „
(32)
31
de verossimilhança … „ é constituída pela função densidade que representa as observações
Em Confiabilidade, como a principal característica é a presença de censura, a função
equação (33), onde as observações são divididas em duas partes, uma parte com X
não censuradas, e pela função de confiabilidade que representa as observações censuradas,
observações não censuradas e outra com
GIOLO, pág. 85, 2006).
… „ = ∏Š‡‰8
− X observações censuradas. (COLOSIMO e
‡; „
∏ˆ‡‰Šp8
‡; „
modelo linear, equação (5), assume a forma da equação (34), onde ‹‡ = ln
(33)
, „ = ! € &, "
No caso particular dos testes de vida acelerado, a função de verossimilhança para o
e f‡ é o indicador de censura que admite valores 0 ou 1.
… „ = ∏ˆ‡‰8[
‹‡ |
‡
]]• [
‹‡ |
‡
]82]•
‡
(34)
Os estimadores de máxima verossimilhança são os valores do parâmetro „ = ! € &,
" que maximizam o logaritimo da função de verossimilhança (equação 34). Para encontráverossimilhança, tomar o logaritmo e derivar em relação ao parâmetro „.
los é necessário substituir as funções densidade e confiabilidade na função de
de máxima verossimilhança da distribuição exponencial, „ = S = !′&.
Para exemplificar, será apresentado no quadro 1, a maneira de encontrar o estimador
32
Quadro 1 – Exemplo: Estimador de Máxima Verossimilhança para a Distribuição Exponencial
Substituindo na função de verossimilhança (equação 34) as funções densidade de probabilidade
(equação 11) e confiabilidade (equação 12), temos:
]•
82]•
1
‡
‡
… S = Ž b 9 : •− • ‘’c b9 : •− • ‘’c
S
S
S
ˆ
‡‰8
]•
1 ]•
‡
‡
= Ž “• ‘ •9 : •− • ‘’‘ ” ••9 : •− • ‘’‘ –
S
S
S
ˆ
‡‰8
8 ]•
= ∏ˆ‡‰8 o q 9 : G− ; •<H
R
R
1
]•
9 : G− ; <H
•
R
—˜
Tomando-se o logaritmo de … S , temos:
1
1
™šw… S { = › f‡ ™š • ‘ − ›
S
S
ˆ
‡‰8
ˆ
‡‰8
‡
1
= › f‡ ™š1 − ™šS − ›
S
ˆ
‡‰8
ˆ
1
= −› f‡ ™š S − ›
S
ˆ
ˆ
‡‰8
‡
‡‰8
‡‰8
‡
Derivando ™šw… S { em relação ao parâmetro S
œ …™š S
œS
Igualando a zero (0)
= œ ;−∑ˆ‡‰8 f‡ ™š S − ∑ˆ‡‰8 ‡ <
œS
8
R
1
1
› f‡ + Y ›
S
S
ˆ
‡‰8
O estimador de máxima verossimilhança de S
Sž = ˆ
‡‰8
‡
1
1
= › f‡ + Y ›
S
S
ˆ
‡28
ˆ
‡‰8
‡
=0
∑ˆ‡‰8 ‡
∑ˆ‡‰8
=
∑ˆ‡‰8 f‡
X
‡
O termo ∑ˆ‡‰8 ‡ é denominado tempo total sob teste. Se todos os dados fossem não censurados, Sž
seria a media amostral, isto é, Sž = ̅.
Fonte: Colosimo e Giolo (2006)
Na estimação dos parâmetros através do método de máxima verossimilhança, faz-se
necessário escolher um modelo de probabilidade que melhor se adequa aos dados, pois um
modelo inadequado suscita conclusões distorcidas. Em geral, esses parâmetros serão
estimados através do uso de pacotes estatísticos (BEZERRA, 2004).
33
2.2.5. Determinação do Modelo Probabilístico Adequado
A escolha do modelo de probabilidade mais adequado para analisar um conjunto de
observações se dá de duas maneiras: numericamente ou graficamente.
•
Numericamente: essa técnica utiliza a estatística de máxima verossimilhança, a
qual é determinada em modelos em que um é o caso particular do outro. Como exemplo,
temos a gama generalizada que apresenta os modelos: Exponencial, Weibull, Log-normal e
Gama, como caso particular (Pascoa, 2012).
•
Graficamente: essa técnica propõe dois métodos: o primeiro método consiste na
comparação da função de confiabilidade ou sobrevivência do modelo proposto com o
estimador de Kaplan-Meier (ver pág. 18), o modelo mais adequado será aquele cujos pontos
da função de confiabilidade estimada estiverem mais próximos dos valores obtidos pelo
estimador. O segundo método consiste na linearização da função de confiabilidade ou
sobrevivência, o modelo mais adequado será aquele em que a construção do gráfico seja
aproximadamente linear (PAPA, 2007, pág.17).
2.2.5.1. Análise de Resíduos
Uma vez escolhido o modelo e feito o ajuste aos dados experimentais, é necessário
fazer uma análise dos resíduos para verificar a sua adequação.
As técnicas gráficas, que fazem uso dos diferentes resíduos, são bastante utilizadas
com a finalidade de buscar indícios de violação das suposições feitas a respeito do modelo.
Segundo Colosimo e Giolo (2006), os tipos de resíduos são:
•
Resíduos de Cox-Snell: são úteis para examinar o ajuste global do modelo. O
gráfico desses resíduos apresenta um comportamento linear quando o modelo tem indicação
de ser adequado.
•
Resíduos Padronizados: também são úteis para examinar o ajuste global do
modelo. Assim como os resíduos de Cox-Snell, os gráficos desse resíduo apresenta um
comportamento linear quando o modelo é dito adequado.
•
Resíduos Martingal: é usado para determinar a forma funcional (linear,
quadrática, etc.) de uma covariável incluída no modelo de regressão. Os gráficos desse
resíduo devem apresentar um comportamento aleatório em torno do zero, caso o modelo seja
adequado.
34
•
Resíduos Deviance:
Deviance examina a precisão do modelo e de auxiliar na detecção
de pontos atípicos. Assim como os resíduos Martingal,
Marti gal, os gráficos desse resíduo devem
apresentar um comportamento aleatório em torno do zero, caso o modelo seja adequado.
2.2.6. Aplicação dos Testes de Vida Acelerado
Será apresentado
presentado a seguir o exemplo 6.2 – Experimento com certo tipo de
componente eletrônico, onde um grupo foi submetido a testes sob estresse
estre constante de 75ºC,
o outro,
tro, submetido ao estresse de 95ºC e o outro ao estresse de 115ºC – Confiabilidade:
Análise de Tempo de Falha e Testes de Vida Acelerado (COLOSIMO
COLOSIMO E FREITAS,
FREITAS 1997,
pág. 182).
