Ronaldo

Universidade Federal de Santa Catarina
Programa de Pós-Graduação em
Engenharia de Produção
Capítulo
4
Controle Estatístico de Processo
Prof. Robert Wayne Samohyl
Ronaldo Lima de Cristo – 19/10/10
Capítulo 4 – Distribuições de Probabilidade
Exercício 4.1.: Uma unidade fabril de compressores para equipamento médico
produziu um lote de tamanho 1000. Aleatoriamente são escolhidos 25 compressores
para formar uma amostra e testar se a taxa defeituosa do lote é no máximo 4% em
conformidade com o contrato acordado. Dois dos compressores da amostra não são
aceitáveis. Este fato é suficiente para rejeitar o lote como defeituoso demais? O fato é
que dois compressores defeituosos na amostra ainda dando uma percentagem de
defeituosas igual a 8% não são evidencia suficientemente contundente para rejeitar o
lote. Pôr que?
Deve-se levar em consideração qual a probabilidade de se encontrar tal
quantidade de defeitos ao se coletar uma amostra nas condições acima. A seguir, 3
formas distintas são mostradas para este fim, tanto usando a distribuição Binomial
quanto a de Poisson.
Utilizando as fórmulas
Distribuição
Binomial
Poisson
Pelo Excel
Distribuição
Binomial
Poisson
Formulação
𝟐𝟓!
𝑷(𝟐) =
𝟎, 𝟎𝟒𝟐 (𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟒)𝟐𝟓−𝟐
𝟐! (𝟐𝟓 − 𝟐)!
(𝟐𝟓 ∗ 𝟎, 𝟎𝟒)𝟐
𝑷(𝟐) = (𝟐𝟓∗𝟎,𝟎𝟒)
𝒆
∙ 𝟐!
Formulação
=BINOMDIST(2;25;0,04;FALSE)
=POISSON(2;1;FALSE)
Pela Linguagem R
Distribuição
Formulação
Binomial
> dbinom(2,25,0.04)
Poisson
> dpois(2,1)
Resultado
0,188
0,184
Resultado
0,187706623
0,183939721
Resultado
0,187706623
0,183939721
Em resumo, a probabilidade de se encontrar 2 peças defeituosas em 25 nas
condições descritas no problema, é de aproximadamente 19%. Com uma probabilidade
tão alta, o resultado tem grandes chances de ter sido resultado do acaso e condenar todo
lote não seria sensato.
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Capítulo
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Exercício 4.2.: O chefe da pintura de um grande prédio espera 3 defeitos por metro
quadrado, mas ele encontra 6 defeitos por metro quadrado em uma parede no décimo
terceiro andar. Calcular a probabilidade de encontrar 6 defeitos. Frente desse
resultado qual é a atitude mais correta do chefe?
Para este tipo de problema, em que só se tem a taxa de defeitos, é mais fácil
utilizar a distribuição de Poisson. Para poder utilizar a distribuição exponencial um
pequeno truque foi adotado. Em vez de trabalhar com 1m², o que levaria a fatoriais
negativos na descrição do problema e inviabilizaria o uso de tal distribuição, foi
trabalhado com 10000cm². Assim os cálculos podem se dar da mesma forma que no
exercício anterior.
Utilizando as fórmulas
Distribuição
Formulação
Resultado
𝟒
Binomial
Poisson
Pelo Excel
Distribuição
Binomial
Poisson
𝑷(𝟔) =
𝟏𝟎 !
𝟒
(𝟑/𝟏𝟎𝟒 )𝟔 (𝟏 − (𝟑/𝟏𝟎𝟒 ))𝟏𝟎 −𝟔
𝟒
𝟔! (𝟏𝟎 − 𝟔)!
(𝟑)𝟔
𝑷(𝟔) = (𝟑)
𝒆 ∙ 𝟔!
Formulação
=BINOMDIST(6;10000;3/10000;FALSE)
=POISSON(5;3;FALSE)
Pela Linguagem R
Distribuição
Formulação
Binomial
> dbinom(6,10000,(3/10000))
Poisson
> dpois(6,3)
0,050401841
0,050409407
Resultado
0,050401841
0,050409407
Resultado
0,05040184
0,05040941
Estatisticamente, a probabilidade de ocorrência de 6 defeitos em um metro
quadrado, ainda é grande. Ela é de 5%. Neste caso, seria mais prudente acompanhar a
pintura de outras áreas para verificar se o resultado vai se repetir ou voltará à
normalidade. As ações para buscar as causas só devem ser empregadas no primeiro
caso.
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4
3. Historicamente a linha produz 20% de defeituosas. O engenheiro levanta uma
amostra de 10 peças e encontra 3 peças ruins. Pensando estatisticamente, qual seria a
reação mais apropriada do engenheiro?
Utilizando as fórmulas
Distribuição
Binomial
Poisson
Pelo Excel
Distribuição
Binomial
Poisson
Formulação
𝟏𝟎!
𝑷(𝟑) =
(𝟎, 𝟐)𝟑 (𝟏 − 𝟎, 𝟐)𝟏𝟎−𝟑
𝟑! (𝟏𝟎 − 𝟑)!
(𝟐)𝟑
𝑷(𝟑) = (𝟐)
𝒆 ∙ 𝟑!
Formulação
=BINOMDIST(3;10;0,2;FALSE)
=POISSON(3;2;FALSE)
Pela Linguagem R
Distribuição
Formulação
Binomial
> dbinom(3,10,0.2)
Poisson
> dpois(3,2)
Resultado
0,201326592
0,180447044
Resultado
0,201326592
0,180447044
Resultado
0,2013266
0,1804470
A situação é muito similar ao primeiro problema. A probabilidade de encontrar 3
defeitos nas condições levantadas pelo problema ficam em torno de 20%. Assim, não se
pode afirmar que estamos diante de um evento extraordinário que justifique ações
imediatas.
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4. A linha de produção historicamente produz uma taxa de rejeição de 10%. Numa
amostra de 10 peças, qual é a probabilidade de encontrar até no máximo 1 peça
defeituosa?
P(n<=1) = P(0) + P(1)
Pela Linguagem R
Distribuição
Formulação
Binomial
> dbinom(0,10,0.1) + dbinom(1,10,0.1)
Poisson
> dpois(0,1) + dpois(1,1)
Resultado
0,736099
0,7357589
A probabilidade é de 74%.
5. O motor de avião pode falhar com probabilidade de 0,5%. Se pelo menos um motor
falhar o avião cai. Qual é o avião mais seguro, o bimotor ou o trimotor?
Bimotor: P(n<2) = P(0) + P(1)
Trimotor: P(n<3) = P(0) + P(1) + P(2)
Pela Linguagem R
Avião
Distrib.
Binomial
Bimotor
Poisson
Binomial
Trimotor
Poisson
Formulação
> dbinom(1,2,0.005) + dbinom(2,2,0.005)
> dpois(1,0.005*2) + dpois(2,0.005*2)
> dbinom(1,3,0.005) + dbinom(2,3,0.005) +
dbinom(3,3,0.005)
> dpois(1,0.005*3) + dpois(2,0.005*3) +
dpois(3,0.005*3)
Resultado
0,009975
0,00995
0,01492512
0,01488806
Nas condições do exercício, o trimotor se mostra o avião mais perigoso, pois tem 50%
((0,0149-0,01)/ 0,01) mais chances de cair em relação a um bimotor.