Quadro 2 – Descrição do exemplo 6.2 (Colosimo e Freitas, 1997, pág.182)
Um fabricante de eletrodomésticos da linha marrom, visando aumentar sua fatia
no mercado, está desenvolvendo uma nova tecnologia para um de seus produtos.
Entretanto, o sucesso desta depende fortemente da performance de um novo componente, o
qual não é fabricado pela própria
própria empresa. Nas reuniões realizadas entre o fabricante e o
fornecedor, preocupado a confiabilidade do produto levantou-se
levantou se a possibilidade de se
realizar testes mais detalhados para verificar o percentual de falhas esperado no primeiro
ano de uso desse componente.
onente. Então, foi realizado um teste acelerado utilizando-se
utilizando
120
componentes e três níveis de temperatura: 75℃,
75
95℃ e 115℃.. Os componentes foram
divididos igualmente para cada nível e esse experimento teve uma duração de 10 semanas
(1680horas). Esse experimento
rimento está representado na tabela 1, onde especifica o tempo de
falha para cada nível de temperatura.
Tabela A – Tempo de falha em minutos para cada grupo de componente submetido a testes
com níveis de estresse (temperatura) constante.
Fonte: Colosimo e Freitas (1997)
35
Observando a tabela A, verificamos que o número de falhas parece aumentar
gradativamente com a elevação do nível de estresse (temperatura), ou seja, o aumento da
temperatura está fazendo com que os itens falhem mais rápido.
Gráfico 1 – Tempo de Falha (min) dos componentes eletrônicos vs. tensão elétrica (kV)
Fonte: Colosimo e Freitas (1997)
Observando gráfico 1, verificamos que, apesar de o número de falhas ter aumentado
com o aumento da temperatura, o alto número de censuras parece estar “mascarando” os
resultados. Note também que, a variabilidade dos tempos de falha para a temperatura mais
alta (115℃) parece ser menor do que as outras temperaturas.
Para estudar o comportamento dos dados e responder ao interesse do fabricante
quanto às características do componente, como o tempo médio de vida do componente,
tempo mediano, período de garantia, entre outros, será necessário um modelo estatístico.
Através desse, podemos estimar a função de confiabilidade do componente e os percentis
da distribuição do tempo de falha para qualquer nível de temperatura considerada. O
modelo apropriado para essa situação é o Modelo de Regressão Estresse-Resposta, sendo
que a parte determinística (relação estresse-reposta) explicará o efeito dos níveis de
estresse e a parte probabilística explicará a variabilidade dos dados.
ADEQUAÇÃO DO MODELO
•
Estimação da Função de Confiabilidade para cada Nível de Estresse usando o
Estimador de Kaplan-Meier (KM)
Gráfico 2 – Função da Confiabilidade estimada pelo estimador Kaplan-Meier
para cada nível de temperatura
Fonte: Colosimo e Freitas (1997)
36
Analisando o gráfico 2, verificamos que a função de confiabilidade para o nível
mais alto da temperatura cai muito mais rápido do que as temperaturas mais baixas. Como
a taxa de falha é o inverso da confiabilidade, podemos dizer que a taxa de falha aumenta
com o aumento da temperatura.
• Ajuste e Escolha do Modelo de Regressão Extresse-Resposta
Será utilizada a relação de Arrhenius na parte determinística, pois a variável de
estresse em estudo é a temperatura. Então ajustaremos os modelos de regressão estresse
reposta com as distribuições de probabilidade Exponencial, Weibull e Log Normal para
escolha do modelo mais apropriado para esse conjunto de dados.
R
Tabela B – Ajuste do Modelo de Arrhenius Exponencial (Saídas do Modulo SURVIVAL- SYSTAT )
Fonte: Colosimo e Freitas (1997, pág 202)
! = −16,90!8 = 8,87
Analisando o ajuste dos dados pelo Modelo Exponencial Arrhenius (tabela B). Temos:
Portanto o tempo de falha
exponencial com
‡£ [ = 9¤:9XW ¥XW9¦ = Z™¤:™ 9 9& tem distribuição
Sž‡ = exp −16,90 + 8,87
‡
= ̂
,UV
R
Tabela C – Ajuste do Modelo de Arrhenius Weibull (Saídas do Modulo SURVIVAL- SYSTAT )
Fonte: Colosimo e Freitas (1997, pág 202)
37
Analisando o ajuste dos dados pelo Modelo Weibull Arrhenius (tabela C). Temos:
! = −18,66!8 = 9,53"ž = 1,13
Portanto o tempo de falha
Weibull com
‡£
[ = 9¤:9XW ¥XW9¦ = Z™¤:™ 9 9& tem distribuição
Sž‡ = exp −18,66 + 9,53
e f8 = fY = fV = ‡
8
8,8V
R
Tabela D – Ajuste do Modelo de Arrhenius Log-normal (Saídas do Modulo SURVIVAL- SYSTAT )
Fonte: Colosimo e Freitas (1997, pág 202)
Analisando o ajuste dos dados pelo Modelo Log-normal Arrhenius (tabela D). Temos:
! = −20,38!8 = 9,97"ž = 1,69
Portanto o tempo de falha ln
distribuição normal com
‡£
[ = 9¤:9XW ¥XW9¦ = Z™¤:™ 9 9&
̂ ‡ = −20,38 + 9,97
•
‡
tem
e"ž = 1,69
Validação dos Modelos através da Análise de Resíduos
Apresentaremos a seguir os gráficos de linearização das funções de confiabilidade para os
modelos Arrhenius-Exponencial, Arrhenius-Weibull e Arrhenius-Log-normal. Os pontos
próximos de uma reta significam que o modelo é adequado.
38
ln(resíduos) – modelo exponencial
ln(resíduos) – modelo weibull
ln(resíduos) – modelo log-normal
Gráfico 3 – Verificação da Adequação do Modelo Arrhenius-Exponencial, Arrhenius-Weibull e ArrheniusLog-Normal.
Fonte: Colosimo e Freitas(1997)
Os dois primeiros gráficos apresentam uma tendência linear. No ultimo gráfico, os pontos
não estão alinhados, indicando que o modelo Arrhenius-log-normal parece ser inapropriado.
Pela técnica gráfica, temos que, tanto o modelo Arrhenius-exponencial quanto o modelo
Arrhenius-weibull parecem ser adequados. No entanto, ao comparar esse dois modelos,
podemos dizer que o modelo mais apropriado é Arrhenius-exponencial, pois, no ajuste do
modelo Arrhenius-weibull, o intervalo de confiança [0,921;1,346] (tabela B, linha
pontilhada) para o parâmetro " do modelo inclui o valor 1.
Sabe-se que a distribuição exponencial é a distribuição weibull com parâmetro de forma
f = 1⁄"igual a 1.
•
Extrapolação dos Resultados para as Condições de Uso
Determinado o melhor modelo, o exponencial, agora utilizaremos métodos de estimação
para responder às dúvidas do fabricante em relação à confiabilidade de seu produto.
‹žC = ! + !8 + %C
Quadro A – Formula de estimação do modelo de Arrhenius-Exponencial
̂C = 9 :w‹žC {
=
8
Y¨V,8Up℃
; 9¤©¥9 =
%C = ln −ln 1 − :
8
7
39
Tempo médio de falha à temperatura de 55ºC
‹ž
̂
,UV
,UV
= −16,90 +
= expw‹ž
8,87 ∗ 1000
+ ln −ln 1 − 0,63
55 + 273,16
,UV {
= 25591ℎ™XW&
= 10,15
Este é o número médio de horas de funcionamento de tempo contínuo. O fabricante acredita
que o produto seja utilizado, em média, 5 horas diário, então:
9¤:™¤é¬[™ W ℎW = 25591 ÷ 5ℎ™XW& ≈ 14W ™&
O tempo médio de funcionamento do componente submetido a uma temperatura de 55ºC é
de 14 anos
Tempo mediano de falha à temperatura de 55ºC
‹ž
̂
,UV
,3
= −16,90 + 8,87 3,05 + %
= exp 9,78 = 17677horas
,3
= 9,78
9¤:™¤9¬[W ™ W ℎW = 17677 ÷ 5ℎ™XW& ≈ 10W ™&
Considerando 5 horas de uso por dia
O tempo mediano de funcionamento do componente submetido a uma temperatura de 55ºC
é de 10 anos
Tempo de garantia para um percentual de falha de no mínimo 5%
‹ž
̂
, 3
, 3
= −16,90 + 8,87 3,05 + %
= exp 7,15 = 1274 horas
, 3
= 7,15
Considerando 5 horas de uso/dia
9¤:™¬9šWXW [W = 1274 ÷ 5ℎ™XW& ≈ 9¤9&9&
O tempo de garantia para um percentual de falha de no mínimo 5% para o componente
submetido a uma temperatura de 55℃ é de 9 meses.
40
3.
3.1.
MATERIAIS E MÉTODOS
Materiais
Os dados em estudo referem-se ao tempo de falha de uma amostra de 80 isolantes
utilizados em motores elétricos, submetidos a quatro níveis temperaturas anormalmente
elevadas: 110℃, 130℃, 150℃ e 170℃. Esses dados foram extraídos do software MINITAB
16, pasta Sample Data, arquivo INSULATE.MTW.
3.2.
Métodos
Esse trabalho envolve a investigação da deterioração de um isolante utilizado em
motores elétricos. Os motores funcionam normalmente entre 80℃ e 100℃. Para economizar
tempo e dinheiro, utilizamos o teste de vida acelerado para a realização deste estudo.
No intuito de acelerar a deterioração, foi utilizada uma amostra dos 80 (oitenta)
isolantes submetidos em temperatura anormalmente elevadas: 110℃, 130℃, 150℃ e 170℃.
Os isolantes foram igualmente distribuídos, em cada temperatura, foram colocados 20 (vinte)
produtos. O tempo de duração do teste e a marca do produto não foram especificados. A
escala de medida está em horas.
O modelo de Regressão Extresse-Resposta com relação de Arrhenius foi utilizado
para modelar os dados e extrapolar as conclusões para as condições normais de uso.
A Relação de Arrhenius foi utilizada na parte determínistica do modelo de regressão
porque a variável de estresse é a temperatura. Na parte probabilística foram usados os
modelos de probabilidade Exponencial, Weibull e Log-normal por serem os mais utilizados
nem estudos de testes de vida acelerados.
Foram feitas duas análises. Na primeira análise dos dados retiramos a variavel
estresse temperatura como uma forma de auxiliar no processo de escolha do modelo. Na
segunda análise incluímos essa variável, e através dos resultados, extrapolamos as conclusões
para as condições normais de uso, temperatura entre 80℃ e 100℃.
As análises foram feitas pelos programas estatísticos: R, Minitab e Excel
41
4.
RESULTADOS
A tabela abaixo (tabela 3) refere-se ao tempo de falha de uma amostra de 80 isolantes
submetido a temperaturas anormalmente elevadas: 110℃, 130℃, 150℃ e 170℃.
Tabela 3 – Tempo de Falha (em horas) e censura da amostra de isolantes utilizados em motores elétricos para cada nível
de temperatura em estudo.
170⁰C
150⁰C
130⁰C
110⁰C
Fal ha
Censura
Fal ha
Censura
Fal ha
Censura
Fal ha
Censura
343
1
2134
869
1
2746
0
8290
1
21900
0
1
10183
1
13218
244
0
2859
1
1
3987
1
17610
1
716
1
1826
0
3545
1
7336
0
531
1
996
1
4735
0
18397
1
738
1
2733
1
7919
1
13673
1
461
1
3651
1
4925
1
8702
1
221
1
2073
1
2214
1
21900
0
665
1
2291
1
5351
1
13513
1
384
0
1689
1
3147
1
14482
1
394
0
1533
1
7304
1
20975
1
369
1
1752
1
6947
1
12090
1
366
1
1764
1
5355
1
17822
1
507
1
2042
1
3308
1
11769
1
461
1
1043
0
4373
1
21900
0
431
1
1214
1
6226
1
16289
1
479
1
3154
1
5117
1
21900
0
106
1
2386
1
3620
0
18806
1
545
1
2190
1
3128
1
11143
0
536
1
1642
1
4348
1
17784
1
Fonte: Minitab 16
Legenda: 1 indica falha e 0 indica censura
4.1.
Análise dos Dados na Ausência da Variável Temperatura
Para auxiliar na escolha do modelo de regressão estresse-resposta, inicialmente,
ignoramos a variável de estresse temperatura e utilizamos às técnicas gráficas para escolha do
modelo de probabilidade mais adequado.
A primeira técnica gráfica utilizada nesse estudo foi à construção de gráficos que
consiste na linearização da função de confiabilidade. Os pontos que mais aproximar de uma
forma linear será considerado adequado.
42
Exponencial
Weibull
Log-normal
Figura 10– Gráfico linearizado da função de confiabilidade pelos modelos exponencial, weibull, log-normal.
O gráfico para o modelo log-normal apresentado na figura 10 não mostra
afastamento marcantes de uma reta, indicando ajuste adequado.
A segunda técnica consiste na contrução de gráficos das estimativas de
confiabilidade obtidas pelo método de Kaplan-Meier versus as estimativas de confiabilidade
obtidas a partir dos modelos Exponenciais, Weibull e Log-normal. Os pontos próximos da
reta indicam que o modelo está adequado.
Figura 11 – Gráfico da confiabilidade estimada por Kaplan-Meier versus a confiabilidade estimada pelos
modelos exponencial, weibull, log-normal.
Analisando a figura 11, parece que os modelos weibull e log-normal são os mais
adequados, pois os pontos estão mais próximos da reta.
43
Temos também, os gráficos em que à curva de confiabilidade para os modelos
exponencial, weibull e log-normal foram sobrepostos à curva de confiabilidade do estimador
de Kaplan-Meier. O modelo selecionado será aquele cujas curvas se aproximarem melhor.
Figura 12 – Função de Confiabilidade do estimador de Kaplan-Meier, do modelo Exponencial, Weibull e
Log-normal.
Através da figura 12 percebe-se que a curva de confiabilidade do modelo Weibull e
Log-normal foram os que mais se aproximaram do estimador de Kaplan-Meier, indicando
ajustes satisfatórios.
Assim, através das técnicas gráficas concluímos que os modelos weibull e lognormal são os mais adequados para o ajuste desses dados.
A seguir, a variável de estresse temperatura será incluída na análise dos dados. Os
modelos de regressão estresse-resposta serão ajustados e as análises de resíduos serão
utilizados para confirmar a escolha do modelo.
Como as técnicas gráficas apontaram os modelos weibull e log-normal como
satisfatórios, espera-se que a análise de resíduo confirme essa análise gráfica e distingue o
melhor entre os dois.
44
4.2.
4.2.1.
Análise dos Dados na Presença da Variável Temperatura
Análise Descritiva dos Dados
Figura 13 – Gráfico Tempo de Falha do Isolamento vs Temperatura (estresse)
Ao analisar a figura 13, percebe-se uma tendência decrescente no tempo de falha do
isolante à medida que ocorre o aumento da temperatura. E para cada nível de temperatura,
observa-se uma variabilidade diferente nesse tempo de falha.
No modelo de regressão estresse-resposta, essa tendência observada (figura 13) será
determinada pela relação de Arrhenius, e a variabilidade presente nos dados em cada nível de
temperatura será explicada pelos modelos probabilísticos.
O estimador de Kaplan-Meier (ver pág.18) será utilizado nesse estudo para estimar a
função de confiabilidade. Nesse início de análise, essa função é importante para estudar o
comportamento do tempo de falha para cada temperatura.
Através das estimativas das tabelas abaixo, podemos calcular em cada temperatura o
tempo mediano, o tempo médio de vida do isolante e os percentis, etc.
45
Tabela 4 – Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos à temperatura de 110℃
℃.
Confiabilidade para Temperatura de 110⁰C
tempo
sob ri sco
nº fal ha
R(t)
erro padrão
i nferi or 95% CI
s uperi or 95% CI
8702
19
1
0.947
0.0512
0.852
1.000
11769
17
1
0.892
0.0724
0.760
1.000
12090
16
1
0.836
0.0867
0.682
1.000
13218
15
1
0.780
0.0972
0.611
0.996
13513
14
1
0.724
0.1050
0.545
0.963
13673
13
1
0.669
0.1108
0.483
0.925
14482
12
1
0.613
0.1147
0.425
0.885
16289
11
1
0.557
0.1170
0.369
0.841
17610
10
1
0.502
0.1178
0.316
0.795
17784
9
1
0.446
0.1172
0.266
0.746
17822
8
1
0.390
0.1150
0.219
0.695
18397
7
1
0.334
0.1113
0.174
0.642
18806
6
1
0.279
0.1058
0.132
0.586
20975
5
1
0.223
0.0982
0.094
0.529
*
*Ocorreu uma censura antes do tempo de falha observado, por isso, há 19 produtos sob risco.
Por exemplo, através da tabela 4 podemos identificar o tempo mediano do
isolamento submetido à temperatura de 110℃.
,3
= 17610ℎ™XW& = 2W ™&
Assim, 2 anos é uma estimativa do tempo em que 50% dos isolantes que foram
submetidos à temperatura de 110℃ e trabalham 24 horas/dia param de funcionar.
Tabela 5 – Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos a temperatura de 130℃
℃.
Confiabilidade para Temperatura de 130⁰C
tempo
sob ri sco
nº fal ha
R(t)
erro padrão
i nferi or 95% CI
s uperi or 95% CI
2214
20
1
0.9500
0.0487
0.85913
1.000
3128
19
1
0.9000
0.0671
0.77767
1.000
3147
18
1
0.8500
0.0798
0.70707
1.000
3308
17
1
0.8000
0.0894
0.64257
0.996
3545
16
1
0.7500
0.0968
0.58233
0.966
3987
14
1
0.6964
0.1037
0.52019
0.932
4348
13
1
0.6429
0.1087
0.46157
0.895
4373
12
1
0.5893
0.1120
0.40597
0.855
4925
10
1
0.5304
0.1153
0.34636
0.812
5117
9
1
0.4714
0.1166
0.29036
0.765
5351
8
1
0.4125
0.1159
0.23778
0.716
5355
7
1
0.3536
0.1134
0.18860
0.663
6226
6
1
0.2946
0.1087
0.14296
0.607
6947
5
1
0.2357
0.1017
0.10119
0.549
7304
4
1
0.1768
0.0918
0.06391
0.489
7919
3
1
0.1179
0.0778
0.03230
0.430
8290
2
1
0.0589
0.0570
0.00885
0.393
10183
1
1
0.0000
NA
NA
NA
O tempo mediano do isolamento submetido à temperatura de 130℃ será calculado
pelas estimativas da tabela 5. Nesse caso, usaremos o método de interpolação.
5117 − 4925
,3 − 4925
=
= 5023,9
0,4714 − 0,5304
0,5000 − 0,5304
46
Assim, 5023,9 horas, ou 7 meses, é uma estimativa do tempo em que 50% dos
isolantes submetidos à temperatura de 130℃ e trabalham 24 horas/dia param de funcionar.
Tabela 6 – Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos à temperatura de 150℃
℃.
Confi abi l i dade para Temperatura de 150⁰C
tempo
s ob ri s co
nº fal ha
R(t)
996
20
1
0.9500
erro padrão i nferi or 95% CI
0.0487
0.85913
superi or 95% CI
1.000
1214
18
1
0.8972
0.0689
0.77183
1.000
1533
17
1
0.8444
0.0826
0.69707
1.000
1642
16
1
0.7917
0.0928
0.62915
0.996
1689
15
1
0.7389
0.1005
0.56596
0.965
1752
14
1
0.6861
0.1063
0.50644
0.930
1764
13
1
0.6333
0.1104
0.44998
0.891
2042
11
1
0.5758
0.1144
0.39000
0.850
2073
10
1
0.5182
0.1166
0.33342
0.805
2190
8
1
0.4534
0.1186
0.27149
0.757
2291
7
1
0.3886
0.1181
0.21427
0.705
2386
6
1
0.3239
0.1148
0.16169
0.649
2733
5
1
0.2591
0.1086
0.11396
0.589
2746
4
1
0.1943
0.0989
0.07167
0.527
2859
3
1
0.1295
0.0845
0.03607
0.465
3154
2
1
0.0648
0.0623
0.00983
0.427
3651
1
1
0.0000
NaN
NA
NA
O tempo mediano do isolamento submetido à temperatura de 150℃ será calculado
pelas estimativas da tabela 6. Nesse caso, usaremos o método de interpolação.
2073 − 2190
,3 − 2073
=
= 2105,86
0,5182 − 0,4534
0,5000 − 0,5182
Assim, 2105,86 horas, ou 3 meses é uma estimativa do tempo em que 50% dos
isolantes submetidos à temperatura de 150℃ e trabalham 24 horas/dia deixam de funcionar.
Tabela 7 – Estimativa da Função de Confiabilidade para os dados submetidos a temperatura de 170℃
℃.
Confiabilidade para Temperatura de 170⁰C
tempo
s ob ri s co
nº fal ha
R(t)
106
221
343
366
369
431
461
479
507
531
536
545
665
716
738
869
20
19
17
16
15
12
11
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0.9500
0.9000
0.8471
0.7941
0.7412
0.6794
0.5559
0.4941
0.4324
0.3706
0.3088
0.2471
0.1853
0.1235
0.0618
0.0000
erro padrão i nferi or 95% CI
0.0487
0.0671
0.0814
0.0919
0.0999
0.1090
0.1191
0.1209
0.1205
0.1181
0.1134
0.1062
0.0960
0.0815
0.0597
NaN
0.85913
0.77767
0.70166
0.63293
0.56913
0.49611
0.36521
0.30594
0.25038
0.19848
0.15037
0.10638
0.06715
0.03392
0.00928
NA
superi or 95% CI
1.000
1.000
1.000
0.996
0.965
0.930
0.846
0.798
0.747
0.692
0.634
0.574
0.511
0.450
0.411
NA
O tempo mediano do isolamento submetido à temperatura de 170℃ será calculado
pelas estimativas da tabela 7. Nesse caso, usaremos o método de interpolação.
47
461 − 479
,3 − 461
=
= 477,28
0,5559 − 0,4941
0,5000 − 0,5559
Assim, 20 horas, ou menos de um dia, é uma estimativa do tempo em que 50% dos
isolantes submetidos à temperatura de 170℃ e trabalham 24 horas/dia deixam de funcionar.
110℃
130℃
170℃
150℃
Figura 14 – Função da Confiabilidade Estimada (KM) para cada Nível de Temperatura
O gráfico da figura 14 representa as estimativas da função de confiabilidade R(t)
obtidas pelo estimador de Kaplan-Meier para cada nível de temperatura. Analisando esse
gráfico, percebe-se que o aumento da temperatura diminui a confiabilidade do produto. Para
exemplificar, a linha tracejada no gráfico representa o tempo mediano de vida. Observa-se
que, esse tempo diminui à medida que se aumenta a temperatura.
4.2.2.
Ajuste dos Modelos de Regressão Estresse-Resposta
Como a variável de estresse é a temperatura utilizaremos o modelo de regressão
estresse-resposta que une os modelos de probabilidade com a relação de Arrhenius (equação
29 – 31). Para lembrar, abaixo temos a relação de Arrhenius (equação 34).
ln
em que
' 28 = ℃ + 273,16 =
ln - = ! ; . ⁄/ = !8
‡
;
‡
= ln - +
.
/'
(34)
48
4.2.2.1. Modelo de Regressão Exponencial com Relação de Arrhenius
Quadro 3 – Ajuste do Modelo de Regressão Exponencial com Relação de Arrhenius
Distribuição:
Exponencial
Relação para variável de estresse(s):
Arrhenius
Tabela de Regressão
Predictor
Intercept
estresse
Shape
Coef
-16,4298
0,874923
1
Standard
Error
2,41859
0,0860091
Z
-6,79
10,17
P
0,000
0,000
95,0% Normal CI
Lower
Upper
-21,1702 -11,6895
0,706349
1,04350
Log-Likelihood = -603,326
Analisando o quadro 3, através do valor p, considerando o nível de significância de
5%, temos que os parâmetros do modelo são significativos. A partir do quadro 3 obtemos os
seguintes resultados:
! = −16,4298; !8 = 0,874923;f = 1
Portanto,
~9 :™ 9Z[W S onde
Sž‡ = 9 : −16,42982 + 0,8749
‡
.± = !8 / = 7,539 ∗ 1023 ; - = expw! { = 7,32 ∗ 102² 4.2.2.2. Modelo de Regressão Weibull com Relação de Arrhenius
Quadro 4 – Ajuste do Modelo de Regressão Weibull com Relação de Arrhenius
Distribuição:
Weibull
Relação para variável de estresse(s):
Arrhenius
Tabela de Regressão
Predictor
Intercept
estresse
Shape
Coef
-15,1874
0,830722
2,82462
Standard
Error
0,986180
0,0350418
0,256969
Log-Likelihood = -564,693
Z
-15,40
23,71
P
0,000
0,000
95,0% Normal CI
Lower
Upper
-17,1203 -13,2546
0,762042 0,899403
2,36332
3,37596
49
Analisando o quadro 4, através do valor p, considerando o nível de significância de
5%, temos que os parâmetros do modelo são significativos. A partir do quadro 4 obtemos os
seguintes resultados:
! = −15,1874; !8 = 0,83072; f = 2,82462
Portanto,
~³9[´¥ S, f onde
Sž‡ = 9 : −15,1874 + 0,83072
f‡ = 2,82462
‡
.± = !8 / = 7,13 ∗ 1023 ; - = expw! { = 2,54 ∗ 102¨ 4.2.2.3. Modelo de Regressão Log-normal com Relação de Arrhenius
Quadro 5 – Ajuste do Modelo de Regressão Log-normal com Relação de Arrhenius
Distribuição:
Log-normal
Relação para variável de estresse(s):
Arrhenius
Tabela de Regressão
Predictor
Intercept
estresse
Scale
Coef
-16,1298
0,857463
0,425946
Standard
Error
0,933854
0,0331324
0,0369068
Z
-17,27
25,88
P
0,000
0,000
95,0% Normal CI
Lower
Upper
-17,9601 -14,2995
0,792525 0,922401
0,359419 0,504787
Log-Likelihood = -565,891
Analisando o quadro 5, através do valor p, considerando o nível de significância de
5%, temos que os parâmetros do modelo são significativos. A partir do quadro 5 obtemos os
seguintes resultados:
! = −16,1298; !8 = 0,857463; "ž = 0,425946
Portanto, ln
̂‡
~ ™X¤W = −16,1298 + 0,8575
, " Y , onde
‡
50
"ž = 0,425946
.± = !8 / = 7,39 ∗ 1023 ; - = expw! { = 9,88 ∗ 102²
4.2.3.
Verificação da Adequação do Modelo usando os Resíduos
As análises gráficas dos resíduos são utilizadas para identificar os modelos
inapropriados. Neste trabalho usaremos os gráficos dos resíduos de Cox-Snell e os resíduos
Padronizados.
Além disso, construímos gráficos de Probabilidade para cada nível da variável
aceleração com base em valores individuais, para avaliar se a distribuição proposta e os
parâmetros de escala e forma são adequados. Esses gráficos de probabilidade inclui a
estatística de Anderson-Darling, que é uma medida de qualidade do ajuste. Quanto menor o
valor dessa estatística, mais adequado será o modelo.
99,9
99,9
99
99
99
90
90
80
90
80
70
80
70
60
70
60
50
60
50
40
50
40
40
30
30
30
20
20
20
10
10
10
5
5
5
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0,1
0,1
0,001
0,01
0,1
1
Resíduos C ox-Snell Exponencial
10
0,001
0,01
0,1
1
Resíduos Cox-Snell Weibull
10
0,1
0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
Resíduos Cox-Snell Log-Normal
Figura 15 – Gráficos dos Resíduos de Cox-Snell para o modelo Exponencial, Weibull e Log-normal
Analisando a figura 15, percebe-se que a distribuição exponencial não é adequada
para análise dos dados, pois os pontos não estão próximos de uma reta. Tanto o modelo
weibull e log-normal parecem adequados.
51
99,9
99
99
99
90
90
80
80
70
70
60
60
50
50
40
40
95
90
80
30
70
30
20
60
20
50
10
10
40
30
5
5
20
3
3
2
2
10
1
1
5
1
0,1
0,1
-8
-4
0
Resíduos Padronizados Exponencial
0,1
-8
-4
0
Residuos Padronizados Weibull
-3
0
Residuos Padronizados Log-Normal
3
Figura 16 – Gráficos dos Resíduos Padronizados para o modelo Exponencial, Weibull e Log-normal
Os gráficos da figura 16 confirmam a análise feita pela figura 15, pois ao observar
esses gráficos, temos que tanto à distribuição weibull quanto a log-normal parecem
adequadas. No entanto, percebe-se que no gráfico da distribuição de weibull todos os pontos
encontram-se dentro do intervalo de confiança.
99
99
90
90
80
80
70
70
60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
5
5
3
3
2
2
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
1
1
10
100
1000
10000 100000
Gráfico de Probabilidade Exponencial
1
100
1000
10000
Gráfico de Probabilidade Weibull
100000
100
1000
10000
Gráfico de P robabilidade Log-Normal
100000
Figura 17 – Gráfico de Probabilidade para cada nível da variável aceleração com base no modelo ajustado
Os gráficos de probabilidade, figura 17, sugerem que o modelo weibull e o lognormal são adequados para análise dos dados. Pois, nos gráficos de probabilidade os pontos
próximos de uma reta e dentro do intervalo de confiança indicam que o modelo proposto e os
parâmetros de escala e forma estão adequados.
52
Quadro 6 – Estatística de Anderson-Darling para adequação do ajuste
Anderson-Darling (adjusted) Goodness-of-Fit
At each accelerating level
Modelos Exponencial
Level
Fit
Modelo Weibull
Level
Fit
Modelo Log-Normal
Level
Fit
110
24,790
110
23,121
110
23,103
130
3,644
130
1,122
130
1,023
150
4,024
150
1,210
150
1,173
170
3,648
170
1,214
170
1,507
Standardized Residuals = 10,097
Standardized Residuals = 0,979 Standardized Residuals = 0,623
Cox-Snell Residuals = 10,097
Cox-Snell Residuals = 0,979
Cox-Snell Residuals = 0,710
Analisando os valores da estatística de Anderson-Darling para os modelos proposto
(quadro 6), percebe-se que o modelo log-normal apresenta os menores valores, indicando o
melhor ajuste dos dados.
No entanto, como as técnicas gráficas, as análises de resíduos e os gráficos de
probabilidade indicaram os dois modelos satisfatórios. A seguir, os resultados dos dois
modelos serão extrapolados para as condições normais de uso.
4.2.4.
Extrapolação dos Resultados para as Condições de Uso
Através dos resultados obtidos na seção 4.2.3 concluímos que tanto o modelo
Arrhenius-Weibull e Arrhenius-Log-normal são adequados para ajuste dos dados. Então,
usaremos esses modelos para extrapolar os resultados para as condições de uso do isolante,
que normalmente funcionam entre 80℃ e 100℃.
4.2.4.1.
Estatísticas estimadas pelo Modelo Arrhenius-Weibull quando o isolante é
submetido às temperaturas de 80℃
Quadro 7 – Percentis estimado pelo modelo Ahrrenius-Weibull quando o Isolante é submetido a 80℃
℃
Tabela de Percentis
Percent
10
50
63
90
estresse
80
80
80
80
Percentile
81910,9
159584
181325
244106
Standard
Error
15021,5
27446,9
31219,8
42868,4
95,0% Normal CI
Lower
Upper
57179,7 117339
113918 223557
129390 254105
173020 344399
53
Tempo Mediano µž¶,·¶ quando o Isolante é submetido a 80℃
̂
= 159584ℎ™XW&
,3
Analisando o quadro 7, percebe-se que o tempo mediano de vida do isolante
submetido à temperatura de 80℃ é de 159584 horas, ou seja, 50% desse isolante dura 18,2
anos ao trabalhar 24 horas/dia.
Tempo Médio de Vida (MTTF)
Sž = exp −15,1874 + 0,83072
‡
= ̂
T¸
,UV
= 181325 e f = 2,82462
= SžΓw1 + 1⁄f {
= 181325Γ 1,3540
= 181325 ∗ 0,891
∗∗∗
*
= 161560,57
O tempo médio de vida do isolamento submetido a 80℃ é de 18,4 anos ao trabalhar
24horas/dias.
Percentis µž¶,¹¶ ºµž¶,»¶ quando o Isolante é submetido a 80℃
̂
̂
,8
,¼
= 81910,9ℎ™XW&
= 244106ℎ™XW&
Analisando o quadro 7, temos que o tempo de falha de 10% do isolante submetido à
temperatura de 80℃ que trabalha 24 horas/dia é de 9 anos. E 90% desse isolante que trabalha
24horas/dia param de funcionar antes dos 28 anos.
***valor da tabela Função Gama (anexo)
54
4.2.4.2. Estatísticas estimadas pelo Modelo Arrhenius-Weibull quando o isolante é
submetido às temperaturas de 100℃
Quadro 8 – Percentis estimado pelo modelo Ahrrenius-Weibull quando o Isolamento é submetido a 100℃
℃
Tabela de Percentis
Percent
10
50
63
90
estresse
100
100
100
100
Percentile
18964,8
36948,6
41982,1
56517,8
Standard
Error
2537,22
4216,51
4773,67
6629,02
95,0% Normal CI
Lower
Upper
14590,5 24650,6
29543,4 46209,9
33595,1 52462,8
44910,5 71125,2
Tempo mediano µž¶,·¶ quando o Isolante é submetido a 100℃
̂
,3
= 36948,6ℎ™XW&
Analisando o quadro 8, percebe-se que o tempo mediano de vida do isolante
submetido à temperatura de 100℃ é de 36948,6 horas, ou seja, 50% desse isolante dura 4,2
anos ao trabalhar 24 horas/dia.
Tempo Médio de Vida
Sž = 9 : −15,1874 + 0,83072
‡
= ̂
T¸
,UV
= 41982,1 e f = 2,82462
= SžΓw1 + 1⁄f {
= 41982,1Γ 1,3540
= 41982,1 ∗ 0,891
∗∗∗
= 37406,05
O tempo médio de vida do isolamento submetido a 100℃ é de 4,3 anos ao trabalhar
24horas/dias.
Percentis µž¶,¹¶ ºµž¶,»¶ quando o Isolante é submetido a 100℃
̂
̂
,8
,¼
= 18964,8ℎ™XW&
= 56517,8ℎ™XW&
Analisando o quadro 8, temos que o tempo de falha de 10% do isolante submetido à
temperatura de 100℃ e que trabalha 24 horas/dia é de 2,2 anos. E 90% desse isolante que
trabalha 24horas/dia param de funcionar antes dos 6,4 anos.
***valor da tabela Função Gama (anexo)
55
4.2.4.3. Estatísticas estimadas pelo Modelo de Arrhenius-Log-normal quando o
Isolamento é submetido às temperaturas de 80℃
Quadro 9 – Pencentis estimado pelo Modelo Arrhenius-Log-normal quando o Isolamento é submetido a 80℃
℃
Tabela de Percentis
Percent
10
50
63
90
estresse
80
80
80
80
Standard 95,0% Normal CI
Error
Lower
Upper
16604,2 71041,5 137313
27967,6
123607 235136
32440,3
142052 271450
51000,0
209522 413305
Percentile
98767,0
170483
196367
294272
Tempo mediano µž¶,·¶ quando o Isolante é submetido a 80℃
̂
,3
= 170483ℎ™XW&
Analisando o quadro 9, percebe-se que o tempo mediano de vida do isolante
submetido à temperatura de 80℃ é de 170483 horas, ou seja, 50% desse isolante dura 19,5
anos ao trabalhar 24 horas/dia.
Tempo Médio de Vida
̂ = ln Sž = ln ̂
,UV
= 12,188 e "ž = 0,425946
T¸
= 9 : ̂ + "ž Y ⁄2
= exp 12,188 + 0,091 = 215069,17
O tempo médio de vida do isolamento submetido a 80℃ é de 24,6 anos ao trabalhar
24horas/dias.
Percentis µž¶,¹¶ ºµž¶,»¶ quando o Isolante é submetido a 80℃
̂
̂
,8
,¼
= 98767,0ℎ™XW&
= 294272ℎ™XW&
Analisando o quadro 9, temos que o tempo de falha de 10% do isolante submetido à
temperatura de 80℃ e que trabalha 24 horas/dia é de 11,3 anos. E 90% desse isolante que
trabalha 24horas/dia param de funcionar antes dos 33,6 anos.
56
4.2.4.4. Estatísticas estimadas pelo Modelo de Arrhenius-Log-normal quando o
Isolamento é submetido às temperaturas de 100℃
Quadro 10 – Percentis estimado pelo modelo Arrhenius-Log-normal quando o Isolamento é submetido a 100℃
℃
Tabela de Percentis
Percent
10
50
63
90
estresse
100
100
100
100
Standard
Error
2544,17
4139,73
4834,28
7972,60
Percentile
21815,5
37656,0
43373,3
64998,5
95,0% Normal CI
Lower
Upper
17357,9 27417,9
30356,9 46710,2
34861,8 53962,9
51108,9 82662,9
Tempo mediano µž¶,· quando o Isolante é submetido a 100℃
̂
,3
= 37656,0ℎ™XW&
Analisando o quadro 10, percebe-se que o tempo mediano de vida do isolante
submetido à temperatura de 100℃ é de 37656,0 horas, ou seja, 50% desse isolante dura 4,3
anos ao trabalhar 24 horas/dia.
Tempo Médio de Vida
̂ = ln Sž = ln ̂
,UV
= 10,68 e "ž = 0,425946
T¸
= 9 : ̂ + "ž Y ⁄2
= exp 10,68 + 0,091 = 47619,6
O tempo médio de vida do isolamento submetido a 100℃ é de 5,4 anos ao trabalhar
24horas/dias.
Percentis µž¶,¹¶ ºµž¶,»¶ quando o Isolante é submetido a 100℃
̂
̂
,8
,¼
= 21815,5ℎ™XW&
= 64998,5ℎ™XW&
Analisando o quadro 10, temos que o tempo de falha de 10% do isolante submetido à
temperatura de 100℃ e que trabalha 24 horas/dia é de 2,5 anos. E 90% desse isolante que
trabalha 24horas/dia param de funcionar antes dos 7,4 anos.
57
4.2.4.5. Percentual de Falha Esperada quando o Prazo de Garantia é de um ano
Modelo Arrhenius-Weibull à temperatura de 80℃
1 ano de uso (24 horas/dia) = 8760 horas
Percentual de falha (p) = 1– 8760ℎ™XW&
Usado o modelo de confiabilidade de Weibull (equação 18), temos:
8760 Y,²Y¾UY
: = 1 − exp “− •
‘
” = 0,02%
181325
Logo, no prazo de um ano o percentual de falha esperada do produto do produto
submetido à temperatura de 80℃ será de 0,02%, caso o produto trabalhe 24horas/dia.
Modelo Arrhenius-Weibull à temperatura de 100℃
1 ano de uso (24 horas/dia) = 8760 horas
Percentual de falha (p) = 1– 8760ℎ™XW&
Usado o modelo de confiabilidade de Weibull (equação 18), temos:
8760 Y,²Y¾UY
: = 1 − exp “− •
‘
” = 1,2%
41982,1
Logo, no prazo de um ano o percentual de falha esperada do produto do produto
submetido à temperatura de 100℃ será de 1,2%, caso o produto trabalhe 24horas/dia.
Modelo Arrhenius-Log-normal à temperatura de 80℃
1 ano de uso (24 horas/dia) = 8760 horas
Percentual de falha (p) = 1– 8760ℎ™XW&
Usado o modelo de confiabilidade de Log-normal (equação 24), temos:
: = 1 − Φ“
− ln 8760 − 12,18
” = 0,000%
0,425946
58
Logo, no prazo de um ano o percentual de falha esperada do produto do produto
submetido à temperatura de 80℃será de 0,00%, caso o produto trabalhe 24horas/dia.
Modelo Arrhenius-Log-normal à temperatura de 100℃
1 ano de uso (24 horas/dia) = 8760 horas
Percentual de falha (p) = 1– 8760ℎ™XW&
Usado o modelo de confiabilidade de Log-normal (equação 24), temos:
: = 1 − Φ“
− ln 8760 − 10,68
” = 0,008%
0,425946
Logo, no prazo de um ano o percentual de falha esperada do produto submetido à
temperatura de 100℃ será de 0,008%, caso o produto trabalhe 24horas/dia.
4.2.4.6. Comparação das estatísticas estimadas pelos modelos Arrhenius-Weibull e
Arrhenius-Log-normal
Quadro 11 – Comparação das estatísticas estimadas pelos dois modelos quando o produto é submetido a 80℃
℃
Temperatura de 80⁰C
Modelo
Arrhenius-Weibull
Arrhenius-Log-normal
MTTF
18,4 anos
24,6 anos
.3
18,2 anos
19,5 anos
.8
9 anos
11,3 anos
.¼
28 anos
33,6 anos
% falha (1 ano)
0,02%
0,000%
Quadro 12 – Comparação das estatísticas estimadas pelos dois modelos quando o produto é submetido a 100℃
℃
Temperatura de 100⁰C
Modelo
Arrhenius-Weibull
Arrhenius-Log-normal
MTTF
4,3 anos
5,4 anos
.3
4,2 anos
4,3 anos
.8
2,2 anos
2,5 anos
.¼
6,4 anos
7,4 anos
% falha (1 ano)
1,20%
0,008%
Analisando os quadros acima, percebe-se que as estatísticas estimadas pelos dois
modelos na temperatura de 100℃ são parecidas, mas, diferente para a temperatura de 80℃. E
observa-se que, o tempo de falha e o percentual de falha, tende a diminuir com o aumento da
temperatura.
59
4.2.5.
Pseudocódigos para Dados de Vida Acelerado
Abaixo segue uma sugestão de como criar um pseudocódigo para gerar dados de vida
acelerado.
Quadro 13 – Pseudocódigo para dados de vida acelerado
Os dados devem ser gerados seguindo algum modelo, por exemplo:
Seja o modelo Y=log(T) = bo + b1 X + sigma* épsilon
onde
x é a variável de estresse
episilon é Normal (0,1)
então, os tempos até a falha T serão lognormais com
parâmetro: mi= bo+b1X e sigma
ou Y será Normal com média mi =bo+biX e variancia sigma**2.
Assim, os dados poderão ser gerados para vários níveis da variável de estresse x
60
5.
CONCLUSÕES
No presente trabalho, reunimos uma amostra de 80 isolantes utilizados em motores
elétricos que, ao submetê-los a altas temperaturas, geraram conclusões que proporcionaram
resultados importantes que serão citados abaixo.
Nesse experimento utilizamos os modelos de testes de vida acelerado por permitir
reunir estatísticas fundamentais para a confiabilidade do produto. Como o tempo de falha
desse produto costuma durar anos, e é inviável um experimento desse porte, a utilização desse
teste nos permitiu acelerar essa degradação usando altas temperaturas e extrapolar os
resultados para as condições de uso.
O teste de vida acelerado reúne uma série de modelos de regressão estresse-reposta
que facilitam as análises. Nesse trabalho, os modelos que melhor se ajustaram aos dados do
experimento foram os modelos Arrhenius-Weibull e Arrhenius-Log-normal.
Os dois modelos apresentaram parâmetros significativos, análises gráfica e análise de
resíduos satisfatórios. Entretanto, pela estatística de Anderson-Darling para adequação do
ajuste, foi detectado que o modelo log-normal parece ser o mais adequado para o ajuste desses
dados. Portanto, o indicado será a utilização desse modelo para extrapolação dos resultados.
Assim, através dos resultados obtidos, foi possível responder questões de dúvidas
relacionadas ao produto, como:
O tempo médio de vida do produto;
Tempo mediano de vida;
O percentual de falha associado ao produto se o fabricante deseja
estipular um prazo de garantia de um ano;
O tempo de garantia possível de ser estipulado, caso o fabricante queira
custear a falha de no máximo 10% de seus produtos.
Portanto, com o aumento da competitividade entre as empresas e indústrias dos mais
variados segmentos, e, no intuito de adquirir um perfil de destaque no mercado, esse tipo de
estudo pode contribuir para desenvolver produtos ainda melhores, que atendam aos requisitos
de qualidade e confiabilidade.
61
6.
REFERÊNCIAS
ABREU, André L. E. Intervalo de Confiança Bootstrap para Valores da Função de
Confiabilidade Estimados pelo Método de Kaplan-Meier. Dissertação de Mestrado.
Curitiba, 2011.
BASTOS, Joana e ROCHA, Cristina. Análise de sobrevivência: Conceitos Básicos.
ArqMed [online]. 2006, vol.20, n.5-6, pp. 185-187. ISSN 0871-3413.
BEZERRA, Paulo R. C. Tecnologia do Produto: Como Avaliar a Qualidade de um
Produto Através da Análise de Confiabilidade. Programa de Engenharia de Produção,
UFRN, 2004.
BOTELHO, Francisco; SILVA, Carlos; CRUZ, Francisco. Epidemiologia explicada:
Análise de Sobrevivência. Acta Urológica 2009, 26; 4: 33-38
BRITO,Alirio C., SOUZA, Marcelo L. O. Proposta de Melhoria de um Método de
Estimação da Taxa de Falhas em Interconexões de Segundo Nível de Componentes
Eletrônicos. INPE, Atg. Pág. 1-15, 2010.
CÉSAR, Kelly A. Análise Estatística de Sobrevivência: Um estudo com pacientes com
câncer de mama. Universidade Católica de Brasília, 2005.
COLOSIMO, Enrico A., FREITAS, Marta A. Confiabilidade: Análise de Tempo de Falha e
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ANEXO
Anexo A – Tabela da Função Gama
Fonte: Colosimo e Freitas (1997)